Cohomologie des schémas

Introduction

Dans ce chapitre, nous démontrons d’abord plusieurs résultats sur la cohomologie des faisceaux quasi-cohérents. Une référence fondamentale est [EGA]. Cela fait, nous développerons la cohomologie des faisceaux cohérents dans le cadre noethérien. Voir [FAC].

Cohomologie de Čech des faisceaux quasi-cohérents

Soit \(X\) un schéma. Soit \(U \subset X\) un ouvert affine. Rappelons qu’un recouvrement standard de \(U\) est un recouvrement de la forme \(\mathcal{U} : U = \bigcup_{i = 1}^n D(f_i)\), où \(f_1, \ldots, f_n \in \Gamma(U, \mathcal{O}_X)\) engendrent l’idéal unité, voir Schémas, définition 01HT.

Lemme

Soit \(X\) un schéma. Soit \(\mathcal{F}\) un \(\mathcal{O}_X\)-module quasi-cohérent. Soit \(\mathcal{U} : U = \bigcup_{i = 1}^n D(f_i)\) un recouvrement standard d’un ouvert affine de \(X\). Alors \(\check{H}^p(\mathcal{U}, \mathcal{F}) = 0\) pour tout \(p > 0\).

Démonstration

Écrivons \(U = \Spec(A)\) pour un anneau \(A\). Autrement dit, \(f_1, \ldots, f_n\) sont des éléments de \(A\) qui engendrent l’idéal unité de \(A\). Écrivons \(\mathcal{F}|_U = \widetilde{M}\) pour un \(A\)-module \(M\). Clairement, le complexe de Čech \(\check{\mathcal{C}}^\bullet(\mathcal{U}, \mathcal{F})\) s’identifie au complexe \[\prod\nolimits_{i_0} M_{f_{i_0}} \to \prod\nolimits_{i_0i_1} M_{f_{i_0}f_{i_1}} \to \prod\nolimits_{i_0i_1i_2} M_{f_{i_0}f_{i_1}f_{i_2}} \to \ldots\] Il s’agit de montrer que le complexe augmenté [01XA]\[\begin{equation} 0 \to M \to \prod\nolimits_{i_0} M_{f_{i_0}} \to \prod\nolimits_{i_0i_1} M_{f_{i_0}f_{i_1}} \to \prod\nolimits_{i_0i_1i_2} M_{f_{i_0}f_{i_1}f_{i_2}} \to \ldots \end{equation}\] (dont nous avons étudié la troncature dans Algèbre, lemme 00EK) est exact. Il suffit de montrer que (01XA) est exact après localisation en un idéal premier \(\mathfrak p\), voir Algèbre, lemme 00HN. En fait, nous montrerons que le complexe augmenté localisé en \(\mathfrak p\) est homotope à zéro.

Il existe un indice \(i\) tel que \(f_i \not \in \mathfrak p\). Choisissons et fixons un tel indice \(i_{\text{fix}}\). Remarquons que \(M_{f_{i_{\text{fix}}}, \mathfrak p} = M_{\mathfrak p}\). De même, dans une localisation en un produit \(f_{i_0} \ldots f_{i_p}\) et en \(\mathfrak p\), nous pouvons omettre tout \(f_{i_j}\) tel que \(i_j = i_{\text{fix}}\). Définissons une homotopie \[h : \prod\nolimits_{i_0 \ldots i_{p + 1}} M_{f_{i_0} \ldots f_{i_{p + 1}}, \mathfrak p} \longrightarrow \prod\nolimits_{i_0 \ldots i_p} M_{f_{i_0} \ldots f_{i_p}, \mathfrak p}\] par la formule \[h(s)_{i_0 \ldots i_p} = s_{i_{\text{fix}} i_0 \ldots i_p}\] (Ceci est “dual” de l’homotopie dans la démonstration de Cohomologie, lemme 01EM.) Autrement dit, \(h : \prod_{i_0} M_{f_{i_0}, \mathfrak p} \to M_\mathfrak p\) est la projection sur le facteur \(M_{f_{i_{\text{fix}}}, \mathfrak p} = M_{\mathfrak p}\) et, en général, l’application \(h\) est la projection sur les facteurs \(M_{f_{i_{\text{fix}}} f_{i_1} \ldots f_{i_{p + 1}}, \mathfrak p} = M_{f_{i_1} \ldots f_{i_{p + 1}}, \mathfrak p}\). Calculons \[\begin{align*} (dh + hd)(s)_{i_0 \ldots i_p} & = \sum\nolimits_{j = 0}^p (-1)^j h(s)_{i_0 \ldots \hat i_j \ldots i_p} + d(s)_{i_{\text{fix}} i_0 \ldots i_p}\\ & = \sum\nolimits_{j = 0}^p (-1)^j s_{i_{\text{fix}} i_0 \ldots \hat i_j \ldots i_p} + s_{i_0 \ldots i_p} + \sum\nolimits_{j = 0}^p (-1)^{j + 1} s_{i_{\text{fix}} i_0 \ldots \hat i_j \ldots i_p} \\ & = s_{i_0 \ldots i_p} \end{align*}\] Cela montre que l’application identique est homotope à zéro, comme voulu.

Le lemme suivant dit notamment que pour tout schéma affine \(X\) et tout faisceau quasi-cohérent \(\mathcal{F}\) sur \(X\), on a \[H^p(X, \mathcal{F}) = 0\] pour tout \(p > 0\).

Lemme

Soit \(X\) un schéma. Soit \(\mathcal{F}\) un \(\mathcal{O}_X\)-module quasi-cohérent. Pour tout ouvert affine \(U \subset X\) nous avons \(H^p(U, \mathcal{F}) = 0\) pour tout \(p > 0\).

Démonstration

Nous allons appliquer Cohomologie, lemme 01EW. Comme base \(\mathcal{B}\) pour la topologie de \(X\), nous utiliserons les ouverts affines de \(X\). Comme ensemble \(\text{Cov}\) de recouvrements ouverts, nous allons utiliser les recouvrements ouverts standards des ouverts affines de \(X\). Nous vérifions que les conditions (1), (2) et (3) de Cohomologie, lemme 01EW sont satisfaites. Notez que l’intersection d’ouverts standards d’un ouvert affine est encore un ouvert standard. Par conséquent, la propriété (1) est vérifiée. Ces recouvrements forment un système cofinal de recouvrements ouverts de tout élément de \(\mathcal{B}\), voir Schémas, lemme 01HS. Donc (2) est vérifiée. Enfin, la condition (3) du lemme découle du lemme 01X9.

Voici une version relative de l’annulation de la cohomologie des faisceaux quasi-cohérents sur les schémas affines.

Lemme

Soit \(f : X \to S\) un morphisme de schémas. Soit \(\mathcal{F}\) un \(\mathcal{O}_X\)-module quasi-cohérent. Si \(f\) est affine, alors \(R^if_*\mathcal{F} = 0\) pour tout \(i > 0\).

Démonstration

D’après Cohomologie, lemme 01E4 le faisceau \(R^if_*\mathcal{F}\) est le faisceau associé au préfaisceau \(V \mapsto H^i(f^{-1}(V), \mathcal{F}|_{f^{-1}(V)})\). Par hypothèse, chaque fois que \(V\) est affine, \(f^{-1}(V)\) est affine ; voir Morphismes, définition 01S6. Par le lemme 01XB nous concluons que \(H^i(f^{-1}(V), \mathcal{F}|_{f^{-1}(V)}) = 0\) chaque fois que \(V\) est affine. Puisque \(S\) possède une base constituée d’ouverts affines, le faisceau est nul.

Lemme

Soit \(f : X \to S\) un morphisme affine de schémas. Soit \(\mathcal{F}\) un \(\mathcal{O}_X\)-module quasi-cohérent. Alors \(H^i(X, \mathcal{F}) = H^i(S, f_*\mathcal{F})\) pour tout \(i \geq 0\).

Démonstration

Cela résulte du lemme 01XC et de la suite spectrale de Leray. Voir Cohomologie, lemme 01F4.

Les deux lemmes suivants précisent quand la cohomologie de Čech peut être utilisée pour calculer la cohomologie de modules quasi-cohérents.

Lemme

Soit \(X\) un schéma. Les éléments suivants sont équivalents

1. \(X\) a une diagonale affine \(\Delta : X \to X \times X\),

2. pour tous ouverts affines \(U, V \subset X\), l’intersection \(U \cap V\) est affine, et

3. il existe un recouvrement ouvert \(\mathcal{U} : X = \bigcup_{i \in I} U_i\) tel que \(U_{i_0 \ldots i_p}\) est ouvert affine pour tous les \(p \ge 0\) et tous les \(i_0, \ldots, i_p \in I\).

En particulier, ces conditions sont satisfaites si \(X\) est séparé.

Démonstration

Supposons que \(X\) ait une diagonale affine. Soient \(U, V \subset X\) des ouverts affines. Alors \(U \cap V = \Delta^{-1}(U \times V)\) est affine. Ainsi (2) est vraie. Il est immédiat que (2) implique (3). Inversement, s’il existe un recouvrement de \(X\) comme dans (3), alors \(X \times X = \bigcup U_i \times U_{i'}\) est un recouvrement ouvert affine, et on voit que \(\Delta^{-1}(U_i \times U_{i'}) = U_i \cap U_{i'}\) est affine. Alors \(\Delta\) est un morphisme affine par Morphismes, lemme 01S8. L’assertion finale découle de Schémas, Lemme 01KP.

Lemme

Soit \(X\) un schéma. Soit \(\mathcal{U} : X = \bigcup_{i \in I} U_i\) un recouvrement ouvert tel que \(U_{i_0 \ldots i_p}\) soit ouvert affine pour tout \(p \ge 0\) et tout \(i_0, \ldots, i_p \in I\). Dans ce cas, pour tout faisceau quasi-cohérent \(\mathcal{F}\), on a \[\check{H}^p(\mathcal{U}, \mathcal{F}) = H^p(X, \mathcal{F})\] comme \(\Gamma(X, \mathcal{O}_X)\)-modules, pour tout \(p\).

Démonstration

D’après le lemme 01XB, c’est un cas particulier de Cohomologie, Lemme 01ET.

Annulation de la cohomologie

Nous avons vu que, sur un schéma affine, les groupes de cohomologie supérieurs de tout faisceau quasi-cohérent s’annulent (lemme 01XB). Il s’avère que cela caractérise aussi les schémas affines. Nous donnons deux versions.

Lemme

Soit \(X\) un schéma. Supposons que

1. \(X\) soit quasi-compact,

2. pour tout faisceau quasi-cohérent d’idéaux \(\mathcal{I} \subset \mathcal{O}_X\) nous avons \(H^1(X, \mathcal{I}) = 0\).

Alors \(X\) est affine.

Démonstration

Soit \(x \in X\) un point fermé. Soit \(U \subset X\) un voisinage ouvert affine de \(x\). Écrivons \(U = \Spec(A)\) et soit \(\mathfrak m \subset A\) l’idéal maximal correspondant à \(x\). Posons \(Z = X \setminus U\) et \(Z' = Z \cup \{x\}\). Par Schémas, lemme 01J3, il existe des faisceaux quasi-cohérents d’idéaux \(\mathcal{I}\), resp. \(\mathcal{I}'\), définissant les sous-schémas fermés réduits \(Z\), resp. \(Z'\). Considérons la suite exacte courte \[0 \to \mathcal{I}' \to \mathcal{I} \to \mathcal{I}/\mathcal{I}' \to 0.\] Puisque \(x\) est un point fermé de \(X\) et \(x \not \in Z\) nous voyons que \(\mathcal{I}/\mathcal{I}'\) est supporté en \(x\). En fait, la restriction de \(\mathcal{I}/\mathcal{I'}\) à \(U\) correspond au \(A\)-module \(A/\mathfrak m\). On voit donc que \(\Gamma(X, \mathcal{I}/\mathcal{I'}) = A/\mathfrak m\). Puisque par hypothèse \(H^1(X, \mathcal{I}') = 0\) nous voyons qu’il existe une section globale \(f \in \Gamma(X, \mathcal{I})\) qui s’envoie sur l’élément \(1 \in A/\mathfrak m\) en tant que section de \(\mathcal{I}/\mathcal{I'}\). Manifestement, nous avons \(x \in X_f \subset U\). Cela implique que \(X_f = D(f_A)\) où \(f_A\) est l’image de \(f\) dans \(A = \Gamma(U, \mathcal{O}_X)\). En particulier, \(X_f\) est affine.

Considérons la réunion \(W = \bigcup X_f\) portant sur les \(f \in \Gamma(X, \mathcal{O}_X)\) tels que \(X_f\) soit affine. Il est clair que \(W\) est ouvert dans \(X\). D’après les arguments ci-dessus, chaque point fermé de \(X\) est contenu dans \(W\). Le sous-ensemble fermé \(X \setminus W\) de \(X\) est également quasi-compact (voir Topologie, lemme 005C). Il a donc un point fermé s’il n’est pas vide (voir Topologie, lemme 005E). Cela contredirait le fait que tous les points fermés appartiennent à \(W\). On conclut donc \(X = W\).

Choisissons un nombre fini de \(f_1, \ldots, f_n \in \Gamma(X, \mathcal{O}_X)\) tels que \(X = X_{f_1} \cup \ldots \cup X_{f_n}\) et tels que chaque \(X_{f_i}\) soit affine. C’est possible comme nous l’avons vu ci-dessus. Par Propriétés, lemme 01QF pour terminer la preuve il suffit de montrer que \(f_1, \ldots, f_n\) engendrent l’idéal unité dans \(\Gamma(X, \mathcal{O}_X)\). Considérons la suite exacte courte \[\xymatrix{ 0 \ar[r] & \mathcal{F} \ar[r] & \mathcal{O}_X^{\oplus n} \ar[rr]^{f_1, \ldots, f_n} & & \mathcal{O}_X \ar[r] & 0 }\] La flèche définie par \(f_1, \ldots, f_n\) est surjective puisque l’ouverture \(X_{f_i}\) recouvrent \(X\). Notons \(\mathcal{F}\) le noyau de cette application surjective. Remarquons que \(\mathcal{F}\) possède une filtration \[0 = \mathcal{F}_0 \subset \mathcal{F}_1 \subset \ldots \subset \mathcal{F}_n = \mathcal{F}\] dont chaque sous-quotient \(\mathcal{F}_i/\mathcal{F}_{i - 1}\) est isomorphe à un faisceau quasi-cohérent d’idéaux. Plus précisément, on peut prendre \(\mathcal{F}_i\) égal à l’intersection de \(\mathcal{F}\) avec les \(i\) premiers facteurs directs de \(\mathcal{O}_X^{\oplus n}\). L’hypothèse du lemme implique que \(H^1(X, \mathcal{F}_i/\mathcal{F}_{i - 1}) = 0\) pour tout \(i\). Cela implique que \(H^1(X, \mathcal{F}_2) = 0\), car ce groupe se place entre \(H^1(X, \mathcal{F}_1)\) et \(H^1(X, \mathcal{F}_2/\mathcal{F}_1)\). En continuant ainsi on en déduit que \(H^1(X, \mathcal{F}) = 0\). Nous concluons donc que l’application \[\xymatrix{ \bigoplus\nolimits_{i = 1, \ldots, n} \Gamma(X, \mathcal{O}_X) \ar[rr]^{f_1, \ldots, f_n} & & \Gamma(X, \mathcal{O}_X) }\] est surjective comme souhaité.

Notons que, si \(X\) est un schéma noethérien, tout faisceau quasi-cohérent d’idéaux est automatiquement un faisceau cohérent d’idéaux, donc un faisceau quasi-cohérent d’idéaux de type fini. Par conséquent, le lemme précédent et le lemme suivant s’appliquent tous deux dans ce cas.

Lemme

Soit \(X\) un schéma. Supposons que

1. \(X\) soit quasi-compact,

2. \(X\) soit quasi-séparé, et

3. \(H^1(X, \mathcal{I}) = 0\) pour tout faisceau quasi-cohérent d’idéaux \(\mathcal{I}\) de type fini.

Alors \(X\) est affine.

Démonstration

Par Propriétés, lemme 01PG, tout faisceau quasi-cohérent d’idéaux est une limite inductive filtrante de faisceaux quasi-cohérents d’idéaux de type fini. Par Cohomologie, lemme 01FF prenant la cohomologie sur \(X\) commute aux limites inductives filtrantes. On voit donc que \(H^1(X, \mathcal{I}) = 0\) pour tout faisceau quasi-cohérent d’idéaux sur \(X\). Autrement dit, le lemme 01XF s’applique.

Les arguments précédents fournissent une condition suffisante pour qu’un faisceau inversible soit ample. Nous avertissons toutefois le lecteur que cette condition n’est pas nécessaire.

Lemme

Soit \(X\) un schéma. Soit \(\mathcal{L}\) un \(\mathcal{O}_X\)-module inversible. Supposons que

1. \(X\) soit quasi-compact,

2. pour tout faisceau quasi-cohérent d’idéaux \(\mathcal{I} \subset \mathcal{O}_X\) il existe un \(n \geq 1\) tel que \(H^1(X, \mathcal{I} \otimes_{\mathcal{O}_X} \mathcal{L}^{\otimes n}) = 0\).

Alors \(\mathcal{L}\) est ample.

Démonstration

Cela se démontre exactement de la même manière que le lemme 01XF. Soit \(x \in X\) un point fermé. Soit \(U \subset X\) un voisinage ouvert affine de \(x\) tel que \(\mathcal{L}|_U \cong \mathcal{O}_U\). Écrivons \(U = \Spec(A)\) et soit \(\mathfrak m \subset A\) l’idéal maximal correspondant à \(x\). Posons \(Z = X \setminus U\) et \(Z' = Z \cup \{x\}\). Par Schémas, lemme 01J3, il existe des faisceaux quasi-cohérents d’idéaux \(\mathcal{I}\), resp. \(\mathcal{I}'\), définissant les sous-schémas fermés réduits \(Z\), resp. \(Z'\). Considérons la suite exacte courte \[0 \to \mathcal{I}' \to \mathcal{I} \to \mathcal{I}/\mathcal{I}' \to 0.\] Pour chaque \(n \geq 1\) nous obtenons une suite exacte courte \[0 \to \mathcal{I}' \otimes_{\mathcal{O}_X} \mathcal{L}^{\otimes n} \to \mathcal{I} \otimes_{\mathcal{O}_X} \mathcal{L}^{\otimes n} \to \mathcal{I}/\mathcal{I}' \otimes_{\mathcal{O}_X} \mathcal{L}^{\otimes n} \to 0.\] D’après notre hypothèse, nous pouvons choisir \(n\) tel que \(H^1(X, \mathcal{I}' \otimes_{\mathcal{O}_X} \mathcal{L}^{\otimes n}) = 0\). Puisque \(x\) est un point fermé de \(X\) et \(x \not \in Z\), nous voyons que \(\mathcal{I}/\mathcal{I}'\) est supporté en \(x\). En fait, la restriction de \(\mathcal{I}/\mathcal{I'}\) à \(U\) correspond au \(A\)-module \(A/\mathfrak m\). Puisque \(\mathcal{L}\) est trivial sur \(U\), nous voyons que la restriction de \(\mathcal{I}/\mathcal{I}' \otimes_{\mathcal{O}_X} \mathcal{L}^{\otimes n}\) à \(U\) correspond également au \(A\)-module \(A/\mathfrak m\). Ainsi, nous voyons que \(\Gamma(X, \mathcal{I}/\mathcal{I'} \otimes_{\mathcal{O}_X} \mathcal{L}^{\otimes n}) = A/\mathfrak m\). Par notre choix de \(n\), nous voyons qu’il existe une section globale \(s \in \Gamma(X, \mathcal{I} \otimes_{\mathcal{O}_X} \mathcal{L}^{\otimes n})\) qui s’envoie sur l’élément \(1 \in A/\mathfrak m\). Manifestement, nous avons \(x \in X_s \subset U\) parce que \(s\) s’annule aux points de \(Z\). Cela implique que \(X_s = D(f)\) où \(f \in A\) est l’image de \(s\) dans \(A \cong \Gamma(U, \mathcal{L}^{\otimes n})\). En particulier, \(X_s\) est affine.

Considérons la réunion \(W = \bigcup X_s\) portant sur les \(s \in \Gamma(X, \mathcal{L}^{\otimes n})\) pour \(n \geq 1\) tels que \(X_s\) soit affine. Il est clair que \(W\) est ouvert dans \(X\). D’après les arguments ci-dessus, chaque point fermé de \(X\) est contenu dans \(W\). Le sous-ensemble fermé \(X \setminus W\) de \(X\) est également quasi-compact (voir Topologie, lemme 005C). Il possède donc un point fermé s’il n’est pas vide (voir Topologie, lemme 005E). Cela contredirait le fait que tous les points fermés appartiennent à \(W\). Nous concluons donc \(X = W\). Cela signifie que \(\mathcal{L}\) est ample par Propriétés, définition 01PS.

Il existe une variante du lemme 0B5P pour les faisceaux d’idéaux de type fini ; nous la formulerons et la démontrerons ici si nous en avons besoin.

Lemme

Soit \(f : X \to Y\) un morphisme quasi-compact, avec \(X\) et \(Y\) quasi-séparés. Si \(R^1f_*\mathcal{I} = 0\) pour tout faisceau quasi-cohérent d’idéaux \(\mathcal{I}\) sur \(X\), alors \(f\) est affine.

Démonstration

Soit \(V \subset Y\) un sous-schéma ouvert affine. Il suffit de montrer que \(U = f^{-1}(V)\) est affine. Le morphisme d’inclusion \(V \to Y\) est quasi-compact d’après Schémas, lemme 03GI. Par conséquent, le changement de base \(U \to X\) est quasi-compact, voir Schémas, lemme 01K5. Ainsi, tout faisceau quasi-cohérent d’idéaux \(\mathcal{I}\) sur \(U\) s’étend à un faisceau quasi-cohérent d’idéaux sur \(X\), voir Propriétés, lemme 01PE. Puisque la formation de \(R^1f_*\) est locale sur \(Y\) (Cohomologie, section 01E0), nous concluons que \(R^1(U \to V)_*\mathcal{I} = 0\) par l’hypothèse du lemme. Ainsi, par la suite spectrale de Leray (Cohomologie, lemme 01F2), nous concluons que \(H^1(U, \mathcal{I}) = H^1(V, (U \to V)_*\mathcal{I})\). Puisque \((U \to V)_*\mathcal{I}\) est quasi-cohérent d’après Schémas, lemme 01LC, nous avons \(H^1(V, (U \to V)_*\mathcal{I}) = 0\) d’après le lemme 01XB. Ainsi, on conclut que \(U\) est affine d’après le lemme 01XF.

Quasi-cohérence des images directes supérieures

Nous avons vu que les groupes de cohomologie supérieure d’un module quasi-cohérent sur un schéma affine sont nuls. Pour les schémas quasi-compacts et (quasi-)séparés \(X\), il en résulte l’annulation des groupes de cohomologie des faisceaux quasi-cohérents au-delà d’un certain degré. Toutefois, \(X\) n’est pas nécessairement de dimension cohomologique finie, car celle-ci est définie par l’annulation de la cohomologie de tous les \(\mathcal{O}_X\)-modules.

Lemme

Soit \(X\) un schéma quasi-compact et quasi-séparé. Soit \(P\) une propriété des ouverts quasi-compacts de \(X\). Supposons que

1. \(P\) est vérifiée pour tout ouvert affine de \(X\),

2. si \(U\) est un ouvert quasi-compact, \(V\) un ouvert affine, et si \(P\) est vérifiée pour \(U\), \(V\) et \(U \cap V\), alors \(P\) est vérifiée pour \(U \cup V\).

Alors \(P\) est vérifiée pour tout ouvert quasi-compact de \(X\) et en particulier pour \(X\).

Démonstration

Montrons d’abord par récurrence que \(P\) est vérifiée pour les ouverts quasi-compacts séparés \(W \subset X\). En effet, un tel ouvert s’écrit \(W = U_1 \cup \ldots \cup U_n\) et l’on raisonne par récurrence sur \(n\) en utilisant la propriété (2) avec \(U = U_1 \cup \ldots \cup U_{n - 1}\) et \(V = U_n\). Cela est possible car \(U \cap V = (U_1 \cap U_n) \cup \ldots \cup (U_{n - 1} \cap U_n)\) est aussi une réunion de \(n - 1\) sous-schémas ouverts affines, d’après Schémas, lemme 01KP, appliqué aux ouverts affines \(U_i\) et \(U_n\) de \(W\). Cela étant, pour tout ouvert quasi-compact \(W \subset X\), on peut raisonner par récurrence sur le nombre d’ouverts affines nécessaires pour recouvrir \(W\), en employant le même procédé et en observant que l’ouvert quasi-compact \(U_i \cap U_n\) est séparé, comme sous-schéma ouvert du schéma affine \(U_n\).

Lemme

Soit \(X\) un schéma quasi-compact à diagonale affine (par exemple si \(X\) est séparé). Soit \(t = t(X)\) le nombre minimal d’ouverts affines nécessaires pour recouvrir \(X\). Alors \(H^n(X, \mathcal{F}) = 0\) pour tout \(n \geq t\) et tout faisceau quasi-cohérent \(\mathcal{F}\).

Démonstration

Première démonstration. Raisonnons par récurrence sur \(t\). Si \(t = 1\), le résultat découle du lemme 01XB. Si \(t > 1\), écrivons \(X = U \cup V\), où \(V\) est un ouvert affine et \(U = U_1 \cup \ldots \cup U_{t - 1}\) une réunion de \(t - 1\) ouverts affines. Notons que, dans ce cas, \(U \cap V = (U_1 \cap V) \cup \ldots (U_{t - 1} \cap V)\) est aussi une réunion de \(t - 1\) sous-schémas ouverts affines. En effet, la diagonale étant affine, l’intersection de deux ouverts affines est affine, voir lemme 0BDX. Appliquons la suite exacte longue de Mayer-Vietoris \[0 \to H^0(X, \mathcal{F}) \to H^0(U, \mathcal{F}) \oplus H^0(V, \mathcal{F}) \to H^0(U \cap V, \mathcal{F}) \to H^1(X, \mathcal{F}) \to \ldots\] voir Cohomologie, lemme 01EB. Par récurrence, les groupes \(H^i(U, \mathcal{F})\), \(H^i(V, \mathcal{F})\), \(H^i(U \cap V, \mathcal{F})\) sont nuls pour \(i \geq t - 1\). Il en résulte immédiatement que \(H^i(X, \mathcal{F})\) est nul pour \(i \geq t\).

Deuxième démonstration. Soit \(\mathcal{U} : X = \bigcup_{i = 1}^t U_i\) un recouvrement ouvert affine fini. Puisque \(X\) est à diagonale affine, les intersections multiples \(U_{i_0 \ldots i_p}\) sont toutes affines, voir lemme 0BDX. D’après le lemme 01XD, les groupes de cohomologie de Čech \(\check{H}^p(\mathcal{U}, \mathcal{F})\) coïncident avec les groupes de cohomologie. D’après Cohomologie, lemme 01FM, les groupes de cohomologie de Čech se calculent au moyen du complexe alterné de Čech \(\check{\mathcal{C}}_{alt}^\bullet(\mathcal{U}, \mathcal{F})\). Le recouvrement ayant \(t\) éléments, on voit immédiatement que \(\check{\mathcal{C}}_{alt}^p(\mathcal{U}, \mathcal{F}) = 0\) pour tout \(p \geq t\). Le résultat s’ensuit.

Lemme

Soit \(X\) un schéma quasi-compact à diagonale affine (par exemple si \(X\) est séparé). Alors

1. pour tout \(\mathcal{O}_X\)-module quasi-cohérent \(\mathcal{F}\), il existe une injection \(\mathcal{F} \to \mathcal{F}'\) de \(\mathcal{O}_X\)-modules quasi-cohérents telle que \(H^p(X, \mathcal{F}') = 0\) pour tout \(p \geq 1\), et

2. \(\{H^n(X, -)\}_{n \geq 0}\) est un \(\delta\)-foncteur universel de \(\QCoh(\mathcal{O}_X)\) dans \(\textit{Ab}\).

Démonstration

Soit \(X = \bigcup U_i\) un recouvrement ouvert affine fini. Posons \(U = \coprod U_i\) et notons \(j : U \to X\) le morphisme induisant les immersions ouvertes données \(U_i \to X\). Puisque \(U\) est un schéma affine et que \(X\) est à diagonale affine, le morphisme \(j\) est affine, voir Morphismes, lemme 01SG. Pour tout \(\mathcal{O}_X\)-module \(\mathcal{F}\), il existe un morphisme canonique \(\mathcal{F} \to j_*j^*\mathcal{F}\). Ce morphisme est injectif, comme on le vérifie sur les fibres : si \(x \in U_i\), on a une factorisation \[\mathcal{F}_x \to (j_*j^*\mathcal{F})_x \to (j^*\mathcal{F})_{x'} = \mathcal{F}_x\] où \(x' \in U\) est le point \(x\) considéré comme point de \(U_i \subset U\). Si maintenant \(\mathcal{F}\) est quasi-cohérent, alors \(j^*\mathcal{F}\) est quasi-cohérent sur le schéma affine \(U\), donc sa cohomologie supérieure est nulle d’après le lemme 01XB. On a alors \(H^p(X, j_*j^*\mathcal{F}) = 0\) pour \(p > 0\) d’après le lemme 089W, puisque \(j\) est affine. Cela prouve (1). Enfin, on voit que le morphisme \(H^p(X, \mathcal{F}) \to H^p(X, j_*j^*\mathcal{F})\) est nul, et l’assertion (2) découle de Homologie, lemme 010T.

Lemme

Soit \(X\) un schéma quasi-compact et quasi-séparé. Soit \(X = U_1 \cup \ldots \cup U_n\) un recouvrement ouvert dont chaque \(U_i\) est quasi-compact et séparé (par exemple affine). Posons \[d = \max\nolimits_{I \subset \{1, \ldots, n\}} \left(|I| + t(\bigcap\nolimits_{i \in I} U_i) - 1\right)\] où \(t(U)\) est le nombre minimal d’ouverts affines nécessaires pour recouvrir le schéma \(U\). Alors \(H^p(X, \mathcal{F}) = 0\) pour tout \(p \geq d\) et tout faisceau quasi-cohérent \(\mathcal{F}\).

Démonstration

Notons que, puisque \(X\) est quasi-séparé et les \(U_i\) quasi-compacts, les nombres \(t(\bigcap_{i \in I} U_i)\) sont finis. Raisonnons par récurrence sur \(n\). Si \(n = 1\), le résultat découle du lemme 01XI. Si \(n > 1\), écrivons \(X = U \cup V\), avec \(U = U_1 \cup \ldots \cup U_{n - 1}\) et \(V = U_n\). Appliquons la suite exacte longue de Mayer-Vietoris \[0 \to H^0(X, \mathcal{F}) \to H^0(U, \mathcal{F}) \oplus H^0(V, \mathcal{F}) \to H^0(U \cap V, \mathcal{F}) \to H^1(X, \mathcal{F}) \to \ldots\] voir Cohomologie, lemme 01EB. Pour achever la démonstration lorsque \(q \geq d\), montrons que \(H^q(V, \mathcal{F})\), \(H^q(U, \mathcal{F})\) et \(H^{q - 1}(U \cap V, \mathcal{F})\) sont nuls. Le cas \(n = 1\) donne \(H^q(V, \mathcal{F}) = 0\) pour \(q \geq t(V) = t(U_n)\). Comme \(t(V) \leq d\), on obtient l’annulation voulue. Par l’hypothèse de récurrence, on a \(H^q(U, \mathcal{F}) = 0\) pour \[q \geq \max\nolimits_{I \subset \{1, \ldots, n - 1\}} \left(|I| + t(\bigcap\nolimits_{i \in I} U_i) - 1\right)\] L’entier de droite étant inférieur ou égal à \(d\), on obtient l’annulation voulue. Enfin, appliquons l’hypothèse de récurrence à l’ouvert \(U \cap V = (U_1 \cap U_n) \cup \ldots \cup (U_{n - 1} \cap U_n)\) pour obtenir l’annulation \(H^q(U \cap V, \mathcal{F}) = 0\) pour \[q \geq \max\nolimits_{I \subset \{1, \ldots, n - 1\}} \left(|I| + t(U_n \cap \bigcap\nolimits_{i \in I} U_i) - 1\right)\] L’entier de droite étant strictement inférieur à \(d\), le lemme s’ensuit.

Lemme

Soit \(f : X \to S\) un morphisme de schémas. Supposons que \(f\) soit quasi-séparé et quasi-compact.

1. Pour tout \(\mathcal{O}_X\)-module quasi-cohérent \(\mathcal{F}\), les images directes supérieures \(R^pf_*\mathcal{F}\) sont quasi-cohérentes sur \(S\).

2. Si \(S\) est quasi-compact, il existe un entier \(n = n(X, S, f)\) tel que \(R^pf_*\mathcal{F} = 0\) pour tout \(p \geq n\) et tout faisceau quasi-cohérent \(\mathcal{F}\) sur \(X\).

3. En fait, si \(S\) est quasi-compact, on peut trouver \(n = n(X, S, f)\) tel que, pour tout morphisme de schémas \(S' \to S\), on ait \(R^p(f')_*\mathcal{F}' = 0\) pour \(p \geq n\) et tout faisceau quasi-cohérent \(\mathcal{F}'\) sur \(X'\). Ici \(f' : X' = S' \times_S X \to S'\) est le changement de base de \(f\).

Démonstration

Prouvons d’abord (1). Notons que, sous les hypothèses du lemme, le faisceau \(R^0f_*\mathcal{F} = f_*\mathcal{F}\) est quasi-cohérent d’après Schémas, lemme 01LC. D’après Cohomologie, lemme 01E5, la formation des images directes supérieures commute à la restriction aux sous-schémas ouverts. La quasi-cohérence étant locale sur \(S\), on se ramène au cas traité au paragraphe suivant.

Démonstration de (1) lorsque \(S\) est affine. Utilisons le principe de récurrence. Puisque \(f\) est quasi-compact et quasi-séparé, \(X\) est quasi-compact et quasi-séparé. Pour un ouvert quasi-compact \(U \subset X\) et \(a = f|_U\), notons \(P(U)\) la propriété suivante : \(R^pa_*\mathcal{F}\) est quasi-cohérent sur \(S\) pour tout module quasi-cohérent \(\mathcal{F}\) sur \(U\) et tout \(p \geq 0\). Comme \(P(X)\) est l’assertion (1), il suffit de vérifier les conditions (1) et (2) du lemme 08DR. Si \(U\) est affine, alors \(P(U)\) est vérifiée car \(R^pa_*\mathcal{F} = 0\) pour \(p \geq 1\) (d’après le lemme 01XC et Morphismes, lemme 01SH), et nous avons déjà établi le résultat pour \(p = 0\) au premier paragraphe. Soient ensuite \(U \subset X\) un ouvert quasi-compact et \(V \subset X\) un ouvert affine; supposons \(P(U)\), \(P(V)\) et \(P(U \cap V)\) vérifiées. Posons \(a = f|_U\), \(b = f|_V\), \(c = f|_{U \cap V}\) et \(g = f|_{U \cup V}\). Pour tout \(\mathcal{O}_{U \cup V}\)-module quasi-cohérent \(\mathcal{F}\), on dispose alors de la suite de Mayer-Vietoris relative \[0 \to g_*\mathcal{F} \to a_*(\mathcal{F}|_U) \oplus b_*(\mathcal{F}|_V) \to c_*(\mathcal{F}|_{U \cap V}) \to R^1g_*\mathcal{F} \to \ldots\] voir Cohomologie, lemme 01EC. D’après \(P(U)\), \(P(V)\) et \(P(U \cap V)\), les faisceaux \(R^pa_*(\mathcal{F}|_U)\), \(R^pb_*(\mathcal{F}|_V)\) et \(R^pc_*(\mathcal{F}|_{U \cap V})\) sont tous quasi-cohérents. Les résultats sur les faisceaux quasi-cohérents de Schémas, section 01LA, impliquent alors que chacun des faisceaux \(R^pg_*\mathcal{F}\) est quasi-cohérent : il est le terme médian d’une suite exacte courte dont le terme de gauche est le conoyau d’un morphisme de faisceaux quasi-cohérents et le terme de droite le noyau d’un morphisme de faisceaux quasi-cohérents. D’où \(P(U \cup V)\), ce qui achève la démonstration de (1).

Prouvons ensuite (3), et a fortiori (2). Choisissons un recouvrement ouvert affine fini \(S = \bigcup_{j = 1, \ldots m} S_j\). Pour chaque \(j\), choisissons un recouvrement ouvert affine fini \(f^{-1}(S_j) = \bigcup_{i = 1, \ldots t_j} U_{ji}\). Soit \[d_j = \max\nolimits_{I \subset \{1, \ldots, t_j\}} \left(|I| + t(\bigcap\nolimits_{i \in I} U_{ji})\right)\] l’entier obtenu dans le lemme 071L. Nous affirmons que \(n(X, S, f) = \max d_j\) convient.

En effet, soient \(S' \to S\) un morphisme de schémas et \(\mathcal{F}'\) un faisceau quasi-cohérent sur \(X' = S' \times_S X\). Montrons que \(R^pf'_*\mathcal{F}' = 0\) pour \(p \geq n(X, S, f)\). Cette question étant locale sur \(S'\), on peut supposer que \(S'\) est affine et s’envoie dans \(S_j\) pour un certain \(j\). Alors \(X' = S' \times_{S_j} f^{-1}(S_j)\) est recouvert par les ouverts affines \(S' \times_{S_j} U_{ji}\), \(i = 1, \ldots t_j\), et les intersections \[\bigcap\nolimits_{i \in I} S' \times_{S_j} U_{ji} = S' \times_{S_j} \bigcap\nolimits_{i \in I} U_{ji}\] sont recouvertes par le même nombre d’ouverts affines qu’avant le changement de base. En appliquant le lemme 071L, on obtient \(H^p(X', \mathcal{F}') = 0\). La première partie de la démonstration montre déjà que chaque \(R^qf'_*\mathcal{F}'\) est quasi-cohérent, donc a ses groupes de cohomologie supérieure nuls sur le schéma affine \(S'\); ainsi \(H^0(S', R^pf'_*\mathcal{F}') = H^p(X', \mathcal{F}') = 0\) d’après Cohomologie, lemme 01F4. Puisque \(R^pf'_*\mathcal{F}'\) est quasi-cohérent, on en déduit que \(R^pf'_*\mathcal{F}' = 0\).

Lemme

Soit \(f : X \to S\) un morphisme de schémas. Supposons que \(f\) soit quasi-séparé et quasi-compact. Supposons \(S\) affine. Pour tout \(\mathcal{O}_X\)-module quasi-cohérent \(\mathcal{F}\), on a \[H^q(X, \mathcal{F}) = H^0(S, R^qf_*\mathcal{F})\] pour tout \(q \in \mathbf{Z}\).

Démonstration

Considérons la suite spectrale de Leray \(E_2^{p, q} = H^p(S, R^qf_*\mathcal{F})\) convergeant vers \(H^{p + q}(X, \mathcal{F})\), voir Cohomologie, lemme 01F2. D’après le lemme 01XJ, les faisceaux \(R^qf_*\mathcal{F}\) sont quasi-cohérents. D’après le lemme 01XB, on a \(E_2^{p, q} = 0\) lorsque \(p > 0\). La suite spectrale dégénère donc en \(E_2\), ce qui conclut. Voir aussi Cohomologie, lemme 01F4 (2), pour le principe général.

Cohomologie et changement de base, I

Soit \(f : X \to S\) un morphisme de schémas. Soit \(\mathcal{F}\) un faisceau quasi-cohérent sur \(X\). Soit de plus \(g : S' \to S\) un morphisme quelconque de schémas. Notons \(X' = X_{S'} = S' \times_S X\) le changement de base de \(X\) et \(f' : X' \to S'\) le changement de base de \(f\). Notons aussi \(g' : X' \to X\) la projection, et posons \(\mathcal{F}' = (g')^*\mathcal{F}\). La situation est représentée par le diagramme suivant : [02KF]\[\begin{equation} \vcenter{ \xymatrix{ \mathcal{F}' = (g')^*\mathcal{F} & X' \ar[r]_{g'} \ar[d]_{f'} & X \ar[d]^f & \mathcal{F} \\ Rf'_*\mathcal{F}' & S' \ar[r]^g & S & Rf_*\mathcal{F} } } \end{equation}\] Voici le cas le plus simple de la propriété de changement de base envisagée.

Lemme

Soit \(f : X \to S\) un morphisme de schémas. Soit \(\mathcal{F}\) un \(\mathcal{O}_X\)-module quasi-cohérent. Supposons \(f\) affine. Dans ce cas, \(f_*\mathcal{F} \cong Rf_*\mathcal{F}\) est un faisceau quasi-cohérent et, pour tout diagramme de changement de base (02KF) on a \[g^*f_*\mathcal{F} = f'_*(g')^*\mathcal{F}.\]

Démonstration

L’annulation des images directes supérieures est donnée par le lemme 01XC. L’énoncé est local sur \(S\) et \(S'\). On peut donc supposer \(X = \Spec(A)\), \(S = \Spec(R)\), \(S' = \Spec(R')\) et \(\mathcal{F} = \widetilde{M}\), pour un certain \(A\)-module \(M\). Utilisons Schémas, lemme 01I9, pour décrire les images inverses et directes de \(\mathcal{F}\). On a \(X' = \Spec(R' \otimes_R A)\) et \(\mathcal{F}'\) est le faisceau quasi-cohérent associé à \((R' \otimes_R A) \otimes_A M\). Le lemme se ramène donc à l’égalité \[(R' \otimes_R A) \otimes_A M = R' \otimes_R M\] de \(R'\)-modules.

Dans de nombreuses situations, il suffit de connaître le cas particulier suivant de la cohomologie et du changement de base. Il découle immédiatement des résultats plus forts de la section 071M, mais son importance justifie une démonstration distincte.

Lemme

Considérons un diagramme cartésien de schémas \[\xymatrix{ X' \ar[d]_{f'} \ar[r]_{g'} & X \ar[d]^f \\ S' \ar[r]^g & S }\] Soit \(\mathcal{F}\) un \(\mathcal{O}_X\)-module quasi-cohérent, d’image inverse \(\mathcal{F}' = (g')^*\mathcal{F}\). Supposons que \(g\) soit plat et que \(f\) soit quasi-compact et quasi-séparé. Pour tout \(i \geq 0\),

1. le morphisme de changement de base de Cohomologie, lemme 02N7, est un isomorphisme \[g^*R^if_*\mathcal{F} \longrightarrow R^if'_*\mathcal{F}',\]

2. si \(S = \Spec(A)\) et \(S' = \Spec(B)\), alors \(H^i(X, \mathcal{F}) \otimes_A B = H^i(X', \mathcal{F}')\).

Démonstration

On peut appliquer Cohomologie, lemme 02N7, dans (1) car \(g'\) est plat d’après Morphismes, lemme 01U9. Cela étant, l’assertion (1) découle de (2). En effet, l’assertion (1) est locale sur \(S'\), et l’on peut donc supposer \(S\) et \(S'\) affines. Autrement dit, on a \(S = \Spec(A)\) et \(S' = \Spec(B)\) comme dans (2). Puisque \(R^if_*\mathcal{F}\) est quasi-cohérent (lemme 01XJ), c’est le \(\mathcal{O}_S\)-module quasi-cohérent associé au \(A\)-module \(H^0(S, R^if_*\mathcal{F}) = H^i(X, \mathcal{F})\) (égalité donnée par le lemme 01XK). De même, \(R^if'_*\mathcal{F}'\) est le \(\mathcal{O}_{S'}\)-module quasi-cohérent associé au \(B\)-module \(H^i(X', \mathcal{F}')\). L’image inverse par \(g\) correspondant au foncteur \(- \otimes_A B\) sur les modules (Schémas, lemme 01I9), il suffit de prouver (2).

Soit \(A \to B\) un homomorphisme plat d’anneaux. Soit \(X\) un schéma quasi-compact et quasi-séparé sur \(A\). Soit \(\mathcal{F}\) un \(\mathcal{O}_X\)-module quasi-cohérent. Posons \(X_B = X \times_{\Spec(A)} \Spec(B)\) et notons \(\mathcal{F}_B\) l’image inverse de \(\mathcal{F}\). Il s’agit de montrer que le morphisme \[H^i(X, \mathcal{F}) \otimes_A B \longrightarrow H^i(X_B, \mathcal{F}_B)\] (donné par la référence citée dans l’énoncé du lemme) est un isomorphisme.

Lorsque \(X\) est séparé, choisissons un recouvrement ouvert affine \(\mathcal{U} : X = U_1 \cup \ldots \cup U_t\) et rappelons que \[\check{H}^p(\mathcal{U}, \mathcal{F}) = H^p(X, \mathcal{F}),\] voir lemme 01XD. Pour le recouvrement \(\mathcal{U}_B : X_B = (U_1)_B \cup \ldots \cup (U_t)_B\) obtenu par changement de base, chaque \((U_i)_B\) est encore affine et \(X_B\) est séparé. On obtient donc \[\check{H}^p(\mathcal{U}_B, \mathcal{F}_B) = H^p(X_B, \mathcal{F}_B).\] On a la relation suivante entre les complexes de Čech \[\check{\mathcal{C}}^\bullet(\mathcal{U}_B, \mathcal{F}_B) = \check{\mathcal{C}}^\bullet(\mathcal{U}, \mathcal{F}) \otimes_A B\] comme il résulte du lemme 02KG. Puisque \(A \to B\) est plat, cette égalité subsiste en passant à la cohomologie.

Lorsque \(X\) est quasi-séparé, choisissons un recouvrement ouvert affine \(\mathcal{U} : X = U_1 \cup \ldots \cup U_t\). Utilisons la suite spectrale reliant la cohomologie de Čech à la cohomologie, donnée dans Cohomologie, lemme 01ES. Le lecteur qui souhaite éviter cette suite spectrale peut utiliser Mayer-Vietoris et raisonner par récurrence sur \(t\), comme dans la démonstration du lemme 01XJ. La suite spectrale a pour terme \(E_2\) \(E_2^{p, q} = \check{H}^p(\mathcal{U}, \underline{H}^q(\mathcal{F}))\) et converge vers \(H^{p + q}(X, \mathcal{F})\). De même, on dispose d’une suite spectrale de terme \(E_2\) \(E_2^{p, q} = \check{H}^p(\mathcal{U}_B, \underline{H}^q(\mathcal{F}_B))\) qui converge vers \(H^{p + q}(X_B, \mathcal{F}_B)\). Puisque les intersections \(U_{i_0 \ldots i_p}\) sont quasi-compactes et séparées, le résultat du deuxième paragraphe de la démonstration donne \(\check{H}^p(\mathcal{U}_B, \underline{H}^q(\mathcal{F}_B)) = \check{H}^p(\mathcal{U}, \underline{H}^q(\mathcal{F})) \otimes_A B\). La platitude de \(A \to B\) permet de conclure que \(H^i(X, \mathcal{F}) \otimes_A B \to H^i(X_B, \mathcal{F}_B)\) est un isomorphisme pour tout \(i\), ce qui conclut.

Lemme

Considérons un diagramme cartésien de schémas \[\xymatrix{ Y \ar[d]_{g} \ar[r]_h & X \ar[d]^f \\ \Spec(B) \ar[r] & \Spec(A) }\] Soit \(\mathcal{F}\) un \(\mathcal{O}_X\)-module quasi-cohérent, d’image inverse \(\mathcal{G} = h^*\mathcal{F}\). Si \(B\) est un \(A\)-module localement libre de type fini, alors \(H^i(X, \mathcal{F}) \otimes_A B = H^i(Y, \mathcal{G})\).

Attention : N’utilisez ce lemme que si vous comprenez la différence entre celui-ci et le lemme 02KH.

Démonstration

Lorsque \(X\) est séparé, choisissons un recouvrement ouvert affine \(\mathcal{U} : X = \bigcup_{i \in I} U_i\) et rappelons que \[\check{H}^p(\mathcal{U}, \mathcal{F}) = H^p(X, \mathcal{F}),\] voir lemme 01XD. Soit \(\mathcal{V} : Y = \bigcup_{i \in I} g^{-1}(U_i)\) le recouvrement ouvert affine correspondant de \(Y\). Les ouverts \(V_i = g^{-1}(U_i) = U_i \times_{\Spec(A)} \Spec(B)\) sont affines et \(Y\) est séparé. On obtient donc \[\check{H}^p(\mathcal{V}, \mathcal{G}) = H^p(Y, \mathcal{G}).\] Nous affirmons que le morphisme de complexes de Čech \[\check{\mathcal{C}}^\bullet(\mathcal{U}, \mathcal{F}) \otimes_A B \longrightarrow \check{\mathcal{C}}^\bullet(\mathcal{V}, \mathcal{G})\] est un isomorphisme. En effet, puisque \(B\) est de présentation finie comme \(A\)-module, le produit tensoriel avec \(B\) sur \(A\) commute aux produits, voir Algèbre, proposition 059K. Il suffit donc de montrer que les morphismes \(\Gamma(U_{i_0 \ldots i_p}, \mathcal{F}) \otimes_A B \to \Gamma(V_{i_0 \ldots i_p}, \mathcal{G})\) sont des isomorphismes, ce qui résulte du lemme 02KG. Puisque \(A \to B\) est plat, cela reste vrai en passant à la cohomologie.

Dans le cas général, on raisonne exactement de même en utilisant un recouvrement ouvert affine \(\mathcal{U} : X = \bigcup_{i \in I} U_i\) et le recouvrement correspondant \(\mathcal{V} : Y = \bigcup_{i \in I} V_i\), avec \(V_i = g^{-1}(U_i)\) comme ci-dessus. Utilisons la suite spectrale reliant la cohomologie de Čech à la cohomologie, donnée dans Cohomologie, lemme 01ES. La suite spectrale a pour terme \(E_2\) \(E_2^{p, q} = \check{H}^p(\mathcal{U}, \underline{H}^q(\mathcal{F}))\) et converge vers \(H^{p + q}(X, \mathcal{F})\). De même, on dispose d’une suite spectrale de terme \(E_2\) \(E_2^{p, q} = \check{H}^p(\mathcal{V}, \underline{H}^q(\mathcal{G}))\) qui converge vers \(H^{p + q}(Y, \mathcal{G})\). Les intersections \(U_{i_0 \ldots i_p}\) étant séparées, le résultat du paragraphe précédent donne des isomorphismes \(\Gamma(U_{i_0 \ldots i_p}, \underline{H}^q(\mathcal{F})) \otimes_A B \to \Gamma(V_{i_0 \ldots i_p}, \underline{H}^q(\mathcal{G}))\). Le foncteur \(- \otimes_A B\) commutant aux produits et étant exact, on en déduit que \(\check{H}^p(\mathcal{U}, \underline{H}^q(\mathcal{F})) \otimes_A B \to \check{H}^p(\mathcal{V}, \underline{H}^q(\mathcal{G}))\) est un isomorphisme. La platitude de \(A \to B\) permet de conclure que \(H^i(X, \mathcal{F}) \otimes_A B \to H^i(Y, \mathcal{G})\) est un isomorphisme pour tout \(i\), ce qui conclut.

Limites inductives et images directes supérieures

On trouvera des résultats généraux de cette nature dans Cohomologie, section 01FE, Faisceaux, lemme 009F, et Modules, lemme 01BS.

Lemme

Soit \(f : X \to S\) un morphisme quasi-compact et quasi-séparé de schémas. Soit \(\mathcal{F} = \colim \mathcal{F}_i\) une limite inductive filtrante de faisceaux abéliens sur \(X\). Alors, pour tout \(p \geq 0\), on a \[R^pf_*\mathcal{F} = \colim R^pf_*\mathcal{F}_i.\]

Démonstration

Nous appliquons Cohomologie, Lemme 0H7A. Comme les ouverts affines forment une base de la topologie de \(S\), il suffit de montrer que, pour tout ouvert affine \(U \subset S\), on a \(H^p(f^{-1}U, \mathcal{F}) = \colim H^p(f^{-1}U, \mathcal{F}_i)\). Puisque \(f^{-1}U\) est quasi-compact et quasi-séparé, cela résulte de Cohomologie, lemme 01FF (la base des ouverts affines de \(f^{-1}U\) vérifie les hypothèses de ce lemme).

Cohomologie et changement de base, II

Soit \(f : X \to S\) un morphisme de schémas et soit \(\mathcal{F}\) un \(\mathcal{O}_X\)-module quasi-cohérent. Si \(f\) est quasi-compact et quasi-séparé, nous souhaitons représenter \(Rf_*\mathcal{F}\) par un complexe de faisceaux quasi-cohérents sur \(S\). Cela résulte du fait que les faisceaux \(R^if_*\mathcal{F}\) sont quasi-cohérents lorsque \(S\) est quasi-compact et à diagonale affine, en utilisant l’équivalence de \(D_\QCoh(S)\) et de \(D(\QCoh(\mathcal{O}_S))\) ; voir Catégories dérivées des schémas, Proposition 08DB.

Dans cette section, nous suivrons une autre approche, qui produit un complexe explicite doté d’une bonne propriété de changement de base. La construction est particulièrement simple si \(f\) et \(S\) sont séparés ou, plus généralement, à diagonale affine. Comme il s’agit de loin du cas le plus fréquemment utilisé, nous le traitons séparément.

Lemme

Soit \(f : X \to S\) un morphisme de schémas. Soit \(\mathcal{F}\) un \(\mathcal{O}_X\)-module quasi-cohérent. Supposons que \(X\) soit quasi-compact et que \(X\) et \(S\) aient une diagonale affine (par exemple, si \(X\) et \(S\) sont séparés). On peut alors calculer \(Rf_*\mathcal{F}\) comme suit :

1. Choisir un recouvrement ouvert affine fini \(\mathcal{U} : X = \bigcup_{i = 1, \ldots, n} U_i\).

2. Pour \(i_0, \ldots, i_p \in \{1, \ldots, n\}\), noter \(f_{i_0 \ldots i_p} : U_{i_0 \ldots i_p} \to S\) la restriction de \(f\) à l’intersection \(U_{i_0 \ldots i_p} = U_{i_0} \cap \ldots \cap U_{i_p}\).

3. Noter \(\mathcal{F}_{i_0 \ldots i_p}\) la restriction de \(\mathcal{F}\) à \(U_{i_0 \ldots i_p}\).

4. Poser \[\check{\mathcal{C}}^p(\mathcal{U}, f, \mathcal{F}) = \bigoplus\nolimits_{i_0 \ldots i_p} f_{i_0 \ldots i_p *} \mathcal{F}_{i_0 \ldots i_p}\] et définir les différentielles \(d : \check{\mathcal{C}}^p(\mathcal{U}, f, \mathcal{F}) \to \check{\mathcal{C}}^{p + 1}(\mathcal{U}, f, \mathcal{F})\) comme dans Cohomologie, Équation (01EE).

Le complexe \(\check{\mathcal{C}}^\bullet(\mathcal{U}, f, \mathcal{F})\) est alors un complexe de faisceaux quasi-cohérents sur \(S\), muni d’un isomorphisme \[\check{\mathcal{C}}^\bullet(\mathcal{U}, f, \mathcal{F}) \longrightarrow Rf_*\mathcal{F}\] dans \(D^{+}(S)\). Cet isomorphisme est fonctoriel en le faisceau quasi-cohérent \(\mathcal{F}\).

Démonstration

Considérons la résolution \(\mathcal{F} \to {\mathfrak C}^\bullet(\mathcal{U}, \mathcal{F})\) de Cohomologie, lemme 02FU. On a une égalité de complexes \(\check{\mathcal{C}}^\bullet(\mathcal{U}, f, \mathcal{F}) = f_*{\mathfrak C}^\bullet(\mathcal{U}, \mathcal{F})\) de \(\mathcal{O}_S\)-modules quasi-cohérents. Les morphismes \(j_{i_0 \ldots i_p} : U_{i_0 \ldots i_p} \to X\) et \(f_{i_0 \ldots i_p} : U_{i_0 \ldots i_p} \to S\) sont affines d’après Morphismes, lemme 01SG, et le lemme 0BDX. Par conséquent, \(R^qj_{i_0 \ldots i_p *}\mathcal{F}_{i_0 \ldots i_p}\) ainsi que \(R^qf_{i_0 \ldots i_p *}\mathcal{F}_{i_0 \ldots i_p}\) sont nuls pour \(q > 0\) (lemme 01XC). En utilisant \(f \circ j_{i_0 \ldots i_p} = f_{i_0 \ldots i_p}\) et la suite spectrale de Cohomologie, lemme 01F6, on en déduit que \(R^qf_*(j_{i_0 \ldots i_p *}\mathcal{F}_{i_0 \ldots i_p}) = 0\) pour \(q > 0\). Comme les termes du complexe \({\mathfrak C}^\bullet(\mathcal{U}, \mathcal{F})\) sont des sommes directes finies des faisceaux \(j_{i_0 \ldots i_p *}\mathcal{F}_{i_0 \ldots i_p}\), le lemme d’acyclicité de Leray (Catégories dérivées, lemme 015E) donne \[Rf_* \mathcal{F} = f_*{\mathfrak C}^\bullet(\mathcal{U}, \mathcal{F}) = \check{\mathcal{C}}^\bullet(\mathcal{U}, f, \mathcal{F})\] comme souhaité.

Considérons maintenant ce qui se passe après un changement de base.

Lemme

Avec les notations du diagramme (02KF), supposons que \(f : X \to S\) et \(\mathcal{F}\) vérifient les hypothèses du lemme 01XL. Choisissons un recouvrement ouvert affine fini \(\mathcal{U} : X = \bigcup U_i\) de \(X\). Il existe un isomorphisme canonique \[g^*\check{\mathcal{C}}^\bullet(\mathcal{U}, f, \mathcal{F}) \longrightarrow Rf'_*\mathcal{F}'\] dans \(D^{+}(S')\). De plus, si \(S' \to S\) est affine, on a en fait \[g^*\check{\mathcal{C}}^\bullet(\mathcal{U}, f, \mathcal{F}) = \check{\mathcal{C}}^\bullet(\mathcal{U}', f', \mathcal{F}')\] avec \(\mathcal{U}' : X' = \bigcup U_i'\), où \(U_i' = (g')^{-1}(U_i) = U_{i, S'}\) est également affine.

Démonstration

En fait, on peut définir \(U_i' = (g')^{-1}(U_i) = U_{i, S'}\), que \(S'\) soit ou non affine sur \(S\). Soit \(\mathcal{U}' : X' = \bigcup U_i'\) le recouvrement induit de \(X'\). Nous affirmons alors que \[g^*\check{\mathcal{C}}^\bullet(\mathcal{U}, f, \mathcal{F}) = \check{\mathcal{C}}^\bullet(\mathcal{U}', f', \mathcal{F}')\] où \(\check{\mathcal{C}}^\bullet(\mathcal{U}', f', \mathcal{F}')\) est défini exactement comme dans le lemme 01XL. Cela résulte du cas des morphismes affines (lemme 02KG) en raisonnant localement sur \(S'\). De plus, exactement comme dans la démonstration du lemme 01XL, on voit qu’il existe un isomorphisme \[\check{\mathcal{C}}^\bullet(\mathcal{U}', f', \mathcal{F}') \longrightarrow Rf'_*\mathcal{F}'\] dans \(D^{+}(S')\), car les morphismes \(U_i' \to X'\) et \(U_i' \to S'\) restent affines (ce sont des changements de base de morphismes affines). Nous omettons les détails.

Le lemme précédent affirme que le complexe \[\mathcal{K}^\bullet = \check{\mathcal{C}}^\bullet(\mathcal{U}, f, \mathcal{F})\] est un complexe borné inférieurement de faisceaux quasi-cohérents sur \(S\) qui calcule universellement les images directes supérieures de \(f : X \to S\). Il s’agit d’une propriété de ce complexe particulier, qui n’est pas préservée lorsqu’on remplace \(\check{\mathcal{C}}^\bullet(\mathcal{U}, f, \mathcal{F})\) par un complexe quasi-isomorphe en général ! Autrement dit, cet énoncé n’a pas de sens dans la catégorie dérivée. La raison en est que l’image inverse \(g^*\mathcal{K}^\bullet\) n’est pas égale, en général, à l’image inverse dérivée \(Lg^*\mathcal{K}^\bullet\) de \(\mathcal{K}^\bullet\) !

Voici un cas plus général où cet énoncé peut être démontré. Remarquons que l’hypothèse de séparation de \(S\) est inoffensive dans la plupart des applications, car le résultat sert habituellement à établir une propriété locale de l’image dérivée totale. La démonstration est nettement plus délicate et utilise les hyperrecouvrements ; c’est un bon exemple de leur emploi.

Lemme

Soit \(f : X \to S\) un morphisme de schémas. Soit \(\mathcal{F}\) un faisceau quasi-cohérent sur \(X\). Supposons que \(f\) soit quasi-compact et quasi-séparé, et que \(S\) soit quasi-compact et séparé. Il existe un complexe \(\mathcal{K}^\bullet\), borné inférieurement, de \(\mathcal{O}_S\)-modules quasi-cohérents, possédant la propriété suivante : pour tout morphisme \(g : S' \to S\), le complexe \(g^*\mathcal{K}^\bullet\) représente \(Rf'_*\mathcal{F}'\), avec les notations du diagramme (02KF).

Démonstration

(Si \(f\) est lui aussi séparé, voir le lemme 01XM.) Les hypothèses impliquent notamment que \(X\) est quasi-compact et quasi-séparé en tant que schéma. Soit \(\mathcal{B}\) l’ensemble des ouverts affines de \(X\). D’après Hyperrecouvrements, lemme 01H7, il existe un hyperrecouvrement \(K = (I, \{U_i\})\) tel que chaque \(I_n\) soit fini et chaque \(U_i\) un ouvert affine de \(X\). D’après Hyperrecouvrements, lemme 01GY, il existe une suite spectrale dont la page \(E_2\) est \[E_2^{p, q} = \check{H}^p(K, \underline{H}^q(\mathcal{F}))\] et qui converge vers \(H^{p + q}(X, \mathcal{F})\). Remarquons que \(\check{H}^p(K, \underline{H}^q(\mathcal{F}))\) est le \(p\)-ième groupe de cohomologie du complexe \[\prod\nolimits_{i \in I_0} H^q(U_i, \mathcal{F}) \to \prod\nolimits_{i \in I_1} H^q(U_i, \mathcal{F}) \to \prod\nolimits_{i \in I_2} H^q(U_i, \mathcal{F}) \to \ldots\] Chaque \(U_i\) étant affine, ce groupe est nul sauf si \(q = 0\), auquel cas on obtient \[\prod\nolimits_{i \in I_0} \mathcal{F}(U_i) \to \prod\nolimits_{i \in I_1} \mathcal{F}(U_i) \to \prod\nolimits_{i \in I_2} \mathcal{F}(U_i) \to \ldots\] On en conclut que \(R\Gamma(X, \mathcal{F})\) est calculé par ce complexe.

Pour tout \(n\) et tout \(i \in I_n\), notons \(f_i : U_i \to S\) la restriction de \(f\) à \(U_i\). Puisque \(S\) est séparé et \(U_i\) affine, ce morphisme est affine. Considérons le complexe de faisceaux quasi-cohérents \[\mathcal{K}^\bullet = ( \prod\nolimits_{i \in I_0} f_{i, *}\mathcal{F}|_{U_i} \to \prod\nolimits_{i \in I_1} f_{i, *}\mathcal{F}|_{U_i} \to \prod\nolimits_{i \in I_2} f_{i, *}\mathcal{F}|_{U_i} \to \ldots )\] sur \(S\). Comme dans Hyperrecouvrements, lemme 01GY, on obtient un morphisme \(\mathcal{K}^\bullet \to Rf_*\mathcal{F}\) dans \(D(\mathcal{O}_S)\) en choisissant une résolution injective de \(\mathcal{F}\) (nous omettons les détails). Considérons un schéma affine quelconque \(V\) et un morphisme \(g : V \to S\). Le changement de base \(X_V\) possède alors l’hyperrecouvrement \(K_V = (I, \{U_{i, V}\})\) obtenu par changement de base. De plus, \(g^*f_{i, *}\mathcal{F} = f_{i, V, *}(g')^*\mathcal{F}|_{U_{i, V}}\). Les arguments précédents montrent donc que \(\Gamma(V, g^*\mathcal{K}^\bullet)\) calcule \(R\Gamma(X_V, (g')^*\mathcal{F})\). Cela achève la démonstration du lemme, puisqu’il suffit d’établir l’égalité des complexes localement pour la topologie de Zariski sur \(S'\).

Le lemme suivant est une variante du changement de base plat.

Lemme

Considérons un diagramme cartésien de schémas \[\xymatrix{ X' \ar[d]_{f'} \ar[r]_{g'} & X \ar[d]^f \\ S' \ar[r]^g & S }\] Soit \(\mathcal{F}\) un \(\mathcal{O}_X\)-module quasi-cohérent. Soit \(\mathcal{G}\) un \(\mathcal{O}_{S'}\)-module quasi-cohérent et plat sur \(S\). Supposons que \(f\) soit quasi-compact et quasi-séparé. Pour tout \(i \geq 0\), il existe une identification \[\mathcal{G} \otimes_{\mathcal{O}_{S'}} g^*R^if_*\mathcal{F} = R^if'_*\left((f')^*\mathcal{G} \otimes_{\mathcal{O}_{X'}} (g')^*\mathcal{F}\right)\]

Démonstration

Construisons un morphisme du membre de gauche vers celui de droite. On dispose d’abord du morphisme de changement de base \(Lg^*Rf_*\mathcal{F} \to Rf'_*L(g')^*\mathcal{F}\). On dispose aussi du morphisme d’adjonction \(\mathcal{G} \to Rf'_*L(f')^*\mathcal{G}\). À l’aide du cup-produit relatif, on obtient \[\begin{align*} \mathcal{G} \otimes_{\mathcal{O}_{S'}}^\mathbf{L} Lg^*Rf_*\mathcal{F} & \to Rf'_*L(f')^*\mathcal{G} \otimes_{\mathcal{O}_{S'}}^\mathbf{L} Rf'_*L(g')^*\mathcal{F} \\ & \to Rf'_*\left(L(f')^*\mathcal{G} \otimes_{\mathcal{O}_{X'}}^\mathbf{L} L(g')^*\mathcal{F}\right) \\ & \to Rf'_*\left((f')^*\mathcal{G} \otimes_{\mathcal{O}_{X'}} (g')^*\mathcal{F}\right) \end{align*}\] où la flèche centrale est donnée par le cup-produit relatif ; voir Cohomologie, remarque 0B68. La source du composé est \[\mathcal{G} \otimes_{\mathcal{O}_{S'}}^\mathbf{L} Lg^*Rf_*\mathcal{F} = \mathcal{G} \otimes_{g^{-1}\mathcal{O}_S}^\mathbf{L} g^{-1}Rf_*\mathcal{F}\] d’après Cohomologie, lemme 08DE. Comme \(\mathcal{G}\) est plat en tant que faisceau de \(g^{-1}\mathcal{O}_S\)-modules et que \(g^{-1}\) est un foncteur exact, il s’agit d’un complexe dont le \(i\)-ième faisceau de cohomologie est \(\mathcal{G} \otimes_{g^{-1}\mathcal{O}_S} g^{-1}R^if_*\mathcal{F} = \mathcal{G} \otimes_{\mathcal{O}_{S'}} g^*R^if_*\mathcal{F}\). On obtient ainsi, globalement, les morphismes du membre de gauche vers celui de droite dans l’égalité du lemme. Pour montrer que ce morphisme est un isomorphisme, on peut raisonner localement sur \(S'\). Nous pouvons donc supposer, et supposons, que \(S\) et \(S'\) sont des schémas affines.

Démonstration dans le cas où \(S\) et \(S'\) sont affines. Écrivons \(S = \Spec(A)\) et \(S' = \Spec(B)\), et supposons que \(\mathcal{G}\) corresponde au \(B\)-module \(N\), supposé plat sur \(A\). Puisque \(S\) est affine, \(X\) est quasi-compact et quasi-séparé. Nous achevons la démonstration à l’aide d’un hyperrecouvrement ; si \(X\) est séparé ou à diagonale affine, on peut utiliser un recouvrement de Čech. Soit \(\mathcal{B}\) l’ensemble des ouverts affines de \(X\). D’après Hyperrecouvrements, lemme 01H7, il existe un hyperrecouvrement \(K = (I, \{U_i\})\) de \(X\) tel que chaque \(I_n\) soit fini et chaque \(U_i\) un ouvert affine de \(X\). D’après Hyperrecouvrements, lemme 01GY, il existe une suite spectrale dont la page \(E_2\) est \[E_2^{p, q} = \check{H}^p(K, \underline{H}^q(\mathcal{F}))\] et qui converge vers \(H^{p + q}(X, \mathcal{F})\). Comme chaque \(U_i\) est affine et que \(\mathcal{F}\) est quasi-cohérent, la valeur de \(\underline{H}^q(\mathcal{F})\) sur \(U_i\) est nulle pour \(q > 0\). La suite spectrale dégénère donc, et on en conclut que les modules de cohomologie \(H^q(X, \mathcal{F})\) sont calculés par \[\prod\nolimits_{i \in I_0} \mathcal{F}(U_i) \to \prod\nolimits_{i \in I_1} \mathcal{F}(U_i) \to \prod\nolimits_{i \in I_2} \mathcal{F}(U_i) \to \ldots\] Remarquons ensuite que le changement de base de notre hyperrecouvrement à \(S'\) est un hyperrecouvrement de \(X' = S' \times_S X\). Les schémas \(S' \times_S U_i\) sont eux aussi affines, et l’on a \[\left((f')^*\mathcal{G} \otimes_{\mathcal{O}_{S'}} (g')^*\mathcal{F}\right) (S' \times_S U_i) = N \otimes_A \mathcal{F}(U_i)\] On en conclut que les modules de cohomologie \(H^q(X', (f')^*\mathcal{G} \otimes_{\mathcal{O}_{S'}} (g')^*\mathcal{F})\) sont calculés par \[N \otimes_A \left( \prod\nolimits_{i \in I_0} \mathcal{F}(U_i) \to \prod\nolimits_{i \in I_1} \mathcal{F}(U_i) \to \prod\nolimits_{i \in I_2} \mathcal{F}(U_i) \to \ldots \right)\] Puisque \(N\) est plat sur \(A\), on en déduit que \[H^q(X', (f')^*\mathcal{G} \otimes_{\mathcal{O}_{S'}} (g')^*\mathcal{F}) = N \otimes_A H^q(X, \mathcal{F})\] Il s’agit précisément de la traduction algébrique de l’énoncé à démontrer, ce qui achève la démonstration.

Cohomologie de l’espace projectif

Dans cette section, nous calculons la cohomologie des faisceaux structuraux tordus sur \(\mathbf{P}^n_S\), où \(S\) est un schéma. Rappelons que \(\mathbf{P}^n_S\) a été défini comme le produit fibré \(\mathbf{P}^n_S = S \times_{\Spec(\mathbf{Z})} \mathbf{P}^n_{\mathbf{Z}}\) dans Constructions, définition 01NF. On a montré l’égalité \[\mathbf{P}^n_S = \underline{\text{Proj}}_S(\mathcal{O}_S[T_0, \ldots, T_n])\] dans Constructions, lemme 01OE. En particulier, l’espace projectif est un cas particulier de fibré projectif. Si \(S = \Spec(R)\) est affine, on a \[\mathbf{P}^n_S = \mathbf{P}^n_R = \text{Proj}(R[T_0, \ldots, T_n]).\] Toutes ces identifications sont compatibles entre elles ainsi qu’avec les constructions des faisceaux structuraux tordus \(\mathcal{O}_{\mathbf{P}^n_S}(d)\).

Avant d’énoncer le résultat, introduisons quelques notations. Soit \(R\) un anneau. Rappelons que \(R[T_0, \ldots, T_n]\) est une \(R\)-algèbre graduée dans laquelle chaque \(T_i\) est homogène de degré \(1\). Notons \((R[T_0, \ldots, T_n])_d\) la composante homogène de degré \(d\). C’est un \(R\)-module libre de type fini de rang \(\binom{n + d}{d}\) si \(d \geq 0\), et nul sinon. Il possède une base formée des monômes \(T_0^{e_0} \ldots T_n^{e_n}\) tels que \(\sum e_i = d\). Nous utiliserons aussi la notation suivante : \(R[\frac{1}{T_0}, \ldots, \frac{1}{T_n}]\) désigne l’anneau \(\mathbf{Z}\)-gradué dans lequel \(\frac{1}{T_i}\) est de degré \(-1\). En particulier, le module \(\mathbf{Z}\)-gradué sur \(R[\frac{1}{T_0}, \ldots, \frac{1}{T_n}]\) \[\frac{1}{T_0 \ldots T_n} R[\frac{1}{T_0}, \ldots, \frac{1}{T_n}]\] qui figure dans l’énoncé ci-dessous est nul en degrés \(\geq -n\), est libre de générateur \(\frac{1}{T_0 \ldots T_n}\) en degré \(-n - 1\), et est libre de rang \((-1)^n\binom{n + d}{d}\) pour \(d \leq -n - 1\).

Lemme

Soit \(R\) un anneau. Soit \(n \geq 0\) un entier. On a \[H^q(\mathbf{P}^n, \mathcal{O}_{\mathbf{P}^n_R}(d)) = \left\{ \begin{matrix} (R[T_0, \ldots, T_n])_d & \text{si} & q = 0,\ d \geq 0 \\ \left(\frac{1}{T_0 \ldots T_n} R[\frac{1}{T_0}, \ldots, \frac{1}{T_n}]\right)_d & \text{si} & q = n,\ d < 0 \\ 0 & \text{si} & q, n, d\text{ hors des cas ci-dessus} \end{matrix} \right.\] comme \(R\)-modules.

Démonstration

Utilisons le recouvrement ouvert affine standard \[\mathcal{U} : \mathbf{P}^n_R = \bigcup\nolimits_{i = 0}^n D_{+}(T_i)\] pour calculer la cohomologie au moyen du complexe de Čech. Le lemme 01XD le permet, puisque toute intersection d’un nombre fini d’ouverts affines \(D_{+}(T_i)\) est encore un ouvert affine standard (voir Constructions, section 01M3). On peut même utiliser le complexe de Čech alterné ou ordonné, d’après Cohomologie, lemmes 01FJ et 01FM.

Nous munissons \(\{0, \ldots, n\}\) de son ordre usuel. Le complexe considéré a donc pour termes \[\check{\mathcal{C}}_{ord}^p(\mathcal{U}, \mathcal{O}_{\mathbf{P}_R}(d)) = \bigoplus\nolimits_{i_0 < \ldots < i_p} (R[T_0, \ldots, T_n, \frac{1}{T_{i_0} \ldots T_{i_p}}])_d\] De plus, les différentielles sont données par la formule usuelle \[d(s)_{i_0 \ldots i_{p + 1}} = \sum\nolimits_{j = 0}^{p + 1} (-1)^j s_{i_0 \ldots \hat i_j \ldots i_{p + 1}}\] voir Cohomologie, section 01FG. Notons que chaque terme de ce complexe possède une \(\mathbf{Z}^{n + 1}\)-graduation naturelle : on déclare que le monôme \(T_0^{e_0} \ldots T_n^{e_n}\) est homogène de poids \((e_0, \ldots, e_n) \in \mathbf{Z}^{n + 1}\). Il est clair que la différentielle ci-dessus respecte cette graduation. On a donc \[\check{\mathcal{C}}_{ord}^\bullet(\mathcal{U}, \mathcal{O}_{\mathbf{P}_R}(d)) = \bigoplus\nolimits_{\vec{e} \in \mathbf{Z}^{n + 1}} \check{\mathcal{C}}^\bullet(\vec{e})\] où tous les facteurs directs de droite n’interviennent pas nécessairement (voir ci-dessous). Pour calculer les modules de cohomologie du complexe, il suffit donc de calculer la cohomologie de ses composantes homogènes, puis d’en prendre la somme directe.

Fixons \(\vec{e} = (e_0, \ldots, e_n) \in \mathbf{Z}^{n + 1}\). Pour que ce poids intervienne dans le complexe ci-dessus, il faut supposer \(e_0 + \ldots + e_n = d\) (sinon, il intervient bien entendu pour un autre tordu du faisceau structural). Sous cette hypothèse, posons \[NEG(\vec{e}) = \{i \in \{0, \ldots, n\} \mid e_i < 0\}.\] Avec cette notation, le facteur direct de poids \(\vec{e}\) \(\check{\mathcal{C}}^\bullet(\vec{e})\) du complexe de Čech ci-dessus a pour termes \[\check{\mathcal{C}}^p(\vec{e}) = \bigoplus\nolimits_{i_0 < \ldots < i_p, \ NEG(\vec{e}) \subset \{i_0, \ldots, i_p\}} R \cdot T_0^{e_0} \ldots T_n^{e_n}\] Autrement dit, les termes correspondant aux \(i_0 < \ldots < i_p\) tels que \(NEG(\vec{e})\) ne soit pas contenu dans \(\{i_0 \ldots i_p\}\) sont nuls. La différentielle du complexe \(\check{\mathcal{C}}^\bullet(\vec{e})\) est encore donnée par la même formule que ci-dessus.

Supposons que \(NEG(\vec{e}) = \{0, \ldots, n\}\), c’est-à-dire que tous les exposants \(e_i\) soient négatifs. Dans ce cas, le complexe \(\check{\mathcal{C}}^\bullet(\vec{e})\) ne possède qu’un terme, à savoir \(\check{\mathcal{C}}^n(\vec{e}) = R \cdot \frac{1}{T_0^{-e_0} \ldots T_n^{-e_n}}\). On a donc, dans ce cas, \[H^q(\check{\mathcal{C}}^\bullet(\vec{e})) = \left\{ \begin{matrix} R \cdot \frac{1}{T_0^{-e_0} \ldots T_n^{-e_n}} & \text{si} & q = n \\ 0 & \text{si} & \text{sinon} \end{matrix} \right.\] La somme directe de tous ces termes donne manifestement \[\left(\frac{1}{T_0 \ldots T_n} R[\frac{1}{T_0}, \ldots, \frac{1}{T_n}]\right)_d\] en degré \(n\), comme l’indique le lemme. De plus, ces termes ne contribuent pas à la cohomologie en d’autres degrés (conformément, là encore, à l’énoncé du lemme).

Supposons \(NEG(\vec{e}) = \emptyset\). Dans ce cas, le complexe \(\check{\mathcal{C}}^\bullet(\vec{e})\) possède un facteur direct \(R\) correspondant à chaque \(i_0 < \ldots < i_p\). Comparons le complexe \(\check{\mathcal{C}}^\bullet(\vec{e})\) à un autre complexe. Considérons le recouvrement ouvert affine \[\mathcal{V} : \Spec(R) = \bigcup\nolimits_{i \in \{0, \ldots, n\}} V_i\] où \(V_i = \Spec(R)\) pour tout \(i\). Considérons le complexe de Čech alterné \[\check{\mathcal{C}}_{ord}^\bullet(\mathcal{V}, \mathcal{O}_{\Spec(R)})\] Le même raisonnement que ci-dessus montre qu’il calcule la cohomologie du faisceau structural sur \(\Spec(R)\). Ainsi, \(H^p( \check{\mathcal{C}}_{ord}^\bullet(\mathcal{V}, \mathcal{O}_{\Spec(R)}) ) = R\) si \(p = 0\), et vaut \(0\) lorsque \(p > 0\). Pour ces faits, voir le lemme 01X9 et sa démonstration. Notons que \(\check{\mathcal{C}}_{ord}^\bullet(\mathcal{V}, \mathcal{O}_{\Spec(R)})\) possède lui aussi un facteur direct \(R\) pour chaque \(i_0 < \ldots < i_p\), et a exactement la même différentielle que \(\check{\mathcal{C}}^\bullet(\vec{e})\). Autrement dit, ces complexes sont isomorphes et ont donc la même cohomologie. On en déduit que \[H^q(\check{\mathcal{C}}^\bullet(\vec{e})) = \left\{ \begin{matrix} R \cdot T_0^{e_0} \ldots T_n^{e_n} & \text{si} & q = 0 \\ 0 & \text{si} & \text{sinon} \end{matrix} \right.\] lorsque \(NEG(\vec{e}) = \emptyset\). La somme directe de tous ces termes donne manifestement \[(R[T_0, \ldots, T_n])_d\] en degré \(0\), comme l’indique le lemme. De plus, ces termes ne contribuent pas à la cohomologie en d’autres degrés (conformément, là encore, à l’énoncé du lemme).

Pour achever la démonstration du lemme, il reste à montrer que les complexes \(\check{\mathcal{C}}^\bullet(\vec{e})\) sont acycliques lorsque \(NEG(\vec{e})\) n’est ni vide ni égal à \(\{0, \ldots, n\}\). Choisissons un indice \(i_{\text{fix}} \not \in NEG(\vec{e})\) (il en existe un). Considérons le morphisme \[h : \check{\mathcal{C}}^{p + 1}(\vec{e}) \to \check{\mathcal{C}}^p(\vec{e})\] défini, pour \(i_0 < \ldots < i_p\), par \[h(s)_{i_0 \ldots i_p} = \left\{ \begin{matrix} 0 & \text{si} & p \not \in \{0, \ldots, n - 1\} \\ 0 & \text{si} & i_{\text{fix}} \in \{i_0, \ldots, i_p\} \\ s_{i_{\text{fix}} i_0 \ldots i_p} & \text{si} & i_{\text{fix}} < i_0 \\ (-1)^a s_{i_0 \ldots i_{a - 1} i_{\text{fix}} i_a \ldots i_p} & \text{si} & i_{a - 1} < i_{\text{fix}} < i_a \\ (-1)^{p + 1} s_{i_0 \ldots i_p i_{\text{fix}}} & \text{si} & i_p < i_{\text{fix}} \end{matrix} \right.\] On comparera avec la démonstration du lemme 01X9. Cette définition a un sens car \[NEG(\vec{e}) \subset \{i_0, \ldots, i_p\} \Leftrightarrow NEG(\vec{e}) \subset \{i_{\text{fix}}, i_0, \ldots, i_p\}\] Le même calcul combinatoire¹ que dans la démonstration du lemme 01X9 montre que \[(hd + dh)(s)_{i_0 \ldots i_p} = s_{i_0 \ldots i_p}\] On voit donc que le morphisme identité du complexe \(\check{\mathcal{C}}^\bullet(\vec{e})\) est homotope à zéro, ce qui entraîne son acyclicité.

Dans le lemme suivant, nous utiliserons l’accouplement de \(R\)-modules libres \[R[T_0, \ldots, T_n] \times \frac{1}{T_0 \ldots T_n} R[\frac{1}{T_0}, \ldots, \frac{1}{T_n}] \longrightarrow R\] défini par la règle \[(f, g) \longmapsto \text{coefficient de } \frac{1}{T_0 \ldots T_n} \text{ dans }fg.\] Autrement dit, l’accouplement de l’élément de base \(T_0^{e_0} \ldots T_n^{e_n}\) avec l’élément de base \(T_0^{d_0} \ldots T_n^{d_n}\) vaut \(1\) si et seulement si \(e_i + d_i = -1\) pour tout \(i\), et vaut zéro dans tous les autres cas. Cet accouplement donne une identification \[\left(\frac{1}{T_0 \ldots T_n} R[\frac{1}{T_0}, \ldots, \frac{1}{T_n}]\right)_d = \Hom_R((R[T_0, \ldots, T_n])_{-n - 1 - d}, R)\] On peut donc reformuler le résultat du lemme 01XT sous la forme [01XU]\[\begin{equation} H^q(\mathbf{P}^n, \mathcal{O}_{\mathbf{P}^n_R}(d)) = \left\{ \begin{matrix} (R[T_0, \ldots, T_n])_d & \text{si} & q = 0 \\ 0 & \text{si} & q \not = 0, n \\ \Hom_R((R[T_0, \ldots, T_n])_{-n - 1 - d}, R) & \text{si} & q = n \end{matrix} \right. \end{equation}\]

Lemme

Les identifications de l’Équation (01XU) sont compatibles au changement de base par les homomorphismes d’anneaux \(R \to R'\). De plus, pour tout \(f \in R[T_0, \ldots, T_n]\) homogène de degré \(m\), le morphisme de multiplication par \(f\) \[\mathcal{O}_{\mathbf{P}^n_R}(d) \longrightarrow \mathcal{O}_{\mathbf{P}^n_R}(d + m)\] induit, via les identifications de l’Équation (01XU), le morphisme sur la cohomologie donné par la multiplication par \(f\) sur \(H^0\) et par la transposée de la multiplication par \(f\) \[(R[T_0, \ldots, T_n])_{-n - 1 - (d + m)} \longrightarrow (R[T_0, \ldots, T_n])_{-n - 1 - d}\] sur \(H^n\).

Démonstration

Soit \(R \to R'\) un homomorphisme d’anneaux. Soit \(\mathcal{U}\) le recouvrement ouvert affine standard de \(\mathbf{P}^n_R\), et soit \(\mathcal{U}'\) le recouvrement ouvert affine standard de \(\mathbf{P}^n_{R'}\). Notons que \(\mathcal{U}'\) est l’image inverse du recouvrement \(\mathcal{U}\) par le morphisme canonique \(\mathbf{P}^n_{R'} \to \mathbf{P}^n_R\). Il existe donc un morphisme de complexes de Čech \[\gamma : \check{\mathcal{C}}_{ord}^\bullet(\mathcal{U}, \mathcal{O}_{\mathbf{P}_R}(d)) \longrightarrow \check{\mathcal{C}}_{ord}^\bullet(\mathcal{U}', \mathcal{O}_{\mathbf{P}_{R'}}(d))\] compatible avec le morphisme induit sur la cohomologie, d’après Cohomologie, lemme 01FD. Les calculs de la démonstration du lemme 01XT montrent que ce morphisme de complexes de Čech est compatible avec les identifications des groupes de cohomologie en question. (En effet, les éléments de base du complexe de Čech sur \(R\) sont simplement envoyés sur les éléments de base correspondants du complexe de Čech sur \(R'\).) D’où la première assertion du lemme.

Fixons maintenant l’anneau \(R\) et considérons deux polynômes homogènes \(f, g \in R[T_0, \ldots, T_n]\) de même degré \(m\). La cohomologie étant un foncteur additif, il est clair que le morphisme induit par la multiplication par \(f + g\) est la somme des morphismes induits par la multiplication par \(f\) et par \(g\). De plus, la cohomologie étant un foncteur, un résultat analogue vaut pour la multiplication par un produit \(fg\), où \(f, g\) sont homogènes (mais pas nécessairement de même degré). Pour vérifier la deuxième assertion du lemme, il suffit donc de la prouver lorsque \(f = x \in R\) ou lorsque \(f = T_i\). Dans le cas de la multiplication par un élément \(x \in R\), le résultat découle du fait que tous les groupes ou complexes de cohomologie considérés possèdent une structure de \(R\)-module ou de complexe de \(R\)-modules. Enfin, considérons la multiplication par \(T_i\) comme morphisme \(\mathcal{O}_{\mathbf{P}^n_R}\)-linéaire \[\mathcal{O}_{\mathbf{P}^n_R}(d) \longrightarrow \mathcal{O}_{\mathbf{P}^n_R}(d + 1)\] L’assertion concernant \(H^0\) est claire. Pour celle concernant \(H^n\), considérons la multiplication par \(T_i\) comme morphisme de complexes de Čech \[\check{\mathcal{C}}_{ord}^\bullet(\mathcal{U}, \mathcal{O}_{\mathbf{P}_R}(d)) \longrightarrow \check{\mathcal{C}}_{ord}^\bullet(\mathcal{U}, \mathcal{O}_{\mathbf{P}_R}(d + 1))\] Utilisons les notations introduites dans la démonstration du lemme 01XT. Considérons l’effet de la multiplication par \(T_i\) sur les décompositions \[\check{\mathcal{C}}_{ord}^\bullet(\mathcal{U}, \mathcal{O}_{\mathbf{P}_R}(d)) = \bigoplus\nolimits_{\vec{e} \in \mathbf{Z}^{n + 1}, \ \sum e_i = d} \check{\mathcal{C}}^\bullet(\vec{e})\] et \[\check{\mathcal{C}}_{ord}^\bullet(\mathcal{U}, \mathcal{O}_{\mathbf{P}_R}(d + 1)) = \bigoplus\nolimits_{\vec{e} \in \mathbf{Z}^{n + 1}, \ \sum e_i = d + 1} \check{\mathcal{C}}^\bullet(\vec{e})\] Il est clair qu’elle envoie le sous-complexe \(\check{\mathcal{C}}^\bullet(\vec{e})\) dans le sous-complexe \(\check{\mathcal{C}}^\bullet(\vec{e} + \vec{b}_i)\), où \(\vec{b}_i = (0, \ldots, 0, 1, 0, \ldots, 0))\) est le \(i\)-ième vecteur de base. Autrement dit, elle envoie le facteur direct de \(H^n\) correspondant à \(\vec{e}\), avec \(e_i < 0\) et \(\sum e_i = d\), dans le facteur direct de \(H^n\) correspondant à \(\vec{e} + \vec{b}_i\) (qui est nul si \(e_i + b_i \geq 0\)). On voit aisément que cela correspond exactement à l’action de la transposée de la multiplication par \(T_i\), considérée comme morphisme \[(R[T_0, \ldots, T_n])_{-n - 1 - (d + 1)} \longrightarrow (R[T_0, \ldots, T_n])_{-n - 1 - d}\] Cela prouve le lemme.

Avant d’énoncer la version relative, introduisons quelques notations. Rappelons que \(\mathcal{O}_S[T_0, \ldots, T_n]\) est un \(\mathcal{O}_S\)-module gradué dans lequel chaque \(T_i\) est homogène de degré \(1\). Notons \((\mathcal{O}_S[T_0, \ldots, T_n])_d\) la composante homogène de degré \(d\). C’est un faisceau localement libre de type fini de rang \(\binom{n + d}{d}\) sur \(S\).

Lemme

Soit \(S\) un schéma. Soit \(n \geq 0\) un entier. Considérons le morphisme structural \[f : \mathbf{P}^n_S \longrightarrow S.\] On a \[R^qf_*(\mathcal{O}_{\mathbf{P}^n_S}(d)) = \left\{ \begin{matrix} (\mathcal{O}_S[T_0, \ldots, T_n])_d & \text{si} & q = 0 \\ 0 & \text{si} & q \not = 0, n \\ \SheafHom_{\mathcal{O}_S}( (\mathcal{O}_S[T_0, \ldots, T_n])_{- n - 1 - d}, \mathcal{O}_S) & \text{si} & q = n \end{matrix} \right.\]

Démonstration

Démonstration omise. Indication : cela résulte de la compatibilité des identifications (01XU) au changement de base affine, donnée par le lemme 01XV.

Énonçons maintenant la version pour les fibrés projectifs associés aux faisceaux localement libres de type fini. Soit \(S\) un schéma. Soit \(\mathcal{E}\) un \(\mathcal{O}_S\)-module localement libre de type fini de rang constant \(n + 1\), voir Modules, section 01C5. On considère alors \(\text{Sym}(\mathcal{E})\) comme un \(\mathcal{O}_S\)-module gradué dont \(\mathcal{E}\) est la composante homogène de degré \(1\). Et \(\text{Sym}^d(\mathcal{E})\) est la composante homogène de degré \(d\). C’est un faisceau localement libre de type fini de rang \(\binom{n + d}{d}\) sur \(S\). Rappelons notre convention : \[\pi : \mathbf{P}(\mathcal{E}) = \underline{\text{Proj}}_S(\text{Sym}(\mathcal{E})) \longrightarrow S\] et l’existence de morphismes naturels \(\text{Sym}^d(\mathcal{E}) \to \pi_*\mathcal{O}_{\mathbf{P}(\mathcal{E})}(d)\).

Lemme

Soit \(S\) un schéma. Soit \(n \geq 1\). Soit \(\mathcal{E}\) un \(\mathcal{O}_S\)-module localement libre de type fini de rang constant \(n + 1\). Considérons le morphisme structural \[\pi : \mathbf{P}(\mathcal{E}) \longrightarrow S.\] On a \[R^q\pi_*(\mathcal{O}_{\mathbf{P}(\mathcal{E})}(d)) = \left\{ \begin{matrix} \text{Sym}^d(\mathcal{E}) & \text{si} & q = 0 \\ 0 & \text{si} & q \not = 0, n \\ \SheafHom_{\mathcal{O}_S}( \text{Sym}^{- n - 1 - d}(\mathcal{E}) \otimes_{\mathcal{O}_S} \wedge^{n + 1}\mathcal{E}, \mathcal{O}_S) & \text{si} & q = n \end{matrix} \right.\] Ces identifications sont compatibles au changement de base et aux isomorphismes de faisceaux localement libres.

Démonstration

Considérons le morphisme canonique \[\pi^*\mathcal{E} \longrightarrow \mathcal{O}_{\mathbf{P}(\mathcal{E})}(1)\] et prenons son tordu de degré opposé à \(1\) pour obtenir \[\pi^*(\mathcal{E})(-1) \longrightarrow \mathcal{O}_{\mathbf{P}(\mathcal{E})}\] C’est un morphisme surjectif d’un faisceau localement libre de rang \(n + 1\) sur le faisceau structural. Le complexe de Koszul correspondant est donc exact (Compléments d’algèbre, Lemme 0626). Autrement dit, on dispose d’un complexe exact \[0 \to \pi^*(\wedge^{n + 1}\mathcal{E})(-n - 1) \to \ldots \to \pi^*(\wedge^i\mathcal{E})(-i) \to \ldots \to \pi^*\mathcal{E}(-1) \to \mathcal{O}_{\mathbf{P}(\mathcal{E})} \to 0\] Nous plaçons le terme \(\pi^*(\wedge^i\mathcal{E})(-i)\) en degré \(-i\). Calculons les images directes supérieures de ce complexe acyclique à l’aide de la première suite spectrale de Catégories dérivées, lemme 015J. On dispose ainsi d’une suite spectrale de termes \[E_1^{p, q} = R^q\pi_*\left(\pi^*(\wedge^{-p}\mathcal{E})(p)\right)\] convergeant vers zéro ! La formule de projection (Cohomologie, lemme 01E8) donne \[E_1^{p, q} = \wedge^{-p} \mathcal{E} \otimes_{\mathcal{O}_S} R^q\pi_*\left(\mathcal{O}_{\mathbf{P}(\mathcal{E})}(p)\right).\] Notons que, localement sur \(S\), le faisceau \(\mathcal{E}\) est trivial, c’est-à-dire isomorphe à \(\mathcal{O}_S^{\oplus n + 1}\); localement sur \(S\), le morphisme \(\mathbf{P}(\mathcal{E}) \to S\) s’identifie donc à \(\mathbf{P}^n_S \to S\). Ainsi, localement sur \(S\), on peut utiliser les résultats des Lemmes 01XT, 01XV ou 01XW. Il en résulte que \(E_1^{p, q} = 0\), sauf si \((p, q)\) vaut \((0, 0)\) ou \((-n - 1, n)\). Les termes non nuls sont \[\begin{align*} E_1^{0, 0} & = \pi_*\mathcal{O}_{\mathbf{P}(\mathcal{E})} = \mathcal{O}_S \\ E_1^{-n - 1, n} & = R^n\pi_*\left(\pi^*(\wedge^{n + 1}\mathcal{E})(-n - 1)\right) = \wedge^{n + 1}\mathcal{E} \otimes_{\mathcal{O}_S} R^n\pi_*\left(\mathcal{O}_{\mathbf{P}(\mathcal{E})}(-n - 1)\right) \end{align*}\] Il ne peut donc y avoir qu’une seule différentielle non nulle dans la suite spectrale, à savoir le morphisme \(d_{n + 1}^{-n - 1, n} : E_{n + 1}^{-n - 1, n} \to E_{n + 1}^{0, 0}\), qui est nécessairement un isomorphisme (puisque la suite spectrale converge vers le faisceau \(0\)). Ainsi \(E_1^{p, q} = E_{n + 1}^{p, q}\), et l’on obtient un isomorphisme canonique \[\wedge^{n + 1}\mathcal{E} \otimes_{\mathcal{O}_S} R^n\pi_*\left(\mathcal{O}_{\mathbf{P}(\mathcal{E})}(-n - 1)\right) = R^n\pi_*\left(\pi^*(\wedge^{n + 1}\mathcal{E})(-n - 1)\right) \xrightarrow{d_{n + 1}^{-n - 1, n}} \mathcal{O}_S\] Puisque \(\wedge^{n + 1}\mathcal{E}\) est un faisceau inversible, il en résulte que \(R^n\pi_*\mathcal{O}_{\mathbf{P}(\mathcal{E})}(-n - 1)\) est lui aussi inversible et canoniquement isomorphe à l’inverse de \(\wedge^{n + 1}\mathcal{E}\). Nous avons donc prouvé le cas \(d = - n - 1\) du lemme.

En travaillant localement sur \(S\), on déduit immédiatement des calculs de cohomologie des lemmes 01XT, 01XV ou 01XW les assertions d’annulation du lemme. De plus, le résultat concernant \(R^0\pi_*\) est lui aussi clair, puisqu’il existe des morphismes canoniques \(\text{Sym}^d(\mathcal{E}) \to \pi_* \mathcal{O}_{\mathbf{P}(\mathcal{E})}(d)\) pour tout \(d\). Il reste à vérifier la description de \(R^n\pi_*\mathcal{O}_{\mathbf{P}(\mathcal{E})}(d)\) lorsque \(d < -n - 1\). Pour cela, considérons le morphisme \[\pi^*(\text{Sym}^{-d - n - 1}(\mathcal{E})) \otimes_{\mathcal{O}_{\mathbf{P}(\mathcal{E})}} \mathcal{O}_{\mathbf{P}(\mathcal{E})}(d) \longrightarrow \mathcal{O}_{\mathbf{P}(\mathcal{E})}(-n - 1)\] En appliquant \(R^n\pi_*\) et la formule de projection (voir ci-dessus), on obtient un morphisme \[\text{Sym}^{-d - n - 1}(\mathcal{E}) \otimes_{\mathcal{O}_S} R^n\pi_*(\mathcal{O}_{\mathbf{P}(\mathcal{E})}(d)) \longrightarrow R^n\pi_*\mathcal{O}_{\mathbf{P}(\mathcal{E})}(-n - 1) = (\wedge^{n + 1}\mathcal{E})^{\otimes -1}\] (la dernière égalité a été établie ci-dessus). Les calculs locaux des Lemmes 01XT, 01XV ou 01XW montrent à nouveau que ce morphisme induit un accouplement parfait entre \(R^n\pi_*(\mathcal{O}_{\mathbf{P}(\mathcal{E})}(d))\) et \(\text{Sym}^{-d - n - 1}(\mathcal{E}) \otimes \wedge^{n + 1}(\mathcal{E})\), comme voulu.

Faisceaux cohérents sur les schémas localement noethériens

Nous avons défini la notion de module cohérent sur un espace annelé quelconque dans Modules, section 01BU. Bien que l’on puisse considérer des faisceaux cohérents sur des schémas non noethériens, nous supposerons toujours le schéma de base localement noethérien lorsque nous étudierons des faisceaux cohérents. Voici une caractérisation de ces faisceaux sur les schémas localement noethériens.

Lemme

Soit \(X\) un schéma localement noethérien. Soit \(\mathcal{F}\) un \(\mathcal{O}_X\)-module. Les conditions suivantes sont équivalentes :

1. \(\mathcal{F}\) est cohérent,

2. \(\mathcal{F}\) est un \(\mathcal{O}_X\)-module quasi-cohérent de type fini,

3. \(\mathcal{F}\) est un \(\mathcal{O}_X\)-module de présentation finie,

4. pour tout ouvert affine \(\Spec(A) = U \subset X\), on a \(\mathcal{F}|_U = \widetilde M\), où \(M\) est un \(A\)-module de type fini, et

5. il existe un recouvrement ouvert affine \(X = \bigcup U_i\), \(U_i = \Spec(A_i)\), tel que, pour chaque indice, \(\mathcal{F}|_{U_i} = \widetilde M_i\), où \(M_i\) est un \(A_i\)-module de type fini.

En particulier, \(\mathcal{O}_X\) est cohérent, tout \(\mathcal{O}_X\)-module inversible est cohérent et, plus généralement, tout \(\mathcal{O}_X\)-module localement libre de type fini est cohérent.

Démonstration

Les implications (1) \(\Rightarrow\) (2) et (1) \(\Rightarrow\) (3) sont vraies en général, voir Modules, lemme 01BW. Si \(\mathcal{F}\) est de présentation finie, alors \(\mathcal{F}\) est quasi-cohérent, voir Modules, lemme 01BO. On a donc aussi (3) \(\Rightarrow\) (2).

Supposons que \(\mathcal{F}\) soit un \(\mathcal{O}_X\)-module quasi-cohérent de type fini. D’après Propriétés, lemme 01PB, sur tout ouvert affine \(\Spec(A) = U \subset X\), on a \(\mathcal{F}|_U = \widetilde M\), où \(M\) est un \(A\)-module de type fini. Puisque \(A\) est noethérien, \(M\) admet une présentation finie \[A^{\oplus m} \to A^{\oplus n} \to M \to 0.\] Ainsi \(\mathcal{F}\) est de présentation finie d’après Propriétés, lemme 01PC. Autrement dit, (2) \(\Rightarrow\) (3).

D’après Modules, lemme 01BZ, il suffit de montrer que \(\mathcal{O}_X\) est cohérent pour prouver que (3) implique (1). Il faut donc montrer que, pour tout ouvert \(U \subset X\) et toute famille finie de sections \(f_i \in \mathcal{O}_X(U)\), \(i = 1, \ldots, n\), le noyau du morphisme \(\bigoplus_{i = 1, \ldots, n} \mathcal{O}_U \to \mathcal{O}_U\) est de type fini. Cette propriété étant locale, il suffit de la vérifier au voisinage de tout \(x \in U\). On peut donc supposer \(U = \Spec(A)\) affine. Dans ce cas, \(f_1, \ldots, f_n \in A\) sont des éléments de \(A\). Puisque \(A\) est noethérien, voir Propriétés, lemme 01OW, le noyau \(K\) du morphisme \(\bigoplus_{i = 1, \ldots, n} A \to A\) est un \(A\)-module de type fini. Voir par exemple Algèbre, lemme 00IK. Le foncteur \(\widetilde{ }\) étant exact, voir Schémas, lemme 01HV, on obtient une suite exacte \[\widetilde K \to \bigoplus\nolimits_{i = 1, \ldots, n} \mathcal{O}_U \to \mathcal{O}_U\] et, en appliquant à nouveau Propriétés, lemme 01PB, on voit que \(\widetilde K\) est de type fini. On en déduit l’équivalence de (1), (2) et (3).

Il résulte de Propriétés, lemme 01PB, que (2) implique (4). Il est immédiat que (4) implique (5). La discussion de Schémas, section 01LA, montre que (5) implique la quasi-cohérence de \(\mathcal{F}\), et il est clair que (5) implique que \(\mathcal{F}\) soit de type fini. Ainsi (5) implique (2), ce qui conclut.

Lemme

Soit \(X\) un schéma localement noethérien. La catégorie des \(\mathcal{O}_X\)-modules cohérents est abélienne. Plus précisément, le noyau et le conoyau d’un morphisme de \(\mathcal{O}_X\)-modules cohérents sont cohérents. Toute extension de faisceaux cohérents est cohérente.

Démonstration

C’est une reformulation de Modules, lemme 01BY, dans un cas particulier.

Le lemme suivant n’est pas toujours vrai pour la catégorie des \(\mathcal{O}_X\)-modules cohérents sur un espace annelé quelconque \(X\).

Lemme

Soit \(X\) un schéma localement noethérien. Soit \(\mathcal{F}\) un \(\mathcal{O}_X\)-module cohérent. Tout sous-module quasi-cohérent de \(\mathcal{F}\) est cohérent. Tout module quotient quasi-cohérent de \(\mathcal{F}\) est cohérent.

Démonstration

On peut supposer \(X\) affine, disons \(X = \Spec(A)\). Propriétés, lemme 01OW, implique que \(A\) est noethérien. Le lemme 01XZ ramène alors l’énoncé à l’algèbre. Le fait algébrique correspondant est qu’un quotient ou un sous-module d’un \(A\)-module de type fini est un \(A\)-module de type fini, voir par exemple Algèbre, lemme 00IK.

Lemme

Soit \(X\) un schéma localement noethérien. Soient \(\mathcal{F}\), \(\mathcal{G}\) des \(\mathcal{O}_X\)-modules cohérents. Les \(\mathcal{O}_X\)-modules \(\mathcal{F} \otimes_{\mathcal{O}_X} \mathcal{G}\) et \(\SheafHom_{\mathcal{O}_X}(\mathcal{F}, \mathcal{G})\) sont cohérents.

Démonstration

On montre dans Modules, lemme 01CQ, que \(\SheafHom_{\mathcal{O}_X}(\mathcal{F}, \mathcal{G})\) est cohérent. Le résultat pour les produits tensoriels est donné par Modules, lemme 01CE.

Lemme

Soit \(X\) un schéma localement noethérien. Soient \(\mathcal{F}\), \(\mathcal{G}\) des \(\mathcal{O}_X\)-modules cohérents. Soit \(\varphi : \mathcal{G} \to \mathcal{F}\) un homomorphisme de \(\mathcal{O}_X\)-modules. Soit \(x \in X\).

1. Si \(\mathcal{F}_x = 0\), il existe un voisinage ouvert \(U \subset X\) de \(x\) tel que \(\mathcal{F}|_U = 0\).

2. Si \(\varphi_x : \mathcal{G}_x \to \mathcal{F}_x\) est injectif, il existe un voisinage ouvert \(U \subset X\) de \(x\) tel que \(\varphi|_U\) soit injectif.

3. Si \(\varphi_x : \mathcal{G}_x \to \mathcal{F}_x\) est surjectif, il existe un voisinage ouvert \(U \subset X\) de \(x\) tel que \(\varphi|_U\) soit surjectif.

4. Si \(\varphi_x : \mathcal{G}_x \to \mathcal{F}_x\) est bijectif, il existe un voisinage ouvert \(U \subset X\) de \(x\) tel que \(\varphi|_U\) soit un isomorphisme.

Démonstration

Voir Modules, Lemmes 01B8, 01B9 et 01C0.

Lemme

Soit \(X\) un schéma localement noethérien. Soient \(\mathcal{F}\), \(\mathcal{G}\) des \(\mathcal{O}_X\)-modules cohérents. Soit \(x \in X\). Supposons que \(\psi : \mathcal{G}_x \to \mathcal{F}_x\) soit un morphisme de \(\mathcal{O}_{X, x}\)-modules. Il existe alors un voisinage ouvert \(U \subset X\) de \(x\) et un morphisme \(\varphi : \mathcal{G}|_U \to \mathcal{F}|_U\) tels que \(\varphi_x = \psi\).

Démonstration

Compte tenu du lemme 01XZ, c’est une reformulation de Modules, lemme 01CP.

Lemme

Soit \(X\) un schéma localement noethérien. Soit \(\mathcal{F}\) un \(\mathcal{O}_X\)-module cohérent. Alors \(\text{Supp}(\mathcal{F})\) est fermé, et \(\mathcal{F}\) provient d’un faisceau cohérent sur le support schématique de \(\mathcal{F}\), voir Morphismes, définition 05JV.

Démonstration

Soit \(i : Z \to X\) le support schématique de \(\mathcal{F}\), et soit \(\mathcal{G}\) le faisceau quasi-cohérent de type fini sur \(Z\) tel que \(i_*\mathcal{G} \cong \mathcal{F}\). Puisque \(Z = \text{Supp}(\mathcal{F})\), le support est fermé. Le schéma \(Z\) est localement noethérien d’après Morphismes, lemmes 01T5 et 01T6. Enfin, \(\mathcal{G}\) est un \(\mathcal{O}_Z\)-module cohérent d’après le lemme 01XZ.

Lemme

Soit \(i : Z \to X\) une immersion fermée de schémas localement noethériens. Soit \(\mathcal{I} \subset \mathcal{O}_X\) le faisceau quasi-cohérent d’idéaux définissant \(Z\). Le foncteur \(i_*\) induit une équivalence entre la catégorie des \(\mathcal{O}_X\)-modules cohérents annulés par \(\mathcal{I}\) et la catégorie des \(\mathcal{O}_Z\)-modules cohérents.

Démonstration

Le foncteur est pleinement fidèle d’après Morphismes, lemme 01QY. Soit \(\mathcal{F}\) un \(\mathcal{O}_X\)-module cohérent annulé par \(\mathcal{I}\). D’après Morphismes, lemme 01QY, on peut écrire \(\mathcal{F} = i_*\mathcal{G}\), où \(\mathcal{G}\) est un faisceau quasi-cohérent sur \(Z\). D’après Modules, lemme 01C4, le faisceau \(\mathcal{G}\) est de type fini. Ainsi \(\mathcal{G}\) est cohérent d’après le lemme 01XZ. Le foncteur est donc aussi essentiellement surjectif, comme voulu.

Lemme

Soit \(f : X \to Y\) un morphisme de schémas. Soit \(\mathcal{F}\) un \(\mathcal{O}_X\)-module quasi-cohérent. Supposons \(f\) fini et \(Y\) localement noethérien. Alors \(R^pf_*\mathcal{F} = 0\) pour \(p > 0\), et \(f_*\mathcal{F}\) est cohérent si \(\mathcal{F}\) est cohérent.

Démonstration

Les images directes supérieures sont nulles d’après le lemme 01XC, et parce qu’un morphisme fini est affine (par définition). Notons que les hypothèses impliquent que \(X\) est lui aussi localement noethérien (voir Morphismes, lemme 01T6), de sorte que l’énoncé a un sens. Soit \(\Spec(A) = V \subset Y\) un ouvert affine. D’après Morphismes, définition 01WH, on a \(f^{-1}(V) = \Spec(B)\), avec \(A \to B\) fini. Le lemme 01XZ ramène l’énoncé au fait algébrique suivant : si \(M\) est un \(B\)-module de type fini, alors \(M\) est aussi de type fini comme \(A\)-module, voir Algèbre, lemme 00GJ.

Dans la situation du lemme, les images directes supérieures sont elles aussi cohérentes puisqu’elles sont nulles. Nous montrerons qu’il en est toujours ainsi pour un morphisme propre entre schémas localement noethériens (proposition 02O5).

Lemme

Soit \(X\) un schéma localement noethérien. Soit \(\mathcal{F}\) un faisceau cohérent tel que \(\dim(\text{Supp}(\mathcal{F})) \leq 0\). Alors \(\mathcal{F}\) est engendré par ses sections globales, et \(H^i(X, \mathcal{F}) = 0\) pour \(i > 0\).

Démonstration

D’après le lemme 01Y5, on a \(\mathcal{F} = i_*\mathcal{G}\), où \(i : Z \to X\) est l’inclusion du support schématique de \(\mathcal{F}\) et où \(\mathcal{G}\) est un \(\mathcal{O}_Z\)-module cohérent. Puisque la dimension de \(Z\) est \(0\), le schéma \(Z\) est une réunion disjointe de schémas affines (Propriétés, Lemme 0AAX). Ainsi \(\mathcal{G}\) est engendré par ses sections globales et les groupes de cohomologie supérieure de \(\mathcal{G}\) sont nuls (lemme 01XB). Par conséquent, \(\mathcal{F} = i_*\mathcal{G}\) est engendré par ses sections globales. Puisque les cohomologies de \(\mathcal{F}\) et de \(\mathcal{G}\) coïncident (le lemme 089W s’applique, car une immersion fermée est affine), les groupes de cohomologie supérieure de \(\mathcal{F}\) sont nuls.

Lemme

Soit \(X\) un schéma. Soit \(j : U \to X\) l’inclusion d’un ouvert. Soit \(T \subset X\) un sous-ensemble fermé contenu dans \(U\). Si \(\mathcal{F}\) est un \(\mathcal{O}_U\)-module cohérent tel que \(\text{Supp}(\mathcal{F}) \subset T\), alors \(j_*\mathcal{F}\) est un \(\mathcal{O}_X\)-module cohérent.

Démonstration

Considérons le recouvrement ouvert \(X = U \cup (X \setminus T)\). Alors \(j_*\mathcal{F}|_U = \mathcal{F}\) est cohérent, et \(j_*\mathcal{F}|_{X \setminus T} = 0\) est également cohérent. Ainsi \(j_*\mathcal{F}\) est cohérent.

Faisceaux cohérents sur les schémas noethériens

Dans cette section, nous donnons quelques propriétés des faisceaux cohérents sur les schémas noethériens.

Lemme

Soit \(X\) un schéma noethérien. Soit \(\mathcal{F}\) un \(\mathcal{O}_X\)-module cohérent. Les sous-modules quasi-cohérents de \(\mathcal{F}\) vérifient la condition de chaîne ascendante. Autrement dit, pour toute suite \[\mathcal{F}_1 \subset \mathcal{F}_2 \subset \ldots \subset \mathcal{F}\] de sous-modules quasi-cohérents, on a \(\mathcal{F}_n = \mathcal{F}_{n + 1} = \ldots\) pour un certain \(n \geq 0\).

Démonstration

Choisissons un recouvrement ouvert affine fini. Sur chaque ouvert du recouvrement, la suite stationne d’après Algèbre, lemme 00IK. Le lemme s’ensuit.

Lemme

Soit \(X\) un schéma noethérien. Soit \(\mathcal{F}\) un faisceau cohérent sur \(X\). Soit \(\mathcal{I} \subset \mathcal{O}_X\) un faisceau quasi-cohérent d’idéaux correspondant à un sous-schéma fermé \(Z \subset X\). Il existe un entier \(n \geq 0\) tel que \(\mathcal{I}^n\mathcal{F} = 0\) si et seulement si \(\text{Supp}(\mathcal{F}) \subset Z\) ensemblistement.

Démonstration

Cela résulte immédiatement d’Algèbre, lemme 00L6, puisque \(X\) admet un recouvrement fini par des spectres d’anneaux noethériens.

Lemme

Soit \(X\) un schéma noethérien. Soit \(\mathcal{F}\) un faisceau cohérent sur \(X\). Soit \(\mathcal{G} \subset \mathcal{F}\) un sous-faisceau quasi-cohérent. Soit \(\mathcal{I} \subset \mathcal{O}_X\) un faisceau quasi-cohérent d’idéaux. Il existe alors un entier \(c \geq 0\) tel que, pour tout \(n \geq c\), on ait \[\mathcal{I}^{n - c}(\mathcal{I}^c\mathcal{F} \cap \mathcal{G}) = \mathcal{I}^n\mathcal{F} \cap \mathcal{G}\]

Démonstration

Cela résulte immédiatement d’Algèbre, lemme 00IN, puisque \(X\) admet un recouvrement fini par des spectres d’anneaux noethériens.

Lemme

Soit \(X\) un schéma noethérien. Tout \(\mathcal{O}_X\)-module quasi-cohérent est la limite inductive filtrante de ses sous-modules cohérents.

Démonstration

C’est une reformulation de Propriétés, Lemme 01PG, compte tenu du fait qu’un \(\mathcal{O}_X\)-module quasi-cohérent de type fini est cohérent d’après le lemme 01XZ.

Lemme

Soit \(X\) un schéma noethérien. Soit \(\mathcal{F}\) un \(\mathcal{O}_X\)-module quasi-cohérent. Soit \(\mathcal{G}\) un \(\mathcal{O}_X\)-module cohérent. Soit \(\mathcal{I} \subset \mathcal{O}_X\) un faisceau quasi-cohérent d’idéaux. Notons \(Z \subset X\) le sous-schéma fermé correspondant et posons \(U = X \setminus Z\). Il existe un isomorphisme canonique \[\colim_n \Hom_{\mathcal{O}_X}(\mathcal{I}^n\mathcal{G}, \mathcal{F}) \longrightarrow \Hom_{\mathcal{O}_U}(\mathcal{G}|_U, \mathcal{F}|_U).\] En particulier, on a un isomorphisme \[\colim_n \Hom_{\mathcal{O}_X}( \mathcal{I}^n, \mathcal{F}) \longrightarrow \Gamma(U, \mathcal{F}).\]

Démonstration

Montrons d’abord que le deuxième morphisme est un isomorphisme. Il est injectif d’après Propriétés, lemme 01PQ. Puisque \(\mathcal{F}\) est la réunion de ses sous-modules cohérents, voir Propriétés, lemme 01PG (et lemme 01XZ), on peut supposer \(\mathcal{F}\) cohérent pour prouver la surjectivité. Notons \(\mathcal{F}_n\) le sous-faisceau quasi-cohérent de \(\mathcal{F}\) formé des sections annulées par \(\mathcal{I}^n\), voir Propriétés, lemme 01PQ. Puisque \(\mathcal{F}_1 \subset \mathcal{F}_2 \subset \ldots\), on a \(\mathcal{F}_n = \mathcal{F}_{n + 1} = \ldots\) pour un certain \(n \geq 0\) d’après le lemme 01Y8. Posons \(\mathcal{H} = \mathcal{F}_n\) pour cet \(n\). D’après Artin-Rees (lemme 01YA), il existe un entier \(c \geq 0\) tel que \(\mathcal{I}^m\mathcal{F} \cap \mathcal{H} \subset \mathcal{I}^{m - c}\mathcal{H}\). En prenant \(m = n + c\), on obtient \(\mathcal{I}^m\mathcal{F} \cap \mathcal{H} \subset \mathcal{I}^n\mathcal{H} = 0\). Si l’on pose \(\mathcal{F}' = \mathcal{I}^m\mathcal{F}\), on voit donc que \(\mathcal{F}' \cap \mathcal{F}_n = 0\) et \(\mathcal{F}'|_U = \mathcal{F}|_U\). En particulier, le sous-faisceau \((\mathcal{F}')_N\) des sections annulées par \(\mathcal{I}^N\) est nul pour tout \(N \geq 0\). D’après Propriétés, lemme 01PQ, on en déduit que la flèche horizontale supérieure du diagramme commutatif suivant est une bijection : \[\xymatrix{ \colim_n \Hom_{\mathcal{O}_X}( \mathcal{I}^n, \mathcal{F}') \ar[r] \ar[d] & \Gamma(U, \mathcal{F}') \ar[d] \\ \colim_n \Hom_{\mathcal{O}_X}( \mathcal{I}^n, \mathcal{F}) \ar[r] & \Gamma(U, \mathcal{F}) }\] La flèche verticale de droite étant elle aussi bijective, on en déduit que la flèche horizontale inférieure est surjective, comme voulu.

Montrons ensuite que la première flèche du lemme est une bijection. D’après le lemme 01XZ, le faisceau \(\mathcal{G}\) est de présentation finie, donc le faisceau \(\mathcal{H} = \SheafHom_{\mathcal{O}_X}(\mathcal{G}, \mathcal{F})\) est quasi-cohérent, voir Schémas, section 01LA. Par définition, on a \[\mathcal{H}(U) = \Hom_{\mathcal{O}_U}(\mathcal{G}|_U, \mathcal{F}|_U)\] Choisissons un élément \(\psi\) dans le but de la première flèche du lemme, c’est-à-dire \(\psi \in \mathcal{H}(U)\). Le résultat que nous venons de prouver s’applique à \(\mathcal{H}\); il existe donc un entier \(n \geq 0\) et un morphisme \(\varphi : \mathcal{I}^n \to \mathcal{H}\) qui redonne \(\psi\) par restriction à \(U\). D’après Modules, lemme 01CN, \(\varphi\) correspond à un morphisme \[\varphi : \mathcal{I}^n \otimes_{\mathcal{O}_X} \mathcal{G} \longrightarrow \mathcal{F}.\] C’est presque le morphisme cherché, à ceci près que sa source est le produit tensoriel de \(\mathcal{I}^n\) et de \(\mathcal{G}\) et non leur produit. Nous allons montrer que, quitte à augmenter \(n\), cette différence disparaît. Considérons la suite exacte courte \[0 \to \mathcal{K} \to \mathcal{I}^n \otimes_{\mathcal{O}_X} \mathcal{G} \to \mathcal{I}^n\mathcal{G} \to 0\] où \(\mathcal{K}\) est le noyau. Notons que \(\mathcal{I}^n\mathcal{K} = 0\) (démonstration omise). En appliquant à nouveau Artin-Rees, on obtient \[\mathcal{K} \cap \mathcal{I}^m(\mathcal{I}^n \otimes_{\mathcal{O}_X} \mathcal{G}) = 0\] pour un certain \(m\) suffisamment grand. Autrement dit, le morphisme \[\mathcal{I}^m(\mathcal{I}^n \otimes_{\mathcal{O}_X} \mathcal{G}) \longrightarrow \mathcal{I}^{n + m}\mathcal{G}\] est un isomorphisme. Soit \(\varphi'\) la restriction de \(\varphi\) à ce sous-module, considérée comme morphisme \(\mathcal{I}^{m + n}\mathcal{G} \to \mathcal{F}\). Alors \(\varphi'\) définit un élément de la source de la première flèche du lemme, dont l’image par cette flèche est \(\psi\). Nous avons donc prouvé la surjectivité de la flèche. Nous omettons la démonstration de son injectivité.

Lemme

Soit \(X\) un schéma localement noethérien. Soient \(\mathcal{F}\), \(\mathcal{G}\) des \(\mathcal{O}_X\)-modules cohérents. Soit \(U \subset X\) un ouvert, et soit \(\varphi : \mathcal{F}|_U \to \mathcal{G}|_U\) un morphisme de \(\mathcal{O}_U\)-modules. Il existe alors un sous-module cohérent \(\mathcal{F}' \subset \mathcal{F}\) coïncidant avec \(\mathcal{F}\) sur \(U\), tel que \(\varphi\) se prolonge en \(\varphi' : \mathcal{F}' \to \mathcal{G}\).

Démonstration

Soit \(\mathcal{I} \subset \mathcal{O}_X\) le faisceau cohérent d’idéaux définissant la structure réduite induite sur \(X \setminus U\). Si \(X\) est noethérien, le lemme 01YB montre que l’on peut prendre \(\mathcal{F}' = \mathcal{I}^n\mathcal{F}\) pour un certain \(n\). Le cas général s’en déduit au moyen du lemme de Zorn.

Considérons l’ensemble des triplets \((U', \mathcal{F}', \varphi')\) tels que \(U \subset U' \subset X\) soit ouvert, que \(\mathcal{F}' \subset \mathcal{F}|_{U'}\) soit un sous-faisceau cohérent coïncidant avec \(\mathcal{F}\) sur \(U\), et que \(\varphi' : \mathcal{F}' \to \mathcal{G}|_{U'}\) se restreigne à \(\varphi\) sur \(U\). Posons \((U'', \mathcal{F}'', \varphi'') \geq (U', \mathcal{F}', \varphi')\) si et seulement si \(U'' \supset U'\), \(\mathcal{F}''|_{U'} = \mathcal{F}'\) et \(\varphi''|_{U'} = \varphi'\). Il est clair que, pour une famille totalement ordonnée de triplets \((U_i, \mathcal{F}_i, \varphi_i)\), on peut recoller les \(\mathcal{F}_i\) en un sous-faisceau \(\mathcal{F}'\) de \(\mathcal{F}\) sur \(U' = \bigcup U_i\), et prolonger \(\varphi\) en un morphisme \(\varphi' : \mathcal{F}' \to \mathcal{G}|_{U'}\). Tout sous-ensemble totalement ordonné de triplets admet donc un majorant. Enfin, soit \((U', \mathcal{F}', \varphi')\) un triplet tel que \(U' \not = X\). On peut alors choisir un ouvert affine \(W \subset X\) qui n’est pas contenu dans \(U'\). D’après le résultat du premier paragraphe, on peut prolonger le sous-faisceau \(\mathcal{F}'|_{W \cap U'}\) et la restriction \(\varphi'|_{W \cap U'}\) en un sous-faisceau \(\mathcal{F}'' \subset \mathcal{F}|_W\) et en un morphisme \(\varphi'' : \mathcal{F}'' \to \mathcal{G}|_W\). La coïncidence de \((\mathcal{F}', \varphi')\) et de \((\mathcal{F}'', \varphi'')\) sur \(W \cap U'\) signifie précisément que l’on peut prolonger le triplet en \((U' \cup W, \mathcal{F}''', \varphi''')\). Ainsi, tout triplet maximal \((U', \mathcal{F}', \varphi')\) (dont l’existence résulte du lemme de Zorn) vérifie \(U' = X\), ce qui achève la démonstration.

Profondeur

Dans cette section, nous étudions brièvement la profondeur et la propriété \((S_k)\) pour les modules cohérents sur les schémas localement noethériens. Rappelons que cette notion a déjà été abordée pour les schémas localement noethériens dans Propriétés, section 033P.

Définition

Soit \(X\) un schéma localement noethérien. Soit \(\mathcal{F}\) un \(\mathcal{O}_X\)-module cohérent. Soit \(k \geq 0\) un entier.

1. On dit que \(\mathcal{F}\) est de profondeur \(k\) en un point \(x\) de \(X\) si \(\text{depth}_{\mathcal{O}_{X, x}}(\mathcal{F}_x) = k\).

2. On dit que \(X\) est de profondeur \(k\) en un point \(x\) de \(X\) si \(\text{depth}(\mathcal{O}_{X, x}) = k\).

3. On dit que \(\mathcal{F}\) vérifie la propriété \((S_k)\) si \[\text{depth}_{\mathcal{O}_{X, x}}(\mathcal{F}_x) \geq \min(k, \dim(\text{Supp}(\mathcal{F}_x)))\] pour tout \(x \in X\).

4. On dit que \(X\) vérifie la propriété \((S_k)\) si \(\mathcal{O}_X\) vérifie la propriété \((S_k)\).

Tout faisceau cohérent vérifie la condition \((S_0)\). La condition \((S_1)\) équivaut à l’absence de points associés immergés, voir Diviseurs, lemme 0346.

Lemme

Soit \(X\) un schéma localement noethérien. Soient \(\mathcal{F}\), \(\mathcal{G}\) des \(\mathcal{O}_X\)-modules cohérents et \(x \in X\).

1. Si \(\mathcal{G}_x\) est de profondeur \(\geq 1\), alors \(\SheafHom_{\mathcal{O}_X}(\mathcal{F}, \mathcal{G})_x\) est de profondeur \(\geq 1\).

2. Si \(\mathcal{G}_x\) est de profondeur \(\geq 2\), alors \(\Hom_{\mathcal{O}_X}(\mathcal{F}, \mathcal{G})_x\) est de profondeur \(\geq 2\).

Démonstration

Remarquons que \(\SheafHom_{\mathcal{O}_X}(\mathcal{F}, \mathcal{G})\) est un \(\mathcal{O}_X\)-module cohérent d’après le lemme 01Y2. Les modules cohérents sont de présentation finie (lemme 01XZ); le passage aux fibres commute donc à la formation de \(\SheafHom\) et de \(\Hom\), voir Modules, lemme 01CP. On se ramène ainsi au cas des modules de type fini sur les anneaux locaux, traité dans Compléments d’algèbre, lemme 0AV5.

Lemme

Soit \(X\) un schéma localement noethérien. Soient \(\mathcal{F}\), \(\mathcal{G}\) des \(\mathcal{O}_X\)-modules cohérents.

1. Si \(\mathcal{G}\) vérifie la propriété \((S_1)\), alors \(\SheafHom_{\mathcal{O}_X}(\mathcal{F}, \mathcal{G})\) vérifie la propriété \((S_1)\).

2. Si \(\mathcal{G}\) vérifie la propriété \((S_2)\), alors \(\SheafHom_{\mathcal{O}_X}(\mathcal{F}, \mathcal{G})\) vérifie la propriété \((S_2)\).

Démonstration

Cela résulte immédiatement du lemme 0EBC et des définitions.

Nous avons vu dans Propriétés, lemme 0342, qu’un schéma localement noethérien est de Cohen-Macaulay si et seulement s’il vérifie \((S_k)\) pour tout \(k\). Il est donc naturel d’introduire la définition suivante, qui équivaut à demander que toutes les fibres soient des modules de Cohen-Macaulay.

Définition

Soit \(X\) un schéma localement noethérien. Soit \(\mathcal{F}\) un \(\mathcal{O}_X\)-module cohérent. On dit que \(\mathcal{F}\) est de Cohen-Macaulay si et seulement s’il vérifie \((S_k)\) pour tout \(k \geq 0\).

Lemme

Soit \(X\) un schéma régulier. Soit \(\mathcal{F}\) un \(\mathcal{O}_X\)-module cohérent. Les conditions suivantes sont équivalentes :

1. \(\mathcal{F}\) est de Cohen-Macaulay et \(\text{Supp}(\mathcal{F}) = X\),

2. \(\mathcal{F}\) est localement libre de type fini de rang \(> 0\).

Démonstration

Soit \(x \in X\). Si (2) est vérifiée, alors \(\mathcal{F}_x\) est un \(\mathcal{O}_{X, x}\)-module libre de rang \(> 0\). Ainsi \(\text{depth}(\mathcal{F}_x) = \dim(\mathcal{O}_{X, x})\), car un anneau local régulier est de Cohen-Macaulay (Algèbre, lemme 00NQ). Réciproquement, si (1) est vérifiée, alors \(\mathcal{F}_x\) est un module de Cohen-Macaulay maximal sur \(\mathcal{O}_{X, x}\) (Algèbre, définition 00NF). Ainsi \(\mathcal{F}_x\) est libre d’après Algèbre, lemme 00NT.

Dévissage des faisceaux cohérents

Soit \(X\) un schéma noethérien. Considérons un sous-schéma fermé intègre \(i : Z \to X\). Il est souvent commode de considérer les faisceaux cohérents de la forme \(i_*\mathcal{G}\), où \(\mathcal{G}\) est un faisceau cohérent sur \(Z\). Nous nous intéressons en particulier au cas où \(\mathcal{G}\) est sans torsion et de rang \(1\). Par exemple, \(\mathcal{G}\) peut être un faisceau d’idéaux non nul sur \(Z\), ou, plus particulièrement, \(\mathcal{G} = \mathcal{O}_Z\).

Tout au long de cette section, nous utiliserons le fait qu’un faisceau cohérent est la même chose qu’un faisceau quasi-cohérent de type fini, et qu’un sous-quotient quasi-cohérent d’un faisceau cohérent est cohérent, voir section 01XY. Le support d’un faisceau cohérent est fermé, voir Modules, lemme 01BA.

Lemme

Soit \(X\) un schéma noethérien. Soit \(\mathcal{F}\) un faisceau cohérent sur \(X\). Supposons \(\text{Supp}(\mathcal{F}) = Z \cup Z'\), avec \(Z\), \(Z'\) fermés. Il existe alors une suite exacte courte de faisceaux cohérents \[0 \to \mathcal{G}' \to \mathcal{F} \to \mathcal{G} \to 0\] avec \(\text{Supp}(\mathcal{G}') \subset Z'\) et \(\text{Supp}(\mathcal{G}) \subset Z\).

Démonstration

Soit \(\mathcal{I} \subset \mathcal{O}_X\) le faisceau d’idéaux définissant la structure réduite induite de sous-schéma fermé sur \(Z\), voir Schémas, lemme 01J3. Considérons les sous-faisceaux \(\mathcal{G}'_n = \mathcal{I}^n\mathcal{F}\) et les quotients \(\mathcal{G}_n = \mathcal{F}/\mathcal{I}^n\mathcal{F}\). Pour tout \(n\), on a une suite exacte courte \[0 \to \mathcal{G}'_n \to \mathcal{F} \to \mathcal{G}_n \to 0\] Pour tout point \(x\) de \(Z' \setminus Z\), on a \(\mathcal{I}_x = \mathcal{O}_{X, x}\) et donc \(\mathcal{G}_{n, x} = 0\). Ainsi \(\text{Supp}(\mathcal{G}_n) \subset Z\). Notons que \(X \setminus Z'\) est un schéma noethérien. D’après le lemme 01Y9, il existe donc un entier \(n\) tel que \(\mathcal{G}'_n|_{X \setminus Z'} = \mathcal{I}^n\mathcal{F}|_{X \setminus Z'} = 0\). Pour un tel \(n\), on a \(\text{Supp}(\mathcal{G}'_n) \subset Z'\). Il suffit donc de poser \(\mathcal{G}' = \mathcal{G}'_n\) et \(\mathcal{G} = \mathcal{G}_n\) pour conclure.

Lemme

Soit \(X\) un schéma noethérien. Soit \(i : Z \to X\) un sous-schéma fermé intègre. Soit \(\xi \in Z\) son point générique. Soit \(\mathcal{F}\) un faisceau cohérent sur \(X\). Supposons que \(\mathcal{F}_\xi\) soit annulé par \(\mathfrak m_\xi\). Il existe alors un entier \(r \geq 0\), un faisceau cohérent d’idéaux \(\mathcal{I} \subset \mathcal{O}_Z\) et un morphisme injectif de faisceaux cohérents \[i_*\left(\mathcal{I}^{\oplus r}\right) \to \mathcal{F}\] qui est un isomorphisme au voisinage de \(\xi\).

Démonstration

Soit \(\mathcal{J} \subset \mathcal{O}_X\) le faisceau d’idéaux de \(Z\). Soit \(\mathcal{F}' \subset \mathcal{F}\) le sous-faisceau des sections locales de \(\mathcal{F}\) annulées par \(\mathcal{J}\). C’est un faisceau quasi-cohérent d’après Propriétés, lemme 01PO. De plus, \(\mathcal{F}'_\xi = \mathcal{F}_\xi\), car \(\mathcal{J}_\xi = \mathfrak m_\xi\), et d’après l’assertion (3) de Propriétés, lemme 01PO. Le lemme 01Y3 montre que \(\mathcal{F}' \to \mathcal{F}\) induit un isomorphisme au voisinage de \(\xi\). On peut donc remplacer \(\mathcal{F}\) par \(\mathcal{F}'\) et supposer que \(\mathcal{F}\) est annulé par \(\mathcal{J}\).

Supposons \(\mathcal{J}\mathcal{F} = 0\). D’après le lemme 087T, on peut écrire \(\mathcal{F} = i_*\mathcal{G}\), où \(\mathcal{G}\) est un faisceau cohérent sur \(Z\). Supposons que l’on puisse trouver un morphisme \(\mathcal{I}^{\oplus r} \to \mathcal{G}\) qui soit un isomorphisme au voisinage du point générique \(\xi\) de \(Z\). En appliquant \(i_*\) (qui est exact à gauche), on obtient alors le résultat du lemme. Nous sommes donc ramenés au cas \(X = Z\).

Supposons que \(Z = X\) soit un schéma noethérien intègre de point générique \(\xi\). Dans ce cas, \(\mathcal{O}_{X, \xi} = \kappa(\xi)\) est, pour \(X\), le corps des fonctions. Puisque \(\mathcal{F}_\xi\) est un \(\mathcal{O}_\xi\)-module de type fini, l’entier \(r = \dim_{\kappa(\xi)} \mathcal{F}_\xi\) est fini. Les faisceaux \(\mathcal{O}_X^{\oplus r}\) et \(\mathcal{F}\) ont donc des fibres isomorphes en \(\xi\). D’après le lemme 01Y4, il existe un ouvert non vide \(U \subset X\) et un morphisme \(\psi : \mathcal{O}_X^{\oplus r}|_U \to \mathcal{F}|_U\) qui est un isomorphisme en \(\xi\), et donc au voisinage de \(\xi\), d’après le lemme 01Y3. D’après Schémas, lemme 01J3, il existe un faisceau quasi-cohérent d’idéaux \(\mathcal{I} \subset \mathcal{O}_X\) dont le sous-schéma fermé associé \(Y \subset X\) est le complémentaire de \(U\). D’après le lemme 01YB, il existe un entier \(n \geq 0\) et un morphisme \(\mathcal{I}^n(\mathcal{O}_X^{\oplus r}) \to \mathcal{F}\) qui redonne \(\psi\) sur \(U\). Puisque \(\mathcal{I}^n(\mathcal{O}_X^{\oplus r}) = (\mathcal{I}^n)^{\oplus r}\), on obtient un morphisme comme dans le lemme. Il est injectif, car \(X\) est intègre et il est injectif au point générique de \(X\) (démonstration facile omise).

Lemme

Soit \(X\) un schéma noethérien. Soit \(\mathcal{F}\) un faisceau cohérent sur \(X\). Il existe une filtration \[0 = \mathcal{F}_0 \subset \mathcal{F}_1 \subset \ldots \subset \mathcal{F}_m = \mathcal{F}\] par des sous-faisceaux cohérents telle que, pour chaque \(j = 1, \ldots, m\), il existe un sous-schéma fermé intègre \(Z_j \subset X\) et un faisceau cohérent d’idéaux non nul \(\mathcal{I}_j \subset \mathcal{O}_{Z_j}\) tels que \[\mathcal{F}_j/\mathcal{F}_{j - 1} \cong (Z_j \to X)_* \mathcal{I}_j\]

Démonstration

Considérons l’ensemble \[\mathcal{T} = \left\{ \begin{matrix} Z \subset X \text{ fermé tel qu'il existe un faisceau cohérent } \mathcal{F} \\ \text{ avec } \text{Supp}(\mathcal{F}) = Z \text{ pour lequel le lemme est faux} \end{matrix} \right\}\] Nous voulons montrer que \(\mathcal{T}\) est vide. Sinon, puisque \(X\) est noethérien, on peut choisir un élément minimal \(Z \in \mathcal{T}\). Il existe alors un faisceau cohérent \(\mathcal{F}\) sur \(X\), de support \(Z\), pour lequel le lemme est faux. Il est clair que \(Z \not = \emptyset\), car le seul faisceau de support vide est le faisceau nul, pour lequel le lemme est vrai (avec \(m = 0\)).

Si \(Z\) n’est pas irréductible, on peut écrire \(Z = Z_1 \cup Z_2\), où \(Z_1, Z_2\) sont fermés et strictement contenus dans \(Z\). On peut alors appliquer le lemme 01YD pour obtenir une suite exacte courte de faisceaux cohérents \[0 \to \mathcal{G}_1 \to \mathcal{F} \to \mathcal{G}_2 \to 0\] avec \(\text{Supp}(\mathcal{G}_i) \subset Z_i\). Par minimalité de \(Z\), chacun des \(\mathcal{G}_i\) admet une filtration comme dans l’énoncé du lemme. En considérant la filtration induite sur \(\mathcal{F}\), on aboutit à une contradiction. On en déduit que \(Z\) est irréductible.

Supposons \(Z\) irréductible. Soit \(\mathcal{J}\) le faisceau d’idéaux définissant la structure réduite induite de sous-schéma fermé sur \(Z\), voir Schémas, lemme 01J3. D’après le lemme 01Y9, il existe un entier \(n \geq 0\) tel que \(\mathcal{J}^n\mathcal{F} = 0\). On obtient donc une filtration \[0 = \mathcal{J}^n\mathcal{F} \subset \mathcal{J}^{n - 1}\mathcal{F} \subset \ldots \subset \mathcal{J}\mathcal{F} \subset \mathcal{F}\] dont chaque sous-quotient successif est annulé par \(\mathcal{J}\). Si chacun de ces sous-quotients admet une filtration comme dans l’énoncé du lemme, il en va de même pour \(\mathcal{F}\). Autrement dit, on peut supposer que \(\mathcal{J}\) annule \(\mathcal{F}\).

Lorsque \(Z\) est irréductible et \(\mathcal{J}\mathcal{F} = 0\), on peut appliquer le lemme 01YE. On obtient ainsi une suite exacte courte \[0 \to i_*(\mathcal{I}^{\oplus r}) \to \mathcal{F} \to \mathcal{Q} \to 0\] où \(\mathcal{Q}\) est le quotient. Puisque \(\mathcal{Q}\) est nul au voisinage de \(\xi\), d’après le lemme qui vient d’être cité, le support de \(\mathcal{Q}\) est strictement contenu dans \(Z\). Ainsi \(\mathcal{Q}\) admet une filtration du type voulu par minimalité de \(Z\). Mais il en va alors de même pour \(\mathcal{F}\), d’où la contradiction finale.

Lemme

Soit \(X\) un schéma noethérien. Soit \(\mathcal{P}\) une propriété des faisceaux cohérents sur \(X\). Supposons que

1. pour toute suite exacte courte de faisceaux cohérents \[0 \to \mathcal{F}_1 \to \mathcal{F} \to \mathcal{F}_2 \to 0\] si les \(\mathcal{F}_i\), \(i = 1, 2\), vérifient la propriété \(\mathcal{P}\), il en va de même pour \(\mathcal{F}\);

2. pour tout sous-schéma fermé intègre \(Z \subset X\) et tout faisceau quasi-cohérent d’idéaux \(\mathcal{I} \subset \mathcal{O}_Z\), on ait \(\mathcal{P}\) pour \(i_*\mathcal{I}\).

Alors la propriété \(\mathcal{P}\) est vérifiée par tout faisceau cohérent sur \(X\).

Démonstration

Notons d’abord que, si \(\mathcal{F}\) est un faisceau cohérent muni d’une filtration \[0 = \mathcal{F}_0 \subset \mathcal{F}_1 \subset \ldots \subset \mathcal{F}_m = \mathcal{F}\] par des sous-faisceaux cohérents telle que chaque \(\mathcal{F}_i/\mathcal{F}_{i - 1}\) vérifie la propriété \(\mathcal{P}\), il en va de même pour \(\mathcal{F}\). Cela résulte de la condition (1) sur \(\mathcal{P}\). D’autre part, le lemme 01YF permet de filtrer tout \(\mathcal{F}\) avec des sous-quotients successifs comme dans (2). Le lemme s’ensuit.

Lemme

Soit \(X\) un schéma noethérien. Soit \(Z_0 \subset X\) un sous-ensemble fermé irréductible de point générique \(\xi\). Soit \(\mathcal{P}\) une propriété des faisceaux cohérents sur \(X\) dont le support est contenu dans \(Z_0\), telle que

1. pour toute suite exacte courte de faisceaux cohérents, si deux d’entre eux vérifient la propriété \(\mathcal{P}\), il en va de même pour le troisième;

2. pour tout sous-schéma fermé intègre \(Z \subset Z_0 \subset X\), \(Z \not = Z_0\), et tout faisceau quasi-cohérent d’idéaux \(\mathcal{I} \subset \mathcal{O}_Z\), on ait \(\mathcal{P}\) pour \((Z \to X)_*\mathcal{I}\);

3. il existe un faisceau cohérent \(\mathcal{G}\) sur \(X\) tel que

   1. \(\text{Supp}(\mathcal{G}) = Z_0\),

   2. \(\mathcal{G}_\xi\) soit annulé par \(\mathfrak m_\xi\),

   3. \(\dim_{\kappa(\xi)} \mathcal{G}_\xi = 1\), et

   4. la propriété \(\mathcal{P}\) soit vérifiée par \(\mathcal{G}\).

Alors la propriété \(\mathcal{P}\) est vérifiée par tout faisceau cohérent \(\mathcal{F}\) sur \(X\) dont le support est contenu dans \(Z_0\).

Démonstration

Notons d’abord que, si \(\mathcal{F}\) est un faisceau cohérent de support contenu dans \(Z_0\), muni d’une filtration \[0 = \mathcal{F}_0 \subset \mathcal{F}_1 \subset \ldots \subset \mathcal{F}_m = \mathcal{F}\] par des sous-faisceaux cohérents telle que chaque \(\mathcal{F}_i/\mathcal{F}_{i - 1}\) vérifie la propriété \(\mathcal{P}\), il en va de même pour \(\mathcal{F}\). De même, si \(\mathcal{F}\) vérifie la propriété \(\mathcal{P}\) et que tous les \(\mathcal{F}_i/\mathcal{F}_{i - 1}\) sauf un vérifient \(\mathcal{P}\), le dernier la vérifie aussi. Cela résulte de l’hypothèse (1).

On en déduit d’abord que tout faisceau cohérent dont le support est strictement contenu dans \(Z_0\) vérifie la propriété \(\mathcal{P}\). En effet, un tel faisceau admet une filtration (voir lemme 01YF) dont les sous-quotients vérifient \(\mathcal{P}\) d’après (2).

Soit \(\mathcal{G}\) comme dans (3). D’après le lemme 01YE, il existe un faisceau d’idéaux \(\mathcal{I}\) sur \(Z_0\), un entier \(r \geq 1\) et une suite exacte courte \[0 \to \left((Z_0 \to X)_*\mathcal{I}\right)^{\oplus r} \to \mathcal{G} \to \mathcal{Q} \to 0\] où le support de \(\mathcal{Q}\) est strictement contenu dans \(Z_0\). D’après (3)(c), on a \(r = 1\). Puisque \(\mathcal{Q}\) vérifie lui aussi la propriété \(\mathcal{P}\), on en déduit que \((Z_0 \to X)_*\mathcal{I}\) vérifie la propriété \(\mathcal{P}\).

Supposons ensuite que \(\mathcal{I}' \not = 0\) soit un autre faisceau quasi-cohérent d’idéaux sur \(Z_0\). On peut considérer l’intersection \(\mathcal{I}'' = \mathcal{I}' \cap \mathcal{I}\), ce qui donne deux suites exactes courtes \[0 \to (Z_0 \to X)_*\mathcal{I}'' \to (Z_0 \to X)_*\mathcal{I} \to \mathcal{Q} \to 0\] et \[0 \to (Z_0 \to X)_*\mathcal{I}'' \to (Z_0 \to X)_*\mathcal{I}' \to \mathcal{Q}' \to 0.\] Notons que les supports des faisceaux cohérents \(\mathcal{Q}\) et \(\mathcal{Q}'\) sont strictement contenus dans \(Z_0\). Ainsi \(\mathcal{Q}\) et \(\mathcal{Q}'\) vérifient la propriété \(\mathcal{P}\) (voir ci-dessus). La condition (1) entraîne alors que \((Z_0 \to X)_*\mathcal{I}''\) et \((Z_0 \to X)_*\mathcal{I}'\) vérifient eux aussi \(\mathcal{P}\).

Pour achever la démonstration, il suffit de noter que tout faisceau cohérent \(\mathcal{F}\) sur \(X\) dont le support est contenu dans \(Z_0\) admet une filtration (voir à nouveau lemme 01YF) dont les sous-quotients vérifient tous la propriété \(\mathcal{P}\) d’après ce qui précède.

Lemme

Soit \(X\) un schéma noethérien. Soit \(\mathcal{P}\) une propriété des faisceaux cohérents sur \(X\) telle que

1. pour toute suite exacte courte de faisceaux cohérents, si deux d’entre eux vérifient la propriété \(\mathcal{P}\), il en va de même pour le troisième;

2. pour tout sous-schéma fermé intègre \(Z \subset X\) de point générique \(\xi\), il existe un faisceau cohérent \(\mathcal{G}\) tel que

   1. \(\text{Supp}(\mathcal{G}) = Z\),

   2. \(\mathcal{G}_\xi\) soit annulé par \(\mathfrak m_\xi\),

   3. \(\dim_{\kappa(\xi)} \mathcal{G}_\xi = 1\), et

   4. la propriété \(\mathcal{P}\) soit vérifiée par \(\mathcal{G}\).

Alors la propriété \(\mathcal{P}\) est vérifiée par tout faisceau cohérent sur \(X\).

Démonstration

D’après le lemme 01YG, il suffit de montrer que, pour tout sous-schéma fermé intègre \(Z \subset X\) et tout faisceau quasi-cohérent d’idéaux \(\mathcal{I} \subset \mathcal{O}_Z\), la propriété \(\mathcal{P}\) est vérifiée par \((Z \to X)_*\mathcal{I}\). Sinon, puisque \(X\) est noethérien, il existe un sous-schéma fermé intègre minimal \(Z_0 \subset X\) tel que \(\mathcal{P}\) ne soit pas vérifiée par \((Z_0 \to X)_*\mathcal{I}_0\) pour un certain faisceau quasi-cohérent d’idéaux \(\mathcal{I}_0 \subset \mathcal{O}_{Z_0}\), mais que \(\mathcal{P}\) soit vérifiée par \((Z \to X)_*\mathcal{I}\) pour tout sous-schéma fermé intègre \(Z \subset Z_0\), \(Z \not = Z_0\), et tout faisceau quasi-cohérent d’idéaux \(\mathcal{I} \subset \mathcal{O}_Z\). Puisque l’existence de \(\mathcal{G}\) pour \(Z_0\) est assurée par (2), le lemme 01YH exclut cette éventualité.

Lemme

Soit \(X\) un schéma noethérien. Soit \(Z_0 \subset X\) un sous-ensemble fermé irréductible de point générique \(\xi\). Soit \(\mathcal{P}\) une propriété des faisceaux cohérents sur \(X\) telle que

1. pour toute suite exacte courte de faisceaux cohérents \[0 \to \mathcal{F}_1 \to \mathcal{F} \to \mathcal{F}_2 \to 0\] si les \(\mathcal{F}_i\), \(i = 1, 2\), vérifient la propriété \(\mathcal{P}\), il en va de même pour \(\mathcal{F}\);

2. si \(\mathcal{P}\) est vérifiée par \(\mathcal{F}^{\oplus r}\) pour un certain \(r \geq 1\), elle est vérifiée par \(\mathcal{F}\);

3. pour tout sous-schéma fermé intègre \(Z \subset Z_0 \subset X\), \(Z \not = Z_0\), et tout faisceau quasi-cohérent d’idéaux \(\mathcal{I} \subset \mathcal{O}_Z\), on ait \(\mathcal{P}\) pour \((Z \to X)_*\mathcal{I}\);

4. il existe un faisceau cohérent \(\mathcal{G}\) tel que

   1. \(\text{Supp}(\mathcal{G}) = Z_0\),

   2. \(\mathcal{G}_\xi\) soit annulé par \(\mathfrak m_\xi\), et

   3. pour tout faisceau quasi-cohérent d’idéaux \(\mathcal{J} \subset \mathcal{O}_X\) tel que \(\mathcal{J}_\xi = \mathcal{O}_{X, \xi}\), il existe un sous-faisceau quasi-cohérent \(\mathcal{G}' \subset \mathcal{J}\mathcal{G}\) avec \(\mathcal{G}'_\xi = \mathcal{G}_\xi\) et tel que \(\mathcal{P}\) soit vérifiée par \(\mathcal{G}'\).

Alors la propriété \(\mathcal{P}\) est vérifiée par tout faisceau cohérent \(\mathcal{F}\) sur \(X\) dont le support est contenu dans \(Z_0\).

Démonstration

Notons que, si \(\mathcal{F}\) est un faisceau cohérent muni d’une filtration \[0 = \mathcal{F}_0 \subset \mathcal{F}_1 \subset \ldots \subset \mathcal{F}_m = \mathcal{F}\] par des sous-faisceaux cohérents telle que chaque \(\mathcal{F}_i/\mathcal{F}_{i - 1}\) vérifie la propriété \(\mathcal{P}\), il en va de même pour \(\mathcal{F}\). Cela résulte de l’hypothèse (1).

On en déduit d’abord que tout faisceau cohérent dont le support est strictement contenu dans \(Z_0\) vérifie la propriété \(\mathcal{P}\). En effet, un tel faisceau admet une filtration (voir lemme 01YF) dont les sous-quotients vérifient \(\mathcal{P}\) d’après (3).

Notons \(i : Z_0 \to X\) l’immersion fermée. Considérons un faisceau cohérent \(\mathcal{G}\) comme dans (4). D’après le lemme 01YE, il existe un faisceau d’idéaux \(\mathcal{I}\) sur \(Z_0\) et une suite exacte courte \[0 \to i_*\mathcal{I}^{\oplus r} \to \mathcal{G} \to \mathcal{Q} \to 0\] où le support de \(\mathcal{Q}\) est strictement contenu dans \(Z_0\). En particulier, \(r > 0\) et \(\mathcal{I}\) est non nul, car le support de \(\mathcal{G}\) est égal à \(Z_0\). Soit \(\mathcal{I}' \subset \mathcal{I}\) un faisceau quasi-cohérent d’idéaux non nul sur \(Z_0\) contenu dans \(\mathcal{I}\). On obtient alors aussi une suite exacte courte \[0 \to i_*(\mathcal{I}')^{\oplus r} \to \mathcal{G} \to \mathcal{Q}' \to 0\] où \(\mathcal{Q}'\) a son support strictement contenu dans \(Z_0\). Soit \(\mathcal{J} \subset \mathcal{O}_X\) un faisceau quasi-cohérent d’idéaux définissant le support de \(\mathcal{Q}'\) (par exemple l’idéal correspondant à la structure réduite induite de sous-schéma fermé sur le support de \(\mathcal{Q}'\)). Alors \(\mathcal{J}_\xi = \mathcal{O}_{X, \xi}\). D’après le lemme 01Y9, on a \(\mathcal{J}^n\mathcal{Q}' = 0\) pour un certain \(n\). Ainsi \(\mathcal{J}^n\mathcal{G} \subset i_*(\mathcal{I}')^{\oplus r}\). L’hypothèse (4)(c) du lemme assure l’existence d’un sous-faisceau quasi-cohérent \(\mathcal{G}' \subset \mathcal{J}^n\mathcal{G}\) tel que \(\mathcal{G}'_\xi = \mathcal{G}_\xi\) et qui vérifie la propriété \(\mathcal{P}\). On obtient donc une suite exacte courte \[0 \to \mathcal{G}' \to i_*(\mathcal{I}')^{\oplus r} \to \mathcal{Q}'' \to 0\] où \(\mathcal{Q}''\) a son support strictement contenu dans \(Z_0\). D’après nos remarques initiales et la condition (1) du lemme, on en déduit que \(i_*(\mathcal{I}')^{\oplus r}\) vérifie \(\mathcal{P}\). Ainsi \(i_*\mathcal{I}'\) vérifie \(\mathcal{P}\) d’après (2). Enfin, pour un faisceau quasi-cohérent d’idéaux quelconque \(\mathcal{I}'' \subset \mathcal{O}_{Z_0}\), on peut poser \(\mathcal{I}' = \mathcal{I}'' \cap \mathcal{I}\), ce qui donne une suite exacte courte \[0 \to i_*(\mathcal{I}') \to i_*(\mathcal{I}'') \to \mathcal{Q}''' \to 0\] où \(\mathcal{Q}'''\) a son support strictement contenu dans \(Z_0\). On en déduit que la propriété \(\mathcal{P}\) est également vérifiée par \(i_*\mathcal{I}''\).

Pour achever la démonstration, il suffit de noter que tout faisceau cohérent \(\mathcal{F}\) sur \(X\) dont le support est contenu dans \(Z_0\) admet une filtration (voir à nouveau lemme 01YF) dont les sous-quotients vérifient tous la propriété \(\mathcal{P}\) d’après ce qui précède.

Lemme

Soit \(X\) un schéma noethérien. Soit \(\mathcal{P}\) une propriété des faisceaux cohérents sur \(X\) telle que

1. pour toute suite exacte courte de faisceaux cohérents \[0 \to \mathcal{F}_1 \to \mathcal{F} \to \mathcal{F}_2 \to 0\] si les \(\mathcal{F}_i\), \(i = 1, 2\), vérifient la propriété \(\mathcal{P}\), il en va de même pour \(\mathcal{F}\);

2. si \(\mathcal{P}\) est vérifiée par \(\mathcal{F}^{\oplus r}\) pour un certain \(r \geq 1\), elle est vérifiée par \(\mathcal{F}\);

3. pour tout sous-schéma fermé intègre \(Z \subset X\) de point générique \(\xi\), il existe un faisceau cohérent \(\mathcal{G}\) tel que

   1. \(\text{Supp}(\mathcal{G}) = Z\),

   2. \(\mathcal{G}_\xi\) soit annulé par \(\mathfrak m_\xi\), et

   3. pour tout faisceau quasi-cohérent d’idéaux \(\mathcal{J} \subset \mathcal{O}_X\) tel que \(\mathcal{J}_\xi = \mathcal{O}_{X, \xi}\), il existe un sous-faisceau quasi-cohérent \(\mathcal{G}' \subset \mathcal{J}\mathcal{G}\) avec \(\mathcal{G}'_\xi = \mathcal{G}_\xi\) et tel que \(\mathcal{P}\) soit vérifiée par \(\mathcal{G}'\).

Alors la propriété \(\mathcal{P}\) est vérifiée par tout faisceau cohérent sur \(X\).

Démonstration

Cela résulte du lemme 01YL exactement comme le lemme 01YI résulte du lemme 01YH.

Morphismes finis et schémas affines

Dans cette section, nous utilisons les résultats des sections précédentes pour montrer que l’image d’un schéma affine noethérien par un morphisme fini est affine. Nous verrons plus loin que ce résultat vaut plus généralement (voir Limites, lemme 01ZT et proposition 05YU).

Lemme

Soit \(f : Y \to X\) un morphisme de schémas. Supposons \(f\) fini et surjectif, et \(X\) localement noethérien. Soit \(Z \subset X\) un sous-schéma fermé intègre de point générique \(\xi\). Il existe alors un faisceau cohérent \(\mathcal{F}\) sur \(Y\) tel que le support de \(f_*\mathcal{F}\) soit égal à \(Z\) et que \((f_*\mathcal{F})_\xi\) soit annulé par \(\mathfrak m_\xi\).

Démonstration

Notons que \(Y\) est localement noethérien d’après Morphismes, lemme 01T6. Puisque \(f\) est surjectif, la fibre \(Y_\xi\) est non vide. Choisissons \(\xi' \in Y\) d’image \(\xi\). Posons \(Z' = \overline{\{\xi'\}}\). On peut considérer \(Z' \subset Y\) comme un sous-schéma fermé réduit, voir Schémas, lemme 01J3. Ainsi le faisceau \(\mathcal{F} = (Z' \to Y)_*\mathcal{O}_{Z'}\) est un faisceau cohérent sur \(Y\) (voir lemme 01Y6). Considérons le diagramme commutatif \[\xymatrix{ Z' \ar[r]_{i'} \ar[d]_{f'} & Y \ar[d]^f \\ Z \ar[r]^i & X }\] On a \(f_*\mathcal{F} = i_*f'_*\mathcal{O}_{Z'}\). La fibre de \(f_*\mathcal{F}\) en \(\xi\) est donc celle de \(f'_*\mathcal{O}_{Z'}\) en \(\xi\). Puisque \(Z'\) est intègre de point générique \(\xi'\), on voit que \(\xi'\) est le seul point de \(Z'\) au-dessus de \(\xi\), voir Algèbre, lemmes 00GK et 00GT. La fibre de \(f'_*\mathcal{O}_{Z'}\) en \(\xi\) est donc égale à \(\mathcal{O}_{Z', \xi'} = \kappa(\xi')\). En particulier, la fibre de \(f_*\mathcal{F}\) en \(\xi\) est non nulle. Cela, joint au fait que \(f_*\mathcal{F}\) est de la forme \(i_*f'_*(\text{quelque chose})\), entraîne le lemme.

Lemme

Soit \(f : Y \to X\) un morphisme de schémas. Soit \(\mathcal{F}\) un faisceau quasi-cohérent sur \(Y\). Soit \(\mathcal{I}\) un faisceau quasi-cohérent d’idéaux sur \(X\). Si le morphisme \(f\) est affine, alors \(\mathcal{I}f_*\mathcal{F} = f_*(f^{-1}\mathcal{I}\mathcal{F})\).

Démonstration

Précisons cette notation. Puisque \(f^{-1}\) est un foncteur exact, \(f^{-1}\mathcal{I}\) est un faisceau d’idéaux de \(f^{-1}\mathcal{O}_X\). Par le morphisme \(f^\sharp : f^{-1}\mathcal{O}_X \to \mathcal{O}_Y\), il opère sur \(\mathcal{F}\). Alors \(f^{-1}\mathcal{I}\mathcal{F}\) est le sous-faisceau engendré par les sommes de sections locales de la forme \(as\), où \(a\) est une section locale de \(f^{-1}\mathcal{I}\) et \(s\) une section locale de \(\mathcal{F}\). C’est un sous-\(\mathcal{O}_Y\)-module quasi-cohérent de \(\mathcal{F}\), car c’est aussi l’image d’un morphisme naturel \(f^*\mathcal{I} \otimes_{\mathcal{O}_Y} \mathcal{F} \to \mathcal{F}\).

Cela étant, la démonstration est immédiate. La question est locale, et on peut donc supposer \(X\) affine. Puisque \(f\) est affine, \(Y\) est lui aussi affine. On peut donc écrire \(Y = \Spec(B)\), \(X = \Spec(A)\), \(\mathcal{F} = \widetilde{M}\) et \(\mathcal{I} = \widetilde{I}\). Dans ce cas, l’assertion du lemme se ramène à l’égalité \[I(M_A) = ((IB)M)_A\] où \(M_A\) désigne le \(A\)-module sous-jacent au \(B\)-module \(M\).

Lemme

Soit \(f : Y \to X\) un morphisme de schémas. Supposons que

1. \(f\) soit fini,

2. \(f\) soit surjectif,

3. \(Y\) soit affine, et

4. \(X\) soit noethérien.

Alors \(X\) est affine.

Démonstration

Nous allons montrer que, sous les hypothèses du lemme, pour tout \(\mathcal{O}_X\)-module cohérent \(\mathcal{F}\), on a \(H^1(X, \mathcal{F}) = 0\). Cela entraînera en particulier que \(H^1(X, \mathcal{I}) = 0\) pour tout faisceau quasi-cohérent d’idéaux de \(\mathcal{O}_X\). On en déduira que \(X\) est affine, soit par le lemme 01XF, soit par le lemme 01XG.

Soit \(\mathcal{P}\) la propriété des faisceaux cohérents \(\mathcal{F}\) sur \(X\) définie par \[\mathcal{P}(\mathcal{F}) \Leftrightarrow H^1(X, \mathcal{F}) = 0.\] Nous allons appliquer le lemme 01YM. Il faut donc vérifier les conditions (1), (2) et (3) de ce lemme pour \(\mathcal{P}\). La propriété (1) résulte de la suite exacte longue de cohomologie associée à une suite exacte courte de faisceaux. La propriété (2) résulte de ce que \(H^1(X, -)\) est un foncteur additif. Pour vérifier (3), soit \(Z \subset X\) un sous-schéma fermé intègre de point générique \(\xi\). Soit \(\mathcal{F}\) un faisceau cohérent sur \(Y\) tel que le support de \(f_*\mathcal{F}\) soit égal à \(Z\) et que \((f_*\mathcal{F})_\xi\) soit annulé par \(\mathfrak m_\xi\), voir lemme 01YO. Nous affirmons que \(\mathcal{G} = f_*\mathcal{F}\) convient. Il suffit de vérifier la condition (3)(c) du lemme 01YM. Supposons donc que \(\mathcal{J} \subset \mathcal{O}_X\) soit un faisceau quasi-cohérent d’idéaux tel que \(\mathcal{J}_\xi = \mathcal{O}_{X, \xi}\). Un morphisme fini est affine; d’après le lemme 01YP, on a donc \(\mathcal{J}\mathcal{G} = f_*(f^{-1}\mathcal{J}\mathcal{F})\). De plus, comme on l’a remarqué dans la démonstration du lemme 01YP, le faisceau \(f^{-1}\mathcal{J}\mathcal{F}\) est un \(\mathcal{O}_Y\)-module quasi-cohérent. Puisque \(Y\) est affine, on a \(H^1(Y, f^{-1}\mathcal{J}\mathcal{F}) = 0\), voir lemme 01XB. Puisque \(f\) est fini, donc affine, on a \[H^1(X, \mathcal{J}\mathcal{G}) = H^1(X, f_*(f^{-1}\mathcal{J}\mathcal{F})) = H^1(Y, f^{-1}\mathcal{J}\mathcal{F}) = 0\] d’après le lemme 089W. Le sous-faisceau quasi-cohérent \(\mathcal{G}' = \mathcal{J}\mathcal{G}\) vérifie donc \(\mathcal{P}\). Cela établit la propriété (3)(c) du lemme 01YM, comme voulu.

Faisceaux cohérents sur Proj, I

Dans cette section, nous étudions les faisceaux cohérents sur \(\text{Proj}(A)\), où \(A\) est un anneau gradué noethérien engendré par \(A_1\) sur \(A_0\). Dans la section suivante, nous examinerons le cas où \(A\) n’est pas engendré par ses éléments de degré \(1\). Commençons par un résultat d’ensemble pour l’espace projectif sur un anneau noethérien.

Lemme

Soit \(R\) un anneau noethérien. Soit \(n \geq 0\) un entier. Pour tout faisceau cohérent \(\mathcal{F}\) sur \(\mathbf{P}^n_R\), on a les propriétés suivantes :

1. Il existe \(r \geq 0\), \(d_1, \ldots, d_r \in \mathbf{Z}\) et une surjection \[\bigoplus\nolimits_{j = 1, \ldots, r} \mathcal{O}_{\mathbf{P}^n_R}(d_j) \longrightarrow \mathcal{F}.\]

2. On a \(H^i(\mathbf{P}^n_R, \mathcal{F}) = 0\) sauf si \(0 \leq i \leq n\).

3. Pour tout \(i\), le groupe de cohomologie \(H^i(\mathbf{P}^n_R, \mathcal{F})\) est un \(R\)-module de type fini.

4. Si \(i > 0\), alors \(H^i(\mathbf{P}^n_R, \mathcal{F}(d)) = 0\) pour tout \(d\) assez grand.

5. Pour tout \(k \in \mathbf{Z}\), le \(R[T_0, \ldots, T_n]\)-module gradué \[\bigoplus\nolimits_{d \geq k} H^0(\mathbf{P}^n_R, \mathcal{F}(d))\] est un \(R[T_0, \ldots, T_n]\)-module de type fini.

Démonstration

Nous utiliserons le fait que \(\mathcal{O}_{\mathbf{P}^n_R}(1)\) est un faisceau inversible ample sur le schéma \(\mathbf{P}^n_R\). Cela résulte directement de la définition, puisque \(\mathbf{P}^n_R\) est recouvert par les ouverts affines standard \(D_{+}(T_i)\). Ainsi, d’après Propriétés, proposition 01Q3, tout \(\mathcal{O}_{\mathbf{P}^n_R}\)-module quasi-cohérent de type fini est quotient d’une somme directe finie de puissances tensorielles de \(\mathcal{O}_{\mathbf{P}^n_R}(1)\). D’autre part, les faisceaux cohérents coïncident avec les faisceaux quasi-cohérents de type fini sur l’espace projectif sur \(R\), d’après le lemme 01XZ. D’où (1).

L’espace projectif de dimension \(n\), \(\mathbf{P}^n_R\), est recouvert par \(n + 1\) ouverts affines, à savoir les ouverts standard \(D_{+}(T_i)\), \(i = 0, \ldots, n\), voir Constructions, lemme 01NG. Ainsi, pour tout faisceau quasi-cohérent \(\mathcal{F}\) sur \(\mathbf{P}^n_R\), on a \(H^i(\mathbf{P}^n_R, \mathcal{F}) = 0\) pour \(i \geq n + 1\), voir lemme 01XI. D’où (2).

Démontrons (3) et (4) simultanément pour tous les faisceaux cohérents sur \(\mathbf{P}^n_R\), par récurrence descendante sur \(i\). Le résultat est vrai pour \(i \geq n + 1\) d’après (2). Supposons-le connu pour \(i + 1\) et montrons-le pour \(i\). (Si \(i = 0\), l’assertion (4) est sans objet.) Soit \(\mathcal{F}\) un faisceau cohérent sur \(\mathbf{P}^n_R\). Choisissons une surjection comme dans (1) et notons \(\mathcal{G}\) son noyau, de sorte que l’on ait une suite exacte courte \[0 \to \mathcal{G} \to \bigoplus\nolimits_{j = 1, \ldots, r} \mathcal{O}_{\mathbf{P}^n_R}(d_j) \to \mathcal{F} \to 0\] D’après le lemme 01Y0, \(\mathcal{G}\) est cohérent. La suite exacte longue de cohomologie donne une suite exacte \[H^i(\mathbf{P}^n_R, \bigoplus\nolimits_{j = 1, \ldots, r} \mathcal{O}_{\mathbf{P}^n_R}(d_j)) \to H^i(\mathbf{P}^n_R, \mathcal{F}) \to H^{i + 1}(\mathbf{P}^n_R, \mathcal{G}).\] Par hypothèse de récurrence, le \(R\)-module de droite est de type fini et, d’après le lemme 01XT, le \(R\)-module de gauche est de type fini. Puisque \(R\) est noethérien, il en résulte aussitôt que \(H^i(\mathbf{P}^n_R, \mathcal{F})\) est un \(R\)-module de type fini. Cela établit l’étape de récurrence pour l’assertion (3). Puisque \(\mathcal{O}_{\mathbf{P}^n_R}(d)\) est inversible, tordre un faisceau sur \(\mathbf{P}^n_R\) définit un foncteur exact (car ce foncteur est donné par le produit tensoriel avec un faisceau inversible, voir Constructions, définition 01MN). Autrement dit, pour tout \(d \in \mathbf{Z}\), la suite \[0 \to \mathcal{G}(d) \to \bigoplus\nolimits_{j = 1, \ldots, r} \mathcal{O}_{\mathbf{P}^n_R}(d_j + d) \to \mathcal{F}(d) \to 0\] est exacte courte. La suite de cohomologie qui en résulte est \[H^i(\mathbf{P}^n_R, \bigoplus\nolimits_{j = 1, \ldots, r} \mathcal{O}_{\mathbf{P}^n_R}(d_j + d)) \to H^i(\mathbf{P}^n_R, \mathcal{F}(d)) \to H^{i + 1}(\mathbf{P}^n_R, \mathcal{G}(d)).\] Par hypothèse de récurrence, le module de droite est nul pour \(d \gg 0\) et, d’après le calcul du lemme 01XT, le module de gauche est nul dès que \(d \geq -\min\{d_j\}\) et \(i \geq 1\). D’où l’étape de récurrence pour l’assertion (4). Cela achève la démonstration de (3) et (4).

Pour démontrer (5), notons que, pour tout \(d\) assez grand, l’application \[H^0(\mathbf{P}^n_R, \bigoplus\nolimits_{j = 1, \ldots, r} \mathcal{O}_{\mathbf{P}^n_R}(d_j + d)) \to H^0(\mathbf{P}^n_R, \mathcal{F}(d))\] est surjective, d’après l’annulation de \(H^1(\mathbf{P}^n_R, \mathcal{G}(d))\) que nous venons de démontrer. Autrement dit, le module \[M_k = \bigoplus\nolimits_{d \geq k} H^0(\mathbf{P}^n_R, \mathcal{F}(d))\] est, pour \(k\) assez grand, un quotient du module correspondant \[N_k = \bigoplus\nolimits_{d \geq k} H^0(\mathbf{P}^n_R, \bigoplus\nolimits_{j = 1, \ldots, r} \mathcal{O}_{\mathbf{P}^n_R}(d_j + d) )\] Lorsque \(k\) est assez petit (par exemple \(k < -d_j\) pour tout \(j\)), on a \[N_k = \bigoplus\nolimits_{j = 1, \ldots, r} R[T_0, \ldots, T_n](d_j)\] d’après les calculs de la section 01XS. Il est donc en particulier de type fini. Soit \(k \in \mathbf{Z}\) quelconque. Choisissons \(k_{-} \ll k \ll k_{+}\). Considérons le diagramme \[\xymatrix{ N_{k_{-}} & N_{k_{+}} \ar[d] \ar[l] \\ M_k & M_{k_{+}} \ar[l] }\] où la flèche verticale est l’application surjective ci-dessus et où les flèches horizontales sont les inclusions évidentes. D’après ce qui précède, \(N_{k_{-}}\) est un \(R[T_0, \ldots, T_n]\)-module de type fini. Ainsi \(N_{k_{+}}\) est un \(R[T_0, \ldots, T_n]\)-module de type fini, car c’est un sous-module d’un module de type fini et l’anneau \(R[T_0, \ldots, T_n]\) est noethérien. La flèche verticale étant surjective, \(M_{k_{+}}\) est un \(R[T_0, \ldots, T_n]\)-module de type fini. Le quotient \(M_k/M_{k_{+}}\) est de type fini comme \(R\)-module, car c’est une somme directe finie des \(R\)-modules de type fini \(H^0(\mathbf{P}^n_R, \mathcal{F}(d))\) pour \(k \leq d < k_{+}\). On utilise ici l’assertion (3) pour \(i = 0\). Ainsi \(M_k/M_{k_{+}}\) est a fortiori un \(R[T_0, \ldots, T_n]\)-module de type fini. Autrement dit, \(M_k\) est extension de deux \(R[T_0, \ldots, T_n]\)-modules de type fini, ce qui conclut.

Lemme

Soit \(A\) un anneau gradué tel que \(A_0\) soit noethérien et que \(A\) soit engendré par un nombre fini d’éléments de \(A_1\) sur \(A_0\). Posons \(X = \text{Proj}(A)\). Alors \(X\) est un schéma noethérien. Soit \(\mathcal{F}\) un \(\mathcal{O}_X\)-module cohérent.

1. Il existe \(r \geq 0\), \(d_1, \ldots, d_r \in \mathbf{Z}\) et une surjection \[\bigoplus\nolimits_{j = 1, \ldots, r} \mathcal{O}_X(d_j) \longrightarrow \mathcal{F}.\]

2. Pour tout \(p\), le groupe de cohomologie \(H^p(X, \mathcal{F})\) est un \(A_0\)-module de type fini.

3. Si \(p > 0\), alors \(H^p(X, \mathcal{F}(d)) = 0\) pour tout \(d\) assez grand.

4. Pour tout \(k \in \mathbf{Z}\), le \(A\)-module gradué \[\bigoplus\nolimits_{d \geq k} H^0(X, \mathcal{F}(d))\] est un \(A\)-module de type fini.

Démonstration

Par hypothèse, il existe une surjection de \(A_0\)-algèbres graduées \[A_0[T_0, \ldots, T_n] \longrightarrow A\] où \(\deg(T_j) = 1\) pour \(j = 0, \ldots, n\). D’après Constructions, Lemme 01N1, elle définit une immersion fermée \(i : X \to \mathbf{P}^n_{A_0}\) telle que \(i^*\mathcal{O}_{\mathbf{P}^n_{A_0}}(1) = \mathcal{O}_X(1)\). En particulier, \(X\) est noethérien, étant un sous-schéma fermé du schéma noethérien \(\mathbf{P}^n_{A_0}\). Nous affirmons que les résultats du lemme pour \(\mathcal{F}\) se déduisent des résultats correspondants du lemme 01YS pour le faisceau cohérent \(i_*\mathcal{F}\) (lemme 087T) sur \(\mathbf{P}^n_{A_0}\). Par exemple, ce lemme assure l’existence d’une surjection \[\bigoplus\nolimits_{j = 1, \ldots, r} \mathcal{O}_{\mathbf{P}^n_{A_0}}(d_j) \longrightarrow i_*\mathcal{F}.\] Par adjonction, celle-ci correspond à une application \(\bigoplus_{j = 1, \ldots, r} \mathcal{O}_X(d_j) \longrightarrow \mathcal{F}\), qui est elle aussi surjective. Les assertions sur la cohomologie résultent de l’égalité \(H^p(X, \mathcal{F}(d)) = H^p(\mathbf{P}^n_{A_0}, i_*\mathcal{F}(d))\), d’après le lemme 089W.

Lemme

Soit \(A\) un anneau gradué tel que \(A_0\) soit noethérien et que \(A\) soit engendré par un nombre fini d’éléments de \(A_1\) sur \(A_0\). Soit \(M\) un \(A\)-module gradué de type fini. Posons \(X = \text{Proj}(A)\) et soit \(\widetilde{M}\) le \(\mathcal{O}_X\)-module quasi-cohérent sur \(X\) associé à \(M\). Les applications \[M_n \longrightarrow \Gamma(X, \widetilde{M}(n))\] de Constructions, lemme 01MT, sont des isomorphismes pour tout \(n\) assez grand.

Démonstration

Puisque \(M\) est un \(A\)-module de type fini, \(\widetilde{M}\) est un \(\mathcal{O}_X\)-module de type fini, c’est-à-dire un \(\mathcal{O}_X\)-module cohérent. Posons \(N = \bigoplus_{n \in \mathbf{Z}} \Gamma(X, \widetilde{M}(n))\). Il faut montrer que l’application \(M \to N\) de \(A\)-modules gradués est un isomorphisme en tout degré assez grand. D’après Propriétés, lemme 0AG5, on a un isomorphisme canonique \(\widetilde{N} \to \widetilde{M}\) tel que les applications induites \(N_n \to N_n = \Gamma(X, \widetilde{M}(n))\) soient les identités. On a donc des applications \(\widetilde{M} \to \widetilde{N} \to \widetilde{M}\) telles que, pour tout \(n\), le diagramme \[\xymatrix{ M_n \ar[d] \ar[r] & N_n \ar[d] \ar@{=}[rd] \\ \Gamma(X, \widetilde{M}(n)) \ar[r] & \Gamma(X, \widetilde{N}(n)) \ar[r]^{\cong} & \Gamma(X, \widetilde{M}(n)) }\] soit commutatif. Cela signifie que le composé \[M_n \to \Gamma(X, \widetilde{M}(n)) \to \Gamma(X, \widetilde{N}(n)) \to \Gamma(X, \widetilde{M}(n))\] est l’application canonique \(M_n \to \Gamma(X, \widetilde{M}(n))\). Cela entraîne clairement que le composé \(\widetilde{M} \to \widetilde{N} \to \widetilde{M}\) est l’identité. Ainsi \(\widetilde{M} \to \widetilde{N}\) est un isomorphisme. Posons \(K = \Ker(M \to N)\) et \(Q = \Coker(M \to N)\). Rappelons que le foncteur \(M \mapsto \widetilde{M}\) est exact, voir Constructions, lemme 01M7. On a donc \(\widetilde{K} = 0\) et \(\widetilde{Q} = 0\). Rappelons que \(A\) est un anneau noethérien, que \(M\) est un \(A\)-module de type fini et que \(N\) est un \(A\)-module gradué tel que \(N' = \bigoplus_{n \geq 0} N_n\) soit de type fini, d’après la dernière assertion du lemme 0AG6. Ainsi \(K' = \bigoplus_{n \geq 0} K_n\) et \(Q' = \bigoplus_{n \geq 0} Q_n\) sont des \(A\)-modules de type fini. Notons que \(\widetilde{Q} = \widetilde{Q'}\) et \(\widetilde{K} = \widetilde{K'}\). Pour achever la démonstration, il suffit donc de montrer qu’un \(A\)-module de type fini \(K\) tel que \(\widetilde{K} = 0\) n’a qu’un nombre fini de composantes homogènes non nulles \(K_d\) avec \(d \geq 0\). Pour cela, soient \(x_1, \ldots, x_r \in K\) des générateurs homogènes, de degrés respectifs \(d_1, \ldots, d_r\). Soient \(f_1, \ldots, f_n \in A_1\) des éléments engendrant \(A\) sur \(A_0\). Pour tout \(i\) et tout \(j\), il existe \(n_{ij} \geq 0\) tel que \(f_i^{n_{ij}} x_j = 0\) dans \(K_{d_j + n_{ij}}\) : sinon \(x_i/f_i^{d_i} \in K_{(f_i)}\) serait non nul, donc \(\widetilde{K}\) serait non nul. Alors \(K_d\) est nul pour \(d > \max_j(d_j + \sum_i n_{ij})\), car tout élément de \(K_d\) est une somme de termes, chacun étant un monôme en les \(f_i\) multiplié par l’un des \(x_j\), de degré total \(d\).

Soit \(A\) un anneau gradué tel que \(A_0\) soit noethérien et que \(A\) soit engendré par un nombre fini d’éléments de \(A_1\) sur \(A_0\). Rappelons que \(A_+ = \bigoplus_{n > 0} A_n\) est l’idéal des éléments de degré strictement positif. Soit \(M\) un \(A\)-module gradué. Rappelons que \(M\) est un module de torsion pour les puissances de \(A_+\) si, pour tout \(x \in M\), il existe \(n \geq 1\) tel que \((A_+)^n x = 0\), voir Compléments d’algèbre, définition 05E6. Si \(M\) est de type fini, cela équivaut à \(M_n = 0\) pour \(n \gg 0\). Les modules de torsion pour les puissances de \(A_+\) sont parfois appelés modules de torsion. On dit parfois qu’un \(A\)-module gradué \(M\) est sans torsion si \(x \in M\) avec \((A_+)^n x = 0\), \(n > 0\), entraîne \(x = 0\). Notons \(\text{Mod}_A\) la catégorie des \(A\)-modules gradués, \(\text{Mod}^{fg}_A\) la sous-catégorie pleine des modules de type fini, et \(\text{Mod}^{fg}_{A, torsion}\) la sous-catégorie pleine des modules \(M\) tels que \(M_n = 0\) pour \(n \gg 0\).

Proposition

Soit \(A\) un anneau gradué tel que \(A_0\) soit noethérien et que \(A\) soit engendré par un nombre fini d’éléments de \(A_1\) sur \(A_0\). Posons \(X = \text{Proj}(A)\). Le foncteur \(M \mapsto \widetilde M\) induit une équivalence \[\text{Mod}^{fg}_A/\text{Mod}^{fg}_{A, torsion} \longrightarrow \textit{Coh}(\mathcal{O}_X)\] dont un quasi-inverse est donné par \(\mathcal{F} \longmapsto \bigoplus_{n \geq 0} \Gamma(X, \mathcal{F}(n))\).

Démonstration

La sous-catégorie \(\text{Mod}^{fg}_{A, torsion}\) est une sous-catégorie de Serre de \(\text{Mod}^{fg}_A\), voir Homologie, définition 02MO. Cela est clair d’après la description des objets donnée ci-dessus, mais résulte aussi de Compléments d’algèbre, lemme 0A6K. La catégorie quotient à gauche de la flèche est donc définie dans Homologie, lemme 02MS. Pour définir le foncteur de la proposition, il suffit de montrer que le foncteur \(M \mapsto \widetilde M\) envoie les modules de torsion sur \(0\). Cela est clair, car pour tout élément homogène \(f \in A_+\), le module \(M_f\) est nul; la valeur \(M_{(f)}\) de \(\widetilde M\) sur \(D_+(f)\) est donc elle aussi nulle.

D’après le lemme 0AG6, le quasi-inverse proposé est bien défini. En effet, le lemme montre que \(\mathcal{F} \longmapsto \bigoplus_{n \geq 0} \Gamma(X, \mathcal{F}(n))\) est un foncteur \(\textit{Coh}(\mathcal{O}_X) \to \text{Mod}^{fg}_A\), que l’on peut composer avec le foncteur quotient \(\text{Mod}^{fg}_A \to \text{Mod}^{fg}_A/\text{Mod}^{fg}_{A, torsion}\).

D’après le lemme 0AG7, le composé de gauche à droite puis de droite à gauche est isomorphe au foncteur identité.

Enfin, soit \(\mathcal{F}\) un \(\mathcal{O}_X\)-module cohérent. Posons \(M = \bigoplus_{n \in \mathbf{Z}} \Gamma(X, \mathcal{F}(n))\), considéré comme un \(A\)-module gradué, de sorte que notre foncteur envoie \(\mathcal{F}\) sur \(M_{\geq 0} = \bigoplus_{n \geq 0} M_n\). D’après Propriétés, lemme 0AG5, l’application canonique \(\widetilde M \to \mathcal{F}\) est un isomorphisme. Puisque l’inclusion \(M_{\geq 0} \to M\) définit un isomorphisme \(\widetilde{M_{\geq 0}} \to \widetilde M\), on en déduit que le composé de droite à gauche puis de gauche à droite est lui aussi isomorphe au foncteur identité.

Faisceaux cohérents sur Proj, II

Dans cette section, nous étudions les faisceaux cohérents sur \(\text{Proj}(A)\), où \(A\) est un anneau gradué noethérien. La plupart des résultats se déduisent astucieusement du résultat correspondant de la section précédente, où nous avons traité le cas où \(A\) est engendré par des éléments de degré \(1\).

Lemme

Soit \(A\) un anneau gradué noethérien. Posons \(X = \text{Proj}(A)\). Alors \(X\) est un schéma noethérien. Soit \(\mathcal{F}\) un \(\mathcal{O}_X\)-module cohérent.

1. Il existe \(r \geq 0\), des entiers \(d_1, \ldots, d_r \in \mathbf{Z}\) et une surjection \[\bigoplus\nolimits_{j = 1, \ldots, r} \mathcal{O}_X(d_j) \longrightarrow \mathcal{F}.\]

2. Pour tout \(p\), le groupe de cohomologie \(H^p(X, \mathcal{F})\) est un \(A_0\)-module de type fini.

3. Si \(p > 0\), alors \(H^p(X, \mathcal{F}(d)) = 0\) pour tout \(d\) suffisamment grand.

4. Pour tout \(k \in \mathbf{Z}\), le \(A\)-module gradué \[\bigoplus\nolimits_{d \geq k} H^0(X, \mathcal{F}(d))\] est un \(A\)-module de type fini.

Démonstration

Nous ramenons l’énoncé au lemme 0AG6. D’après Algèbre, lemmes 00JW et 07Z4, l’anneau \(A_0\) est noethérien et \(A\) est engendré sur \(A_0\) par un nombre fini d’éléments \(f_1, \ldots, f_r\) homogènes de degré strictement positif. Soit \(d\) un entier suffisamment divisible. Posons \(A' = A^{(d)}\), avec les notations d’Algèbre, section 00JL. Alors \(A'\) est engendré sur \(A'_0 = A_0\) par des éléments de degré \(1\) ; voir Algèbre, lemme 0EGH. Le lemme 0AG6 s’applique donc à \(X' = \text{Proj}(A')\).

Par Constructions, lemme 0B5J, il existe un isomorphisme de schémas \(i : X \to X'\) et des isomorphismes \(\mathcal{O}_X(nd) \to i^*\mathcal{O}_{X'}(n)\) compatibles avec le morphisme \(A' \to A\) et les morphismes \(A_n \to H^0(X, \mathcal{O}_X(n))\) et \(A'_n \to H^0(X', \mathcal{O}_{X'}(n))\). Le lemme 0AG6 implique donc que \(X\) est noethérien et que (1) et (2) sont satisfaits. Pour établir (3) et (4), on utilise que, pour \(k\), \(p\) et \(q\) fixés, on a \[\bigoplus\nolimits_{dn + q \geq k} H^p(X, \mathcal{F}(dn + q)) = \bigoplus\nolimits_{dn + q \geq k} H^p(X', (i_*\mathcal{F}(q))(n)\] par les compatibilités précédentes. Si \(p > 0\), le membre de droite s’annule pour \(k\) suffisamment grand en fonction de \(q\), d’après le lemme 0AG6. Comme il n’existe qu’un nombre fini de classes de congruence d’entiers modulo \(d\), on voit que (3) est satisfait pour \(\mathcal{F}\) sur \(X\). Si \(p = 0\), le membre de droite est un \(A'\)-module de type fini d’après le lemme 0AG6. En utilisant à nouveau la finitude des classes de congruence, on obtient que \(\bigoplus_{n \geq k} H^0(X, \mathcal{F}(n))\) est lui aussi un \(A'\)-module de type fini. Comme la structure de \(A'\)-module provient de la structure de \(A\)-module (par les compatibilités mentionnées plus haut), on conclut qu’il est également de type fini comme \(A\)-module.

Lemme

Soit \(A\) un anneau gradué noethérien et soit \(d\) le ppcm des degrés d’un système de générateurs de \(A\) sur \(A_0\). Soit \(M\) un \(A\)-module gradué de type fini. Posons \(X = \text{Proj}(A)\) et soit \(\widetilde{M}\) le \(\mathcal{O}_X\)-module quasi-cohérent sur \(X\) associé à \(M\). Soit \(k \in \mathbf{Z}\).

1. \(N' = \bigoplus_{n \geq k} H^0(X, \widetilde{M(n)})\) est un \(A\)-module de type fini,

2. \(N = \bigoplus_{n \geq k} H^0(X, \widetilde{M}(n))\) est un \(A\)-module de type fini,

3. il existe un morphisme canonique \(N \to N'\),

4. si \(k\) est suffisamment petit, il existe un morphisme canonique \(M \to N'\),

5. le morphisme \(M_n \to N'_n\) est un isomorphisme pour \(n \gg 0\),

6. \(N_n \to N'_n\) est un isomorphisme si \(d | n\).

Démonstration

Le morphisme \(N \to N'\) de (3) provient de Constructions, Équation (01MQ), en prenant les sections globales.

Par Constructions, Équation (01MR), il existe un morphisme de \(A\)-modules gradués \(M \to \bigoplus_{n \in \mathbf{Z}} H^0(X, \widetilde{M(n)})\). Si les générateurs de \(M\) sont de degrés \(\geq k\), alors l’image est contenue dans le sous-module \(N' \subset \bigoplus_{n \in \mathbf{Z}} H^0(X, \widetilde{M(n)})\), ce qui donne le morphisme de (4).

Par Algèbre, lemmes 00JW et 07Z4, l’anneau \(A_0\) est noethérien et \(A\) est engendré sur \(A_0\) par un nombre fini d’éléments \(f_1, \ldots, f_r\) homogènes de degré strictement positif. Posons \(d = \text{lcm}(\deg(f_i))\). Alors (6) résulte, par exemple, de Constructions, lemme 01MU.

Comme \(M\) est un \(A\)-module de type fini, \(\widetilde{M}\) est un \(\mathcal{O}_X\)-module de type fini, c’est-à-dire un \(\mathcal{O}_X\)-module cohérent. L’assertion (2) résulte donc du lemme 0B5Q.

Nous déduisons (1) de (2) par l’astuce suivante. Pour \(q \in \{0, \ldots, d - 1\}\), posons \[{}^qN = \bigoplus\nolimits_{n + q \geq k} H^0(X, \widetilde{M(q)}(n))\] Ce sont des \(A\)-modules de type fini par (2). L’anneau noethérien \(A\) est fini sur \(A^{(d)} = \bigoplus_{n \geq 0} A_{dn}\), car il est engendré par les \(f_i\) sur \(A^{(d)}\) et \(f_i^d \in A^{(d)}\). Par conséquent, \({}^qN\) est un \(A^{(d)}\)-module de type fini. De plus, \(A^{(d)}\) est noethérien (cela résulte d’Algèbre, lemme 07Z2). Il s’ensuit que le sous-\(A^{(d)}\)-module \({}^qN^{(d)} = \bigoplus_{n \in \mathbf{Z}} {}^qN_{dn}\) est un module de type fini sur \(A^{(d)}\). À l’aide des isomorphismes \(\widetilde{M(dn + q)} = \widetilde{M(q)}(dn)\), on peut écrire \[N' = \bigoplus\nolimits_{q \in \{0, \ldots, d - 1\}} \bigoplus\nolimits_{dn + q \geq k} H^0(X, \widetilde{M(q)}(dn)) = \bigoplus\nolimits_{q \in \{0, \ldots, d - 1\}} {}^qN^{(d)}\] Ainsi, \(N'\) est de type fini sur \(A^{(d)}\) et, a fortiori, de type fini sur \(A\). Cela démontre (1).

Soit \(K\) un \(A\)-module de type fini tel que \(\widetilde{K} = 0\). Nous affirmons que \(K_n = 0\) si \(d|n\) et \(n \gg 0\). En raisonnant comme ci-dessus, on voit que \(K^{(d)}\) est un \(A^{(d)}\)-module de type fini. Soient \(x_1, \ldots, x_m \in K\) des générateurs homogènes de \(K^{(d)}\) sur \(A^{(d)}\), de degrés respectifs \(d_1, \ldots, d_m\), avec \(d | d_j\). Pour tout \(i\) et tout \(j\), il existe \(n_{ij} \geq 0\) tel que \(f_i^{n_{ij}} x_j = 0\) dans \(K_{d_j + n_{ij}}\) : sinon, \(x_j/f_i^{d_i/\deg(f_i)} \in K_{(f_i)}\) serait non nul, c’est-à-dire que \(\widetilde{K}\) serait non nul. Nous utilisons ici \(\deg(f_i) | d | d_j\) pour tous \(i, j\). On conclut que \(K_n\) est nul pour tout \(n\) tel que \(d | n\) et \(n > \max_j (d_j + \sum_i n_{ij} \deg(f_i))\), car tout élément de \(K_n\) est une somme de termes, chacun étant le produit d’un monôme en les \(f_i\) par l’un des \(x_j\), de degré total \(n\).

Pour achever la démonstration, il reste à montrer que \(M \to N'\) est un isomorphisme en tout degré suffisamment grand. Le morphisme \(N \to N'\) induit un isomorphisme \(\widetilde{N} \to \widetilde{N'}\), car les modules correspondants sont isomorphes sur les ouverts affines \(D_+(f_i) = D_+(f_i^d)\) : \(N_{(f_i)} \cong N_{(f_i^d)} \cong N'_{(f_i^d)} \cong N'_{(f_i)}\) par la propriété (6). D’après Propriétés, lemme 0AG5, on a un isomorphisme canonique \(\widetilde{N} \to \widetilde{M}\). Le composé \(\widetilde{N} \to \widetilde{M} \to \widetilde{N'}\) est l’isomorphisme précédent (démonstration omise ; indication : vérifier sur les ouverts affines standards). Ainsi, le morphisme \(M \to N'\) induit un isomorphisme \(\widetilde{M} \to \widetilde{N'}\). Posons \(K = \Ker(M \to N')\) et \(Q = \Coker(M \to N')\). Rappelons que le foncteur \(M \mapsto \widetilde{M}\) est exact ; voir Constructions, lemme 01M7. On a donc \(\widetilde{K} = 0\) et \(\widetilde{Q} = 0\). D’après le paragraphe précédent, \(K_n = 0\) et \(Q_n = 0\) si \(d | n\) et \(n \gg 0\). On voit ici l’avantage de l’emploi de \(N'\) plutôt que de \(N\) : le foncteur \(M \leadsto N'\) est compatible aux décalages (cela résulte immédiatement de la construction). En répétant tout l’argument après avoir remplacé \(M\) par \(M(q)\), on obtient \(K_n = 0\) et \(Q_n = 0\) si \(n \equiv q \bmod d\) et \(n \gg 0\). Comme il n’existe qu’un nombre fini de classes de congruence modulo \(n\), la démonstration est achevée.

Soit \(A\) un anneau gradué noethérien. Rappelons que \(A_+ = \bigoplus_{n > 0} A_n\) est l’idéal non pertinent. D’après Algèbre, lemmes 00JW et 07Z4, l’anneau \(A_0\) est noethérien et \(A\) est engendré sur \(A_0\) par un nombre fini d’éléments \(f_1, \ldots, f_r\) homogènes de degré strictement positif. Posons \(d = \text{lcm}(\deg(f_i))\). Soit \(M\) un \(A\)-module gradué. Dans cette situation, nous dirons qu’un élément homogène \(x \in M\) est non pertinent² si \[(A_+ x)_{nd} = 0\text{ pour tout }n \gg 0\] Si \(x \in M\) est homogène et non pertinent et si \(f \in A\) est homogène, alors \(fx\) est encore non pertinent. Par conséquent, les éléments non pertinents engendrent un sous-module gradué \(M_{irrelevant} \subset M\). Nous dirons que \(M\) est non pertinent si tout élément homogène de \(M\) est non pertinent, autrement dit si \(M_{irrelevant} = M\). Lorsque \(M\) est de type fini, cela équivaut à \(M_{nd} = 0\) pour \(n \gg 0\). Notons \(\text{Mod}_A\) la catégorie des \(A\)-modules gradués, \(\text{Mod}^{fg}_A\) sa sous-catégorie pleine formée de ceux qui sont de type fini et \(\text{Mod}^{fg}_{A, irrelevant}\) la sous-catégorie pleine des modules non pertinents.

Proposition

Soit \(A\) un anneau gradué noethérien. Posons \(X = \text{Proj}(A)\). Le foncteur \(M \mapsto \widetilde M\) induit une équivalence \[\text{Mod}^{fg}_A/\text{Mod}^{fg}_{A, irrelevant} \longrightarrow \textit{Coh}(\mathcal{O}_X)\] dont un quasi-inverse est donné par \(\mathcal{F} \longmapsto \bigoplus_{n \geq 0} \Gamma(X, \mathcal{F}(n))\).

Démonstration

Nous recommandons au lecteur de commencer par lire la démonstration dans le cas où \(A\) est engendré en degré \(1\) ; voir la proposition 0BXD. Soient \(f_1, \ldots, f_r \in A\) des éléments homogènes de degré strictement positif qui engendrent \(A\) sur \(A_0\). Soit \(d\) le ppcm des degrés \(d_i\) des \(f_i\). Soit \(M\) un \(A\)-module de type fini. Montrons que \(\widetilde{M}\) est nul si et seulement si \(M\) est un \(A\)-module gradué non pertinent (au sens défini avant l’énoncé de la proposition). Soit donc \(x \in M\) un élément homogène. Choisissons \(k \in \mathbf{Z}\) assez petit, et soient \(N \to N'\) et \(M \to N'\) comme dans le lemme 0B5R. On peut aussi choisir \(l\) assez grand pour que \(M_n \to N_n\) soit un isomorphisme pour \(n \geq l\). Si \(\widetilde{M}\) est nul, alors \(N = 0\). Ainsi, pour tout \(f \in A_+\) homogène tel que \(\deg(f) + \deg(x) = nd\) et \(nd > l\), l’élément \(fx\) est nul, car \(N_{nd} \to N'_{nd}\) et \(M_{nd} \to N'_{nd}\) sont des isomorphismes. Donc \(x\) est non pertinent. Réciproquement, supposons \(M\) non pertinent. Alors \(M_{nd}\) est nul pour \(n \gg 0\) (voir la discussion précédant la proposition). Cela entraîne manifestement que \(M_{(f_i)} = M_{(f_i^{d/\deg(f_i)})} = 0\), d’où \(\widetilde{M} = 0\) par construction.

Il en résulte que la sous-catégorie \(\text{Mod}^{fg}_{A, irrelevant}\) est une sous-catégorie de Serre de \(\text{Mod}^{fg}_A\), puisqu’elle est le noyau du foncteur exact \(M \mapsto \widetilde M\) ; voir Homologie, lemme 02MQ, et Constructions, lemme 01M7. La catégorie quotient figurant à gauche de la flèche est donc celle définie dans Homologie, lemme 02MS. Pour définir le foncteur de la proposition, il suffit de montrer que le foncteur \(M \mapsto \widetilde M\) envoie les modules non pertinents sur \(0\), ce que nous avons établi ci-dessus.

Le quasi-inverse proposé est bien défini d’après le lemme 0B5Q. En effet, ce lemme montre que \(\mathcal{F} \longmapsto \bigoplus_{n \geq 0} \Gamma(X, \mathcal{F}(n))\) est un foncteur \(\textit{Coh}(\mathcal{O}_X) \to \text{Mod}^{fg}_A\) que l’on peut composer avec le foncteur quotient \(\text{Mod}^{fg}_A \to \text{Mod}^{fg}_A/\text{Mod}^{fg}_{A, irrelevant}\).

D’après le lemme 0B5R, le composé de gauche à droite puis de droite à gauche est isomorphe au foncteur identité. En effet, soit \(M\) un \(A\)-module gradué de type fini. Choisissons \(k \in \mathbf{Z}\) assez petit, et soient \(N \to N'\) et \(M \to N'\) comme dans le lemme 0B5R. Le noyau et le conoyau de \(M \to N'\) ne sont alors non nuls que dans un nombre fini de degrés, et sont donc non pertinents. De plus, le noyau et le conoyau de \(N \to N'\) sont nuls en tout degré assez grand divisible par \(d\) ; ce sont donc eux aussi des modules non pertinents. Ainsi \(M \to N'\) et \(N \to N'\) sont tous deux des isomorphismes dans la catégorie quotient, comme voulu.

Enfin, soit \(\mathcal{F}\) un \(\mathcal{O}_X\)-module cohérent. Posons \(M = \bigoplus_{n \in \mathbf{Z}} \Gamma(X, \mathcal{F}(n))\) et considérons-le comme un \(A\)-module gradué, de sorte que notre foncteur envoie \(\mathcal{F}\) sur \(M_{\geq 0} = \bigoplus_{n \geq 0} M_n\). D’après Propriétés, lemme 0AG5, le morphisme canonique \(\widetilde M \to \mathcal{F}\) est un isomorphisme. Comme l’inclusion \(M_{\geq 0} \to M\) définit un isomorphisme \(\widetilde{M_{\geq 0}} \to \widetilde M\), on en conclut que le composé de droite à gauche puis de gauche à droite est lui aussi isomorphe au foncteur identité.

Images directes supérieures par les morphismes projectifs

Nous énonçons et démontrons d’abord un résultat lorsque la base est affine, puis nous en déduisons quelques résultats sur les morphismes projectifs.

Lemme

Soit \(R\) un anneau noethérien. Soit \(X \to \Spec(R)\) un morphisme propre. Soit \(\mathcal{L}\) un faisceau inversible ample sur \(X\). Soit \(\mathcal{F}\) un \(\mathcal{O}_X\)-module cohérent.

1. L’anneau gradué \(A = \bigoplus_{d \geq 0} H^0(X, \mathcal{L}^{\otimes d})\) est une \(R\)-algèbre de type fini.

2. Il existe \(r \geq 0\), des entiers \(d_1, \ldots, d_r \in \mathbf{Z}\) et une surjection \[\bigoplus\nolimits_{j = 1, \ldots, r} \mathcal{L}^{\otimes d_j} \longrightarrow \mathcal{F}.\]

3. Pour tout \(p\), le groupe de cohomologie \(H^p(X, \mathcal{F})\) est un \(R\)-module de type fini.

4. Si \(p > 0\), alors \(H^p(X, \mathcal{F} \otimes_{\mathcal{O}_X} \mathcal{L}^{\otimes d}) = 0\) pour tout \(d\) assez grand.

5. Pour tout \(k \in \mathbf{Z}\), le \(A\)-module gradué \[\bigoplus\nolimits_{d \geq k} H^0(X, \mathcal{F} \otimes_{\mathcal{O}_X} \mathcal{L}^{\otimes d})\] est un \(A\)-module de type fini.

Démonstration

D’après Morphismes, lemme 01VT, il existe \(d > 0\) et une immersion \(i : X \to \mathbf{P}^n_R\) telles que \(\mathcal{L}^{\otimes d} \cong i^*\mathcal{O}_{\mathbf{P}^n_R}(1)\). Puisque \(X\) est propre sur \(R\), le morphisme \(i\) est une immersion fermée (Morphismes, lemme 01W6). On a donc \(H^i(X, \mathcal{G}) = H^i(\mathbf{P}^n_R, i_*\mathcal{G})\) pour tout faisceau quasi-cohérent \(\mathcal{G}\) sur \(X\) (d’après le lemme 089W et le fait que les immersions fermées sont affines ; voir Morphismes, lemme 01SE). De plus, si \(\mathcal{G}\) est cohérent, alors \(i_*\mathcal{G}\) l’est aussi (lemme 087T). Nous emploierons désormais ces faits sans autre mention.

Démonstration de (1). Posons \(S = R[T_0, \ldots, T_n]\), de sorte que \(\mathbf{P}^n_R = \text{Proj}(S)\). Remarquons que \(A\) est une \(S\)-algèbre (mais le morphisme d’anneaux \(S \to A\) n’est pas un morphisme d’anneaux gradués, puisque \(S_n\) s’envoie dans \(A_{dn}\)). La formule de projection (Cohomologie, lemme 01E8) donne \[i_*(\mathcal{L}^{\otimes nd + q}) = i_*(\mathcal{L}^{\otimes q}) \otimes_{\mathcal{O}_{\mathbf{P}^n_R}} \mathcal{O}_{\mathbf{P}^n_R}(n)\] pour tout \(n \in \mathbf{Z}\). On en conclut que \(\bigoplus_{n \geq 0} A_{nd + q}\) est un \(S\)-module gradué de type fini d’après le lemme 01YS. Comme \(A = \bigoplus_{q \in \{0, \ldots, d - 1} \bigoplus_{n \geq 0} A_{nd + q}\) on voit que \(A\) est une \(S\)-algèbre finie, ce qui prouve (1).

Démonstration de (2). Cela résulte de Propriétés, proposition 01Q3.

Démonstration de (3). On applique le lemme 01YS et l’égalité \(H^p(X, \mathcal{F}) = H^p(\mathbf{P}^n_R, i_*\mathcal{F})\).

Démonstration de (4). Fixons \(p > 0\). La formule de projection donne \[i_*(\mathcal{F} \otimes_{\mathcal{O}_X} \mathcal{L}^{\otimes nd + q}) = i_*(\mathcal{F} \otimes_{\mathcal{O}_X} \mathcal{L}^{\otimes q}) \otimes_{\mathcal{O}_{\mathbf{P}^n_R}} \mathcal{O}_{\mathbf{P}^n_R}(n)\] pour tout \(n \in \mathbf{Z}\). D’après le lemme 01YS, on a donc \(H^p(X, \mathcal{F} \otimes \mathcal{L}^{nd + q}) = 0\) pour \(n \gg 0\). Comme il n’existe qu’un nombre fini de classes de congruence d’entiers modulo \(d\), ceci prouve (4).

Démonstration de (5). Fixons un entier \(k\). Posons \(M = \bigoplus_{n \geq k} H^0(X, \mathcal{F} \otimes \mathcal{L}^{\otimes n})\). En raisonnant comme ci-dessus, on voit que \(\bigoplus_{nd + q \geq k} M_{nd + q}\) est un \(S\)-module gradué de type fini. Comme \(M = \bigoplus_{q \in \{0, \ldots, d - 1\}} \bigoplus_{nd + q \geq k} M_{nd + q}\) on voit que \(M\) est un \(S\)-module de type fini. Puisque sa structure de \(S\)-module se factorise par le morphisme d’anneaux \(S \to A\), on conclut que \(M\) est un \(A\)-module de type fini.

Lemme

Soit \(f : X \to S\) un morphisme de schémas. Soit \(\mathcal{F}\) un \(\mathcal{O}_X\)-module quasi-cohérent. Soit \(\mathcal{L}\) un faisceau inversible sur \(X\). Supposons que

1. \(S\) soit noethérien,

2. \(f\) soit propre,

3. \(\mathcal{F}\) soit cohérent, et

4. \(\mathcal{L}\) soit relativement ample sur \(X/S\).

Il existe alors \(n_0\) tel que, pour tout \(n \geq n_0\), on ait \[R^pf_*\left(\mathcal{F} \otimes_{\mathcal{O}_X} \mathcal{L}^{\otimes n}\right) = 0\] pour tout \(p > 0\).

Démonstration

Choisissons un recouvrement ouvert affine fini \(S = \bigcup V_j\) et posons \(X_j = f^{-1}(V_j)\). Il suffit manifestement de résoudre la question pour chacun des systèmes, en nombre fini, \((X_j \to V_j, \mathcal{L}|_{X_j}, \mathcal{F}|_{V_j})\). On peut donc supposer \(S\) affine. Dans ce cas, l’annulation de \(R^pf_*(\mathcal{F} \otimes \mathcal{L}^{\otimes n})\) équivaut à celle de \(H^p(X, \mathcal{F} \otimes \mathcal{L}^{\otimes n})\) ; voir le lemme 01XK. L’annulation voulue résulte donc du lemme 0B5T (qui s’applique parce que \(\mathcal{L}\) est ample sur \(X\) d’après Morphismes, Lemme 01VT).

Lemme

Soit \(S\) un schéma localement noethérien. Soit \(f : X \to S\) un morphisme localement projectif. Soit \(\mathcal{F}\) un \(\mathcal{O}_X\)-module cohérent. Alors \(R^if_*\mathcal{F}\) est un \(\mathcal{O}_S\)-module cohérent pour tout \(i \geq 0\).

Démonstration

Remarquons d’abord qu’un morphisme localement projectif est propre (Morphismes, lemme 01WC) et donc de type fini. En particulier, \(X\) est localement noethérien (Morphismes, lemme 01T6), de sorte que l’énoncé a un sens. De plus, d’après le lemme 01XJ, les faisceaux \(R^pf_*\mathcal{F}\) sont quasi-cohérents.

Cela étant, l’énoncé est local sur \(S\) (par exemple d’après Cohomologie, lemme 01E5). On peut donc supposer que \(S = \Spec(R)\) est le spectre d’un anneau noethérien et que \(X\) est un sous-schéma fermé de \(\mathbf{P}^n_R\) pour un certain \(n\) ; voir Morphismes, lemme 01WB. Dans ce cas, les faisceaux \(R^pf_*\mathcal{F}\) sont les faisceaux quasi-cohérents associés aux \(R\)-modules \(H^p(X, \mathcal{F})\) ; voir le lemme 01XK. Il suffit donc de montrer que les \(R\)-modules \(H^p(X, \mathcal{F})\) sont des \(R\)-modules de type fini (lemme 01XZ). Cela résulte du lemme 0B5T, car la restriction de \(\mathcal{O}_{\mathbf{P}^n_R}(1)\) à \(X\) est ample sur \(X\).

Faisceaux inversibles amples et cohomologie

Voici un critère d’amplitude sur les schémas propres sur une base affine, exprimé par l’annulation de la cohomologie des faisceaux tordus.

Lemme

Soit \(R\) un anneau noethérien. Soit \(f : X \to \Spec(R)\) un morphisme propre. Soit \(\mathcal{L}\) un \(\mathcal{O}_X\)-module inversible. Les conditions suivantes sont équivalentes :

1. \(\mathcal{L}\) est ample sur \(X\) (cette condition admet bien d’autres formes équivalentes, voir Propriétés, proposition 01Q3 et Morphismes, Lemme 01VT),

2. pour tout \(\mathcal{O}_X\)-module cohérent \(\mathcal{F}\), il existe \(n_0 \geq 0\) tel que \(H^p(X, \mathcal{F} \otimes \mathcal{L}^{\otimes n}) = 0\) pour tout \(n \geq n_0\) et tout \(p > 0\), et

3. pour tout faisceau quasi-cohérent d’idéaux \(\mathcal{I} \subset \mathcal{O}_X\), il existe \(n \geq 1\) tel que \(H^1(X, \mathcal{I} \otimes \mathcal{L}^{\otimes n}) = 0\).

Démonstration

L’implication (1) \(\Rightarrow\) (2) résulte du lemme 0B5T. L’implication (2) \(\Rightarrow\) (3) est triviale. L’implication (3) \(\Rightarrow\) (1) est le lemme 0B5P.

Lemme

Soit \(R\) un anneau noethérien. Soit \(f : Y \to X\) un morphisme de schémas propres sur \(R\). Soit \(\mathcal{L}\) un \(\mathcal{O}_X\)-module inversible. Supposons \(f\) fini et surjectif. Alors \(\mathcal{L}\) est ample si et seulement si \(f^*\mathcal{L}\) est ample.

Démonstration

L’image réciproque d’un faisceau inversible ample par un morphisme quasi-affine est ample, voir Morphismes, Lemme 0892. Cela démontre l’une des implications, car un morphisme fini est affine par définition.

Supposons \(f^*\mathcal{L}\) ample. Soit \(P\) la propriété suivante des \(\mathcal{O}_X\)-modules cohérents \(\mathcal{F}\) : il existe \(n_0\) tel que \(H^p(X, \mathcal{F} \otimes \mathcal{L}^{\otimes n}) = 0\) pour tout \(n \geq n_0\) et tout \(p > 0\). Nous allons montrer que \(P\) est vérifiée par tout \(\mathcal{O}_X\)-module cohérent \(\mathcal{F}\), ce qui entraînera que \(\mathcal{L}\) est ample d’après le lemme 0B5U. Nous allons appliquer le lemme 01YM. Il faut donc vérifier les conditions (1), (2) et (3) de ce lemme pour \(P\). La propriété (1) résulte de la suite exacte longue de cohomologie associée à une suite exacte courte de faisceaux et du fait que le produit tensoriel avec un faisceau inversible est un foncteur exact. La propriété (2) résulte de ce que \(H^p(X, -)\) est un foncteur additif. Pour vérifier (3), soit \(Z \subset X\) un sous-schéma fermé intègre de point générique \(\xi\). Soit \(\mathcal{F}\) un faisceau cohérent sur \(Y\) tel que le support de \(f_*\mathcal{F}\) soit égal à \(Z\) et que \((f_*\mathcal{F})_\xi\) soit annulé par \(\mathfrak m_\xi\), voir lemme 01YO. Nous affirmons que \(\mathcal{G} = f_*\mathcal{F}\) convient. Il suffit de vérifier la condition (3)(c) du lemme 01YM. Supposons donc que \(\mathcal{J} \subset \mathcal{O}_X\) soit un faisceau quasi-cohérent d’idéaux tel que \(\mathcal{J}_\xi = \mathcal{O}_{X, \xi}\). Un morphisme fini est affine; d’après le lemme 01YP, on a donc \(\mathcal{J}\mathcal{G} = f_*(f^{-1}\mathcal{J}\mathcal{F})\). De plus, comme on l’a remarqué dans la démonstration du lemme 01YP, le faisceau \(f^{-1}\mathcal{J}\mathcal{F}\) est un \(\mathcal{O}_Y\)-module cohérent. Puisque \(\mathcal{L}\) est ample, le lemme 0B5U assure l’existence de \(n_0\) tel que \[H^p(Y, f^{-1}\mathcal{J}\mathcal{F} \otimes_{\mathcal{O}_Y} f^*\mathcal{L}^{\otimes n}) = 0,\] pour \(n \geq n_0\) et \(p > 0\). Puisque \(f\) est fini, donc affine, on a \[\begin{align*} H^p(X, \mathcal{J}\mathcal{G} \otimes_{\mathcal{O}_X} \mathcal{L}^{\otimes n}) & = H^p(X, f_*(f^{-1}\mathcal{J}\mathcal{F}) \otimes_{\mathcal{O}_X} \mathcal{L}^{\otimes n}) \\ & = H^p(X, f_*(f^{-1}\mathcal{J}\mathcal{F} \otimes_{\mathcal{O}_Y} f^*\mathcal{L}^{\otimes n})) \\ & = H^p(Y, f^{-1}\mathcal{J}\mathcal{F} \otimes_{\mathcal{O}_Y} f^*\mathcal{L}^{\otimes n}) = 0 \end{align*}\] On a utilisé ici la formule de projection (Cohomologie, lemme 01E8) et le lemme 089W. Le sous-faisceau quasi-cohérent \(\mathcal{G}' = \mathcal{J}\mathcal{G}\) vérifie donc \(P\). Cela établit la propriété (3)(c) du lemme 01YM, comme voulu.

La cohomologie est fonctorielle. En particulier, étant donnés un espace annelé \(X\), un \(\mathcal{O}_X\)-module inversible \(\mathcal{L}\) et une section \(s \in \Gamma(X, \mathcal{L})\), on obtient des applications \[H^p(X, \mathcal{F}) \longrightarrow H^p(X, \mathcal{F} \otimes_{\mathcal{O}_X} \mathcal{L}), \quad \xi \longmapsto s\xi\] induites par l’application \(\mathcal{F} \to \mathcal{F} \otimes_{\mathcal{O}_X} \mathcal{L}\) de multiplication par \(s\). On pose \(\Gamma_*(X, \mathcal{L}) = \bigoplus_{n \geq 0} \Gamma(X, \mathcal{L}^{\otimes n})\), considéré comme un anneau gradué, voir Modules, définition 01CV. Étant donnés un faisceau de \(\mathcal{O}_X\)-modules \(\mathcal{F}\) et un entier \(p \geq 0\), on pose \[H^p_*(X, \mathcal{L}, \mathcal{F}) = \bigoplus\nolimits_{n \in \mathbf{Z}} H^p(X, \mathcal{F} \otimes_{\mathcal{O}_X} \mathcal{L}^{\otimes n})\] La multiplication définie ci-dessus en fait un \(\Gamma_*(X, \mathcal{L})\)-module gradué. Attention: la notation \(H^p_*(X, \mathcal{L}, \mathcal{F})\) n’est pas usuelle.

Lemme

Soit \(X\) un schéma. Soit \(\mathcal{L}\) un faisceau inversible sur \(X\). Soit \(s \in \Gamma(X, \mathcal{L})\). Soit \(\mathcal{F}\) un \(\mathcal{O}_X\)-module quasi-cohérent. Si \(X\) est quasi-compact et quasi-séparé, l’application canonique \[H^p_*(X, \mathcal{L}, \mathcal{F})_{(s)} \longrightarrow H^p(X_s, \mathcal{F})\] qui envoie \(\xi/s^n\) sur \(s^{-n}\xi\) est un isomorphisme.

Démonstration

Pour \(p = 0\), il s’agit de Propriétés, lemme 01PW. Nous allons démontrer l’assertion au moyen du principe de récurrence (lemme 08DR), en notant, pour tout ouvert quasi-compact \(U \subset X\), \(P(U)\) la propriété : pour tout \(p \geq 0\), l’application \[H^p_*(U, \mathcal{L}, \mathcal{F})_{(s)} \longrightarrow H^p(U_s, \mathcal{F})\] est un isomorphisme.

Si \(U\) est affine, les deux membres de la flèche ci-dessus sont nuls pour \(p > 0\), d’après le lemme 01XB et Propriétés, lemme 01PV, et l’assertion est vraie. Si \(P\) est vraie pour \(U\), \(V\) et \(U \cap V\), on peut utiliser les suites de Mayer-Vietoris (Cohomologie, lemme 01EB) pour obtenir un morphisme de suites exactes longues \[\xymatrix{ H^{p - 1}_*(U \cap V, \mathcal{L}, \mathcal{F})_{(s)} \ar[r] \ar[d] & H^p_*(U \cup V, \mathcal{L}, \mathcal{F})_{(s)} \ar[r] \ar[d] & H^p_*(U, \mathcal{L}, \mathcal{F})_{(s)} \oplus H^p_*(V, \mathcal{L}, \mathcal{F})_{(s)} \ar[d] \\ H^{p - 1}(U_s \cap V_s, \mathcal{F}) \ar[r]& H^p(U_s \cup V_s, \mathcal{F}) \ar[r] & H^p(U_s, \mathcal{F}) \oplus H^p(V_s, \mathcal{F}) }\] (dont on ne représente qu’un fragment). Notons que \(U_s \cap V_s = (U \cap V)_s\) et que \(U_s \cup V_s = (U \cup V)_s\). Les applications verticales de gauche et de droite sont donc des isomorphismes (ainsi qu’une application supplémentaire à droite et une à gauche, qui ne figurent pas dans le diagramme). On en déduit que \(P(U \cup V)\) est vérifiée, d’après le lemme des cinq (Homologie, lemme 05QB). Cela achève la démonstration.

Lemme

Soit \(X\) un schéma. Soit \(\mathcal{L}\) un \(\mathcal{O}_X\)-module inversible. Soit \(s \in \Gamma(X, \mathcal{L})\) une section. Supposons que

1. \(X\) soit quasi-compact et quasi-séparé, et

2. \(X_s\) soit affine.

Alors, pour tout \(\mathcal{O}_X\)-module quasi-cohérent \(\mathcal{F}\), tout \(p > 0\) et tout \(\xi \in H^p(X, \mathcal{F})\), il existe \(n \geq 0\) tel que \(s^n\xi = 0\) dans \(H^p(X, \mathcal{F} \otimes_{\mathcal{O}_X} \mathcal{L}^{\otimes n})\).

Démonstration

Rappelons que \(H^p(X_s, \mathcal{G})\) est nul pour tout module quasi-cohérent \(\mathcal{G}\), d’après le lemme 01XB. Le lemme résulte donc du lemme 09MR.

Pour une version plus générale du lemme suivant, voir Limites, lemme 09MW.

Lemme

Soit \(i : Z \to X\) une immersion fermée de schémas noethériens induisant un homéomorphisme des espaces topologiques sous-jacents. Soit \(\mathcal{L}\) un faisceau inversible sur \(X\). Alors \(i^*\mathcal{L}\) est ample sur \(Z\) si et seulement si \(\mathcal{L}\) est ample sur \(X\).

Démonstration

Si \(\mathcal{L}\) est ample, alors \(i^*\mathcal{L}\) est ample, par exemple d’après Morphismes, Lemme 0892. Supposons \(i^*\mathcal{L}\) ample. Il faut montrer que \(\mathcal{L}\) est ample sur \(X\). Soit \(\mathcal{I} \subset \mathcal{O}_X\) le faisceau cohérent d’idéaux définissant le sous-schéma fermé \(Z\). Puisque \(i(Z) = X\) ensemblistement, on a \(\mathcal{I}^n = 0\) pour un certain \(n\), d’après le lemme 01Y9. Considérons la suite \[X = Z_n \supset Z_{n - 1} \supset Z_{n - 2} \supset \ldots \supset Z_1 = Z\] de sous-schémas fermés définis par \(0 = \mathcal{I}^n \subset \mathcal{I}^{n - 1} \subset \ldots \subset \mathcal{I}\). Chaque immersion fermée \(Z_{i - 1} \to Z_{i}\) est alors définie par un faisceau cohérent d’idéaux de carré nul. On se ramène ainsi au cas où \(\mathcal{I}^2 = 0\).

Considérons la suite exacte courte \[0 \to \mathcal{I} \to \mathcal{O}_X \to i_*\mathcal{O}_Z \to 0\] de \(\mathcal{O}_X\)-modules quasi-cohérents. En tensorisant par \(\mathcal{L}^{\otimes n}\), on obtient des suites exactes courtes [0B8T]\[\begin{equation} 0 \to \mathcal{I} \otimes_{\mathcal{O}_X} \mathcal{L}^{\otimes n} \to \mathcal{L}^{\otimes n} \to i_*i^*\mathcal{L}^{\otimes n} \to 0 \end{equation}\] Puisque \(\mathcal{I}^2 = 0\), on peut utiliser Morphismes, lemme 01QY, pour considérer \(\mathcal{I}\) comme un \(\mathcal{O}_Z\)-module quasi-cohérent; on a alors \(\mathcal{I} \otimes_{\mathcal{O}_X} \mathcal{L}^{\otimes n} = \mathcal{I} \otimes_{\mathcal{O}_Z} i^*\mathcal{L}^{\otimes n}\), avec un abus de notation évident. De plus, la cohomologie de ce faisceau sur \(Z\) s’identifie canoniquement à sa cohomologie sur \(X\) (puisque \(i\) est un homéomorphisme).

Soit \(x \in X\) un point, et notons \(z \in Z\) le point correspondant. Puisque \(i^*\mathcal{L}\) est ample, il existe \(n\) et une section \(s \in \Gamma(Z, i^*\mathcal{L}^{\otimes n})\) tels que \(z \in Z_s\) et que \(Z_s\) soit affine. L’obstruction au relèvement de \(s\) en une section de \(\mathcal{L}^{\otimes n}\) sur \(X\) est le cobord \[\xi = \partial s \in H^1(X, \mathcal{I} \otimes_{\mathcal{O}_X} \mathcal{L}^{\otimes n}) = H^1(Z, \mathcal{I} \otimes_{\mathcal{O}_Z} i^*\mathcal{L}^{\otimes n})\] issu de la suite exacte courte de faisceaux (0B8T). Si l’on remplace \(s\) par \(s^{e + 1}\), alors \(\xi\) est remplacé par \(\partial(s^{e + 1}) = (e + 1) s^e \xi\) dans \(H^1(Z, \mathcal{I} \otimes_{\mathcal{O}_Z} i^*\mathcal{L}^{\otimes (e + 1)n})\), car l’application de cobord de \[0 \to \bigoplus\nolimits_{m \geq 0} \mathcal{I} \otimes_{\mathcal{O}_X} \mathcal{L}^{\otimes m} \to \bigoplus\nolimits_{m \geq 0} \mathcal{L}^{\otimes m} \to \bigoplus\nolimits_{m \geq 0} i_*i^*\mathcal{L}^{\otimes m} \to 0\] est une dérivation d’après Cohomologie, Lemme 0B8S. D’après le lemme 01XR, \(s^e \xi\) est nul pour \(e\) assez grand. Ainsi, quitte à remplacer \(s\) par une puissance, on peut supposer que \(s\) est l’image d’une section \(s' \in \Gamma(X, \mathcal{L}^{\otimes n})\). Alors \(X_{s'}\) est un sous-schéma ouvert et \(Z_s \to X_{s'}\) est une immersion fermée surjective de schémas noethériens, avec \(Z_s\) affine. Ainsi \(X_s\) est affine d’après le lemme 01YQ, et on en déduit que \(\mathcal{L}\) est ample.

Pour une version plus générale du lemme suivant, voir Limites, lemme 0B7L.

Lemme

Soit \(i : Z \to X\) une immersion fermée de schémas noethériens induisant un homéomorphisme des espaces topologiques sous-jacents. Alors \(X\) est quasi-affine si et seulement si \(Z\) est quasi-affine.

Démonstration

Rappelons qu’un schéma est quasi-affine si et seulement si son faisceau structural est ample, voir Propriétés, lemme 01QE. Ainsi, si \(Z\) est quasi-affine, alors \(\mathcal{O}_Z\) est ample, donc \(\mathcal{O}_X\) est ample d’après le lemme 09MS, et par suite \(X\) est quasi-affine. La réciproque, que l’on peut également établir de manière élémentaire, se démontre en lisant le raisonnement précédent en sens inverse.

Lemme

Soit \(X\) un schéma. Soit \(\mathcal{L}\) un \(\mathcal{O}_X\)-module inversible ample. Soit \(n_0\) un entier. Si \(H^p(X, \mathcal{L}^{\otimes -n}) = 0\) pour \(n \geq n_0\) et \(p > 0\), alors \(X\) est affine.

Démonstration

Nous affirmons que \(H^p(X, \mathcal{F}) = 0\) pour tout \(\mathcal{O}_X\)-module quasi-cohérent et tout \(p > 0\). Puisque \(X\) est quasi-compact d’après Propriétés, définition 01PS, cette assertion achève la démonstration, en vertu du lemme 01XF. Le schéma \(X\) est séparé d’après Propriétés, lemme 09MP. Supposons que \(X\) soit recouvert par \(e + 1\) ouverts affines. Alors \(H^p(X, \mathcal{F}) = 0\) pour \(p > e\), voir lemme 01XI. On peut donc procéder par récurrence descendante sur \(p\). En écrivant \(\mathcal{F}\) comme limite inductive filtrante de modules quasi-cohérents de type fini (Propriétés, Lemme 01PG) et en utilisant Cohomologie, Lemme 01FF, on peut supposer \(\mathcal{F}\) de type fini. On peut alors choisir \(n > n_0\) tel que \(\mathcal{F} \otimes_{\mathcal{O}_X} \mathcal{L}^{\otimes n}\) soit engendré par ses sections globales, voir Propriétés, Proposition 01Q3. Cela signifie qu’il existe une suite exacte courte \[0 \to \mathcal{F}' \to \bigoplus\nolimits_{i \in I} \mathcal{L}^{\otimes -n} \to \mathcal{F} \to 0\] pour un certain ensemble \(I\) (on peut en fait choisir \(I\) fini). Par hypothèse de récurrence, on a \(H^{p + 1}(X, \mathcal{F}') = 0\) et, par hypothèse (en utilisant de nouveau la commutation de la cohomologie aux limites inductives), on a \(H^p(X, \bigoplus_{i \in I} \mathcal{L}^{\otimes -n}) = 0\). La suite exacte longue de cohomologie donne alors \(H^p(X, \mathcal{F}) = 0\), comme voulu.

Lemme

Soit \(X\) un schéma quasi-affine. Si \(H^p(X, \mathcal{O}_X) = 0\) pour \(p > 0\), alors \(X\) est affine.

Démonstration

Puisque \(\mathcal{O}_X\) est ample d’après Propriétés, lemme 01QE, cela résulte du lemme 0EBD.

Lemme de Chow

Dans cette section, nous démontrons le lemme de Chow dans le cas noethérien (lemme 0200). Dans Limites, section 01ZZ, nous en démontrons des variantes dans le cas non noethérien.

Lemme

Soit \(S\) un schéma noethérien. Soit \(f : X \to S\) un morphisme séparé de type fini. Il existe alors \(n \geq 0\) et un diagramme \[\xymatrix{ X \ar[rd] & X' \ar[d] \ar[l]^\pi \ar[r] & \mathbf{P}^n_S \ar[dl] \\ & S & }\] où \(X' \to \mathbf{P}^n_S\) est une immersion et \(\pi : X' \to X\) est propre et surjectif. De plus, on peut faire en sorte qu’il existe un sous-schéma ouvert dense \(U \subset X\) tel que \(\pi^{-1}(U) \to U\) soit un isomorphisme.

Démonstration

Tous les schémas qui interviendront dans la suite de la démonstration seront de type fini sur le schéma noethérien \(S\), donc noethériens (voir Morphismes, lemme 01T6). Tous les morphismes entre eux seront automatiquement quasi-compacts, localement de type fini et quasi-séparés, voir Morphismes, lemme 01T8 et Propriétés, lemmes 01OY et 01P0.

Le schéma \(X\) n’a qu’un nombre fini de composantes irréductibles (Propriétés, lemme 0BA8). Soit \(X = X_1 \cup \ldots \cup X_r\) la décomposition de \(X\) en composantes irréductibles. Soit \(\eta_i \in X_i\) le point générique. Pour tout point \(x \in X\), il existe un ouvert affine \(U_x \subset X\) contenant \(x\) et chacun des points génériques \(\eta_i\). Voir Propriétés, lemme 01ZX. Puisque \(X\) est quasi-compact, il admet un recouvrement fini par des ouverts affines \(X = U_1 \cup \ldots \cup U_m\) tel que chaque \(U_i\) contienne \(\eta_1, \ldots, \eta_r\). On en déduit en particulier que l’ouvert \(U = U_1 \cap \ldots \cap U_m \subset X\) est dense. C’est tout ce que nous utiliserons ci-dessous, avec le fait que les \(U_i\) sont des ouverts affines recouvrant \(X\).

Soit \(X^* \subset X\) l’adhérence schématique de \(U \to X\), voir Morphismes, définition 01R7. Posons \(U_i^* = X^* \cap U_i\). Notons que \(U_i^*\) est un sous-schéma fermé de \(U_i\). Ainsi \(U_i^*\) est affine. Puisque \(U\) est dense dans \(X\), le morphisme \(X^* \to X\) est une immersion fermée surjective. C’est un isomorphisme au-dessus de \(U\). On peut donc remplacer \(X\) par \(X^*\) et \(U_i\) par \(U_i^*\), et supposer que \(U\) est schématiquement dense dans \(X\), voir Morphismes, définition 01RB.

D’après Morphismes, lemme 01VS, on peut trouver une immersion \(j_i : U_i \to \mathbf{P}_S^{n_i}\) pour chaque \(i\). D’après Morphismes, lemme 01RG, on peut trouver des sous-schémas fermés \(Z_i \subset \mathbf{P}_S^{n_i}\) tels que \(j_i : U_i \to Z_i\) soit une immersion ouverte schématiquement dense. Notons que \(Z_i \to S\) est propre, voir Morphismes, lemme 01WC. Considérons le morphisme \[j = (j_1|_U, \ldots, j_m|_U) : U \longrightarrow \mathbf{P}_S^{n_1} \times_S \ldots \times_S \mathbf{P}_S^{n_m}.\] D’après le lemme cité ci-dessus, il existe un sous-schéma fermé \(Z\) de \(\mathbf{P}_S^{n_1} \times_S \ldots \times_S \mathbf{P}_S^{n_m}\) tel que \(j : U \to Z\) soit une immersion ouverte et que \(U\) soit schématiquement dense dans \(Z\). Le morphisme \(Z \to S\) est propre. Considérons la \(i\)-ième projection \[\text{pr}_i|_Z : Z \longrightarrow \mathbf{P}^{n_i}_S.\] Ce morphisme se factorise par \(Z_i\) (voir Morphismes, lemme 01R9). Notons \(p_i : Z \to Z_i\) le morphisme induit. Ce morphisme est propre, voir par exemple Morphismes, lemme 01W6. Nous avons donc des immersions ouvertes \(U \subset U_i \subset Z_i\) schématiquement denses. De plus, on peut considérer \(Z\) comme l’image schématique du morphisme « diagonal » \(U \to Z_1 \times_S \ldots \times_S Z_m\).

Posons \(V_i = p_i^{-1}(U_i)\). Notons que \(p_i|_{V_i} : V_i \to U_i\) est propre. Posons \(X' = V_1 \cup \ldots \cup V_m\). Par construction, \(X'\) admet une immersion dans le schéma \(\mathbf{P}^{n_1}_S \times_S \ldots \times_S \mathbf{P}^{n_m}_S\). Ainsi, grâce au plongement de Segre (voir Constructions, lemme 01WD ), \(X'\) admet une immersion dans un espace projectif sur \(S\).

Nous affirmons que les morphismes \(p_i|_{V_i}: V_i \to U_i\) se recollent en un morphisme \(X' \to X\). En effet, \(p_i|_U\) est clairement l’application identité de \(U\) dans \(U\). Puisque \(U \subset X'\) est schématiquement dense par construction, il est aussi schématiquement dense dans le sous-schéma ouvert \(V_i \cap V_j\). On a donc \(p_i|_{V_i \cap V_j} = p_j|_{V_i \cap V_j}\) comme morphismes dans le \(S\)-schéma séparé \(X\), voir Morphismes, lemme 01RH. Notons \(\pi : X' \to X\) le morphisme ainsi obtenu.

Nous affirmons que \(\pi^{-1}(U_i) = V_i\). Puisque \(\pi|_{V_i} = p_i|_{V_i}\), on a \(V_i \subset \pi^{-1}(U_i)\). Considérons le diagramme \[\xymatrix{ V_i \ar[r] \ar[rd]_{p_i|_{V_i}} & \pi^{-1}(U_i) \ar[d] \\ & U_i }\] Puisque \(V_i \to U_i\) est propre, l’image de la flèche horizontale est fermée, voir Morphismes, lemme 01W6. Puisque \(V_i \subset \pi^{-1}(U_i)\) est schématiquement dense (car il contient \(U\)), on en déduit que \(V_i = \pi^{-1}(U_i)\), comme annoncé.

Cela montre que \(\pi^{-1}(U_i) \to U_i\) s’identifie au morphisme propre \(p_i|_{V_i} : V_i \to U_i\). Ainsi \(X\) admet un recouvrement affine fini \(X = \bigcup U_i\) tel que la restriction de \(\pi\) soit propre au-dessus de chaque ouvert du recouvrement. D’après Morphismes, lemme 01W2, \(\pi\) est donc propre.

Enfin, il faut montrer que \(\pi^{-1}(U) = U\). On raisonne pour cela comme ci-dessus, à l’aide du diagramme \[\xymatrix{ U \ar[r] \ar[rd] & \pi^{-1}(U) \ar[d] \\ & U }\] en utilisant le fait que \(\text{id}_U : U \to U\) est propre et que \(U\) est schématiquement dense dans \(\pi^{-1}(U)\).

Remarque

Dans la situation du Lemme de Chow 0200 :

1. Le morphisme \(\pi\) est en fait H-projectif (donc projectif, voir Morphismes, lemme 01W9), car le morphisme \(X' \to \mathbf{P}^n_S \times_S X = \mathbf{P}^n_X\) est une immersion fermée (on utilise le fait que \(\pi\) est propre, voir Morphismes, lemme 01W6).

2. On peut supposer que \(\pi^{-1}(U)\) est schématiquement dense dans \(X'\). En effet, il suffit de remplacer \(X'\) par l’adhérence schématique de \(\pi^{-1}(U)\). On peut alors considérer \(U\) comme un sous-schéma ouvert schématiquement dense de \(X'\). Voir Morphismes, section 01R5.

3. Si \(X\) est réduit, on peut choisir \(X'\) réduit. Cela résulte clairement de (2).

Images directes supérieures des faisceaux cohérents

Dans cette section, nous démontrons le fait fondamental que les images directes supérieures d’un faisceau cohérent par un morphisme propre sont cohérentes.

Proposition

Soit \(S\) un schéma localement noethérien. Soit \(f : X \to S\) un morphisme propre. Soit \(\mathcal{F}\) un \(\mathcal{O}_X\)-module cohérent. Alors \(R^if_*\mathcal{F}\) est un \(\mathcal{O}_S\)-module cohérent pour tout \(i \geq 0\).

Démonstration

La question étant locale sur \(S\), on peut supposer que \(S\) est un schéma noethérien. Un morphisme propre étant de type fini, \(X\) est alors lui aussi un schéma noethérien. Considérons la propriété \(\mathcal{P}\) des faisceaux cohérents sur \(X\) définie par \[\mathcal{P}(\mathcal{F}) \Leftrightarrow R^pf_*\mathcal{F}\text{ est cohérent pour tout }p \geq 0\] Nous allons utiliser le lemme 01YI pour montrer que \(\mathcal{P}\) est vérifiée par tout faisceau cohérent sur \(X\).

Soit \[0 \to \mathcal{F}_1 \to \mathcal{F}_2 \to \mathcal{F}_3 \to 0\] une suite exacte courte de faisceaux cohérents sur \(X\). Considérons la suite exacte longue des images directes supérieures \[R^{p - 1}f_*\mathcal{F}_3 \to R^pf_*\mathcal{F}_1 \to R^pf_*\mathcal{F}_2 \to R^pf_*\mathcal{F}_3 \to R^{p + 1}f_*\mathcal{F}_1\] Il est alors clair que, si deux des trois faisceaux \(\mathcal{F}_i\) vérifient la propriété \(\mathcal{P}\), les images directes supérieures du troisième figurent, dans ce complexe exact, entre deux faisceaux cohérents. Ces images directes supérieures sont donc elles aussi cohérentes, d’après les lemmes 01Y0 et 01Y1. La propriété \(\mathcal{P}\) est donc aussi vérifiée par le troisième.

Soit \(Z \subset X\) un sous-schéma fermé intègre. Il faut trouver un faisceau cohérent \(\mathcal{F}\) sur \(X\) dont le support soit contenu dans \(Z\) et dont la fibre au point générique \(\xi\) de \(Z\) soit un espace vectoriel de dimension \(1\) sur \(\kappa(\xi)\), tel que \(\mathcal{P}\) soit vérifiée par \(\mathcal{F}\). Notons \(g = f|_Z : Z \to S\) la restriction de \(f\). Supposons que l’on puisse trouver un faisceau cohérent \(\mathcal{G}\) sur \(Z\) tel que (a) \(\mathcal{G}_\xi\) soit un espace vectoriel de dimension \(1\) sur \(\kappa(\xi)\), (b) \(R^pg_*\mathcal{G} = 0\) pour \(p > 0\), et (c) \(g_*\mathcal{G}\) soit cohérent. On peut alors considérer \(\mathcal{F} = (Z \to X)_*\mathcal{G}\). Puisque \(Z \to X\) est une immersion fermée, \((Z \to X)_*\mathcal{G}\) est cohérent sur \(X\) et \(R^p(Z \to X)_*\mathcal{G} = 0\) pour \(p > 0\) (lemme 01Y6). D’après la suite spectrale de Leray relative (Cohomologie, lemme 01F6), on aura donc \(R^pf_*\mathcal{F} = R^pg_*\mathcal{G} = 0\) pour \(p > 0\) et \(f_*\mathcal{F} = g_*\mathcal{G}\) sera cohérent. Enfin, \(\mathcal{F}_\xi = ((Z \to X)_*\mathcal{G})_\xi = \mathcal{G}_\xi\), ce qui vérifie la condition sur la fibre en \(\xi\). Tout se ramène donc à trouver un faisceau cohérent \(\mathcal{G}\) sur \(Z\) vérifiant les propriétés (a), (b) et (c).

On peut appliquer le Lemme de Chow 0200 au morphisme \(Z \to S\). On obtient ainsi un diagramme \[\xymatrix{ Z \ar[rd]_g & Z' \ar[d]^-{g'} \ar[l]^\pi \ar[r]_i & \mathbf{P}^m_S \ar[dl] \\ & S & }\] comme dans l’énoncé du lemme de Chow. Soit aussi \(U \subset Z\) le sous-schéma ouvert dense tel que \(\pi^{-1}(U) \to U\) soit un isomorphisme. D’après la remarque 0201, \(i' = (i, \pi) : Z' \to \mathbf{P}^m_Z\) est une immersion fermée. Ainsi \[\mathcal{L} = i^*\mathcal{O}_{\mathbf{P}^m_S}(1) \cong (i')^*\mathcal{O}_{\mathbf{P}^m_Z}(1)\] est relativement ample pour \(g'\) et pour \(\pi\) (par exemple d’après Morphismes, lemme 02NR). D’après le lemme 02O1, il existe donc \(n \geq 0\) tel que l’on ait à la fois \(R^p\pi_*\mathcal{L}^{\otimes n} = 0\) pour tout \(p > 0\) et \(R^p(g')_*\mathcal{L}^{\otimes n} = 0\) pour tout \(p > 0\). Posons \(\mathcal{G} = \pi_*\mathcal{L}^{\otimes n}\). La propriété (a) est vérifiée, car \(\pi_*\mathcal{L}^{\otimes n}|_U\) est un faisceau inversible (puisque \(\pi^{-1}(U) \to U\) est un isomorphisme). Les propriétés (b) et (c) sont vérifiées, car la suite spectrale de Leray relative (Cohomologie, lemme 01F6) donne \[E_2^{p, q} = R^pg_* R^q\pi_*\mathcal{L}^{\otimes n} \Rightarrow R^{p + q}(g')_*\mathcal{L}^{\otimes n}\] et, par le choix de \(n\), les seuls termes non nuls de \(E_2^{p, q}\) sont ceux pour lesquels \(q = 0\), tandis que les seuls termes non nuls de \(R^{p + q}(g')_*\mathcal{L}^{\otimes n}\) sont ceux pour lesquels \(p = q = 0\). Cela entraîne que \(R^pg_*\mathcal{G} = 0\) pour \(p > 0\) et que \(g_*\mathcal{G} = (g')_*\mathcal{L}^{\otimes n}\). Enfin, en appliquant le lemme 02O4, on voit que \(g_*\mathcal{G} = (g')_*\mathcal{L}^{\otimes n}\) est cohérent, comme voulu.

Lemme

Soit \(S = \Spec(A)\), où \(A\) est un anneau noethérien. Soit \(f : X \to S\) un morphisme propre. Soit \(\mathcal{F}\) un \(\mathcal{O}_X\)-module cohérent. Alors \(H^i(X, \mathcal{F})\) est un \(A\)-module de type fini pour tout \(i \geq 0\).

Démonstration

C’est simplement le cas affine de la proposition 02O5. En effet, d’après les lemmes 01XJ et 01XK, \(R^if_*\mathcal{F}\) est le faisceau quasi-cohérent associé au \(A\)-module \(H^i(X, \mathcal{F})\); d’après le lemme 01XZ, ce faisceau est cohérent si et seulement si \(H^i(X, \mathcal{F})\) est un \(A\)-module de type fini.

Lemme

Soit \(A\) un anneau noethérien. Soit \(B\) une \(A\)-algèbre graduée de type fini. Soit \(f : X \to \Spec(A)\) un morphisme propre. Posons \(\mathcal{B} = f^*\widetilde B\). Soit \(\mathcal{F}\) un \(\mathcal{B}\)-module gradué quasi-cohérent de type fini.

1. Pour tout \(p \geq 0\), le \(B\)-module gradué \(H^p(X, \mathcal{F})\) est un \(B\)-module de type fini.

2. Si \(\mathcal{L}\) est un \(\mathcal{O}_X\)-module inversible ample, il existe un entier \(d_0\) tel que \(H^p(X, \mathcal{F} \otimes \mathcal{L}^{\otimes d}) = 0\) pour tout \(p > 0\) et tout \(d \geq d_0\).

Démonstration

Pour le démontrer, considérons le carré cartésien \[\xymatrix{ X' = \Spec(B) \times_{\Spec(A)} X \ar[r]_-\pi \ar[d]_{f'} & X \ar[d]^f \\ \Spec(B) \ar[r] & \Spec(A) }\] Notons que \(f'\) est un morphisme propre, voir Morphismes, lemme 01W4. De plus, \(B\) est de type fini comme \(A\)-algèbre, et est donc noethérien (Algèbre, lemme 00FN). Par suite, \(X'\) est un schéma noethérien (Morphismes, lemme 01T6). Notons que \(X'\) est le spectre relatif de la \(\mathcal{O}_X\)-algèbre quasi-cohérente \(\mathcal{B}\), d’après Constructions, lemme 01LX. Puisque \(\mathcal{F}\) est un \(\mathcal{B}\)-module quasi-cohérent, il existe un unique \(\mathcal{O}_{X'}\)-module quasi-cohérent \(\mathcal{F}'\) tel que \(\pi_*\mathcal{F}' = \mathcal{F}\), voir Morphismes, lemme 01SB. Puisque \(\mathcal{F}\) est de type fini comme \(\mathcal{B}\) -module, \(\mathcal{F}'\) est un \(\mathcal{O}_{X'}\)-module de type fini (détails omis). Autrement dit, \(\mathcal{F}'\) est un \(\mathcal{O}_{X'}\)-module cohérent (lemme 01XZ). Puisque le morphisme \(\pi : X' \to X\) est affine, on a \[H^p(X, \mathcal{F}) = H^p(X', \mathcal{F}')\] d’après le lemme 089W. Ainsi (1) résulte du lemme 02O6. Étant donné \(\mathcal{L}\) comme dans (2), posons \(\mathcal{L}' = \pi^*\mathcal{L}\). Notons que \(\mathcal{L}'\) est ample sur \(X'\), d’après Morphismes, lemme 0892. La formule de projection (Cohomologie, lemme 01E8) donne \(\pi_*(\mathcal{F}' \otimes \mathcal{L}') = \mathcal{F} \otimes \mathcal{L}\). L’assertion (2) se déduit donc, par le même raisonnement que ci-dessus, du lemme 02O1.

Le théorème des fonctions formelles

Dans cette section, nous étudions le comportement de la cohomologie des suites de faisceaux de la forme \(\{I^n\mathcal{F}\}_{n \geq 0}\) ou de la forme \(\{\mathcal{F}/I^n\mathcal{F}\}_{n \geq 0}\) lorsque \(n\) varie.

Nous utiliserons ici et dans la suite la notation suivante. Étant donnés un morphisme de schémas \(f : X \to Y\), un faisceau quasi-cohérent \(\mathcal{F}\) sur \(X\) et un faisceau quasi-cohérent d’idéaux \(\mathcal{I} \subset \mathcal{O}_Y\), on note \(\mathcal{I}^n\mathcal{F}\) le sous-faisceau quasi-cohérent engendré par les produits de sections locales de \(f^{-1}(\mathcal{I}^n)\) et de \(\mathcal{F}\). Autrement dit, \[\mathcal{I}^n\mathcal{F} = \Im\left( f^*(\mathcal{I}^n) \otimes_{\mathcal{O}_X} \mathcal{F} \longrightarrow \mathcal{F} \right).\] Notons qu’il existe des applications naturelles \[f^{-1}(\mathcal{I}^n) \otimes_{f^{-1}\mathcal{O}_Y} \mathcal{I}^m\mathcal{F} \longrightarrow f^*(\mathcal{I}^n) \otimes_{\mathcal{O}_X} \mathcal{I}^m\mathcal{F} \longrightarrow \mathcal{I}^{n + m}\mathcal{F}\] Ainsi, une section de \(\mathcal{I}^n\) définit une application \(R^pf_*(\mathcal{I}^m\mathcal{F}) \to R^pf_*(\mathcal{I}^{n + m}\mathcal{F})\) par fonctorialité des images directes supérieures. Par localisation puis faisceautisation, on obtient des applications de \(\mathcal{O}_Y\)-modules \[\mathcal{I}^n \otimes_{\mathcal{O}_Y} R^pf_*(\mathcal{I}^m\mathcal{F}) \longrightarrow R^pf_*(\mathcal{I}^{n + m}\mathcal{F}).\] Autrement dit, \(\bigoplus_{n \geq 0} R^pf_*(\mathcal{I}^n\mathcal{F})\) est un \(\bigoplus_{n \geq 0} \mathcal{I}^n\)-module gradué.

Si \(Y = \Spec(A)\) et \(\mathcal{I} = \widetilde{I}\), on note \(\mathcal{I}^n\mathcal{F}\) simplement \(I^n\mathcal{F}\). Les applications introduites ci-dessus munissent \(M = \bigoplus H^p(X, I^n\mathcal{F})\) d’une structure de module gradué sur \(S = \bigoplus I^n\). Si \(f\) est propre, \(A\) noethérien et \(\mathcal{F}\) cohérent, ce module est de type fini.

Lemme

Soit \(A\) un anneau noethérien. Soit \(I \subset A\) un idéal. Posons \(B = \bigoplus_{n \geq 0} I^n\). Soit \(f : X \to \Spec(A)\) un morphisme propre. Soit \(\mathcal{F}\) un faisceau cohérent sur \(X\). Alors, pour tout \(p \geq 0\), le \(B\)-module gradué \(\bigoplus_{n \geq 0} H^p(X, I^n\mathcal{F})\) est un \(B\)-module de type fini.

Démonstration

Posons \(\mathcal{B} = f^*\widetilde{B}\). Puisque \(\mathcal{B}\) admet une surjection sur \(\bigoplus I^n\mathcal{O}_X\), il est clair que \(\bigoplus I^n\mathcal{F}\) est un \(\mathcal{B}\)-module gradué de type fini. Le résultat découle donc du lemme 0897 (1).

Lemme

Soient un morphisme de schémas \(f : X \to Y\), un faisceau quasi-cohérent \(\mathcal{F}\) sur \(X\) et un faisceau quasi-cohérent d’idéaux \(\mathcal{I} \subset \mathcal{O}_Y\). Supposons \(Y\) localement noethérien, \(f\) propre et \(\mathcal{F}\) cohérent. Alors \[\mathcal{M} = \bigoplus\nolimits_{n \geq 0} R^pf_*(\mathcal{I}^n\mathcal{F})\] est un \(\mathcal{A} = \bigoplus_{n \geq 0} \mathcal{I}^n\)-module gradué quasi-cohérent de type fini.

Démonstration

L’assertion est locale sur \(Y\); on se ramène donc au cas où \(Y\) est affine. Dans ce cas, le résultat découle du lemme 02O8. Détails omis.

Lemme

Soit \(A\) un anneau noethérien. Soit \(I \subset A\) un idéal. Soit \(f : X \to \Spec(A)\) un morphisme propre. Soit \(\mathcal{F}\) un faisceau cohérent sur \(X\). Alors, pour tout \(p \geq 0\), il existe un entier \(c \geq 0\) tel que

1. l’application de multiplication \(I^{n - c} \otimes H^p(X, I^c\mathcal{F}) \to H^p(X, I^n\mathcal{F})\) soit surjective pour tout \(n \geq c\);

2. l’image de \(H^p(X, I^{n + m}\mathcal{F}) \to H^p(X, I^n\mathcal{F})\) soit contenue dans le sous-module \(I^{m - e} H^p(X, I^n\mathcal{F})\), où \(e = \max(0, c - n)\), pour \(n + m \geq c\), \(n, m \geq 0\);

3. on ait \[\Ker(H^p(X, I^n\mathcal{F}) \to H^p(X, \mathcal{F})) = \Ker(H^p(X, I^n\mathcal{F}) \to H^p(X, I^{n - c}\mathcal{F}))\] pour \(n \geq c\);

4. il existe des applications \(I^nH^p(X, \mathcal{F}) \to H^p(X, I^{n - c}\mathcal{F})\) pour \(n \geq c\), telles que les composés \[H^p(X, I^n\mathcal{F}) \to I^{n - c}H^p(X, \mathcal{F}) \to H^p(X, I^{n - 2c}\mathcal{F})\] et \[I^nH^p(X, \mathcal{F}) \to H^p(X, I^{n - c}\mathcal{F}) \to I^{n - 2c}H^p(X, \mathcal{F})\] pour \(n \geq 2c\) soient les applications canoniques; et

5. les systèmes projectifs \((H^p(X, I^n\mathcal{F}))\) et \((I^nH^p(X, \mathcal{F}))\) soient pro-isomorphes.

Démonstration

Posons \(M_n = H^p(X, I^n\mathcal{F})\) pour \(n \geq 1\) et \(M_0 = H^p(X, \mathcal{F})\), de sorte que l’on ait des applications \(\ldots \to M_3 \to M_2 \to M_1 \to M_0\). En posant \(B = \bigoplus_{n \geq 0} I^n\), on voit que \(M = \bigoplus_{n \geq 0} M_n\) est un \(B\)-module gradué de type fini, voir lemme 02O8. Notons que les produits \(B_n \otimes M_m \to M_{m + n}\), \(a \otimes m \mapsto a \cdot m\), sont compatibles avec les applications de notre système projectif, au sens où les diagrammes \[\xymatrix{ B_n \otimes_A M_m \ar[r] \ar[d] & M_{n + m} \ar[d] \\ B_n \otimes_A M_{m'} \ar[r] & M_{n + m'} }\] commutent pour \(n, m' \geq 0\) et \(m \geq m'\).

Démontrons (1). Choisissons \(d_1, \ldots, d_t \geq 0\) et \(x_i \in M_{d_i}\) tels que \(M\) soit engendré par \(x_1, \ldots, x_t\) sur \(B\). Pour tout \(c \geq \max\{d_i\}\), on a alors \(B_{n - c} \cdot M_c = M_n\) pour \(n \geq c\), ce qui établit (1).

Démontrons (2). Soit \(c\) comme dans la démonstration de (1). Soit \(n + m \geq c\). On a \(M_{n + m} = B_{n + m - c} \cdot M_c\). Si \(c > n\), on utilise \(M_c \to M_n\) et la compatibilité des produits avec les applications de transition signalée ci-dessus pour en déduire que l’image de \(M_{n + m} \to M_n\) est contenue dans \(I^{n + m - c}M_n\). Si \(c \leq n\), on écrit \(M_{n + m} = B_m \cdot B_{n - c} \cdot M_c = B_m \cdot M_n\), ce qui montre que l’image est contenue dans \(I^m M_n\). Cela démontre (2).

Soit \(K_n \subset M_n\) le noyau de l’application \(M_n \to M_0\). La compatibilité des produits avec les applications de transition signalée ci-dessus montre que \(K = \bigoplus K_n \subset M\) est un sous-\(B\)-module gradué. Puisque \(B\) est noethérien et que \(M\) est un \(B\)-module gradué de type fini, \(K\) est un \(B\)-module gradué de type fini. Choisissons \(d'_1, \ldots, d'_{t'} \geq 0\) et \(y_i \in K_{d'_i}\) tels que \(K\) soit engendré par \(y_1, \ldots, y_{t'}\) sur \(B\). Posons \(c = \max(d'_i, d'_j)\). Puisque \(y_i \in \Ker(M_{d'_i} \to M_0)\), on a \(B_n \cdot y_i \subset \Ker(M_{n + d'_i} \to M_n)\). On en déduit que \(K_n = \Ker(M_n \to M_{n - c})\) pour \(n \geq c\). Cela démontre (3).

Considérons le diagramme commutatif suivant, dont les flèches pleines sont données : \[\xymatrix{ I^n \otimes_A M_0 \ar[r] \ar[d] & I^nM_0 \ar[r] \ar@{..>}[d] & M_0 \ar[d] \\ M_n \ar[r] & M_{n - c} \ar[r] & M_0 }\] Puisque le noyau de la flèche surjective \(I^n \otimes_A M_0 \to I^nM_0\) a son image dans \(K_n\), ce qui précède fournit la flèche pointillée, et le composé \(I^nM_0 \to M_{n - c} \to M_0\) est l’application canonique. Il est alors clair que le composé \(I^nM_0 \to M_{n - c} \to I^{n - 2c}M_0\) est l’application canonique pour \(n \geq 2c\). Considérons le composé \(M_n \to I^{n - c}M_0 \to M_{n - 2c}\). La première application envoie un élément de la forme \(a \cdot m\), avec \(a \in I^{n - c}\) et \(m \in M_c\), sur \(a m'\), où \(m'\) est l’image de \(m\) dans \(M_0\). La seconde application envoie cet élément sur \(a \cdot m'\) dans \(M_{n - 2c}\), ce qui établit (4).

L’assertion (5) résulte immédiatement de (4) et de la définition des morphismes de pro-objets.

Dans la situation des lemmes 02O8 et 02OA, considérons le système projectif \[\mathcal{F}/I\mathcal{F} \leftarrow \mathcal{F}/I^2\mathcal{F} \leftarrow \mathcal{F}/I^3\mathcal{F} \leftarrow \ldots\] Nous voudrions connaître le comportement des groupes de cohomologie. Voici un premier résultat.

Lemme

Soit \(A\) un anneau noethérien. Soit \(I \subset A\) un idéal. Soit \(f : X \to \Spec(A)\) un morphisme propre. Soit \(\mathcal{F}\) un faisceau cohérent sur \(X\). Fixons \(p \geq 0\). Il existe \(c \geq 0\) tel que

1. pour tout \(n \geq c\), on ait \[\Ker(H^p(X, \mathcal{F}) \to H^p(X, \mathcal{F}/I^n\mathcal{F})) \subset I^{n - c}H^p(X, \mathcal{F}).\]

2. le système projectif \[\left(H^p(X, \mathcal{F}/I^n\mathcal{F})\right)_{n \in \mathbf{N}}\] vérifie la condition de Mittag-Leffler (voir Homologie, définition 02N0); et

3. on ait \[\Im(H^p(X, \mathcal{F}/I^k\mathcal{F}) \to H^p(X, \mathcal{F}/I^n\mathcal{F})) = \Im(H^p(X, \mathcal{F}) \to H^p(X, \mathcal{F}/I^n\mathcal{F}))\] pour tout \(k \geq n + c\).

Démonstration

Posons \(c = \max\{c_p, c_{p + 1}\}\), où \(c_p, c_{p + 1}\) sont les entiers obtenus dans le lemme 02OA pour \(H^p\) et \(H^{p + 1}\).

Démontrons (1). Considérons la suite exacte courte \[0 \to I^n\mathcal{F} \to \mathcal{F} \to \mathcal{F}/I^n\mathcal{F} \to 0\] La suite exacte longue de cohomologie donne \[\Ker( H^p(X, \mathcal{F}) \to H^p(X, \mathcal{F}/I^n\mathcal{F}) ) = \Im( H^p(X, I^n\mathcal{F}) \to H^p(X, \mathcal{F}) )\] D’après le lemme 02OA (2), ce sous-module est donc contenu dans \(I^{n - c}H^p(X, \mathcal{F})\) pour \(n \geq c\).

Notons que (3) entraîne (2), par définition des systèmes de Mittag-Leffler.

Démontrons (3). Fixons \(n\). Considérons le diagramme commutatif \[\xymatrix{ 0 \ar[r] & I^n\mathcal{F} \ar[r] & \mathcal{F} \ar[r] & \mathcal{F}/I^n\mathcal{F} \ar[r] & 0 \\ 0 \ar[r] & I^{n + m}\mathcal{F} \ar[r] \ar[u] & \mathcal{F} \ar[r] \ar[u] & \mathcal{F}/I^{n + m}\mathcal{F} \ar[r] \ar[u] & 0 }\] Il induit le diagramme commutatif suivant : \[\xymatrix{ H^p(X, \mathcal{F}) \ar[r] & H^p(X, \mathcal{F}/I^n\mathcal{F}) \ar[r]_\delta & H^{p + 1}(X, I^n\mathcal{F}) \ar[r] & H^{p + 1}(X, \mathcal{F}) \\ H^p(X, \mathcal{F}) \ar[r] \ar[u]^1 & H^p(X, \mathcal{F}/I^{n + m}\mathcal{F}) \ar[r] \ar[u]^\gamma & H^{p + 1}(X, I^{n + m}\mathcal{F}) \ar[u]^\alpha \ar[r]^-\beta & H^{p + 1}(X, \mathcal{F}) \ar[u]_1 }\] dont les lignes sont exactes. D’après le lemme 02OA (4), le noyau de \(\beta\) est égal à celui de \(\alpha\) pour \(m \geq c\). Une chasse au diagramme montre alors que l’image de \(\gamma\) est contenue dans le noyau de \(\delta\), ce qui établit (3) (en posant \(k = n + m\)).

Théorème

Soit \(A\) un anneau noethérien. Soit \(I \subset A\) un idéal. Soit \(f : X \to \Spec(A)\) un morphisme propre. Soit \(\mathcal{F}\) un faisceau cohérent sur \(X\). Fixons \(p \geq 0\). Le système d’applications \[H^p(X, \mathcal{F})/I^nH^p(X, \mathcal{F}) \longrightarrow H^p(X, \mathcal{F}/I^n\mathcal{F})\] définit un isomorphisme de limites \[H^p(X, \mathcal{F})^\wedge \longrightarrow \lim_n H^p(X, \mathcal{F}/I^n\mathcal{F})\] où le membre de gauche est le complété du \(A\)-module \(H^p(X, \mathcal{F})\) relativement à l’idéal \(I\), voir Algèbre, section 00M9. De plus, cet isomorphisme est un homéomorphisme pour les topologies de limite projective.

Démonstration

Cela se déduit du lemme 02OB comme suit. Posons \(M = H^p(X, \mathcal{F})\), \(M_n = H^p(X, \mathcal{F}/I^n\mathcal{F})\), et notons \(N_n = \Im(M \to M_n)\). D’après le lemme 02OB (2) et (3), \((M_n)\) est un système de Mittag-Leffler dans lequel \(N_n \subset M_n\) est l’image de \(M_k\) pour tout \(k \gg n\). Il en résulte que \(\lim M_n = \lim N_n\) comme modules topologiques (munis des topologies de limite projective). D’autre part, les \(N_n\) forment un système projectif de quotients du module \(M\); par suite, \(\lim N_n\) est le complété de \(M\) pour la topologie définie par les noyaux \(K_n = \Ker(M \to N_n)\). D’après le lemme 02OB (1), on a \(K_n \subset I^{n - c}M\) et, puisque \(N_n \subset M_n\) est annulé par \(I^n\), on a \(I^n M \subset K_n\). La topologie définie par les sous-modules \(K_n\) comme système fondamental de voisinages ouverts de \(0\) est donc la topologie \(I\)-adique, et l’application induite \(M^\wedge = \lim M/I^nM \to \lim N_n = \lim M_n\) est un isomorphisme de modules topologiques³.

Lemme

Soit \(A\) un anneau. Soit \(I \subset A\) un idéal. Supposons \(A\) noethérien et complet relativement à \(I\). Soit \(f : X \to \Spec(A)\) un morphisme propre. Soit \(\mathcal{F}\) un faisceau cohérent sur \(X\). Alors \[H^p(X, \mathcal{F}) = \lim_n H^p(X, \mathcal{F}/I^n\mathcal{F})\] pour tout \(p \geq 0\).

Démonstration

C’est une reformulation du théorème des fonctions formelles (Théorème 02OC) dans le cas d’un anneau de base noethérien complet. En effet, dans ce cas, le \(A\)-module \(H^p(X, \mathcal{F})\) est de type fini (lemme 02O6), donc complet pour la topologie \(I\)-adique (Algèbre, lemme 00MA); il est donc inutile de compléter le membre de gauche.

Lemme

Soient un morphisme de schémas \(f : X \to Y\) et un faisceau quasi-cohérent \(\mathcal{F}\) sur \(X\). Supposons que

1. \(Y\) soit localement noethérien,

2. \(f\) soit propre, et

3. \(\mathcal{F}\) soit cohérent.

Soit \(y \in Y\) un point. Considérons les voisinages infinitésimaux \[\xymatrix{ X_n = \Spec(\mathcal{O}_{Y, y}/\mathfrak m_y^n) \times_Y X \ar[r]_-{i_n} \ar[d]_{f_n} & X \ar[d]^f \\ \Spec(\mathcal{O}_{Y, y}/\mathfrak m_y^n) \ar[r]^-{c_n} & Y }\] de la fibre \(X_1 = X_y\) et posons \(\mathcal{F}_n = i_n^*\mathcal{F}\). On a alors \[\left(R^pf_*\mathcal{F}\right)_y^\wedge \cong \lim_n H^p(X_n, \mathcal{F}_n)\] comme \(\mathcal{O}_{Y, y}^\wedge\)-modules.

Démonstration

C’est simplement une reformulation d’un cas particulier du théorème des fonctions formelles, Théorème 02OC. Détaillons-la. Notons que \(\mathcal{O}_{Y, y}\) est un anneau local noethérien. Considérons le morphisme canonique \(c : \Spec(\mathcal{O}_{Y, y}) \to Y\), voir Schémas, Équation (02NA). Ce morphisme est plat, car il identifie les anneaux locaux. Notons provisoirement \(f' : X' \to \Spec(\mathcal{O}_{Y, y})\) le changement de base de \(f\) à cet anneau local. On a \(c^*R^pf_*\mathcal{F} = R^pf'_*\mathcal{F}'\), d’après le lemme 02KH. De plus, les voisinages infinitésimaux des fibres \(X_y\) et \(X'_y\) s’identifient (vérification omise; indication : les morphismes \(c_n\) se factorisent par \(c\)).

On peut donc supposer que \(Y = \Spec(A)\) est le spectre d’un anneau local noethérien \(A\) d’idéal maximal \(\mathfrak m\), et que \(y \in Y\) est le point fermé (c’est-à-dire celui correspondant à \(\mathfrak m\)). Il en résulte en particulier que \[\left(R^pf_*\mathcal{F}\right)_y = \Gamma(Y, R^pf_*\mathcal{F}) = H^p(X, \mathcal{F}).\]

Dans ce cas, les morphismes \(c_n\) sont aussi des immersions fermées. Leurs changements de base \(i_n\) sont donc eux aussi des immersions fermées. Notons que \(i_{n, *}\mathcal{F}_n = i_{n, *}i_n^*\mathcal{F} = \mathcal{F}/\mathfrak m^n\mathcal{F}\). La suite spectrale de Leray pour \(i_n\) et le lemme 01Y6 donnent \[H^p(X_n, \mathcal{F}_n) = H^p(X, i_{n, *}\mathcal{F}_n) = H^p(X, \mathcal{F}/\mathfrak m^n\mathcal{F})\] On peut donc appliquer le théorème des fonctions formelles pour calculer la limite de l’énoncé, ce qui conclut.

Voici un lemme que nous généraliserons aux fibres de dimension \(> 0\) dans le lemme suivant.

Lemme

Soit \(f : X \to Y\) un morphisme de schémas. Soit \(y \in Y\). Supposons que

1. \(Y\) soit localement noethérien,

2. \(f\) soit propre, et

3. \(f^{-1}(\{y\})\) soit fini.

Alors, pour tout faisceau cohérent \(\mathcal{F}\) sur \(X\), on a \((R^pf_*\mathcal{F})_y = 0\) pour tout \(p > 0\).

Démonstration

La fibre \(X_y\) est finie et, d’après Morphismes, lemme 02NG, c’est un espace discret fini. De plus, chaque voisinage infinitésimal \(X_n\) a le même espace topologique sous-jacent. Chacun des schémas \(X_n\) est donc affine, d’après Schémas, lemme 02O0. Il en résulte que \(H^p(X_n, \mathcal{F}_n) = 0\) pour tout \(p > 0\). Ainsi \((R^pf_*\mathcal{F})_y^\wedge = 0\), d’après le lemme 02OD. Notons que \(R^pf_*\mathcal{F}\) est cohérent, d’après la proposition 02O5; par suite, \(R^pf_*\mathcal{F}_y\) est un \(\mathcal{O}_{Y, y}\)-module de type fini. D’après le lemme de Nakayama (Algèbre, lemme 00DV), si le complété d’un module de type fini sur un anneau local est nul, le module est nul. D’où \((R^pf_*\mathcal{F})_y = 0\).

Lemme

Soit \(f : X \to Y\) un morphisme de schémas. Soit \(y \in Y\). Supposons que

1. \(Y\) soit localement noethérien,

2. \(f\) soit propre, et

3. \(\dim(X_y) = d\).

Alors, pour tout faisceau cohérent \(\mathcal{F}\) sur \(X\), on a \((R^pf_*\mathcal{F})_y = 0\) pour tout \(p > d\).

Démonstration

La fibre \(X_y\) est de type fini sur \(\Spec(\kappa(y))\). Ainsi \(X_y\) est un schéma noethérien, d’après Morphismes, lemme 01T6. L’espace topologique sous-jacent de \(X_y\) est donc noethérien, voir Propriétés, lemme 01OZ. De plus, chaque voisinage infinitésimal \(X_n\) a le même espace topologique sous-jacent que \(X_y\). Ainsi \(H^p(X_n, \mathcal{F}_n) = 0\) pour tout \(p > d\), d’après Cohomologie, proposition 02UZ. On en déduit que \((R^pf_*\mathcal{F})_y^\wedge = 0\), d’après le lemme 02OD, pour \(p > d\). Notons que \(R^pf_*\mathcal{F}\) est cohérent, d’après la proposition 02O5; par suite, \(R^pf_*\mathcal{F}_y\) est un \(\mathcal{O}_{Y, y}\)-module de type fini. D’après le lemme de Nakayama (Algèbre, lemme 00DV), si le complété d’un module de type fini sur un anneau local est nul, le module est nul. D’où \((R^pf_*\mathcal{F})_y = 0\).

Applications du théorème sur les fonctions formelles

Nous compléterons cette section au besoin. Pour le moment, nous avons besoin de la caractérisation suivante des morphismes finis dans le cas noethérien.

Lemme

(Pour une version plus générale, voir Compléments sur les morphismes, lemme 02LS.) Soit \(f : X \to S\) un morphisme de schémas. Supposons que \(S\) soit localement noethérien. Les assertions suivantes sont équivalentes :

1. \(f\) est fini, et

2. \(f\) est propre à fibres finies.

Démonstration

Un morphisme fini est propre d’après Morphismes, lemme 01WN. Un morphisme fini est quasi-fini d’après Morphismes, lemme 02NU. Un morphisme quasi-fini a des fibres finies, voir Morphismes, lemme 02NH. Ainsi, un morphisme fini est propre et a des fibres finies.

Supposons que \(f\) soit propre à fibres finies. Nous voulons montrer que \(f\) est fini. En fait, il suffit de montrer que \(f\) est affine. En effet, si \(f\) est affine, alors \(f\) est intégral d’après Morphismes, lemme 01WM, et il résulte alors de Morphismes, lemme 01WJ, que \(f\) est fini.

Pour montrer que \(f\) est affine, nous pouvons supposer que \(S\) est affine, et notre but est alors de montrer que \(X\) est également affine. Puisque \(f\) est propre, on voit que \(X\) est séparé et quasi-compact. Nous pouvons donc utiliser le critère du lemme 01XG pour montrer que \(X\) est affine. Pour cela, soit \(\mathcal{I} \subset \mathcal{O}_X\) un faisceau d’idéaux de type fini. En particulier, \(\mathcal{I}\) est un faisceau cohérent sur \(X\). D’après le lemme 02OE, nous concluons que \(R^1f_*\mathcal{I}_s = 0\) pour tout \(s \in S\). Autrement dit, \(R^1f_*\mathcal{I} = 0\). La suite spectrale de Leray pour \(f\) donne donc \(H^1(X , \mathcal{I}) = H^1(S, f_*\mathcal{I})\). Comme \(S\) est affine et que \(f_*\mathcal{I}\) est quasi-cohérent (Schémas, lemme 01LC), nous déduisons \(H^1(S, f_*\mathcal{I}) = 0\) du lemme 01XB, comme voulu. Ainsi, \(H^1(X, \mathcal{I}) = 0\), comme voulu.

On en déduit le résultat utile suivant.

Lemme

(Pour une version plus générale, voir Compléments sur les morphismes, lemme 02UP.) Soit \(f : X \to S\) un morphisme de schémas. Soit \(s \in S\). Supposons que

1. \(S\) est localement noethérien,

2. \(f\) est propre, et

3. \(f^{-1}(\{s\})\) est un ensemble fini.

Il existe alors un voisinage ouvert \(V \subset S\) de \(s\) tel que \(f|_{f^{-1}(V)} : f^{-1}(V) \to V\) soit fini.

Démonstration

Le morphisme \(f\) est quasi-fini en tout point de \(f^{-1}(\{s\})\) d’après Morphismes, lemme 02NG. D’après Morphismes, lemme 01TI, l’ensemble des points où \(f\) est quasi-fini est un ouvert \(U \subset X\). Posons \(Z = X \setminus U\). Alors \(s \not \in f(Z)\). Puisque \(f\) est propre, l’ensemble \(f(Z) \subset S\) est fermé. Choisissons un voisinage ouvert \(V \subset S\) de \(s\) tel que \(Z \cap V = \emptyset\). Alors \(f^{-1}(V) \to V\) est localement quasi-fini et propre. Il est donc quasi-fini (Morphismes, lemme 01TJ), donc à fibres finies (Morphismes, lemme 02NH), et par conséquent fini d’après le lemme 02OG.

Lemme

Soit \(f : X \to Y\) un morphisme propre de schémas, avec \(Y\) noethérien. Soit \(\mathcal{L}\) un \(\mathcal{O}_X\)-module inversible. Soit \(\mathcal{F}\) un \(\mathcal{O}_X\)-module cohérent. Soit \(y \in Y\) un point tel que \(\mathcal{L}_y\) soit ample sur \(X_y\). Il existe alors un entier \(d_0\) tel que, pour tout \(d \geq d_0\), on ait \[R^pf_*(\mathcal{F} \otimes_{\mathcal{O}_X} \mathcal{L}^{\otimes d})_y = 0 \text{ pour }p > 0\] et l’application \[f_*(\mathcal{F} \otimes_{\mathcal{O}_X} \mathcal{L}^{\otimes d})_y \longrightarrow H^0(X_y, \mathcal{F}_y \otimes_{\mathcal{O}_{X_y}} \mathcal{L}_y^{\otimes d})\] est surjective.

Démonstration

Remarquons que \(\mathcal{O}_{Y, y}\) est un anneau local noethérien. Considérons le morphisme canonique \(c : \Spec(\mathcal{O}_{Y, y}) \to Y\), voir Schémas, Équation (02NA). Ce morphisme est plat, puisqu’il identifie les anneaux locaux. Notons provisoirement \(f' : X' \to \Spec(\mathcal{O}_{Y, y})\) le changement de base de \(f\) à cet anneau local. On a \(c^*R^pf_*\mathcal{F} = R^pf'_*\mathcal{F}'\) d’après le lemme 02KH. De plus, les fibres \(X_y\) et \(X'_y\) sont identifiées. Nous pouvons donc supposer que \(Y = \Spec(A)\) est le spectre d’un anneau local noethérien \((A, \mathfrak m, \kappa)\) et que \(y \in Y\) correspond à \(\mathfrak m\). Dans ce cas, \(R^pf_*(\mathcal{F} \otimes_{\mathcal{O}_X} \mathcal{L}^{\otimes d})_y = H^p(X, \mathcal{F} \otimes_{\mathcal{O}_X} \mathcal{L}^{\otimes d})\) pour tout \(p \geq 0\). Notons \(f_y : X_y \to \Spec(\kappa)\) la projection.

Posons \(B = \text{Gr}_\mathfrak m(A) = \bigoplus_{n \geq 0} \mathfrak m^n/\mathfrak m^{n + 1}\). Considérons le faisceau \(\mathcal{B} = f_y^*\widetilde{B}\) de \(\mathcal{O}_{X_y}\)-algèbres graduées quasi-cohérentes. Nous utiliserons les notations de la section 02O7, où \(I\) est remplacé par \(\mathfrak m\). Comme \(X_y\) est le sous-schéma fermé de \(X\) défini par \(\mathfrak m\mathcal{O}_X\), nous pouvons considérer \(\mathfrak m^n\mathcal{F}/\mathfrak m^{n + 1}\mathcal{F}\) comme un \(\mathcal{O}_{X_y}\)-module cohérent, voir le lemme 087T. Alors \(\bigoplus_{n \geq 0} \mathfrak m^n\mathcal{F}/\mathfrak m^{n + 1}\mathcal{F}\) est un \(\mathcal{B}\)-module gradué quasi-cohérent de type fini, car il est engendré en degré zéro sur \(\mathcal{B}\) et car sa partie de degré zéro est \(\mathcal{F}_y = \mathcal{F}/\mathfrak m \mathcal{F}\) qui est un \(\mathcal{O}_{X_y}\)-module cohérent. Ainsi, d’après le lemme 0897, partie (2), on voit que \[H^p(X_y, \mathfrak m^n \mathcal{F}/ \mathfrak m^{n + 1}\mathcal{F} \otimes_{\mathcal{O}_{X_y}} \mathcal{L}_y^{\otimes d}) = 0\] pour tous \(p > 0\), \(d \geq d_0\) et \(n \geq 0\). D’après le lemme 089W, cela revient à dire que \(H^p(X, \mathfrak m^n \mathcal{F}/ \mathfrak m^{n + 1}\mathcal{F} \otimes_{\mathcal{O}_X} \mathcal{L}^{\otimes d}) = 0\) pour tous \(p > 0\), \(d \geq d_0\) et \(n \geq 0\).

Considérons les suites exactes courtes \[0 \to \mathfrak m^n\mathcal{F}/\mathfrak m^{n + 1} \mathcal{F} \to \mathcal{F}/\mathfrak m^{n + 1} \mathcal{F} \to \mathcal{F}/\mathfrak m^n \mathcal{F} \to 0\] de \(\mathcal{O}_X\)-modules cohérents. La tensorisation par \(\mathcal{L}^{\otimes d}\) est un foncteur exact, et nous obtenons les suites exactes courtes \[0 \to \mathfrak m^n\mathcal{F}/\mathfrak m^{n + 1} \mathcal{F} \otimes_{\mathcal{O}_X} \mathcal{L}^{\otimes d} \to \mathcal{F}/\mathfrak m^{n + 1} \mathcal{F} \otimes_{\mathcal{O}_X} \mathcal{L}^{\otimes d} \to \mathcal{F}/\mathfrak m^n \mathcal{F} \otimes_{\mathcal{O}_X} \mathcal{L}^{\otimes d} \to 0\] À l’aide de la suite exacte longue de cohomologie et de l’annulation ci-dessus, nous concluons (par récurrence) que

1. \(H^p(X, \mathcal{F}/\mathfrak m^n \mathcal{F} \otimes_{\mathcal{O}_X} \mathcal{L}^{\otimes d}) = 0\) pour tous \(p > 0\), \(d \geq d_0\) et \(n \geq 0\), et

2. \(H^0(X, \mathcal{F}/\mathfrak m^n \mathcal{F} \otimes_{\mathcal{O}_X} \mathcal{L}^{\otimes d}) \to H^0(X_y, \mathcal{F}_y \otimes_{\mathcal{O}_{X_y}} \mathcal{L}_y^{\otimes d})\) est surjective pour tous \(d \geq d_0\) et \(n \geq 1\).

D’après le théorème sur les fonctions formelles (Théorème 02OC), on voit que la complétion \(\mathfrak m\)-adique de \(H^p(X, \mathcal{F} \otimes_{\mathcal{O}_X} \mathcal{L}^{\otimes d})\) est nulle pour tous \(d \geq d_0\) et \(p > 0\). Comme \(H^p(X, \mathcal{F} \otimes_{\mathcal{O}_X} \mathcal{L}^{\otimes d})\) est un \(A\)-module de type fini d’après le lemme 02O6, le lemme de Nakayama (Algèbre, lemme 00DV) entraîne que \(H^p(X, \mathcal{F} \otimes_{\mathcal{O}_X} \mathcal{L}^{\otimes d})\) est nul pour tous \(d \geq d_0\) et \(p > 0\). Pour \(p = 0\), nous déduisons du lemme 02OB, partie (3), que \(H^0(X, \mathcal{F} \otimes_{\mathcal{O}_X} \mathcal{L}^{\otimes d}) \to H^0(X_y, \mathcal{F}_y \otimes_{\mathcal{O}_{X_y}} \mathcal{L}_y^{\otimes d})\) est surjective, ce qui donne la dernière assertion du lemme.

Lemme

(Pour une version plus générale, voir Compléments sur les morphismes, lemme 0D2S.) Soit \(f : X \to Y\) un morphisme propre de schémas, avec \(Y\) noethérien. Soit \(\mathcal{L}\) un \(\mathcal{O}_X\)-module inversible. Soit \(y \in Y\) un point tel que \(\mathcal{L}_y\) soit ample sur \(X_y\). Il existe alors un voisinage ouvert \(V \subset Y\) de \(y\) tel que \(\mathcal{L}|_{f^{-1}(V)}\) soit ample sur \(f^{-1}(V)/V\).

Démonstration

Choisissons \(d_0\) comme dans le lemme 0D2M pour \(\mathcal{F} = \mathcal{O}_X\). Choisissons \(d \geq d_0\) de sorte que l’on puisse trouver \(r \geq 0\) et des sections \(s_{y, 0}, \ldots, s_{y, r} \in H^0(X_y, \mathcal{L}_y^{\otimes d})\) qui définissent une immersion fermée \[\varphi_y = \varphi_{\mathcal{L}_y^{\otimes d}, (s_{y, 0}, \ldots, s_{y, r})} : X_y \to \mathbf{P}^r_{\kappa(y)}.\] Cela est possible d’après Morphismes, Lemme 01VT, mais nous utilisons également Morphismes, lemme 01W6, pour voir que \(\varphi_y\) est une immersion fermée, et Constructions, section 01ND, pour la description des morphismes vers l’espace projectif en termes de faisceaux inversibles et de sections. D’après notre choix de \(d_0\), après avoir remplacé \(Y\) par un voisinage ouvert de \(y\), nous pouvons choisir \(s_0, \ldots, s_r \in H^0(X, \mathcal{L}^{\otimes d})\) dont les images sont \(s_{y, 0}, \ldots, s_{y, r}\). Soit \(X_{s_i} \subset X\) l’ouvert où \(s_i\) est un générateur de \(\mathcal{L}^{\otimes d}\). Puisque les \(s_{y, i}\) engendrent \(\mathcal{L}_y^{\otimes d}\), on voit que \(X_y \subset U = \bigcup X_{s_i}\). Puisque le morphisme \(X \to Y\) est fermé, il existe un voisinage ouvert \(y \in V \subset Y\) tel que \(f^{-1}(V) \subset U\). Après avoir remplacé \(Y\) par \(V\), nous pouvons supposer que les \(s_i\) engendrent \(\mathcal{L}^{\otimes d}\). Nous obtenons ainsi un morphisme \[\varphi = \varphi_{\mathcal{L}^{\otimes d}, (s_0, \ldots, s_r)} : X \longrightarrow \mathbf{P}^r_Y\] tel que \(\mathcal{L}^{\otimes d} \cong \varphi^*\mathcal{O}_{\mathbf{P}^r_Y}(1)\) et dont le changement de base à \(y\) donne \(\varphi_y\).

Nous terminerons la démonstration par une astuce ; la démonstration « correcte » consiste à montrer directement que \(\varphi\) est une immersion fermée après changement de base à un voisinage ouvert de \(y\). En effet, d’après le lemme 02OH, on voit que \(\varphi\) est fini au-dessus d’un voisinage ouvert de la fibre \(\mathbf{P}^r_{\kappa(y)}\) de \(\mathbf{P}^r_Y \to Y\) au-dessus de \(y\). Puisque \(\mathbf{P}^r_Y \to Y\) est fermé, quitte à rétrécir \(Y\), nous pouvons supposer que \(\varphi\) est fini. Alors \(\mathcal{L}^{\otimes d} \cong \varphi^*\mathcal{O}_{\mathbf{P}^r_Y}(1)\) est ample d’après le résultat très général suivant: Morphismes, lemme 0892.

Cohomologie et changement de base, III

Dans cette section, nous démontrons le cas le plus simple d’un phénomène très général qui sera étudié dans Catégories dérivées des schémas, section 08ET. Voir la remarque 07VL pour une traduction algébrique du lemme suivant.

Lemme

Soit \(A\) un anneau noethérien et posons \(S = \Spec(A)\). Soit \(f : X \to S\) un morphisme propre de schémas. Soit \(\mathcal{F}\) un \(\mathcal{O}_X\)-module cohérent et plat sur \(S\). Alors

1. \(R\Gamma(X, \mathcal{F})\) est un objet parfait de \(D(A)\), et

2. pour tout homomorphisme d’anneaux \(A \to A'\), le morphisme de changement de base \[R\Gamma(X, \mathcal{F}) \otimes_A^{\mathbf{L}} A' \longrightarrow R\Gamma(X_{A'}, \mathcal{F}_{A'})\] est un isomorphisme.

Démonstration

Choisissons un recouvrement ouvert affine fini \(X = \bigcup_{i = 1, \ldots, n} U_i\). D’après les lemmes 01XL et 01XM, le complexe de Čech \(K^\bullet = {\check C}^\bullet(\mathcal{U}, \mathcal{F})\) vérifie \[K^\bullet \otimes_A A' = R\Gamma(X_{A'}, \mathcal{F}_{A'})\] pour tout homomorphisme d’anneaux \(A \to A'\). Soit \(K_{alt}^\bullet = {\check C}_{alt}^\bullet(\mathcal{U}, \mathcal{F})\) le complexe de Čech alterné. D’après Cohomologie, lemme 01FM, il existe une équivalence d’homotopie \(K_{alt}^\bullet \to K^\bullet\) de \(A\)-modules. En particulier, on a \[K_{alt}^\bullet \otimes_A A' = R\Gamma(X_{A'}, \mathcal{F}_{A'})\] également. Comme \(\mathcal{F}\) est plat sur \(A\), on voit que chaque \(K_{alt}^n\) est plat sur \(A\) (voir Morphismes, lemme 01U4). Comme, de plus, \(K_{alt}^\bullet\) est borné supérieurement (c’est pourquoi nous sommes passés au complexe de Čech alterné), \(K_{alt}^\bullet \otimes_A A' = K_{alt}^\bullet \otimes_A^{\mathbf{L}} A'\) d’après la définition des produits tensoriels dérivés (voir Compléments sur l’algèbre, section 06XY). D’après le lemme 02O6, les groupes de cohomologie \(H^i(K_{alt}^\bullet)\) sont des \(A\)-modules de type fini. Comme \(K_{alt}^\bullet\) est borné, nous en déduisons que \(K_{alt}^\bullet\) est pseudo-cohérent, voir Compléments sur l’algèbre, lemme 066E. Pour tout \(A\)-module \(M\), posons \(A' = A \oplus M\), où \(M\) est un idéal de carré nul, c’est-à-dire \((a, m) \cdot (a', m') = (aa', am' + a'm)\). D’après ce qui précède, on voit que la cohomologie de \(K_{alt}^\bullet \otimes_A^\mathbf{L} A'\) est concentrée dans les degrés \(0, \ldots, n\). De même, celle de \(K_{alt}^\bullet \otimes_A^\mathbf{L} M\) est concentrée dans les degrés \(0, \ldots, n\). Par conséquent, \(K_{alt}^\bullet\) a une dimension de Tor finie, voir Compléments sur l’algèbre, définition 0652. La conclusion résulte de Compléments sur l’algèbre, lemme 0658.

Remarque

Une conséquence du lemme 07VK est qu’il existe un complexe fini de \(A\)-modules projectifs de type fini \(M^\bullet\) tel que l’on ait \[H^i(X_{A'}, \mathcal{F}_{A'}) = H^i(M^\bullet \otimes_A A')\] fonctoriellement en \(A'\). La condition que \(\mathcal{F}\) soit plat sur \(A\) est essentielle, voir [Hartshorne].

Modules formels cohérents

Comme nous ne disposons pas encore de la théorie des schémas formels, nous développons un peu de terminologie qui remplace la notion de “module cohérent sur un schéma formel adique noethérien”.

Soit \(X\) un schéma noethérien et soit \(\mathcal{I} \subset \mathcal{O}_X\) un faisceau quasi-cohérent d’idéaux. Nous considérerons des systèmes projectifs \((\mathcal{F}_n)\) de \(\mathcal{O}_X\)-modules cohérents tels que

1. \(\mathcal{F}_n\) soit annulé par \(\mathcal{I}^n\), et

2. les morphismes de transition induisent des isomorphismes \(\mathcal{F}_{n + 1}/\mathcal{I}^n\mathcal{F}_{n + 1} \to \mathcal{F}_n\).

Un morphisme de tels systèmes projectifs est défini de la manière habituelle. Notons la catégorie de ces systèmes projectifs \(\textit{Coh}(X, \mathcal{I})\). Nous allons établir une série de lemmes sur les objets de cette catégorie. En fait, la plupart des lemmes qui suivent sont des conséquences immédiates de la description suivante de la catégorie dans le cas affine.

Lemme

Si \(X = \Spec(A)\) est le spectre d’un anneau noethérien et si \(\mathcal{I}\) est le faisceau quasi-cohérent d’idéaux associé à l’idéal \(I \subset A\), alors \(\textit{Coh}(X, \mathcal{I})\) est équivalente à la catégorie des \(A^\wedge\)-modules de type fini, où \(A^\wedge\) est le complété de \(A\) par rapport à \(I\).

Démonstration

Soit \(\text{Mod}^{fg}_{A, I}\) la catégorie des systèmes projectifs \((M_n)\) de \(A\)-modules de type fini satisfaisant : (1) \(M_n\) est annulé par \(I^n\) et (2) \(M_{n + 1}/I^nM_{n + 1} = M_n\). D’après la correspondance entre les faisceaux cohérents sur \(X\) et les \(A\)-modules de type fini (lemme 01XZ), il suffit de montrer que \(\text{Mod}^{fg}_{A, I}\) est équivalente à la catégorie des \(A^\wedge\)-modules de type fini. Pour le voir, il suffit de prouver qu’étant donné un objet \((M_n)\) de \(\text{Mod}^{fg}_{A, I}\), le module \[M = \lim M_n\] est un \(A^\wedge\)-module de type fini et que \(M/I^nM = M_n\). Les morphismes de transition étant surjectifs, nous voyons que \(M \to M_1\) est surjectif. Choisissons \(x_1, \ldots, x_t \in M\) dont les images engendrent \(M_1\). Cela induit un morphisme de systèmes \((A/I^n)^{\oplus t} \to M_n\). D’après le lemme de Nakayama (Algèbre, lemme 00DV), ces morphismes sont surjectifs. Soit \(K_n \subset (A/I^n)^{\oplus t}\) le noyau. La propriété (2) implique que \(K_{n + 1} \to K_n\) est surjectif ; en particulier, le système \((K_n)\) satisfait la condition de Mittag-Leffler. D’après Homologie, lemme 02N1, nous obtenons une suite exacte \(0 \to K \to (A^\wedge)^{\oplus t} \to M \to 0\) où \(K = \lim K_n\). Ainsi, \(M\) est un \(A^\wedge\)-module de type fini. Comme \(K \to K_n\) est surjectif, il s’ensuit que \[M/I^nM = \Coker(K \to (A/I^n)^{\oplus t}) = (A/I^n)^{\oplus t}/K_n = M_n\] comme souhaité.

Lemme

Soit \(X\) un schéma noethérien et soit \(\mathcal{I} \subset \mathcal{O}_X\) un faisceau quasi-cohérent d’idéaux.

1. La catégorie \(\textit{Coh}(X, \mathcal{I})\) est abélienne.

2. Pour tout ouvert \(U \subset X\), le foncteur de restriction \(\textit{Coh}(X, \mathcal{I}) \to \textit{Coh}(U, \mathcal{I}|_U)\) est exact.

3. L’exactitude dans \(\textit{Coh}(X, \mathcal{I})\) peut se vérifier après restriction aux ouverts d’un recouvrement ouvert de \(X\).

Démonstration

Soit \(\alpha =(\alpha_n) : (\mathcal{F}_n) \to (\mathcal{G}_n)\) un morphisme dans \(\textit{Coh}(X, \mathcal{I})\). Le conoyau de \(\alpha\) est le système projectif \((\Coker(\alpha_n))\) (détails omis). Pour décrire le noyau, posons \[\mathcal{K}'_{l, m} = \Im(\Ker(\alpha_l) \to \mathcal{F}_m)\] pour \(l \geq m\). Nous affirmons que :

1. le système projectif \((\mathcal{K}'_{l, m})_{l \geq m}\) est constant à partir d’un certain rang, disons de valeur \(\mathcal{K}'_m\),

2. le système \((\mathcal{K}'_m/\mathcal{I}^n\mathcal{K}'_m)_{m \geq n}\) est constant à partir d’un certain rang, disons de valeur \(\mathcal{K}_n\),

3. le système \((\mathcal{K}_n)\) constitue un objet de \(\textit{Coh}(X, \mathcal{I})\), et

4. cet objet est le noyau de \(\alpha\).

Pour établir (a), (b) et (c), nous pouvons raisonner localement sur un ouvert affine, disons \(X = \Spec(A)\), et \(\mathcal{I}\) correspond à l’idéal \(I \subset A\). D’après le lemme 087W, \(\alpha\) correspond à un morphisme \(f : M \to N\) de \(A^\wedge\)-modules de type fini. Notons \(K = \Ker(f)\). Remarquons que \(A^\wedge\) est un anneau noethérien (Algèbre, lemme 0316). Choisissons un entier \(c \geq 0\) tel que \(K \cap I^n M \subset I^{n - c}K\) pour \(n \geq c\) (Algèbre, lemme 00IN) et choisissons-le de sorte que le lemme 00IO d’Algèbre s’applique pour le morphisme \(f\) et l’idéal \(I^\wedge = IA^\wedge\). Alors \(\mathcal{K}'_{l, m}\) correspond au \(A\)-module \[K'_{l, m} = \frac{a^{-1}(I^lN) + I^mM}{I^mM} = \frac{K + I^{l - c}f^{-1}(I^cN) + I^mM}{I^mM} = \frac{K + I^mM}{I^mM}\] où la dernière égalité a lieu si \(l \geq m + c\). Ainsi, \(\mathcal{K}'_m\) correspond au \(A\)-module \(K/K \cap I^mM\) et \(\mathcal{K}'_m/\mathcal{I}^n\mathcal{K}'_m\) correspond à \[\frac{K}{K \cap I^mM + I^nK} = \frac{K}{I^nK}\] pour \(m \geq n + c\), d’après le choix de \(c\) ci-dessus. Par conséquent, \(\mathcal{K}_n\) correspond à \(K/I^nK\).

Démontrons (d). Il résulte clairement de la description affine ci-dessus que la composée \((\mathcal{K}_n) \to (\mathcal{F}_n) \to (\mathcal{G}_n)\) est nulle. Soit \(\beta : (\mathcal{H}_n) \to (\mathcal{F}_n)\) un morphisme tel que \(\alpha \circ \beta = 0\). Alors l’image de \(\mathcal{H}_l \to \mathcal{F}_l\) est contenue dans \(\Ker(\alpha_l)\). Puisque \(\mathcal{H}_m = \mathcal{H}_l/\mathcal{I}^m\mathcal{H}_l\) pour \(l \geq m\), nous obtenons un système de morphismes \(\mathcal{H}_m \to \mathcal{K}'_{l, m}\). D’où un morphisme \(\mathcal{H}_m \to \mathcal{K}_m'\). Puisque \(\mathcal{H}_n = \mathcal{H}_m/\mathcal{I}^n\mathcal{H}_m\), nous obtenons un système de morphismes \(\mathcal{H}_n \to \mathcal{K}'_m/\mathcal{I}^n\mathcal{K}'_m\) et donc un morphisme \(\mathcal{H}_n \to \mathcal{K}_n\), comme souhaité.

Pour achever la preuve de (1), il reste à montrer que \(\Coim = \Im\) dans \(\textit{Coh}(X, \mathcal{I})\). Nous avons vu ci-dessus que la formation des noyaux et des conoyaux est compatible, sur les ouverts affines, avec la description de \(\textit{Coh}(X, \mathcal{I})\) comme catégorie de modules. Puisque l’égalité \(\Im = \Coim\) est vérifiée dans la catégorie des modules, nous obtenons \(\Coim = \Im\) dans \(\textit{Coh}(X, \mathcal{I})\). Les assertions (2) et (3) du lemme découlent immédiatement de notre construction des noyaux et des conoyaux.

Lemme

Soit \(X\) un schéma noethérien et soit \(\mathcal{I} \subset \mathcal{O}_X\) un faisceau quasi-cohérent d’idéaux. Un morphisme \((\mathcal{F}_n) \to (\mathcal{G}_n)\) est surjectif dans \(\textit{Coh}(X, \mathcal{I})\) si et seulement si \(\mathcal{F}_1 \to \mathcal{G}_1\) est surjectif.

Démonstration

Omis. Indication : se placer sur les ouverts affines, utiliser le lemme 087W, ainsi que Algèbre, lemme 00DV.

Soit \(X\) un schéma noethérien et soit \(\mathcal{I} \subset \mathcal{O}_X\) un faisceau quasi-cohérent d’idéaux. Il existe un foncteur [0880]\[\begin{equation} \textit{Coh}(\mathcal{O}_X) \longrightarrow \textit{Coh}(X, \mathcal{I}), \quad \mathcal{F} \longmapsto \mathcal{F}^\wedge \end{equation}\] qui associe au \(\mathcal{O}_X\)-module cohérent \(\mathcal{F}\) l’objet \(\mathcal{F}^\wedge = (\mathcal{F}/\mathcal{I}^n\mathcal{F})\) de \(\textit{Coh}(X, \mathcal{I})\).

Lemme

Le foncteur (0880) est exact.

Démonstration

Il suffit de le vérifier localement sur \(X\). Nous pouvons donc supposer que \(X\) est affine, c’est-à-dire que nous sommes dans la situation du lemme 087W. Le foncteur est le foncteur \(\text{Mod}^{fg}_A \to \text{Mod}^{fg}_{A^\wedge}\) qui associe à un \(A\)-module de type fini \(M\) sa complétion \(M^\wedge\). Le résultat découle donc de Algèbre, lemme 00MB.

Lemme

Soit \(X\) un schéma noethérien et soit \(\mathcal{I} \subset \mathcal{O}_X\) un faisceau quasi-cohérent d’idéaux. Soient \(\mathcal{F}\), \(\mathcal{G}\) des \(\mathcal{O}_X\)-modules cohérents. Posons \(\mathcal{H} = \SheafHom_{\mathcal{O}_X}(\mathcal{G}, \mathcal{F})\). Alors \[\lim H^0(X, \mathcal{H}/\mathcal{I}^n\mathcal{H}) = \Mor_{\textit{Coh}(X, \mathcal{I})} (\mathcal{G}^\wedge, \mathcal{F}^\wedge).\]

Démonstration

Pour le démontrer, nous pouvons travailler localement sur des ouverts affines de \(X\). Nous pouvons donc supposer \(X = \Spec(A)\) et \(\mathcal{F}\), \(\mathcal{G}\) donnés par les \(A\)-modules de type fini \(M\) et \(N\). Alors \(\mathcal{H}\) correspond au \(A\)-module de type fini \(H = \Hom_A(M, N)\). L’énoncé du lemme devient l’égalité \[H^\wedge = \Hom_{A^\wedge}(M^\wedge, N^\wedge)\] par l’équivalence du lemme 087W. D’après Algèbre, lemme 00MB (utilisé 3 fois), nous avons \[H^\wedge = \Hom_A(M, N) \otimes_A A^\wedge = \Hom_{A^\wedge}(M \otimes_A A^\wedge, N \otimes_A A^\wedge) = \Hom_{A^\wedge}(M^\wedge, N^\wedge)\] où la deuxième égalité utilise le fait que \(A^\wedge\) est plat sur \(A\) (voir Compléments d’algèbre, Lemme 087R). Le lemme en découle.

Soit \(X\) un schéma noethérien. Soit \(\mathcal{I} \subset \mathcal{O}_X\) un faisceau quasi-cohérent d’idéaux. Nous disons qu’un objet \((\mathcal{F}_n)\) de \(\textit{Coh}(X, \mathcal{I})\) est de torsion annulée par une puissance de \(\mathcal{I}\) ou est annulé par une puissance de \(\mathcal{I}\) s’il existe un \(c \geq 1\) tel que \(\mathcal{F}_n = \mathcal{F}_c\) pour tout \(n \geq c\). Dans ce cas, nous dirons que \((\mathcal{F}_n)\) est annulé par \(\mathcal{I}^c\). Si \(X = \Spec(A)\) est affine, alors, par l’équivalence du lemme 087W, ces objets correspondent exactement aux \(A\)-modules de type fini annulés par une puissance de \(I\) ou par \(I^c\).

Lemme

Soit \(X\) un schéma noethérien et soit \(\mathcal{I} \subset \mathcal{O}_X\) un faisceau quasi-cohérent d’idéaux. Soit \(\mathcal{G}\) un \(\mathcal{O}_X\)-module cohérent. Soit \((\mathcal{F}_n)\) un objet de \(\textit{Coh}(X, \mathcal{I})\).

1. Si \(\alpha : (\mathcal{F}_n) \to \mathcal{G}^\wedge\) est un morphisme dont le noyau et le conoyau sont annulés par une puissance de \(\mathcal{I}\), alors il existe un triplet unique (à isomorphisme unique près) \((\mathcal{F}, a, \beta)\) où

   1. \(\mathcal{F}\) est un \(\mathcal{O}_X\)-module cohérent,

   2. \(a : \mathcal{F} \to \mathcal{G}\) est un morphisme de \(\mathcal{O}_X\)-modules dont le noyau et le conoyau sont annulés par une puissance de \(\mathcal{I}\),

   3. \(\beta : (\mathcal{F}_n) \to \mathcal{F}^\wedge\) est un isomorphisme, et

   4. \(\alpha = a^\wedge \circ \beta\).

2. Si \(\alpha : \mathcal{G}^\wedge \to (\mathcal{F}_n)\) est un morphisme dont le noyau et le conoyau sont annulés par une puissance de \(\mathcal{I}\), alors il existe un triplet unique (à isomorphisme unique près) \((\mathcal{F}, a, \beta)\) où

   1. \(\mathcal{F}\) est un \(\mathcal{O}_X\)-module cohérent,

   2. \(a : \mathcal{G} \to \mathcal{F}\) est un morphisme de \(\mathcal{O}_X\)-modules dont le noyau et le conoyau sont annulés par une puissance de \(\mathcal{I}\),

   3. \(\beta : \mathcal{F}^\wedge \to (\mathcal{F}_n)\) est un isomorphisme, et

   4. \(\alpha = \beta \circ a^\wedge\).

Démonstration

Démonstration de (1). L’unicité montre qu’il suffit de construire \((\mathcal{F}, a, \beta)\) localement pour la topologie de Zariski sur \(X\). Nous pouvons donc supposer \(X = \Spec(A)\) et que \(\mathcal{I}\) correspond à l’idéal \(I \subset A\). Dans cette situation, le lemme 087W s’applique. Soit \(M'\) le \(A^\wedge\)-module de type fini correspondant à \((\mathcal{F}_n)\). Soit \(N\) le \(A\)-module de type fini correspondant à \(\mathcal{G}\). Alors \(\alpha\) correspond à un morphisme \[\varphi : M' \longrightarrow N^\wedge\] dont le noyau et le conoyau sont annulés par \(I^t\) pour un certain \(t\). Rappelons que \(N^\wedge = N \otimes_A A^\wedge\) (Algèbre, lemme 00MA). D’après Compléments d’algèbre, lemme 0ALK, il existe un morphisme de \(A\)-modules \(\psi : M \to N\) dont le noyau et le conoyau sont de torsion annulée par une puissance de \(I\), et un isomorphisme \(M \otimes_A A^\wedge = M'\) compatible avec \(\varphi\). Comme \(N\) et \(M'\) sont des modules de type fini, nous concluons que \(M\) est un \(A\)-module de type fini, voir Compléments d’algèbre, remarque 05EU. Ainsi \(M \otimes_A A^\wedge = M^\wedge\). Nous omettons la vérification que le triplet \((M, N \to M, M^\wedge \to M')\) ainsi obtenu est unique à isomorphisme unique près.

La démonstration de (2) est exactement la même et nous l’omettons.

Lemme

Soit \(X\) un schéma noethérien et soit \(\mathcal{I} \subset \mathcal{O}_X\) un faisceau quasi-cohérent d’idéaux. Tout objet de \(\textit{Coh}(X, \mathcal{I})\) qui est annulé par une puissance de \(\mathcal{I}\) appartient à l’image essentielle de (0880). De plus, si \(\mathcal{F}\), \(\mathcal{G}\) appartiennent à \(\textit{Coh}(\mathcal{O}_X)\) et si \(\mathcal{F}\) ou \(\mathcal{G}\) est annulé par une puissance de \(\mathcal{I}\), alors les applications \[\xymatrix{ \Hom_X(\mathcal{F}, \mathcal{G}) \ar[d] & \Ext_X(\mathcal{F}, \mathcal{G}) \ar[d] \\ \Hom_{\textit{Coh}(X, \mathcal{I})}(\mathcal{F}^\wedge, \mathcal{G}^\wedge) & \Ext_{\textit{Coh}(X, \mathcal{I})}(\mathcal{F}^\wedge, \mathcal{G}^\wedge) }\] sont des isomorphismes.

Démonstration

Supposons que \((\mathcal{F}_n)\) soit un objet de \(\textit{Coh}(X, \mathcal{I})\) annulé par \(\mathcal{I}^c\) pour un certain \(c \geq 1\). Alors \(\mathcal{F}_n \to \mathcal{F}_c\) est un isomorphisme pour \(n \geq c\). Ainsi, si nous posons \(\mathcal{F} = \mathcal{F}_c\), nous voyons que \(\mathcal{F}^\wedge \cong (\mathcal{F}_n)\). Cela prouve la première assertion.

Soient \(\mathcal{F}\), \(\mathcal{G}\) des objets de \(\textit{Coh}(\mathcal{O}_X)\) tels que \(\mathcal{F}\) ou \(\mathcal{G}\) soit annulé par \(\mathcal{I}^c\) pour un certain \(c \geq 1\). Alors \(\mathcal{H} = \SheafHom_{\mathcal{O}_X}(\mathcal{G}, \mathcal{F})\) est un \(\mathcal{O}_X\)-module cohérent annulé par \(\mathcal{I}^c\). Nous voyons donc que \[\Hom_X(\mathcal{G}, \mathcal{F}) = H^0(X, \mathcal{H}) = \lim H^0(X, \mathcal{H}/\mathcal{I}^n\mathcal{H}) = \Mor_{\textit{Coh}(X, \mathcal{I})} (\mathcal{G}^\wedge, \mathcal{F}^\wedge).\] Cela résulte du lemme 0882. Cela prouve l’énoncé concernant les homomorphismes.

La notation \(\Ext\) désigne les extensions définies dans Homologie, section 010I. L’injectivité de l’application sur les \(\Ext\) découle immédiatement de la bijectivité de l’application sur les \(\Hom\). Pour la surjectivité, supposons que \(\mathcal{F}\) soit annulé par une puissance de \(I\). Alors la partie (1) du lemme 0889 montre que, étant donnée une extension \[0 \to \mathcal{G}^\wedge \to (\mathcal{E}_n) \to \mathcal{F}^\wedge \to 0\] dans \(\textit{Coh}(U, I\mathcal{O}_U)\), le morphisme \(\mathcal{G}^\wedge \to (\mathcal{E}_n)\) est isomorphe à \(\mathcal{G} \to \mathcal{E}^\wedge\) pour un certain \(\mathcal{G} \to \mathcal{E}\) dans \(\textit{Coh}(\mathcal{O}_U)\). On procède de même dans l’autre cas.

Lemme

Soit \(X\) un schéma noethérien et soit \(\mathcal{I} \subset \mathcal{O}_X\) un faisceau quasi-cohérent d’idéaux. Si \((\mathcal{F}_n)\) est un objet de \(\textit{Coh}(X, \mathcal{I})\), alors \(\bigoplus \Ker(\mathcal{F}_{n + 1} \to \mathcal{F}_n)\) est un \(\bigoplus \mathcal{I}^n/\mathcal{I}^{n + 1}\)-module gradué quasi-cohérent de type fini.

Démonstration

La question est locale sur \(X\) ; nous pouvons donc supposer \(X\) affine, c’est-à-dire que nous sommes dans la situation du lemme 087W. Dans ce cas, si \((\mathcal{F}_n)\) correspond au \(A^\wedge\) -module de type fini \(M\), alors \(\bigoplus \Ker(\mathcal{F}_{n + 1} \to \mathcal{F}_n)\) correspond à \(\bigoplus I^nM/I^{n + 1}M\), qui est manifestement un module de type fini sur \(\bigoplus I^n/I^{n + 1}\).

Lemme

Soit \(f : X \to Y\) un morphisme de schémas noethériens. Soit \(\mathcal{J} \subset \mathcal{O}_Y\) un faisceau quasi-cohérent d’idéaux et posons \(\mathcal{I} = f^{-1}\mathcal{J} \mathcal{O}_X\). Il existe alors un foncteur exact à droite \[f^* : \textit{Coh}(Y, \mathcal{J}) \longrightarrow \textit{Coh}(X, \mathcal{I})\] qui envoie \((\mathcal{G}_n)\) sur \((f^*\mathcal{G}_n)\). Si \(f\) est plat, alors \(f^*\) est un foncteur exact.

Démonstration

Puisque \(f^* : \textit{Coh}(\mathcal{O}_Y) \to \textit{Coh}(\mathcal{O}_X)\) est exact à droite, nous avons \[f^*\mathcal{G}_n = f^*(\mathcal{G}_{n + 1}/\mathcal{I}^n\mathcal{G}_{n + 1}) = f^*\mathcal{G}_{n + 1}/f^{-1}\mathcal{I}^nf^*\mathcal{G}_{n + 1} = f^*\mathcal{G}_{n + 1}/\mathcal{J}^nf^*\mathcal{G}_{n + 1}\] donc l’image inverse d’un système est un système. La construction des conoyaux dans la démonstration du lemme 087X montre que \(f^* : \textit{Coh}(Y, \mathcal{J}) \to \textit{Coh}(X, \mathcal{I})\) est toujours exact à droite. Si \(f\) est plat, alors \(f^* : \textit{Coh}(\mathcal{O}_Y) \to \textit{Coh}(\mathcal{O}_X)\) est un foncteur exact. Il résulte de la construction des noyaux dans la démonstration du lemme 087X que, dans ce cas, \(f^* : \textit{Coh}(Y, \mathcal{J}) \to \textit{Coh}(X, \mathcal{I})\) envoie également les noyaux sur les noyaux.

Lemme

Soit \(f : X' \to X\) un morphisme de schémas noethériens. Soit \(Z \subset X\) un sous-schéma fermé et notons \(Z' = f^{-1}Z\) l’image inverse schématique. Soient \(\mathcal{I} \subset \mathcal{O}_X\), \(\mathcal{I}' \subset \mathcal{O}_{X'}\) les faisceaux quasi-cohérents d’idéaux correspondants. Si \(f\) est plat et que le morphisme induit \(Z' \to Z\) est un isomorphisme, alors le foncteur d’image inverse \(f^* : \textit{Coh}(X, \mathcal{I}) \to \textit{Coh}(X', \mathcal{I}')\) (lemme 0887) est une équivalence.

Démonstration

Si \(X\) et \(X'\) sont affines, cela découle immédiatement de Compléments d’algèbre, lemme 05EC. Pour le démontrer en général, soient \(Z_n \subset X\), \(Z'_n \subset X'\) les \(n\)-ièmes voisinages infinitésimaux de \(Z\), \(Z'\). Le morphisme \(Z_n \to Z'_n\) induit un homéomorphisme entre les espaces topologiques sous-jacents. D’autre part, si \(z' \in Z'\) s’envoie sur \(z \in Z\), alors le morphisme d’anneaux \(\mathcal{O}_{X, z} \to \mathcal{O}_{X', z'}\) est plat et induit un isomorphisme \(\mathcal{O}_{X, z}/\mathcal{I}_z \to \mathcal{O}_{X', z'}/\mathcal{I}'_{z'}\). Il induit donc un isomorphisme \(\mathcal{O}_{X, z}/\mathcal{I}_z^n \to \mathcal{O}_{X', z'}/(\mathcal{I}'_{z'})^n\) pour tout \(n \geq 1\), par exemple d’après Compléments d’algèbre, lemme 05E9. Ainsi \(Z'_n \to Z_n\) est un isomorphisme de schémas. Ainsi \(f^*\) induit une équivalence entre la catégorie des \(\mathcal{O}_X\)-modules cohérents annulés par \(\mathcal{I}^n\) et la catégorie des \(\mathcal{O}_{X'}\)-modules cohérents annulés par \((\mathcal{I}')^n\), voir le lemme 087T. Cela entraîne clairement le lemme.

Lemme

Soit \(X\) un schéma noethérien. Soient \(\mathcal{I}, \mathcal{J} \subset \mathcal{O}_X\) des faisceaux quasi-cohérents d’idéaux. Si \(V(\mathcal{I}) = V(\mathcal{J})\) comme sous-ensembles fermés de \(X\), alors \(\textit{Coh}(X, \mathcal{I})\) et \(\textit{Coh}(X, \mathcal{J})\) sont équivalentes.

Démonstration

Supposons d’abord que \(X = \Spec(A)\) soit affine. Soient \(I, J \subset A\) les idéaux correspondant à \(\mathcal{I}, \mathcal{J}\). Alors \(V(I) = V(J)\) implique que \(I^c \subset J\) et \(J^d \subset I\) pour certains \(c, d \geq 1\) par les propriétés élémentaires de la topologie de Zariski (voir Algèbre, section 00DY et lemme 00IM). Les complétions \(I\)-adique et \(J\)-adique de \(A\) coïncident donc, voir Algèbre, lemme 0319. L’équivalence découle ainsi du lemme 087W dans ce cas.

En général, d’après ce qui précède et puisque \(X\) est quasi-compact, on peut choisir \(c, d \geq 1\) tels que \(\mathcal{I}^c \subset \mathcal{J}\) et \(\mathcal{J}^d \subset \mathcal{I}\). Alors, étant donné un objet \((\mathcal{F}_n)\) de \(\textit{Coh}(X, \mathcal{I})\), nous affirmons que le système projectif \[(\mathcal{F}_{cn}/\mathcal{J}^n\mathcal{F}_{cn})\] appartient à \(\textit{Coh}(X, \mathcal{J})\). Cela peut se vérifier sur les éléments d’un recouvrement affine ; nous omettons les détails. De la même manière, nous pouvons construire un objet de \(\textit{Coh}(X, \mathcal{I})\) à partir d’un objet de \(\textit{Coh}(X, \mathcal{J})\). Nous omettons la vérification que ces constructions définissent des foncteurs quasi-inverses l’un de l’autre.

Théorème d’existence de Grothendieck, I

Dans cette section, nous étudions le théorème d’existence de Grothendieck dans le cas projectif. Nous utiliserons la notion de modules formels cohérents développée à la section 0EHN. Le lecteur familier des schémas formels est invité à lire l’énoncé et la démonstration du théorème dans [EGA].

Lemme

Soit \(A\) un anneau noethérien complet pour la topologie \(I\)-adique. Soit \(f : X \to \Spec(A)\) un morphisme propre. Posons \(\mathcal{I} = I\mathcal{O}_X\). Alors le foncteur (0880) est pleinement fidèle.

Démonstration

Soient \(\mathcal{F}\) et \(\mathcal{G}\) des \(\mathcal{O}_X\)-modules cohérents. Alors \(\mathcal{H} = \SheafHom_{\mathcal{O}_X}(\mathcal{G}, \mathcal{F})\) est un \(\mathcal{O}_X\)-module cohérent, voir Modules, lemme 01CQ. D’après le lemme 0882, l’application \[\lim_n H^0(X, \mathcal{H}/\mathcal{I}^n\mathcal{H}) \to \Mor_{\textit{Coh}(X, \mathcal{I})} (\mathcal{G}^\wedge, \mathcal{F}^\wedge)\] est bijective. Par conséquent, la pleine fidélité de (0880) résulte du théorème des fonctions formelles (lemme 087U) appliqué au faisceau cohérent \(\mathcal{H}\).

Lemme

Soit \(A\) un anneau noethérien et soit \(I \subset A\) un idéal. Soit \(f : X \to \Spec(A)\) un morphisme propre et soit \(\mathcal{L}\) un faisceau inversible \(f\)-ample. Posons \(\mathcal{I} = I\mathcal{O}_X\). Soit \((\mathcal{F}_n)\) un objet de \(\textit{Coh}(X, \mathcal{I})\). Il existe alors un entier \(d_0\) tel que \[H^1(X, \Ker(\mathcal{F}_{n + 1} \to \mathcal{F}_n) \otimes \mathcal{L}^{\otimes d} ) = 0\] pour tout \(n \geq 0\) et tout \(d \geq d_0\).

Démonstration

Posons \(B = \bigoplus I^n/I^{n + 1}\) et \(\mathcal{B} = \bigoplus \mathcal{I}^n/\mathcal{I}^{n + 1} = f^*\widetilde{B}\). D’après le lemme 087Z, le \(\mathcal{B}\)-module gradué quasi-cohérent \(\mathcal{G} = \bigoplus \Ker(\mathcal{F}_{n + 1} \to \mathcal{F}_n)\) est de type fini. Le lemme découle donc de la partie (2) du lemme 0897.

Lemme

Soit \(A\) un anneau noethérien complet pour la topologie \(I\)-adique. Soit \(f : X \to \Spec(A)\) un morphisme projectif. Posons \(\mathcal{I} = I\mathcal{O}_X\). Alors le foncteur (0880) est une équivalence.

Démonstration

Nous avons déjà vu que (0880) est pleinement fidèle (lemme 0883). Il suffit donc de montrer que ce foncteur est essentiellement surjectif.

Montrons d’abord que tout objet \((\mathcal{F}_n)\) de \(\textit{Coh}(X, \mathcal{I})\) est le quotient d’un objet appartenant à l’image de (0880). Soit \(\mathcal{L}\) un faisceau inversible \(f\)-ample sur \(X\). Choisissons \(d_0\) comme dans le lemme 0884. Choisissons \(d \geq d_0\) tel que \(\mathcal{F}_1 \otimes \mathcal{L}^{\otimes d}\) soit globalement engendré par des sections \(s_{1, 1}, \ldots, s_{t, 1}\). Puisque les applications de transition du système \[H^0(X, \mathcal{F}_{n + 1} \otimes \mathcal{L}^{\otimes d}) \longrightarrow H^0(X, \mathcal{F}_n \otimes \mathcal{L}^{\otimes d})\] sont surjectives par l’annulation de \(H^1\), nous pouvons relever \(s_{1, 1}, \ldots, s_{t, 1}\) en un système compatible de sections globales \(s_{1, n}, \ldots, s_{t, n}\) de \(\mathcal{F}_n \otimes \mathcal{L}^{\otimes d}\). Celles-ci déterminent un système compatible d’applications \[(s_{1, n}, \ldots, s_{t, n}) : (\mathcal{L}^{\otimes -d})^{\oplus t} \longrightarrow \mathcal{F}_n\] En utilisant le lemme 087Y, nous en déduisons une application surjective \[\left((\mathcal{L}^{\otimes -d})^{\oplus t}\right)^\wedge \longrightarrow (\mathcal{F}_n)\] comme voulu.

Le résultat du paragraphe précédent et le fait que \(\textit{Coh}(X, \mathcal{I})\) est abélienne (lemme 087X) impliquent que tout objet de \(\textit{Coh}(X, \mathcal{I})\) est le conoyau d’une application entre des objets provenant de \(\textit{Coh}(\mathcal{O}_X)\). Comme (0880) est pleinement fidèle et exact par les lemmes 0883 et 0881, nous concluons.

Théorème d’existence de Grothendieck, II

Dans cette section, nous étudions le théorème d’existence de Grothendieck dans le cas propre. Avant d’en donner l’énoncé et la démonstration, nous devons développer quelque peu la théorie des catégories \(\textit{Coh}(X, \mathcal{I})\) de modules formels cohérents introduites à la section 0EHN.

Remarque

Soit \(X\) un schéma noethérien et soient \(\mathcal{I}, \mathcal{K} \subset \mathcal{O}_X\) des faisceaux quasi-cohérents d’idéaux. Soit \(\alpha : (\mathcal{F}_n) \to (\mathcal{G}_n)\) un morphisme de \(\textit{Coh}(X, \mathcal{I})\). Étant donné un ouvert affine \(\Spec(A) = U \subset X\) tel que \(\mathcal{I}|_U, \mathcal{K}|_U\) correspondent aux idéaux \(I, K \subset A\), notons \(\alpha_U : M \to N\) le morphisme de \(A^\wedge\)-modules finis qui correspond à \(\alpha|_U\) via le lemme 087W. Nous affirmons que les conditions suivantes sont équivalentes :

1. il existe un entier \(t \geq 1\) tel que \(\Ker(\alpha_n)\) et \(\Coker(\alpha_n)\) soient annulés par \(\mathcal{K}^t\) pour tout \(n \geq 1\),

2. pour tout ouvert affine \(\Spec(A) = U \subset X\) comme ci-dessus, les modules \(\Ker(\alpha_U)\) et \(\Coker(\alpha_U)\) sont annulés par \(K^t\) pour un certain entier \(t \geq 1\), et

3. il existe un recouvrement affine fini \(X = \bigcup U_i\) tel que la conclusion de (2) soit vérifiée pour \(\alpha_{U_i}\).

Si ces conditions équivalentes sont vérifiées, nous dirons que \(\alpha\) est une application dont le noyau et le conoyau sont annulés par une puissance de \(\mathcal{K}\). Pour voir l’équivalence, utilisons le fait d’algèbre commutative suivant : supposons donnée une suite exacte \[0 \to T \to M \to N \to Q \to 0\] de \(A\)-modules, où \(T\) et \(Q\) sont annulés par \(K^t\) pour un certain idéal \(K \subset A\). Alors, pour tous \(f, g \in K^t\), il existe une application canonique \("fg": N \to M\) telle que \(M \to N \to M\) soit la multiplication par \(fg\). En effet, pour \(y \in N\), nous pouvons choisir \(x \in M\) ayant pour image \(fy\) dans \(N\), puis poser \("fg"(y) = gx\). Il est alors clair que \(\Ker(M/JM \to N/JN)\) et \(\Coker(M/JM \to N/JN)\) sont annulés par \(K^{2t}\) pour tout idéal \(J \subset A\).

En appliquant ce fait d’algèbre commutative à \(\alpha_{U_i}\) et \(J = I^n\), nous voyons que (3) implique (1). Réciproquement, supposons (1) vérifiée et \(M \to N\) égal à \(\alpha_U\). Il existe alors \(t \geq 1\) tel que \(\Ker(M/I^nM \to N/I^nN)\) et \(\Coker(M/I^nM \to N/I^nN)\) soient annulés par \(K^t\) pour tout \(n\). Nous obtenons des applications \("fg" : N/I^nN \to M/I^nM\) qui induisent, par passage à la limite, une application \(N \to M\), car \(N\) et \(M\) sont complets pour la topologie \(I\)-adique. Comme le composé \(N \to M \to N\) est la multiplication par \(fg\), nous concluons que \(fg\) annule \(T\) et \(Q\). Autrement dit, \(T\) et \(Q\) sont annulés par \(K^{2t}\), comme voulu.

Lemme

Soit \(X\) un schéma noethérien. Soient \(\mathcal{I}, \mathcal{K} \subset \mathcal{O}_X\) des faisceaux quasi-cohérents d’idéaux. Soit \(X_e \subset X\) le sous-schéma fermé défini par \(\mathcal{K}^e\). Posons \(\mathcal{I}_e = \mathcal{I}\mathcal{O}_{X_e}\). Soit \((\mathcal{F}_n)\) un objet de \(\textit{Coh}(X, \mathcal{I})\). Supposons que

1. le foncteur \(\textit{Coh}(\mathcal{O}_{X_e}) \to \textit{Coh}(X_e, \mathcal{I}_e)\) est une équivalence pour tout \(e \geq 1\), et

2. il existe un faisceau cohérent \(\mathcal{H}\) sur \(X\) et une application \(\alpha : (\mathcal{F}_n) \to \mathcal{H}^\wedge\) dont le noyau et le conoyau sont annulés par une puissance de \(\mathcal{K}\).

Alors \((\mathcal{F}_n)\) appartient à l’image essentielle de (0880).

Démonstration

Dans toute cette démonstration, nous utiliserons sans autre mention le fait que, pour une immersion fermée \(i : Z \to X\), le foncteur \(i_*\) donne une équivalence entre la catégorie des modules cohérents sur \(Z\) et celle des modules cohérents sur \(X\) annulés par le faisceau d’idéaux de \(Z\), voir le lemme 087T. En particulier, nous pouvons identifier \(\textit{Coh}(\mathcal{O}_{X_e})\) à la catégorie des \(\mathcal{O}_X\)-modules cohérents annulés par \(\mathcal{K}^e\), et \(\textit{Coh}(X_e, \mathcal{I}_e)\) à la sous-catégorie pleine de \(\textit{Coh}(X, \mathcal{I})\) formée des objets annulés par \(\mathcal{K}^e\). De plus, (1) nous dit que le foncteur de complétion (0880) induit une équivalence entre ces catégories.

En appliquant cette équivalence, nous obtenons un \(\mathcal{O}_X\)-module cohérent \(\mathcal{G}_e\), annulé par \(\mathcal{K}^e\), qui correspond au système \((\mathcal{F}_n/\mathcal{K}^e\mathcal{F}_n)\) de \(\textit{Coh}(X, \mathcal{I})\). Les applications \(\mathcal{F}_n/\mathcal{K}^{e + 1}\mathcal{F}_n \to \mathcal{F}_n/\mathcal{K}^e\mathcal{F}_n\) correspondent à des applications canoniques \(\mathcal{G}_{e + 1} \to \mathcal{G}_e\) qui induisent des isomorphismes \(\mathcal{G}_{e + 1}/\mathcal{K}^e\mathcal{G}_{e + 1} \to \mathcal{G}_e\). Ainsi, \((\mathcal{G}_e)\) est un objet de \(\textit{Coh}(X, \mathcal{K})\). L’application \(\alpha\) induit un système d’applications \[\mathcal{F}_n/\mathcal{K}^e\mathcal{F}_n \longrightarrow \mathcal{H}/(\mathcal{I}^n + \mathcal{K}^e)\mathcal{H}\] et donc des applications \(\mathcal{G}_e \to \mathcal{H}/\mathcal{K}^e\mathcal{H}\) (en utilisant à nouveau l’équivalence de catégories). Soit \(t \geq 1\) un entier, qui existe par l’hypothèse (2), tel que \(\mathcal{K}^t\) annule le noyau et le conoyau de toutes les applications \(\mathcal{F}_n \to \mathcal{H}/\mathcal{I}^n\mathcal{H}\). Alors \(\mathcal{K}^{2t}\) annule le noyau et le conoyau des applications \(\mathcal{F}_n/\mathcal{K}^e\mathcal{F}_n \to \mathcal{H}/(\mathcal{I}^n + \mathcal{K}^e)\mathcal{H}\), voir la remarque 0888. Nous en concluons que \(\mathcal{K}^{4t}\) annule le noyau et le conoyau des applications \[\mathcal{G}_e \longrightarrow \mathcal{H}/\mathcal{K}^e\mathcal{H},\] voir la remarque 0888. Nous appliquons le lemme 0889 pour obtenir un \(\mathcal{O}_X\)-module cohérent \(\mathcal{F}\), une application \(a : \mathcal{F} \to \mathcal{H}\) et un isomorphisme \(\beta : (\mathcal{G}_e) \to (\mathcal{F}/\mathcal{K}^e\mathcal{F})\) dans \(\textit{Coh}(X, \mathcal{K})\). En remontant les constructions, pour \(n\) donné, le triplet \((\mathcal{F}/\mathcal{I}^n\mathcal{F}, a \bmod \mathcal{I}^n, \beta \bmod \mathcal{I}^n)\) est un triplet comme dans le lemme pour le morphisme \(\alpha_n \bmod \mathcal{K}^e : (\mathcal{F}_n/\mathcal{K}^e\mathcal{F}_n) \to (\mathcal{H}/(\mathcal{I}^n + \mathcal{K}^e)\mathcal{H})\) de \(\textit{Coh}(X, \mathcal{K})\). L’unicité dans le lemme 0889 donne donc un isomorphisme canonique \(\mathcal{F}/\mathcal{I}^n\mathcal{F} \to \mathcal{F}_n\) compatible avec tous les morphismes considérés. Ceci achève la démonstration du lemme.

Lemme

Soit \(Y\) un schéma noethérien. Soient \(\mathcal{J}, \mathcal{K} \subset \mathcal{O}_Y\) des faisceaux quasi-cohérents d’idéaux. Soit \(f : X \to Y\) un morphisme propre qui est un isomorphisme au-dessus de \(V = Y \setminus V(\mathcal{K})\). Posons \(\mathcal{I} = f^{-1}\mathcal{J} \mathcal{O}_X\). Soit \((\mathcal{G}_n)\) un objet de \(\textit{Coh}(Y, \mathcal{J})\), soit \(\mathcal{F}\) un \(\mathcal{O}_X\)-module cohérent, et soit \(\beta : (f^*\mathcal{G}_n) \to \mathcal{F}^\wedge\) un isomorphisme dans \(\textit{Coh}(X, \mathcal{I})\). Il existe alors une application \[\alpha : (\mathcal{G}_n) \longrightarrow (f_*\mathcal{F})^\wedge\] dans \(\textit{Coh}(Y, \mathcal{J})\) dont le noyau et le conoyau sont annulés par une puissance de \(\mathcal{K}\).

Démonstration

Puisque \(f\) est un morphisme propre, \(f_*\mathcal{F}\) est un \(\mathcal{O}_Y\)-module cohérent (proposition 02O5). L’énoncé du lemme a donc bien un sens. Considérons les composés \[\gamma_n : \mathcal{G}_n \to f_*f^*\mathcal{G}_n \to f_*(\mathcal{F}/\mathcal{I}^n\mathcal{F}).\] Ici, la première application est l’application d’adjonction, et la seconde est \(f_*\beta_n\). Nous affirmons qu’il existe une unique \(\alpha\) comme dans le lemme telle que les composés \[\mathcal{G}_n \xrightarrow{\alpha_n} f_*\mathcal{F}/\mathcal{J}^nf_*\mathcal{F} \to f_*(\mathcal{F}/\mathcal{I}^n\mathcal{F})\] soient égaux à \(\gamma_n\) pour tout \(n\). En raison de l’unicité, nous pouvons supposer que \(Y = \Spec(B)\) est affine. Soit \(J \subset B\) l’idéal correspondant à \(\mathcal{J}\). Posons \[M_n = H^0(X, \mathcal{F}/\mathcal{I}^n\mathcal{F}) \quad\text{et}\quad M = H^0(X, \mathcal{F})\] D’après le lemme 02OB et le Théorème 02OC, la limite inverse des modules \(M_n\) est égale à la complétion \(M^\wedge = \lim M/J^nM\). Posons \(N_n = H^0(Y, \mathcal{G}_n)\) et \(N = \lim N_n\). Par l’équivalence de catégories du lemme 087W, les \(B^\wedge\)-modules finis \(N\) et \(M^\wedge\) correspondent à \((\mathcal{G}_n)\) et \(f_*\mathcal{F}^\wedge\). Il s’ensuit que \(\alpha\) doit être le morphisme de \(\textit{Coh}(Y, \mathcal{J})\) correspondant à l’homomorphisme \[\lim \gamma_n : N = \lim_n N_n \longrightarrow \lim M_n = M^\wedge\] de \(B^\wedge\)-modules finis.

Il reste à montrer que le noyau et le conoyau de \(\alpha\) sont annulés par une puissance de \(\mathcal{K}\). Posons \(Y' = \Spec(B^\wedge)\) et \(X' = Y' \times_Y X\). Soient \(\mathcal{K}'\), \(\mathcal{J}'\), \(\mathcal{G}'_n\) et \(\mathcal{I}'\), \(\mathcal{F}'\) les images inverses de \(\mathcal{K}\), \(\mathcal{J}\), \(\mathcal{G}_n\) et \(\mathcal{I}\), \(\mathcal{F}\), sur \(Y'\) et \(X'\). Le morphisme de projection \(f' : X' \to Y'\) est le changement de base de \(f\) par \(Y' \to Y\). Notons que \(Y' \to Y\) est un morphisme plat de schémas, car \(B \to B^\wedge\) est plat d’après Algèbre, lemme 00MB. Ainsi, \(f'_*\mathcal{F}'\), resp. \(f'_*(f')^*\mathcal{G}_n'\), est l’image inverse de \(f_*\mathcal{F}\), resp. \(f_*f^*\mathcal{G}_n\), sur \(Y'\) par le lemme 02KH. L’unicité de notre construction montre que l’image inverse de \(\alpha\) sur \(Y'\) est l’application correspondante \(\alpha'\) construite dans la situation sur \(Y'\). De plus, pour vérifier que le noyau et le conoyau de \(\alpha\) sont annulés par \(\mathcal{K}^t\), il suffit de vérifier que le noyau et le conoyau de \(\alpha'\) sont annulés par \((\mathcal{K}')^t\). En effet, il suffit pour cela de le vérifier pour les noyaux et conoyaux des applications \(\alpha_n\) et \(\alpha'_n\) (voir la remarque 0888), et l’homomorphisme d’anneaux \(B \to B^\wedge\) induit une équivalence de catégories entre les modules annulés par \(J^n\) et ceux annulés par \((J')^n\), voir Compléments sur l’algèbre, lemme 05EC. Nous pouvons donc supposer que \(B\) est complet pour la topologie \(J\)-adique.

Supposons que \(Y = \Spec(B)\) soit affine, que \(\mathcal{J}\) corresponde à l’idéal \(J \subset B\), et que \(B\) soit complet pour la topologie \(J\)-adique. Dans ce cas, \((\mathcal{G}_n)\) appartient à l’image essentielle du foncteur \(\textit{Coh}(\mathcal{O}_Y) \to \textit{Coh}(Y, \mathcal{J})\). Soit \(\mathcal{G}\) un \(\mathcal{O}_Y\)-module cohérent tel que \((\mathcal{G}_n) = \mathcal{G}^\wedge\). Notons que \(f^*(\mathcal{G}^\wedge) = (f^*\mathcal{G})^\wedge\). Le lemme 0883 nous dit donc que \(\beta\) provient d’un isomorphisme \(b : f^*\mathcal{G} \to \mathcal{F}\), et que \(\alpha\) s’obtient en appliquant le foncteur de complétion à \[\mathcal{G} \to f_*f^*\mathcal{G} \cong f_*\mathcal{F}\] Il s’agit donc de vérifier que le noyau et le conoyau de l’application d’adjonction \(c : \mathcal{G} \to f_*f^*\mathcal{G}\) sont annulés par une puissance de \(\mathcal{K}\). Or, puisque la restriction \(f|_{f^{-1}(V)} : f^{-1}(V) \to V\) est un isomorphisme, nous voyons que \(c|_V\) est un isomorphisme. Ainsi, les faisceaux cohérents \(\Ker(c)\) et \(\Coker(c)\) sont supportés sur \(V(\mathcal{K})\), et sont donc annulés par une puissance de \(\mathcal{K}\) (lemme 01Y9), comme voulu.

La proposition suivante est la forme du théorème d’existence de Grothendieck qui est la plus souvent utilisée en pratique.

Proposition

Soit \(A\) un anneau noethérien complet pour la topologie \(I\)-adique. Soit \(f : X \to \Spec(A)\) un morphisme propre de schémas. Posons \(\mathcal{I} = I\mathcal{O}_X\). Alors le foncteur (0880) est une équivalence.

Démonstration

Nous avons déjà vu que (0880) est pleinement fidèle (lemme 0883). Il suffit donc de montrer que ce foncteur est essentiellement surjectif.

Considérons l’ensemble \(\Xi\) des faisceaux quasi-cohérents d’idéaux \(\mathcal{K} \subset \mathcal{O}_X\) tels que tout objet \((\mathcal{F}_n)\) annulé par \(\mathcal{K}\) appartienne à l’image essentielle. Nous voulons montrer que \((0)\) appartient à \(\Xi\). Sinon, puisque \(X\) est noethérien, il existe un faisceau quasi-cohérent d’idéaux maximal \(\mathcal{K}\) n’appartenant pas à \(\Xi\), voir le lemme 01Y8. Après avoir remplacé \(X\) par le sous-schéma fermé de \(X\) correspondant à \(\mathcal{K}\), nous pouvons supposer que tout faisceau quasi-cohérent d’idéaux \(\mathcal{K}\) non nul appartient à \(\Xi\). (On utilise ici la correspondance entre les modules cohérents annulés par \(\mathcal{K}\) et les modules cohérents sur le sous-schéma fermé correspondant à \(\mathcal{K}\), voir le lemme 087T.) Soit \((\mathcal{F}_n)\) un objet de \(\textit{Coh}(X, \mathcal{I})\). Nous allons montrer que cet objet appartient à l’image essentielle du foncteur (0880), achevant ainsi la démonstration de la proposition.

Appliquons le lemme de Chow (lemme 0200) pour obtenir un morphisme propre surjectif \(f : X' \to X\) qui soit un isomorphisme au-dessus d’un ouvert dense \(U \subset X\) et tel que \(X'\) soit projectif sur \(A\). Soit \(\mathcal{K}\) le faisceau quasi-cohérent d’idéaux définissant le complémentaire réduit \(X \setminus U\). Par le cas projectif du théorème d’existence de Grothendieck (lemme 0885), il existe un module cohérent \(\mathcal{F}'\) sur \(X'\) tel que \((\mathcal{F}')^\wedge \cong (f^*\mathcal{F}_n)\). D’après la proposition 02O5, le \(\mathcal{O}_X\)-module \(\mathcal{H} = f_*\mathcal{F}'\) est cohérent et, d’après le lemme 088B, il existe un morphisme \((\mathcal{F}_n) \to \mathcal{H}^\wedge\) de \(\textit{Coh}(X, \mathcal{I})\) dont le noyau et le conoyau sont annulés par une puissance de \(\mathcal{K}\). Toutes les puissances \(\mathcal{K}^e\) appartiennent à \(\Xi\), si bien que (0880) est une équivalence pour les sous-schémas fermés \(X_e = V(\mathcal{K}^e)\). Nous concluons par le lemme 088A.

Propreté sur une base

Il s’agit simplement d’une courte section destinée à signaler quelques propriétés utiles des sous-ensembles fermés propres sur une base et des modules quasi-cohérents de type fini dont le support est propre sur une base.

Lemme

Soit \(f : X \to S\) un morphisme de schémas localement de type fini. Soit \(Z \subset X\) un sous-ensemble fermé. Les conditions suivantes sont équivalentes :

1. le morphisme \(Z \to S\) est propre lorsque \(Z\) est muni de la structure de sous-schéma fermé réduit induit (Schémas, définition 01J4),

2. pour une certaine structure de sous-schéma fermé sur \(Z\), le morphisme \(Z \to S\) est propre,

3. pour toute structure de sous-schéma fermé sur \(Z\), le morphisme \(Z \to S\) est propre.

Démonstration

Les implications (3) \(\Rightarrow\) (1) et (1) \(\Rightarrow\) (2) sont immédiates. Il suffit donc de prouver que (2) implique (3). Nous invitons le lecteur à trouver sa propre démonstration de ce fait. Soient \(Z'\) et \(Z''\) des structures de sous-schémas fermés sur \(Z\) telles que \(Z' \to S\) soit propre. Il faut montrer que \(Z'' \to S\) est propre. Soit \(Z''' = Z' \cup Z''\) la réunion schématique, voir Morphismes, Définition 0C4H. Alors \(Z'''\) est une autre structure de sous-schéma fermé sur \(Z\). Cela résulte par exemple de la description des réunions schématiques dans Morphismes, lemme 0C4J. Puisque \(Z'' \to Z'''\) est une immersion fermée, il suffit de prouver que \(Z''' \to S\) est propre (voir Morphismes, lemmes 01W5 et 01W3). Le morphisme \(Z' \to Z'''\) est une immersion fermée bijective, donc en particulier surjective et universellement fermée. Le fait que \(Z' \to S\) soit séparé implique alors que \(Z''' \to S\) est séparé, voir Morphismes, lemme 09MQ. De plus, \(Z''' \to S\) est localement de type fini puisque \(X \to S\) est localement de type fini (Morphismes, lemmes 01T5 et 01T3). Puisque \(Z' \to S\) est quasi-compact et \(Z' \to Z'''\) est un homéomorphisme, nous voyons que \(Z''' \to S\) est quasi-compact. Enfin, puisque \(Z' \to S\) est universellement fermé, nous voyons qu’il en va de même pour \(Z''' \to S\) d’après Morphismes, lemme 03GN. Cela achève la démonstration.

Définition

Soit \(f : X \to S\) un morphisme de schémas localement de type fini. Soit \(Z \subset X\) un sous-ensemble fermé. Nous disons que \(Z\) est propre sur \(S\) si les conditions équivalentes du lemme 0CYL sont satisfaites.

Le lemme utilisé dans la définition ci-dessus est faux si le morphisme \(f : X \to S\) n’est pas localement de type fini. Nous invitons donc le lecteur à ne pas employer cette terminologie si \(f\) n’est pas localement de type fini.

Lemme

Soit \(f : X \to S\) un morphisme de schémas localement de type fini. Soient \(Y \subset Z \subset X\) des sous-ensembles fermés. Si \(Z\) est propre sur \(S\), alors il en va de même pour \(Y\).

Démonstration

Démonstration omise.

Lemme

Considérons un diagramme cartésien de schémas \[\xymatrix{ X' \ar[d]_{f'} \ar[r]_{g'} & X \ar[d]^f \\ S' \ar[r]^g & S }\] où \(f\) est localement de type fini. Si \(Z\) est un sous-ensemble fermé de \(X\) propre sur \(S\), alors \((g')^{-1}(Z)\) est un sous-ensemble fermé de \(X'\) propre sur \(S'\).

Démonstration

Remarquons que l’énoncé a un sens puisque \(f'\) est localement de type fini d’après Morphismes, lemme 01T4. Munissons \(Z\) de la structure de sous-schéma fermé réduit induit. Notons \(Z' = (g')^{-1}(Z)\) l’image inverse schématique (Schémas, définition 01JV). Alors \(Z' = X' \times_X Z = (S' \times_S X) \times_X Z = S' \times_S Z\) est propre sur \(S'\) en tant que changement de base de \(Z\) sur \(S\) (Morphismes, lemme 01W4).

Lemme

Soit \(S\) un schéma. Soit \(f : X \to Y\) un morphisme entre schémas localement de type fini sur \(S\).

1. Si \(Y\) est séparé sur \(S\) et si \(Z \subset X\) est un sous-ensemble fermé propre sur \(S\), alors \(f(Z)\) est un sous-ensemble fermé de \(Y\) propre sur \(S\).

2. Si \(f\) est universellement fermé et si \(Z \subset X\) est un sous-ensemble fermé propre sur \(S\), alors \(f(Z)\) est un sous-ensemble fermé de \(Y\) propre sur \(S\).

3. Si \(f\) est propre et si \(Z \subset Y\) est un sous-ensemble fermé propre sur \(S\), alors \(f^{-1}(Z)\) est un sous-ensemble fermé de \(X\) propre sur \(S\).

Démonstration

Démonstration de (1). Supposons \(Y\) séparé sur \(S\) et \(Z \subset X\) fermé et propre sur \(S\). Munissons \(Z\) de sa structure réduite induite de sous-schéma fermé et appliquons Morphismes, lemme 0AH6, à \(Z \to Y\) sur \(S\) pour conclure.

Démonstration de (2). Supposons \(f\) universellement fermé et \(Z \subset X\) fermé et propre sur \(S\). Munissons \(Z\) et \(Z' = f(Z)\) de leurs structures réduites induites de sous-schémas fermés. On obtient un morphisme induit \(Z \to Z'\). Notons \(Z'' = f^{-1}(Z')\) l’image inverse schématique (Schémas, définition 01JV). Alors \(Z'' \to Z'\) est universellement fermé, comme changement de base de \(f\) (Morphismes, lemme 01W4). Ainsi, \(Z \to Z'\) est universellement fermé, comme composé de l’immersion fermée \(Z \to Z''\) et de \(Z'' \to Z'\) (Morphismes, Lemmes 01W5 et 01W3). On en déduit que \(Z' \to S\) est séparé d’après Morphismes, lemme 09MQ. Puisque \(Z \to S\) est quasi-compact et que \(Z \to Z'\) est surjectif, le morphisme \(Z' \to S\) est quasi-compact. Puisque \(Z' \to S\) est le composé de \(Z' \to Y\) et de \(Y \to S\), le morphisme \(Z' \to S\) est localement de type fini (Morphismes, lemmes 01T5 et 01T3). Enfin, puisque \(Z \to S\) est universellement fermé, il en va de même pour \(Z' \to S\) d’après Morphismes, lemme 03GN. Cela achève la démonstration.

Démonstration de (3). Supposons \(f\) propre et \(Z \subset Y\) fermé et propre sur \(S\). Munissons \(Z\) de sa structure réduite induite de sous-schéma fermé. Notons \(Z' = f^{-1}(Z)\) l’image inverse schématique (Schémas, définition 01JV). Alors \(Z' \to Z\) est propre, comme changement de base de \(f\) (Morphismes, lemme 01W4). Ainsi \(Z' \to S\) est propre, comme composé de \(Z' \to Z\) et de \(Z \to S\) (Morphismes, lemme 01W3). Cela achève la démonstration.

Lemme

Soit \(f : X \to S\) un morphisme de schémas localement de type fini. Soient \(Z_i \subset X\), \(i = 1, \ldots, n\), des sous-ensembles fermés. Si les \(Z_i\), \(i = 1, \ldots, n\), sont propres sur \(S\), il en va de même pour \(Z_1 \cup \ldots \cup Z_n\).

Démonstration

Munissons les \(Z_i\) de leurs structures réduites induites de sous-schémas fermés. Le morphisme \[Z_1 \amalg \ldots \amalg Z_n \longrightarrow X\] est fini d’après Morphismes, Lemmes 035C et 0CYI. Les morphismes finis étant universellement fermés (Morphismes, lemme 01WN), et \(Z_1 \amalg \ldots \amalg Z_n\) étant propre sur \(S\), on déduit du lemme 0CYQ (2) que l’image \(Z_1 \cup \ldots \cup Z_n\) est propre sur \(S\).

Soit \(f : X \to S\) un morphisme de schémas localement de type fini. Soit \(\mathcal{F}\) un \(\mathcal{O}_X\)-module quasi-cohérent de type fini. Alors le support \(\text{Supp}(\mathcal{F})\) de \(\mathcal{F}\) est un sous-ensemble fermé de \(X\), voir Morphismes, lemme 056J. On peut donc dire que « le support de \(\mathcal{F}\) est propre sur \(S\) ».

Lemme

Soit \(f : X \to S\) un morphisme de schémas localement de type fini. Soit \(\mathcal{F}\) un \(\mathcal{O}_X\)-module quasi-cohérent de type fini. Les conditions suivantes sont équivalentes :

1. le support de \(\mathcal{F}\) est propre sur \(S\),

2. le support schématique de \(\mathcal{F}\) (Morphismes, définition 05JV) est propre sur \(S\), et

3. il existe un sous-schéma fermé \(Z \subset X\) et un \(\mathcal{O}_Z\)-module quasi-cohérent de type fini \(\mathcal{G}\) tels que (a) \(Z \to S\) soit propre et (b) \((Z \to X)_*\mathcal{G} = \mathcal{F}\).

Démonstration

Le support \(\text{Supp}(\mathcal{F})\) de \(\mathcal{F}\) est un sous-ensemble fermé de \(X\), voir Morphismes, lemme 056J. On peut donc appliquer la définition 0CYM. Puisque le support schématique de \(\mathcal{F}\) est un sous-schéma fermé dont le sous-ensemble fermé sous-jacent est \(\text{Supp}(\mathcal{F})\), les conditions (1) et (2) sont équivalentes d’après la définition 0CYM. Il est clair que (2) implique (3). Réciproquement, si (3) est vérifiée, alors \(\text{Supp}(\mathcal{F}) \subset Z\) (inclusion de sous-ensembles fermés de \(X\)), et donc \(\text{Supp}(\mathcal{F})\) est propre sur \(S\), par exemple d’après le lemme 0CYN.

Lemme

Considérons un diagramme cartésien de schémas \[\xymatrix{ X' \ar[d]_{f'} \ar[r]_{g'} & X \ar[d]^f \\ S' \ar[r]^g & S }\] où \(f\) est localement de type fini. Soit \(\mathcal{F}\) un \(\mathcal{O}_X\)-module quasi-cohérent de type fini. Si le support de \(\mathcal{F}\) est propre sur \(S\), alors le support de \((g')^*\mathcal{F}\) est propre sur \(S'\).

Démonstration

Remarquons que l’énoncé a un sens, car \((g')*\mathcal{F}\) est de type fini d’après Modules, lemme 01B6. On a \(\text{Supp}((g')^*\mathcal{F}) = (g')^{-1}(\text{Supp}(\mathcal{F}))\) d’après Morphismes, lemme 056J. Le lemme résulte donc du lemme 0CYP.

Lemme

Soit \(f : X \to S\) un morphisme de schémas localement de type fini. Soient \(\mathcal{F}\), \(\mathcal{G}\) des \(\mathcal{O}_X\)-modules quasi-cohérents de type fini.

1. Si les supports de \(\mathcal{F}\), \(\mathcal{G}\) sont propres sur \(S\), il en va de même pour \(\mathcal{F} \oplus \mathcal{G}\), pour toute extension de \(\mathcal{G}\) par \(\mathcal{F}\), pour \(\Im(u)\) et \(\Coker(u)\), quel que soit le morphisme de \(\mathcal{O}_X\)-modules \(u : \mathcal{F} \to \mathcal{G}\), et pour tout quotient quasi-cohérent de \(\mathcal{F}\) ou de \(\mathcal{G}\).

2. Si \(S\) est localement noethérien, la catégorie des \(\mathcal{O}_X\)-modules cohérents à support propre sur \(S\) est une sous-catégorie de Serre (Homologie, Définition 02MO) de la catégorie abélienne des \(\mathcal{O}_X\)-modules cohérents.

Démonstration

Démonstration de (1). Soient \(Z\), \(Z'\) les supports de \(\mathcal{F}\) et de \(\mathcal{G}\). Tous les faisceaux mentionnés dans (1) ont leur support contenu dans \(Z \cup Z'\). L’assertion résulte donc des lemmes 0CYN et 0CYR dès que l’on a vérifié que ces faisceaux sont de type fini et quasi-cohérents. Pour la quasi-cohérence, nous renvoyons le lecteur à Schémas, section 01LA. Pour la propriété « de type fini », nous invitons le lecteur à consulter Modules, section 01B4.

Démonstration de (2). On raisonne comme pour (1). Notons que les assertions ont un sens, puisque \(X\) est localement noethérien d’après Morphismes, lemme 01T6, et compte tenu de la description de la catégorie des modules cohérents dans la section 01XY.

Lemme

Soit \(S\) un schéma localement noethérien. Soit \(f : X \to S\) un morphisme de schémas localement de type fini. Soit \(\mathcal{F}\) un \(\mathcal{O}_X\)-module cohérent à support propre sur \(S\). Alors \(R^pf_*\mathcal{F}\) est un \(\mathcal{O}_S\)-module cohérent pour tout \(p \geq 0\).

Démonstration

D’après le lemme 0CYS, il existe une immersion fermée \(i : Z \to X\) et un \(\mathcal{O}_Z\)-module quasi-cohérent de type fini \(\mathcal{G}\) tels que (a) \(g = f \circ i : Z \to S\) soit propre et (b) \(i_*\mathcal{G} = \mathcal{F}\). Le faisceau \(R^pg_*\mathcal{G}\) est cohérent sur \(S\) d’après la proposition 02O5. D’autre part, \(R^qi_*\mathcal{G} = 0\) pour \(q > 0\) (lemme 01Y6). D’après Cohomologie, lemme 01F6, on obtient \(R^pf_*\mathcal{F} = R^pg_*\mathcal{G}\), ce qui achève la démonstration.

Lemme

Soit \(S\) un schéma noethérien. Soit \(f : X \to S\) un morphisme de type fini. Soit \(\mathcal{I} \subset \mathcal{O}_X\) un faisceau quasi-cohérent d’idéaux. Les catégories suivantes sont des sous-catégories de Serre de \(\textit{Coh}(X, \mathcal{I})\) :

1. la sous-catégorie pleine de \(\textit{Coh}(X, \mathcal{I})\) formée des objets \((\mathcal{F}_n)\) tels que le support de \(\mathcal{F}_1\) soit propre sur \(S\),

2. la sous-catégorie pleine de \(\textit{Coh}(X, \mathcal{I})\) formée des objets \((\mathcal{F}_n)\) tels qu’il existe un sous-schéma fermé \(Z \subset X\) propre sur \(S\) avec \(\mathcal{I}_Z \mathcal{F}_n = 0\) pour tout \(n \geq 1\).

Démonstration

Utilisons le critère de Homologie, lemme 02MP. Nous utiliserons aussi le fait que, si \(0 \to (\mathcal{G}_n) \to (\mathcal{F}_n) \to (\mathcal{H}_n) \to 0\) est une suite exacte courte de \(\textit{Coh}(X, \mathcal{I})\), alors (a) \(\mathcal{G}_n \to \mathcal{F}_n \to \mathcal{H}_n \to 0\) est exacte pour tout \(n \geq 1\) et (b) \(\mathcal{G}_n\) est un quotient de \(\Ker(\mathcal{F}_m \to \mathcal{H}_m)\) pour un certain \(m \geq n\). Voir la démonstration du lemme 087X.

Démonstration de (1). Soit \((\mathcal{F}_n)\) un objet de \(\textit{Coh}(X, \mathcal{I})\). Alors \(\text{Supp}(\mathcal{F}_n) = \text{Supp}(\mathcal{F}_1)\) pour tout \(n \geq 1\). Les remarques (a) et (b) ci-dessus montrent donc que, pour toute suite exacte courte \(0 \to (\mathcal{G}_n) \to (\mathcal{F}_n) \to (\mathcal{H}_n) \to 0\) de \(\textit{Coh}(X, \mathcal{I})\), on a \(\text{Supp}(\mathcal{G}_1) \cup \text{Supp}(\mathcal{H}_1) = \text{Supp}(\mathcal{F}_1)\). Cela prouve que la catégorie définie dans (1) est une sous-catégorie de Serre de \(\textit{Coh}(X, \mathcal{I})\).

Démonstration de (2). On raisonne de même. Soit \(0 \to (\mathcal{G}_n) \to (\mathcal{F}_n) \to (\mathcal{H}_n) \to 0\) une suite exacte courte de \(\textit{Coh}(X, \mathcal{I})\). Si \(Z \subset X\) est un sous-schéma fermé et si \(\mathcal{I}_Z\) annule \(\mathcal{F}_n\) pour tout \(n\), alors \(\mathcal{I}_Z\) annule \(\mathcal{G}_n\) et \(\mathcal{H}_n\) pour tout \(n\) d’après (a) et (b) ci-dessus. Si donc \(Z \to S\) est propre, on en déduit que la catégorie définie dans (2) est stable par passage aux sous-objets et aux objets quotients dans \(\textit{Coh}(X, \mathcal{I})\). Enfin, supposons que \(Z \subset X\) et \(Y \subset X\) soient des sous-schémas fermés propres sur \(S\) tels que \(\mathcal{I}_Z \mathcal{G}_n = 0\) et \(\mathcal{I}_Y \mathcal{H}_n = 0\) pour tout \(n \geq 1\). Il résulte alors de (a) ci-dessus que \(\mathcal{I}_{Z \cup Y} = \mathcal{I}_Z \cdot \mathcal{I}_Y\) annule \(\mathcal{F}_n\) pour tout \(n\). D’après le lemme 0CYR (et la définition 0CYM, qui permet de choisir une structure de schéma quelconque sur la réunion), le morphisme \(Z \cup Y \to S\) est propre, ce qui achève la démonstration.

Théorème d’existence de Grothendieck, III

Pour énoncer la version générale du théorème d’existence de Grothendieck, introduisons quelques notations supplémentaires. Soit \(A\) un anneau noethérien complet pour la topologie définie par un idéal \(I\). Soit \(f : X \to \Spec(A)\) un morphisme de schémas séparé et de type fini. Posons \(\mathcal{I} = I\mathcal{O}_X\). Dans cette situation, notons \[\textit{Coh}_{\text{support propre sur } A}(\mathcal{O}_X)\] la sous-catégorie pleine de \(\textit{Coh}(\mathcal{O}_X)\) formée des \(\mathcal{O}_X\)-modules cohérents dont le support est propre sur \(\Spec(A)\). C’est une sous-catégorie de Serre de \(\textit{Coh}(\mathcal{O}_X)\), voir lemme 0CYU. De même, notons \[\textit{Coh}_{\text{support propre sur } A}(X, \mathcal{I})\] la sous-catégorie pleine de \(\textit{Coh}(X, \mathcal{I})\) formée des objets \((\mathcal{F}_n)\) tels que le support de \(\mathcal{F}_1\) soit propre sur \(\Spec(A)\). C’est une sous-catégorie de Serre de \(\textit{Coh}(X, \mathcal{I})\) d’après le lemme 0CYV (1). Puisque le support d’un module quotient est contenu dans celui du module, le foncteur (0880) induit un foncteur [088D]\[\begin{equation} \textit{Coh}_{\text{support propre sur }A}(\mathcal{O}_X) \longrightarrow \textit{Coh}_{\text{support propre sur }A}(X, \mathcal{I}) \end{equation}\] Nous pouvons maintenant énoncer le théorème principal de cette section.

Théorème

Soit \(A\) un anneau noethérien complet pour la topologie définie par un idéal \(I\). Soit \(X\) un schéma séparé et de type fini sur \(A\). Alors le foncteur (088D) \[\textit{Coh}_{\text{support propre sur }A}(\mathcal{O}_X) \longrightarrow \textit{Coh}_{\text{support propre sur }A}(X, \mathcal{I})\] est une équivalence.

Démonstration

Nous utiliserons l’équivalence de catégories du lemme 087T sans autre mention. Pour un sous-schéma fermé \(Z \subset X\) propre sur \(A\), nous dirons, dans cette démonstration, qu’un module cohérent sur \(X\) est « porté par \(Z\) » s’il est annulé par le faisceau d’idéaux de \(Z\), ou, de manière équivalente, s’il est l’image directe d’un module cohérent sur \(Z\). D’après la proposition 088C, le résultat est vrai pour le foncteur entre modules cohérents et systèmes de modules cohérents portés par \(Z\). Il suffit donc de montrer que tout objet de \(\textit{Coh}_{\text{support propre sur }A}(\mathcal{O}_X)\) et tout objet de \(\textit{Coh}_{\text{support propre sur }A}(X, \mathcal{I})\) est porté par un sous-schéma fermé \(Z \subset X\) propre sur \(A\). C’est vrai par définition pour les objets de \(\textit{Coh}_{\text{support propre sur }A}(\mathcal{O}_X)\). Nous allons le démontrer pour les objets de \(\textit{Coh}_{\text{support propre sur }A}(X, \mathcal{I})\) en utilisant la méthode de démonstration de la proposition 088C. Nous invitons le lecteur à lire d’abord cette démonstration.

Considérons l’ensemble \(\Xi\) des faisceaux quasi-cohérents d’idéaux \(\mathcal{K} \subset \mathcal{O}_X\) tels que l’assertion soit vraie pour tout objet \((\mathcal{F}_n)\) de \(\textit{Coh}_{\text{support propre sur }A}(X, \mathcal{I})\) annulé par \(\mathcal{K}\). Montrons que \((0)\) appartient à \(\Xi\). Sinon, puisque \(X\) est noethérien, il existe un faisceau quasi-cohérent d’idéaux \(\mathcal{K}\) maximal parmi ceux qui n’appartiennent pas à \(\Xi\), voir lemme 01Y8. En remplaçant \(X\) par le sous-schéma fermé de \(X\) correspondant à \(\mathcal{K}\), on peut supposer que tout faisceau non nul \(\mathcal{K}\) appartient à \(\Xi\). Soit \((\mathcal{F}_n)\) un objet de \(\textit{Coh}_{\text{support propre sur }A}(X, \mathcal{I})\). Nous allons montrer que cet objet est porté par un sous-schéma fermé \(Z \subset X\) propre sur \(A\), ce qui achèvera la démonstration du théorème.

Appliquons le lemme de Chow (lemme 0200) pour obtenir un morphisme propre surjectif \(f : Y \to X\) qui est un isomorphisme au-dessus d’un ouvert dense \(U \subset X\) et tel que \(Y\) soit H-quasi-projectif sur \(A\). Choisissons une immersion ouverte \(j : Y \to Y'\), où \(Y'\) est projectif sur \(A\), voir Morphismes, lemme 01WA. Remarquons que \[\text{Supp}(f^*\mathcal{F}_n) = f^{-1}\text{Supp}(\mathcal{F}_n) = f^{-1}\text{Supp}(\mathcal{F}_1)\] La première égalité résulte de Morphismes, lemme 056J. Par hypothèse et d’après le lemme 0CYQ (3), le sous-ensemble \(f^{-1}\text{Supp}(\mathcal{F}_1)\) est propre sur \(A\). L’image de \(f^{-1}\text{Supp}(\mathcal{F}_1)\) par \(j\) est donc fermée dans \(Y'\) d’après le lemme 0CYQ (1). Ainsi \(\mathcal{F}'_n = j_*f^*\mathcal{F}_n\) est cohérent sur \(Y'\) d’après le lemme 0CYJ. Il en résulte que \((\mathcal{F}_n')\) est un objet de \(\textit{Coh}(Y', I\mathcal{O}_{Y'})\). D’après le cas projectif du théorème d’existence de Grothendieck (lemme 0885), il existe un \(\mathcal{O}_{Y'}\)-module cohérent \(\mathcal{F}'\) et un isomorphisme \((\mathcal{F}')^\wedge \cong (\mathcal{F}'_n)\) dans \(\textit{Coh}(Y', I\mathcal{O}_{Y'})\). Puisque \(\mathcal{F}'/I\mathcal{F}' = \mathcal{F}'_1\), on a \[\text{Supp}(\mathcal{F}') \cap V(I\mathcal{O}_{Y'}) = \text{Supp}(\mathcal{F}'_1) = j(f^{-1}\text{Supp}(\mathcal{F}_1))\] Le morphisme structural \(p' : Y' \to \Spec(A)\) est propre, donc \(p'(\text{Supp}(\mathcal{F}') \setminus j(Y))\) est fermé dans \(\Spec(A)\). Un sous-ensemble fermé non vide de \(\Spec(A)\) contient un point de \(V(I)\), car \(I\) est contenu dans le radical de Jacobson de \(A\) d’après Algèbre, lemme 05GI. L’égalité ci-dessus montre que \(\text{Supp}(\mathcal{F}') \cap (p')^{-1}V(I) \subset j(Y)\) et l’on en déduit que \(\text{Supp}(\mathcal{F}') \subset j(Y)\). Ainsi \(\mathcal{F}'|_Y = j^*\mathcal{F}'\) est porté par un sous-schéma fermé \(Z'\) de \(Y\) propre sur \(A\), et \((\mathcal{F}'|_Y)^\wedge = (f^*\mathcal{F}_n)\).

Soit \(\mathcal{K}\) le faisceau quasi-cohérent d’idéaux définissant le complémentaire réduit \(X \setminus U\). D’après la proposition 02O5, le \(\mathcal{O}_X\)-module \(\mathcal{H} = f_*(\mathcal{F}'|_Y)\) est cohérent, et d’après le lemme 088B, il existe un morphisme \(\alpha : (\mathcal{F}_n) \to \mathcal{H}^\wedge\) de \(\textit{Coh}(X, \mathcal{I})\) dont le noyau et le conoyau sont annulés par une puissance \(\mathcal{K}^t\) de \(\mathcal{K}\). On obtient une suite exacte \[0 \to \Ker(\alpha) \to (\mathcal{F}_n) \to \mathcal{H}^\wedge \to \Coker(\alpha) \to 0\] dans \(\textit{Coh}(X, \mathcal{I})\). Si \(Z_0 \subset X\) est le support schématique de \(\mathcal{H}\), il est clair que \(Z_0 \subset f(Z')\) ensemblistement. Ainsi \(Z_0\) est propre sur \(A\) d’après le lemme 0CYN et le lemme 0CYQ (2). Par conséquent, \(\mathcal{H}^\wedge\) appartient à la sous-catégorie définie dans le lemme 0CYV (2), et a fortiori à \(\textit{Coh}_{\text{support propre sur }A}(X, \mathcal{I})\). On en déduit que \(\Ker(\alpha)\) et \(\Coker(\alpha)\) appartiennent à \(\textit{Coh}_{\text{support propre sur }A}(X, \mathcal{I})\) d’après le lemme 0CYV (1). Par l’hypothèse de récurrence, plus précisément parce que \(\mathcal{K}^t\) appartient à \(\Xi\), les objets \(\Ker(\alpha)\) et \(\Coker(\alpha)\) appartiennent à la sous-catégorie définie dans le lemme 0CYV (2). Celle-ci étant une sous-catégorie de Serre d’après le lemme, il en va de même pour \((\mathcal{F}_n)\), comme voulu.

Remarque

Soit \(A\) un anneau noethérien complet pour la topologie définie par un idéal \(I\). Écrivons \(S = \Spec(A)\) et \(S_n = \Spec(A/I^n)\). Soit \(X \to S\) un morphisme séparé de type fini. Pour \(n \geq 1\), posons \(X_n = X \times_S S_n\). On a le diagramme suivant : \[\xymatrix{ X_1 \ar[r]_{i_1} \ar[d] & X_2 \ar[r]_{i_2} \ar[d] & X_3 \ar[r] \ar[d] & \ldots & X \ar[d] \\ S_1 \ar[r] & S_2 \ar[r] & S_3 \ar[r] & \ldots & S }\] Dans cette situation, considérons les systèmes \((\mathcal{F}_n, \varphi_n)\) tels que

1. \(\mathcal{F}_n\) soit un \(\mathcal{O}_{X_n}\)-module cohérent,

2. \(\varphi_n : i_n^*\mathcal{F}_{n + 1} \to \mathcal{F}_n\) soit un isomorphisme, et

3. \(\text{Supp}(\mathcal{F}_1)\) soit propre sur \(S_1\).

Le Théorème 088E affirme que le foncteur de complétion \[\begin{matrix} \text{les }\mathcal{O}_X\text{-modules cohérents }\mathcal{F} \\ \text{à support propre sur }A \end{matrix} \quad \longrightarrow \quad \begin{matrix} \text{systèmes }(\mathcal{F}_n) \\ \text{comme ci-dessus} \end{matrix}\] est une équivalence de catégories. Dans le cas particulier où \(X\) est propre sur \(A\), on peut omettre les conditions portant sur les supports.

Théorème d’algébrisation de Grothendieck

Notre premier résultat est une reformulation du théorème d’existence de Grothendieck en termes de sous-schémas fermés et de morphismes finis.

Lemme

Soit \(A\) un anneau noethérien complet pour la topologie \(I\)-adique. Posons \(S = \Spec(A)\) et \(S_n = \Spec(A/I^n)\). Soit \(X \to S\) un morphisme séparé de type fini. Pour \(n \geq 1\), posons \(X_n = X \times_S S_n\). Supposons donné un diagramme commutatif \[\xymatrix{ Z_1 \ar[r] \ar[d] & Z_2 \ar[r] \ar[d] & Z_3 \ar[r] \ar[d] & \ldots \\ X_1 \ar[r]^{i_1} & X_2 \ar[r]^{i_2} & X_3 \ar[r] & \ldots }\] de schémas dont les carrés sont cartésiens. Supposons que

1. \(Z_1 \to X_1\) est une immersion fermée, et

2. \(Z_1 \to S_1\) est propre.

Il existe alors une immersion fermée de schémas \(Z \to X\) telle que \(Z_n = Z \times_S S_n\). De plus, \(Z\) est propre sur \(S\).

Démonstration

Notons \(j_n : Z_n \to X_n\) les morphismes verticaux. Les carrés de l’énoncé étant cartésiens, le changement de base de \(j_n\) à \(X_1\) est \(j_1\). Ainsi, Morphismes, lemme 0896, montre que \(j_n\) est une immersion fermée. Posons \(\mathcal{F}_n = j_{n, *}\mathcal{O}_{Z_n}\), de sorte que \(j_n^\sharp\) soit une surjection \(\mathcal{O}_{X_n} \to \mathcal{F}_n\). En utilisant à nouveau le caractère cartésien des carrés, on voit que l’image inverse de \(\mathcal{F}_{n + 1}\) sur \(X_n\) est \(\mathcal{F}_n\). Le théorème d’existence de Grothendieck, sous la forme de la remarque 088F, assure donc l’existence d’un morphisme \(\mathcal{O}_X \to \mathcal{F}\) de \(\mathcal{O}_X\)-modules cohérents dont la restriction à \(X_n\) redonne \(\mathcal{O}_{X_n} \to \mathcal{F}_n\). De plus, le support de \(\mathcal{F}\) est propre sur \(S\). Comme le foncteur de complétion est exact (lemme 0881), le conoyau \(\mathcal{Q}\) de \(\mathcal{O}_X \to \mathcal{F}\) a une complétion nulle. Comme le support de \(\mathcal{F}\) est propre sur \(S\), et qu’il en est de même de \(\mathcal{Q}\), il en résulte que \(\mathcal{Q} = 0\) ; cela découle par exemple du fait que le foncteur (088D) est une équivalence par le théorème d’existence de Grothendieck. Ainsi \(\mathcal{F} = \mathcal{O}_X/\mathcal{J}\) pour un certain faisceau quasi-cohérent d’idéaux \(\mathcal{J}\). Il suffit de poser \(Z = V(\mathcal{J})\) pour achever la démonstration.

Dans le lemme suivant, il suffit en fait de supposer que \(Y_1 \to X_1\) est fini, car cela entraîne que \(Y_n \to X_n\) est également fini (voir Compléments sur les morphismes, Lemme 09ZW).

Lemme

Soit \(A\) un anneau noethérien complet pour la topologie \(I\)-adique. Posons \(S = \Spec(A)\) et \(S_n = \Spec(A/I^n)\). Soit \(X \to S\) un morphisme séparé de type fini. Pour \(n \geq 1\), posons \(X_n = X \times_S S_n\). Supposons donné un diagramme commutatif \[\xymatrix{ Y_1 \ar[r] \ar[d] & Y_2 \ar[r] \ar[d] & Y_3 \ar[r] \ar[d] & \ldots \\ X_1 \ar[r]^{i_1} & X_2 \ar[r]^{i_2} & X_3 \ar[r] & \ldots }\] de schémas dont les carrés sont cartésiens. Supposons que

1. \(Y_n \to X_n\) est un morphisme fini, et

2. \(Y_1 \to S_1\) est propre.

Il existe alors un morphisme fini de schémas \(Y \to X\) tel que \(Y_n = Y \times_S S_n\). De plus, \(Y\) est propre sur \(S\).

Démonstration

Notons \(f_n : Y_n \to X_n\) les morphismes verticaux. Posons \(\mathcal{F}_n = f_{n, *}\mathcal{O}_{Y_n}\). C’est un \(\mathcal{O}_{X_n}\)-module cohérent puisque \(f_n\) est fini (lemme 01Y6). Le caractère cartésien des carrés montre que l’image inverse de \(\mathcal{F}_{n + 1}\) sur \(X_n\) est \(\mathcal{F}_n\). Le théorème d’existence de Grothendieck, sous la forme de la remarque 088F, assure donc l’existence d’un \(\mathcal{O}_X\)-module cohérent \(\mathcal{F}\) dont la restriction à \(X_n\) redonne \(\mathcal{F}_n\). De plus, le support de \(\mathcal{F}\) est propre sur \(S\). Comme le foncteur de complétion est pleinement fidèle (Théorème 088E), les applications de multiplication \(\mathcal{F}_n \otimes_{\mathcal{O}_{X_n}} \mathcal{F}_n \to \mathcal{F}_n\) se recollent en une structure d’algèbre sur \(\mathcal{F}\). Il suffit de poser \(Y = \underline{\Spec}_X(\mathcal{F})\) pour achever la démonstration.

Lemme

Soit \(A\) un anneau noethérien complet pour la topologie \(I\)-adique. Posons \(S = \Spec(A)\) et \(S_n = \Spec(A/I^n)\). Soient \(X\) et \(Y\) des schémas sur \(S\). Pour \(n \geq 1\), posons \(X_n = X \times_S S_n\) et \(Y_n = Y \times_S S_n\). Supposons donné un système compatible de diagrammes commutatifs \[\xymatrix{ & & X_{n + 1} \ar[rd] \ar[rr]_{g_{n + 1}} & & Y_{n + 1} \ar[ld] \\ X_n \ar[rru] \ar[rd] \ar[rr]_{g_n} & & Y_n \ar[rru] \ar[ld] & S_{n + 1} \\ & S_n \ar[rru] }\] Supposons que

1. \(X \to S\) est propre, et

2. \(Y \to S\) est séparé de type fini.

Il existe alors un unique morphisme de schémas \(g : X \to Y\) au-dessus de \(S\) tel que \(g_n\) soit le changement de base de \(g\) à \(S_n\).

Démonstration

Les morphismes \((1, g_n) : X_n \to X_n \times_S Y_n\) sont des immersions fermées, car \(Y_n \to S_n\) est séparé (Schémas, lemme 01KT). Le lemme 0899 fournit donc un sous-schéma fermé \(Z \subset X \times_S Y\), propre sur \(S\), dont le changement de base à \(S_n\) redonne \(X_n \subset X_n \times_S Y_n\). La première projection \(p : Z \to X\) est un morphisme propre (car \(Z\) est propre sur \(S\), voir Morphismes, lemme 01W6) dont le changement de base à \(S_n\) est un isomorphisme pour tout \(n\). En particulier, \(p : Z \to X\) est fini au-dessus d’un voisinage ouvert de \(X_0\), d’après le lemme 02OH. Comme \(X\) est propre sur \(S\), ce voisinage ouvert est \(X\) tout entier, et nous concluons que \(p : Z \to X\) est fini. En appliquant l’équivalence de la proposition 088C, on obtient \(p_*\mathcal{O}_Z = \mathcal{O}_X\), puisque cette égalité est vraie modulo \(I^n\) pour tout \(n\). Par conséquent, \(p\) est un isomorphisme, et le morphisme \(g\) est le composé \(X \cong Z \to Y\). Nous omettons la démonstration de l’unicité.

Pour démontrer un théorème d’algébrisation « abstrait », nous devons supposer l’existence d’un faisceau inversible ample : sans cette hypothèse, le résultat est faux.

Théorème

Soit \(A\) un anneau noethérien complet pour la topologie \(I\)-adique. Posons \(S = \Spec(A)\) et \(S_n = \Spec(A/I^n)\). Considérons un diagramme commutatif \[\xymatrix{ X_1 \ar[r]_{i_1} \ar[d] & X_2 \ar[r]_{i_2} \ar[d] & X_3 \ar[r] \ar[d] & \ldots \\ S_1 \ar[r] & S_2 \ar[r] & S_3 \ar[r] & \ldots }\] de schémas dont les carrés sont cartésiens. Supposons donnés des couples \((\mathcal{L}_n, \varphi_n)\), où chaque \(\mathcal{L}_n\) est un faisceau inversible sur \(X_n\) et \(\varphi_n : i_n^*\mathcal{L}_{n + 1} \to \mathcal{L}_n\) est un isomorphisme. Si

1. \(X_1 \to S_1\) est propre, et

2. \(\mathcal{L}_1\) est ample sur \(X_1\),

alors il existe un morphisme propre de schémas \(X \to S\), un \(\mathcal{O}_X\)-module inversible ample \(\mathcal{L}\), ainsi que des isomorphismes \(X_n \cong X \times_S S_n\) et \(\mathcal{L}_n \cong \mathcal{L}|_{X_n}\) compatibles avec les morphismes \(i_n\) et \(\varphi_n\).

Démonstration

Les carrés du diagramme étant cartésiens et les morphismes \(S_n \to S_{n + 1}\) étant des immersions fermées, les morphismes \(i_n\) sont eux aussi des immersions fermées. Nous pouvons donc considérer \(X_m\) comme un sous-schéma fermé de \(X_n\) pour \(m < n\). Plus précisément, \(X_m\) est le sous-schéma fermé défini par le faisceau quasi-cohérent d’idéaux \(I^m\mathcal{O}_{X_n}\). De plus, les espaces topologiques sous-jacents aux schémas \(X_1, X_2, X_3, \ldots\) s’identifient tous ; nous pouvons donc considérer, et considérerons, les faisceaux \(\mathcal{O}_{X_n}\) comme définis sur un même espace topologique sous-jacent, et de même pour les \(\mathcal{O}_{X_n}\)-modules cohérents. Posons \[\mathcal{F}_n = \Ker(\mathcal{O}_{X_{n + 1}} \to \mathcal{O}_{X_n})\] de sorte que l’on obtienne des suites exactes courtes \[0 \to \mathcal{F}_n \to \mathcal{O}_{X_{n + 1}} \to \mathcal{O}_{X_n} \to 0\] On a, d’après ce qui précède, \(\mathcal{F}_n = I^n\mathcal{O}_{X_{n + 1}}\). Il s’ensuit que \(\mathcal{F}_n\) est un faisceau cohérent sur \(X_{n + 1}\) annulé par \(I\) ; nous pouvons donc le considérer, et le considérerons, comme un \(\mathcal{O}_{X_1}\)-module cohérent. Remarquons que, pour \(m > n\), le faisceau \[I^n\mathcal{O}_{X_m}/I^{n + 1}\mathcal{O}_{X_m}\] s’envoie isomorphiquement sur \(\mathcal{F}_n\) par le morphisme \(\mathcal{O}_{X_m} \to \mathcal{O}_{X_{n + 1}}\). Étant donnés \(n_1, n_2 \geq 0\), on peut donc choisir \(m > n_1 + n_2\) et considérer le morphisme de multiplication \[I^{n_1}\mathcal{O}_{X_m} \times I^{n_2}\mathcal{O}_{X_m} \longrightarrow I^{n_1 + n_2}\mathcal{O}_{X_m} \to \mathcal{F}_{n_1 + n_2}\] Celui-ci induit une application \(\mathcal{O}_{X_1}\)-bilinéaire \[\mathcal{F}_{n_1} \times \mathcal{F}_{n_2} \longrightarrow \mathcal{F}_{n_1 + n_2}\] qui définit à son tour une structure de \(\mathcal{O}_{X_1}\)-algèbre graduée sur \(\mathcal{F} = \bigoplus_{n \geq 0} \mathcal{F}_n\).

Posons \(B = \bigoplus I^n/I^{n + 1}\) ; c’est une \(A/I\)-algèbre graduée de type fini. Posons \(\mathcal{B} = (X_1 \to S_1)^*\widetilde{B}\). La discussion précédente fournit une surjection canonique \[\mathcal{B} \longrightarrow \mathcal{F}\] de \(\mathcal{O}_{X_1}\)-algèbres graduées. En particulier, \(\mathcal{F}\) est un \(\mathcal{B}\)-module gradué quasi-cohérent de type fini. Le lemme 0897 permet de choisir un entier \(d_0\) tel que \(H^1(X_1, \mathcal{F} \otimes \mathcal{L}^{\otimes d}) = 0\) pour tout \(d \geq d_0\). Choisissons \(d \geq d_0\) de sorte qu’il existe des sections \(s_{0, 1}, \ldots, s_{N, 1} \in \Gamma(X_1, \mathcal{L}_1^{\otimes d})\) induisant une immersion \[\psi_1 : X_1 \to \mathbf{P}^N_{S_1}\] au-dessus de \(S_1\), voir Morphismes, lemme 01VT. Comme \(X_1\) est propre sur \(S_1\), \(\psi_1\) est une immersion fermée, voir Morphismes, lemme 01W6, ainsi que Schémas, lemme 01IQ. Nous allons « relever » \(\psi_1\) en un système compatible d’immersions fermées des \(X_n\) dans \(\mathbf{P}^N\).

En tensorisant les suites exactes courtes du premier paragraphe de la démonstration par \(\mathcal{L}_{n + 1}^{\otimes d}\), on obtient les suites exactes courtes \[0 \to \mathcal{F}_n \otimes \mathcal{L}_{n + 1}^{\otimes d} \to \mathcal{L}_{n + 1}^{\otimes d} \to \mathcal{L}_{n + 1}^{\otimes d} \to 0\] À l’aide des isomorphismes \(\varphi_n\), on obtient des isomorphismes \(\mathcal{L}_{n + 1} \otimes \mathcal{O}_{X_l} = \mathcal{L}_l\) pour \(l \leq n\). La suite précédente devient donc \[0 \to \mathcal{F}_n \otimes \mathcal{L}_1^{\otimes d} \to \mathcal{L}_{n + 1}^{\otimes d} \to \mathcal{L}_n^{\otimes d} \to 0\] L’annulation de \(H^1(X, \mathcal{F}_n \otimes \mathcal{L}_1^{\otimes d})\) permet de relever par récurrence \(s_{0, 1}, \ldots, s_{N, 1} \in \Gamma(X_1, \mathcal{L}_1^{\otimes d})\) en des sections \(s_{0, n}, \ldots, s_{N, n} \in \Gamma(X_n, \mathcal{L}_n^{\otimes d})\). On obtient ainsi un diagramme commutatif \[\xymatrix{ X_1 \ar[r]_{i_1} \ar[d]_{\psi_1} & X_2 \ar[r]_{i_2} \ar[d]_{\psi_2} & X_3 \ar[r] \ar[d]_{\psi_3} & \ldots \\ \mathbf{P}^N_{S_1} \ar[r] & \mathbf{P}^N_{S_2} \ar[r] & \mathbf{P}^N_{S_3} \ar[r] & \ldots }\] où \(\psi_n = \varphi_{(\mathcal{L}_n, (s_{0, n}, \ldots, s_{N, n}))}\) avec les notations de Constructions, section 01ND. Les carrés de l’énoncé du théorème étant cartésiens, ceux du diagramme ci-dessus le sont aussi. Le lemme 0899 permet alors de conclure.