Courbes algébriques

Introduction

Dans ce chapitre, nous développons quelques éléments de la théorie des courbes algébriques. Pour les courbes algébriques sur le corps des nombres complexes, on pourra consulter l’ouvrage [ACGH].

Rappel des résultats déjà établis. Outre les résultats généraux de géométrie algébrique, nous avons déjà démontré plusieurs résultats propres aux courbes algébriques. En voici la liste.

Nous avons étudié les ouverts affines et les faisceaux inversibles amples sur les schémas noethériens de dimension \(1\) dans Variétés, section 09N7.
Nous avons vu qu’une courbe est soit affine, soit projective dans Variétés, section 0A22.
Nous avons étudié les degrés des modules localement libres sur les courbes propres dans Variétés, section 0AYQ.
Nous avons étudié le schéma de Picard d’une courbe projective non singulière sur un corps algébriquement clos dans Schémas de Picard des courbes, section 0B93.

Courbes et corps de fonctions

Dans cette section, nous précisons les résultats de Variétés, section 0BXM dans le cas des courbes.

Lemme

Soit \(k\) un corps. Soient \(X\) une courbe et \(Y\) une variété propre. Soient \(U \subset X\) un ouvert non vide et \(f : U \to Y\) un morphisme. Si \(x \in X\) est un point fermé tel que \(\mathcal{O}_{X, x}\) soit un anneau de valuation discrète, il existe un ouvert \(U \subset U' \subset X\) contenant \(x\) et un morphisme de variétés \(f' : U' \to Y\) prolongeant \(f\).

Démonstration

C’est un cas particulier de Morphismes, lemme 0BX7.

Lemme

Soit \(k\) un corps. Soient \(X\) une courbe normale et \(Y\) une variété propre. L’ensemble des applications rationnelles de \(X\) dans \(Y\) s’identifie à l’ensemble des morphismes \(X \to Y\).

Démonstration

Toute application rationnelle de \(X\) dans \(Y\) se prolonge en un morphisme \(X \to Y\) d’après le lemme 0BXY, puisque tout anneau local est un anneau de valuation discrète (par exemple d’après Variétés, lemme 0B8Y). Réciproquement, si deux morphismes \(f,g: X \to Y\) sont équivalents en tant qu’applications rationnelles, alors \(f = g\) d’après Morphismes, lemme 01RH.

Lemme

Soit \(k\) un corps. Soit \(f : X \to Y\) un morphisme non constant de courbes sur \(k\). Si \(Y\) est normale, alors \(f\) est plat.

Démonstration

Prenons \(x \in X\) d’image \(y \in Y\). Alors \(\mathcal{O}_{Y, y}\) est soit un corps, soit un anneau de valuation discrète (Variétés, lemme 0B8Y). Puisque \(f\) est non constant, il est dominant (car il envoie nécessairement le point générique de \(X\) sur celui de \(Y\)). Il en résulte que \(\mathcal{O}_{Y, y} \to \mathcal{O}_{X, x}\) est injectif (Morphismes, lemme 0CC1). Ainsi \(\mathcal{O}_{X, x}\) est sans torsion en tant que \(\mathcal{O}_{Y, y}\)-module; par conséquent, \(\mathcal{O}_{X, x}\) est plat en tant que \(\mathcal{O}_{Y, y}\)-module d’après Compléments d’algèbre, lemme 0539.

Lemme

Soit \(k\) un corps. Soit \(f : X \to Y\) un morphisme de schémas sur \(k\). Supposons que

\(Y\) soit séparé sur \(k\),

\(X\) soit propre de dimension \(\leq 1\) sur \(k\),

\(f(Z)\) contienne au moins deux points pour toute composante irréductible \(Z \subset X\) de dimension \(1\).

Alors \(f\) est fini.

Démonstration

Le morphisme \(f\) est propre d’après Morphismes, lemme 01W6. Ainsi \(f(X)\) est fermé et les images des points fermés sont fermées. Soit \(y \in Y\) l’image d’un point fermé de \(X\). Alors \(f^{-1}(\{y\})\) est une partie fermée de \(X\) ne contenant aucun point générique d’une composante irréductible de dimension \(1\), d’après la condition (3). Il s’ensuit que \(f^{-1}(\{y\})\) est fini. Par conséquent, \(f\) est fini au-dessus d’un voisinage ouvert de \(y\) d’après Compléments sur les morphismes, lemme 02UP (si \(Y\) est noethérien, on peut utiliser le résultat plus élémentaire Cohomologie des schémas, lemme 02OH). Puisque nous avons vu qu’il y a suffisamment de tels points \(y\), la démonstration est achevée.

Lemme

Soit \(k\) un corps. Soit \(X \to Y\) un morphisme de variétés, où \(Y\) est propre et \(X\) est une courbe. Il existe une factorisation \(X \to \overline{X} \to Y\) dans laquelle \(X \to \overline{X}\) est une immersion ouverte et \(\overline{X}\) est une courbe projective.

Démonstration

Cela résulte immédiatement du lemme 0BXY et de Variétés, lemme 0BXW.

Voici le théorème principal de cette section. Un morphisme \(f : X \to Y\) de variétés sera dit constant si son image \(f(X)\) se réduit à un point \(y\) de \(Y\). Dans ce cas, \(y\) est un point fermé de \(Y\) (car l’image d’un point fermé de \(X\) est un point fermé de \(Y\)).

Théorème

Soit \(k\) un corps. Les catégories suivantes sont canoniquement équivalentes :

La catégorie des extensions de corps de type fini \(K/k\) de degré de transcendance \(1\).

La catégorie des courbes et des applications rationnelles dominantes.

La catégorie des courbes projectives normales et des morphismes non constants.

La catégorie des courbes projectives non singulières et des morphismes non constants.

La catégorie des courbes projectives régulières et des morphismes non constants.

La catégorie des courbes propres normales et des morphismes non constants.

Démonstration

L’équivalence entre les catégories (1) et (2) est la restriction de l’équivalence de Variétés, théorème 0BXN. En effet, une variété est une courbe si et seulement si son corps de fonctions est de degré de transcendance \(1\); voir par exemple Variétés, lemme 0A21.

Les catégories (3), (4), (5) et (6) coïncident. Tout d’abord, les termes « régulier » et « non singulier » sont synonymes; voir Propriétés, définition 02IS. Pour les schémas noethériens de dimension \(1\), normalité et régularité sont équivalentes (Propriétés, lemmes 0569 et 0BX2). Voir Variétés, lemme 0B8Y pour le cas des courbes. Ainsi (3) coïncide avec (5). Enfin, (6) coïncide avec (3) d’après Variétés, lemme 0A26.

Si \(f : X \to Y\) est un morphisme non constant de courbes projectives non singulières, alors \(f\) envoie le point générique \(\eta\) de \(X\) sur le point générique \(\xi\) de \(Y\). On obtient donc un morphisme \(k(Y) = \mathcal{O}_{Y, \xi} \to \mathcal{O}_{X, \eta} = k(X)\) dans la catégorie (1). Si deux morphismes \(f,g: X \to Y\) induisent le même morphisme \(k(Y) \to k(X)\), alors, par l’équivalence entre (1) et (2), \(f\) et \(g\) sont équivalents en tant qu’applications rationnelles; donc \(f=g\) d’après le lemme 0BXZ. Réciproquement, supposons donné un morphisme \(k(Y) \to k(X)\) dans la catégorie (1). On obtient alors un morphisme \(U \to Y\) pour un ouvert non vide \(U \subset X\). D’après le lemme 0BXY, celui-ci se prolonge à \(X\) tout entier et fournit un morphisme dans la catégorie (5). Nous obtenons ainsi un foncteur pleinement fidèle (5)\(\to\)(1).

Pour achever la démonstration, il reste à montrer que tout objet \(K/k\) de (1) est le corps de fonctions d’une courbe projective normale. Nous savons déjà que \(K = k(X)\) pour une certaine courbe \(X\). En remplaçant \(X\) par sa normalisation (qui est une variété birationnelle à \(X\)), on peut supposer \(X\) normale (Variétés, lemme 0BXR). Choisissons alors \(X \to \overline{X}\) avec \(\overline{X} \setminus X = \{x_1, \ldots, x_n\}\) comme dans Variétés, lemme 0BXW. Puisque \(X\) est normale et que chacun des anneaux locaux \(\mathcal{O}_{\overline{X}, x_i}\) est normal, \(\overline{X}\) est une courbe projective normale, comme voulu. (Remarque : on peut aussi commencer par compactifier à l’aide de Variétés, lemme 0BXV, puis normaliser à l’aide de Variétés, lemme 0BXR. Cette méthode évite le recours au résultat quelque peu délicat Morphismes, lemme 0BXB.)

Définition

Soit \(k\) un corps. Soit \(X\) une courbe. Un modèle projectif non singulier de \(X\) est un couple \((Y, \varphi)\), où \(Y\) est une courbe projective non singulière et \(\varphi : k(X) \to k(Y)\) un isomorphisme de corps de fonctions.

Un modèle projectif non singulier est déterminé à un unique isomorphisme près par le théorème 0BY1. On parle donc souvent du « modèle projectif non singulier ». On omet généralement \(\varphi\) dans la notation. Attention : il se peut que \(Y\) ne soit pas lisse sur \(k\); le lemme 0BY3 montre toutefois que cela ne peut se produire qu’en caractéristique positive.

Lemme

Soit \(k\) un corps. Soient \(X\) une courbe et \(Y\) le modèle projectif non singulier de \(X\). Si \(k\) est parfait, alors \(Y\) est une courbe projective lisse.

Démonstration

Voir par exemple Variétés, lemme 0B8Y.

Lemme

Soit \(k\) un corps. Soit \(X\) une courbe géométriquement irréductible sur \(k\). Pour une extension de corps \(K/k\), notons \(Y_K\) un modèle projectif non singulier de \((X_K)_{red}\).

Si \(X\) est propre, alors \(Y_K\) est la normalisation de \(X_K\).

Il existe une extension \(K/k\) finie purement inséparable telle que \(Y_K\) soit lisse.

Dès que \(Y_K\) est lisse¹, on a \(H^0(Y_K, \mathcal{O}_{Y_K}) = K\).

Étant donné un diagramme commutatif \[\xymatrix{ \Omega & K' \ar[l] \\ K \ar[u] & k \ar[l] \ar[u] }\] de corps tel que \(Y_K\) et \(Y_{K'}\) soient lisses, on a \(Y_\Omega = (Y_K)_\Omega = (Y_{K'})_\Omega\).

Démonstration

Soit \(X'\) un modèle projectif non singulier de \(X\). Alors \(X'\) et \(X\) possèdent des sous-schémas ouverts non vides isomorphes. En particulier, \(X'\) est géométriquement irréductible, puisque \(X\) l’est (nous omettons quelques détails). On peut donc supposer \(X\) projective.

Supposons \(X\) propre. Alors \(X_K\) est propre; sa normalisation \((X_K)^\nu\) est donc propre, étant finie sur un schéma propre (Variétés, lemme 0BXR et Morphismes, lemmes 01WN et 01W3). D’autre part, \(X_K\) est irréductible puisque \(X\) est géométriquement irréductible. Ainsi \(X_K^\nu\) est propre, normale, irréductible et birationnelle à \((X_K)_{red}\). Cela prouve (1), car toute courbe propre est projective (Variétés, lemme 0A26).

Démontrons (2). Puisque \(X\) est propre et que (1) est établi, on peut appliquer Variétés, lemme 0BXT pour trouver une extension \(K/k\) finie purement inséparable telle que \(Y_K\) soit géométriquement normale. Alors \(Y_K\) est géométriquement régulière, puisque normalité et régularité sont équivalentes pour les courbes (Propriétés, lemme 0BX2). Ainsi \(Y\) est une variété lisse d’après Variétés, lemme 038X.

Si \(Y_K\) est géométriquement réduite, alors \(Y_K\) est géométriquement intègre (Variétés, lemme 038K) et l’on a \(H^0(Y_K, \mathcal{O}_{Y_K}) = K\) d’après Variétés, lemme 04L2. Cela prouve (3), car toute variété lisse est géométriquement réduite (et même géométriquement régulière; voir Variétés, lemme 038X).

Si \(Y_K\) est lisse, alors, pour toute extension \(\Omega/K\), le changement de base \((Y_K)_\Omega\) est lisse sur \(\Omega\) (Morphismes, lemme 01VB). Il est donc clair que \(Y_\Omega = (Y_K)_\Omega\). Cela prouve (4).

Séries linéaires

Nous nous écartons de la présentation classique (voir la remarque 0CCT) en définissant les séries linéaires de la manière suivante.

Définition

Soit \(k\) un corps. Soit \(X\) un schéma propre de dimension \(\leq 1\) sur \(k\). Soient \(d \geq 0\) et \(r \geq 0\). Une série linéaire de degré \(d\) et de dimension \(r\) est un couple \((\mathcal{L}, V)\), où \(\mathcal{L}\) est un \(\mathcal{O}_X\)-module inversible de degré \(d\) (Variétés, définition 0AYR) et \(V \subset H^0(X, \mathcal{L})\) un sous-espace vectoriel sur \(k\) de dimension \(r + 1\). On dira, en abrégé, que \((\mathcal{L}, V)\) est une \(\mathfrak g^r_d\) sur \(X\).

Nous utiliserons surtout cette notion lorsque \(X\) est une courbe propre non singulière. En fait, la définition ci-dessus n’est qu’une façon de généraliser la définition classique d’une \(\mathfrak g^r_d\). Par exemple, si \(X\) est une courbe propre, on peut généraliser les séries linéaires en autorisant \(\mathcal{L}\) à être un \(\mathcal{O}_X\)-module cohérent sans torsion de rang \(1\). Sur une courbe non singulière, tout module cohérent sans torsion est localement libre; on retrouve donc notre notion pour les courbes propres non singulières.

Le lemme suivant précise la signification géométrique des séries linéaires sur les courbes propres non singulières.

Lemme

Soit \(k\) un corps. Soit \(X\) une courbe propre non singulière sur \(k\). Soit \((\mathcal{L}, V)\) une \(\mathfrak g^r_d\) sur \(X\). Il existe alors un morphisme \[\varphi : X \longrightarrow \mathbf{P}^r_k = \text{Proj}(k[T_0, \ldots, T_r])\] de variétés sur \(k\) et une application \(\alpha : \varphi^*\mathcal{O}_{\mathbf{P}^r_k}(1) \to \mathcal{L}\) tels que \(\varphi^*T_0, \ldots, \varphi^*T_r\) aient pour images une base de \(V\) par \(\alpha\).

Démonstration

Soit \(s_0, \ldots, s_r \in V\) une base sur \(k\). Puisque \(X\) est non singulière, l’image \(\mathcal{L}' \subset \mathcal{L}\) de l’application \(s_0, \ldots, s_r : \mathcal{O}_X^{\oplus r + 1} \to \mathcal{L}\) est un \(\mathcal{O}_X\)-module inversible, par exemple d’après Diviseurs, lemme 0CC4. On utilise ensuite Constructions, lemme 01NE pour obtenir un morphisme \[\varphi = \varphi_{(\mathcal{L}', (s_0, \ldots, s_r))} : X \longrightarrow \mathbf{P}^r_k\] comme dans l’énoncé du lemme.

Lemme

Soit \(k\) un corps. Soit \(X\) un schéma propre de dimension \(\leq 1\) sur \(k\). Si \(X\) possède une \(\mathfrak g^r_d\), alors \(X\) possède une \(\mathfrak g^s_d\) pour tout \(0 \leq s \leq r\).

Démonstration

En effet, un espace vectoriel \(V\) de dimension \(r + 1\) sur \(k\) possède un sous-espace vectoriel de dimension \(s + 1\) pour tout \(0 \leq s \leq r\).

Lemme

Soit \(k\) un corps. Soit \(X\) une courbe propre non singulière sur \(k\). Soit \((\mathcal{L}, V)\) une \(\mathfrak g^1_d\) sur \(X\). Alors le morphisme \(\varphi : X \to \mathbf{P}^1_k\) du lemme 0CCP vérifie l’une des deux propriétés suivantes :

il est non constant et de degré \(\leq d\);

il se factorise par un point fermé de \(\mathbf{P}^1_k\) et, dans ce cas, \(H^0(X, \mathcal{O}_X) \not = k\).

Démonstration

D’après le lemme 0CCP, on voit que \(\mathcal{L}' = \varphi^*\mathcal{O}_{\mathbf{P}^1_k}(1)\) admet une application non nulle \(\mathcal{L}' \to \mathcal{L}\). Ainsi, d’après Variétés, lemme 0B40, on a \(0 \leq \deg(\mathcal{L}') \leq d\). Si \(\deg(\mathcal{L}') = 0\), le même lemme donne \(\mathcal{L}' \cong \mathcal{O}_X\); comme on dispose de deux sections linéairement indépendantes, on est dans le cas (2). Si \(\deg(\mathcal{L}') > 0\), alors \(\varphi\) est non constant (car l’image réciproque d’un module inversible par un morphisme constant est triviale). On a donc \[\deg(\mathcal{L}') = \deg(X/\mathbf{P}^1_k) \deg(\mathcal{O}_{\mathbf{P}^1_k}(1))\] d’après Variétés, lemme 0AYZ. Cela achève la démonstration, puisque le degré de \(\mathcal{O}_{\mathbf{P}^1_k}(1)\) est \(1\).

Lemme

Soit \(k\) un corps. Soit \(X\) une courbe propre sur \(k\) telle que \(H^0(X, \mathcal{O}_X) = k\). Si \(X\) possède une \(\mathfrak g^r_d\), alors \(r \leq d\). En cas d’égalité, on a \(H^1(X, \mathcal{O}_X) = 0\), c’est-à-dire que le genre de \(X\) (définition 0BY7) est \(0\).

Démonstration

Soit \((\mathcal{L}, V)\) une \(\mathfrak g^r_d\). Puisque cela ne fait qu’augmenter \(r\), on peut supposer \(V = H^0(X, \mathcal{L})\). Choisissons un élément non nul \(s \in V\). Le schéma des zéros de \(s\) est alors un diviseur de Cartier effectif \(D \subset X\), on a \(\mathcal{L} = \mathcal{O}_X(D)\) et l’on dispose d’une suite exacte courte \[0 \to \mathcal{O}_X \to \mathcal{L} \to \mathcal{L}|_D \to 0\]; voir Diviseurs, lemme 01X0 et remarque 0C6K. D’après Variétés, lemme 0AYY, on a \(\deg(D) = \deg(\mathcal{L}) = d\). Puisque \(D\) est un schéma artinien, on a \(\mathcal{L}|_D \cong \mathcal{O}_D\)². Ainsi \[\dim_k H^0(D, \mathcal{L}|_D) = \dim_k H^0(D, \mathcal{O}_D) = \deg(D) = d\] D’autre part, par hypothèse, \(\dim_k H^0(X, \mathcal{O}_X) = 1\) et \(\dim H^0(X, \mathcal{L}) = r + 1\). On en conclut que \(r + 1 \leq 1 + d\), c’est-à-dire \(r \leq d\), comme dans le lemme.

Supposons qu’il y ait égalité. Alors \(H^0(X, \mathcal{L}) \to H^0(X, \mathcal{L}|_D)\) est surjective. Si nous savions que \(H^1(X, \mathcal{L})\) est nul, la suite exacte longue de cohomologie donnerait la nullité de \(H^1(X, \mathcal{O}_X)\) et la démonstration serait achevée. Nous allons remplacer \(\mathcal{L}\) par une puissance assez grande dont la cohomologie s’annule. Puisque \(\mathcal{L}|_D\) est le module inversible trivial (voir ci-dessus), on peut trouver une section \(t\) de \(\mathcal{L}\) dont la restriction à \(D\) engendre \(\mathcal{L}|_D\). Considérons l’application de multiplication \[\mu : H^0(X, \mathcal{L}) \otimes_k H^0(X, \mathcal{L}) \longrightarrow H^0(X, \mathcal{L}^{\otimes 2})\] et la suite exacte courte \[0 \to \mathcal{L} \xrightarrow{s} \mathcal{L}^{\otimes 2} \to \mathcal{L}^{\otimes 2}|_D \to 0\] Puisque \(H^0(\mathcal{L}) \to H^0(\mathcal{L}|_D)\) est surjective et que \(t\) a pour image une trivialisation de \(\mathcal{L}|_D\), on voit que \(\mu(H^0(X, \mathcal{L}) \otimes t)\) fournit un sous-espace de \(H^0(X, \mathcal{L}^{\otimes 2})\) qui se projette surjectivement sur les sections globales de \(\mathcal{L}^{\otimes 2}|_D\). On a donc \[\dim H^0(X, \mathcal{L}^{\otimes 2}) = r + 1 + d = 2r + 1 = \deg(\mathcal{L}^{\otimes 2}) + 1\] Ainsi \(\mathcal{L}^{\otimes 2}\) possède la même propriété que \(\mathcal{L}\) : la dimension de l’espace des sections globales est égale au degré augmenté de un. Puisque \(\mathcal{L}\) est ample (Variétés, lemme 0B5X), il existe un entier \(n_0\) tel que \(\mathcal{L}^{\otimes n}\) ait une cohomologie \(H^1\) nulle pour tout \(n \geq n_0\) (Cohomologie des schémas, lemme 0B5T). En appliquant l’argument précédent à \(\mathcal{L}^{\otimes n}\) avec \(n = 2^m\) pour un entier \(m\) assez grand, on obtient donc le lemme.

Remarque

Soit \(X\) une courbe projective lisse sur un corps algébriquement clos \(k\). Deux diviseurs de Cartier effectifs \(D, D' \subset X\) sont dits linéairement équivalents si et seulement si \(\mathcal{O}_X(D) \cong \mathcal{O}_X(D')\) en tant que \(\mathcal{O}_X\)-modules. Puisque \(\Pic(X) = \text{Cl}(X)\) (Diviseurs, lemme 0BE9), on voit que \(D\) et \(D'\) sont linéairement équivalents si et seulement si les diviseurs de Weil associés à \(D\) et \(D'\) définissent le même élément de \(\text{Cl}(X)\). Pour un diviseur de Cartier effectif \(D \subset X\) de degré \(d\), le système linéaire complet, ou la série linéaire complète, \(|D|\) de \(D\) est l’ensemble des diviseurs de Cartier effectifs \(E \subset X\) linéairement équivalents à \(D\). Autrement dit, \(|D|\) est l’ensemble des points fermés de la fibre du morphisme \[\gamma_d : \underline{\Hilbfunctor}^d_{X/k} \longrightarrow \underline{\Picardfunctor}^d_{X/k}\] (Schémas de Picard des courbes, lemme 0BA0) au-dessus du point fermé correspondant à \(\mathcal{O}_X(D)\). Cela munit \(|D|\) d’une structure naturelle de schéma, et l’on a \(|D| \cong \mathbf{P}^m_k\) avec \(m + 1 = h^0(\mathcal{O}_X(D))\). Plus canoniquement, on a en fait \[|D| = \mathbf{P}(H^0(X, \mathcal{O}_X(D))^\vee)\], où \((-)^\vee\) désigne le dual sur \(k\) et où \(\mathbf{P}\) est défini dans Constructions, exemple 0FCY. Dans ce langage, un système linéaire, ou une série linéaire, sur \(X\) est une sous-variété fermée \(L \subset |D|\) définissable par des équations linéaires. Si \(L\) est de dimension \(r\), alors \(L = \mathbf{P}(V^\vee)\), où \(V \subset H^0(X, \mathcal{O}_X(D))\) est un sous-espace vectoriel de dimension \(r + 1\). Ainsi la série linéaire classique \(L \subset |D|\) correspond à la série linéaire \((\mathcal{O}_X(D), V)\) définie ci-dessus.

Dualité

Dans cette section, nous explicitons, pour les schémas propres de dimension \(1\) sur un corps, les conséquences des résultats très généraux sur les complexes dualisants et la dualité. Pour une discussion analogue concernant les schémas propres de dimension supérieure sur un corps, voir Dualité pour les schémas, section 0FVU.

Lemme

Soit \(X\) un schéma propre de dimension \(\leq 1\) sur un corps \(k\). Il existe un complexe dualisant \(\omega_X^\bullet\) possédant les propriétés suivantes :

\(H^i(\omega_X^\bullet)\) n’est non nul que pour \(i = -1, 0\);

\(\omega_X = H^{-1}(\omega_X^\bullet)\) est un module cohérent de Cohen-Macaulay dont le support est constitué des composantes irréductibles de dimension \(1\);

pour \(x \in X\) fermé, le module \(H^0(\omega_{X, x}^\bullet)\) est non nul si et seulement si l’une des conditions suivantes est vérifiée :

\(\dim(\mathcal{O}_{X, x}) = 0\), ou

\(\dim(\mathcal{O}_{X, x}) = 1\) et \(\mathcal{O}_{X, x}\) n’est pas de Cohen-Macaulay;

pour \(K \in D_\QCoh(\mathcal{O}_X)\), il existe des isomorphismes fonctoriels³ \[\Ext^i_X(K, \omega_X^\bullet) = \Hom_k(H^{-i}(X, K), k)\] compatibles aux décalages et aux triangles distingués;

il existe des isomorphismes fonctoriels \(\Hom(\mathcal{F}, \omega_X) = \Hom_k(H^1(X, \mathcal{F}), k)\) pour \(\mathcal{F}\) quasi-cohérent sur \(X\);

si \(X \to \Spec(k)\) est lisse de dimension relative \(1\), alors \(\omega_X \cong \Omega_{X/k}\).

Démonstration

Notons \(f : X \to \Spec(k)\) le morphisme structural. Partons du complexe dualisant relatif \[\omega_X^\bullet = \omega_{X/k}^\bullet = a(\mathcal{O}_{\Spec(k)})\] décrit dans Dualité pour les schémas, remarque 0B6S. La propriété (4) est alors vraie par construction, puisque \(a\) est l’adjoint à droite de \(f_* : D_\QCoh(\mathcal{O}_X) \to D(\mathcal{O}_{\Spec(k)})\). Puisque \(f\) est propre, on a \(f^!(\mathcal{O}_{\Spec(k)}) = a(\mathcal{O}_{\Spec(k)})\) par définition; voir Dualité pour les schémas, section 0A9Y. Ainsi \(\omega_X^\bullet\) et \(\omega_X\) sont ceux de Dualité pour les schémas, exemple 0AWI et exemple 0AWJ. Les assertions (1) et (2) résultent de Dualité pour les schémas, lemme 0AWN. Pour un point fermé \(x \in X\), le complexe \(\omega_{X, x}^\bullet\) est un complexe dualisant normalisé sur \(\mathcal{O}_{X, x}\); voir Dualité pour les schémas, lemme 0AWL. L’assertion (3) résulte alors de Complexes dualisants, lemme 0AWS. L’assertion (5) résulte de Dualité pour les schémas, lemme 0AWP lorsque \(\mathcal{F}\) est cohérent; dans le cas général, on explicite (4) pour \(K = \mathcal{F}[0]\) et \(i = -1\). L’assertion (6) résulte de Dualité pour les schémas, lemme 0BRT.

Lemme

Soit \(X\) un schéma propre sur un corps \(k\), de Cohen-Macaulay et équidimensionnel de dimension \(1\). Le module \(\omega_X\) du lemme 0BS2 possède les propriétés suivantes :

\(\omega_X\) est un module dualisant sur \(X\) (Dualité pour les schémas, section 0AWH);

\(\omega_X\) est un module cohérent de Cohen-Macaulay dont le support est \(X\);

il existe des isomorphismes fonctoriels \(\Ext^i_X(K, \omega_X[1]) = \Hom_k(H^{-i}(X, K), k)\) compatibles aux décalages pour \(K \in D_\QCoh(X)\);

il existe des isomorphismes fonctoriels \(\Ext^{1 + i}(\mathcal{F}, \omega_X) = \Hom_k(H^{-i}(X, \mathcal{F}), k)\) pour \(\mathcal{F}\) quasi-cohérent sur \(X\).

Démonstration

Rappelons que, d’après la démonstration du lemme 0BS2, le module \(\omega_X\) est celui de Dualité pour les schémas, exemple 0AWI et qu’il est donc dualisant. Les autres assertions résultent du lemme 0BS2 et du fait que \(\omega_X^\bullet = \omega_X[1]\), puisque \(X\) est de Cohen-Macaulay (Dualité pour les schémas, lemme 0AWT).

Remarque

Soit \(X\) un schéma propre de dimension \(\leq 1\) sur un corps \(k\). Soient \(\omega_X^\bullet\) et \(\omega_X\) comme dans le lemme 0BS2. Si \(\mathcal{E}\) est un \(\mathcal{O}_X\)-module fini localement libre de dual \(\mathcal{E}^\vee\), on a des isomorphismes canoniques \[\Hom_k(H^{-i}(X, \mathcal{E}), k) = H^i(X, \mathcal{E}^\vee \otimes_{\mathcal{O}_X}^\mathbf{L} \omega_X^\bullet)\] Cela résulte du lemme et de Cohomologie, lemme 08DQ. Si \(X\) est de Cohen-Macaulay et équidimensionnel de dimension \(1\), on a des isomorphismes canoniques \[\Hom_k(H^{-i}(X, \mathcal{E}), k) = H^{1 + i}(X, \mathcal{E}^\vee \otimes_{\mathcal{O}_X} \omega_X)\] d’après le lemme 0BS3. En particulier, si \(\mathcal{L}\) est un \(\mathcal{O}_X\)-module inversible, on a \[\dim_k H^0(X, \mathcal{L}) = \dim_k H^1(X, \mathcal{L}^{\otimes -1} \otimes_{\mathcal{O}_X} \omega_X)\] et \[\dim_k H^1(X, \mathcal{L}) = \dim_k H^0(X, \mathcal{L}^{\otimes -1} \otimes_{\mathcal{O}_X} \omega_X)\]

Vérifions une propriété de cohérence du complexe dualisant.

Lemme

Soit \(X\) un schéma propre de dimension \(\leq 1\) sur un corps \(k\). Soient \(\omega_X^\bullet\) et \(\omega_X\) comme dans le lemme 0BS2.

Si \(X \to \Spec(k)\) se factorise sous la forme \(X \to \Spec(k') \to \Spec(k)\) pour un corps \(k'\), alors \(\omega_X^\bullet\) et \(\omega_X\) vérifient les propriétés (4), (5), (6) en remplaçant \(k\) par \(k'\).

Si \(K/k\) est une extension de corps, les images réciproques de \(\omega_X^\bullet\) et \(\omega_X\) par le changement de base \(X_K\) sont celles du lemme 0BS2 pour le morphisme \(X_K \to \Spec(K)\).

Démonstration

Notons \(f : X \to \Spec(k)\) le morphisme structural. L’assertion (1) signifie précisément que \(\omega_X^\bullet\) et \(\omega_X\) sont ceux du lemme 0BS2 pour le morphisme \(f' : X \to \Spec(k')\). Dans la démonstration du lemme 0BS2, nous avons posé \(\omega_X^\bullet = a(\mathcal{O}_{\Spec(k)})\), où \(a\) est l’adjoint à droite de Dualité pour les schémas, lemme 0A9E pour \(f\). Il faut donc montrer que \(a(\mathcal{O}_{\Spec(k)}) \cong a'(\mathcal{O}_{\Spec(k)})\), où \(a'\) est l’adjoint à droite de Dualité pour les schémas, lemme 0A9E pour \(f'\). Puisque \(k' \subset H^0(X, \mathcal{O}_X)\), l’extension \(k'/k\) est finie (Cohomologie des schémas, lemme 02O6). Par unicité des adjoints, on a \(a = a' \circ b\), où \(b\) est l’adjoint à droite de Dualité pour les schémas, lemme 0A9E pour \(g : \Spec(k') \to \Spec(k)\). Autrement dit, on a \(f^! = (f')^! \circ g^!\). Il suffit donc de montrer que \(\Hom_k(k', k) \cong k'\) en tant que \(k'\)-modules; voir Dualité pour les schémas, exemple 0A9F. C’est le cas, car ce sont des espaces vectoriels sur \(k'\) de même dimension, à savoir \(1\).

Démontrons (2). L’assertion résulte de la compatibilité de \(a\) au changement de base, d’après Dualité pour les schémas, lemme 0AA8. Voir la discussion dans Dualité pour les schémas, remarque 0B6S.

Lemme

Soit \(X\) un schéma propre de dimension \(\leq 1\) sur un corps \(k\). Soit \(i : Y \to X\) une immersion fermée. Soient \(\omega_X^\bullet\), \(\omega_X\), \(\omega_Y^\bullet\), \(\omega_Y\) comme dans le lemme 0BS2. Alors

\(\omega_Y^\bullet = R\SheafHom(\mathcal{O}_Y, \omega_X^\bullet)\);

\(\omega_Y = \SheafHom(\mathcal{O}_Y, \omega_X)\) et \(i_*\omega_Y = \SheafHom_{\mathcal{O}_X}(i_*\mathcal{O}_Y, \omega_X)\).

Démonstration

Notons \(g : Y \to \Spec(k)\) et \(f : X \to \Spec(k)\) les morphismes structuraux. Alors \(g = f \circ i\). Notons \(a, b, c\) les adjoints à droite associés respectivement à \(f, g, i\) dans Dualité pour les schémas, lemme 0A9E. Alors \(b = c \circ a\) par unicité des adjoints à droite et parce que \(Rg_* = Rf_* \circ Ri_*\). Dans la démonstration du lemme 0BS2, nous avons posé \(\omega_X^\bullet = a(\mathcal{O}_{\Spec(k)})\) et \(\omega_Y^\bullet = b(\mathcal{O}_{\Spec(k)})\). Ainsi \(\omega_Y^\bullet = c(\omega_X^\bullet)\), ce qui entraîne (1) d’après Dualité pour les schémas, lemme 0A9X. Puisque \(\omega_X = H^{-1}(\omega_X^\bullet)\) et \(\omega_Y = H^{-1}(\omega_Y^\bullet)\), on en conclut que \(\omega_Y = \SheafHom(\mathcal{O}_Y, \omega_X)\). Cela implique \(i_*\omega_Y = \SheafHom_{\mathcal{O}_X}(i_*\mathcal{O}_Y, \omega_X)\) d’après Dualité pour les schémas, lemme 0A77.

Lemme

Soit \(X\) un schéma propre sur un corps \(k\), de Gorenstein, réduit et équidimensionnel de dimension \(1\). Soit \(i : Y \to X\) une immersion fermée dont la source est réduite et équidimensionnelle de dimension \(1\). Soit \(j : Z \to X\) l’adhérence schématique de \(X \setminus Y\). Alors

\(Y\) et \(Z\) sont de Cohen-Macaulay;

si \(\mathcal{I} \subset \mathcal{O}_X\) et \(\mathcal{J} \subset \mathcal{O}_X\) désignent respectivement les faisceaux d’idéaux de \(Y\) et de \(Z\) dans \(X\), alors \[\mathcal{I} = i_*\mathcal{I}' \quad\text{et}\quad \mathcal{J} = j_*\mathcal{J}'\], où \(\mathcal{I}' \subset \mathcal{O}_Z\) et \(\mathcal{J}' \subset \mathcal{O}_Y\) désignent respectivement les faisceaux d’idéaux de \(Y \cap Z\) dans \(Z\) et dans \(Y\);

\(\omega_Y = \mathcal{J}'(i^*\omega_X)\) et \(i_*(\omega_Y) = \mathcal{J}\omega_X\);

\(\omega_Z = \mathcal{I}'(i^*\omega_X)\) et \(i_*(\omega_Z) = \mathcal{I}\omega_X\);

on a les suites exactes courtes suivantes : \[\begin{align*} 0 \to \omega_X \to i_*i^*\omega_X \oplus j_*j^*\omega_X \to \mathcal{O}_{Y \cap Z} \to 0 \\ 0 \to i_*\omega_Y \to \omega_X \to j_*j^*\omega_X \to 0 \\ 0 \to j_*\omega_Z \to \omega_X \to i_*i^*\omega_X \to 0 \\ 0 \to i_*\omega_Y \oplus j_*\omega_Z \to \omega_X \to \mathcal{O}_{Y \cap Z} \to 0 \\ 0 \to \omega_Y \to i^*\omega_X \to \mathcal{O}_{Y \cap Z} \to 0 \\ 0 \to \omega_Z \to j^*\omega_X \to \mathcal{O}_{Y \cap Z} \to 0 \end{align*}\]

Ici \(\omega_X\), \(\omega_Y\), \(\omega_Z\) sont ceux du lemme 0BS2.

Démonstration

Un schéma noethérien réduit de dimension \(1\) est de Cohen-Macaulay; (1) est donc vrai. Puisque \(X\) est réduit, on a \(X = Y \cup Z\) au sens schématique. Avec les notations de Morphismes, lemme 0C4J, et d’après son énoncé, on a une suite exacte courte \[0 \to \mathcal{O}_X \to \mathcal{O}_Y \oplus \mathcal{O}_Z \to \mathcal{O}_{Y \cap Z} \to 0\] Puisque \(\mathcal{J} = \Ker(\mathcal{O}_X \to \mathcal{O}_Z)\), \(\mathcal{J}' = \Ker(\mathcal{O}_Y \to \mathcal{O}_{Y \cap Z})\), \(\mathcal{I} = \Ker(\mathcal{O}_X \to \mathcal{O}_Y)\) et \(\mathcal{I}' = \Ker(\mathcal{O}_Z \to \mathcal{O}_{Y \cap Z})\), une chasse au diagramme donne (2). Remarquons que \(\mathcal{I} + \mathcal{J}\) est le faisceau d’idéaux de \(Y \cap Z\) et que \(\mathcal{I} \cap \mathcal{J} = 0\). On dispose donc des suites exactes suivantes : \[\begin{align*} 0 \to \mathcal{O}_X \to \mathcal{O}_Y \oplus \mathcal{O}_Z \to \mathcal{O}_{Y \cap Z} \to 0 \\ 0 \to \mathcal{J} \to \mathcal{O}_X \to \mathcal{O}_Z \to 0 \\ 0 \to \mathcal{I} \to \mathcal{O}_X \to \mathcal{O}_Y \to 0 \\ 0 \to \mathcal{J} \oplus \mathcal{I} \to \mathcal{O}_X \to \mathcal{O}_{Y \cap Z} \to 0 \\ 0 \to \mathcal{J}' \to \mathcal{O}_Y \to \mathcal{O}_{Y \cap Z} \to 0 \\ 0 \to \mathcal{I}' \to \mathcal{O}_Z \to \mathcal{O}_{Y \cap Z} \to 0 \end{align*}\] Puisque \(X\) est de Gorenstein, \(\omega_X\) est un \(\mathcal{O}_X\)-module inversible (Dualité pour les schémas, lemme 0BFQ). Puisque \(Y \cap Z\) est de dimension \(0\), on a \(\omega_X|_{Y \cap Z} \cong \mathcal{O}_{Y \cap Z}\). Une fois (3) et (4) démontrés, on obtient donc les suites exactes courtes du lemme en tensorisant la suite exacte courte ci-dessus par le module inversible \(\omega_X\). Par symétrie, il suffit de démontrer (3), et, d’après (2), il suffit de montrer que \(i_*(\omega_Y) = \mathcal{J}\omega_X\).

On a \(i_*\omega_Y = \SheafHom_{\mathcal{O}_X}(i_*\mathcal{O}_Y, \omega_X)\) d’après le lemme 0E33. En utilisant de nouveau l’inversibilité de \(\omega_X\), on se ramène finalement à montrer que \(\SheafHom_{\mathcal{O}_X}(\mathcal{O}_X/\mathcal{I}, \mathcal{O}_X)\) s’envoie isomorphiquement sur \(\mathcal{J}\) par évaluation en \(1\). Autrement dit, \(\mathcal{J}\) doit être l’annulateur de \(\mathcal{I}\). Cela résulte de ce qui précède.

Riemann-Roch

Soit \(k\) un corps. Soit \(X\) un schéma propre de dimension \(\leq 1\) sur \(k\). Dans Variétés, section 0AYQ, nous avons défini le degré d’un \(\mathcal{O}_X\)-module localement libre \(\mathcal{E}\) de rang constant par la formule [0BRX]\[\begin{equation} \deg(\mathcal{E}) = \chi(X, \mathcal{E}) - \text{rank}(\mathcal{E})\chi(X, \mathcal{O}_X) \end{equation}\]; voir Variétés, définition 0AYR. Dans le chapitre Homologie de Chow, nous avons défini la première classe de Chern de \(\mathcal{E}\) comme une opération sur les cycles (Homologie de Chow, section 02U4) et démontré que [0BRY]\[\begin{equation} \deg(\mathcal{E}) = \deg(c_1(\mathcal{E}) \cap [X]_1) \end{equation}\]; voir Homologie de Chow, lemme 0AZ3. En combinant (0BRX) et (0BRY), on obtient une première version de la formule de Riemann-Roch : [0BRZ]\[\begin{equation} \chi(X, \mathcal{E}) = \deg(c_1(\mathcal{E}) \cap [X]_1) + \text{rank}(\mathcal{E})\chi(X, \mathcal{O}_X) \end{equation}\] Si \(\mathcal{L}\) est un \(\mathcal{O}_X\)-module inversible, on peut également considérer le nombre d’intersection \((\mathcal{L} \cdot X)\) défini dans Variétés, définition 0BEP. Cela n’apporte cependant rien de nouveau, puisque [0BS0]\[\begin{equation} (\mathcal{L} \cdot X) = \deg(\mathcal{L}) \end{equation}\] d’après Variétés, lemme 0BEY. Si \(\mathcal{L}\) est ample, cet entier est positif et s’appelle le degré [0BS1]\[\begin{equation} \deg_\mathcal{L}(X) = (\mathcal{L} \cdot X) = \deg(\mathcal{L}) \end{equation}\] de \(X\) relativement à \(\mathcal{L}\); voir Variétés, définition 0BEW.

Pour obtenir un véritable théorème de Riemann-Roch, nous voudrions écrire \(\chi(X, \mathcal{O}_X)\) comme le degré d’un zéro-cycle canonique sur \(X\). Nous renvoyons à [F] pour une version entièrement générale. Nous utiliserons la dualité pour obtenir une formule lorsque \(X\) est de Gorenstein; c’est toutefois, en un sens, un artifice (notamment parce que cette méthode ne peut pas fonctionner en dimension supérieure).

Utilisons d’abord les lemmes 0BS2 et 0BS3 pour relier la caractéristique d’Euler de \(\mathcal{O}_X\) à celle du complexe dualisant ou du module dualisant.

Lemme

Soit \(X\) un schéma propre de dimension \(\leq 1\) sur un corps \(k\). Avec \(\omega_X^\bullet\) et \(\omega_X\) comme dans le lemme 0BS2, on a \[\chi(X, \mathcal{O}_X) = \chi(X, \omega_X^\bullet)\] Si \(X\) est de Cohen-Macaulay et équidimensionnel de dimension \(1\), alors \[\chi(X, \mathcal{O}_X) = - \chi(X, \omega_X)\]

Démonstration

Le membre de droite de la première formule est défini comme suit : \[\chi(X, \omega_X^\bullet) = \sum\nolimits_{i \in \mathbf{Z}} (-1)^i\dim_k H^i(X, \omega_X^\bullet)\] Cette expression est bien définie puisque \(\omega_X^\bullet\) appartient à \(D^b_{\textit{Coh}}(\mathcal{O}_X)\), mais aussi parce que \[H^i(X, \omega_X^\bullet) = \Ext^i(\mathcal{O}_X, \omega_X^\bullet) = H^{-i}(X, \mathcal{O}_X)\], qui est toujours de dimension finie et n’est non nul que si \(i = 0, -1\). Cela démontre aussi, bien entendu, la première formule. La seconde en résulte, puisque \(\omega_X^\bullet = \omega_X[1]\) dans le cas de Cohen-Macaulay; voir le lemme 0BS3.

Nous utiliserons le lemme 0BS5 pour obtenir la formule voulue pour \(\chi(X, \mathcal{O}_X)\) lorsque \(\omega_X\) est inversible, c’est-à-dire lorsque \(X\) est de Gorenstein. L’énoncé affirme que le produit de \(-1/2\) de la première classe de Chern de \(\omega_X\) avec le cycle \([X]_1\) associé à \(X\) est un zéro-cycle naturel sur \(X\) à coefficients demi-entiers, de degré \(\chi(X, \mathcal{O}_X)\). L’apparition de fractions dans l’énoncé de Riemann-Roch est inévitable.

Lemme

Soit \(X\) un schéma propre sur un corps \(k\), de Gorenstein et équidimensionnel de dimension \(1\). Soit \(\omega_X\) comme dans le lemme 0BS2. Alors

\(\omega_X\) est un \(\mathcal{O}_X\)-module inversible;

\(\deg(\omega_X) = -2\chi(X, \mathcal{O}_X)\);

pour un \(\mathcal{O}_X\)-module localement libre \(\mathcal{E}\) de rang constant, on a \[\chi(X, \mathcal{E}) = \deg(\mathcal{E}) - \textstyle{\frac{1}{2}} \text{rank}(\mathcal{E}) \deg(\omega_X)\] et \(\dim_k(H^i(X, \mathcal{E})) = \dim_k(H^{1 - i}(X, \mathcal{E}^\vee \otimes_{\mathcal{O}_X} \omega_X))\) pour tout \(i \in \mathbf{Z}\).

Les courbes non singulières (normales) sont de Gorenstein; voir Dualité pour les schémas, lemme 0DWG.

Démonstration

Rappelons que les schémas de Gorenstein sont de Cohen-Macaulay (Dualité pour les schémas, lemme 0C00); ainsi \(\omega_X\) est un module dualisant sur \(X\), d’après le lemme 0BS3. L’inversibilité du faisceau dualisant résulte essentiellement de la définition de la propriété de Gorenstein; voir Dualité pour les schémas, section 0AWV. En appliquant (0BRZ) à \(\omega_X\), on obtient \[\chi(X, \omega_X) = \deg(c_1(\omega_X) \cap [X]_1) + \chi(X, \mathcal{O}_X)\] Avec le lemme 0BS5, cela donne \[2\chi(X, \mathcal{O}_X) = - \deg(c_1(\omega_X) \cap [X]_1) = - \deg(\omega_X)\], la seconde égalité résultant de (0BRY). En reportant cette expression dans (0BRZ) pour \(\mathcal{E}\), on obtient la formule affichée du lemme. La symétrie des dimensions est une conséquence de la dualité pour \(X\); voir la remarque 0BS4.

Quelques résultats d’annulation

Cette section rassemble quelques résultats d’annulation très faibles. On trouvera dans la section 0E39 d’autres résultats, plus intéressants.

Lemme

Soit \(k\) un corps. Soit \(X\) un schéma propre sur \(k\) de dimension \(1\) tel que \(H^0(X, \mathcal{O}_X) = k\). Alors \(X\) est connexe, de Cohen-Macaulay et équidimensionnel de dimension \(1\).

Démonstration

Puisque \(\Gamma(X, \mathcal{O}_X) = k\) n’a pas d’idempotent non trivial, \(X\) est connexe. Cela montre déjà que \(X\) est équidimensionnel de dimension \(1\) (toute composante irréductible de dimension \(0\) serait une composante connexe). Soit \(\mathcal{I} \subset \mathcal{O}_X\) le plus grand sous-module cohérent à support dans les points fermés. Alors \(\mathcal{I}\) existe (Diviseurs, lemme 02OL) et est engendré par ses sections globales (Variétés, lemme 0AYT). Puisque \(1 \in \Gamma(X, \mathcal{O}_X)\) n’est pas une section de \(\mathcal{I}\), on en conclut que \(\mathcal{I} = 0\). Ainsi \(X\) n’a pas de point immergé (Diviseurs, lemme 02OL). Par conséquent, \(X\) vérifie \((S_1)\) d’après Diviseurs, lemme 0346. Il s’ensuit que \(X\) est de Cohen-Macaulay.

Dans cette section, nous nous plaçons dans la situation suivante.

Situation

Ici \(k\) est un corps et \(X\) un schéma propre sur \(k\) de dimension \(1\) tel que \(H^0(X, \mathcal{O}_X) = k\).

D’après le lemme 0BY5, le schéma \(X\) est de Cohen-Macaulay et équidimensionnel de dimension \(1\). Le module dualisant \(\omega_X\) étudié dans les lemmes 0BS2 et 0BS3 a une cohomologie \(H^1\) non nulle, puisqu’on a en fait \(\dim_k H^1(X, \omega_X) = \dim_k H^0(X, \mathcal{O}_X) = 1\). Il se trouve que tout objet légèrement plus « positif » que \(\omega_X\) a une cohomologie \(H^1\) nulle.

Lemme

Dans la situation 0B5D, soit une suite exacte \[\omega_X \to \mathcal{F} \to \mathcal{Q} \to 0\] de \(\mathcal{O}_X\)-modules cohérents telle que \(H^1(X, \mathcal{Q}) = 0\) (par exemple si \(\dim(\text{Supp}(\mathcal{Q})) = 0\)). Alors on a soit \(H^1(X, \mathcal{F}) = 0\), soit \(\mathcal{F} = \omega_X \oplus \mathcal{Q}\).

Démonstration

(L’assertion entre parenthèses résulte de Cohomologie des schémas, lemme 0B3J.) Puisque \(H^0(X, \mathcal{O}_X) = k\) est le dual de \(H^1(X, \omega_X)\) (voir la section 0B5B), on a \(\dim H^1(X, \omega_X) = 1\). Le faisceau \(\omega_X\) représente le foncteur \(\mathcal{F} \mapsto \Hom_k(H^1(X, \mathcal{F}), k)\) sur la catégorie des \(\mathcal{O}_X\)-modules cohérents (Dualité pour les schémas, lemme 0AWP). Considérons une suite exacte comme dans l’énoncé et supposons que \(H^1(X, \mathcal{F}) \not = 0\). Puisque \(H^1(X, \mathcal{Q}) = 0\), l’application \(H^1(X, \omega_X) \to H^1(X, \mathcal{F})\) est un isomorphisme. Par la propriété universelle de \(\omega_X\) rappelée ci-dessus, il existe une application \(\mathcal{F} \to \omega_X\) dont l’action sur \(H^1\) est l’inverse de cet isomorphisme. La composée \(\omega_X \to \mathcal{F} \to \omega_X\) est l’identité (par la propriété universelle), ce qui démontre le lemme.

Lemme

Dans la situation 0B5D, soit \(\mathcal{L}\) un \(\mathcal{O}_X\)-module inversible engendré par ses sections globales et non isomorphe à \(\mathcal{O}_X\). Alors \(H^1(X, \omega_X \otimes \mathcal{L}) = 0\).

Démonstration

Par la dualité étudiée dans la section 0B5B, il faut montrer que \(H^0(X, \mathcal{L}^{\otimes - 1}) = 0\). Sinon, on peut choisir une section globale \(t\) de \(\mathcal{L}^{\otimes - 1}\) et une section globale \(s\) de \(\mathcal{L}\) telles que \(st \not = 0\). Mais alors \(st\) est un multiple constant de \(1\), puisque nous avons supposé que \(H^0(X, \mathcal{O}_X) = k\). Il s’ensuit que \(\mathcal{L} \cong \mathcal{O}_X\), d’où une contradiction.

Lemme

Dans la situation 0B5D, soit une suite exacte \[\omega_X \to \mathcal{F} \to \mathcal{Q} \to 0\] de \(\mathcal{O}_X\)-modules cohérents telle que \(\dim(\text{Supp}(\mathcal{Q})) = 0\) et \(\dim_k H^0(X, \mathcal{Q}) \geq 2\), et telle qu’il n’existe aucun sous-module non nul \(\mathcal{Q}' \subset \mathcal{F}\) pour lequel \(\mathcal{Q}' \to \mathcal{Q}\) soit injective. Alors le sous-module de \(\mathcal{F}\) engendré par les sections globales s’envoie surjectivement sur \(\mathcal{Q}\).

Démonstration

Soit \(\mathcal{F}' \subset \mathcal{F}\) le sous-module engendré par les sections globales et par l’image de \(\omega_X \to \mathcal{F}\). Puisque \(\dim_k H^0(X, \mathcal{Q}) \geq 2\) et \(\dim_k H^1(X, \omega_X) = \dim_k H^0(X, \mathcal{O}_X) = 1\), on voit que \(\mathcal{F}' \to \mathcal{Q}\) n’est pas nul et que \(\omega_X \to \mathcal{F}'\) n’est pas un isomorphisme. Ainsi \(H^1(X, \mathcal{F}') = 0\) d’après le lemme 0B5E et l’hypothèse portant sur \(\mathcal{F}\). Considérons la suite exacte courte \[0 \to \mathcal{F}' \to \mathcal{F} \to \mathcal{Q}/\Im(\mathcal{F}' \to \mathcal{Q}) \to 0\] Si le quotient de droite était non nul, on obtiendrait une contradiction, car la dimension de \(H^0(X, \mathcal{F})\) serait alors strictement supérieure à celle de \(H^0(X, \mathcal{F}')\).

Voici un exemple de résultat d’engendrement par les sections globales.

Lemme

Dans la situation 0B5D, supposons \(X\) intègre. Soit \(0 \to \omega_X \to \mathcal{F} \to \mathcal{Q} \to 0\) une suite exacte courte de \(\mathcal{O}_X\)-modules cohérents telle que \(\mathcal{F}\) soit sans torsion, \(\dim(\text{Supp}(\mathcal{Q})) = 0\) et \(\dim_k H^0(X, \mathcal{Q}) \geq 2\). Alors \(\mathcal{F}\) est engendré par ses sections globales.

Démonstration

Considérons le sous-module \(\mathcal{F}'\) engendré par les sections globales. D’après le lemme 0B5F, l’application \(\mathcal{F}' \to \mathcal{Q}\) est surjective; en particulier, \(\mathcal{F}' \not = 0\). Puisque \(X\) est une courbe, \(\mathcal{F}' \subset \mathcal{F}\) est une inclusion de faisceaux de rang \(1\); ainsi \(\mathcal{Q}' = \mathcal{F}/\mathcal{F}'\) est à support dans un nombre fini de points. Raisonnons par l’absurde en supposant \(\mathcal{Q}'\) non nul. On a alors \(H^1(X, \mathcal{F}') \not = 0\). La propriété universelle donne donc une application non nulle \(\mathcal{F}' \to \omega_X\) (Dualité pour les schémas, lemme 0AWP). L’image de la composée \(\mathcal{F}' \to \omega_X \to \mathcal{F}\) est engendrée par des sections globales, donc contenue dans \(\mathcal{F}'\). On obtient ainsi un endomorphisme non nul \(\mathcal{F}' \to \mathcal{F}'\). Puisque \(\mathcal{F}'\) est sans torsion de rang \(1\) sur une courbe propre, cet endomorphisme est nécessairement un automorphisme (nous omettons les détails). Mais cela entraîne que \(\mathcal{F}'\) est contenu dans \(\omega_X \subset \mathcal{F}\), contrairement à la surjectivité de \(\mathcal{F}' \to \mathcal{Q}\).

Lemme

Dans la situation 0B5D, soit \(\mathcal{L}\) un \(\mathcal{O}_X\)-module inversible très ample tel que \(\deg(\mathcal{L}) \geq 2\). Alors \(\omega_X \otimes_{\mathcal{O}_X} \mathcal{L}\) est engendré par ses sections globales.

Démonstration

Supposons \(k\) algébriquement clos. Soit \(x \in X\) un point fermé. Soient \(C_i \subset X\) les composantes irréductibles et, pour chaque \(i\), soit \(x_i \in C_i\) le point générique. D’après Variétés, lemme 0B58, on peut choisir une section \(s \in H^0(X, \mathcal{L})\) telle que \(s\) s’annule en \(x\) mais pas en \(x_i\), pour tout \(i\). L’application de modules correspondante \(s : \mathcal{O}_X \to \mathcal{L}\) est injective, de conoyau \(\mathcal{Q}\) à support dans un nombre fini de points et tel que \(H^0(X, \mathcal{Q}) \geq 2\). Considérons la suite exacte correspondante \[0 \to \omega_X \to \omega_X \otimes \mathcal{L} \to \omega_X \otimes \mathcal{Q} \to 0\] D’après le lemme 0B5F, le module engendré par les sections globales s’envoie surjectivement sur \(\omega_X \otimes \mathcal{Q}\). Puisque \(x\) était arbitraire, cela démontre le lemme. Nous omettons quelques détails.

Ramenons le cas où \(k\) n’est pas algébriquement clos au cas algébriquement clos. Le lecteur peut omettre la suite de la démonstration. Choisissons une clôture algébrique \(\overline{k}\) de \(k\) et considérons le changement de base \(X_{\overline{k}}\). Vérifions que \(X_{\overline{k}} \to \Spec(\overline{k})\) relève de la situation 0B5D. Par changement de base plat (Cohomologie des schémas, lemme 02KH), on a \(H^0(X_{\overline{k}}, \mathcal{O}) = \overline{k}\). Le schéma \(X_{\overline{k}}\) est propre sur \(\overline{k}\) (Morphismes, lemme 01W4) et équidimensionnel de dimension \(1\) (Morphismes, lemme 02FY). L’image réciproque de \(\omega_X\) sur \(X_{\overline{k}}\) est le module dualisant de \(X_{\overline{k}}\) d’après le lemme 0E32. L’image réciproque de \(\mathcal{L}\) sur \(X_{\overline{k}}\) est très ample (Morphismes, lemme 0B3F). Le degré de l’image réciproque de \(\mathcal{L}\) sur \(X_{\overline{k}}\) est égal au degré de \(\mathcal{L}\) sur \(X\) (Variétés, lemme 0B59). Enfin, \(\omega_X \otimes \mathcal{L}\) est engendré par ses sections globales si et seulement si son image par changement de base l’est (Variétés, lemme 0B57). Le résultat découle donc du cas où le corps de base est algébriquement clos.

Faisceaux inversibles très amples

Un critère usuel pour qu’un module inversible \(\mathcal{L}\) sur un schéma \(X\) de type fini sur un corps algébriquement clos soit très ample est que les sections de \(\mathcal{L}\) séparent les points et les vecteurs tangents (Variétés, section 0E8R). Voici un autre critère pour les courbes; on le comparera à Variétés, sous-section 08A2.

Lemme

Soit \(k\) un corps. Soit \(X\) un schéma propre sur \(k\) de dimension \(1\) tel que \(H^0(X, \mathcal{O}_X) = k\). Soit \(\mathcal{L}\) un \(\mathcal{O}_X\)-module inversible. Supposons que

\(\mathcal{L}\) possède une section globale régulière,

\(H^1(X, \mathcal{L}) = 0\), et

\(\mathcal{L}\) soit ample.

Alors \(\mathcal{L}^{\otimes 6}\) est très ample sur \(X\) relativement à \(k\).

Démonstration

Soit \(s\) une section globale régulière de \(\mathcal{L}\). Soit \(i : Z = Z(s) \to X\) le schéma des zéros de \(s\); voir Diviseurs, section 0C4S. La condition (3) entraîne \(Z \not = \emptyset\) (nous omettons un petit détail). Considérons la suite exacte courte \[0 \to \mathcal{O}_X \xrightarrow{s} \mathcal{L} \to i_*(\mathcal{L}|_Z) \to 0\] En tensorisant par \(\mathcal{L}\), on obtient \[0 \to \mathcal{L} \to \mathcal{L}^{\otimes 2} \to i_*(\mathcal{L}^{\otimes 2}|_Z) \to 0\] Remarquons que \(Z\) est de dimension \(0\) (Diviseurs, lemme 056N), donc est le spectre d’un anneau artinien (Variétés, lemme 06LH); ainsi \(\mathcal{L}|_Z \cong \mathcal{O}_Z\) (Algèbre, lemme 02M9). La suite exacte courte montre aussi que \(H^1(X, \mathcal{L}^{\otimes 2}) = 0\) (on peut par exemple utiliser Variétés, lemme 0AYT pour obtenir l’annulation du terme de droite). Par récurrence sur \(n \geq 1\), à l’aide de la suite \[0 \to \mathcal{L}^{\otimes n} \xrightarrow{s} \mathcal{L}^{\otimes n + 1} \to i_*(\mathcal{L}^{\otimes n + 1}|_Z) \to 0\], on voit que \(H^1(X, \mathcal{L}^{\otimes n}) = 0\) pour \(n > 0\) et qu’il existe une section globale \(t_{n + 1}\) de \(\mathcal{L}^{\otimes n + 1}\) qui fournit une trivialisation de \(\mathcal{L}^{\otimes n + 1}|_Z \cong \mathcal{O}_Z\).

Considérons l’application de multiplication \[\mu_n : H^0(X, \mathcal{L}) \otimes_k H^0(X, \mathcal{L}^{\otimes n}) \oplus H^0(X, \mathcal{L}^{\otimes 2}) \otimes_k H^0(X, \mathcal{L}^{\otimes n - 1}) \longrightarrow H^0(X, \mathcal{L}^{\otimes n + 1})\] Nous affirmons qu’elle est surjective pour \(n \geq 3\). Pour le voir, considérons la suite exacte courte \[0 \to \mathcal{L}^{\otimes n} \xrightarrow{s} \mathcal{L}^{\otimes n + 1} \to i_*(\mathcal{L}^{\otimes n + 1}|_Z) \to 0\] Les sections de \(\mathcal{L}^{\otimes n + 1}\) provenant du terme de gauche sont dans l’image de \(\mu_n\). D’autre part, puisque \(H^0(\mathcal{L}^{\otimes 2}) \to H^0(\mathcal{L}^{\otimes 2}|_Z)\) est surjective (voir ci-dessus) et que \(t_{n - 1}\) a pour image une trivialisation de \(\mathcal{L}^{\otimes n - 1}|_Z\), \(\mu_n(H^0(X, \mathcal{L}^{\otimes 2}) \otimes t_{n - 1})\) fournit un sous-espace de \(H^0(X, \mathcal{L}^{\otimes n + 1})\) qui se projette surjectivement sur les sections globales de \(\mathcal{L}^{\otimes n + 1}|_Z\). Cela démontre l’assertion.

L’assertion du paragraphe précédent montre que la \(k\)-algèbre graduée \[S = \bigoplus\nolimits_{n \geq 0} H^0(X, \mathcal{L}^{\otimes n})\] est engendrée en degrés \(0, 1, 2, 3\) sur \(k\). Rappelons que \(X = \text{Proj}(S)\); voir Morphismes, lemme 0C6J. Ainsi \(S^{(6)} = \bigoplus_{n} S_{6n}\) est engendrée en degré \(1\). Cela signifie que \(\mathcal{L}^{\otimes 6}\) est très ample, comme voulu.

Lemme

Soit \(k\) un corps. Soit \(X\) un schéma propre sur \(k\) de dimension \(1\) tel que \(H^0(X, \mathcal{O}_X) = k\). Soit \(\mathcal{L}\) un \(\mathcal{O}_X\)-module inversible. Supposons que

\(\mathcal{L}\) soit engendré par ses sections globales,

\(H^1(X, \mathcal{L}) = 0\), et

\(\mathcal{L}\) soit ample.

Alors \(\mathcal{L}^{\otimes 2}\) est très ample sur \(X\) relativement à \(k\).

Démonstration

Choisissons une base \(s_0, \ldots, s_n\) de \(H^0(X, \mathcal{L}^{\otimes 2})\) sur \(k\). La propriété (1) montre que \(\mathcal{L}^{\otimes 2}\) est engendré par ses sections globales et donne un morphisme \[\varphi_{\mathcal{L}^{\otimes 2}, (s_0, \ldots, s_n)} : X \longrightarrow \mathbf{P}^n_k\] Voir Constructions, section 01ND. Le lemme affirme que ce morphisme est une immersion fermée. Pour le vérifier, on peut remplacer \(k\) par sa clôture algébrique; voir Descente, lemme 02L6. On peut donc supposer \(k\) algébriquement clos.

Supposons \(k\) algébriquement clos. Pour chaque point générique \(\eta_i \in X\), soit \(V_i \subset H^0(X, \mathcal{L})\) le sous-espace vectoriel sur \(k\) des sections s’annulant en \(\eta_i\). Puisque \(\mathcal{L}\) est engendré par ses sections globales, on a \(V_i \not = H^0(X, \mathcal{L})\). Puisque \(X\) n’a qu’un nombre fini de composantes irréductibles et que \(k\) est infini, on peut trouver \(s \in H^0(X, \mathcal{L})\) ne s’annulant en \(\eta_i\) pour aucun \(i\). Alors \(s\) est une section régulière de \(\mathcal{L}\) (car \(X\) est de Cohen-Macaulay d’après le lemme 0BY5, et \(\mathcal{L}\) n’a donc pas de point associé immergé).

En particulier, toutes les assertions de la démonstration du lemme 0E8V sont valables pour cette section \(s\). De plus, puisque \(\mathcal{L}\) est engendré par ses sections globales, on peut trouver une section globale \(t \in H^0(X, \mathcal{L})\) telle que \(t|_Z\) ne s’annule pas (on raisonne comme ci-dessus en utilisant la finitude de l’ensemble des points de \(Z\)). Dans la démonstration du lemme 0E8V, on peut alors utiliser \(t\) pour voir que l’application de multiplication \[\mu_n : H^0(X, \mathcal{L}) \otimes_k H^0(X, \mathcal{L}^{\otimes 2}) \longrightarrow H^0(X, \mathcal{L}^{\otimes 3})\] est elle aussi surjective. Ainsi \[S = \bigoplus\nolimits_{n \geq 0} H^0(X, \mathcal{L}^{\otimes n})\] est engendrée en degrés \(0, 1, 2\) sur \(k\). En raisonnant comme dans la démonstration du lemme 0E8V, on voit que \(S^{(2)} = \bigoplus_{n} S_{2n}\) est engendrée en degré \(1\). Cela signifie que \(\mathcal{L}^{\otimes 2}\) est très ample, comme voulu. Nous omettons quelques détails.

Genre d’une courbe

Si \(X\) est une courbe projective lisse géométriquement irréductible sur un corps \(k\), nous avons déjà défini le genre de \(X\) comme la dimension de \(H^1(X, \mathcal{O}_X)\); voir Schémas de Picard des courbes, définition 0B9W. Remarquons que \(H^0(X, \mathcal{O}_X) = k\) dans ce cas; voir Variétés, lemme 04L2. Généralisons cette définition comme suit.

Définition

Soit \(k\) un corps. Soit \(X\) un schéma propre sur \(k\) de dimension \(1\) tel que \(H^0(X, \mathcal{O}_X) = k\). Le genre de \(X\) est alors \(g = \dim_k H^1(X, \mathcal{O}_X)\).

On l’appelle parfois le genre arithmétique de \(X\). Dans la littérature, le genre arithmétique d’une courbe propre \(X\) sur \(k\) est parfois défini par \[p_a(X) = 1 - \chi(X, \mathcal{O}_X) = 1 - \dim_k H^0(X, \mathcal{O}_X) + \dim_k H^1(X, \mathcal{O}_X)\] Cette définition coïncide avec la nôtre lorsque celle-ci s’applique, puisque nous supposons \(H^0(X, \mathcal{O}_X) = k\). Il faut toutefois noter que

\(p_a(X)\) peut être négatif, et
\(p_a(X)\) dépend du corps de base \(k\) et devrait être noté \(p_a(X/k)\).

Par exemple, si \(k = \mathbf{Q}\) et \(X = \mathbf{P}^1_{\mathbf{Q}(i)}\), alors \(p_a(X/\mathbf{Q}) = -1\) et \(p_a(X/\mathbf{Q}(i)) = 0\).

L’hypothèse \(H^0(X, \mathcal{O}_X) = k\) dans notre définition a deux conséquences. D’une part, elle écarte toute ambiguïté sur le corps de base. D’autre part, elle entraîne que le schéma \(X\) est de Cohen-Macaulay et équidimensionnel de dimension \(1\) (lemme 0BY5). Si \(\omega_X\) désigne le module dualisant comme dans les lemmes 0BS2 et 0BS3, on a [0BY8]\[\begin{equation} g = \dim_k H^1(X, \mathcal{O}_X) = \dim_k H^0(X, \omega_X) \end{equation}\] par dualité; voir la remarque 0BS4.

Si \(X\) est propre sur \(k\) de dimension \(\leq 1\) et si \(H^0(X, \mathcal{O}_X)\) n’est pas égal au corps de base \(k\), au lieu du genre arithmétique \(p_a(X)\) donné par la formule ci-dessus, nous utiliserons l’invariant \(\chi(X, \mathcal{O}_X)\). En fait, il est préconisé dans [FAC, page 276] et [Hirzebruch, Introduction] d’appeler \(\chi(X, \mathcal{O}_X)\) le genre arithmétique.

Lemme

Soit \(k'/k\) une extension de corps. Soit \(X\) un schéma propre sur \(k\) de dimension \(1\) tel que \(H^0(X, \mathcal{O}_X) = k\). Alors \(X_{k'}\) est un schéma propre sur \(k'\) de dimension \(1\) tel que \(H^0(X_{k'}, \mathcal{O}_{X_{k'}}) = k'\). De plus, le genre de \(X_{k'}\) est égal au genre de \(X\).

Démonstration

Le schéma \(X_{k'}\) est de dimension \(1\), par exemple d’après Morphismes, lemme 02FY. Le morphisme \(X_{k'} \to \Spec(k')\) est propre d’après Morphismes, lemme 01W4. L’égalité \(H^0(X_{k'}, \mathcal{O}_{X_{k'}}) = k'\) résulte de Cohomologie des schémas, lemme 02KH. L’égalité des genres résulte du même lemme.

Lemme

Soit \(k\) un corps. Soit \(X\) un schéma propre sur \(k\) de dimension \(1\) tel que \(H^0(X, \mathcal{O}_X) = k\). Si \(X\) est de Gorenstein, alors \[\deg(\omega_X) = 2g - 2\], où \(g\) est le genre de \(X\) et \(\omega_X\) est celui du lemme 0BS2.

Démonstration

Cela résulte immédiatement du lemme 0BS6.

Lemme

Soit \(X\) une courbe propre lisse sur un corps \(k\) telle que \(H^0(X, \mathcal{O}_X) = k\). Alors \[\dim_k H^0(X, \Omega_{X/k}) = g \quad\text{et}\quad \deg(\Omega_{X/k}) = 2g - 2\], où \(g\) est le genre de \(X\).

Démonstration

D’après le lemme 0BS2, on a \(\Omega_{X/k} = \omega_X\). Les formules résultent donc de (0BY8) et du lemme 0C19.

Courbes planes

Soit \(k\) un corps. Une courbe plane sera une courbe \(X\) isomorphe à un sous-schéma fermé de \(\mathbf{P}^2_k\). Le plongement \(X \to \mathbf{P}^2_k\) sera souvent considéré comme donné. D’après Diviseurs, exemple 0BXK, une courbe est déterminée par l’idéal homogène correspondant \[I(X) = \Ker\left( k[T_0, T_2, T_2] \longrightarrow \bigoplus \Gamma(X, \mathcal{O}_X(n)) \right)\] Rappelons que, dans cette situation, on a \[X = \text{Proj}(k[T_0, T_2, T_2]/I)\] en tant que sous-schémas fermés de \(\mathbf{P}^2_k\). Pour des renseignements plus généraux sur ces constructions, nous renvoyons à Diviseurs, exemple 0BXK et aux références qui y figurent. On a en fait \(I(X) = (F)\) pour un polynôme homogène \(F \in k[T_0, T_1, T_2]\); voir le lemme 0BYB. Puisque \(X\) est irréductible, \(F\) est irréductible; voir le lemme 0BYC. De plus, en considérant la suite exacte courte \[0 \to \mathcal{O}_{\mathbf{P}^2_k}(-d) \xrightarrow{F} \mathcal{O}_{\mathbf{P}^2_k} \to \mathcal{O}_X \to 0\], où \(d = \deg(F)\), on trouve que \(H^0(X, \mathcal{O}_X) = k\) et que \(X\) est de genre \((d - 1)(d - 2)/2\); voir la démonstration du lemme 0BYD.

Pour trouver des courbes planes lisses, le plus simple est d’en écrire des équations explicites. Notons \(p\) la caractéristique de \(k\). Si \(p\) ne divise pas \(d\), on peut prendre \[F = T_0^d + T_1^d + T_2^d\] La courbe correspondante \(X = V_+(F)\) s’appelle la courbe de Fermat de degré \(d\). Elle est lisse, car, sur chaque ouvert affine standard \(D_+(T_i)\), on obtient une courbe isomorphe à la courbe affine \[\Spec(k[x, y]/(x^d + y^d + 1))\] L’homomorphisme d’anneaux \(k \to k[x, y]/(x^d + y^d + 1)\) est lisse d’après Algèbre, lemme 00TE, puisque \(d x^{d - 1}\) et \(d y^{d - 1}\) engendrent l’idéal unité de \(k[x, y]/(x^d + y^d + 1)\). Si \(p | d\) mais \(p \not = 3\), on peut utiliser l’équation \[F = T_0^{d - 1}T_1 + T_1^{d - 1}T_2 + T_2^{d - 1}T_0\] En effet, sur les ouverts affines, on obtient \(x + x^{d - 1}y + y^{d - 1}\), dont les dérivées sont \(1 - x^{d - 2}y\) et \(x^{d - 1} - y^{d - 2}\); le lieu des zéros communs de ces trois expressions est vide⁴. Nous laissons au lecteur le soin de construire des exemples en caractéristique \(3\).

Plus généralement, pour tout corps \(k\) et tous \(n\) et \(d\), il existe une hypersurface lisse de degré \(d\) dans \(\mathbf{P}^n_k\); voir par exemple [Poonen].

Bien entendu, cette méthode ne fournit que des courbes lisses dont le genre est un nombre triangulaire. Pour obtenir des courbes lisses de genre arbitraire, on peut chercher des courbes lisses tracées sur \(\mathbf{P}^1 \times \mathbf{P}^1\) (insérer ici une référence ultérieure).

Lemme

Soit \(Z \subset \mathbf{P}^2_k\) un sous-schéma fermé équidimensionnel de dimension \(1\) et sans point immergé (ce qui équivaut à dire que \(Z\) est de Cohen-Macaulay). Alors l’idéal \(I(Z) \subset k[T_0, T_1, T_2]\) correspondant à \(Z\) est principal.

Démonstration

C’est un cas particulier de Diviseurs, lemme 0BXL (voir aussi Variétés, lemme 0BXU). L’assertion entre parenthèses résulte du fait qu’un schéma noethérien de dimension \(1\) est de Cohen-Macaulay si et seulement s’il n’a pas de point immergé; voir Diviseurs, lemme 0BXG.

Lemme

Soit \(Z \subset \mathbf{P}^2_k\) comme dans le lemme 0BYB et soit \(I(Z) = (F)\) pour un certain \(F \in k[T_0, T_1, T_2]\). Alors \(Z\) est une courbe si et seulement si \(F\) est irréductible.

Démonstration

Si \(F\) est réductible, disons \(F = F' F''\), soit \(Z'\) le sous-schéma fermé de \(\mathbf{P}^2_k\) défini par \(F'\). Il est clair que \(Z' \subset Z\) et que \(Z' \not = Z\). Puisque \(Z'\) est lui aussi de dimension \(1\), on en conclut que soit \(Z\) n’est pas réduit, soit \(Z\) n’est pas irréductible. Réciproquement, écrivons \(Z = \sum a_i D_i\), où \(D_i\) sont les composantes irréductibles de \(Z\); voir Diviseurs, lemmes 0AGB et 0BXH. Soit \(F_i \in k[T_0, T_1, T_2]\) le polynôme homogène engendrant l’idéal de \(D_i\). Il est alors clair que \(F\) et \(\prod F_i^{a_i}\) définissent le même sous-schéma fermé de \(\mathbf{P}^2_k\). Ainsi \(F = \lambda \prod F_i^{a_i}\) pour un certain \(\lambda \in k^*\), puisque tous deux engendrent l’idéal de \(Z\). On voit donc que, si \(F\) est irréductible, \(Z\) est un diviseur premier, c’est-à-dire une courbe.

Lemme

Soit \(Z \subset \mathbf{P}^2_k\) comme dans le lemme 0BYB et soit \(I(Z) = (F)\) pour un certain \(F \in k[T_0, T_1, T_2]\). Alors \(H^0(Z, \mathcal{O}_Z) = k\) et le genre de \(Z\) est \((d - 1)(d - 2)/2\), où \(d = \deg(F)\).

Démonstration

Posons \(S = k[T_0, T_1, T_2]\). On a une suite exacte de modules gradués \[0 \to S(-d) \xrightarrow{F} S \to S/(F) \to 0\] Notons \(i : Z \to \mathbf{P}^2_k\) l’immersion fermée donnée. En appliquant le foncteur exact \(\widetilde{\ }\) (Constructions, lemme 01M7), on obtient \[0 \to \mathcal{O}_{\mathbf{P}^2_k}(-d) \to \mathcal{O}_{\mathbf{P}^2_k} \to i_*\mathcal{O}_Z \to 0\], car \(F\) engendre l’idéal de \(Z\). Les groupes de cohomologie de \(\mathcal{O}_{\mathbf{P}^2_k}(-d)\) et \(\mathcal{O}_{\mathbf{P}^2_k}\) sont donnés dans Cohomologie des schémas, lemme 01XT. D’autre part, on a \(H^q(Z, \mathcal{O}_Z) = H^q(\mathbf{P}^2_k, i_*\mathcal{O}_Z)\) d’après Cohomologie des schémas, lemme 089W. La suite exacte longue de cohomologie montre d’abord que \[k = H^0(\mathbf{P}^2_k, \mathcal{O}_{\mathbf{P}^2_k}) \longrightarrow H^0(Z, \mathcal{O}_Z)\] est un isomorphisme, puis que l’homomorphisme de bord \[H^1(Z, \mathcal{O}_Z) \longrightarrow H^2(\mathbf{P}^2_k, \mathcal{O}_{\mathbf{P}^2_k}(-d)) \cong k[T_0, T_1, T_2]_{d - 3}\] est un isomorphisme. Comme on voit facilement que sa dimension est \((d - 1)(d - 2)/2\), la démonstration est achevée.

Lemme

Soit \(Z \subset \mathbf{P}^2_k\) comme dans le lemme 0BYB et soit \(I(Z) = (F)\) pour un certain \(F \in k[T_0, T_1, T_2]\). Si \(Z \to \Spec(k)\) est lisse en au moins un point et si \(k\) est infini, il existe un point fermé \(z \in Z\) dans le lieu lisse tel que \(\kappa(z)/k\) soit une extension finie séparable de degré au plus \(d\).

Démonstration

Supposons que \(z' \in Z\) soit un point où \(Z \to \Spec(k)\) est lisse. Quitte à renuméroter les coordonnées, on peut supposer \(z'\) contenu dans \(D_+(T_0)\). Posons \(f = F(1, x, y) \in k[x, y]\). Alors \(Z \cap D_+(X_0)\) est isomorphe au spectre de \(k[x, y]/(f)\). Soient \(f_x, f_y\) les dérivées partielles de \(f\) par rapport à \(x, y\). Puisque \(z'\) est un point lisse de \(Z/k\), l’un des éléments \(f_x\) ou \(f_y\) est non nul dans \(z'\) (voir la discussion dans Algèbre, section 00T1). Après renumérotation des coordonnées, on peut supposer \(f_y\) non nul en \(z'\). Il existe donc un sous-schéma ouvert non vide \(V \subset Z \cap D_{+}(X_0)\) tel que la projection \[p : V \longrightarrow \Spec(k[x])\] soit étale. Puisque le degré de \(f\) comme polynôme en \(y\) est au plus \(d\), les degrés des fibres de la projection \(p\) sont au plus \(d\) (voir la discussion dans Morphismes, section 03J3). De plus, puisque \(p\) est étale, l’image de \(p\) est un ouvert \(U \subset \Spec(k[x])\). Enfin, puisque \(k\) est infini, l’ensemble des points \(k\)-rationnels \(U(k)\) de \(U\) est infini, donc non vide. Choisissons un point \(t \in U(k)\) et soit \(z \in V\) un point d’image \(t\). Alors \(z\) convient.

Courbes de genre zéro

Nous aurons besoin plus loin de connaître la structure d’une courbe propre de genre zéro. Une courbe propre de Gorenstein de genre zéro est une courbe plane de degré \(2\), c’est-à-dire une conique; voir le lemme 0C6N. Une courbe propre quelconque de genre zéro s’obtient à partir d’une courbe non singulière (sur un corps plus grand) par une construction de somme amalgamée; voir le lemme 0DJB. Puisqu’une courbe non singulière est de Gorenstein, ces deux résultats couvrent tous les cas possibles.

Lemme

Soit \(X\) une courbe propre sur un corps \(k\) telle que \(H^0(X, \mathcal{O}_X) = k\). Si \(X\) est de genre \(0\), tout \(\mathcal{O}_X\)-module inversible \(\mathcal{L}\) de degré \(0\) est trivial.

Démonstration

En effet, on a \(\dim_k H^0(X, \mathcal{L}) \geq 0 + 1 - 0 = 1\) par Riemann-Roch (lemme 0BS6); ainsi \(\mathcal{L}\) possède une section non nulle et l’on a donc \(\mathcal{L} \cong \mathcal{O}_X\) d’après Variétés, lemme 0B40.

Lemme

Soit \(X\) une courbe propre sur un corps \(k\) telle que \(H^0(X, \mathcal{O}_X) = k\). Supposons \(X\) de genre \(0\). Soit \(\mathcal{L}\) un \(\mathcal{O}_X\)-module inversible de degré \(d > 0\). Alors

\(\dim_k H^0(X, \mathcal{L}) = d + 1\) et \(\dim_k H^1(X, \mathcal{L}) = 0\);

\(\mathcal{L}\) est très ample et définit une immersion fermée dans \(\mathbf{P}^d_k\).

Démonstration

Par définition du degré et du genre, on a \[\dim_k H^0(X, \mathcal{L}) - \dim_k H^1(X, \mathcal{L}) = d + 1\] Soit \(s\) une section non nulle de \(\mathcal{L}\). Le schéma des zéros de \(s\) est alors un diviseur de Cartier effectif \(D \subset X\), on a \(\mathcal{L} = \mathcal{O}_X(D)\) et l’on dispose d’une suite exacte courte \[0 \to \mathcal{O}_X \to \mathcal{L} \to \mathcal{L}|_D \to 0\]; voir Diviseurs, lemme 01X0 et remarque 0C6K. Puisque \(H^1(X, \mathcal{O}_X) = 0\) par hypothèse, \(H^0(X, \mathcal{L}) \to H^0(X, \mathcal{L}|_D)\) est surjective. Comme \(\mathcal{L}|_D\) est engendré par ses sections globales (car \(\dim(D) = 0\); voir Variétés, lemme 0AYT), le module inversible \(\mathcal{L}\) est engendré par ses sections globales. En fait, puisque \(D\) est un schéma artinien, on a \(\mathcal{L}|_D \cong \mathcal{O}_D\)⁵; on peut donc trouver une section \(t\) de \(\mathcal{L}\) dont la restriction à \(D\) engendre \(\mathcal{L}|_D\). La suite exacte courte montre aussi que \(H^1(X, \mathcal{L}) = 0\).

Pour \(n \geq 1\), considérons l’application de multiplication \[\mu_n : H^0(X, \mathcal{L}) \otimes_k H^0(X, \mathcal{L}^{\otimes n}) \longrightarrow H^0(X, \mathcal{L}^{\otimes n + 1})\] Nous affirmons qu’elle est surjective. Pour le voir, considérons la suite exacte courte \[0 \to \mathcal{L}^{\otimes n} \xrightarrow{s} \mathcal{L}^{\otimes n + 1} \to \mathcal{L}^{\otimes n + 1}|_D \to 0\] Les sections de \(\mathcal{L}^{\otimes n + 1}\) provenant du terme de gauche sont dans l’image de \(\mu_n\). D’autre part, puisque \(H^0(\mathcal{L}) \to H^0(\mathcal{L}|_D)\) est surjective et que \(t^n\) a pour image une trivialisation de \(\mathcal{L}^{\otimes n}|_D\), on voit que \(\mu_n(H^0(X, \mathcal{L}) \otimes t^n)\) fournit un sous-espace de \(H^0(X, \mathcal{L}^{\otimes n + 1})\) qui se projette surjectivement sur les sections globales de \(\mathcal{L}^{\otimes n + 1}|_D\). Cela démontre l’assertion.

Remarquons que \(\mathcal{L}\) est ample d’après Variétés, lemme 0B5X. Ainsi Morphismes, lemme 0C6J fournit un isomorphisme \[X \longrightarrow \text{Proj}\left( \bigoplus\nolimits_{n \geq 0} H^0(X, \mathcal{L}^{\otimes n})\right)\] Puisque les applications \(\mu_n\) sont surjectives pour tout \(n \geq 1\), l’algèbre graduée du membre de droite est un quotient de l’algèbre symétrique sur \(H^0(X, \mathcal{L})\). En choisissant une base sur \(k\), notée \(s_0, \ldots, s_d\), de \(H^0(X, \mathcal{L})\), on voit qu’il s’agit d’un quotient d’une algèbre de polynômes en \(d + 1\) variables. Puisque les quotients d’anneaux gradués correspondent à des immersions fermées des \(\text{Proj}\) (Constructions, lemme 01N1), on obtient une immersion fermée \(X \to \mathbf{P}^d_k\). Nous omettons de vérifier que ce morphisme est celui de Constructions, lemme 01NE associé aux sections \(s_0, \ldots, s_d\) de \(\mathcal{L}\).

Lemme

Soit \(X\) une courbe propre sur un corps \(k\) telle que \(H^0(X, \mathcal{O}_X) = k\). Si \(X\) est de Gorenstein et de genre \(0\), alors \(X\) est isomorphe à une courbe plane de degré \(2\).

Démonstration

Considérons le faisceau inversible \(\mathcal{L} = \omega_X^{\otimes -1}\), où \(\omega_X\) est celui du lemme 0BS2. On a \(\deg(\omega_X) = -2\) d’après le lemme 0C19, et donc \(\deg(\mathcal{L}) = 2\). D’après le lemme 0C6T, le choix d’une base \(s_0, s_1, s_2\) de l’espace vectoriel sur \(k\) des sections globales de \(\mathcal{L}\) donne une immersion fermée \[\varphi_{(\mathcal{L}, (s_0, s_1, s_2))} : X \longrightarrow \mathbf{P}^2_k\] Ainsi \(X\) est une courbe plane d’un certain degré \(d\). Soit \(F \in k[T_0, T_1, T_2]_d\) son équation (lemme 0BYB). Puisque le genre de \(X\) est \(0\), on voit que \(d\) vaut \(1\) ou \(2\) (lemme 0BYD). Remarquons que \(F\) se restreint à la section nulle sur \(\varphi(X)\) et que, par conséquent, \(F(s_0, s_1, s_2)\) est la section nulle de \(\mathcal{L}^{\otimes 2}\). Puisque \(s_0, s_1, s_2\) sont linéairement indépendantes, \(F\) ne peut pas être linéaire, c’est-à-dire que \(d = \deg(F) \geq 2\). Ainsi \(d = 2\), ce qui achève la démonstration.

Proposition

Soit \(k\) un corps. Soit \(X\) une courbe propre sur \(k\). Les conditions suivantes sont équivalentes :

\(X \cong \mathbf{P}^1_k\);

\(X\) est lisse et géométriquement irréductible sur \(k\), \(X\) est de genre \(0\) et \(X\) possède un module inversible de degré impair;

\(X\) est géométriquement intègre sur \(k\), \(X\) est de genre \(0\), \(X\) est de Gorenstein et \(X\) possède un faisceau inversible de degré impair;

\(H^0(X, \mathcal{O}_X) = k\), \(X\) est de genre \(0\), \(X\) est de Gorenstein et \(X\) possède un faisceau inversible de degré impair;

\(X\) est géométriquement intègre sur \(k\), \(X\) est de genre \(0\) et \(X\) possède un \(\mathcal{O}_X\)-module inversible de degré \(1\);

\(H^0(X, \mathcal{O}_X) = k\), \(X\) est de genre \(0\) et \(X\) possède un \(\mathcal{O}_X\)-module inversible de degré \(1\);

\(H^1(X, \mathcal{O}_X) = 0\) et \(X\) possède un \(\mathcal{O}_X\)-module inversible de degré \(1\);

\(H^1(X, \mathcal{O}_X) = 0\) et \(X\) possède des points fermés \(x_1, \ldots, x_n\) tels que \(\mathcal{O}_{X, x_i}\) soit normal et \(\gcd([\kappa(x_i) : k]) = 1\);

ajouter d’autres conditions ici.

Démonstration

Nous montrerons que chacune des conditions (2) – (8) entraîne (1), et nous omettons de vérifier que (1) entraîne (2) – (8).

Supposons (2). Un schéma lisse sur \(k\) est géométriquement réduit (Variétés, lemme 056T) et régulier (Variétés, lemme 056S). Ainsi \(X\) est de Gorenstein (Dualité pour les schémas, lemme 0DWG). On est donc ramené à (3).

Supposons (3). Puisque \(X\) est géométriquement intègre sur \(k\), on a \(H^0(X, \mathcal{O}_X) = k\) d’après Variétés, lemme 04L2, et l’on est ramené à (4).

Supposons (4). Puisque \(X\) est de Gorenstein, le module dualisant \(\omega_X\) du lemme 0BS2 est de degré \(\deg(\omega_X) = -2\) d’après le lemme 0C19. Avec l’existence supposée d’un module inversible de degré impair, cela entraîne l’existence d’un module inversible de degré \(1\). On est ainsi ramené à (6).

Supposons (5). Puisque \(X\) est géométriquement intègre sur \(k\), on a \(H^0(X, \mathcal{O}_X) = k\) d’après Variétés, lemme 04L2, et l’on est ramené à (6).

Supposons (6). Alors \(X \cong \mathbf{P}^1_k\) d’après le lemme 0C6T.

Supposons (7). Remarquons que \(\kappa = H^0(X, \mathcal{O}_X)\) est un corps fini sur \(k\) d’après Variétés, lemme 04L2. Si \(d = [\kappa : k] > 1\), le degré de tout faisceau inversible est divisible par \(d\) et il ne peut donc exister de faisceau inversible de degré \(1\). Ainsi \(d = 1\) et l’on est ramené au cas (6).

Supposons (8). Remarquons que \(\kappa = H^0(X, \mathcal{O}_X)\) est un corps fini sur \(k\) d’après Variétés, lemme 04L2. Puisque \(\kappa \subset \kappa(x_i)\), l’hypothèse sur le pgcd des degrés entraîne \(k = \kappa\). La même condition permet de trouver des entiers \(a_i\) tels que \(1 = \sum a_i[\kappa(x_i) : k]\). Puisque \(x_i\) définit un diviseur de Cartier effectif sur \(X\) d’après Variétés, lemme 0B8Y, on peut considérer le module inversible \(\mathcal{O}_X(\sum a_i x_i)\). Par le choix de \(a_i\), le degré de \(\mathcal{L}\) est \(1\). Ainsi \(X \cong \mathbf{P}^1_k\) d’après le lemme 0C6T.

Lemme

Soit \(X\) une courbe propre sur un corps \(k\) telle que \(H^0(X, \mathcal{O}_X) = k\). Supposons \(X\) singulière et de genre \(0\). Il existe alors un diagramme \[\xymatrix{ x' \ar[d] \ar[r] & X' \ar[d]^\nu \ar[r] & \Spec(k') \ar[d] \\ x \ar[r] & X \ar[r] & \Spec(k) }\] dans lequel

\(k'/k\) est une extension finie non triviale;

\(X' \cong \mathbf{P}^1_{k'}\);

\(x'\) est un point \(k'\)-rationnel de \(X'\);

\(x\) est un point \(k\)-rationnel de \(X\);

\(X' \setminus \{x'\} \to X \setminus \{x\}\) est un isomorphisme;

\(0 \to \mathcal{O}_X \to \nu_*\mathcal{O}_{X'} \to k'/k \to 0\) est une suite exacte courte, où \(k'/k = \kappa(x')/\kappa(x)\) désigne le faisceau gratte-ciel au point \(x\).

Démonstration

Soit \(\nu : X' \to X\) la normalisation de \(X\); voir Variétés, sections 0BXQ et 0C44. Puisque \(X\) est singulière, \(\nu\) n’est pas un isomorphisme. Si l’on pose \(k' = H^0(X', \mathcal{O}_{X'})\), l’extension ainsi obtenue est finie sur \(k\) (Variétés, lemme 04L2). La suite exacte courte \[0 \to \mathcal{O}_X \to \nu_*\mathcal{O}_{X'} \to \mathcal{Q} \to 0\] et le fait que \(\mathcal{Q}\) est à support dans un nombre fini de points fermés donnent

\(H^1(X', \mathcal{O}_{X'}) = 0\), c’est-à-dire que \(X'\) est de genre \(0\) comme courbe sur \(k'\);

une suite exacte courte \(0 \to k \to k' \to H^0(X, \mathcal{Q}) \to 0\).

En particulier, \(k'/k\) est une extension non triviale.

Considérons ensuite ce qu’on appelle souvent l’idéal conducteur \[\mathcal{I} = \SheafHom_{\mathcal{O}_X}(\nu_*\mathcal{O}_{X'}, \mathcal{O}_X)\] C’est un \(\mathcal{O}_X\)-module quasi-cohérent. On considère \(\mathcal{I}\) comme un idéal de \(\mathcal{O}_X\) par l’application \(\varphi \mapsto \varphi(1)\). Ainsi \(\mathcal{I}(U)\) est l’ensemble des éléments \(f \in \mathcal{O}_X(U)\) tels que \(f \left(\nu_*\mathcal{O}_{X'}(U)\right) \subset \mathcal{O}_X(U)\). Autrement dit, la condition est que \(f\) annule \(\mathcal{Q}\). On a donc une suite exacte qui le définit : \[0 \to \mathcal{I} \to \mathcal{O}_X \to \SheafHom_{\mathcal{O}_X}(\mathcal{Q}, \mathcal{Q})\] Soit \(U \subset X\) un ouvert affine contenant le support de \(\mathcal{Q}\). Alors \(V = \mathcal{Q}(U) = H^0(X, \mathcal{Q})\) est un espace vectoriel sur \(k\) de dimension \(n - 1\). L’image de \(\mathcal{O}_X(U) \to \Hom_k(V, V)\) est une sous-algèbre commutative, donc de dimension \(\leq n - 1\) sur \(k\) (c’est une propriété des sous-algèbres commutatives des algèbres de matrices; nous omettons les détails). On en déduit une suite exacte courte \[0 \to \mathcal{I} \to \mathcal{O}_X \to \mathcal{A} \to 0\], où \(\text{Supp}(\mathcal{A}) = \text{Supp}(\mathcal{Q})\) et \(\dim_k H^0(X, \mathcal{A}) \leq n - 1\). D’autre part, la description \(\mathcal{I} = \SheafHom_{\mathcal{O}_X}(\nu_*\mathcal{O}_{X'}, \mathcal{O}_X)\) munit \(\mathcal{I}\) d’une structure de \(\nu_*\mathcal{O}_{X'}\)-module telle que l’inclusion \(\mathcal{I} \to \nu_*\mathcal{O}_{X'}\) soit une application de \(\nu_*\mathcal{O}_{X'}\)-modules. On en conclut que \(\mathcal{I} = \nu_*\mathcal{I}'\) pour un faisceau quasi-cohérent d’idéaux \(\mathcal{I}' \subset \mathcal{O}_{X'}\); voir Morphismes, lemme 01SB. Définissons \(\mathcal{A}'\) comme le conoyau : \[0 \to \mathcal{I}' \to \mathcal{O}_{X'} \to \mathcal{A}' \to 0\] En combinant les suites exactes précédentes, on obtient une suite exacte courte \(0 \to \mathcal{A} \to \nu_*\mathcal{A}' \to \mathcal{Q} \to 0\). L’estimation ci-dessus, jointe à \(\dim_k H^0(X, \mathcal{Q}) = n - 1\), donne \[\dim_k H^0(X', \mathcal{A}') = \dim_k H^0(X, \mathcal{A}) + \dim_k H^0(X, \mathcal{Q}) \leq 2 n - 2\] Cependant, puisque \(X'\) est une courbe sur \(k'\), le membre de gauche est divisible par \(n\) (Variétés, lemme 0C6P). Comme \(\mathcal{A}\) et \(\mathcal{A}'\) ne peuvent être nuls, on en déduit que \(\dim_k H^0(X', \mathcal{A}') = n\), ce qui signifie que \(\mathcal{I}'\) est le faisceau d’idéaux d’un point \(k'\)-rationnel, noté \(x'\). La proposition 0C6U donne \(X' \cong \mathbf{P}^1_{k'}\). En revenant aux égalités précédentes, on en conclut que \(\dim_k H^0(X, \mathcal{A}) = 1\). Cela signifie que \(\mathcal{I}\) est le faisceau d’idéaux d’un point \(k\)-rationnel, noté \(x\). Alors \(\mathcal{A} = \kappa(x) = k\) et \(\mathcal{A}' = \kappa(x') = k'\) en tant que faisceaux gratte-ciel. En comparant les suites exactes données ci-dessus, on obtient immédiatement l’assertion du lemme relative aux faisceaux structuraux.

Exemple

En fait, la situation décrite dans le lemme 0DJB se présente pour toute extension finie non triviale \(k'/k\). En effet, on peut considérer \[A = \{f \in k'[x] \mid f(0) \in k \}\] Le spectre de \(A\) est une courbe affine que l’on peut recoller au spectre de \(B = k'[y]\) au moyen de l’isomorphisme \(A_x \cong B_y\) envoyant \(x^{-1}\) sur \(y\). On obtient une courbe propre \(X\) telle que \(H^0(X, \mathcal{O}_X) = k\) et dont le point singulier \(x\) correspond à l’idéal maximal \(A \cap (x)\). La normalisation de \(X\) est \(\mathbf{P}^1_{k'}\), exactement comme dans le lemme.

Genre géométrique

Si \(X\) est une courbe propre et lisse sur \(k\) telle que \(H^0(X, \mathcal{O}_X) = k\), on appelle \[p_g(X) = \dim_k H^0(X, \Omega_{X/k})\] le genre géométrique de \(X\). D’après le lemme 0C1A, le genre géométrique de \(X\) coïncide avec son genre (arithmétique). En dimension supérieure, en revanche, le genre géométrique diffère du genre arithmétique; voir la remarque 0BYG.

Pour les courbes singulières, nous définirons le genre géométrique comme suit.

Définition

Soit \(k\) un corps. Soit \(X\) une courbe géométriquement irréductible sur \(k\). Le genre géométrique de \(X\) est le genre d’un modèle projectif lisse de \(X\), éventuellement défini sur une extension de \(k\) comme dans le lemme 0BY4.

Si \(k\) est parfait, le modèle projectif non singulier \(Y\) de \(X\) est lisse (lemme 0BY3) et le genre géométrique de \(X\) est simplement le genre de \(Y\). Cela peut être faux si \(k\) n’est pas parfait. Dans ce cas, on choisit une extension \(K/k\) telle que le modèle projectif non singulier \(Y_K\) de \((X_K)_{red}\) soit une courbe projective lisse et l’on définit le genre géométrique de \(X\) comme le genre de \(Y_K\). Les lemmes 0BY4 et 0BY9 assurent que cette définition a un sens.

Remarque

Supposons que \(X\) soit une variété propre lisse de dimension \(d\) sur un corps algébriquement clos \(k\). On définit alors souvent le genre arithmétique par \(p_a(X) = (-1)^d(\chi(X, \mathcal{O}_X) - 1)\) et le genre géométrique par \(p_g(X) = \dim_k H^0(X, \Omega^d_{X/k})\). Dans cette situation, le genre arithmétique et le genre géométrique ne coïncident plus, bien que l’on ait toujours \(\omega_X \cong \Omega_{X/k}^d\). Par exemple, si \(d = 2\), on a \[\begin{align*} p_a(X) - p_g(X) & = h^0(X, \mathcal{O}_X) - h^1(X, \mathcal{O}_X) + h^2(X, \mathcal{O}_X) - 1 - h^0(X, \Omega^2_{X/k}) \\ & = - h^1(X, \mathcal{O}_X) + h^2(X, \mathcal{O}_X) - h^0(X, \omega_X) \\ & = - h^1(X, \mathcal{O}_X) \end{align*}\], où \(h^i(X, \mathcal{F}) = \dim_k H^i(X, \mathcal{F})\) et où la dernière égalité résulte de la dualité. Ainsi, pour une surface, la différence \(p_g(X) - p_a(X)\) est toujours positive ou nulle; on l’appelle parfois l’irrégularité de la surface. Si \(X = C_1 \times C_2\) est un produit de courbes projectives lisses de genres \(g_1\) et \(g_2\), son irrégularité est \(g_1 + g_2\).

Riemann-Hurwitz

Soit \(k\) un corps. Soit \(f : X \to Y\) un morphisme de courbes lisses sur \(k\). On obtient une suite exacte canonique \[f^*\Omega_{Y/k} \xrightarrow{\text{d}f} \Omega_{X/k} \longrightarrow \Omega_{X/Y} \longrightarrow 0\] d’après Morphismes, lemme 01UX. Puisque \(X\) et \(Y\) sont lisses, les faisceaux \(\Omega_{X/k}\) et \(\Omega_{Y/k}\) sont des modules inversibles; voir Morphismes, lemme 02G1. Supposons la première application non nulle, c’est-à-dire \(f\) génériquement étale; voir le lemme 0C1C. Soit \(R \subset X\) le sous-schéma fermé défini par la différente \(\mathfrak{D}_f\) de \(f\). D’après Discriminants, lemme 0BWJ, c’est aussi le lieu d’annulation de \(\text{d}f\); il s’agit d’un diviseur de Cartier effectif, et l’on obtient \[f^*\Omega_{Y/k} \otimes_{\mathcal{O}_X} \mathcal{O}_X(R) = \Omega_{X/k}\] En particulier, si \(X\), \(Y\) sont projectives avec \(k = H^0(Y, \mathcal{O}_Y) = H^0(X, \mathcal{O}_X)\) et si \(X\), \(Y\) sont de genres \(g_X\), \(g_Y\), on obtient la formule de Riemann-Hurwitz \[\begin{align*} 2g_X - 2 & = \deg(\Omega_{X/k}) \\ & = \deg(f^*\Omega_{Y/k} \otimes_{\mathcal{O}_X} \mathcal{O}_X(R)) \\ & = \deg(f) \deg(\Omega_{Y/k}) + \deg(R) \\ & = \deg(f) (2g_Y - 2) + \deg(R) \end{align*}\] La première et la dernière égalité résultent du lemme 0C1A; la deuxième, de l’isomorphisme de faisceaux inversibles ci-dessus; la troisième, de l’additivité des degrés (Variétés, lemme 0AYX), de la formule du degré d’une image réciproque (Variétés, lemme 0AYZ) et, enfin, de la formule du degré de \(\mathcal{O}_X(R)\) (Variétés, lemme 0AYY).

Pour utiliser la formule de Riemann-Hurwitz, il faut calculer \(\deg(R) = \dim_k \Gamma(R, \mathcal{O}_R)\). La structure des schémas de dimension zéro sur \(k\) (voir par exemple Variétés, lemme 06LH) montre que \(R\) est une réunion disjointe finie de spectres d’anneaux locaux artiniens \(R = \coprod_{x \in R} \Spec(\mathcal{O}_{R, x})\), chacun des \(\mathcal{O}_{R, x}\) étant de dimension finie sur \(k\). Ainsi \[\deg(R) = \sum\nolimits_{x \in R} \dim_k \mathcal{O}_{R, x} = \sum\nolimits_{x \in R} d_x [\kappa(x) : k]\], où \[d_x = \text{length}_{\mathcal{O}_{R, x}} \mathcal{O}_{R, x} = \text{length}_{\mathcal{O}_{X, x}} \mathcal{O}_{R, x}\] est la multiplicité de \(x\) dans \(R\) (voir Algèbre, lemme 02M0). Soit \(x \in X\) un point fermé d’image \(y \in Y\). En passant aux germes, on obtient une suite exacte \[\Omega_{Y/k, y} \to \Omega_{X/k, x} \to \Omega_{X/Y, x} \to 0\] En choisissant des générateurs locaux \(\eta_x\) et \(\eta_y\) des modules (libres de rang \(1\)) \(\Omega_{X/k, x}\) et \(\Omega_{Y/k, y}\), on voit que \(\eta_y \mapsto h \eta_x\) pour un élément non nul \(h \in \mathcal{O}_{X, x}\). La suite exacte montre que \(\Omega_{X/Y, x} \cong \mathcal{O}_{X, x}/h\mathcal{O}_{X, x}\) en tant que \(\mathcal{O}_{X, x}\)-modules. Puisque le diviseur \(R\) est défini par \(h\) (voir ci-dessus), on a \(\mathcal{O}_{R, x} = \mathcal{O}_{X, x}/h\mathcal{O}_{X, x}\). On obtient donc les égalités suivantes : \[\begin{align*} d_x & = \text{length}_{\mathcal{O}_{X, x}}(\mathcal{O}_{R, x}) \\ & = \text{length}_{\mathcal{O}_{X, x}}(\mathcal{O}_{X, x}/h\mathcal{O}_{X, x}) \\ & = \text{length}_{\mathcal{O}_{X, x}}(\Omega_{X/Y, x}) \\ & = \text{ord}_{\mathcal{O}_{X, x}}(h) \\ & = \text{ord}_{\mathcal{O}_{X, x}}(``\eta_y/\eta_x") \end{align*}\] La première résulte de la définition de \(d_x\). Nous avons établi la deuxième et la troisième ci-dessus. La quatrième égalité est la définition de \(\text{ord}\); voir Algèbre, définition 02MD. Puisque \(\mathcal{O}_{X, x}\) est un anneau de valuation discrète, l’entier \(\text{ord}_{\mathcal{O}_{X, x}}(h)\) est simplement la valuation de \(h\). La cinquième égalité sert de moyen mnémotechnique.

Voici un cas où l’on peut « calculer » la multiplicité \(d_x\) en fonction d’autres invariants. Si \(\kappa(x)\) est séparable sur \(k\), on peut choisir \(\eta_x = \text{d}s\) et \(\eta_y = \text{d}t\), où \(s\) et \(t\) sont des uniformisantes de \(\mathcal{O}_{X, x}\) et \(\mathcal{O}_{Y, y}\) (lemme 0C1E). Alors \(t \mapsto u s^{e_x}\) pour une unité \(u \in \mathcal{O}_{X, x}\), où \(e_x\) est l’indice de ramification de l’extension \(\mathcal{O}_{Y, y} \subset \mathcal{O}_{X, x}\). On obtient donc \[\eta_y = \text{d}t = \text{d}(u s^{e_x}) = e s^{e_x - 1} u \text{d}s + s^{e_x} \text{d}u\] En écrivant \(\text{d}u = w \text{d}s\) pour un certain \(w \in \mathcal{O}_{X, x}\), on voit que \[``\eta_y/\eta_x" = e s^{e_x - 1} u + s^{e_x} w = (e_x u + s w)s^{e_x - 1}\] Son ordre d’annulation est donc \(e_x - 1\), sauf si la caractéristique de \(\kappa(x)\) est \(p > 0\) et si \(p\) divise \(e_x\), auquel cas l’ordre d’annulation est \(> e_x - 1\).

En combinant tout ce qui précède, on voit que, si \(k\) est de caractéristique zéro, alors \[2g_X - 2 = (2g_Y - 2)\deg(f) + \sum\nolimits_{x \in X} (e_x - 1)[\kappa(x) : k]\], où \(e_x\) est l’indice de ramification de \(\mathcal{O}_{X, x}\) au-dessus de \(\mathcal{O}_{Y, f(x)}\). Cette formule précise est valable si et seulement si toute la ramification est modérée, c’est-à-dire lorsque les extensions résiduelles \(\kappa(x)/\kappa(y)\) sont séparables et que \(e_x\) est premier à la caractéristique de \(k\); les arguments précédents ne suffisent cependant pas à le démontrer. Nous renvoyons au lemme 0C1F et à sa démonstration.

Lemme

Soit \(k\) un corps. Soit \(f : X \to Y\) un morphisme de courbes lisses sur \(k\). Les conditions suivantes sont équivalentes :

\(\text{d}f : f^*\Omega_{Y/k} \to \Omega_{X/k}\) est non nulle;

\(\Omega_{X/Y}\) est à support dans un fermé propre de \(X\);

il existe un ouvert non vide \(U \subset X\) tel que \(f|_U : U \to Y\) soit non ramifié;

il existe un ouvert non vide \(U \subset X\) tel que \(f|_U : U \to Y\) soit étale;

l’extension \(k(X)/k(Y)\) de corps de fonctions est finie séparable.

Démonstration

Puisque \(X\) et \(Y\) sont lisses, les faisceaux \(\Omega_{X/k}\) et \(\Omega_{Y/k}\) sont des modules inversibles; voir Morphismes, lemme 02G1. La suite exacte \[f^*\Omega_{Y/k} \longrightarrow \Omega_{X/k} \longrightarrow \Omega_{X/Y} \longrightarrow 0\] de Morphismes, lemme 01UX montre que (1) et (2) sont équivalentes entre elles et que chacune équivaut à la non-nullité de \(f^*\Omega_{Y/k} \to \Omega_{X/k}\) au point générique. L’équivalence de (2) et (3) résulte de Morphismes, lemme 02G5. L’équivalence de (3) et (4) résulte de Morphismes, lemme 02GV et de la platitude automatique (lemme 0CCK). Pour l’équivalence de (5) et (4), on utilise Algèbre, lemme 07ND. Nous omettons quelques détails.

Lemme

Soit \(f : X \to Y\) un morphisme de courbes propres lisses sur un corps \(k\) satisfaisant aux conditions équivalentes du lemme 0C1C. Si \(k = H^0(Y, \mathcal{O}_Y) = H^0(X, \mathcal{O}_X)\) et si \(X\) et \(Y\) sont de genres \(g_X\) et \(g_Y\), alors \[2g_X - 2 = (2g_Y - 2) \deg(f) + \deg(R)\], où \(R \subset X\) est le diviseur de Cartier effectif défini par la différente de \(f\).

Démonstration

Voir la discussion ci-dessus; nous avons utilisé Discriminants, lemme 0BWJ, le lemme 0C1A et Variétés, lemmes 0AYX et 0AYZ.

Lemme

Soit \(X \to \Spec(k)\) lisse de dimension relative \(1\) en un point fermé \(x \in X\). Si \(\kappa(x)\) est séparable sur \(k\), alors, pour toute uniformisante \(s\) de l’anneau de valuation discrète \(\mathcal{O}_{X, x}\), l’élément \(\text{d}s\) engendre librement \(\Omega_{X/k, x}\) sur \(\mathcal{O}_{X, x}\).

Démonstration

L’anneau \(\mathcal{O}_{X, x}\) est un anneau de valuation discrète d’après Algèbre, lemme 00TT. Puisque \(x\) est fermé, \(\kappa(x)\) est fini sur \(k\). Ainsi, si \(\kappa(x)/k\) est séparable, toute uniformisante \(s\) a une image non nulle dans \(\Omega_{X/k, x} \otimes_{\mathcal{O}_{X, x}} \kappa(x)\) d’après Algèbre, lemme 00TU. Puisque \(\Omega_{X/k, x}\) est libre de rang \(1\) sur \(\mathcal{O}_{X, x}\), le résultat s’ensuit.

Lemme

Reprenons les notations et les hypothèses du lemme 0C1D. Pour un point fermé \(x \in X\), soit \(d_x\) la multiplicité de \(x\) dans \(R\). Alors \[2g_X - 2 = (2g_Y - 2) \deg(f) + \sum\nolimits d_x [\kappa(x) : k]\] De plus, on a les résultats suivants :

\(d_x = \text{length}_{\mathcal{O}_{X, x}}(\Omega_{X/Y, x})\);

\(d_x \geq e_x - 1\), où \(e_x\) est l’indice de ramification de \(\mathcal{O}_{X, x}\) au-dessus de \(\mathcal{O}_{Y, y}\);

\(d_x = e_x - 1\) si et seulement si \(\mathcal{O}_{X, x}\) est modérément ramifié au-dessus de \(\mathcal{O}_{Y, y}\).

Démonstration

D’après le lemme 0C1D et la discussion ci-dessus (où l’on a utilisé Variétés, lemme 06LH et Algèbre, lemme 02M0), il suffit de démontrer les assertions concernant la multiplicité \(d_x\) de \(x\) dans \(R\). L’assertion (1) a été établie dans cette discussion. Nous n’y avons démontré (2) et (3) que lorsque \(\kappa(x)\) est séparable sur \(k\). Dans la suite, nous traiterons (2) et (3) de façon uniforme à l’aide des résultats sur les différentes des morphismes quasi-finis de Gorenstein.

Remarquons d’abord que \(f\) est un morphisme quasi-fini de Gorenstein. Cela résulte, par exemple, du fait que \(f\) est un morphisme plat quasi-fini et que \(X\) est de Gorenstein (voir Dualité pour les schémas, lemme 0C12); cela a aussi été démontré dans la preuve de Discriminants, lemme 0BWJ (utilisé ci-dessus). Ainsi \(\omega_{X/Y}\) est inversible d’après Discriminants, lemme 0C16, et il le reste après remplacement de \(X\) par des ouverts et après changement de base par un morphisme \(Y' \to Y\). Nous utiliserons ce fait sans autre mention.

Choisissons des ouverts affines \(U \subset X\) et \(V \subset Y\) tels que \(x \in U\), \(y \in V\), \(f(U) \subset V\), et tels que \(x\) soit le seul point de \(U\) au-dessus de \(y\). Écrivons \(U = \Spec(A)\) et \(V = \Spec(B)\). Alors \(R \cap U\) est la différente de \(f|_U : U \to V\). D’après Discriminants, lemme 0BW7, sa formation commute dans notre cas à tout changement de base. Par le choix de \(U\) et \(V\), on a \[A \otimes_B \kappa(y) = \mathcal{O}_{X, x} \otimes_{\mathcal{O}_{Y, y}} \kappa(y) = \mathcal{O}_{X, x}/(s^{e_x})\], où \(e_x\) est l’indice de ramification de l’énoncé. Soit \(C = \mathcal{O}_{X, x}/(s^{e_x})\), considéré comme une algèbre finie sur \(\kappa(y)\). Soit \(\mathfrak{D}_{C/\kappa(y)}\) la différente de \(C\) sur \(\kappa(y)\) au sens de Discriminants, définition 0BW4. Il suffit de montrer que \(\mathfrak{D}_{C/\kappa(y)}\) est non nulle si et seulement si l’extension \(\mathcal{O}_{Y, y} \subset \mathcal{O}_{X, x}\) est modérément ramifiée et que, dans ce cas, \(\mathfrak{D}_{C/\kappa(y)}\) est l’idéal engendré par \(s^{e_x - 1}\) dans \(C\). Rappelons que la ramification modérée signifie exactement que \(\kappa(x)/\kappa(y)\) est séparable et que la caractéristique de \(\kappa(y)\) ne divise pas \(e_x\). D’autre part, la différente de \(C/\kappa(y)\) est non nulle si et seulement si \(\tau_{C/\kappa(y)} \in \omega_{C/\kappa(y)}\) est non nulle. En effet, puisque \(\omega_{C/\kappa(y)}\) est un \(C\)-module inversible (obtenu par changement de base à partir de \(\omega_{A/B}\)), il est libre de rang \(1\), avec un générateur que nous noterons \(\lambda\). Écrivons \(\tau_{C/\kappa(y)} = h\lambda\) pour un certain \(h \in C\). Alors \(\mathfrak{D}_{C/\kappa(y)} = (h) \subset C\), d’où l’assertion. D’après Discriminants, lemme 0C13, on a \(\tau_{C/\kappa(y)} \not = 0\) si et seulement si \(\kappa(x)/\kappa(y)\) est séparable et \(e_x\) premier à la caractéristique. Enfin, même si \(\tau_{C/\kappa(y)}\) est non nulle, on a encore \(s \tau_{C/\kappa(y)} = 0\), car \(s\tau_{C/\kappa(y)} : C \to \kappa(y)\) envoie \(c\) sur la trace de l’opérateur nilpotent \(sc\), laquelle est nulle. Ainsi \(sh = 0\), puis \(h \in (s^{e_x - 1})\), ce qui prouve que \(\mathfrak{D}_{C/\kappa(y)} \subset (s^{e_x - 1})\) dans tous les cas. Puisque \((s^{e_x - 1}) \subset C\) est le plus petit idéal non nul, la dernière assertion est démontrée.

Morphismes inséparables

Quelques remarques sur le comportement du genre par les applications inséparables.

Lemme

Soit \(k\) un corps. Soit \(f : X \to Y\) un morphisme surjectif de courbes sur \(k\). Si \(X\) est lisse sur \(k\) et si \(Y\) est normale, alors \(Y\) est lisse sur \(k\).

Démonstration

Soit \(y \in Y\). Choisissons \(x \in X\) d’image \(y\). D’après Variétés, lemme 05AX, il suffit de montrer que \(f\) est plat en \(x\). Cela résulte du lemme 0CCK.

Lemme

Soit \(k\) un corps de caractéristique \(p > 0\). Soit \(f : X \to Y\) un morphisme non constant de courbes propres non singulières sur \(k\). Si l’extension \(k(X)/k(Y)\) de corps de fonctions est purement inséparable, il existe une factorisation \[X = X_0 \to X_1 \to \ldots \to X_n = Y\] telle que chaque \(X_i\) soit une courbe propre non singulière et que \(X_i \to X_{i + 1}\) soit un morphisme de degré \(p\) avec \(k(X_{i + 1}) \subset k(X_i)\) inséparable.

Démonstration

Cela résulte du théorème 0BY1 et du fait qu’une extension finie purement inséparable de corps s’obtient toujours comme une succession d’extensions (inséparables) de degré \(p\); voir Corps, lemme 09HI.

Lemme

Soit \(k\) un corps de caractéristique \(p > 0\). Soit \(f : X \to Y\) un morphisme non constant de courbes propres non singulières sur \(k\). Si \(X\) est lisse et si \(k(Y) \subset k(X)\) est inséparable de degré \(p\), il existe un unique isomorphisme \(Y = X^{(p)}\) tel que \(f\) soit \(F_{X/k}\).

Démonstration

Le morphisme de Frobenius relatif \(F_{X/k} : X \to X^{(p)}\) est construit dans Variétés, section 0CC6. Remarquons que \(X^{(p)}\) est une courbe propre lisse sur \(k\), obtenue par changement de base à partir de \(X\). Le morphisme \(F_{X/k}\) est de degré \(p\) d’après Variétés, lemme 0CCF. Ainsi \(k(X^{(p)})\) et \(k(Y)\) sont deux sous-corps de \(k(X)\) tels que \([k(X) : k(Y)] = [k(X) : k(X^{(p)})] = p\). Pour démontrer le lemme, il suffit de montrer que \(k(Y) = k(X^{(p)})\) dans \(k(X)\). Voir le théorème 0BY1.

Posons \(K = k(X)\). Considérons l’application \(\text{d} : K \to \Omega_{K/k}\). Il résulte du lemme 0C1C que \(k(Y)\) est contenu dans le noyau de \(\text{d}\). D’après Variétés, lemme 0CCC, on voit que \(k(X^{(p)})\) est dans le noyau de \(\text{d}\). Puisque \(X\) est une courbe lisse, \(\Omega_{K/k}\) est un espace vectoriel de dimension \(1\) sur \(K\). Compléments d’algèbre, lemme 07P2 entraîne alors que \(\Ker(\text{d}) = kK^p\) et que \([K : kK^p] = p\). Ainsi \(k(Y) = kK^p = k(X^{(p)})\) pour des raisons de degré.

Lemme

Soit \(k\) un corps de caractéristique \(p > 0\). Soit \(f : X \to Y\) un morphisme non constant de courbes propres non singulières sur \(k\). Si \(X\) est lisse et si \(k(Y) \subset k(X)\) est purement inséparable, il existe un unique \(n \geq 0\) et un unique isomorphisme \(Y = X^{(p^n)}\) tels que \(f\) soit le Frobenius relatif itéré \(n\) fois de \(X/k\).

Démonstration

Le Frobenius relatif itéré \(n\) fois de \(X/k\) est défini dans Variétés, remarque 0CCG. Le lemme s’obtient en combinant les lemmes 0CCY et 0CCX.

Lemme

Soit \(k\) un corps de caractéristique \(p > 0\). Soit \(f : X \to Y\) un morphisme non constant de courbes propres non singulières sur \(k\). Supposons que

\(X\) soit lisse,

\(H^0(X, \mathcal{O}_X) = k\),

\(k(X)/k(Y)\) soit purement inséparable.

Alors \(Y\) est lisse, \(H^0(Y, \mathcal{O}_Y) = k\) et le genre de \(Y\) est égal au genre de \(X\).

Démonstration

D’après le lemme 0CCZ, \(Y = X^{(p^n)}\) s’obtient par changement de base à partir de \(X\) par \(F_{\Spec(k)}^n\). Ainsi \(Y\) est lisse, et les assertions sur la cohomologie et le genre résultent du lemme 0BY9.

Exemple

Cet exemple montre que le genre peut changer par un morphisme purement inséparable de courbes projectives non singulières. Soit \(k\) un corps de caractéristique \(3\). Supposons qu’il existe un élément \(a \in k\) qui ne soit pas un cube, c’est-à-dire une puissance \(3\)-ième. Par exemple, \(k = \mathbf{F}_3(a)\) convient. Soit \(X\) la courbe plane d’équation homogène \[F = T_1^2T_0 - T_2^3 + aT_0^3\] comme dans la section 0BYA. Sur l’ouvert affine \(D_+(T_0)\), avec les coordonnées \(x = T_1/T_0\) et \(y = T_2/T_0\), on obtient \(x^2 - y^3 + a = 0\), qui définit une courbe affine non singulière. De plus, le point à l’infini \((0 : 1: 0)\) est lisse. Ainsi \(X\) est une courbe projective non singulière de genre \(1\) (lemme 0BYD). Considérons d’autre part le morphisme \(f : X \to \mathbf{P}^1_k\) qui, sur \(D_+(T_0)\), envoie \((x, y)\) sur \(x \in \mathbf{A}^1_k \subset \mathbf{P}^1_k\). Alors \(f\) est un morphisme de courbes propres non singulières sur \(k\) induisant une extension inséparable de corps de fonctions de degré \(p = 3\), mais le genre de \(X\) est \(1\) et celui de \(\mathbf{P}^1_k\) est \(0\).

Proposition

Soit \(k\) un corps de caractéristique \(p > 0\). Soit \(f : X \to Y\) un morphisme non constant de courbes propres lisses sur \(k\). On peut factoriser \(f\) sous la forme \[X \longrightarrow X^{(p^n)} \longrightarrow Y\], où \(X^{(p^n)} \to Y\) est un morphisme non constant de courbes propres lisses induisant une extension séparable \(k(X^{(p^n)})/k(Y)\), où \[X^{(p^n)} = X \times_{\Spec(k), F_{\Spec(k)}^n} \Spec(k),\] et où \(X \to X^{(p^n)}\) est le Frobenius relatif itéré \(n\) fois de \(X\).

Démonstration

D’après Corps, lemme 030K, il existe une extension intermédiaire \(k(X)/E/k(Y)\) telle que \(k(X)/E\) soit purement inséparable et \(E/k(Y)\) séparable. Par le théorème 0BY1, elle correspond à une factorisation \(X \to Z \to Y\) de \(f\), où \(Z\) est une courbe propre non singulière. On conclut en appliquant le lemme 0CCZ au morphisme \(X \to Z\).

Lemme

Soit \(k\) un corps de caractéristique \(p > 0\). Soit \(X\) une courbe propre lisse sur \(k\). Soit \((\mathcal{L}, V)\) une \(\mathfrak g^r_d\) avec \(r \geq 1\). Alors l’une des deux assertions suivantes est vraie :

il existe une \(\mathfrak g^1_d\) dont le morphisme correspondant \(X \to \mathbf{P}^1_k\) (lemme 0CCP) est génériquement étale (c’est-à-dire satisfait au lemme 0C1C);

il existe une \(\mathfrak g^r_{d'}\) sur \(X^{(p)}\), où \(d' \leq d/p\).

Démonstration

Choisissons deux éléments linéairement indépendants sur \(k\), notés \(s, t \in V\). Alors \(f = s/t\) est la fonction rationnelle définissant le morphisme \(X \to \mathbf{P}^1_k\) correspondant à la série linéaire \((\mathcal{L}, ks + kt)\). Si ce morphisme n’est pas génériquement étale, alors \(f \in k(X^{(p)})\) d’après la proposition 0CD2. Choisissons maintenant une base \(s_0, \ldots, s_r\) de \(V\) et soit \(\mathcal{L}' \subset \mathcal{L}\) le faisceau inversible engendré par \(s_0, \ldots, s_r\). Posons \(f_i = s_i/s_0\) dans \(k(X)\). Si, pour chaque couple \((s_0, s_i)\), on a \(f_i \in k(X^{(p)})\), le morphisme \[\varphi = \varphi_{(\mathcal{L}', (s_0, \ldots, s_r)} : X \longrightarrow \mathbf{P}^r_k = \text{Proj}(k[T_0, \ldots, T_r])\] se factorise par \(X^{(p)}\), car c’est vrai au-dessus de l’ouvert affine \(D_+(T_0)\), et le morphisme sur la partie affine se prolonge à la courbe lisse \(X^{(p)}\) tout entière d’après le lemme 0BXZ. Notons cette factorisation \[X \xrightarrow{F_{X/k}} X^{(p)} \xrightarrow{\psi} \mathbf{P}^r_k\] de \(\varphi\). Alors \(\mathcal{N} = \psi^*\mathcal{O}_{\mathbf{P}^1_k}(1)\) est un \(\mathcal{O}_{X^{(p)}}\)-module inversible tel que \(\mathcal{L}' = F_{X/k}^*\mathcal{N}\) et tel que \(\psi^*T_0, \ldots, \psi^*T_r\) soient linéairement indépendantes sur \(k\) (leurs images réciproques étant \(s_0, \ldots, s_r\) sur \(X\)). Enfin, on a \[d = \deg(\mathcal{L}) \geq \deg(\mathcal{L}') = \deg(F_{X/k}) \deg(\mathcal{N}) = p \deg(\mathcal{N})\], comme voulu. Nous avons utilisé ici Variétés, lemmes 0B40, 0AYZ et 0CCF.

Lemme

Soit \(k\) un corps. Soit \(X\) une courbe propre lisse sur \(k\) telle que \(H^0(X, \mathcal{O}_X) = k\) et de genre \(g \geq 2\). Il existe alors un point fermé \(x \in X\) tel que \(\kappa(x)/k\) soit séparable de degré \(\leq 2g - 2\).

Démonstration

Posons \(\omega = \Omega_{X/k}\). D’après le lemme 0C1A, ce module est de degré \(2g - 2\) et possède \(g\) sections globales. Nous disposons donc d’une \(\mathfrak g^{g - 1}_{2g - 2}\). Le lemme élémentaire 0CCQ donne une \(\mathfrak g^1_{2g - 2}\) et le lemme 0CCR fournit un morphisme \[\varphi : X \longrightarrow \mathbf{P}^1_k\] d’un certain degré \(d \leq 2g - 2\). Puisque \(\varphi\) est plat (lemme 0CCK) et fini (lemme 0CCL), il est fini localement libre de degré \(d\) (Morphismes, lemme 02KB). Choisissons un point rationnel \(t \in \mathbf{P}^1_k\) et un point \(x \in X\) tel que \(\varphi(x) = t\). Alors \[d \geq [\kappa(x) : \kappa(t)] = [\kappa(x) : k]\], par exemple d’après Morphismes, lemmes 0CC2 et 03J5. Si \(k\) est parfait (par exemple de caractéristique zéro ou fini), le lemme est donc démontré. On est ainsi ramené au cas du paragraphe suivant.

Supposons que \(k\) soit un corps infini de caractéristique \(p > 0\). Comme ci-dessus, nous utiliserons le fait que \(X\) possède une \(\mathfrak g^{g - 1}_{2g - 2}\). La courbe propre lisse \(X^{(p)}\) a le même genre que \(X\). Son genre est donc \(> 0\). On en conclut que \(X^{(p)}\) ne possède aucune \(\mathfrak g^{g - 1}_d\) pour \(d \leq g - 1\) d’après le lemme 0CCS. En appliquant le lemme 0CD3 à notre \(\mathfrak g^{g - 1}_{2g - 2}\) (et en remarquant que \(2g - 2/p \leq g - 1\)), on conclut que l’éventualité (2) ne se produit pas. On obtient donc un morphisme \[\varphi : X \longrightarrow \mathbf{P}^1_k\] génériquement étale (au sens du lemme) et de degré \(\leq 2g - 2\). Soit \(U \subset X\) le sous-schéma ouvert non vide où \(\varphi\) est étale. Alors \(\varphi(U) \subset \mathbf{P}^1_k\) est un ouvert de Zariski non vide et l’on peut choisir un point \(k\)-rationnel \(t \in \varphi(U)\), puisque \(k\) est infini. Soit \(u \in U\) un point tel que \(\varphi(u) = t\). Alors \(\kappa(u)/\kappa(t)\) est séparable (Morphismes, lemme 02GL), \(\kappa(t) = k\) et \([\kappa(u) : k] \leq 2g - 2\) comme précédemment.

Le lemme suivant n’appartient pas vraiment à cette section, mais nous ne lui connaissons pas de meilleure place.

Lemme

Soit \(X\) une courbe lisse sur un corps \(k\). Soit \(\overline{x} \in X_{\overline{k}}\) un point fermé d’image \(x \in X\). L’indice de ramification de \(\mathcal{O}_{X, x} \subset \mathcal{O}_{X_{\overline{k}}, \overline{x}}\) est le degré d’inséparabilité de \(\kappa(x)/k\).

Démonstration

Quitte à restreindre \(X\), on peut supposer qu’il existe un morphisme étale \(\pi : X \to \mathbf{A}^1_k\); voir Morphismes, lemme 054L. On peut alors considérer le diagramme d’anneaux locaux \[\xymatrix{ \mathcal{O}_{X_{\overline{k}}, \overline{x}} & \mathcal{O}_{\mathbf{A}^1_{\overline{k}}, \pi(\overline{x})} \ar[l] \\ \mathcal{O}_{X, x} \ar[u] & \mathcal{O}_{\mathbf{A}^1_k, \pi(x)} \ar[l] \ar[u] }\] Les flèches horizontales sont d’indice de ramification \(1\), car elles correspondent à des morphismes étales. De plus, l’extension \(\kappa(x)/\kappa(\pi(x))\) est séparable; ainsi \(\kappa(x)\) et \(\kappa(\pi(x))\) ont le même degré d’inséparabilité sur \(k\). Par multiplicativité des indices de ramification, il suffit de démontrer le résultat lorsque \(x\) est un point de la droite affine.

Supposons \(X = \mathbf{A}^1_k\). Dans ce cas, l’anneau local de \(X\) en \(x\) est de la forme \[\mathcal{O}_{X, x} = k[t]_{(P)}\], où \(P\) est un polynôme unitaire irréductible sur \(k\). Alors \(P(t) = Q(t^q)\) pour un polynôme séparable \(Q \in k[t]\); voir Corps, lemme 09H0. Remarquons que \(\kappa(x) = k[t]/(P)\) est de degré d’inséparabilité \(q\) sur \(k\). D’autre part, sur \(\overline{k}\), on peut factoriser \(Q(t) = \prod (t - \alpha_i)\) avec les \(\alpha_i\) deux à deux distincts. Écrivons \(\alpha_i = \beta_i^q\) pour un unique \(\beta_i \in \overline{k}\). Notre point \(\overline{x}\) correspond alors à l’un des \(\beta_i\); on conclut, car l’indice de ramification de \[k[t]_{(P)} \longrightarrow \overline{k}[t]_{(t - \beta_i)}\] est bien égal à \(q\), puisque l’uniformisante \(P\) s’envoie sur \((t - \beta_i)^q\) multiplié par une unité.

Sommes amalgamées

Soit \(k\) un corps. Considérons un diagramme en traits pleins \[\xymatrix{ Z' \ar[d] \ar[r]_{i'} & X' \ar@{..>}[d]^a \\ Z \ar@{..>}[r]^i & X }\] de schémas sur \(k\) satisfaisant aux conditions suivantes :

\(X'\) est séparé de type fini sur \(k\), de dimension \(\leq 1\);
\(i : Z' \to X'\) est une immersion fermée;
\(Z'\) et \(Z\) sont finis sur \(\Spec(k)\);
\(Z' \to Z\) est surjectif.

Dans cette situation, toute partie finie de \(X'\) est contenue dans un ouvert affine; voir Variétés, proposition 09NN. Les hypothèses de Compléments sur les morphismes, proposition 0E25 sont donc satisfaites, et l’on obtient les propriétés suivantes :

la somme amalgamée \(X = Z \amalg_{Z'} X'\) existe dans la catégorie des schémas;
\(i : Z \to X\) est une immersion fermée;
\(a : X' \to X\) est entier et surjectif;
\(X \to \Spec(k)\) est séparé d’après Compléments sur les morphismes, lemme 0E26;
\(X \to \Spec(k)\) est de type fini d’après Compléments sur les morphismes, lemmes 0E27;
ainsi \(a : X' \to X\) est fini d’après Morphismes, lemmes 01WJ et 01T8;
si \(X' \to \Spec(k)\) est propre, alors \(X \to \Spec(k)\) est propre d’après Morphismes, lemme 03GN.

Le lemme suivant admet des généralisations considérables.

Lemme

Dans la situation ci-dessus, supposons \(Z = \Spec(k')\), où \(k'\) est un corps, et \(Z' = \Spec(k'_1 \times \ldots \times k'_n)\), où les \(k'_i/k'\) sont des extensions finies de corps. Soient \(x \in X\) l’image de \(Z \to X\) et \(x'_i \in X'\) l’image de \(\Spec(k'_i) \to X'\). On a alors un diagramme de produit fibré \[\xymatrix{ \prod\nolimits_{i = 1, \ldots, n} k'_i & \prod\nolimits_{i = 1, \ldots, n} \mathcal{O}_{X', x'_i}^\wedge \ar[l] \\ k' \ar[u] & \mathcal{O}_{X, x}^\wedge \ar[u] \ar[l] }\] dans lequel les flèches horizontales sont les applications vers les corps résiduels.

Démonstration

Choisissons un voisinage ouvert affine \(\Spec(A)\) de \(x\) dans \(X\). Soit \(\Spec(A') \subset X'\) son image réciproque. Par construction, on a un diagramme de produit fibré \[\xymatrix{ \prod\nolimits_{i = 1, \ldots, n} k'_i & A' \ar[l] \\ k' \ar[u] & A \ar[u] \ar[l] }\] Puisque tous les objets sont finis sur \(A\), ce diagramme reste un diagramme de produit fibré après complétion par rapport à l’idéal maximal \(\mathfrak m \subset A\) correspondant à \(x\) (Algèbre, lemme 00MB). Enfin, on applique Algèbre, lemme 07N9 pour identifier le complété de \(A'\).

Identification de points et écrasement de vecteurs tangents

Dans la suite, nous noterons \(k[\epsilon]\) l’algèbre des nombres duaux sur \(k\) définie dans Variétés, définition 0B29.

Lemme

Soit \(k\) un corps algébriquement clos. Soit \(k \subset A\) une extension d’anneaux telle que \(A\) possède exactement deux sous-algèbres sur \(k\). Alors on a soit \(A = k \times k\), soit \(A = k[\epsilon]\).

Démonstration

L’hypothèse signifie que \(k \not = A\) et que tout sous-anneau \(k \subset C \subset A\) est égal à \(k\) ou à \(A\). Soit \(t \in A\) avec \(t \not \in k\). Alors \(A\) est engendré par \(t\) sur \(k\). Ainsi \(A = k[x]/I\) pour un idéal \(I\). Si \(I = (0)\), on dispose de la sous-algèbre \(k[x^2]\), ce qui est exclu. Sinon, \(I\) est engendré par un polynôme unitaire \(P\). Écrivons \(P = \prod_{i = 1}^d (t - a_i)\). Si \(d > 2\), la sous-algèbre engendrée par \((t - a_1)(t - a_2)\) donne une contradiction. Ainsi \(d = 2\). Si \(a_1 \not = a_2\), alors \(A = k \times k\); si \(a_1 = a_2\), alors \(A = k[\epsilon]\).

Exemple

Soit \(k\) un corps algébriquement clos. Soit \(f : X' \to X\) un morphisme de schémas algébriques sur \(k\). On dit que \(X\) est obtenu en identifiant \(a\) et \(b\) dans \(X'\) si les conditions suivantes sont satisfaites :

\(a, b \in X'(k)\) sont des points distincts ayant pour image un même point \(x \in X(k)\);

\(f\) est fini et \(f^{-1}(X \setminus \{x\}) \to X \setminus \{x\}\) est un isomorphisme;

on a une suite exacte courte \[0 \to \mathcal{O}_X \to f_*\mathcal{O}_{X'} \xrightarrow{a - b} x_*k \to 0\] dont la flèche de droite envoie une section locale \(h\) de \(f_*\mathcal{O}_{X'}\) sur la différence \(h(a) - h(b) \in k\).

Dans ce cas, on a aussi une suite exacte courte \[0 \to \mathcal{O}_X^* \to f_*\mathcal{O}_{X'}^* \xrightarrow{ab^{-1}} x_*k^* \to 0\] dont la flèche de droite envoie une section locale \(h\) de \(f_*\mathcal{O}_{X'}^*\) sur la différence multiplicative \(h(a)h(b)^{-1} \in k^*\).

Exemple

Soit \(k\) un corps algébriquement clos. Soit \(f : X' \to X\) un morphisme de schémas algébriques sur \(k\). On dit que \(X\) est obtenu en écrasant le vecteur tangent \(\vartheta\) dans \(X'\) si les conditions suivantes sont satisfaites :

\(\vartheta : \Spec(k[\epsilon]) \to X'\) est une immersion fermée sur \(k\) telle que \(f \circ \vartheta\) se factorise par un point \(x \in X(k)\);

\(f\) est fini et \(f^{-1}(X \setminus \{x\}) \to X \setminus \{x\}\) est un isomorphisme;

on a une suite exacte courte \[0 \to \mathcal{O}_X \to f_*\mathcal{O}_{X'} \xrightarrow{\vartheta} x_*k \to 0\] dont la flèche de droite envoie une section locale \(h\) de \(f_*\mathcal{O}_{X'}\) sur le coefficient de \(\epsilon\) dans \(\vartheta^\sharp(h) \in k[\epsilon]\).

Dans ce cas, on a aussi une suite exacte courte \[0 \to \mathcal{O}_X^* \to f_*\mathcal{O}_{X'}^* \xrightarrow{\vartheta} x_*k \to 0\] dont la flèche de droite envoie une section locale \(h\) de \(f_*\mathcal{O}_{X'}^*\) sur \(\text{d}\log(\vartheta^\sharp(h))\), où \(\text{d}\log : k[\epsilon]^* \to k\) est l’homomorphisme de groupes abéliens envoyant \(a + b\epsilon\) sur \(b/a \in k\).

Lemme

Soit \(k\) un corps algébriquement clos. Soit \(f : X' \to X\) un morphisme fini de schémas algébriques sur \(k\) tel que \(\mathcal{O}_X \subset f_*\mathcal{O}_{X'}\) et tel que \(f\) soit un isomorphisme hors d’un ensemble fini de points. Il existe alors une factorisation \[X' = X_n \to X_{n - 1} \to \ldots \to X_1 \to X_0 = X\] telle que chaque \(X_i \to X_{i - 1}\) soit soit une identification de deux points, soit l’écrasement d’un vecteur tangent (voir les exemples 0C1J et 0C1K).

Démonstration

Soit \(U \subset X\) le plus grand ouvert au-dessus duquel \(f\) est un isomorphisme. Alors \(X \setminus U = \{x_1, \ldots, x_n\}\) avec \(x_i \in X(k)\). Nous considérerons les factorisations \(X' \to Y \to X\) de \(f\) telles que les deux morphismes soient finis et que \[\mathcal{O}_X \subset g_*\mathcal{O}_Y \subset f_*\mathcal{O}_{X'}\], où \(g : Y \to X\) est le morphisme donné. Par hypothèse, \(\mathcal{O}_{X, x} \to (f_*\mathcal{O}_{X'})_x\) est un isomorphisme sauf si \(x = x_i\) pour un certain \(i\). Le conoyau \[f_*\mathcal{O}_{X'}/\mathcal{O}_X = \bigoplus \mathcal{Q}_i\] est donc une somme directe de faisceaux gratte-ciel \(\mathcal{Q}_i\) de supports \(x_1, \ldots, x_n\). Puisque le quotient affiché est un \(\mathcal{O}_X\)-module cohérent, \(\mathcal{Q}_i\) est de longueur finie sur \(\mathcal{O}_{X, x_i}\). On peut donc raisonner par récurrence sur la somme de ces longueurs, c’est-à-dire sur la longueur du conoyau tout entier.

Si \(n > 1\), on peut définir une \(\mathcal{O}_X\)-sous-algèbre, notée \(\mathcal{A} \subset f_*\mathcal{O}_{X'}\), en prenant l’image réciproque de \(\mathcal{Q}_1\). On obtient ainsi une factorisation non triviale et l’on conclut par récurrence.

Supposons \(n = 1\). Abrégeons la notation en posant \(x = x_1\). Considérons l’extension finie de \(k\)-algèbres \[A = \mathcal{O}_{X, x} \subset (f_*\mathcal{O}_{X'})_x = B\] Remarquons que \(\mathcal{Q} = \mathcal{Q}_1\) est le faisceau gratte-ciel de valeur \(B/A\). On dispose d’une sous-algèbre sur \(k\), à savoir \(A \subset A + \mathfrak m_A B \subset B\). Si les deux inclusions sont strictes, on obtient une factorisation non triviale et l’on conclut par récurrence comme ci-dessus. Si \(A + \mathfrak m_A B = B\), alors \(A = B\) par Nakayama; ainsi \(f\) est un isomorphisme et il n’y a rien à démontrer. On peut donc supposer \(B = A + \mathfrak m_A B\). Posons \(C = B/\mathfrak m_A B\). Si \(C\) possède plus de \(2\) sous-algèbres sur \(k\), on obtient une sous-algèbre strictement intermédiaire entre \(A\) et \(B\) en prenant l’image réciproque dans \(B\). On peut donc supposer que \(C\) possède exactement \(2\) sous-algèbres sur \(k\). Alors \(C = k \times k\) ou \(C = k[\epsilon]\) d’après le lemme 0C1I. Dans ces deux cas, \(f\) est respectivement l’identification de deux points ou l’écrasement d’un vecteur tangent.

Lemme

Soit \(k\) un corps algébriquement clos. Si \(f : X' \to X\) est l’identification de deux points \(a, b\) comme dans l’exemple 0C1J, on a une suite exacte \[k^* \to \Pic(X) \to \Pic(X') \to 0\] La première application est nulle si \(a\) et \(b\) appartiennent à des composantes connexes distinctes de \(X'\), et injective si \(X'\) est propre et si \(a\) et \(b\) appartiennent à la même composante connexe de \(X'\).

Démonstration

L’application \(\Pic(X) \to \Pic(X')\) est surjective d’après Variétés, lemme 0C0T. La suite exacte courte \[0 \to \mathcal{O}_X^* \to f_*\mathcal{O}_{X'}^* \xrightarrow{ab^{-1}} x_*k^* \to 0\] donne \[H^0(X', \mathcal{O}_{X'}^*) \xrightarrow{ab^{-1}} k^* \to H^1(X, \mathcal{O}_X^*) \to H^1(X, f_*\mathcal{O}_{X'}^*)\] On a \(H^1(X, f_*\mathcal{O}_{X'}^*) \subset H^1(X', \mathcal{O}_{X'}^*)\) (par exemple par la suite spectrale de Leray; voir Cohomologie, lemme 01F2). Le noyau de \(\Pic(X) \to \Pic(X')\) est donc le conoyau de \(ab^{-1} : H^0(X', \mathcal{O}_{X'}^*) \to k^*\). Si \(a\) et \(b\) appartiennent à des composantes connexes distinctes de \(X'\), alors \(ab^{-1}\) est surjective. Puisque \(k\) est algébriquement clos, toute fonction régulière sur un schéma réduit connexe propre sur \(k\) provient d’un élément de \(k\); voir Variétés, lemme 0BUG. Ainsi \(ab^{-1}\) est nulle si \(X'\) est propre et si \(a\) et \(b\) appartiennent à la même composante connexe.

Lemme

Soit \(k\) un corps algébriquement clos. Si \(f : X' \to X\) est l’écrasement d’un vecteur tangent \(\vartheta\) comme dans l’exemple 0C1K, on a une suite exacte \[(k, +) \to \Pic(X) \to \Pic(X') \to 0\] dont la première application est injective si \(X'\) est propre et réduit.

Démonstration

L’application \(\Pic(X) \to \Pic(X')\) est surjective d’après Variétés, lemme 0C0T. La suite exacte courte \[0 \to \mathcal{O}_X^* \to f_*\mathcal{O}_{X'}^* \xrightarrow{\vartheta} x_*k \to 0\] de l’exemple 0C1K donne \[H^0(X', \mathcal{O}_{X'}^*) \xrightarrow{\vartheta} k \to H^1(X, \mathcal{O}_X^*) \to H^1(X, f_*\mathcal{O}_{X'}^*)\] On a \(H^1(X, f_*\mathcal{O}_{X'}^*) \subset H^1(X', \mathcal{O}_{X'}^*)\) (par exemple par la suite spectrale de Leray; voir Cohomologie, lemme 01F2). Le noyau de \(\Pic(X) \to \Pic(X')\) est donc le conoyau de l’application \(\vartheta : H^0(X', \mathcal{O}_{X'}^*) \to k\). Puisque \(k\) est algébriquement clos, toute fonction régulière sur un schéma réduit connexe propre sur \(k\) provient d’un élément de \(k\); voir Variétés, lemme 0BUG. D’où la dernière assertion du lemme.

Singularités en croisement multiple et singularités nodales

Dans cette section, nous étudions les singularités de courbes les plus simples possibles.

Soit \(k\) un corps. Considérons la \(k\)-algèbre locale complète [0C1U]\[\begin{equation} A = \{(f_1, \ldots, f_n) \in k[[t]] \times \ldots \times k[[t]] \mid f_1(0) = \ldots = f_n(0)\} \end{equation}\] Dans la terminologie introduite dans Variétés, définition 0C41, \(A\) est un bouquet de \(n\) copies de l’anneau des séries formelles en \(1\) variable sur \(k\). Remarquons que \(k[[t]] \times \ldots \times k[[t]]\) est la clôture intégrale de \(A\) dans son anneau total des fractions. L’invariant \(\delta\) de \(A\) est donc \(n - 1\). On a un isomorphisme \[k[[x_1, \ldots, x_n]]/(\{x_ix_j\}_{i \not = j}) \longrightarrow A\] obtenu en envoyant \(x_i\) sur \((0, \ldots, 0, t, 0, \ldots, 0)\) dans \(A\). Il s’ensuit que \(\dim(A) = 1\) et \(\dim_k \mathfrak m/\mathfrak m^2 = n\). En particulier, \(A\) est régulier si et seulement si \(n = 1\).

Lemme

Soit \(k\) un corps séparablement clos. Soit \(A\) une algèbre locale de Nagata réduite de dimension \(1\) sur \(k\), de corps résiduel \(k\). Alors \[\text{invariant }\delta\text{ de }A \geq \text{nombre de branches de }A - 1\] En cas d’égalité, \(A^\wedge\) est de la forme (0C1U).

Démonstration

Puisque le corps résiduel de \(A\) est séparablement clos, le nombre de branches de \(A\) est égal au nombre de branches géométriques de \(A\); voir Compléments d’algèbre, définition 0C26. L’inégalité résulte de Variétés, lemme 0C43. Supposons qu’il y ait égalité. On peut remplacer \(A\) par le complété de \(A\); cela ne modifie ni le nombre de branches ni l’invariant \(\delta\), d’après Compléments d’algèbre, lemme 0C2D et Variétés, lemme 0C3W. Alors \(A\) est strictement hensélien; voir Algèbre, lemme 04GM. D’après Variétés, lemme 0C42, \(A\) est un bouquet d’anneaux de valuation discrète complets. Chacun d’eux est isomorphe à \(k[[t]]\) d’après Algèbre, lemme 0C0S. Ainsi \(A\) est de la forme (0C1U).

Définition

Soit \(k\) un corps algébriquement clos. Soit \(X\) un schéma algébrique de dimension \(1\) sur \(k\). Soit \(x \in X\) un point fermé. On dit que \(x\) définit une singularité en croisement multiple si le complété \(\mathcal{O}_{X, x}^\wedge\) est isomorphe à (0C1U) pour un certain \(n \geq 2\). On dit que \(x\) est un nœud, ou un point double ordinaire, ou définit une singularité nodale, si \(n = 2\).

Ces singularités sont, en un sens, les singularités les plus simples que puisse présenter une courbe sur un corps algébriquement clos.

Lemme

Soit \(k\) un corps algébriquement clos. Soit \(X\) un schéma algébrique réduit de dimension \(1\) sur \(k\). Soit \(x \in X\). Les conditions suivantes sont équivalentes :

\(x\) définit une singularité en croisement multiple;

l’invariant \(\delta\) de \(X\) en \(x\) est égal au nombre de branches de \(X\) en \(x\) diminué de \(1\);

il existe une suite de morphismes \(U_n \to U_{n - 1} \to \ldots \to U_0 = U \subset X\), où \(U\) est un voisinage ouvert de \(x\), où \(U_n\) est non singulier et où chaque \(U_i \to U_{i - 1}\) est une identification de deux points comme dans l’exemple 0C1J.

Démonstration

L’équivalence de (1) et (2) est le lemme 0C1V.

Supposons (3). Montrons par récurrence descendante sur \(i\) que toutes les singularités de \(U_i\) sont des croisements multiples. C’est vrai pour \(U_n\), puisque \(U_n\) n’a pas de point singulier. Si \(U_i\) s’obtient à partir de \(U_{i + 1}\) en identifiant \(a, b \in U_{i + 1}\) en un point \(c \in U_i\), alors \[\mathcal{O}_{U_i, c}^\wedge \subset \mathcal{O}_{U_{i + 1}, a}^\wedge \times \mathcal{O}_{U_{i + 1}, b}^\wedge\] est l’ensemble des éléments ayant les mêmes classes résiduelles dans \(k\). Le nombre de branches en \(c\) est donc la somme des nombres de branches en \(a\) et \(b\), et l’invariant \(\delta\) en \(c\) est la somme des invariants \(\delta\) en \(a\) et \(b\) augmentée de \(1\) (car l’inclusion affichée est de codimension \(1\)). Cela établit (2), comme voulu.

Supposons les conditions équivalentes (1) et (2). On peut choisir un ouvert \(U \subset X\) tel que \(x\) soit le seul point singulier de \(U\). Appliquons alors le lemme 0C1L au morphisme de normalisation \[U^\nu = U_n \to U_{n - 1} \to \ldots \to U_1 \to U_0 = U\] Il reste seulement à montrer qu’aucune étape n’écrase un vecteur tangent. Supposons que \(U_{i + 1} \to U_i\) soit le premier morphisme, pour le plus petit \(i\), qui écrase un vecteur tangent \(\theta\) en \(u' \in U_{i + 1}\) au-dessus de \(u \in U_i\). En raisonnant comme ci-dessus, on voit que \(u_i\) est une singularité en croisement multiple (car les morphismes \(U_i \to \ldots \to U_0\) identifient des paires de points). Mais le nombre de branches en \(u'\) et en \(u\) est le même, tandis que l’invariant \(\delta\) de \(U_i\) en \(u\) dépasse de \(1\) l’invariant \(\delta\) de \(U_{i + 1}\) en \(u'\). D’après le lemme 0C1V, \(u\) ne peut donc pas être une singularité en croisement multiple, d’où une contradiction.

Lemme

Soit \(k\) un corps algébriquement clos. Soit \(X\) un schéma algébrique réduit de dimension \(1\) sur \(k\). Soit \(x \in X\) un point où ce schéma présente une singularité en croisement multiple (définition 0C1W). Si \(X\) est de Gorenstein, alors \(x\) est un nœud.

Démonstration

L’application \(\mathcal{O}_{X, x} \to \mathcal{O}_{X, x}^\wedge\) est plate et non ramifiée au sens où \(\kappa(x) = \mathcal{O}_{X, x}^\wedge/\mathfrak m_x \mathcal{O}_{X, x}^\wedge\). (Voir Compléments d’algèbre, section 07NU.) Ainsi, si \(X\) est de Gorenstein, \(\mathcal{O}_{X, x}\) est de Gorenstein, puis \(\mathcal{O}_{X, x}^\wedge\) est de Gorenstein d’après Complexes dualisants, lemme 0BJL. Il suffit donc de montrer que l’anneau \(A\) de (0C1U), avec \(n \geq 2\), est de Gorenstein si et seulement si \(n = 2\).

Si \(n = 2\), alors \(A = k[[x, y]]/(xy)\) est une intersection complète, donc de Gorenstein. Cela résulte par exemple de Dualité pour les schémas, lemme 0BVA appliqué à \(k[[x, y]] \to A\), et du fait que l’anneau local régulier \(k[[x, y]]\) est de Gorenstein d’après Complexes dualisants, lemme 0AWX.

Supposons \(n > 2\). Si \(A\) était de Gorenstein, \(A\) serait un complexe dualisant sur \(A\) (Dualité pour les schémas, définition 0AWW). Alors \(R\Hom(k, A)\) serait égal à \(k[n]\) pour un certain \(n \in \mathbf{Z}\); voir Complexes dualisants, lemme 0A7L. Il en résulterait que \(\Ext^1_A(k, A) \cong k\) ou \(\Ext^1_A(k, A) = 0\) (suivant la valeur de \(n\); en fait, \(n\) doit valoir \(-1\), mais cela n’importe pas ici). La suite exacte \[0 \to \mathfrak m_A \to A \to k \to 0\] donne \[\Ext^1_A(k, A) = \Hom_A(\mathfrak m_A, A)/A\], où \(A \to \Hom_A(\mathfrak m_A, A)\) est défini par \(a \mapsto (a' \mapsto aa')\). Soit \(e_i \in \Hom_A(\mathfrak m_A, A)\) l’élément qui envoie \((f_1, \ldots, f_n) \in \mathfrak m_A\) sur \((0, \ldots, 0, f_i, 0, \ldots, 0)\). Le lecteur vérifie aisément que \(e_1, \ldots, e_{n - 1}\) sont linéairement indépendants sur \(k\) dans \(\Hom_A(\mathfrak m_A, A)/A\). Ainsi \(\dim_k \Ext^1_A(k, A) \geq n - 1 \geq 2\), ce qui achève la démonstration. (Remarquons que \(e_1 + \ldots + e_n\) est l’image de \(1\) par l’application \(A \to \Hom_A(\mathfrak m_A, A)\).)

Torsion du groupe de Picard

Dans cette section, nous majorons la torsion du groupe de Picard d’un schéma propre de dimension \(1\) sur un corps. Nous utiliserons ce résultat dans l’étude de la réduction semi-stable des courbes.

Il ne semble pas exister de démonstration élémentaire du résultat du lemme 0C1Z. L’analyse de sa preuve fait apparaître deux ingrédients essentiels : (1) l’existence d’une variété abélienne classifiant les faisceaux inversibles de degré zéro sur une courbe projective lisse et (2) la détermination de la structure des points de torsion d’une variété abélienne.

Lemme

Soit \(k\) un corps algébriquement clos. Soit \(X\) une courbe projective lisse de genre \(g\) sur \(k\).

Si \(n \geq 1\) est inversible dans \(k\), alors \(\Pic(X)[n] \cong (\mathbf{Z}/n\mathbf{Z})^{\oplus 2g}\).

Si la caractéristique de \(k\) est \(p > 0\), il existe un entier \(0 \leq f \leq g\) tel que \(\Pic(X)[p^m] \cong (\mathbf{Z}/p^m\mathbf{Z})^{\oplus f}\) pour tout \(m \geq 1\).

Démonstration

Notons \(\Pic^0(X) \subset \Pic(X)\) le sous-groupe des faisceaux inversibles de degré \(0\). Autrement dit, on a une suite exacte courte \[0 \to \Pic^0(X) \to \Pic(X) \xrightarrow{\deg} \mathbf{Z} \to 0.\] Le groupe \(\Pic^0(X)\) est le groupe des points à valeurs dans \(k\) du schéma en groupes \(\underline{\Picardfunctor}^0_{X/k}\); voir Schémas de Picard des courbes, lemme 0BA0. Le même lemme affirme que \(\underline{\Picardfunctor}^0_{X/k}\) est une variété abélienne de dimension \(g\) sur \(k\) au sens de Groupoïdes, définition 03RO. On conclut donc par Groupoïdes, proposition 03RP.

Lemme

Soit \(k\) un corps. Soit \(n\) premier à la caractéristique de \(k\). Soit \(X\) une courbe propre lisse sur \(k\) telle que \(H^0(X, \mathcal{O}_X) = k\) et de genre \(g\).

Si \(g = 1\), il existe une extension finie séparable \(k'/k\) telle que \(X_{k'}\) possède un point \(k'\)-rationnel et que \(\Pic(X_{k'})[n] \cong (\mathbf{Z}/n\mathbf{Z})^{\oplus 2}\).

Si \(g \geq 2\), il existe une extension finie séparable \(k'/k\) avec \([k' : k] \leq (2g - 2)(n^{2g})!\) telle que \(X_{k'}\) possède un point \(k'\)-rationnel et que \(\Pic(X_{k'})[n] \cong (\mathbf{Z}/n\mathbf{Z})^{\oplus 2g}\).

Démonstration

Supposons \(g \geq 2\). On peut d’abord choisir une extension finie séparable de degré au plus \(2g - 2\) sur laquelle \(X\) acquiert un point rationnel; voir le lemme 0CD4. On peut donc supposer que \(X\) possède un point \(k\)-rationnel, noté \(x \in X(k)\), mais il faut désormais démontrer le lemme avec \([k' : k] \leq (n^{2g})!\). Soit \(k \subset k^{sep} \subset \overline{k}\) une clôture séparable contenue dans une clôture algébrique. D’après le lemme 0C1Z, on a \[\Pic(X_{\overline{k}})[n] \cong (\mathbf{Z}/n\mathbf{Z})^{\oplus 2g}\] D’après Schémas de Picard des courbes, lemme 0CD5, on en déduit \[\Pic(X_{k^{sep}})[n] \cong (\mathbf{Z}/n\mathbf{Z})^{\oplus 2g}\] D’après Schémas de Picard des courbes, lemme 0CD5, il existe une action continue \[\text{Gal}(k^{sep}/k) \longrightarrow \text{Aut}(\Pic(X_{k^{sep}})[n]\], et le lemme est vrai pour le corps fixe \(k'\) du noyau de cette application. Ce noyau est ouvert par continuité de l’action, ce qui entraîne que \(k'/k\) est finie. Par la théorie de Galois, \(\text{Gal}(k'/k)\) est l’image de la flèche affichée. Puisque le groupe des permutations d’un ensemble de cardinal \(n^{2g}\) a pour cardinal \((n^{2g})!\), la théorie de Galois donne \([k' : k] \leq (n^{2g})!\). (Bien entendu, cela démontre le lemme avec la borne \(|\text{GL}_{2g}(\mathbf{Z}/n\mathbf{Z})|\), mais seule l’existence d’une borne nous importe ici.)

Si le genre est \(1\), il n’y a pas de majoration du degré d’une extension finie séparable sur laquelle \(X\) acquiert un point rationnel (nous omettons les détails). Une telle extension existe néanmoins, par exemple d’après Variétés, lemme 056U. La suite de la démonstration est identique au cas \(g \geq 2\).

Proposition

Soit \(k\) un corps algébriquement clos. Soit \(X\) un schéma propre sur \(k\), réduit, connexe et de dimension \(1\). Soit \(g\) le genre de \(X\) et soit \(g_{geom}\) la somme des genres géométriques des composantes irréductibles de \(X\). Pour tout nombre premier \(\ell\) différent de la caractéristique de \(k\), on a \[\dim_{\mathbf{F}_\ell} \Pic(X)[\ell] \leq g + g_{geom}\], avec égalité si et seulement si toutes les singularités de \(X\) sont des croisements multiples.

Démonstration

Soit \(\nu : X^\nu \to X\) la normalisation (Variétés, lemme 0C1R). Choisissons une factorisation \[X^\nu = X_n \to X_{n - 1} \to \ldots \to X_1 \to X_0 = X\] comme dans le lemme 0C1L. Notons \(h^0_i = \dim_k H^0(X_i, \mathcal{O}_{X_i})\) et \(h^1_i = \dim_k H^1(X_i, \mathcal{O}_{X_i})\). D’après les lemmes 0C1M et 0C1N, pour chaque \(n > i \geq 0\), on est dans l’un des trois cas suivants :

\(X_i\) s’obtient en identifiant les points \(a, b \in X_{i + 1}\), situés sur des composantes connexes distinctes : dans ce cas, \(\Pic(X_i) = \Pic(X_{i + 1})\), \(h^0_{i + 1} = h^0_i + 1\), \(h^1_{i + 1} = h^1_i\);

\(X_i\) s’obtient en identifiant les points \(a, b \in X_{i + 1}\), situés sur une même composante connexe : dans ce cas, on a une suite exacte courte \[0 \to k^* \to \Pic(X_i) \to \Pic(X_{i + 1}) \to 0,\] et \(h^0_{i + 1} = h^0_i\), \(h^1_{i + 1} = h^1_i - 1\);

\(X_i\) s’obtient en écrasant un vecteur tangent dans \(X_{i + 1}\) : dans ce cas, on a une suite exacte courte \[0 \to (k, +) \to \Pic(X_i) \to \Pic(X_{i + 1}) \to 0,\] et \(h^0_{i + 1} = h^0_i\), \(h^1_{i + 1} = h^1_i - 1\).

Pour les assertions sur les dimensions des groupes de cohomologie du faisceau structural, on utilise les suites exactes des exemples 0C1J et 0C1K. Puisque \(k\) est algébriquement clos de caractéristique différente de \(\ell\), les groupes \((k, +)\) et \(k^*\) sont divisibles par \(\ell\) et leur torsion d’ordre \(\ell\) est respectivement \((k, +)[\ell] = 0\) et \(k^*[\ell] \cong \mathbf{F}_\ell\). Ainsi \[\dim_{\mathbf{F}_\ell} \Pic(X_{i + 1})[\ell] - \dim_{\mathbf{F}_\ell}\Pic(X_i)[\ell]\] est nul, sauf dans le cas (2), où il vaut \(-1\). À l’issue de ce processus, on obtient la normalisation \(X^\nu = X_n\), qui est une réunion disjointe de courbes projectives lisses sur \(k\). On a donc

\(h^1_n = g_{geom}\) et

\(\dim_{\mathbf{F}_\ell} \Pic(X_n)[\ell] = 2g_{geom}\).

La dernière égalité résulte du lemme 0C1Z. Puisque \(g = h^1_0\), le nombre d’étapes de types (2) et (3) est au plus \(h^1_0 - h^1_n = g - g_{geom}\). Le calcul des différences de rangs donne \[\dim_{\mathbf{F}_\ell} \Pic(X)[\ell] \leq g - g_{geom} + 2g_{geom} = g + g_{geom}\], avec égalité si et seulement si aucune étape de type (3) n’intervient. Cela signifie bien que toutes les singularités de \(X\) sont des croisements multiples, d’après le lemme 0C1X. Réciproquement, si toutes les singularités sont des croisements multiples, le lemme 0C1X assure l’existence d’une suite \(X^\nu = X_n \to \ldots \to X_0 = X\) comme ci-dessus sans étape de type (3), et l’on obtient l’égalité dans le lemme (il suffit de recoller les suites locales en chaque point pour en obtenir une qui convienne à tous les points singuliers de \(x\); nous omettons quelques détails).

Comparaison du genre et du genre géométrique

Soit \(k\) un corps, et notons \(\overline{k}\) une clôture algébrique de ce corps. Soit \(X\) un schéma propre de dimension \(\leq 1\) sur \(k\). Nous définissons \(g_{geom}(X/k)\) comme la somme des genres géométriques des composantes irréductibles de \(X_{\overline{k}}\) de dimension \(1\).

Lemme

Soit \(k\) un corps. Soit \(X\) un schéma propre de dimension \(\leq 1\) sur \(k\). Alors \[g_{geom}(X/k) = \sum\nolimits_{C \subset X} g_{geom}(C/k)\], la somme portant sur les composantes irréductibles \(C \subset X\) de dimension \(1\).

Démonstration

Cela résulte immédiatement de la définition et du fait qu’une composante irréductible \(\overline{Z}\) de \(X_{\overline{k}}\) se projette surjectivement sur une composante irréductible \(Z\) de \(X\) (Variétés, lemme 04KX) de même dimension (Morphismes, lemme 02FY appliqué au point générique de \(\overline{Z}\)).

Lemme

Soit \(k\) un corps. Soit \(X\) un schéma propre de dimension \(\leq 1\) sur \(k\). Alors

On a \(g_{geom}(X/k) = g_{geom}(X_{red}/k)\).

Si \(X' \to X\) est un morphisme propre birationnel, alors \(g_{geom}(X'/k) = g_{geom}(X/k)\).

Si \(X^\nu \to X\) est le morphisme de normalisation, alors \(g_{geom}(X^\nu/k) = g_{geom}(X/k)\).

Démonstration

L’assertion (1) résulte immédiatement du lemme 0CE1. Si \(X' \to X\) est propre birationnel, il est fini et c’est un isomorphisme au-dessus d’un ouvert dense (voir Variétés, lemmes 0AB7 et 0BFP). Ainsi \(X'_{\overline{k}} \to X_{\overline{k}}\) est un isomorphisme au-dessus d’un ouvert dense. Les composantes irréductibles de \(X'_{\overline{k}}\) et \(X_{\overline{k}}\) sont donc en bijection, et les composantes correspondantes ont des corps de fonctions isomorphes. Leurs modèles projectifs non singuliers sont donc isomorphes, et leurs genres géométriques égaux. Cela prouve (2). L’assertion (3) résulte de (1), de (2) et du fait que \(X^\nu \to X_{red}\) est birationnel (Morphismes, lemme 0BXC).

Lemme

Soit \(k\) un corps. Soit \(X\) un schéma propre de dimension \(\leq 1\) sur \(k\). Soit \(f : Y \to X\) un morphisme fini tel qu’il existe un ouvert dense \(U \subset X\) au-dessus duquel \(f\) soit une immersion fermée. Alors \[\dim_k H^1(X, \mathcal{O}_X) \geq \dim_k H^1(Y, \mathcal{O}_Y)\]

Démonstration

Considérons la suite exacte \[0 \to \mathcal{G} \to \mathcal{O}_X \to f_*\mathcal{O}_Y \to \mathcal{F} \to 0\] de faisceaux cohérents sur \(X\). Par hypothèse, \(\mathcal{F}\) est à support dans un nombre fini de points fermés, et sa cohomologie supérieure est donc nulle (Variétés, lemme 0AYT). D’autre part, on a \(H^2(X, \mathcal{G}) = 0\) d’après Cohomologie, proposition 02UZ. Il s’ensuit formellement que l’application induite \(H^1(X, \mathcal{O}_X) \to H^1(X, f_*\mathcal{O}_Y)\) est surjective. Puisque \(H^1(X, f_*\mathcal{O}_Y) = H^1(Y, \mathcal{O}_Y)\) (Cohomologie des schémas, lemme 089W), le lemme en résulte.

Lemme

Soit \(k\) un corps. Soit \(X\) un schéma propre de dimension \(\leq 1\) sur \(k\). Si \(X' \to X\) est un morphisme propre birationnel, alors \[\dim_k H^1(X, \mathcal{O}_X) \geq \dim_k H^1(X', \mathcal{O}_{X'})\] Si \(X\) est réduit, si \(H^0(X, \mathcal{O}_X) \to H^0(X', \mathcal{O}_{X'})\) est surjective et s’il y a égalité, alors \(X' = X\).

Démonstration

Si \(f : X' \to X\) est propre birationnel, il est fini et c’est un isomorphisme au-dessus d’un ouvert dense (voir Variétés, lemmes 0AB7 et 0BFP). L’inégalité résulte donc du lemme 0CE3. Supposons \(X\) réduit. Alors \(\mathcal{O}_X \to f_*\mathcal{O}_{X'}\) est injective et l’on obtient une suite exacte courte \[0 \to \mathcal{O}_X \to f_*\mathcal{O}_{X'} \to \mathcal{F} \to 0\] Sous les hypothèses de la seconde assertion, la suite exacte longue de cohomologie donne \(H^0(X, \mathcal{F}) = 0\). Alors \(\mathcal{F} = 0\), car \(\mathcal{F}\) est engendré par ses sections globales (Variétés, lemme 0AYT), et \(\mathcal{O}_X = f_*\mathcal{O}_{X'}\). Puisque \(f\) est affine, cela entraîne \(X = X'\).

Lemme

Soit \(k\) un corps. Soit \(C\) une courbe propre sur \(k\). Posons \(\kappa = H^0(C, \mathcal{O}_C)\). Alors \[[\kappa : k]_s \dim_\kappa H^1(C, \mathcal{O}_C) \geq g_{geom}(C/k)\]

Démonstration

D’après Variétés, lemme 04L2, \(\kappa\) est un corps et une extension finie de \(k\). Par Corps, lemme 09HJ, on a \([\kappa : k]_s = |\Mor_k(\kappa, \overline{k})|\); ainsi \(\Spec(\kappa \otimes_k \overline{k})\) possède \([\kappa : k]_s\) points ayant chacun pour corps résiduel \(\overline{k}\). On a donc \[C_{\overline{k}} = \bigcup\nolimits_{t \in \Spec(\kappa \otimes_k \overline{k})} C_t\] (réunion ensembliste). Ici \(C_t = C \times_{\Spec(\kappa), t} \Spec(\overline{k})\), où l’on considère \(t\) comme un homomorphisme de \(k\)-algèbres \(t : \kappa \to \overline{k}\). Il en résulte que \(g_{geom}(C/k) = \sum_t g_{geom}(C_t/\overline{k})\), la somme étant indexée par un ensemble de cardinal \([\kappa : k]_s\). On a \[H^0(C_t, \mathcal{O}_{C_t}) = \overline{k} \quad\text{et}\quad \dim_{\overline{k}} H^1(C_t, \mathcal{O}_{C_t}) = \dim_\kappa H^1(C, \mathcal{O}_C)\] par cohomologie et changement de base (Cohomologie des schémas, lemme 02KH). Remarquons que la normalisation \(C_t^\nu\) est la réunion disjointe des modèles projectifs non singuliers des composantes irréductibles de \(C_t\) (Morphismes, lemme 0CDV). Ainsi \(\dim_{\overline{k}} H^1(C_t^\nu, \mathcal{O}_{C_t^\nu})\) est égal à \(g_{geom}(C_t/\overline{k})\). D’après le lemme 0CE3, on a \[\dim_{\overline{k}} H^1(C_t, \mathcal{O}_{C_t}) \geq \dim_{\overline{k}} H^1(C_t^\nu, \mathcal{O}_{C_t^\nu})\], ce qui achève la démonstration.

Lemme

Soit \(k\) un corps. Soit \(X\) un schéma propre de dimension \(\leq 1\) sur \(k\). Soit \(\ell\) un nombre premier inversible dans \(k\). Alors \[\dim_{\mathbf{F}_\ell} \Pic(X)[\ell] \leq \dim_k H^1(X, \mathcal{O}_X) + g_{geom}(X/k)\], où \(g_{geom}(X/k)\) est défini ci-dessus.

Démonstration

L’application \(\Pic(X) \to \Pic(X_{\overline{k}})\) est injective d’après Variétés, lemme 0CC5. D’après Cohomologie des schémas, lemme 02KH, \(\dim_k H^1(X, \mathcal{O}_X)\) est égal à \(\dim_{\overline{k}} H^1(X_{\overline{k}}, \mathcal{O}_{X_{\overline{k}}})\). On peut donc supposer \(k\) algébriquement clos.

Soit \(X_{red}\) le réduit de \(X\). La surjection \(\mathcal{O}_X \to \mathcal{O}_{X_{red}}\) induit une surjection \(H^1(X, \mathcal{O}_X) \to H^1(X, \mathcal{O}_{X_{red}})\), car la cohomologie des faisceaux quasi-cohérents s’annule en degrés \(\geq 2\) d’après Cohomologie, proposition 02UZ. Puisque \(X_{red} \to X\) induit une bijection sur les composantes irréductibles au-dessus de \(\overline{k}\) et un isomorphisme sur la torsion d’ordre \(\ell\) des groupes de Picard (Schémas de Picard des courbes, lemme 0CD5), on peut remplacer \(X\) par \(X_{red}\). On est ainsi ramené à la proposition 0C20.

Courbes nodales

Nous avons déjà défini les points doubles ordinaires sur un corps algébriquement clos; voir la définition 0C1W. Si \(x \in X\) est un point fermé d’un schéma algébrique de dimension \(1\) sur un corps algébriquement clos \(k\), alors \(x\) est un point double ordinaire si et seulement si \[\mathcal{O}_{X, x}^\wedge \cong k[[x, y]]/(xy)\] Voir la discussion qui suit (0C1U) dans la section 0C1P.

Définition

Soit \(k\) un corps. Soit \(X\) un schéma localement algébrique de dimension \(1\) sur \(k\).

Un point fermé \(x \in X\) est appelé un nœud, ou un point double ordinaire, ou est dit définir une singularité nodale, s’il existe un point double ordinaire \(\overline{x} \in X_{\overline{k}}\) d’image \(x\).

On dit que les singularités de \(X\) sont au plus nodales si tout point fermé de \(X\) appartient au lieu lisse du morphisme structural \(X \to \Spec(k)\) ou est un point double ordinaire.

On appelle souvent courbe nodale un schéma algébrique de dimension \(1\), noté \(X\), lorsque les singularités de \(X\) sont au plus nodales. On exige parfois aussi qu’une courbe nodale soit propre. Puisqu’une courbe nodale ainsi définie n’est pas nécessairement irréductible, cette terminologie entre en conflit avec notre définition antérieure d’une courbe comme variété de dimension \(1\).

Lemme

Soit \((A, \mathfrak m)\) un anneau local régulier de dimension \(2\). Soit \(I \subset \mathfrak m\) un idéal.

Si \(A/I\) est réduit, alors \(I = (0)\), \(I = \mathfrak m\) ou \(I = (f)\) pour un élément non nul \(f \in \mathfrak m\).

Si \(A/I\) est de profondeur \(1\), alors \(I = (f)\) pour un élément non nul \(f \in \mathfrak m\).

Démonstration

Supposons \(I \not = 0\). Écrivons \(I = (f_1, \ldots, f_r)\). Puisque \(A\) est factoriel (Compléments d’algèbre, lemme 0AG0), on peut écrire \(f_i = fg_i\), où \(f\) est le pgcd des \(f_1, \ldots, f_r\). Le pgcd des \(g_1, \ldots, g_r\) est donc \(1\), ce qui signifie qu’il n’y a pas d’idéal premier de hauteur \(1\) contenant \(g_1, \ldots, g_r\). Alors soit \((g_1, \ldots, g_r) = A\), ce qui entraîne \(I = (f)\), soit, dans le cas contraire, \(\dim(A) = 2\) entraîne \(V(g_1, \ldots, g_r) = \{\mathfrak m\}\), c’est-à-dire \(\mathfrak m = \sqrt{(g_1, \ldots, g_r)}\).

Supposons \(A/I\) réduit, c’est-à-dire \(I\) radical. Si \(f\) est une unité, puisque \(I\) est radical, on a \(I = \mathfrak m\). Si \(f \in \mathfrak m\), on voit que \(f^n\) s’envoie sur zéro dans \(A/I\). Ainsi \(f \in I\) par réduction, et l’on en conclut que \(I = (f)\).

Supposons \(A/I\) de profondeur \(1\). Alors \(\mathfrak m\) n’est pas un idéal premier associé à \(A/I\). Puisque la classe de \(f\) modulo \(I\) est annulée par \(g_1, \ldots, g_r\), la classe de \(f\) est nulle dans \(A/I\). Ainsi \(I = (f)\), comme voulu.

Soit \(\kappa\) un corps et soit \(V\) un espace vectoriel sur \(\kappa\). On dira qu’un élément \(q \in \text{Sym}^2_\kappa(V)\) définit une forme quadratique non dégénérée si l’application \(\kappa\)-linéaire induite \(V^\vee \to V\) est un isomorphisme. Si \(q = \sum_{i \leq j} a_{ij} x_i x_j\) pour une base sur \(\kappa\), notée \(x_1, \ldots, x_n\), de \(V\), cela signifie que le déterminant de la matrice \[\left( \begin{matrix} 2a_{11} & a_{12} & \ldots \\ a_{12} & 2a_{22} & \ldots \\ \ldots & \ldots & \ldots \end{matrix} \right)\] est non nul. Cela équivaut à la condition que les dérivées partielles de \(q\) par rapport aux \(x_i\) définissent \(0\) au sens schématique.

Lemme

Soit \(k\) un corps. Soit \((A, \mathfrak m, \kappa)\) une \(k\)-algèbre locale noethérienne. Les conditions suivantes sont équivalentes :

\(\kappa/k\) est séparable, \(A\) est réduit, \(\dim_\kappa(\mathfrak m/\mathfrak m^2) = 2\), et il existe \(q \in \text{Sym}^2_\kappa(\mathfrak m/\mathfrak m^2)\) définissant une forme quadratique non dégénérée et s’envoyant sur zéro dans \(\mathfrak m^2/\mathfrak m^3\);

\(\kappa/k\) est séparable, \(\text{depth}(A) = 1\), \(\dim_\kappa(\mathfrak m/\mathfrak m^2) = 2\), et il existe \(q \in \text{Sym}^2_\kappa(\mathfrak m/\mathfrak m^2)\) définissant une forme quadratique non dégénérée et s’envoyant sur zéro dans \(\mathfrak m^2/\mathfrak m^3\);

\(\kappa/k\) est séparable, \(A^\wedge \cong \kappa[[x, y]]/(ax^2 + bxy + cy^2)\) en tant que \(k\)-algèbre, où \(ax^2 + bxy + cy^2\) est une forme quadratique non dégénérée sur \(\kappa\).

Démonstration

Supposons (3). Alors \(A^\wedge\) est réduit, car \(ax^2 + bxy + cy^2\) est soit irréductible, soit produit de deux éléments premiers non associés. Ainsi \(A \subset A^\wedge\) est réduit. Il s’ensuit que (1) est vraie.

Supposons (1). Alors \(A\) ne peut pas être artinien, car il ne serait pas réduit puisque \(\mathfrak m \not = (0)\). Ainsi \(\dim(A) \geq 1\), puis \(\text{depth}(A) \geq 1\) d’après Algèbre, lemme 031R. D’autre part, \(\dim(A) = 2\) entraîne que \(A\) est régulier, ce qui contredit l’existence de \(q\) d’après Algèbre, lemme 00NO. Ainsi \(\dim(A) \leq 1\), puis \(\text{depth}(A) = 1\) d’après Algèbre, lemme 00LK. Il s’ensuit que (2) est vraie.

Supposons (2). Puisque la profondeur de \(A\) est égale à celle de \(A^\wedge\) (Compléments d’algèbre, lemme 07NW) et que les autres conditions sont invariantes par complétion, on peut supposer \(A\) complet. Choisissons \(\kappa \to A\) comme dans Compléments d’algèbre, lemme 0C34. Puisque \(\dim_\kappa(\mathfrak m/\mathfrak m^2) = 2\), on peut choisir \(x_0, y_0 \in \mathfrak m\) dont les images forment une base. On obtient un homomorphisme continu de \(\kappa\)-algèbres \[\kappa[[x, y]] \longrightarrow A\] par les règles \(x \mapsto x_0\) et \(y \mapsto y_0\). Soit \(q\) la classe de \(ax_0^2 + bx_0y_0 + cy_0^2\) dans \(\text{Sym}^2_\kappa(\mathfrak m/\mathfrak m^2)\). Écrivons \(Q(x, y) = ax^2 + bxy + cy^2\), considéré comme un polynôme en deux variables. On voit alors que \[Q(x_0, y_0) = ax_0^2 + bx_0y_0 + cy_0^2 = \sum\nolimits_{i + j = 3} a_{ij} x_0^iy_0^j\] pour certains \(a_{ij}\) dans \(A\). Nous voulons augmenter l’ordre d’annulation en modifiant le choix de \(x_0\), \(y_0\). Supposons que \(x_1, y_1 \in \mathfrak m^2\). Alors \[Q(x_0 + x_1, y_0 + y_1) = Q(x_0, y_0) + (2ax_0 + by_0)x_1 + (bx_0 + 2cy_0)y_1 \bmod \mathfrak m^4\] La non-dégénérescence de \(Q\) signifie précisément que \(2ax_0 + by_0\) et \(bx_0 + 2cy_0\) forment une base sur \(\kappa\) de \(\mathfrak m/\mathfrak m^2\); voir la discussion précédant le lemme. On peut donc choisir \(x_1, y_1 \in \mathfrak m^2\) tels que \(Q(x_0 + x_1, y_0 + y_1) \in \mathfrak m^4\). En poursuivant par récurrence, on trouve \(x_i, y_i \in \mathfrak m^{i + 1}\) tels que \[Q(x_0 + x_1 + \ldots + x_n, y_0 + y_1 + \ldots + y_n) \in \mathfrak m^{n + 3}\] Puisque \(A\) est complet, on peut poser \(x_\infty = \sum x_i\) et \(y_\infty = \sum y_i\) et considérer l’application \(\kappa[[x, y]] \longrightarrow A\) envoyant \(x\) sur \(x_\infty\) et \(y\) sur \(y_\infty\). Elle induit une surjection \(\kappa[[x, y]]/(Q) \longrightarrow A\) d’après Algèbre, lemme 0315. D’après le lemme 0C48, le noyau de \(k[[x, y]] \to A\) est principal. Mais ce noyau ne peut contenir de diviseur propre de \(Q\), car un tel diviseur serait de degré \(1\) dans \(x, y\), ce qui contredirait \(\dim(\mathfrak m/\mathfrak m^2) = 2\). Ainsi \(Q\) engendre le noyau, comme voulu.

Lemme

Soit \(k\) un corps. Soit \((A, \mathfrak m, \kappa)\) une \(k\)-algèbre locale de Nagata. Les conditions suivantes sont équivalentes :

\(k \to A\) est comme dans le lemme 0C49;

\(\kappa/k\) est séparable, \(A\) est réduit de dimension \(1\), l’invariant \(\delta\) de \(A\) vaut \(1\), et \(A\) possède \(2\) branches géométriques.

Si ces conditions sont satisfaites, la clôture intégrale \(A'\) de \(A\) dans son anneau total des fractions possède soit \(1\), soit \(2\) idéaux maximaux \(\mathfrak m'\), et les extensions \(\kappa(\mathfrak m')/k\) sont séparables.

Démonstration

Dans les deux cas, \(A\) et \(A^\wedge\) sont réduits. Dans le cas (2), cela tient au fait que le complété d’un anneau local de Nagata réduit est réduit (Compléments d’algèbre, lemme 07NZ). Dans les deux cas, \(A\) et \(A^\wedge\) sont de dimension \(1\) (Compléments d’algèbre, lemme 07NV). L’invariant \(\delta\) et le nombre de branches géométriques de \(A\) et \(A^\wedge\) coïncident d’après Variétés, lemme 0C3W et Compléments d’algèbre, lemme 0C2D. Soit \(A'\) la clôture intégrale de \(A\) dans son anneau total des fractions, comme dans Variétés, lemme 0C3S. D’après Variétés, lemme 0C3V, \(A' \otimes_A A^\wedge\) joue le même rôle pour \(A^\wedge\). On peut donc remplacer \(A\) par \(A^\wedge\) et supposer \(A\) complet.

Supposons (1). Il suffit de montrer que \(A\) possède deux branches géométriques et que son invariant \(\delta\) vaut \(1\). On peut supposer \(A = \kappa[[x, y]]/(ax^2 + bxy + cy^2)\), la forme \(q = ax^2 + bxy + cy^2\) étant non dégénérée. Il y a deux cas.

Cas I : \(q\) se décompose sur \(\kappa\). Après changement de coordonnées, on peut alors supposer \(q = xy\). On voit que \[A' = \kappa[[x, y]]/(x) \times \kappa[[x, y]]/(y)\]

Cas II : \(q\) ne se décompose pas. Dans ce cas, \(c \not = 0\) et la non-dégénérescence signifie que \(b^2 - 4ac \not = 0\). Ainsi \(\kappa' = \kappa[t]/(a + bt + ct^2)\) est une extension séparable de degré \(2\) de \(\kappa\). Alors \(t = y/x\) est entier sur \(A\), et l’on en conclut que \[A' = \kappa'[[x]]\], où \(y\) s’envoie sur \(tx\) dans le membre de droite.

Dans les deux cas, on vérifie directement que l’invariant \(\delta\) vaut \(1\) et que le nombre de branches géométriques est \(2\). Cela montre que (1) entraîne (2). La dernière assertion du lemme est également établie.

Supposons (2). Compléments d’algèbre, lemme 0C37 montre que \(A'\) possède soit deux idéaux maximaux, soit un seul idéal maximal pour \(A'\) avec \([\kappa(\mathfrak m') : \kappa]_s = 2\).

Cas I : \(A'\) possède deux idéaux maximaux \(\mathfrak m'_1\), \(\mathfrak m'_2\), de corps résiduels \(\kappa_1\), \(\kappa_2\). Puisque l’invariant \(\delta\) est la longueur de \(A'/A\) et qu’il existe une surjection \(A'/A \to (\kappa_1 \times \kappa_2)/\kappa\), on a \(\kappa = \kappa_1 = \kappa_2\). Puisque \(A\) est complet (et hensélien d’après Algèbre, lemme 04GM) et que \(A'\) est fini sur \(A\), on a \(A' = A_1 \times A_2\) (par Algèbre, lemme 04GH). Puisque \(A'\) est un anneau normal, \(A_1\) et \(A_2\) sont des anneaux de valuation discrète. Ainsi \(A_1\) et \(A_2\) sont isomorphes à \(\kappa[[t]]\) (comme \(k\)-algèbres) d’après Compléments d’algèbre, lemme 0C35. Puisque l’invariant \(\delta\) vaut \(1\), \(A\) est le bouquet de \(A_1\) et \(A_2\) (Variétés, définition 0C41). Il s’ensuit aisément que \(A \cong \kappa[[x, y]]/(xy)\).

Cas II : \(A'\) possède un seul idéal maximal \(\mathfrak m'\), de corps résiduel \(\kappa'\), et \([\kappa' : \kappa]_s = 2\). En raisonnant exactement comme dans le cas I, on voit que \([\kappa' : \kappa] = 2\) et que \(\kappa'\) est séparable sur \(\kappa\). Puisque \(A'\) est normal, \(A'\) est isomorphe à \(\kappa'[[t]]\) (voir la référence ci-dessus). Puisque \(A'/A\) est de longueur \(1\), on en conclut que \[A = \{f \in \kappa'[[t]] \mid f(0) \in \kappa\}\] Un calcul simple montre alors que \(A\) est comme dans le cas (1).

Lemme

Soit \(k\) un corps. Soit \(A = k[[x_1, \ldots, x_n]]\). Soit \(I = (f_1, \ldots, f_m) \subset A\) un idéal. Pour tout \(r \geq 0\), l’idéal de \(A/I\) engendré par les mineurs d’ordre \(r \times r\) de la matrice \((\partial f_j/\partial x_i)\) est indépendant du choix des générateurs de \(I\) et du système régulier de paramètres \(x_1, \ldots, x_n\) de \(A\).

Démonstration

La démonstration « naturelle » consiste à montrer que cet idéal est le \((n - r)\)-ième idéal de Fitting d’un module de différentielles continues de \(A/I\) sur \(k\). Voici une démonstration directe. Si \(g_1, \ldots g_l\) est un second système de générateurs de \(I\), on peut écrire \(g_s = \sum a_{sj}f_j\) et l’on a l’égalité de matrices \[(\partial g_s/\partial x_i) = (a_{sj}) (\partial f_j/\partial x_i) + (\partial a_{sj}/\partial x_i f_j)\] Le dernier terme est nul dans \(A/I\). Par la formule de Cauchy-Binet, l’idéal des mineurs associé aux \(g_s\) est contenu dans celui associé aux \(f_j\). Par symétrie, ces idéaux sont égaux. Si \(y_1, \ldots, y_n \in \mathfrak m_A\) est un second système régulier de paramètres, la matrice \((\partial y_j/\partial x_i)\) est inversible et l’on peut utiliser la règle de dérivation des fonctions composées. Nous omettons quelques détails.

Lemme

Soit \(k\) un corps. Soit \(A = k[[x_1, \ldots, x_n]]\). Soit \(I = (f_1, \ldots, f_m) \subset \mathfrak m_A\) un idéal. Les conditions suivantes sont équivalentes :

\(k \to A/I\) est comme dans le lemme 0C49;

\(A/I\) est réduit et les mineurs d’ordre \((n - 1) \times (n - 1)\) de la matrice \((\partial f_j/\partial x_i)\) engendrent \(I + \mathfrak m_A\);

\(\text{depth}(A/I) = 1\) et les mineurs d’ordre \((n - 1) \times (n - 1)\) de la matrice \((\partial f_j/\partial x_i)\) engendrent \(I + \mathfrak m_A\).

Démonstration

D’après le lemme 0C4B, nous pouvons changer le système de coordonnées et le choix des générateurs au cours de la démonstration.

Si (1) est satisfaite, nous pouvons changer de coordonnées de sorte que \(x_1, \ldots, x_{n - 2}\) s’envoient sur zéro dans \(A/I\) et que \(A/I = k[[x_{n - 1}, x_n]]/(a x_{n - 1}^2 + b x_{n - 1}x_n + c x_n^2)\) pour une certaine forme quadratique non dégénérée \(a x_{n - 1}^2 + b x_{n - 1}x_n + c x_n^2\). Un calcul explicite montre alors que (2) et (3) sont vraies.

Supposons que les mineurs d’ordre \((n - 1) \times (n - 1)\) de la matrice \((\partial f_j/\partial x_i)\) engendrent \(I + \mathfrak m_A\). Supposons que, pour certains \(i\) et \(j\), la dérivée partielle \(\partial f_j/\partial x_i\) soit une unité dans \(A\). Nous pouvons alors prendre le système de paramètres \(f_j, x_1, \ldots, x_{i - 1}, \hat x_i, x_{i + 1}, \ldots, x_n\) et les générateurs \(f_j, f_1, \ldots, f_{j - 1}, \hat f_j, f_{j + 1}, \ldots, f_m\) de \(I\). Nous obtenons ainsi un système régulier de paramètres \(x_1, \ldots, x_n\) et des générateurs \(x_1, f_2, \ldots, f_m\) de \(I\). Cherchons ensuite \(i \geq 2\) et \(j \geq 2\) tels que \(\partial f_j/\partial x_i\) soit une unité dans \(A\). Si une telle paire existe, nous pouvons effectuer un remplacement comme ci-dessus et supposer que nous disposons d’un système régulier de paramètres \(x_1, \ldots, x_n\) et de générateurs \(x_1, x_2, f_3, \ldots, f_m\) de \(I\). En poursuivant, nous parvenons en un nombre fini d’étapes à un système régulier de paramètres \(x_1, \ldots, x_n\) et à des générateurs \(x_1, \ldots, x_t, f_{t + 1}, \ldots, f_m\) de \(I\) tels que \(\partial f_j/\partial x_i \in \mathfrak m_A\) pour tous \(i, j \geq t + 1\).

Dans ce cas, la matrice des dérivées partielles a la forme par blocs suivante : \[\left( \begin{matrix} I_{t \times t} & * \\ 0 & \mathfrak m_A \end{matrix} \right)\] Tout mineur d’ordre \((n - 1) \times (n - 1)\) appartient donc à \(\mathfrak m_A^{n - 1 - t}\). Remarquons que \(I \not = \mathfrak m_A\), sans quoi l’idéal des mineurs contiendrait \(1\). Il s’ensuit que \(n - 1 - t \leq 1\), car il existe un élément de \(\mathfrak m_A \setminus \mathfrak m_A^2 + I\) (sinon \(I = \mathfrak m_A\) par le lemme de Nakayama). Ainsi \(t \geq n - 2\). Nous avons vu ci-dessus que \(t \not = n\); de même, si \(t = n - 1\), il existerait un mineur inversible d’ordre \((n - 1) \times (n - 1)\), ce qui est également exclu. Par conséquent, \(t = n - 2\). Alors \(A/I\) est un quotient de \(k[[x_{n - 1}, x_n]]\), et le lemme 0C48 implique, dans les deux cas (2) et (3), que \(I\) est engendré par \(x_1, \ldots, x_{n - 2}, f\) pour un certain \(f = f(x_{n - 1}, x_n)\). Dans ce cas, la condition sur les mineurs signifie exactement que le terme quadratique de \(f\) est non dégénéré, c’est-à-dire que \(A/I\) est comme dans le lemme 0C49.

Lemme

Soit \(k\) un corps. Soit \(X\) un schéma algébrique de dimension \(1\) sur \(k\). Soit \(x \in X\) un point fermé. Les conditions suivantes sont équivalentes :

\(x\) est un nœud;

\(k \to \mathcal{O}_{X, x}\) est comme dans le lemme 0C49;

tout \(\overline{x} \in X_{\overline{k}}\) s’envoyant sur \(x\) définit une singularité nodale;

\(\kappa(x)/k\) est séparable, \(\mathcal{O}_{X, x}\) est réduit, et le premier idéal de Fitting de \(\Omega_{X/k}\) engendre \(\mathfrak m_x\) dans \(\mathcal{O}_{X, x}\);

\(\kappa(x)/k\) est séparable, \(\text{depth}(\mathcal{O}_{X, x}) = 1\), et le premier idéal de Fitting de \(\Omega_{X/k}\) engendre \(\mathfrak m_x\) dans \(\mathcal{O}_{X, x}\);

\(\kappa(x)/k\) est séparable et \(\mathcal{O}_{X, x}\) est réduit, a pour invariant \(\delta\) la valeur \(1\), et possède \(2\) branches géométriques.

Démonstration

Supposons d’abord que \(k\) soit algébriquement clos. Dans ce cas, l’équivalence de (1) et (3) est immédiate. L’équivalence de (1) et (3) avec (2) tient au fait que, à changement de coordonnées près, la seule forme quadratique non dégénérée en deux variables est \(xy\). L’équivalence de (1) et (6) est le lemme 0C1V. Après avoir remplacé \(X\) par un voisinage affine de \(x\), nous pouvons supposer qu’il existe une immersion fermée \(X \to \mathbf{A}^n_k\) envoyant \(x\) sur \(0\). Soient \(f_1, \ldots, f_m \in k[x_1, \ldots, x_n]\) des générateurs de l’idéal \(I\) de \(X\) dans \(\mathbf{A}^n_k\). Alors \(\Omega_{X/k}\) correspond au \(R = k[x_1, \ldots, x_n]/I\)-module \(\Omega_{R/k}\) qui admet une présentation \[R^{\oplus m} \xrightarrow{(\partial f_j/\partial x_i)} R^{\oplus n} \to \Omega_{R/k} \to 0\] (voir Algèbre, sections 00RM et 00S0). Le premier idéal de Fitting de \(\Omega_{R/k}\) est donc l’idéal engendré par les mineurs d’ordre \((n - 1) \times (n - 1)\) de la matrice \((\partial f_j/\partial x_i)\). Le lemme 0C4C, appliqué au complété de \(k[x_1, \ldots, x_n] \to R\) en l’idéal maximal \((x_1, \ldots, x_n)\), montre ainsi que (2), (4) et (5) sont équivalentes.

Supposons maintenant que \(k\) soit un corps quelconque. Dans les cas (2), (4), (5) et (6), le corps résiduel \(\kappa(x)\) est séparable sur \(k\). Montrons qu’il en va de même dans les cas (1) et (3). Soit donc \(Z \subset X\) le sous-schéma fermé de \(X\) défini par le premier idéal de Fitting de \(\Omega_{X/k}\). La formation de \(Z\) commute aux extensions de corps (Diviseurs, lemme 0C3I). Si (1) ou (3) est vraie, il existe un point \(\overline{x}\) de \(X_{\overline{k}}\) tel que \(\overline{x}\) soit un point isolé de multiplicité \(1\) de \(Z_{\overline{k}}\) (puisque nous disposons de l’équivalence des conditions du lemme sur \(\overline{k}\)). En particulier, \(Z_{\overline{x}}\) est géométriquement réduit en \(\overline{x}\) (car \(\overline{k}\) est algébriquement clos). Ainsi \(Z\) est géométriquement réduit en \(x\) (Variétés, lemme 0384). En particulier, \(Z\) est réduit en \(x\); par conséquent, \(Z = \Spec(\kappa(x))\) dans un voisinage de \(x\) et \(\kappa(x)\) est géométriquement réduit sur \(k\). Cela signifie que \(\kappa(x)/k\) est séparable (Algèbre, lemme 030W).

L’argument du paragraphe précédent montre que, si (1) ou (3) est satisfaite, le premier idéal de Fitting de \(\Omega_{X/k}\) engendre \(\mathfrak m_x\). Puisque \(\mathcal{O}_{X, x} \to \mathcal{O}_{X_{\overline{k}}, \overline{x}}\) est plat et que \(\mathcal{O}_{X_{\overline{k}}, \overline{x}}\) est réduit et de profondeur \(1\), on voit que (4) et (5) sont satisfaites (utiliser Algèbre, lemmes 033F et 0337). Réciproquement, (4) implique (5) d’après Algèbre, lemme 031R. Si (5) est satisfaite, alors \(Z\) est géométriquement réduit en \(x\) (car \(\kappa(x)/k\) est séparable et \(Z\) est égal à \(x\) dans un voisinage). Ainsi \(Z_{\overline{k}}\) est réduit en tout point \(\overline{x}\) de \(X_{\overline{k}}\) situé au-dessus de \(x\). Autrement dit, le premier idéal de Fitting de \(\Omega_{X_{\overline{k}}/\overline{k}}\) engendre \(\mathfrak m_{\overline{x}}\) dans \(\mathcal{O}_{X_{\overline{k}, \overline{x}}}\). De plus, puisque \(\mathcal{O}_{X, x} \to \mathcal{O}_{X_{\overline{k}}, \overline{x}}\) est plat, on voit que \(\text{depth}(\mathcal{O}_{X_{\overline{k}}, \overline{x}}) = 1\) (voir la référence ci-dessus). La condition (5) est donc satisfaite pour \(\overline{x} \in X_{\overline{k}}\), et nous concluons que (3) est satisfaite (par l’équivalence sur les corps algébriquement clos). Nous avons ainsi établi l’équivalence de (1), (3), (4) et (5).

L’équivalence de (2) et (6) résulte du lemme 0C4A.

Enfin, démontrons l’équivalence de (2) \(=\) (6) avec (1) \(=\) (3) \(=\) (4) \(=\) (5). Remarquons d’abord que le nombre géométrique de branches de \(X\) en \(x\) et celui de \(X_{\overline{k}}\) en \(\overline{x}\) sont égaux d’après Variétés, lemme 0C40. Les informations dont nous disposons à ce stade montrent que, dans tous les cas, ce nombre est égal à \(2\). D’autre part, dans le cas (1), il est clair que \(X\) est géométriquement réduit en \(x\), et donc que \[\text{invariant }\delta\text{ de }X\text{ en }x \leq \text{invariant }\delta\text{ de }X_{\overline{k}}\text{ en }\overline{x}\] d’après Variétés, lemme 0C3X. Puisque, dans le cas (1), le membre de droite vaut \(1\), cela impose que l’invariant \(\delta\) de \(X\) en \(x\) soit égal à \(1\) (car, s’il était nul, \(\mathcal{O}_{X, x}\) serait un anneau de valuation discrète d’après Variétés, lemme 0C3U, donc serait unibranche, contradiction). Ainsi (5) est satisfaite. Réciproquement, si (2) \(=\) (5) est vraie, alors les hypothèses (a), (b) et (c) de Variétés, lemme 0C3P sont satisfaites pour \(x \in X\) d’après le lemme 0C4A. Variétés, lemme 0C3Y s’applique donc et donne l’égalité dans l’inégalité affichée ci-dessus. Nous en concluons que (5) est satisfaite pour \(\overline{x} \in X_{\overline{k}}\), et l’équivalence des conditions sur un corps algébriquement clos nous ramène au cas (1).

Remarque

Soit \(k\) un corps. Soit \((A, \mathfrak m, \kappa)\) une \(k\)-algèbre locale noethérienne. Supposons soit que \((A, \mathfrak m, \kappa)\) soit comme dans le lemme 0C49, soit que \(A\) soit de Nagata comme dans le lemme 0C4A, soit que \(A\) soit complet et comme dans le lemme 0C4C. Alors \(A\) définit canoniquement une algèbre séparable de degré \(2\) sur \(\kappa\), notée \(\kappa'\), comme suit :

soit \(q = ax^2 + bxy + cy^2\) une forme quadratique non dégénérée comme dans le lemme 0C49, les coordonnées \(x, y\) étant choisies de sorte que \(a \not = 0\), et posons \(\kappa' = \kappa[x]/(ax^2 + bx + c)\);

soit \(A' \supset A\) la clôture intégrale de \(A\) dans son anneau total des fractions, et posons \(\kappa' = A'/\mathfrak m A'\);

soit \(\kappa'\) la \(\kappa\)-algèbre telle que \(\text{Proj}(\bigoplus_{n \geq 0} \mathfrak m^n/\mathfrak m^{n + 1}) = \Spec(\kappa')\).

L’équivalence de (1) et (2) a été établie dans la démonstration du lemme 0C4A. Nous omettons la démonstration de leur équivalence avec (3). Si \(X\) est un \(k\)-schéma localement noethérien et si \(x \in X\) est un point tel que \(\mathcal{O}_{X, x} = A\), alors (3) montre que \(\Spec(\kappa') = X^\nu \times_X \Spec(\kappa)\), où \(\nu : X^\nu \to X\) est le morphisme de normalisation.

Remarque

Soit \(k\) un corps. Soit \((A, \mathfrak m, \kappa)\) comme dans la remarque 0CBT, et soit \(\kappa'/\kappa\) l’algèbre séparable de degré \(2\) associée. Les conditions suivantes sont équivalentes :

\(\kappa' \cong \kappa \times \kappa\) comme \(\kappa\)-algèbre;

la forme \(q\) du lemme 0C49 peut être choisie égale à \(xy\);

\(A\) possède deux branches;

l’extension \(A'/A\) du lemme 0C4A possède deux idéaux maximaux;

\(A^\wedge \cong \kappa[[x, y]]/(xy)\) comme \(k\)-algèbre.

L’équivalence de ces conditions a été établie dans la démonstration du lemme 0C4A. Si \(X\) est un \(k\)-schéma localement noethérien et si \(x \in X\) est un point tel que \(\mathcal{O}_{X, x} = A\), cela signifie exactement qu’il existe deux points \(x_1, x_2\) de la normalisation \(X^\nu\) au-dessus de \(x\) et que \(\kappa(x) = \kappa(x_1) = \kappa(x_2)\).

Définition

Soit \(k\) un corps. Soit \(X\) un schéma algébrique de dimension \(1\) sur \(k\). Soit \(x \in X\) un point fermé. On dit que \(x\) est un nœud déployé si \(x\) est un nœud, si \(\kappa(x) = k\), et si les assertions équivalentes de la remarque 0CBU sont satisfaites pour \(A = \mathcal{O}_{X, x}\).

Formulons le lemme obligé qui rassemble ce que nous savons déjà de cette notion.

Lemme

Soit \(k\) un corps. Soit \(X\) un schéma algébrique de dimension \(1\) sur \(k\). Soit \(x \in X\) un point fermé. Les conditions suivantes sont équivalentes :

\(x\) est un nœud déployé;

\(x\) est un nœud et il existe exactement deux points \(x_1, x_2\) de la normalisation \(X^\nu\) au-dessus de \(x\), avec \(k = \kappa(x_1) = \kappa(x_2)\);

\(\mathcal{O}_{X, x}^\wedge \cong k[[x, y]]/(xy)\) comme \(k\)-algèbre;

ajouter davantage ici.

Démonstration

Cela résulte de la discussion de la remarque 0CBU et du lemme 0C4D.

Lemme

Soit \(K/k\) une extension de corps. Soit \(X\) un \(k\)-schéma localement algébrique de dimension \(1\). Soit \(y \in X_K\) un point d’image \(x \in X\). Les conditions suivantes sont équivalentes :

\(x\) est un point fermé de \(X\) et un nœud;

\(y\) est un point fermé de \(Y\) et un nœud.

Démonstration

Si \(x\) est un point fermé de \(X\), alors \(y\) l’est aussi (considérer les corps résiduels). La réciproque n’est toutefois pas nécessairement vraie : il peut arriver qu’un point fermé de \(Y\) s’envoie sur un point non fermé de \(X\). Dans ce cas, cependant, \(y\) ne peut pas être un nœud. En effet, \(X\) serait alors géométriquement unibranche en \(x\) (car \(x\) serait un point générique de \(X\), tandis que \(\mathcal{O}_{X, x}\) serait artinien et que tout anneau local artinien est géométriquement unibranche); par conséquent, \(Y\) serait géométriquement unibranche en \(y\) (Variétés, lemme 0C55), ce qui signifie que \(y\) ne peut pas être un nœud d’après le lemme 0C4D. Nous pouvons donc supposer, et nous supposerons, que \(x\) et \(y\) sont tous deux des points fermés.

Choisissons des clôtures algébriques \(\overline{k}\), \(\overline{K}\) et une application \(\overline{k} \to \overline{K}\) prolongeant l’application donnée \(k \to K\). En utilisant l’équivalence de (1) et (3) dans le lemme 0C4D, nous nous ramenons au cas où \(k\) et \(K\) sont algébriquement clos. Dans ce cas, nous pouvons raisonner comme dans la démonstration du lemme 0C4D pour voir que le nombre géométrique de branches et les invariants \(\delta\) de \(X\) en \(x\) et de \(Y\) en \(y\) sont les mêmes. On peut aussi choisir un isomorphisme \(k[[x_1, \ldots, x_n]]/(g_1, \ldots, g_m) \to \mathcal{O}_{X, x}^\wedge\) de \(k\)-algèbres comme dans Variétés, lemme 0C52. D’après Variétés, lemme 0C54, il induit un isomorphisme \(K[[x_1, \ldots, x_n]]/(g_1, \ldots, g_m) \to \mathcal{O}_{Y, y}^\wedge\) de \(K\)-algèbres. Par définition, il faut montrer que \[k[[x_1, \ldots, x_n]]/(g_1, \ldots, g_m) \cong k[[s, t]]/(st)\] si et seulement si \[K[[x_1, \ldots, x_n]]/(g_1, \ldots, g_m) \cong K[[s, t]]/(st)\] Nous invitons le lecteur à le démontrer. Puisque \(k\) et \(K\) sont des corps algébriquement clos, cela revient à demander que ces anneaux soient comme dans le lemme 0C49. Par le lemme 0C4C, cette condition se traduit en une assertion sur les mineurs d’ordre \((n - 1) \times (n - 1)\) de la matrice \((\partial g_j/\partial x_i)\), manifestement indépendante du corps utilisé. Nous omettons les détails.

Lemme

Soit \(k\) un corps. Soit \(X\) un \(k\)-schéma localement algébrique de dimension \(1\). Soit \(Y \to X\) un morphisme étale. Soit \(y \in Y\) un point d’image \(x \in X\). Les conditions suivantes sont équivalentes :

\(x\) est un point fermé de \(X\) et un nœud;

\(y\) est un point fermé de \(Y\) et un nœud.

Démonstration

D’après le lemme 0C56, nous pouvons effectuer un changement de base vers la clôture algébrique de \(k\). Les corps résiduels de \(x\) et \(y\) sont alors \(k\). L’application \(\mathcal{O}_{X, x}^\wedge \to \mathcal{O}_{Y, y}^\wedge\) est donc un isomorphisme (par exemple d’après Morphismes étales, lemme 039M ou Compléments d’algèbre, lemme 0AGX). Le lemme est dès lors clair.

Lemme

Soit \(k'/k\) une extension finie séparable de corps. Soit \(X\) un \(k'\)-schéma localement algébrique de dimension \(1\). Soit \(x \in X\) un point fermé. Les conditions suivantes sont équivalentes :

\(x\) est un nœud;

\(x\) est un nœud lorsque \(X\) est considéré comme un \(k\)-schéma localement algébrique.

Démonstration

Cela résulte immédiatement de la caractérisation des nœuds du lemme 0C4D.

Lemme

Soit \(k\) un corps. Soit \(X\) un \(k\)-schéma localement algébrique équidimensionnel de dimension \(1\). Les conditions suivantes sont équivalentes :

les singularités de \(X\) sont au plus nodales;

\(X\) est une intersection complète locale sur \(k\) et le sous-schéma fermé \(Z \subset X\) découpé par le premier idéal de Fitting de \(\Omega_{X/k}\) est non ramifié sur \(k\).

Démonstration

Nous invitons vivement le lecteur à trouver sa propre démonstration de ce lemme; celle qui suit ne fait que réunir des résultats antérieurs et risque de masquer ce qui se passe réellement.

Supposons (2). Puisque \(Z \to \Spec(k)\) est quasi-fini (Morphismes, lemme 02V5), les corps résiduels des points \(x \in Z\) sont finis sur \(k\) (et séparables), d’après Morphismes, lemme 01TG. Chaque \(x \in Z\) est donc un point fermé de \(X\) d’après Morphismes, lemme 01TE. L’anneau local \(\mathcal{O}_{X, x}\) est de Cohen–Macaulay d’après Algèbre, lemme 00SB. Comme \(\dim(\mathcal{O}_{X, x}) = 1\) par la théorie de la dimension (Variétés, section 06LF), nous en concluons que \(\text{depth}(\mathcal{O}_{X, x})) = 1\). Ainsi \(x\) est un nœud d’après le lemme 0C4D. Si \(x \in X\), \(x \not \in Z\), alors \(X \to \Spec(k)\) est lisse en \(x\) d’après Diviseurs, lemme 0C3K.

Supposons (1). Sous cette hypothèse, \(X\) est géométriquement réduit en tout point fermé (voir Variétés, lemme 0384). Ainsi \(X \to \Spec(k)\) est lisse sur un ouvert dense d’après Variétés, lemme 056V. Par conséquent, \(Z\) est fermé et formé de points fermés. D’après Diviseurs, lemme 0C3K, le morphisme \(X \setminus Z \to \Spec(k)\) est lisse. Ainsi \(X \setminus Z\) est une intersection complète locale d’après Morphismes, lemme 01VD et la définition d’une intersection complète locale de Morphismes, définition 01UC. D’après le lemme 0C4D, pour tout point \(x \in Z\), l’anneau local \(\mathcal{O}_{Z, x}\) est égal à \(\kappa(x)\) et \(\kappa(x)\) est séparable sur \(k\). Ainsi \(Z \to \Spec(k)\) est non ramifié (Morphismes, lemme 02G7). Enfin, le lemme 0C4D, par la partie (3) du lemme 0C49, montre que \(\mathcal{O}_{X, x}\) est une intersection complète au sens d’Algèbre à puissances divisées, définition 09Q3. Or Algèbre à puissances divisées, lemme 09Q6 et Morphismes, lemme 01UG montrent que cette notion coïncide avec celle utilisée pour définir un schéma intersection complète locale sur un corps, ce qui achève la démonstration.

Lemme

Soit \(k\) un corps. Soit \(X\) un \(k\)-schéma localement algébrique équidimensionnel de dimension \(1\) dont les singularités sont au plus nodales. Alors \(X\) est de Gorenstein et géométriquement réduit.

Démonstration

L’assertion de Gorenstein résulte du lemme 0C4E et de Dualité pour les schémas, lemme 0BVA. On peut aussi utiliser le fait qu’il suffit de vérifier l’assertion après passage à la clôture algébrique (Dualité pour les schémas, lemme 0C03), puis qu’un anneau local noethérien est de Gorenstein si et seulement si son complété l’est (Complexes dualisants, lemme 0BJL), et enfin démontrer directement que les anneaux locaux \(k[[t]]\) et \(k[[x, y]]/(xy)\) sont de Gorenstein.

Pour voir que \(X\) est géométriquement réduit, il suffit de montrer que \(X_{\overline{k}}\) est réduit (Variétés, lemmes 020I et 035X). Or \(X_{\overline{k}}\) est une courbe nodale sur un corps algébriquement clos. Les anneaux locaux complets de \(X_{\overline{k}}\) sont donc isomorphes soit à \(\overline{k}[[t]]\), soit à \(\overline{k}[[x, y]]/(xy)\), qui sont réduits, comme voulu.

Lemme

Soit \(k\) un corps. Soit \(X\) un \(k\)-schéma localement algébrique équidimensionnel de dimension \(1\) dont les singularités sont au plus nodales. Si \(Y \subset X\) est un sous-schéma fermé réduit équidimensionnel de dimension \(1\), alors

les singularités de \(Y\) sont au plus nodales;

si \(Z \subset X\) est l’adhérence schématique de \(X \setminus Y\), alors

l’intersection schématique \(Y \cap Z\) est la réunion disjointe de spectres d’extensions finies séparables de \(k\);

tout point de \(Y \cap Z\) est un nœud de \(X\);

\(Y \to \Spec(k)\) est lisse en tout point de \(Y \cap Z\).

Démonstration

Puisque \(X\) et \(Y\) sont réduits et équidimensionnels de dimension \(1\), on voit que \(Y\) est la réunion schématique d’un sous-ensemble des composantes irréductibles de \(X\) (dans un anneau réduit, \((0)\) est l’intersection des idéaux premiers minimaux). Soit \(y \in Y\) un point fermé. Si \(y\) appartient au lieu lisse de \(X \to \Spec(k)\), alors \(y\) se trouve sur une unique composante irréductible de \(X\), et \(Y\) et \(X\) coïncident dans un voisinage ouvert de \(y\). Ainsi \(Y \to \Spec(k)\) est lisse en \(y\). Si \(y\) est un nœud de \(X\) mais appartient encore à une unique composante irréductible de \(X\), le même raisonnement montre que \(y\) est un nœud de \(Y\). Supposons que \(y\) appartienne à plus de \(1\) composante irréductible de \(X\). Puisque le nombre de branches géométriques de \(X\) en \(y\) est \(2\) d’après le lemme 0C4D, au plus \(2\) composantes irréductibles peuvent passer par \(y\), d’après Propriétés, lemme 0E20. Si \(Y\) contient ces deux composantes, alors \(Y = X\) dans un voisinage ouvert de \(y\), et \(y\) est un nœud de \(Y\). Supposons enfin que \(Y\) ne contienne qu’une des composantes irréductibles. Après avoir remplacé \(X\) par un voisinage ouvert de \(x\), nous pouvons supposer que \(Y\) est l’une des deux composantes irréductibles et que \(Z\) est l’autre. D’après Propriétés, lemme 0E20, on voit encore que \(X\) possède deux branches en \(y\), c’est-à-dire que l’anneau local \(\mathcal{O}_{X, y}\) possède deux branches et que celles-ci proviennent de \(\mathcal{O}_{Y, y}\) et \(\mathcal{O}_{Z, y}\). Écrivons \(\mathcal{O}_{X, y}^\wedge \cong \kappa(y)[[u, v]]/(uv)\) comme dans la remarque 0CBU. Le corps \(\kappa(y)\) est fini séparable sur \(k\), par exemple d’après le lemme 0C4D. Ainsi, après avoir éventuellement interverti les rôles de \(u\) et \(v\), le complété de l’application \(\mathcal{O}_{X, y} \to \mathcal{O}_{Y, Y}\) correspond à \(\kappa(y)[[u, v]]/(uv) \to \kappa(y)[[u]]\) et celui de l’application \(\mathcal{O}_{X, y} \to \mathcal{O}_{Y, Y}\) correspond à \(\kappa(y)[[u, v]]/(uv) \to \kappa(y)[[v]]\). L’intersection schématique de \(Y \cap Z\) est découpée par la somme de leurs idéaux, qui devient \((u, v)\) dans le complété, c’est-à-dire l’idéal maximal. Les assertions (2)(a) et (2)(b) sont donc claires. Enfin, (2)(c) est satisfaite : le complété de \(\mathcal{O}_{Y, y}\) est régulier, donc \(\mathcal{O}_{Y, y}\) est régulier (Compléments d’algèbre, lemme 07NY), et \(\kappa(y)/k\) est séparable; on obtient donc la lissité dans un voisinage ouvert d’après Algèbre, lemme 00TV.

Familles de courbes nodales

Dans le projet Champs, les courbes sont des variétés irréductibles de dimension \(1\). Dans la littérature, toutefois, une « courbe semi-stable » ou une « courbe nodale » n’est généralement pas irréductible et est souvent supposée propre, en particulier dans des expressions telles que « famille de courbes semi-stables », « famille de courbes nodales » ou « famille nodale ». Il nous est donc quelque peu difficile de choisir une terminologie à la fois conforme à la littérature et cohérente en interne. De plus, nous souhaitons réellement commencer par étudier la notion introduite dans le lemme suivant, qui est locale sur la source.

Lemme

Soit \(f : X \to S\) un morphisme de schémas. Les conditions suivantes sont équivalentes :

\(f\) est plat et localement de présentation finie, toute fibre non vide \(X_s\) est équidimensionnelle de dimension \(1\), et les singularités de \(X_s\) sont au plus nodales;

\(f\) est syntomique de dimension relative \(1\) et le sous-schéma fermé \(\text{Sing}(f) \subset X\) défini par le premier idéal de Fitting de \(\Omega_{X/S}\) est non ramifié sur \(S\).

Démonstration

Rappelons que la formation de \(\text{Sing}(f)\) commute au changement de base; voir Diviseurs, lemme 0C3I. Le lemme résulte donc du lemme 0C4E et de Morphismes, lemmes 01UF et 02G8. (Nous utilisons aussi les triviaux Morphismes, lemmes 01UK et 01UL.)

Définition

Soit \(f : X \to S\) un morphisme de schémas. On dit que \(f\) est à singularités au plus nodales de dimension relative \(1\) si \(f\) satisfait les conditions équivalentes du lemme 0C59.

Voici quelques raisons qui expliquent cette terminologie pesante⁶. Premièrement, nous voulons éviter toute confusion entre cette notion et les autres notions de la littérature (voir l’introduction de cette section). Deuxièmement, nous pouvons imaginer plusieurs généralisations de cette notion à des morphismes de dimension relative supérieure : on peut, par exemple, demander que les morphismes soient étale-localement des composés de morphismes à singularités au plus nodales, ou demander que leurs fibres soient de dimension supérieure mais n’aient au pire que des points doubles ordinaires.

Lemme

Un morphisme lisse de dimension relative \(1\) est à singularités au plus nodales de dimension relative \(1\).

Démonstration

Omis.

Lemme

Soit \(f : X \to S\) à singularités au plus nodales de dimension relative \(1\). Il en va de même après tout changement de base de \(f\).

Démonstration

Cela tient au fait que le changement de base d’un morphisme syntomique est syntomique (Morphismes, lemme 01UI), que le changement de base d’un morphisme de dimension relative \(1\) est de dimension relative \(1\) (Morphismes, lemme 02NK), que la formation de \(\text{Sing}(f)\) commute au changement de base (Diviseurs, lemme 0C3I), et que le changement de base d’un morphisme non ramifié est non ramifié (Morphismes, lemme 02GA).

Le lemme suivant montre que l’on peut vérifier fibre par fibre qu’un morphisme est à singularités au plus nodales de dimension relative \(1\).

Lemme

Soit \(f : X \to S\) un morphisme de schémas, plat et localement de présentation finie. Il existe un plus grand sous-schéma ouvert \(U \subset X\) tel que \(f|_U : U \to S\) soit à singularités au plus nodales de dimension relative \(1\). De plus, la formation de \(U\) commute à tout changement de base.

Démonstration

D’après Morphismes, lemme 02V3, il existe un tel ouvert sur lequel \(f\) est syntomique. Nous pouvons donc supposer que \(f\) est un morphisme syntomique. En particulier, \(f\) est un morphisme de Cohen–Macaulay (Dualité pour les schémas, lemmes 0C15 et 0C06). Ainsi \(X\) est la réunion disjointe de sous-schémas ouverts et fermés sur lesquels \(f\) a une dimension relative fixée; voir Morphismes, lemme 02NM. Cette décomposition est préservée par tout changement de base; voir Morphismes, lemme 02NK. En ne gardant qu’un morceau, nous pouvons supposer que \(f\) est syntomique de dimension relative \(1\). Soit \(\text{Sing}(f) \subset X\) le sous-schéma fermé défini par le premier idéal de Fitting de \(\Omega_{X/S}\). Il existe un plus grand sous-schéma ouvert \(W \subset \text{Sing}(f)\) tel que \(W \to S\) soit non ramifié, et sa formation commute au changement de base (Morphismes, lemme 0475). Puisque la formation de \(\text{Sing}(f)\) commute elle aussi au changement de base (Diviseurs, lemme 0C3I), nous voyons que \[U = (X \setminus \text{Sing}(f)) \cup W\] est le plus grand sous-schéma ouvert de \(X\) tel que \(f|_U : U \to S\) soit à singularités au plus nodales de dimension relative \(1\), et que la formation de \(U\) commute au changement de base.

Lemme

Soit \(f : X \to S\) à singularités au plus nodales de dimension relative \(1\). Si \(Y \to X\) est un morphisme étale, alors le composé \(g : Y \to S\) est à singularités au plus nodales de dimension relative \(1\).

Démonstration

Remarquons que \(g\) est plat et localement de présentation finie, comme composé de morphismes plats et localement de présentation finie (utiliser Morphismes, lemmes 02GR, 02GS, 01TR et 01U7). Il suffit donc de démontrer que ses fibres ont des singularités au plus nodales. Cela résulte du lemme 0C57 (et du fait que le composé d’un morphisme étale et d’un morphisme lisse est lisse, d’après Morphismes, lemmes 02GK et 01VA).

Lemme

Soit \(S' \to S\) un morphisme étale de schémas. Soit \(f : X \to S'\) à singularités au plus nodales de dimension relative \(1\). Alors le composé \(g : X \to S\) est à singularités au plus nodales de dimension relative \(1\).

Démonstration

Remarquons que \(g\) est plat et localement de présentation finie, comme composé de morphismes plats et localement de présentation finie (utiliser Morphismes, lemmes 02GR, 02GS, 01TR et 01U7). Il suffit donc de démontrer que les fibres de \(g\) ont des singularités au plus nodales. Cela résulte du lemme 0CD6 et du résultat analogue pour les points lisses.

Lemme

Soit \(f : X \to S\) un morphisme de schémas. Soit \(\{U_i \to X\}\) un recouvrement étale. Les conditions suivantes sont équivalentes :

\(f\) est à singularités au plus nodales de dimension relative \(1\);

chaque \(U_i \to S\) est à singularités au plus nodales de dimension relative \(1\).

Autrement dit, la propriété d’être à singularités au plus nodales de dimension relative \(1\) est locale pour la topologie étale sur la source.

Démonstration

Une implication a été établie dans le lemme 0C5C. Pour l’autre, remarquons que les propriétés d’être localement de présentation finie, d’être plat et d’avoir une dimension relative \(1\) sont locales pour la topologie étale sur la source (Descente, lemmes 036N, 036K et 04NL). En prenant les fibres, nous nous ramenons au cas où \(S\) est le spectre d’un corps. Le résultat découle alors du lemme 0C57 (et du fait que la lissité est locale pour la topologie étale sur la source, d’après Descente, lemme 036U).

Lemme

Soit \(f : X \to S\) un morphisme de schémas. Soit \(\{U_i \to S\}\) un recouvrement fpqc. Les conditions suivantes sont équivalentes :

\(f\) est à singularités au plus nodales de dimension relative \(1\);

chaque \(X \times_S U_i \to U_i\) est à singularités au plus nodales de dimension relative \(1\).

Autrement dit, la propriété d’être à singularités au plus nodales de dimension relative \(1\) est locale pour la topologie fpqc sur la cible.

Démonstration

Une implication a été établie dans le lemme 0C5B. Pour l’autre, remarquons que les propriétés d’être localement de présentation finie, d’être plat et d’avoir une dimension relative \(1\) sont locales pour la topologie fpqc sur la cible (Descente, lemmes 02KY et 02L2, et Morphismes, lemme 02FY). En prenant les fibres, nous nous ramenons au cas où \(S\) est le spectre d’un corps. Le résultat découle alors du lemme 0C56 (et du fait que la lissité est locale pour la topologie fpqc sur la cible, d’après Descente, lemme 02VL).

Lemme

Soit \(S = \lim S_i\) la limite d’un système inductif de schémas dont les morphismes de transition sont affines. Soit \(0 \in I\), et soit \(f_0 : X_0 \to Y_0\) un morphisme de schémas au-dessus de \(S_0\). Supposons \(S_0\), \(X_0\) et \(Y_0\) quasi-compacts et quasi-séparés. Soit \(f_i : X_i \to Y_i\) le changement de base de \(f_0\) à \(S_i\), et soit \(f : X \to Y\) le changement de base de \(f_0\) à \(S\). Si

\(f\) est à singularités au plus nodales de dimension relative \(1\);

\(f_0\) est localement de présentation finie,

alors il existe \(i \geq 0\) tel que \(f_i\) soit à singularités au plus nodales de dimension relative \(1\).

Démonstration

D’après Limites, lemme 0C3L, il existe \(i\) tel que \(f_i\) soit syntomique. Alors \(X_i = \coprod_{d \geq 0} X_{i, d}\) est la réunion disjointe de sous-schémas ouverts et fermés tels que \(X_{i, d} \to Y_i\) ait une dimension relative \(d\); voir Morphismes, lemme 02K1. Le comportement de la dimension des fibres par changement de base donné dans Morphismes, lemme 02FY montre que \(X \to X_i\) s’envoie dans \(X_{i, 1}\). Il existe alors \(i' \geq i\) tel que \(X_{i'} \to X_i\) s’envoie dans \(X_{i, 1}\); voir Limites, lemme 05F4. Ainsi \(f_{i'} : X_{i'} \to Y_{i'}\) est syntomique de dimension relative \(1\) (de nouveau par Morphismes, lemme 02FY). Considérons le morphisme \(\text{Sing}(f_{i'}) \to Y_{i'}\). Nous savons que son changement de base à \(Y\) est non ramifié. D’après Limites, lemme 0C4W, après avoir augmenté \(i'\), le morphisme \(\text{Sing}(f_{i'}) \to Y_{i'}\) devient donc non ramifié. Cela achève la démonstration.

Lemme

Soit \(f : T \to S\) un morphisme de schémas. Soit \(t \in T\), d’image \(s \in S\). Supposons que

\(f\) soit plat en \(t\);

\(\mathcal{O}_{S, s}\) soit noethérien;

\(f\) soit localement de type fini;

\(t\) soit un nœud déployé de la fibre \(T_s\).

Alors il existe \(h \in \mathfrak m_s^\wedge\) et un isomorphisme \[\mathcal{O}_{T, t}^\wedge \cong \mathcal{O}_{S, s}^\wedge[[x, y]]/(xy - h)\] de \(\mathcal{O}_{S, s}^\wedge\)-algèbres.

Démonstration

Remplaçons \(S\) par \(\Spec(\mathcal{O}_{S, s})\) et \(T\) par son changement de base à \(\Spec(\mathcal{O}_{S, s})\). Alors \(T\) est localement noethérien, et donc \(\mathcal{O}_{T, t}\) est noethérien. Posons \(A = \mathcal{O}_{S, s}^\wedge\), \(\mathfrak m = \mathfrak m_A\) et \(B = \mathcal{O}_{T, t}^\wedge\). D’après Compléments d’algèbre, lemme 0C4G, \(A \to B\) est plat. Puisque \(\mathcal{O}_{T, t}/\mathfrak m_s \mathcal{O}_{T, t} = \mathcal{O}_{T_s, t}\), on voit que \(B/\mathfrak m B = \mathcal{O}_{T_s, t}^\wedge\). L’hypothèse (4) et le lemme 0CBW montrent qu’il existe \(\overline{u}, \overline{v} \in B/\mathfrak m B\) tels que l’application \[(A/\mathfrak m)[[x, y]] \longrightarrow B/\mathfrak m B,\quad x \longmapsto \overline{u}, x \longmapsto \overline{v}\] soit surjective, de noyau \((xy)\).

Supposons donnés \(n \geq 1\) et \(u, v \in B\) s’envoyant sur \(\overline{u}, \overline{v}\) tels que \[u v = h + \delta\] pour certains \(h \in A\) et \(\delta \in \mathfrak m^nB\). Nous affirmons qu’il existe \(u', v' \in B\) avec \(u - u', v - v' \in \mathfrak m^n B\) tels que \[u' v' = h' + \delta'\] pour certains \(h' \in A\) et \(\delta' \in \mathfrak m^{n + 1}B\). Pour le voir, écrivons \(\delta = \sum f_i b_i\) avec \(f_i \in \mathfrak m^n\) et \(b_i \in B\). Écrivons ensuite \(b_i = a_i + u b_{i, 1} + v b_{i, 2} + \delta_i\) avec \(a_i \in A\), \(b_{i, 1}, b_{i, 2} \in B\) et \(\delta_i \in \mathfrak m B\). C’est possible parce que le corps résiduel de \(B\) coïncide avec celui de \(A\), et que les images de \(u\) et \(v\) dans \(B/\mathfrak m B\) engendrent l’idéal maximal. Posons alors \[u' = u - \sum b_{i, 2}f_i,\quad v' = v - \sum b_{i, 1}f_i\]; nous obtenons \[u'v' = h + \delta - \sum (b_{i, 1}u + b_{i, 2}v)f_i + \sum c_{ij}f_if_j = h + \sum a_if_i + \sum f_i \delta_i + \sum c_{ij}f_if_j\] pour un certain \(c_{i, j} \in B\). Nous avons donc une formule comme ci-dessus avec \(h' = h + \sum a_if_i\) et \(\delta' = \sum f_i \delta_i + \sum c_{ij}f_if_j\).

En raisonnant par récurrence à partir de relèvements quelconques \(u_1, v_1 \in B\) de \(\overline{u}, \overline{v}\), le paragraphe précédent fournit des suites d’éléments \(u_n, v_n \in B\) et \(h_n \in A\) telles que \(u_n - u_{n + 1} \in \mathfrak m^n B\), \(v_n - v_{n + 1} \in \mathfrak m^n B\), \(h_n - h_{n + 1} \in \mathfrak m^n\), et telles que \(u_n v_n - h_n \in \mathfrak m^n B\). Puisque \(A\) et \(B\) sont complets, nous pouvons poser \(u_\infty = \lim u_n\), \(v_\infty = \lim v_n\) et \(h_\infty = \lim h_n\), et nous obtenons alors \(u_\infty v_\infty = h_\infty\) dans \(B\). Nous disposons donc d’un homomorphisme de \(A\)-algèbres \[A[[x, y]]/(xy - h_\infty) \longrightarrow B\] envoyant \(x\) sur \(u_\infty\) et \(v\) sur \(v_\infty\). C’est une application d’algèbres \(A\)-plates qui devient un isomorphisme après division par \(\mathfrak m\). Elle est surjective modulo \(\mathfrak m\), donc surjective par complétude et par Algèbre, lemme 0315. Nous pouvons alors appliquer Algèbre, lemme 00ME pour conclure que c’est un isomorphisme.

Lemme

Soit \(f : X \to S\) un morphisme de schémas. Supposons que

\(f\) soit propre;

\(f\) soit à singularités au plus nodales de dimension relative \(1\);

les fibres géométriques de \(f\) soient connexes.

Alors (a) \(f_*\mathcal{O}_X = \mathcal{O}_S\), et cela reste vrai après tout changement de base; (b) \(R^1f_*\mathcal{O}_X\) est un \(\mathcal{O}_S\)-module fini localement libre dont la formation commute à tout changement de base; et (c) \(R^qf_*\mathcal{O}_X = 0\) pour \(q \geq 2\).

Démonstration

La partie (a) résulte de Catégories dérivées des schémas, lemme 0E0L. D’après Catégories dérivées des schémas, lemme 0E62, localement sur \(S\), nous pouvons écrire \(Rf_*\mathcal{O}_X = \mathcal{O}_S \oplus P\), où \(P\) est parfait et d’amplitude de Tor contenue dans \([1, \infty)\). Rappelons que la formation de \(Rf_*\mathcal{O}_X\) commute à tout changement de base (Catégories dérivées des schémas, lemme 0B91). Ainsi, pour \(s \in S\), on a \[H^i(P \otimes_{\mathcal{O}_S}^\mathbf{L} \kappa(s)) = H^i(X_s, \mathcal{O}_{X_s}) \text{ pour }i \geq 1\] Ce groupe est nul sauf si \(i = 1\), puisque \(X_s\) est un schéma noethérien de dimension \(1\); voir Cohomologie, proposition 02UZ. Alors \(P = H^1(P)[-1]\) et \(H^1(P)\) est fini localement libre, par exemple d’après Compléments d’algèbre, lemme 0BCD. Comme tout est compatible au changement de base, nous concluons.

Structure locale étale des familles nodales

Considérons le morphisme de schémas \[\Spec(\mathbf{Z}[u, v, a]/(uv - a)) \longrightarrow \Spec(\mathbf{Z}[a])\] Le lemme suivant montre que ce morphisme est un modèle de la structure locale étale d’une famille de courbes nodales.

Lemme

Soit \(f : X \to S\) un morphisme de schémas. Supposons que \(f\) soit à singularités au plus nodales de dimension relative \(1\). Soit \(x \in X\) un point singulier de la fibre \(X_s\). Il existe alors un diagramme commutatif de schémas \[\xymatrix{ X \ar[d] & U \ar[rr] \ar[l] \ar[rd] & & W \ar[r] \ar[ld] & \Spec(\mathbf{Z}[u, v, a]/(uv - a)) \ar[d] \\ S & & V \ar[ll] \ar[rr] & & \Spec(\mathbf{Z}[a]) }\] dans lequel \(X \leftarrow U\), \(S \leftarrow V\) et \(U \to W\) sont des morphismes étales, et où le carré de droite est cartésien, ainsi qu’un point \(u \in U\) s’envoyant sur \(x\) dans \(X\).

Démonstration

Utilisons d’abord l’approximation noethérienne absolue pour nous ramener au cas de schémas de type fini sur \(\mathbf{Z}\). La question est locale sur \(X\) et \(S\). Nous pouvons donc supposer que \(X\) et \(S\) sont affines. Écrivons alors \(S = \Spec(R)\) et écrivons \(R\) comme une colimite filtrante \(R = \colim R_i\) de \(\mathbf{Z}\)-algèbres de type fini. D’après Limites, lemme 01ZM, nous pouvons trouver \(i\) et un morphisme \(f_i : X_i \to \Spec(R_i)\) dont le changement de base à \(S\) est \(f\). Après avoir augmenté \(i\), nous pouvons supposer que \(f_i\) est à singularités au plus nodales de dimension relative \(1\); voir le lemme 0C5F. L’image \(x_i \in X_i\) de \(x\) sera un point singulier de sa fibre, par exemple parce que la formation de \(\text{Sing}(f)\) commute au changement de base (Diviseurs, lemme 0C3I). Si nous pouvons démontrer le lemme pour \(f_i : X_i \to S_i\) et \(x_i\), il en résulte pour \(f : X \to S\) par changement de base. Nous sommes ainsi ramenés au cas étudié dans le paragraphe suivant.

Supposons \(S\) de type fini sur \(\mathbf{Z}\). Soit \(s \in S\) l’image de \(x\). Rappelons que \(\kappa(x)\) est une extension finie séparable de \(\kappa(s)\), par exemple parce que \(\text{Sing}(f) \to S\) est non ramifié, ou parce que \(x\) est un nœud de la fibre \(X_s\) et que nous pouvons appliquer le lemme 0C4D. Soit en outre \(\kappa'/\kappa(x)\) l’algèbre séparable de degré \(2\) associée à \(\mathcal{O}_{X_s, x}\) dans la remarque 0CBT. D’après Compléments sur les morphismes, lemme 02LF, nous pouvons choisir un voisinage étale \((V, v) \to (S, s)\) tel que l’extension \(\kappa(v)/\kappa(s)\) réalise soit l’extension \(\kappa(x)/\kappa(s)\) dans le cas \(\kappa' \cong \kappa(x) \times \kappa(x)\), soit l’extension \(\kappa'/\kappa(s)\) si \(\kappa'\) est un corps. Après avoir remplacé \(X\) par \(X \times_S V\) et \(S\) par \(V\), nous nous ramenons à la situation décrite au paragraphe suivant.

Supposons \(S\) de type fini sur \(\mathbf{Z}\) et \(x \in X_s\) un nœud déployé; voir la définition 0CBV. D’après le lemme 0CBX, il existe un isomorphisme de \(\mathcal{O}_{S, s}\)-algèbres \[\mathcal{O}_{X, x}^\wedge \cong \mathcal{O}_{S, s}^\wedge[[s, t]]/(st - h)\] pour un certain \(h \in \mathfrak m_s^\wedge \subset \mathcal{O}_{S, s}^\wedge\). Autrement dit, si l’on considère l’homomorphisme \[\sigma : \mathbf{Z}[a] \longrightarrow \mathcal{O}_{S, s}^\wedge\] envoyant \(a\) sur \(h\), il existe un isomorphisme de \(\mathcal{O}_{S, s}\)-algèbres \[\mathcal{O}_{X, x}^\wedge \longrightarrow \mathcal{O}_{Y_\sigma, y_\sigma}^\wedge\], où \[Y_\sigma = \Spec(\mathbf{Z}[u, v, t]/(uv - a)) \times_{\Spec(\mathbf{Z}[a]), \sigma} \Spec(\mathcal{O}_{S, s}^\wedge)\] et où \(y_\sigma\) est le point de \(Y_\sigma\) situé au-dessus du point fermé de \(\Spec(\mathcal{O}_{S, s}^\wedge)\) dont les coordonnées \(u, v\) sont nulles. Puisque \(\mathcal{O}_{S, s}\) est un G-anneau d’après Compléments d’algèbre, proposition 07PX, nous pouvons conclure par Compléments sur les morphismes, lemme 0GDX.

Démonstration

Nous ne faisons qu’esquisser cette démonstration, due à Mohan Swaminathan et calquée sur un argument de [ACG, Proposition X.2.1]. Contrairement à la précédente, cette démonstration utilise les équations elles-mêmes.

Exactement comme dans la première démonstration, nous nous ramenons au cas où \(S\) est de type fini sur \(\mathbf{Z}\) et où \(x \in X_s\) est un nœud déployé; voir la définition 0CBV. D’après le lemme 0CBW, il existe un isomorphisme de \(\kappa(s)\)-algèbres \[\mathcal{O}_{X_s, x}^\wedge \cong \kappa(s)[[u, v]]/(uv)\] Remarquons que l’espace tangent de \(X_s\) en \(x\) est de dimension \(2\). D’après Variétés, lemme 0CBL, après avoir rétréci au sens de Zariski, nous pouvons donc supposer qu’il existe une immersion fermée \(X \to Y\) de schémas sur \(S\), avec \(Y \to S\) lisse de dimension relative \(2\). Puisque \(X\) est syntomique de dimension relative \(1\) (par définition), \(X\) est un diviseur de Cartier effectif de \(Y\) (cela résulte de Diviseurs, lemme 067T). Après avoir rétréci \(Y\) et \(X\), nous pouvons donc supposer que \(Y = \Spec(B)\) est affine et qu’il existe un non-diviseur de zéro \(g \in B\) tel que \(X = \Spec(B/gB)\).

Écrivons \(S = \Spec(R)\) et notons \(\mathfrak p \subset R\) l’idéal premier correspondant à \(s\). Soit \(\mathfrak q \subset B\) l’idéal premier correspondant à \(x\), considéré comme un point de \(Y\). Nous avons des applications \[B_\mathfrak q / \mathfrak p B_\mathfrak q \longrightarrow B_\mathfrak q / g B_\mathfrak q + \mathfrak p B_\mathfrak q \longrightarrow \kappa(s)[[u, v]]/(uv)\] dont la seconde devient un isomorphisme après complétion. Après avoir remplacé \(B\) par une localisation principale convenable, nous pouvons supposer qu’il existe \(U, V \in B\) qui s’envoient sur \(u\) et \(v\) à \((u, v)^2\) près. Alors le complété de \(B_\mathfrak q/\mathfrak p B_\mathfrak q\) est \(\kappa(s)[[U, V]]\). De plus, après avoir rétréci \(Y\) et multiplié \(g\) par une unité, nous pouvons supposer que \(g\) s’envoie sur \(UV\) plus des termes d’ordre supérieur dans \(\kappa(s)[[U, V]]\). Après avoir encore rétréci \(Y\), nous pouvons supposer en outre que

\(\mathfrak q = \mathfrak pB + (U, V)\)

\(\Omega_{B/R}\) est libre sur \(\text{d}U\) et \(\text{d}V\).

Écrivons \(\text{d}(g) = g_2 \text{d}U + g_1 \text{d}V\) avec \(g_1, g_2 \in B\). Remarquons que l’idéal \(J = (g_1, g_2) \subset B\) est indépendant du choix des « coordonnées » \(U\) et \(V\), pour \(g\) fixé. En réduisant modulo \(\mathfrak p B_\mathfrak q + (U, V)^3B_\mathfrak q\), on voit que \(g_1\) et \(g_2\) sont congrus à \(U\) et \(V\) modulo \(\mathfrak p B_\mathfrak q + (U, V)^2B_\mathfrak q\). Nous pouvons donc reprendre le raisonnement ci-dessus en remplaçant \(U\) par \(g_1\) et \(V\) par \(g_2\). Nous obtenons alors \(J = (U, V)\), ce qui implique \(g_1, g_2 \in (U, V) = J\) (bien entendu, ces éléments diffèrent des \(g_1\) et \(g_2\) correspondant à notre choix précédent de coordonnées).

Remarquons que \(\Spec(B/J) \to S = \Spec(R)\) est étale en \(x\). Après avoir remplacé \(S\) par un voisinage étale et rétréci encore \(Y\), nous pouvons donc supposer que \(R \to B \to B/J\) est un isomorphisme. Notons \(r \in R\) l’élément dont l’image dans \(B/J\) est celle de \(-g\). Nous pouvons alors écrire \[g + r \equiv a U + b V \bmod (U, V)^2\] pour un certain \(a, b \in R\). En dérivant et en utilisant \(\text{d}g \in J\Omega_{B/R}\), nous obtenons \(a = b = 0\). Nous pouvons donc écrire \[g + r = \alpha U^2 + \beta UV + \gamma V^2\] pour un certain \(\alpha, \beta, \gamma \in B\). Alors \(\beta\) s’envoie sur \(1\) dans \(\kappa(x)\), tandis que \(\alpha\) et \(\gamma\) s’envoient sur \(0\) dans \(\kappa(x)\). Nous pouvons donc supposer que \(\beta\) et \(\alpha + \beta + \gamma\) sont inversibles dans \(B\). Considérons le revêtement \(Y'\) de \(Y\) donné par \[Y' = \Spec(B[t]/(t(1 - t) - \alpha \gamma / \beta^2))\], et soit \(x'\) l’unique point au-dessus de \(x\) tel que \(t = 1\). Remarquons que \(Y' \to Y\) est étale en \(x'\). Considérons les éléments \[T_1 = (\alpha + t \beta)U + ((1 - t)\beta + \gamma)V \quad\text{et}\quad T_2 = \frac{(\alpha + (1 - t) \beta)U + (t\beta + \gamma)V}{\alpha + \beta + \gamma}\] de \(\Gamma(Y', \mathcal{O}_{Y'})\). On voit alors que \[g = T_1 T_2 - r\] Puisque \(T_1\) et \(T_2\) sont également des coordonnées au sens précédent, le morphisme \(Y' \to \mathbf{A}^2_S\) donné par \(T_1\) et \(T_2\) est étale dans un voisinage de \(x'\), et l’image réciproque \(X' \subset Y'\) de \(X\) est l’image réciproque du sous-schéma fermé de \(\mathbf{A}^2_S = \Spec(R[x_1, x_2])\) défini par l’équation \(x_1x_2 - r = 0\), quitte à rétrécir encore \(Y'\). Nous laissons au lecteur le soin d’assembler ces éléments pour obtenir le diagramme voulu.

Autres résultats d’annulation

Suite de la section 0B5C.

Lemme

Dans la situation 0B5D, supposons \(X\) intègre et de genre \(g\). Soit \(\mathcal{L}\) un \(\mathcal{O}_X\)-module inversible. Soit \(Z \subset X\) un sous-schéma fermé de dimension \(0\), de faisceau d’idéaux \(\mathcal{I} \subset \mathcal{O}_X\). Si \(H^1(X, \mathcal{I}\mathcal{L})\) est non nul, alors \[\deg(\mathcal{L}) \leq 2g - 2 + \deg(Z)\], avec inégalité stricte sauf si \(\mathcal{I}\mathcal{L} \cong \omega_X\).

Démonstration

Toute courbe, par exemple \(X\), est de Cohen–Macaulay. Si \(H^1(X, \mathcal{I}\mathcal{L})\) est non nul, il existe une application non nulle \(\mathcal{I}\mathcal{L} \to \omega_X\); voir le lemme 0BS3. Puisque \(\mathcal{I}\mathcal{L}\) est sans torsion, cette application est injective. Comme un corps est de Gorenstein et que \(X\) est réduit, le lieu de Gorenstein \(U \subset X\) de \(X\) est non vide; voir Dualité pour les schémas, lemme 0BFQ. Ce lemme nous dit aussi que \(\omega_X|_U\) est inversible. Nous obtenons ainsi une suite exacte courte \[0 \to \mathcal{I}\mathcal{L} \to \omega_X \to \mathcal{Q} \to 0\] où le support de \(\mathcal{Q}\) est de dimension zéro. Par conséquent, \[\begin{align*} 0 & \leq \dim \Gamma(X, \mathcal{Q})\\ & = \chi(\mathcal{Q}) \\ & = \chi(\omega_X) - \chi(\mathcal{I}\mathcal{L}) \\ & = \chi(\omega_X) - \deg(\mathcal{L}) - \chi(\mathcal{I}) \\ & = 2g - 2 - \deg(\mathcal{L}) + \deg(Z) \end{align*}\] d’après les lemmes 0BS5 et 0BS6, d’après (0BY8), et d’après Variétés, lemmes 0AYT et 0AYV. Nous avons aussi utilisé \(\deg(Z) = \dim_k \Gamma(Z, \mathcal{O}_Z) = \chi(\mathcal{O}_Z)\) et la suite exacte courte \(0 \to \mathcal{I} \to \mathcal{O}_X \to \mathcal{O}_Z \to 0\). Le lemme en résulte.

Lemme

Dans la situation 0B5D, supposons \(X\) intègre et de genre \(g\). Soit \(\mathcal{L}\) un \(\mathcal{O}_X\)-module inversible. Soit \(Z \subset X\) un sous-schéma fermé de dimension \(0\), de faisceau d’idéaux \(\mathcal{I} \subset \mathcal{O}_X\). Si \(\deg(\mathcal{L}) > 2g - 2 + \deg(Z)\), alors \(H^1(X, \mathcal{I}\mathcal{L}) = 0\) et l’une des possibilités suivantes se présente :

\(H^0(X, \mathcal{I}\mathcal{L}) \not = 0\);

\(g = 0\) et \(\deg(\mathcal{L}) = \deg(Z) - 1\).

Dans le cas (2), si \(Z = \emptyset\), alors \(X \cong \mathbf{P}^1_k\) et \(\mathcal{L}\) correspond à \(\mathcal{O}_{\mathbf{P}^1}(-1)\).

Démonstration

L’annulation de \(H^1(X, \mathcal{I}\mathcal{L})\) résulte du lemme 0E3A. Si \(H^0(X, \mathcal{I}\mathcal{L}) = 0\), alors \(\chi(\mathcal{I}\mathcal{L}) = 0\). La suite exacte courte \(0 \to \mathcal{I}\mathcal{L} \to \mathcal{L} \to \mathcal{O}_Z \to 0\) donne \(\deg(\mathcal{L}) = g - 1 + \deg(Z)\). Ainsi \(g - 1 + \deg(Z) > 2g - 2 + \deg(Z)\), ce qui implique \(g = 0\); le cas (2) est donc réalisé. Si \(Z = \emptyset\) dans le cas (2), alors \(\mathcal{L}^{-1}\) est un faisceau inversible de degré \(1\). Il existe par conséquent un isomorphisme \(X \to \mathbf{P}^1_k\), et \(\mathcal{L}^{-1}\) est l’image réciproque de \(\mathcal{O}_{\mathbf{P}^1}(1)\) d’après le lemme 0C6T.

Lemme

Dans la situation 0B5D, supposons \(X\) intègre et de genre \(g\). Soit \(\mathcal{L}\) un \(\mathcal{O}_X\)-module inversible. Si \(\deg(\mathcal{L}) \geq 2g\), alors \(\mathcal{L}\) est engendré par ses sections globales.

Démonstration

Soit \(Z \subset X\) le sous-schéma fermé découpé par les sections globales de \(\mathcal{L}\). D’après le lemme 0E3B, on voit que \(Z \not = X\). Soit \(\mathcal{I} \subset \mathcal{O}_X\) le faisceau d’idéaux définissant \(Z\). Considérons la suite exacte courte \[0 \to \mathcal{I}\mathcal{L} \to \mathcal{L} \to \mathcal{O}_Z \to 0\] Si \(Z \not = \emptyset\), alors \(H^1(X, \mathcal{I}\mathcal{L})\) est non nul, comme le montre la suite exacte longue de cohomologie. D’après le lemme 0BS3, cela donne une application non nulle, donc injective, \[\mathcal{I}\mathcal{L} \longrightarrow \omega_X\] En particulier, nous obtenons une application injective \(H^0(X, \mathcal{L}) = H^0(X, \mathcal{I}\mathcal{L}) \to H^0(X, \omega_X)\). C’est impossible, puisque \[\dim_k H^0(X, \mathcal{L}) = \dim_k H^1(X, \mathcal{L}) + \deg(\mathcal{L}) + 1 - g \geq g + 1\] et \(\dim H^0(X, \omega_X) = g\) d’après (0BY8).

Lemme

Dans la situation 0B5D, supposons \(X\) intègre et de genre \(g\). Soit \(\mathcal{L}\) un \(\mathcal{O}_X\)-module inversible. Soit \(Z \subset X\) un sous-schéma fermé non vide de dimension \(0\). Si \(\deg(\mathcal{L}) \geq 2g - 1 + \deg(Z)\), alors \(\mathcal{L}\) est engendré par ses sections globales et \(H^0(X, \mathcal{L}) \to H^0(X, \mathcal{L}|_Z)\) est surjective.

Démonstration

L’engendrement par les sections globales résulte du lemme 0E3C. Si \(\mathcal{I} \subset \mathcal{O}_X\) est le faisceau d’idéaux de \(Z\), alors \(H^1(X, \mathcal{I}\mathcal{L}) = 0\) d’après le lemme 0E3A. D’où la surjectivité.

Lemme

Dans la situation 0B5D, supposons \(X\) géométriquement intègre sur \(k\) et de genre \(g\). Soit \(\mathcal{L}\) un \(\mathcal{O}_X\)-module inversible. Si \(\deg(\mathcal{L}) \geq 2g + 1\), alors \(\mathcal{L}\) est très ample.

Démonstration

D’après le lemme 0E3C, \(\mathcal{L}\) est engendré par ses sections globales et détermine donc un morphisme \(f : X \to \mathbf{P}^n_k\), où \(n = h^0(X,\mathcal{L}) - 1\). Dire que \(\mathcal{L}\) est très ample revient à montrer que \(f\) est une immersion fermée. Il suffit de vérifier que le changement de base de \(f\) à une clôture algébrique \(\overline{k}\) de \(k\) est une immersion fermée (Descente, lemme 02L6). Nous pouvons donc supposer \(k\) algébriquement clos; par hypothèse, \(X\) reste intègre. Le lemme 0E3D montre que, pour tout sous-schéma fermé de dimension \(0\), noté \(Z\subset X\), et de degré 2, l’application de restriction \(H^0(X, \mathcal{L}) \to H^0(X, \mathcal{L}|_Z)\) est surjective. D’après Variétés, lemme 0E8T, \(\mathcal{L}\) est très ample.

Lemme

Soit \(k\) un corps. Soit \(X\) un schéma propre sur \(k\), réduit, connexe et de dimension \(1\). Soit \(\mathcal{L}\) un \(\mathcal{O}_X\)-module inversible. Soit \(Z \subset X\) un sous-schéma fermé de dimension \(0\), de faisceau d’idéaux \(\mathcal{I} \subset \mathcal{O}_X\). Si \(H^1(X, \mathcal{I}\mathcal{L}) \not = 0\), il existe un sous-schéma fermé réduit connexe \(Y \subset X\) de dimension \(1\) tel que \[\deg(\mathcal{L}|_Y) \leq -2\chi(Y, \mathcal{O}_Y) + \deg(Z \cap Y)\], où \(Z \cap Y\) est l’intersection schématique.

Démonstration

Si \(H^1(X, \mathcal{I}\mathcal{L})\) est non nul, il existe une application non nulle \(\varphi : \mathcal{I}\mathcal{L} \to \omega_X\); voir le lemme 0BS3. Soit \(Y \subset X\) la réunion des composantes irréductibles \(C\) de \(X\) telles que \(\varphi\) soit non nul au point générique de \(C\). Alors \(Y\) est un sous-schéma fermé réduit. Soit \(\mathcal{J} \subset \mathcal{O}_X\) le faisceau d’idéaux de \(Y\). Puisque \(\mathcal{J}\mathcal{I}\mathcal{L}\) n’a pas de point associé immergé, en tant que sous-module de \(\mathcal{L}\), et que \(\varphi\) est nul aux points génériques du support de \(\mathcal{J}\), par le choix de \(Y\) et puisque \(X\) est réduit, on voit que \(\varphi\) se factorise sous la forme \[\mathcal{I}\mathcal{L} \to \mathcal{I}\mathcal{L}/\mathcal{J}\mathcal{I}\mathcal{L} \to \omega_X\] Nous pouvons considérer \(\mathcal{I}\mathcal{L}/\mathcal{J}\mathcal{I}\mathcal{L}\) comme l’image directe d’un faisceau cohérent sur \(Y\), que nous noterons encore de la même manière par abus de notation. Puisque \(\omega_Y = \SheafHom(\mathcal{O}_Y, \omega_X)\) d’après le lemme 0E33, nous obtenons une application \[\mathcal{I}\mathcal{L}/ \mathcal{J}\mathcal{I}\mathcal{L} \to \omega_Y\] de \(\mathcal{O}_Y\)-modules, injective aux points génériques de \(Y\). Soit \(\mathcal{I}' \subset \mathcal{O}_Y\) le faisceau d’idéaux de \(Z \cap Y\). Il existe une application \(\mathcal{I}\mathcal{L}/\mathcal{J}\mathcal{I}\mathcal{L} \to \mathcal{I}'\mathcal{L}|_Y\) dont le noyau est supporté en des points fermés. Comme \(\omega_Y\) est un module de Cohen–Macaulay, l’application précédente se factorise par une application injective \(\mathcal{I}'\mathcal{L}|_Y \to \omega_Y\). Nous obtenons ainsi une suite exacte \[0 \to \mathcal{I}'\mathcal{L}|_Y \to \omega_Y \to \mathcal{Q} \to 0\] de faisceaux cohérents sur \(Y\), où \(\mathcal{Q}\) est supporté en dimension \(0\); on utilise ici le fait que \(\omega_Y\) est un module inversible aux points génériques de \(Y\). Nous concluons que \[0 \leq \dim \Gamma(Y, \mathcal{Q}) = \chi(\mathcal{Q}) = \chi(\omega_Y) - \chi(\mathcal{I}'\mathcal{L}) = -2\chi(\mathcal{O}_Y) - \deg(\mathcal{L}|_Y) + \deg(Z \cap Y)\] d’après le lemme 0BS5 et Variétés, lemme 0AYT. Si \(Y\) est connexe, cela démontre le lemme. Sinon, nous répétons la dernière partie de l’argument pour l’une des composantes connexes de \(Y\).

Lemme

Soit \(k\) un corps. Soit \(X\) un schéma propre sur \(k\), réduit, connexe et de dimension \(1\). Soit \(\mathcal{L}\) un \(\mathcal{O}_X\)-module inversible. Supposons que, pour tout sous-schéma fermé réduit connexe \(Y \subset X\) de dimension \(1\), on ait \[\deg(\mathcal{L}|_Y) \geq 2\dim_k H^1(Y, \mathcal{O}_Y)\] Alors \(\mathcal{L}\) est engendré par ses sections globales.

Démonstration

Raisonnons par récurrence sur le nombre de composantes irréductibles de \(X\). Si \(X\) est irréductible, le lemme résulte du lemme 0E3C appliqué à \(X\) considéré comme un schéma sur le corps \(k' = H^0(X, \mathcal{O}_X)\). Supposons \(X\) non irréductible. Avant de poursuivre, si \(k\) est fini, remplaçons \(k\) par une extension purement transcendante \(K\). Cela est permis par Variétés, lemmes 0B57, 0B59, 035Z et 038F, par Cohomologie des schémas, lemme 02KH, par le lemme 0E32 et par le fait élémentaire que \(K\) est géométriquement intègre sur \(k\).

Supposons, pour aboutir à une contradiction, que \(\mathcal{L}\) ne soit pas engendré par ses sections globales. Nous pouvons alors choisir un faisceau cohérent d’idéaux \(\mathcal{I} \subset \mathcal{O}_X\) tel que \(H^0(X, \mathcal{I}\mathcal{L}) = H^0(X, \mathcal{L})\) et tel que \(\mathcal{O}_X/\mathcal{I}\) soit non nul et de support de dimension \(0\). On peut, par exemple, prendre pour \(\mathcal{I}\) le faisceau d’idéaux d’un point fermé quelconque du lieu d’annulation commun des sections globales de \(\mathcal{L}\). Considérons la suite exacte courte \[0 \to \mathcal{I}\mathcal{L} \to \mathcal{L} \to \mathcal{L}/\mathcal{I}\mathcal{L} \to 0\] Puisque le support de \(\mathcal{L}/\mathcal{I}\mathcal{L}\) est de dimension \(0\), \(\mathcal{L}/\mathcal{I}\mathcal{L}\) est engendré par ses sections globales (Variétés, lemme 0AYT). La suite exacte courte et le fait que \(H^0(X, \mathcal{I}\mathcal{L}) = H^0(X, \mathcal{L})\) donnent une injection \(H^0(X, \mathcal{L}/\mathcal{I}\mathcal{L}) \to H^1(X, \mathcal{I}\mathcal{L})\).

Rappelons que le \(k\)-espace vectoriel \(H^1(X, \mathcal{I}\mathcal{L})\) est dual de \(\Hom(\mathcal{I}\mathcal{L}, \omega_X)\). Choisissons \(\varphi : \mathcal{I}\mathcal{L} \to \omega_X\). D’après le lemme 0E3E, on a \(H^1(X, \mathcal{L}) = 0\). Par conséquent, \[\dim_k H^0(X, \mathcal{I}\mathcal{L}) = \dim_k H^0(X, \mathcal{L}) = \deg(\mathcal{L}) + \chi(\mathcal{O}_X) > \dim_k H^1(X, \mathcal{O}_X) = \dim_k H^0(X, \omega_X)\] Nous en concluons que \(\varphi\) n’est pas injective sur les sections globales; en particulier, \(\varphi\) n’est pas injective. Pour chaque point générique \(\eta \in X\) d’une composante irréductible de \(X\), notons \(V_\eta \subset \Hom(\mathcal{I}\mathcal{L}, \omega_X)\) le sous-\(k\)-espace vectoriel formé des \(\varphi\) qui sont nuls en \(\eta\). Puisque tout point associé de \(\mathcal{I}\mathcal{L}\) est un point générique de \(X\), ce qui précède montre que \(\Hom(\mathcal{I}\mathcal{L}, \omega_X) = \bigcup V_\eta\). Comme \(X\) possède un nombre fini de points génériques et que \(k\) est infini, nous concluons \(\Hom(\mathcal{I}\mathcal{L}, \omega_X) = V_\eta\) pour un certain \(\eta\). Soit \(\eta \in C \subset X\) la composante irréductible correspondante. Soit \(Y \subset X\) la réunion des autres composantes irréductibles de \(X\). Alors \(Y\) est un sous-schéma fermé réduit non vide, distinct de \(X\). Soit \(\mathcal{J} \subset \mathcal{O}_X\) le faisceau d’idéaux de \(Y\). Gardons à l’esprit que le support de \(\mathcal{J}\) est \(C\).

Soit \(\varphi : \mathcal{I}\mathcal{L} \to \omega_X\) quelconque. Puisque \(\mathcal{J}\mathcal{I}\mathcal{L}\) n’a pas de point associé immergé, en tant que sous-module de \(\mathcal{L}\), et que \(\varphi\) est nul au point générique \(\eta\) du support de \(\mathcal{J}\), on voit que \(\varphi\) se factorise sous la forme \[\mathcal{I}\mathcal{L} \to \mathcal{I}\mathcal{L}/\mathcal{J}\mathcal{I}\mathcal{L} \to \omega_X\] Nous pouvons considérer \(\mathcal{I}\mathcal{L}/\mathcal{J}\mathcal{I}\mathcal{L}\) comme l’image directe d’un faisceau cohérent sur \(Y\), que nous noterons encore de la même manière par abus de notation. Puisque \(\omega_Y = \SheafHom(\mathcal{O}_Y, \omega_X)\) d’après le lemme 0E33, nous obtenons une factorisation \[\mathcal{I}\mathcal{L} \to \mathcal{I}\mathcal{L}/ \mathcal{J}\mathcal{I}\mathcal{L} \xrightarrow{\varphi'} \omega_Y \to \omega_X\] de \(\varphi\). Soit \(\mathcal{I}' \subset \mathcal{O}_Y\) l’image de \(\mathcal{I} \subset \mathcal{O}_X\). Il existe une application surjective \(\mathcal{I}\mathcal{L}/\mathcal{J}\mathcal{I}\mathcal{L} \to \mathcal{I}'\mathcal{L}|_Y\) dont le noyau est supporté en des points fermés. Comme \(\omega_Y\) est un module de Cohen–Macaulay sur \(Y\), l’application \(\varphi'\) se factorise par une application \(\varphi'' : \mathcal{I}'\mathcal{L}|_Y \to \omega_Y\). Nous avons donc des diagrammes commutatifs \[\vcenter{ \xymatrix{ 0 \ar[r] & \mathcal{I}\mathcal{L} \ar[r] \ar[d] & \mathcal{L} \ar[r] \ar[d] & \mathcal{L}/\mathcal{I}\mathcal{L} \ar[r] \ar[d] & 0 \\ 0 \ar[r] & \mathcal{I}'\mathcal{L}|_Y \ar[r] & \mathcal{L}|_Y \ar[r] & \mathcal{L}|_Y/\mathcal{I}'\mathcal{L}|_Y \ar[r] & 0 } } \quad\text{et}\quad \vcenter{ \xymatrix{ \mathcal{I}\mathcal{L} \ar[r]_\varphi \ar[d] & \omega_X \\ \mathcal{I}'\mathcal{L}|_Y \ar[r]^{\varphi''} & \omega_Y \ar[u] } }\] Nous pouvons maintenant achever la démonstration comme suit. Puisque, pour tout \(\varphi\), nous avons \(\varphi''\) et puisque \(\omega_X \in \textit{Coh}(\mathcal{O}_X)\) représente le foncteur \(\mathcal{F} \mapsto \Hom_k(H^1(X, \mathcal{F}), k)\), on voit que \(H^1(X, \mathcal{I}\mathcal{L}) \to H^1(Y, \mathcal{I}'\mathcal{L}|_Y)\) est injective. Comme l’application de bord \(H^0(X, \mathcal{L}/\mathcal{I}\mathcal{L}) \to H^1(X, \mathcal{I}\mathcal{L})\) est injective, le composé \[H^0(X, \mathcal{L}/\mathcal{I}\mathcal{L}) \to H^0(X, \mathcal{L}|_Y/\mathcal{I}'\mathcal{L}|_Y) \to H^1(X, \mathcal{I}'\mathcal{L}|_Y)\] l’est aussi. Puisque \(\mathcal{L}/\mathcal{I}\mathcal{L} \to \mathcal{L}|_Y/\mathcal{I}'\mathcal{L}|_Y\) est une application surjective de modules cohérents dont les supports sont de dimension \(0\), la première application \(H^0(X, \mathcal{L}/\mathcal{I}\mathcal{L}) \to H^0(X, \mathcal{L}|_Y/\mathcal{I}'\mathcal{L}|_Y)\) est surjective, donc bijective. Mais, par récurrence, \(\mathcal{L}|_Y\) est engendré par ses sections globales, y compris si \(Y\) est non connexe, et l’application de bord \[H^0(X, \mathcal{L}|_Y/\mathcal{I}'\mathcal{L}|_Y) \to H^1(X, \mathcal{I}'\mathcal{L}|_Y)\] ne peut donc pas être injective. Cette contradiction achève la démonstration.

Contraction des queues rationnelles

Dans cette section, nous étudions le cas le plus simple de contraction d’un schéma visant à améliorer les propriétés de positivité de son faisceau canonique.

Exemple

Soit \(k\) un corps. Soit \(X\) un schéma propre sur \(k\), de dimension \(1\) et tel que \(H^0(X, \mathcal{O}_X) = k\). Supposons que les singularités de \(X\) soient au plus nodales. Une queue rationnelle est une composante irréductible \(C \subset X\), considérée comme un sous-schéma fermé intègre, qui possède les propriétés suivantes :

\(X' \not = \emptyset\), où \(X' \subset X\) est l’adhérence schématique de \(X \setminus C\);

l’intersection schématique \(C \cap X'\) est un unique point réduit \(x\);

\(H^0(C, \mathcal{O}_C)\) s’envoie isomorphiquement sur le corps résiduel de \(x\);

\(C\) est de genre zéro.

Comme au moins deux composantes irréductibles de \(X\) passent par \(x\), nous en concluons que \(x\) est un nœud. Posons \(k' = H^0(C, \mathcal{O}_C) = \kappa(x)\). Alors \(k'/k\) est une extension finie séparable de corps (lemme 0C4D). Il existe un morphisme canonique \[c : X \longrightarrow X'\] qui induit l’identité sur \(X'\) et envoie \(C\) sur \(x \in X'\) par le morphisme canonique \(C \to \Spec(k') = x\). Cela résulte de Morphismes, lemme 0C4J, puisque \(X\) est la réunion schématique de \(C\) et \(X'\), car \(X\) est réduit. De plus, nous affirmons que \[c_*\mathcal{O}_X = \mathcal{O}_{X'} \quad\text{et}\quad R^1c_*\mathcal{O}_X = 0\] Pour le voir, notons \(i_C : C \to X\), \(i_{X'} : X' \to X\) et \(i_x : x \to X\) les immersions et utilisons la suite exacte \[0 \to \mathcal{O}_X \to i_{C, *}\mathcal{O}_C \oplus i_{X', *}\mathcal{O}_{X'} \to i_{x, *}\kappa(x) \to 0\] de Morphismes, lemme 0C4J. La suite exacte longue des images directes supérieures montre qu’il suffit d’établir \(H^0(C, \mathcal{O}_C) = k'\) et \(H^1(C, \mathcal{O}_C) = 0\), ce qui résulte des hypothèses. Remarquons que \(X'\) est lui aussi un schéma propre sur \(k\), de dimension \(1\), dont les singularités sont au plus nodales (lemme 0E38), que \(H^0(X', \mathcal{O}_{X'}) = k\), et que \(X'\) a le même genre que \(X\). On dit que \(c : X \to X'\) est la contraction d’une queue rationnelle.

Lemme

Soit \(k\) un corps. Soit \(X\) un schéma propre sur \(k\), de dimension \(1\) et tel que \(H^0(X, \mathcal{O}_X) = k\). Supposons que les singularités de \(X\) soient au plus nodales. Soit \(C \subset X\) une queue rationnelle (exemple 0E3H). Alors \(\deg(\omega_X|_C) < 0\).

Démonstration

Soit \(X' \subset X\) comme dans l’exemple. Nous avons une suite exacte courte \[0 \to \omega_C \to \omega_X|_C \to \mathcal{O}_{C \cap X'} \to 0\] Voir les lemmes 0E34, 0E37 et 0E38. Avec \(k'\) comme dans l’exemple, on voit que \(\deg(\omega_C) = -2[k' : k]\) puisque \(C \cong \mathbf{P}^1_{k'}\), d’après la proposition 0C6U, et que \(\deg(C \cap X') = [k' : k]\). Ainsi \(\deg(\omega_X|_C) = -[k' : k]\), qui est négatif.

Lemme

Soit \(k\) un corps. Soit \(X\) un schéma propre sur \(k\), de dimension \(1\) et tel que \(H^0(X, \mathcal{O}_X) = k\). Supposons que les singularités de \(X\) soient au plus nodales. Soit \(C \subset X\) une queue rationnelle (exemple 0E3H). Pour toute extension de corps \(K/k\), le changement de base \(C_K \subset X_K\) est une réunion disjointe finie de queues rationnelles.

Démonstration

Soient \(x \in C\) et \(k' = \kappa(x)\) comme dans l’exemple. Remarquons que \(C \cong \mathbf{P}^1_{k'}\) d’après la proposition 0C6U. Puisque \(k'/k\) est fini séparable, \(k' \otimes_k K = K'_1 \times \ldots \times K'_n\) est un produit fini d’extensions finies séparables \(K'_i/K\). Posons \(C_i = \mathbf{P}^1_{K'_i}\) et notons \(x_i \in C_i\) l’image réciproque de \(x\). Alors \(C_K = \coprod C_i\) et \(X'_K \cap C_i = x_i\), comme voulu.

Lemme

Soit \(k\) un corps. Soit \(X\) un schéma propre sur \(k\), de dimension \(1\) et tel que \(H^0(X, \mathcal{O}_X) = k\). Supposons que les singularités de \(X\) soient au plus nodales. Si \(X\) ne possède pas de queue rationnelle (exemple 0E3H), alors, pour tout sous-schéma fermé réduit connexe \(Y \subset X\), \(Y \not = X\), de dimension \(1\), on a \(\deg(\omega_X|_Y) \geq \dim_k H^1(Y, \mathcal{O}_Y)\).

Démonstration

Soit \(Y \subset X\) comme dans l’énoncé. Alors \(k' = H^0(Y, \mathcal{O}_Y)\) est un corps et une extension finie de \(k\), et \([k' : k]\) divise tous les invariants numériques ci-dessous associés à \(Y\) et aux faisceaux cohérents sur \(Y\); voir Variétés, lemme 0C6P. Soit \(Z \subset X\) comme dans le lemme 0E34. Nous utiliserons sans autre mention les résultats de ce lemme et des lemmes 0E37 et 0E38. Nous obtenons une suite exacte courte \[0 \to \omega_Y \to \omega_X|_Y \to \mathcal{O}_{Y \cap Z} \to 0\] Voir le lemme 0E34. Nous en concluons que \[\deg(\omega_X|_Y) = \deg(Y \cap Z) + \deg(\omega_Y) = \deg(Y \cap Z) - 2\chi(Y, \mathcal{O}_Y)\] Par conséquent, si le lemme est faux, alors \[2[k' : k] > \deg(Y \cap Z) + \dim_k H^1(Y, \mathcal{O}_Y)\] Puisque \(Y \cap Z\) est non vide, et compte tenu de la divisibilité mentionnée ci-dessus, cela n’est possible que si \(Y \cap Z\) est un unique point \(k'\)-rationnel du lieu lisse de \(Y\) et si \(H^1(Y, \mathcal{O}_Y) = 0\). Si \(Y\) est irréductible, cela implique que \(Y\) est une queue rationnelle. Si \(Y\) est réductible, puisque \(\deg(\omega_X|_Y) = -[k' : k]\), il existe une composante irréductible \(C\) de \(Y\) telle que \(\deg(\omega_X|_C) < 0\); voir Variétés, lemme 0AYW. L’analyse précédente appliquée à \(C\) montre alors que \(C\) est une queue rationnelle.

Lemme

Soit \(k\) un corps. Soit \(X\) un schéma propre sur \(k\), de dimension \(1\) et tel que \(H^0(X, \mathcal{O}_X) = k\). Supposons que les singularités de \(X\) soient au plus nodales et que \(X\) ne possède pas de queue rationnelle (exemple 0E3H). Si

le genre de \(X\) est \(0\), alors \(X\) est isomorphe à une conique plane irréductible et \(\omega_X^{\otimes -1}\) est très ample;

le genre de \(X\) est \(1\), alors \(\omega_X \cong \mathcal{O}_X\);

le genre de \(X\) est \(\geq 2\), alors \(\omega_X^{\otimes m}\) est engendré par ses sections globales pour \(m \geq 2\).

Démonstration

D’après le lemme 0E37, \(X\) est de Gorenstein, c’est-à-dire que \(\omega_X\) est un \(\mathcal{O}_X\)-module inversible.

Si le genre de \(X\) est nul, alors \(\deg(\omega_X) < 0\). Par conséquent, si \(X\) possède plus d’une composante irréductible, nous obtenons une contradiction avec le lemme 0E3J. Dans le cas irréductible, \(X\) est isomorphe à une conique plane irréductible et \(\omega_X^{\otimes -1}\) est très ample d’après le lemme 0C6N.

Si le genre de \(X\) est \(1\), alors \(\omega_X\) possède une section globale et \(\deg(\omega_X|_C) = 0\) pour toute composante irréductible. En effet, \(\deg(\omega_X|_C) \geq 0\) pour toute composante irréductible \(C\) d’après le lemme 0E3J, la somme de ces nombres est \(0\) d’après le lemme 0C19, et nous pouvons appliquer Variétés, lemme 0AYW. Alors \(\omega_X \cong \mathcal{O}_X\) d’après Variétés, lemme 0E22.

Supposons que le genre \(g\) de \(X\) soit supérieur ou égal à \(2\). Si \(X\) est irréductible, le résultat découle du lemme 0E3C. Supposons \(X\) réductible. D’après le lemme 0E3J, les inégalités du lemme 0E3F sont satisfaites pour tout \(Y \subset X\) comme dans l’énoncé, sauf pour \(Y = X\). En examinant la démonstration du lemme 0E3F, on voit que, dans le cas réductible, les seules inégalités utilisées pour \(Y = X\) sont \[\deg(\omega_X^{\otimes m}) > -2 \chi(\mathcal{O}_X) \quad\text{et}\quad \deg(\omega_X^{\otimes m}) + \chi(\mathcal{O}_X) > \dim_k H^1(X, \mathcal{O}_X)\] Comme elles sont toutes deux satisfaites sous les hypothèses \(g \geq 2\) et \(m \geq 2\), nous concluons.

Lemme

Soit \(k\) un corps. Soit \(X\) un schéma propre sur \(k\), de dimension \(1\) et tel que \(H^0(X, \mathcal{O}_X) = k\). Supposons que les singularités de \(X\) soient au plus nodales. Considérons une suite \[X = X_0 \to X_1 \to \ldots \to X_n = X'\] de contractions de queues rationnelles (exemple 0E3H), poursuivie jusqu’à ce qu’il n’en reste aucune. Alors

si le genre de \(X\) est \(0\), \(X'\) est une conique plane irréductible;

si le genre de \(X\) est \(1\), alors \(\omega_{X'} \cong \mathcal{O}_X\);

si le genre de \(X\) est \(> 1\), alors \(\omega_{X'}^{\otimes m}\) est engendré par ses sections globales pour \(m \geq 2\).

Si le genre de \(X\) est \(\geq 1\), le morphisme \(X \to X'\) est indépendant des choix et sa formation commute aux extensions du corps de base.

Démonstration

Contractons successivement les queues rationnelles jusqu’à ce qu’il n’en reste aucune. Les assertions (1), (2) et (3) résultent alors du lemme 0E3K.

Unicité. Pour voir que \(f : X \to X'\) est indépendant des choix effectués, il suffit de montrer que toute queue rationnelle \(C \subset X\) est envoyée sur un point par \(X \to X'\); nous omettons quelques détails. Dans le cas contraire, il existe une section \(s \in \Gamma(X', \omega_{X'}^{\otimes 2})\) qui ne s’annule pas au point générique de la composante irréductible \(f(C)\). Puisque, pour chacune des contractions \(X_i \to X_{i + 1}\), nous disposons d’une section \(X_{i + 1} \to X_i\), il existe une section \(X' \to X\) de \(f\). Nous avons alors une suite exacte \[0 \to \omega_{X'} \to \omega_X \to \omega_X|_{X''} \to 0\], où \(X'' \subset X\) est la réunion des composantes irréductibles contractées par \(f\). Voir le lemme 0E34. Nous obtenons donc une application \(\omega_{X'}^{\otimes 2} \to \omega_X^{\otimes 2}\); en prenant l’image de \(s\), nous obtenons une section de \(\omega_X^{\otimes 2}\) qui ne s’annule pas au point générique de \(C\). Cela contredit le fait que la restriction de \(\omega_X\) à une queue rationnelle est de degré négatif (lemme 0E63).

L’assertion concernant les extensions du corps de base résulte du lemme 0E3I. Nous omettons quelques détails.

Contraction des ponts rationnels

Dans cette section, nous étudions le deuxième cas le plus simple, après celui de la section 0E3G, de contraction d’un schéma visant à améliorer les propriétés de positivité de son faisceau canonique.

Exemple

Soit \(k\) un corps. Soit \(X\) un schéma propre sur \(k\), de dimension \(1\) et tel que \(H^0(X, \mathcal{O}_X) = k\). Supposons que les singularités de \(X\) soient au plus nodales. Un pont rationnel est une composante irréductible \(C \subset X\), considérée comme un sous-schéma fermé intègre, qui possède les propriétés suivantes :

\(X' \not = \emptyset\), où \(X' \subset X\) est l’adhérence schématique de \(X \setminus C\);

l’intersection schématique \(C \cap X'\) est de degré \(2\) sur \(H^0(C, \mathcal{O}_C)\);

\(C\) est de genre zéro.

Posons \(k' = H^0(C, \mathcal{O}_C)\) et \(k'' = H^0(C \cap X', \mathcal{O}_{C \cap X'})\). Alors \(k'\) est un corps (Variétés, lemme 0BUG) et \(\dim_{k'}(k'') = 2\). Comme au moins deux composantes irréductibles de \(X\) passent par chaque point de \(C \cap X'\), nous concluons que ces points sont des nœuds de \(X\) et des points lisses à la fois de \(C\) et de \(X'\) (lemme 0E38). Ainsi \(k'/k\) est une extension finie séparable de corps, et \(k''/k'\) est soit une extension séparable de corps de degré \(2\), soit \(k'' = k' \times k'\) (lemme 0C4D). D’après la section 0E35, il existe un carré cocartésien \[\xymatrix{ C \cap X' \ar[r] \ar[d] & X' \ar[d]^a \\ \Spec(k') \ar[r] & Y }\] doté de nombreuses bonnes propriétés, que nous utiliserons toutes ci-dessous sans autre mention. Soit \(y \in Y\) l’image de \(\Spec(k') \to Y\). Alors \[\mathcal{O}_{Y, y}^\wedge \cong k'[[s, t]]/(st) \quad\text{ou}\quad \mathcal{O}_{Y, y}^\wedge \cong \{f \in k''[[s]] : f(0) \in k'\}\], selon que \(C \cap X'\) possède \(2\) ou \(1\) points. Cela résulte du lemme 0E36 et du fait que \(\mathcal{O}_{X', p} \cong \kappa(p)[[t]]\) pour \(p \in C \cap X'\) d’après Compléments d’algèbre, lemme 0C35. Nous voyons ainsi que \(y \in Y\) est un nœud; voir les lemmes 0C4D et 0C4A, et en particulier la discussion du cas II dans la démonstration de (2) \(\Rightarrow\) (1) du lemme 0C4A. Les singularités de \(Y\) sont donc au plus nodales.

Nous pouvons prolonger le diagramme commutatif ci-dessus en un diagramme \[\xymatrix{ C \cap X' \ar[r] \ar[d] & X' \ar[d]^a \ar[r] & X \ar[ld]^c & C \ar[ld] \ar[l] \\ \Spec(k') \ar[r] & Y & \Spec(k') \ar[l] }\] dans lequel les deux flèches horizontales inférieures sont identiques. En effet, \(X\) est la réunion schématique de \(X'\) et \(C\), donc un carré cocartésien d’après Morphismes, lemme 0C4J, et les morphismes \(C \to Y\) et \(X' \to Y\) coïncident sur \(C \cap X'\). Enfin, nous affirmons que \[c_*\mathcal{O}_X = \mathcal{O}_Y \quad\text{et}\quad R^1c_*\mathcal{O}_X = 0\] Pour le voir, utilisons la suite exacte \[0 \to \mathcal{O}_X \to \mathcal{O}_C \oplus \mathcal{O}_{X'} \to \mathcal{O}_{C \cap X'} \to 0\] de Morphismes, lemme 0C4J. La suite exacte longue des images directes supérieures est \[0 \to c_*\mathcal{O}_X \to c_*\mathcal{O}_C \oplus c_*\mathcal{O}_{X'} \to c_*\mathcal{O}_{C \cap X'} \to R^1c_*\mathcal{O}_X \to R^1c_*\mathcal{O}_C \oplus R^1c_*\mathcal{O}_{X'}\] Puisque \(c|_{X'} = a\) est affine, on a \(R^1c_*\mathcal{O}_{X'} = 0\). Comme \(c|_C\) se factorise sous la forme \(C \to \Spec(k') \to X\) et que \(C\) est de genre zéro, on obtient \(R^1c_*\mathcal{O}_C = 0\). Puisque \(\mathcal{O}_{X'} \to \mathcal{O}_{C \cap X'}\) est surjective et \(c|_{X'}\) affine, \(c_*\mathcal{O}_{X'} \to c_*\mathcal{O}_{C \cap X'}\) est surjective. Cela démontre \(R^1c_*\mathcal{O}_X = 0\). Enfin, on a \(\mathcal{O}_Y = c_*\mathcal{O}_X\) d’après la suite exacte et la description du faisceau structural du carré cocartésien dans Compléments sur les morphismes, proposition 0E25.

Tout cela signifie que \(Y\) est lui aussi un schéma propre sur \(k\), de dimension \(1\) et tel que \(H^0(Y, \mathcal{O}_Y) = k\), dont les singularités sont au plus nodales (lemme 0E38), et que \(Y\) a le même genre que \(X\). On dit que \(c : X \to Y\) est la contraction d’un pont rationnel.

Lemme

Soit \(k\) un corps. Soit \(X\) un schéma propre sur \(k\), de dimension \(1\) et tel que \(H^0(X, \mathcal{O}_X) = k\). Supposons que les singularités de \(X\) soient au plus nodales. Soit \(C \subset X\) un pont rationnel (exemple 0E3M). Alors \(\deg(\omega_X|_C) = 0\).

Démonstration

Soit \(X' \subset X\) comme dans l’exemple. Nous avons une suite exacte courte \[0 \to \omega_C \to \omega_X|_C \to \mathcal{O}_{C \cap X'} \to 0\] Voir les lemmes 0E34, 0E37 et 0E38. Avec \(k''/k'/k\) comme dans l’exemple, on voit que \(\deg(\omega_C) = -2[k' : k]\), puisque \(C\) est de genre \(0\) (lemme 0BS6), et que \(\deg(C \cap X') = [k'' : k] = 2[k' : k]\). Ainsi \(\deg(\omega_X|_C) = 0\).

Lemme

Soit \(k\) un corps. Soit \(X\) un schéma propre sur \(k\), de dimension \(1\) et tel que \(H^0(X, \mathcal{O}_X) = k\). Supposons que les singularités de \(X\) soient au plus nodales. Soit \(C \subset X\) un pont rationnel (exemple 0E3M). Pour toute extension de corps \(K/k\), le changement de base \(C_K \subset X_K\) est une réunion disjointe finie de ponts rationnels.

Démonstration

Soit \(k''/k'/k\) comme dans l’exemple. Puisque \(k'/k\) est fini séparable, \(k' \otimes_k K = K'_1 \times \ldots \times K'_n\) est un produit fini d’extensions finies séparables \(K'_i/K\). La décomposition en produit correspondante \(k'' \otimes_k K = \prod K''_i\) fournit des extensions d’algèbres séparables de degré \(2\), notées \(K''_i/K'_i\). Posons \(C_i = C_{K'_i}\). Alors \(C_K = \coprod C_i\), et chaque \(C_i\) est donc de genre \(0\), considéré comme une courbe sur \(K'_i\), car \(H^1(C_K, \mathcal{O}_{C_K}) = 0\) par changement de base plat. Enfin, \(X'_K \cap C_i = \Spec(K''_i)\) est de degré \(2\) sur \(K'_i\), comme voulu.

Lemme

Soit \(c : X \to Y\) la contraction d’un pont rationnel (exemple 0E3M). Alors \(c^*\omega_Y \cong \omega_X\).

Démonstration

On peut le démontrer par un calcul direct, mais nous préférons utiliser la caractérisation de \(\omega_X\) comme le \(\mathcal{O}_X\)-module cohérent qui représente le foncteur \(\textit{Coh}(\mathcal{O}_X) \to \textit{Ensembles}\), \(\mathcal{F} \mapsto \Hom_k(H^1(X, \mathcal{F}), k) = H^1(X, \mathcal{F})^\vee\); voir le lemme 0BS3 ou Dualité pour les schémas, lemme 0AWP.

Plus précisément, notons \(\mathcal{C}_Y\) la catégorie dont les objets sont les \(\mathcal{O}_Y\)-modules inversibles et dont les flèches sont les homomorphismes de \(\mathcal{O}_Y\)-modules. Notons \(\mathcal{C}_X\) la catégorie dont les objets sont les \(\mathcal{O}_X\)-modules inversibles \(\mathcal{L}\) tels que \(\mathcal{L}|_C \cong \mathcal{O}_C\) et dont les flèches sont les homomorphismes de \(\mathcal{O}_Y\)-modules. Nous affirmons que le foncteur \[c^* : \mathcal{C}_Y \to \mathcal{C}_X\] est une équivalence de catégories. En effet, d’après Compléments sur les morphismes, lemme 0E24, il est essentiellement surjectif. La formule de projection (Cohomologie, lemme 01E8) montre ensuite que \(c_*c^*\mathcal{N} = \mathcal{N}\), et donc que \(c^*\) est une équivalence dont un quasi-inverse est donné par \(c_*\).

Nous affirmons que \(\omega_X\) est un objet de \(\mathcal{C}_X\). En effet, nous avons une suite exacte courte \[0 \to \omega_C \to \omega_X|_C \to \mathcal{O}_{C \cap X'} \to 0\] Voir le lemme 0E34. En prenant les degrés, nous trouvons \(\deg(\omega_X|_C) = 0\) (nous omettons un petit détail). Ainsi \(\omega_X|_C\) est trivial d’après le lemme 0C6M, et \(\omega_X\) est un objet de \(\mathcal{C}_X\).

Puisque \(R^1c_*\mathcal{O}_X = 0\), la formule de projection montre que \(R^1c_*c^*\mathcal{N} = 0\) pour \(\mathcal{N} \in \Ob(\mathcal{C}_Y)\). La suite spectrale de Leray (Cohomologie, lemme 01F4) montre donc que le diagramme \[\xymatrix{ \mathcal{C}_Y \ar[rr]_{c^*} \ar[dr]_{H^1(Y, -)^\vee} & & \mathcal{C}_X \ar[ld]^{H^1(X, -)^\vee} \\ & \textit{Ensembles} }\] de catégories et de foncteurs est commutatif. Puisque \(\omega_Y \in \Ob(\mathcal{C}_Y)\) représente la flèche sud-est et que \(\omega_X \in \Ob(\mathcal{C}_X)\) représente la flèche sud-est, nous concluons par le lemme de Yoneda (Catégories, lemme 001P).

Lemme

Soit \(k\) un corps. Soit \(X\) un schéma propre sur \(k\), de dimension \(1\) et tel que \(H^0(X, \mathcal{O}_X) = k\). Supposons que

les singularités de \(X\) soient au plus nodales;

\(X\) ne possède pas de queue rationnelle (exemple 0E3H);

\(X\) ne possède pas de pont rationnel (exemple 0E3M);

le genre \(g\) de \(X\) soit \(\geq 2\).

Alors \(\omega_X\) est ample.

Démonstration

Il suffit de montrer que \(\deg(\omega_X|_C) > 0\) pour toute composante irréductible \(C\) de \(X\); voir Variétés, lemme 0B5Y. Si \(X = C\) est irréductible, cela résulte de \(g \geq 2\) et du lemme 0C19. Sinon, posons \(k' = H^0(C, \mathcal{O}_C)\). C’est un corps et une extension finie de \(k\), et \([k' : k]\) divise tous les invariants numériques ci-dessous associés à \(C\) et aux faisceaux cohérents sur \(C\); voir Variétés, lemme 0C6P. Soit \(X' \subset X\) l’adhérence de \(X \setminus C\) comme dans le lemme 0E34. Nous utiliserons sans autre mention les résultats de ce lemme et des lemmes 0E37 et 0E38. Nous obtenons une suite exacte courte \[0 \to \omega_C \to \omega_X|_C \to \mathcal{O}_{C \cap X'} \to 0\] Voir le lemme 0E34. Nous en concluons que \[\deg(\omega_X|_C) = \deg(C \cap X') + \deg(\omega_C) = \deg(C \cap X') - 2\chi(C, \mathcal{O}_C)\] Par conséquent, si le lemme est faux, alors \[2[k' : k] \geq \deg(C \cap X') + 2\dim_k H^1(C, \mathcal{O}_C)\] Puisque \(C \cap X'\) est non vide, et compte tenu de la divisibilité mentionnée ci-dessus, cela n’est possible que si l’une des deux possibilités suivantes se présente :

\(C \cap X'\) est un unique point \(k'\)-rationnel de \(C\) et \(H^1(C, \mathcal{O}_C) = 0\);

\(C \cap X'\) est de degré \(2\) sur \(k'\) et \(H^1(C, \mathcal{O}_C) = 0\).

La première possibilité signifie que \(C\) est une queue rationnelle et la seconde que \(C\) est un pont rationnel. Comme les deux sont exclues, la démonstration est achevée.

Lemme

Soit \(k\) un corps. Soit \(X\) un schéma propre sur \(k\), de dimension \(1\), tel que \(H^0(X, \mathcal{O}_X) = k\) et de genre \(g \geq 2\). Supposons que les singularités de \(X\) soient au plus nodales et que \(X\) ne possède aucune queue rationnelle. Considérons une suite \[X = X_0 \to X_1 \to \ldots \to X_n = X'\] de contractions de ponts rationnels (exemple 0E3M), poursuivie jusqu’à ce qu’il n’en reste aucun. Alors \(\omega_{X'}\) est ample. Le morphisme \(X \to X'\) est indépendant des choix et sa formation commute aux extensions du corps de base.

Démonstration

Contractons successivement les ponts rationnels jusqu’à ce qu’il n’en reste aucun. Alors \(\omega_{X'}\) est ample d’après le lemme 0E3P.

Notons \(f : X \to X'\) le composé. Le lemme 0E3N et un raisonnement par récurrence donnent \(f^*\omega_{X'} = \omega_X\). On a \(f_*\mathcal{O}_X = \mathcal{O}_{X'}\), puisque cette égalité est vraie pour la contraction d’un pont rationnel. La formule de projection donne donc \(f_*f^*\mathcal{L} = \mathcal{L}\) pour tout \(\mathcal{O}_{X'}\)-module inversible \(\mathcal{L}\). Ainsi \[\Gamma(X', \omega_{X'}^{\otimes m}) = \Gamma(X, \omega_X^{\otimes m})\] pour tout \(m\). Puisque \(X'\) est le Proj de la somme directe de ces modules, d’après Morphismes, lemme 0C6J, nous concluons que le morphisme \(X \to X'\) est entièrement canonique.

Soit \(K/k\) une extension de corps. Alors \(\omega_{X_K}\) est l’image réciproque de \(\omega_X\) (lemme 0E32), et \(\Gamma(X, \omega_X^{\otimes m}) \otimes_k K\) est égal à \(\Gamma(X_K, \omega_{X_K}^{\otimes m})\) d’après Cohomologie des schémas, lemme 02KH. Ainsi, la formation de \(f : X \to X'\) commute au changement de base d’après \(K/k\) et les arguments ci-dessus. Nous omettons quelques détails.

Contraction vers une courbe stable

Dans cette section, nous combinons les morphismes de contraction obtenus dans les sections 0E3G et 0E7M. Supposons donc que \(k\) soit un corps et soit \(X\) un schéma propre sur \(k\), de dimension \(1\), tel que \(H^0(X, \mathcal{O}_X) = k\) et de genre \(g \geq 2\). Supposons que les singularités de \(X\) soient au plus nodales. En composant le morphisme du lemme 0E3L avec celui du lemme 0E3Q, nous obtenons un morphisme \[c : X \longrightarrow Y\] tel que \(Y\) soit lui aussi un schéma propre sur \(k\), de dimension \(1\), dont les singularités sont au plus nodales, tel que \(k = H^0(Y, \mathcal{O}_Y)\), de genre \(g\), tel que \(\mathcal{O}_Y = c_*\mathcal{O}_X\) et \(R^1c_*\mathcal{O}_X = 0\), et tel que \(\omega_Y\) soit ample sur \(Y\). Le lemme 0E7Q montre que ces conditions caractérisent en fait ce morphisme.

Lemme

Soit \(k\) un corps. Soit \(c : X \to Y\) un morphisme de schémas propres sur \(k\). Supposons que

\(\mathcal{O}_Y = c_*\mathcal{O}_X\) et \(R^1c_*\mathcal{O}_X = 0\);

\(X\) et \(Y\) soient réduits, de Gorenstein et de dimension \(1\);

\(\exists\ m \in \mathbf{Z}\), avec \(H^1(X, \omega_X^{\otimes m}) = 0\) et \(\omega_X^{\otimes m}\) engendré par ses sections globales.

Alors \(c^*\omega_Y \cong \omega_X\).

Démonstration

Les fibres de \(c\) sont géométriquement connexes d’après Compléments sur les morphismes, théorème 03H0. En particulier, \(c\) est surjectif. Il existe un nombre fini de points fermés \(y = y_1, \ldots, y_r\) de \(Y\) au-dessus desquels \(X_y\) est de dimension \(1\), et sur \(Y \setminus \{y_1, \ldots, y_r\}\) le morphisme \(c\) est un isomorphisme. Nous omettons quelques détails; indication : hors de \(\{y_1, \ldots, y_r\}\), le morphisme \(c\) est fini; voir Cohomologie des schémas, lemme 02OG.

Construisons soigneusement une application \(b : c^*\omega_Y \to \omega_X\). Notons \(f : X \to \Spec(k)\) et \(g : Y \to \Spec(k)\) les morphismes structuraux. On a \(f^!k = \omega_X[1]\) et \(g^!k = \omega_Y[1]\); voir le lemme 0BS2 et sa démonstration. Alors \(f^! = c^! \circ g^!\), et donc \(c^!\omega_Y = \omega_X\). Il existe ainsi un isomorphisme fonctoriel \[\Hom_{D(\mathcal{O}_X)}(\mathcal{F}, \omega_X) \longrightarrow \Hom_{D(\mathcal{O}_Y)}(Rc_*\mathcal{F}, \omega_Y)\] pour tout \(\mathcal{O}_X\)-module cohérent \(\mathcal{F}\), par définition de \(c^!\)⁷. Cet isomorphisme est induit par une application trace \(t : Rc_*\omega_X \to \omega_Y\), la co-unité de l’adjonction. Par la formule de projection (Cohomologie, lemme 01E8), l’application canonique \(a : \omega_Y \to Rc_*c^*\omega_Y\) est un isomorphisme. En combinant ce qui précède, nous obtenons une application canonique \(b : c^*\omega_Y \to \omega_X\) telle que \[t \circ Rc_*(b) = a^{-1}\] En particulier, la restriction de \(b\) à \(c^{-1}(Y \setminus \{y_1, \ldots, y_r\})\) est un isomorphisme, car il s’agit d’une application entre modules inversibles dont le composé avec une autre application est l’isomorphisme \(a^{-1}\).

Choisissons \(m \in \mathbf{Z}\) comme dans (3) et considérons l’application \[b^{\otimes m} : \Gamma(Y, \omega_Y^{\otimes m}) \longrightarrow \Gamma(X, \omega_X^{\otimes m})\] Cette application est injective parce que \(Y\) est réduit et par la dernière propriété de \(b\) mentionnée lors de sa construction. Le théorème de Riemann–Roch (lemme 0BS6) donne \(\chi(X, \omega_X^{\otimes m}) =\chi(Y, \omega_Y^{\otimes m})\). Ainsi \[\dim_k \Gamma(Y, \omega_Y^{\otimes m}) \geq \dim_k \Gamma(X, \omega_X^{\otimes m}) = \chi(X, \omega_X^{\otimes m})\], et nous concluons que \(b^{\otimes m}\) induit un isomorphisme sur les sections globales. Donc \(b^{\otimes m} : c^*\omega_Y^{\otimes m} \to \omega_X^{\otimes m}\) est surjective, puisque des générateurs de \(\omega_X^{\otimes m}\) appartiennent à son image. Par conséquent, \(b^{\otimes m}\) est un isomorphisme, puis \(b\) est un isomorphisme.

Lemme

Soit \(k\) un corps. Soit \(X\) un schéma propre sur \(k\), de dimension \(1\), tel que \(H^0(X, \mathcal{O}_X) = k\) et de genre \(g \geq 2\). Supposons que les singularités de \(X\) soient au plus nodales. Il existe un unique morphisme, à unique isomorphisme près, \[c : X \longrightarrow Y\] de schémas sur \(k\) possédant les propriétés suivantes :

\(Y\) est propre sur \(k\), \(\dim(Y) = 1\), et les singularités de \(Y\) sont au plus nodales;

\(\mathcal{O}_Y = c_*\mathcal{O}_X\) et \(R^1c_*\mathcal{O}_X = 0\);

\(\omega_Y\) est ample sur \(Y\).

Démonstration

Existence. Un morphisme possédant toutes les propriétés énumérées existe en combinant les lemmes 0E3L et 0E3Q, comme expliqué dans l’introduction de cette section. De plus, il peut s’écrire comme un composé \[X \to X_1 \to X_2 \ldots \to X_n \to X_{n + 1} \to \ldots \to X_{n + n'}\] dans lequel les \(n\) premiers morphismes sont des contractions de queues rationnelles et les \(n'\) derniers des contractions de ponts rationnels. Remarquons que la propriété (2) est satisfaite par toute contraction d’une queue rationnelle (exemple 0E3H) et par toute contraction d’un pont rationnel (exemple 0E3M). On voit aisément que cette propriété est préservée par composition.

Unicité. Soit \(c : X \to Y\) un morphisme satisfaisant les conditions (1), (2) et (3). Nous allons montrer qu’il existe un unique isomorphisme \(X_{n + n'} \to Y\) compatible avec les morphismes \(X \to X_{n + n'}\) et \(c\).

Avant de commencer la démonstration, faisons quelques observations sur \(c\). Tout d’abord, les fibres de \(c\) sont géométriquement connexes d’après Compléments sur les morphismes, théorème 03H0. En particulier, \(c\) est surjectif. Pour tout point fermé \(y \in Y\), la fibre \(X_y\) satisfait \[H^1(X_y, \mathcal{O}_{X_y}) = 0 \quad\text{et}\quad H^0(X_y, \mathcal{O}_{X_y}) = \kappa(y)\] La première égalité résulte de Compléments sur les morphismes, lemme 0E7F, et la seconde de Compléments sur les morphismes, lemme 0E7I. Ainsi, soit \(X_y = x\), où \(x\) est l’unique point de \(X\) s’envoyant sur \(y\) et possède le même corps résiduel que \(y\), soit \(X_y\) est un schéma propre de dimension \(1\) sur \(\kappa(y)\). Dans le second cas, remarquons que \(X_y\) est de Cohen–Macaulay (lemme 0BY5). Toutefois, puisque \(X\) est réduit, \(X_y\) doit être réduit en tous ses points génériques (nous omettons les détails), et donc \(X_y\) est réduit d’après Propriétés, lemme 0344. Il s’ensuit que les singularités de \(X_y\) sont au plus nodales (lemme 0E38). Remarquons que \(X_y\) est de genre zéro, d’après ce qui précède. Enfin, il n’existe qu’un nombre fini de points \(y\) au-dessus desquels la fibre \(X_y\) est de dimension \(1\); notons-les \(\{y_1, \ldots, y_r\}\). Le sous-schéma \(c^{-1}(Y \setminus \{y_1, \ldots, y_r\})\) s’envoie isomorphiquement sur \(Y \setminus \{y_1, \ldots, y_r\}\) par \(c\). Nous omettons quelques détails; indication : hors de \(\{y_1, \ldots, y_r\}\), le morphisme \(c\) est fini; voir Cohomologie des schémas, lemme 02OG.

Soit \(C \subset X\) une queue rationnelle. Nous affirmons que \(c\) envoie \(C\) sur un point. Supposons le contraire pour aboutir à une contradiction. Alors l’image de \(C\) est une composante irréductible \(D \subset Y\). Rappelons que \(H^0(C, \mathcal{O}_C) = k'\) est une extension finie séparable de \(k\), et que \(C\) possède un point \(k'\)-rationnel \(x\) qui est aussi l’unique point d’intersection de \(C\) avec le « reste » de \(X\). La discussion générale ci-dessus montre que \(C \setminus \{x\} \subset c^{-1}(Y \setminus \{y_1, \ldots, y_r\})\) s’envoie isomorphiquement sur un ouvert \(V\) de \(D\). Soit \(y = c(x) \in D\). Remarquons que \(y\) est l’unique point de \(D\) qui rencontre le « reste » de \(Y\). Si \(y \not \in \{y_1, \ldots, y_r\}\), alors \(C \cong D\), et il est clair que \(D\) est une queue rationnelle de \(Y\), ce qui contredit l’amplitude de \(\omega_Y\) (lemme 0E63). Ainsi \(y \in \{y_1, \ldots, y_r\}\) et \(\dim(X_y) = 1\). Alors \(x \in X_y \cap C\), et \(x\) est un point lisse de \(X_y\) et de \(C\) (lemme 0E38). Si \(y \in D\) est un point singulier de \(D\), alors \(y\) est un nœud et \(Y = D\), car aucune autre composante de \(Y\) ne peut passer par \(y\) d’après le lemme 0E38. Alors \(X = X_y \cup C\), ce qui signifie que \(g = 0\), puisque ce nombre est égal au genre de \(X_y\) d’après la discussion de l’exemple 0E3H; contradiction. Si \(y \in D\) est un point lisse de \(D\), alors \(C \to D\) est un isomorphisme, car le modèle projectif non singulier est unique et \(C\) et \(D\) sont birationnels; voir la section 0BXX. Alors \(D\) est une queue rationnelle de \(Y\), ce qui contredit l’amplitude de \(\omega_Y\).

Supposons \(n \geq 1\). Si \(C \subset X\) est la queue rationnelle contractée par \(X \to X_1\), le paragraphe précédent montre que \(C\) est envoyé sur un point de \(Y\). Ainsi \(c : X \to Y\) se factorise par \(X \to X_1\), puisque \(X\) est le carré cocartésien de \(C\) et \(X_1\); voir la discussion de l’exemple 0E3H. Après avoir remplacé \(X\) par \(X_1\), nous avons diminué \(n\). Par récurrence, nous pouvons supposer \(n = 0\), c’est-à-dire que \(X\) ne possède aucune queue rationnelle.

Supposons \(n = 0\), c’est-à-dire que \(X\) ne possède aucune queue rationnelle. Alors \(\omega_X^{\otimes 2}\) et \(\omega_X^{\otimes 3}\) sont engendrés par leurs sections globales d’après le lemme 0E3K. Il s’ensuit que \(H^1(X, \omega_X^{\otimes 3}) = 0\) d’après le lemme 0B62. En appliquant le lemme 0E7P avec \(m = 3\), nous obtenons \(c^*\omega_Y \cong \omega_X\). Nous avons aussi \(\omega_X = (X \to X_{n'})^*\omega_{X_{n'}}\) d’après le lemme 0E3N et par récurrence. En appliquant la formule de projection à \(c\) et à \(X \to X_{n'}\), nous concluons que \[\Gamma(X_{n'}, \omega_{X_{n'}}^{\otimes m}) = \Gamma(X, \omega_X^{\otimes m}) = \Gamma(Y, \omega_Y^{\otimes m})\] pour tout \(m\). Puisque \(X_{n'}\) et \(Y\) sont les Proj des sommes directes correspondantes, d’après Morphismes, lemme 0C6J, nous obtenons un isomorphisme canonique \(X_{n'} = Y\), comme voulu. Nous omettons la vérification que c’est l’unique isomorphisme rendant le diagramme commutatif.

Lemme

Soit \(k\) un corps. Soit \(X\) un schéma propre sur \(k\), de dimension \(1\), tel que \(H^0(X, \mathcal{O}_X) = k\) et de genre \(g \geq 2\). Supposons que les singularités de \(X\) soient au plus nodales et que \(\omega_X\) soit ample. Alors \(\omega_X^{\otimes 3}\) est très ample et \(H^1(X, \omega_X^{\otimes 3}) = 0\).

Démonstration

En combinant Variétés, lemme 0B5Y, et les lemmes 0E63 et 0E64, nous voyons que \(X\) ne contient ni queue rationnelle ni pont rationnel. Alors \(\omega_X^{\otimes 3}\) est engendré par ses sections globales d’après le lemme 0E3L. Choisissons une \(k\)-base \(s_0, \ldots, s_n\) de \(H^0(X, \omega_X^{\otimes 3})\). Nous obtenons un morphisme \[\varphi_{\omega_X^{\otimes 3}, (s_0, \ldots, s_n)} : X \longrightarrow \mathbf{P}^n_k\] Voir Constructions, section 01ND. Le lemme affirme que ce morphisme est une immersion fermée. Pour le vérifier, nous pouvons remplacer \(k\) par sa clôture algébrique; voir Descente, lemme 02L6. Nous pouvons donc supposer \(k\) algébriquement clos.

Supposons \(k\) algébriquement clos. Nous allons utiliser Variétés, lemme 0E8T, pour démontrer le lemme. Soit \(Z \subset X\) un sous-schéma fermé de degré \(2\) sur \(Z\), de faisceau d’idéaux \(\mathcal{I} \subset \mathcal{O}_X\). Il faut montrer que \[H^0(X, \mathcal{L}) \to H^0(Z, \mathcal{L}|_Z)\] est surjective. Il suffit donc d’établir \(H^1(X, \mathcal{I}\mathcal{L}) = 0\). Pour cela, nous utiliserons le lemme 0E3E. Il suffit ainsi de montrer que \[3\deg(\omega_X|_Y) > -2\chi(Y, \mathcal{O}_Y) + \deg(Z \cap Y)\] pour tout sous-schéma fermé réduit connexe \(Y \subset X\). Puisque \(k\) est algébriquement clos et que \(Y\) est connexe et réduit, on a \(H^0(Y, \mathcal{O}_Y) = k\) (Variétés, lemme 0BUG). Par conséquent, \(\chi(Y, \mathcal{O}_Y) = 1 - \dim H^1(Y, \mathcal{O}_Y)\). Il reste donc à montrer \[3\deg(\omega_X|_Y) > -2 + 2\dim H^1(Y, \mathcal{O}_Y) + \deg(Z \cap Y)\], ce qui résulte du lemme 0E3J, sauf éventuellement si \(Y = X\) ou si \(\deg(\omega_X|_Y) = 0\). Puisque \(\omega_X\) est ample, la seconde possibilité ne se présente pas; voir le premier lemme cité dans cette démonstration. Enfin, si \(Y = X\), le théorème de Riemann–Roch (lemme 0BS6) et le fait que \(g \geq 2\) montrent que l’inégalité est satisfaite. Le même argument avec \(Z = \emptyset\) donne \(H^1(X, \omega_X^{\otimes 3}) = 0\).

Champs de vecteurs

Dans cette section, nous étudions l’espace des champs de vecteurs sur une courbe. Les champs de vecteurs correspondent aux automorphismes infinitésimaux; voir Compléments sur les morphismes, section 04BU. Ils jouent donc un rôle important dans la théorie des espaces de modules.

Soit \(k\) un corps algébriquement clos. Soit \(X\) un schéma de type fini sur \(k\). Soit \(x \in X\) un point fermé. Nous dirons qu’un élément \(D \in \text{Der}_k(\mathcal{O}_X, \mathcal{O}_X)\) fixe \(x\) si \(D(\mathcal{I}) \subset \mathcal{I}\), où \(\mathcal{I} \subset \mathcal{O}_X\) est le faisceau d’idéaux de \(x\).

Lemme

Soit \(k\) un corps algébriquement clos. Soit \(X\) une courbe lisse, propre et connexe sur \(k\). Soit \(g\) le genre de \(X\).

Si \(g \geq 2\), alors \(\text{Der}_k(\mathcal{O}_X, \mathcal{O}_X)\) est nul;

si \(g = 1\) et si \(D \in \text{Der}_k(\mathcal{O}_X, \mathcal{O}_X)\) est non nul, alors \(D\) ne fixe aucun point fermé de \(X\);

si \(g = 0\) et si \(D \in \text{Der}_k(\mathcal{O}_X, \mathcal{O}_X)\) est non nul, alors \(D\) fixe au plus \(2\) points fermés de \(X\).

Démonstration

Rappelons que nous avons une \(k\)-dérivation universelle \(d : \mathcal{O}_X \to \Omega_{X/k}\), et donc \(D = \theta \circ d\) pour une certaine application \(\mathcal{O}_X\)-linéaire \(\theta : \Omega_{X/k} \to \mathcal{O}_X\). Rappelons que \(\Omega_{X/k} \cong \omega_X\); voir le lemme 0BS2. Le théorème de Riemann–Roch donne \(\deg(\omega_X) = 2g - 2\) (lemme 0BS6). Ainsi \(\theta\) est nécessairement nul si \(g > 1\), d’après Variétés, lemme 0B40. Cela démontre la partie (1). Si \(g = 1\), un \(\theta\) non nul ne s’annule nulle part; si \(g = 0\), un \(\theta\) non nul s’annule suivant un diviseur de degré \(2\). Les parties (2) et (3) en résultent dès que l’on montre que l’annulation de \(\theta\) en un point fermé \(x \in X\) équivaut à dire que \(D\) fixe \(x\), au sens défini ci-dessus. Soit \(z \in \mathcal{O}_{X, x}\) une uniformisante. Alors \(dz\) est un élément de base de \(\Omega_{X, x}\); voir le lemme 0C1E. Puisque \(D(z) = \theta(dz)\), nous concluons.

Lemme

Soit \(k\) un corps algébriquement clos. Soit \(X\) un schéma propre connexe de dimension \(1\) sur \(k\), à singularités au plus nodales. Soit \(\nu : X^\nu \to X\) la normalisation. Soit \(S \subset X^\nu\) l’ensemble des points où \(\nu\) n’est pas un isomorphisme. Alors \[\text{Der}_k(\mathcal{O}_X, \mathcal{O}_X) = \{D' \in \text{Der}_k(\mathcal{O}_{X^\nu}, \mathcal{O}_{X^\nu}) \mid D' \text{ fixe tout }x^\nu \in S\}\]

Démonstration

Soit \(x \in X\) un nœud. Soient \(x', x'' \in X^\nu\) les images réciproques de \(x\). Tout nœud est déployé puisque \(k\) est algébriquement clos; voir la définition 0CBV et le lemme 0CBW. Soient \(u \in \mathcal{O}_{X^\nu, x'}\) et \(v \in \mathcal{O}_{X^\nu, x''}\) des uniformisantes. Remarquons que nous avons une suite exacte \[0 \to \mathcal{O}_{X, x} \to \mathcal{O}_{X^\nu, x'} \times \mathcal{O}_{X^\nu, x''} \to k \to 0\] Cela résulte du lemme 0C1X. Nous pouvons donc considérer \(u\) et \(v\) comme des éléments de \(\mathcal{O}_{X, x}\) tels que \(uv = 0\).

Soit \(D \in \text{Der}_k(\mathcal{O}_X, \mathcal{O}_X)\). Alors \(0 = D(uv) = vD(u) + uD(v)\). Puisque \((u)\) est l’annulateur de \(v\) dans \(\mathcal{O}_{X, x}\) et réciproquement, on voit que \(D(u) \in (u)\) et \(D(v) \in (v)\). Comme \(\mathcal{O}_{X^\nu, x'} = k + (u)\), nous concluons que nous pouvons prolonger \(D\) en \(\mathcal{O}_{X^\nu, x'}\) et que, de plus, ce prolongement fixe \(x'\). Cela produit un \(D'\) dans le membre de droite de l’égalité. Réciproquement, étant donné \(D'\) qui fixe \(x'\) et \(x''\), nous voyons que \(D'\) préserve le sous-anneau \(\mathcal{O}_{X, x} \subset \mathcal{O}_{X^\nu, x'} \times \mathcal{O}_{X^\nu, x''}\); c’est ainsi que l’on passe du membre de droite au membre de gauche de l’égalité.

Lemme

Soit \(k\) un corps algébriquement clos. Soit \(X\) un schéma propre connexe de dimension \(1\) sur \(k\), à singularités au plus nodales. Supposons que le genre de \(X\) soit au moins \(2\) et que \(X\) ne possède ni queue rationnelle ni pont rationnel. Alors \(\text{Der}_k(\mathcal{O}_X, \mathcal{O}_X) = 0\).

Démonstration

Soit \(D \in \text{Der}_k(\mathcal{O}_X, \mathcal{O}_X)\). Soit \(X^\nu\) la normalisation de \(X\). Soit \(D' \in \text{Der}_k(\mathcal{O}_{X^\nu}, \mathcal{O}_{X^\nu})\) l’élément correspondant à \(D\) par le lemme 0E68. Soit \(C \subset X^\nu\) une composante irréductible. Si le genre de \(C\) est \(> 1\), alors \(D'|_{\mathcal{O}_C} = 0\) d’après la partie (1) du lemme 0E67. Si le genre de \(C\) est \(1\), il existe au moins un point fermé \(c\) de \(C\) qui s’envoie sur un nœud de \(X\), car sinon \(X \cong C\) serait de genre \(1\). Par la correspondance, cela signifie que \(D'|_{\mathcal{O}_C}\) fixe \(c\), et il est donc nul d’après la partie (2) du lemme 0E67. Enfin, si le genre de \(C\) est nul, il existe au moins \(3\) points fermés deux à deux distincts \(c_1, c_2, c_3 \in C\) qui s’envoient sur des nœuds de \(X\). Sinon, soit \(X\) serait \(C\) avec deux points recollés, deux points de \(C\) s’envoyant sur le même nœud, soit \(C\) serait un pont rationnel, deux points s’envoyant sur des nœuds distincts de \(X\), soit \(C\) serait une queue rationnelle, un point s’envoyant sur un nœud de \(X\). Ces trois possibilités sont exclues puisque \(C\) est de genre \(\geq 2\) et ne possède ni pont rationnel ni queue rationnelle. Ainsi \(D'|_{\mathcal{O}_C}\) fixe \(c_1, c_2, c_3\) et est donc nul d’après la partie (3) du lemme 0E67.

Ou même géométriquement réduit.↩︎
Dans notre cas, cela résulte de Diviseurs, lemme 0BUT, car \(D \to \Spec(k)\) est fini.↩︎
Cette propriété caractérise \(\omega_X^\bullet\) dans \(D_\QCoh(\mathcal{O}_X)\) à un unique isomorphisme près, par le lemme de Yoneda. Puisque \(\omega_X^\bullet\) appartient à \(D^b_{\textit{Coh}}(\mathcal{O}_X)\), il suffit en fait de considérer \(K \in D^b_{\textit{Coh}}(\mathcal{O}_X)\).↩︎
En effet, puisque \(x^{d - 1} = y^{d - 2}\), on a \(0 = x + x^{d - 1}y + y^{d - 1} = x + 2 x^{d - 1} y\). Puisque \(x \not = 0\) du fait que \(1 = x^{d - 2}y\), on obtient \(0 = 1 + 2x^{d - 2}y = 3\), ce qui est absurde sauf si \(3 = 0\).↩︎
Dans notre cas, cela résulte de Diviseurs, lemme 0BUT, car \(D \to \Spec(k)\) est fini.↩︎
Mais n’hésitez pas à écrire au responsable du projet Champs si vous avez une meilleure suggestion.↩︎
Comme restriction de l’adjoint à droite de Dualité pour les schémas, lemme 0A9E, à \(D^+_\QCoh(\mathcal{O}_Y)\).↩︎