Catégories

Introduction

Les catégories ont été introduites dans [GenEqui]. La catégorie des catégories (qui est une classe propre) est une \(2\)-catégorie. De même, la catégorie des champs forme une \(2\)-catégorie. Si vous connaissez déjà les catégories, mais pas les \(2\)-catégories, vous devriez lire la section 003D comme introduction aux définitions formelles données plus loin.

Définitions

Nous rappelons les définitions, en partie pour fixer les notations.

Définition

Une catégorie \(\mathcal{C}\) est constituée des données suivantes :

1. Un ensemble d’objets \(\Ob(\mathcal{C})\).

2. Pour chaque paire \(x, y \in \Ob(\mathcal{C})\), un ensemble de morphismes \(\Mor_\mathcal{C}(x, y)\).

3. Pour chaque triplet \(x, y, z\in \Ob(\mathcal{C})\), une application de composition \(\Mor_\mathcal{C}(y, z) \times \Mor_\mathcal{C}(x, y) \to \Mor_\mathcal{C}(x, z)\), notée \((\phi, \psi) \mapsto \phi \circ \psi\).

Ces données doivent satisfaire aux règles suivantes :

1. Pour tout élément \(x\in \Ob(\mathcal{C})\), il existe un morphisme \(\text{id}_x\in \Mor_\mathcal{C}(x, x)\) tel que \(\text{id}_x \circ \phi = \phi\) et \(\psi \circ \text{id}_x = \psi\) dès que ces compositions ont un sens.

2. La composition est associative, c’est-à-dire \((\phi \circ \psi) \circ \chi = \phi \circ ( \psi \circ \chi)\) dès que ces compositions ont un sens.

Il est d’usage d’exiger que tous les ensembles de morphismes \(\Mor_\mathcal{C}(x, y)\) soient disjoints. Ainsi, un morphisme \(\phi : x \to y\) possède une source \(x\) unique et un but \(y\) unique. Cela n’est pas strictement nécessaire, bien qu’il faille alors prendre garde à la formulation de la condition (2) ci-dessus. Cette convention est commode et nous la supposerons souvent satisfaite. Dans ce cas, nous disons que \(\phi\) et \(\psi\) sont composables si la source de \(\phi\) est égale au but de \(\psi\) ; alors \(\phi \circ \psi\) est défini. Une définition équivalente consisterait à définir une catégorie comme un quintuplet \((\text{Ob}, \text{Flèches}, s, t, \circ)\) formé d’un ensemble d’objets, d’un ensemble de morphismes (flèches), d’une source, d’un but et d’une composition, soumis à une longue liste d’axiomes. Nous adopterons occasionnellement ce point de vue.

Remarque

Grandes catégories. Dans certains textes, une catégorie peut avoir une classe propre d’objets. Nous l’autoriserons également dans ces notes, mais seulement dans les cas de la liste suivante (qui sera complétée au fur et à mesure). En particulier, lorsque nous disons : « Soit \(\mathcal{C}\) une catégorie », il est entendu que \(\Ob(\mathcal{C})\) est un ensemble.

1. La catégorie \(\textit{Ensembles}\) des ensembles.

2. La catégorie \(\textit{Ab}\) des groupes abéliens.

3. La catégorie \(\textit{Groups}\) des groupes.

4. Étant donné un groupe \(G\), la catégorie \(G\textit{-Ensembles}\) des ensembles munis d’une action à gauche de \(G\).

5. Étant donné un anneau \(R\), la catégorie \(\text{Mod}_R\) des \(R\)-modules.

6. Étant donné un corps \(k\), la catégorie des espaces vectoriels sur \(k\).

7. La catégorie des anneaux.

8. La catégorie des anneaux à puissances divisées, voir Algèbre à puissances divisées, section 07GT.

9. La catégorie des schémas.

10. La catégorie \(\textit{Top}\) des espaces topologiques.

11. Étant donné un espace topologique \(X\), la catégorie \(\textit{PSh}(X)\) des préfaisceaux d’ensembles sur \(X\).

12. Étant donné un espace topologique \(X\), la catégorie \(\Sh(X)\) des faisceaux d’ensembles sur \(X\).

13. Étant donné un espace topologique \(X\), la catégorie \(\textit{PAb}(X)\) des préfaisceaux de groupes abéliens sur \(X\).

14. Étant donné un espace topologique \(X\), la catégorie \(\textit{Ab}(X)\) des faisceaux de groupes abéliens sur \(X\).

15. Étant donné une petite catégorie \(\mathcal{C}\), la catégorie des foncteurs de \(\mathcal{C}\) dans \(\textit{Ensembles}\).

16. Étant donné une catégorie \(\mathcal{C}\), la catégorie des préfaisceaux d’ensembles sur \(\mathcal{C}\).

17. Étant donné un site \(\mathcal{C}\), la catégorie des faisceaux d’ensembles sur \(\mathcal{C}\).

L’une des raisons de cette énumération est d’éviter de travailler avec quelque chose comme la « collection » des « grandes » catégories, ce qui reviendrait à travailler avec la collection de toutes les classes et constituerait, à notre avis, un objet définitivement métamathématique.

Remarque

Il découle directement de la définition que deux morphismes identités d’un objet \(x\) de \(\mathcal{A}\) sont égaux. Nous pouvons donc parler, et parlerons, du morphisme identité \(\text{id}_x\) de \(x\).

Définition

Un morphisme \(\phi : x \to y\) est un isomorphisme de la catégorie \(\mathcal{C}\) s’il existe un morphisme \(\psi : y \to x\) tel que \(\phi \circ \psi = \text{id}_y\) et \(\psi \circ \phi = \text{id}_x\).

Un isomorphisme \(\phi\) est aussi parfois appelé morphisme inversible, et le morphisme \(\psi\) de la définition est appelé l’inverse et noté \(\phi^{-1}\). Il est unique s’il existe. Remarquons que, pour un objet \(x\) d’une catégorie \(\mathcal{A}\), l’ensemble des éléments inversibles \(\text{Aut}_\mathcal{A}(x)\) de \(\Mor_\mathcal{A}(x, x)\) forme un groupe pour la composition. Ce groupe est appelé le groupe des automorphismes de \(x\) dans \(\mathcal{A}\).

Définition

Un groupoïde est une catégorie dans laquelle tout morphisme est un isomorphisme.

Exemple

Un groupe \(G\) définit un groupoïde ayant un unique objet \(x\) et pour morphismes \(\Mor(x, x) = G\), la loi de composition étant donnée par la loi de groupe de \(G\). Tout groupoïde ayant un unique objet est de cette forme.

Exemple

Un ensemble \(C\) définit un groupoïde \(\mathcal{C}\) de la manière suivante : on pose \(\Ob(\mathcal{C}) := C\) et, pour les morphismes, on prend \(\Mor(x, y)\) vide si \(x\neq y\) et égal à \(\{\text{id}_x\}\) si \(x = y\).

Définition

Un foncteur \(F : \mathcal{A} \to \mathcal{B}\) entre deux catégories \(\mathcal{A}, \mathcal{B}\) est défini par les données suivantes :

1. Une application \(F : \Ob(\mathcal{A}) \to \Ob(\mathcal{B})\).

2. Pour tous \(x, y \in \Ob(\mathcal{A})\), une application \(F : \Mor_\mathcal{A}(x, y) \to \Mor_\mathcal{B}(F(x), F(y))\), notée \(\phi \mapsto F(\phi)\).

Ces données doivent être compatibles avec la composition et les morphismes identités de la manière suivante : \(F(\phi \circ \psi) = F(\phi) \circ F(\psi)\) pour toute paire composable \((\phi, \psi)\) de morphismes de \(\mathcal{A}\), et \(F(\text{id}_x) = \text{id}_{F(x)}\).

Toute catégorie \(\mathcal{A}\) possède un foncteur identité \(\text{id}_\mathcal{A}\). De plus, étant donnés un foncteur \(G : \mathcal{B} \to \mathcal{C}\) et un foncteur \(F : \mathcal{A} \to \mathcal{B}\), il existe un foncteur composé \(G \circ F : \mathcal{A} \to \mathcal{C}\) défini de manière évidente.

Définition

Soit \(F : \mathcal{A} \to \mathcal{B}\) un foncteur.

1. Nous disons que \(F\) est fidèle si, pour tous objets \(x, y \in \Ob(\mathcal{A})\), l’application \[F : \Mor_\mathcal{A}(x, y) \to \Mor_\mathcal{B}(F(x), F(y))\] est injective.

2. Si toutes ces applications sont bijectives, \(F\) est dit pleinement fidèle.

3. Le foncteur \(F\) est dit essentiellement surjectif si, pour tout objet \(y \in \Ob(\mathcal{B})\), il existe un objet \(x \in \Ob(\mathcal{A})\) tel que \(F(x)\) soit isomorphe à \(y\) dans \(\mathcal{B}\).

Définition

Une sous-catégorie d’une catégorie \(\mathcal{B}\) est une catégorie \(\mathcal{A}\) dont les objets et les flèches forment des sous-ensembles des objets et des flèches de \(\mathcal{B}\), telle que la source, le but et la composition dans \(\mathcal{A}\) coïncident avec ceux de \(\mathcal{B}\) et que le morphisme identité d’un objet de \(\mathcal{A}\) coïncide avec celui de \(\mathcal{B}\). Nous disons que \(\mathcal{A}\) est une sous-catégorie pleine de \(\mathcal{B}\) si \(\Mor_\mathcal{A}(x, y) = \Mor_\mathcal{B}(x, y)\) pour tous \(x, y \in \Ob(\mathcal{A})\). Nous disons que \(\mathcal{A}\) est une sous-catégorie strictement pleine de \(\mathcal{B}\) si elle est pleine et si, pour tout \(x \in \Ob(\mathcal{A})\), tout objet de \(\mathcal{B}\) isomorphe à \(x\) appartient également à \(\mathcal{A}\).

Si \(\mathcal{A} \subset \mathcal{B}\) est une sous-catégorie, l’application identité est un foncteur de \(\mathcal{A}\) dans \(\mathcal{B}\). De plus, une sous-catégorie \(\mathcal{A} \subset \mathcal{B}\) est pleine si et seulement si le foncteur d’inclusion est pleinement fidèle. Remarquons que, pour une catégorie \(\mathcal{B}\), l’ensemble des sous-catégories pleines de \(\mathcal{B}\) s’identifie à l’ensemble des sous-ensembles de \(\Ob(\mathcal{B})\).

Remarque

Supposons que \(\mathcal{A}\) soit une catégorie. Un foncteur \(F\) de \(\mathcal{A}\) dans \(\textit{Ensembles}\) est un objet mathématique (c’est-à-dire un ensemble, et non une classe ni une formule de la théorie des ensembles ; voir Ensembles, section 0009), bien que la catégorie des ensembles soit « grande ». En effet, l’image de \(F\) sur les objets est un ensemble \(F(\Ob(\mathcal{A}))\) et nous pouvons alors considérer \(F\) comme un foncteur entre \(\mathcal{A}\) et la sous-catégorie pleine de la catégorie des ensembles dont les objets sont les éléments de \(F(\Ob(\mathcal{A}))\).

Exemple

Un homomorphisme de groupes \(p : G\to H\) définit un foncteur entre les groupoïdes associés de l’exemple 0019. Il est fidèle (resp. pleinement fidèle) si et seulement si \(p\) est injectif (resp. est un isomorphisme).

Exemple

Étant donnés une catégorie \(\mathcal{C}\) et un objet \(X\in \Ob(\mathcal{C})\), nous définissons la catégorie des objets au-dessus de \(X\), notée \(\mathcal{C}/X\), comme suit. Les objets de \(\mathcal{C}/X\) sont les morphismes \(Y\to X\), où \(Y\in \Ob(\mathcal{C})\). Les morphismes entre les objets \(Y\to X\) et \(Y'\to X\) sont les morphismes \(Y\to Y'\) de \(\mathcal{C}\) qui rendent commutatif le diagramme évident. Il existe un foncteur \(p_X : \mathcal{C}/X\to \mathcal{C}\) qui oublie simplement le morphisme. De plus, tout morphisme \(f : X'\to X\) de \(\mathcal{C}\) induit un foncteur \(F : \mathcal{C}/X' \to \mathcal{C}/X\) obtenu par composition avec \(f\), et \(p_X\circ F = p_{X'}\).

Exemple

Étant donnés une catégorie \(\mathcal{C}\) et un objet \(X\in \Ob(\mathcal{C})\), nous définissons la catégorie des objets au-dessous de \(X\), notée \(X/\mathcal{C}\), comme suit. Les objets de \(X/\mathcal{C}\) sont les morphismes \(X\to Y\), où \(Y\in \Ob(\mathcal{C})\). Les morphismes entre les objets \(X\to Y\) et \(X\to Y'\) sont les morphismes \(Y\to Y'\) de \(\mathcal{C}\) qui rendent commutatif le diagramme évident. Il existe un foncteur \(p_X : X/\mathcal{C}\to \mathcal{C}\) qui oublie simplement le morphisme. De plus, tout morphisme \(f : X'\to X\) de \(\mathcal{C}\) induit un foncteur \(F : X/\mathcal{C} \to X'/\mathcal{C}\) obtenu par composition avec \(f\), et \(p_{X'}\circ F = p_X\).

Définition

Soient \(F, G : \mathcal{A} \to \mathcal{B}\) des foncteurs. Une transformation naturelle, ou un morphisme de foncteurs, \(t : F \to G\), est une famille \(\{t_x\}_{x\in \Ob(\mathcal{A})}\) telle que

1. \(t_x : F(x) \to G(x)\) soit un morphisme de la catégorie \(\mathcal{B}\), et

2. pour tout morphisme \(\phi : x \to y\) de \(\mathcal{A}\), le diagramme suivant soit commutatif : \[\xymatrix{ F(x) \ar[r]^{t_x} \ar[d]_{F(\phi)} & G(x) \ar[d]^{G(\phi)} \\ F(y) \ar[r]^{t_y} & G(y) }\]

Nous utilisons parfois le diagramme \[\xymatrix{ \mathcal{A} \rtwocell^F_G{t} & \mathcal{B} }\] pour indiquer que \(t\) est un morphisme de \(F\) vers \(G\).

Tout foncteur \(F\) est muni de la transformation identité \(\text{id}_F : F \to F\). De plus, étant donnés un morphisme de foncteurs \(t : F \to G\) et un morphisme de foncteurs \(s : E \to F\), leur composé \(t \circ s\) est défini par la règle \[(t \circ s)_x = t_x \circ s_x : E(x) \to G(x)\] pour \(x \in \Ob(\mathcal{A})\). On vérifie facilement qu’il s’agit bien d’un morphisme de foncteurs de \(E\) vers \(G\). Ainsi, à partir de deux catégories \(\mathcal{A}\) et \(\mathcal{B}\), nous obtenons une nouvelle catégorie, à savoir la catégorie des foncteurs de \(\mathcal{A}\) dans \(\mathcal{B}\).

Remarque

C’est l’un des cas où le même énoncé ne vaut pas si \(\mathcal{A}\) est une « grande » catégorie. Considérons par exemple les foncteurs \(\textit{Ensembles} \to \textit{Ensembles}\). Avec notre définition actuelle, un tel foncteur est une classe et non un ensemble. Autrement dit, il est donné par une formule de la théorie des ensembles (dont certaines variables sont égales à des ensembles prescrits) ! Il n’est pas judicieux d’essayer d’intégrer toutes les formules possibles de la théorie des ensembles à la définition d’un objet mathématique. Le même problème se présente, par exemple, lorsqu’on considère les faisceaux sur la catégorie des schémas. Nous reviendrons plus tard sur ce point.

Définition

Une équivalence de catégories \(F : \mathcal{A} \to \mathcal{B}\) est un foncteur tel qu’il existe un foncteur \(G : \mathcal{B} \to \mathcal{A}\) pour lequel les composés \(F \circ G\) et \(G \circ F\) sont respectivement isomorphes aux foncteurs identité \(\text{id}_\mathcal{B}\) et \(\text{id}_\mathcal{A}\). Dans ce cas, nous disons que \(G\) est un quasi-inverse de \(F\).

Lemme

Soit \(F : \mathcal{A} \to \mathcal{B}\) un foncteur pleinement fidèle. Supposons donnés, pour tout \(X \in \Ob(\mathcal{B})\), un objet \(j(X)\) de \(\mathcal{A}\) et un isomorphisme \(i_X : X \to F(j(X))\). Il existe alors un unique foncteur \(j : \mathcal{B} \to \mathcal{A}\) tel que l’action de \(j\) sur les objets soit celle qui vient d’être prescrite et pour lequel les isomorphismes \(i_X\) définissent un isomorphisme de foncteurs \(\text{id}_\mathcal{B} \to F \circ j\). De plus, \(j\) et \(F\) sont des équivalences de catégories quasi-inverses.

Démonstration

La construction de \(j : \mathcal{B} \to \mathcal{A}\) se fait en deux étapes. Premièrement, nous définissons l’application \(j : \Ob(\mathcal{B}) \to \Ob(\mathcal{A})\) qui associe \(j(X)\) à \(X \in \mathcal{B}\). Deuxièmement, si \(X,Y \in \Ob(\mathcal{B})\) et \(\phi : X \to Y\), nous considérons \(\phi' := i_Y \circ\phi\circ i_X^{-1}\). Il existe un unique \(\varphi\) tel que \(F(\varphi) = \phi'\), puisque \(F\) est pleinement fidèle. Nous posons \(j(\phi) = \varphi\). Nous omettons la vérification que \(j\) est un foncteur. Par construction, le diagramme \[\xymatrix{ X \ar[r]_-{i_X} \ar[d]_{\phi} & F(j(X)) \ar[d]^{F\circ j(\phi)} \\ Y \ar[r]^-{i_Y} & F(j(Y)) }\] est commutatif. Puisque chaque \(i_X\) est un isomorphisme, la famille \(\{i_X\}_X\) est donc un isomorphisme de foncteurs \(\text{id}_\mathcal{B} \to F\circ j\). Pour conclure, il reste à montrer que \(j \circ F\) est isomorphe à \(\text{id}_\mathcal{A}\). Cependant, puisque \(F\) est pleinement fidèle, il suffit pour cela de le démontrer après composition à gauche par \(F\), c’est-à-dire qu’il suffit de montrer que \(F \circ j \circ F\) est isomorphe à \(F \circ \text{id}_\mathcal{A}\) (nous omettons ce petit détail). Cela est clair puisque \(F \circ j \cong \text{id}_\mathcal{B}\).

Lemme

Un foncteur est une équivalence de catégories si et seulement s’il est pleinement fidèle et essentiellement surjectif.

Démonstration

Soit \(F : \mathcal{A} \to \mathcal{B}\) essentiellement surjectif et pleinement fidèle. Puisque, par convention, toutes les catégories sont petites et que \(F\) est essentiellement surjectif, l’axiome du choix permet de choisir, pour tout \(X \in \Ob(\mathcal{B})\), un objet \(j(X)\) de \(\mathcal{A}\) et un isomorphisme \(i_X : X \to F(j(X))\). Nous appliquons alors le lemme 05SG, en utilisant le fait que \(F\) est pleinement fidèle.

Définition

Soient \(\mathcal{A}\) et \(\mathcal{B}\) des catégories. Nous définissons la catégorie produit \(\mathcal{A} \times \mathcal{B}\) comme la catégorie dont les objets sont \(\Ob(\mathcal{A} \times \mathcal{B}) = \Ob(\mathcal{A}) \times \Ob(\mathcal{B})\) et telle que \[\Mor_{\mathcal{A} \times \mathcal{B}}((x, y), (x', y')) := \Mor_\mathcal{A}(x, x')\times \Mor_\mathcal{B}(y, y').\] La composition est définie composante par composante.

Catégories opposées et lemme de Yoneda

Définition

Étant donnée une catégorie \(\mathcal{C}\), la catégorie opposée \(\mathcal{C}^{opp}\) est la catégorie qui a les mêmes objets que \(\mathcal{C}\), mais dont tous les morphismes sont renversés.

Autrement dit, \(\Mor_{\mathcal{C}^{opp}}(x, y) = \Mor_\mathcal{C}(y, x)\). La composition dans \(\mathcal{C}^{opp}\) est celle de \(\mathcal{C}\), mais prise à l’envers : si \(\phi : y \to z\) et \(\psi : x \to y\) sont des morphismes de \(\mathcal{C}^{opp}\), c’est-à-dire des flèches \(z \to y\) et \(y \to x\) dans \(\mathcal{C}\), alors \(\phi \circ^{opp} \psi\) est le morphisme \(x \to z\) de \(\mathcal{C}^{opp}\) qui correspond au composé \(z \to y \to x\) dans \(\mathcal{C}\).

Définition

Soient \(\mathcal{C}\) et \(\mathcal{S}\) des catégories. Un foncteur contravariant \(F\) de \(\mathcal{C}\) dans \(\mathcal{S}\) est un foncteur \(\mathcal{C}^{opp}\to \mathcal{S}\).

Concrètement, un foncteur contravariant \(F\) est donné par une application \(F : \Ob(\mathcal{C}) \to \Ob(\mathcal{S})\) et, pour tout morphisme \(\psi : x \to y\) dans \(\mathcal{C}\), par un morphisme \(F(\psi) : F(y) \to F(x)\). Ces données doivent vérifier la propriété suivante : étant donné un autre morphisme \(\phi : y \to z\), on a \(F(\phi \circ \psi) = F(\psi) \circ F(\phi)\) comme morphismes \(F(z) \to F(x)\). (Remarquer l’inversion de l’ordre.)

Définition

Soit \(\mathcal{C}\) une catégorie.

1. Un préfaisceau d’ensembles sur \(\mathcal{C}\), ou simplement un préfaisceau, est un foncteur contravariant \(F\) de \(\mathcal{C}\) dans \(\textit{Ensembles}\).

2. La catégorie des préfaisceaux est notée \(\textit{PSh}(\mathcal{C})\).

Bien entendu, la catégorie des préfaisceaux est une classe propre.

Exemple

Foncteur des points. Pour tout \(U\in \Ob(\mathcal{C})\), il existe un foncteur contravariant \[\begin{matrix} h_U & : & \mathcal{C} & \longrightarrow & \textit{Ensembles} \\ & & X & \longmapsto & \Mor_\mathcal{C}(X, U) \end{matrix}\] qui associe à un objet \(X\) l’ensemble \(\Mor_\mathcal{C}(X, U)\). Autrement dit, \(h_U\) est un préfaisceau. À un morphisme \(f : X\to Y\), l’application correspondante \(h_U(f) : \Mor_\mathcal{C}(Y, U)\to \Mor_\mathcal{C}(X, U)\) envoie \(\phi\) sur \(\phi\circ f\). Nous noterons toujours ce préfaisceau \(h_U : \mathcal{C}^{opp} \to \textit{Ensembles}\). On l’appelle le préfaisceau représentable associé à \(U\). Si \(\mathcal{C}\) est la catégorie des schémas, ce foncteur est parfois appelé le foncteur des points de \(U\).

Remarquons qu’à un morphisme \(\phi : U \to V\) de \(\mathcal{C}\) correspond une transformation naturelle de foncteurs \(h(\phi) : h_U \to h_V\), définie par composition avec le morphisme \(U \to V\). Ainsi, la composition des morphismes dans \(\mathcal{C}\) devient la composition des transformations de foncteurs. Autrement dit, nous obtenons un foncteur \[h : \mathcal{C} \longrightarrow \textit{PSh}(\mathcal{C})\] Remarquons que le but est une « grande » catégorie ; voir la remarque 0015. En revanche, \(h\) est bien un objet mathématique (c’est-à-dire un ensemble) ; comparer la remarque 001E.

Lemme

Soient \(U, V \in \Ob(\mathcal{C})\). Pour tout morphisme de foncteurs \(s : h_U \to h_V\), il existe un unique morphisme \(\phi : U \to V\) tel que \(h(\phi) = s\). Autrement dit, le foncteur \(h\) est pleinement fidèle. Plus généralement, pour tout foncteur contravariant \(F\) et tout objet \(U\) de \(\mathcal{C}\), on a une bijection naturelle \[\Mor_{\textit{PSh}(\mathcal{C})}(h_U, F) \longrightarrow F(U), \quad s \longmapsto s_U(\text{id}_U).\]

Démonstration

Pour le premier énoncé, il suffit de prendre \(\phi = s_U(\text{id}_U) \in \Mor_\mathcal{C}(U, V)\). Pour le second, étant donné \(\xi \in F(U)\), on définit \(s\) par \(s_V : h_U(V) \to F(V)\) en envoyant l’élément \(f : V \to U\) de \(h_U(V) = \Mor_\mathcal{C}(V, U)\) sur \(F(f)(\xi)\).

Définition

Un foncteur contravariant \(F : \mathcal{C}\to \textit{Ensembles}\) est dit représentable s’il est isomorphe au foncteur des points \(h_U\) pour un certain objet \(U\) de \(\mathcal{C}\).

Soit \(\mathcal{C}\) une catégorie et soit \(F : \mathcal{C}^{opp} \to \textit{Ensembles}\) un foncteur représentable. Choisissons un objet \(U\) de \(\mathcal{C}\) et un isomorphisme \(s : h_U \to F\). Le lemme de Yoneda garantit que le couple \((U, s)\) est unique à isomorphisme unique près. L’objet \(U\) est appelé un objet représentant \(F\). Par le lemme de Yoneda, la transformation \(s\) correspond à un unique élément \(\xi \in F(U)\). Cet élément est appelé l’objet universel. Il possède la propriété que, pour \(V \in \Ob(\mathcal{C})\), l’application \[\Mor_\mathcal{C}(V, U) \longrightarrow F(V),\quad (f : V \to U) \longmapsto F(f)(\xi)\] est une bijection. Ainsi, \(\xi\) est universel en ce sens que tout élément de \(F(V)\) est l’image de \(\xi\) par \(F(f)\) pour un unique morphisme \(f : V \to U\) dans \(\mathcal{C}\).

Produits de deux objets

Définition

Soient \(x, y\in \Ob(\mathcal{C})\). Un produit de \(x\) et \(y\) est un objet \(x \times y \in \Ob(\mathcal{C})\) muni de morphismes \(p\in \Mor_{\mathcal C}(x \times y, x)\) et \(q\in\Mor_{\mathcal C}(x \times y, y)\) satisfaisant la propriété universelle suivante : pour tout \(w\in \Ob(\mathcal{C})\) et tous morphismes \(\alpha \in \Mor_{\mathcal C}(w, x)\) et \(\beta \in \Mor_\mathcal{C}(w, y)\), il existe un unique \(\gamma\in \Mor_{\mathcal C}(w, x \times y)\) qui rend le diagramme \[\xymatrix{ w \ar[rrrd]^\beta \ar@{-->}[rrd]_\gamma \ar[rrdd]_\alpha & & \\ & & x \times y \ar[d]_p \ar[r]_q & y \\ & & x & }\] commutatif.

S’il existe, un produit est unique à isomorphisme unique près. Cela découle du lemme de Yoneda, car la définition exige que \(x \times y\) soit un objet de \(\mathcal{C}\) tel que \[h_{x \times y}(w) = h_x(w) \times h_y(w)\] fonctoriellement en \(w\). Autrement dit, le produit \(x \times y\) est un objet représentant le foncteur \(w \mapsto h_x(w) \times h_y(w)\).

Définition

Nous disons que la catégorie \(\mathcal{C}\) admet les produits de deux objets si un produit \(x \times y\) existe pour tous \(x, y \in \Ob(\mathcal{C})\).

Nous employons cette terminologie pour distinguer cette notion de celles d’« admettre les produits » ou d’« admettre les produits finis », qui ont habituellement un autre sens (elles impliquent notamment toujours l’existence d’un objet final).

Coproduits de deux objets

Définition

Soient \(x, y \in \Ob(\mathcal{C})\). Un coproduit, ou une somme amalgamée, de \(x\) et \(y\) est un objet \(x \amalg y \in \Ob(\mathcal{C})\) muni de morphismes \(i \in \Mor_{\mathcal C}(x, x \amalg y)\) et \(j \in \Mor_{\mathcal C}(y, x \amalg y)\) satisfaisant la propriété universelle suivante : pour tout \(w \in \Ob(\mathcal{C})\) et tous morphismes \(\alpha \in \Mor_{\mathcal C}(x, w)\) et \(\beta \in \Mor_\mathcal{C}(y, w)\), il existe un unique \(\gamma \in \Mor_{\mathcal C}(x \amalg y, w)\) qui rend le diagramme \[\xymatrix{ & y \ar[d]^j \ar[rrdd]^\beta \\ x \ar[r]^i \ar[rrrd]_\alpha & x \amalg y \ar@{-->}[rrd]^\gamma \\ & & & w }\] commutatif.

S’il existe, un coproduit est unique à isomorphisme unique près. Cela découle du lemme de Yoneda (appliqué à la catégorie opposée), car la définition exige que \(x \amalg y\) soit un objet de \(\mathcal{C}\) tel que \[\Mor_\mathcal{C}(x \amalg y, w) = \Mor_\mathcal{C}(x, w) \times \Mor_\mathcal{C}(y, w)\] fonctoriellement en \(w\).

Définition

Nous disons que la catégorie \(\mathcal{C}\) admet les coproduits de deux objets si un coproduit \(x \amalg y\) existe pour tous \(x, y \in \Ob(\mathcal{C})\).

Nous employons cette terminologie pour distinguer cette notion de celles d’« admettre les coproduits » ou d’« admettre les coproduits finis », qui ont habituellement un autre sens (elles impliquent notamment toujours l’existence d’un objet initial dans \(\mathcal{C}\)).

Produits fibrés

Définition

Soient \(x, y, z\in \Ob(\mathcal{C})\), \(f\in \Mor_\mathcal{C}(x, y)\) et \(g\in \Mor_{\mathcal C}(z, y)\). Un produit fibré de \(f\) et \(g\) est un objet \(x \times_y z\in \Ob(\mathcal{C})\) muni de morphismes \(p \in \Mor_{\mathcal C}(x \times_y z, x)\) et \(q \in \Mor_{\mathcal C}(x \times_y z, z)\) qui rendent le diagramme \[\xymatrix{ x \times_y z \ar[r]_q \ar[d]_p & z \ar[d]^g \\ x \ar[r]^f & y }\] commutatif et qui satisfont la propriété universelle suivante : pour tout \(w\in \Ob(\mathcal{C})\) et tous morphismes \(\alpha \in \Mor_{\mathcal C}(w, x)\) et \(\beta \in \Mor_\mathcal{C}(w, z)\) tels que \(f \circ \alpha = g \circ \beta\), il existe un unique \(\gamma \in \Mor_{\mathcal C}(w, x \times_y z)\) qui rend le diagramme \[\xymatrix{ w \ar[rrrd]^\beta \ar@{-->}[rrd]_\gamma \ar[rrdd]_\alpha & & \\ & & x \times_y z \ar[d]^p \ar[r]_q & z \ar[d]^g \\ & & x \ar[r]^f & y }\] commutatif.

S’il existe, un produit fibré est unique à isomorphisme unique près. Cela découle du lemme de Yoneda, car la définition exige que \(x \times_y z\) soit un objet de \(\mathcal{C}\) tel que \[h_{x \times_y z}(w) = h_x(w) \times_{h_y(w)} h_z(w)\] fonctoriellement en \(w\). Autrement dit, le produit fibré \(x \times_y z\) est un objet représentant le foncteur \(w \mapsto h_x(w) \times_{h_y(w)} h_z(w)\).

Définition

Nous disons qu’un diagramme commutatif \[\xymatrix{ w \ar[r] \ar[d] & z \ar[d] \\ x \ar[r] & y }\] dans une catégorie est cartésien si \(w\) et les morphismes \(w \to x\) et \(w \to z\) forment un produit fibré des morphismes \(x \to y\) et \(z \to y\).

Définition

Nous disons que la catégorie \(\mathcal{C}\) admet les produits fibrés si le produit fibré existe pour tous \(f\in \Mor_{\mathcal C}(x, y)\) et \(g\in \Mor_{\mathcal C}(z, y)\).

Définition

Un morphisme \(f : x \to y\) d’une catégorie \(\mathcal{C}\) est dit représentable si, pour tout morphisme \(z \to y\) dans \(\mathcal{C}\), le produit fibré \(x \times_y z\) existe.

Lemme

Soit \(\mathcal{C}\) une catégorie. Soient \(f : x \to y\) et \(g : y \to z\) des morphismes représentables. Alors \(g \circ f : x \to z\) est représentable.

Démonstration

Soient \(t \in \Ob(\mathcal C)\) et \(\varphi \in \Mor_{\mathcal C}(t,z)\). Puisque \(g\) et \(f\) sont représentables, nous obtenons des diagrammes commutatifs \[\xymatrix{ y \times_z t \ar[r]_q \ar[d]_p & t \ar[d]^{\varphi} \\ y \ar[r]^{g} & z } \quad\quad \xymatrix{ x \times_y (y\! \times_z\! t) \ar[r]_{q'} \ar[d]_{p'} & y \times_z t \ar[d]^p \\ x \ar[r]^f & y }\] possédant la propriété universelle de la définition 001V. Nous affirmons que \(x \times_z t = x \times_y (y \times_z t)\), muni des morphismes \(q \circ q' : x \times_z t \to t\) et \(p' : x \times_z t \to x\), est un produit fibré. La commutativité des diagrammes ci-dessus donne d’abord \(\varphi \circ q \circ q' = g \circ f \circ p'\). Pour vérifier la propriété universelle, soient \(w \in \Ob(\mathcal C)\) et des morphismes \(\alpha : w \to x\) et \(\beta : w \to t\) tels que \(\varphi \circ \beta = g \circ f \circ \alpha\). Par définition du produit fibré, il existe des morphismes uniques \(\delta\) et \(\gamma\) tels que \[\xymatrix{ w \ar[rrrd]^\beta \ar@{-->}[rrd]_\delta \ar[rrdd]_{f\circ\alpha} & & \\ & & y \times_z t \ar[d]_p \ar[r]_q & t \ar[d]^{\varphi} \\ & & y \ar[r]^{g} & z }\] et \[\xymatrix{ w \ar[rrrd]^\delta \ar@{-->}[rrd]_\gamma \ar[rrdd]_{\alpha} & & \\ & & x \times_y (y\!\times_z\! t) \ar[d]_{p'} \ar[r]_{q'} & y \times_z t \ar[d]^{p} \\ & & x \ar[r]^{f} & y }\] soient commutatifs. Alors \(\gamma\) rend commutatif le diagramme \[\xymatrix{ w \ar[rrrd]^\beta \ar@{-->}[rrd]_\gamma \ar[rrdd]_{\alpha} & & \\ & & x \times_z t \ar[d]_{p'} \ar[r]_{q\circ q'} & t \ar[d]^{\varphi} \\ & & x \ar[r]^{g\circ f} & z }\] Pour montrer son unicité, soit \(\gamma'\) tel que \(q\circ q'\circ\gamma' = \beta\) et \(p'\circ \gamma' = \alpha\). Par l’unicité de \(\gamma\), il suffit de prouver que \(q'\circ\gamma' = \delta\) et \(p'\circ\gamma' = \alpha\). La seconde égalité est supposée. Pour la première, nous utilisons aussi l’unicité de delta. En effet, \(\delta\) est l’unique morphisme vérifiant \(q\circ\delta = \beta\) et \(p\circ\delta = f\circ\alpha\). Nous avons déjà supposé \(q\circ (q'\circ\gamma') = \beta\). De plus, par définition du produit fibré, \(f\circ p' = p\circ q'\). Par conséquent : \[p\circ (q'\circ\gamma') = (p\circ q')\circ\gamma' = (f\circ p')\circ\gamma' = f\circ (p'\circ\gamma') = f\circ\alpha.\] Ainsi \(q'\circ\gamma' = \delta\), ce qui achève la preuve.

Lemme

Soit \(\mathcal{C}\) une catégorie. Soit \(f : x \to y\) un morphisme représentable. Soit \(y' \to y\) un morphisme de \(\mathcal{C}\). Alors le morphisme \(x' := x \times_y y' \to y'\) est lui aussi représentable.

Démonstration

Soit \(z \to y'\) un morphisme. Le produit fibré \(x' \times_{y'} z\) doit représenter le foncteur \[\begin{eqnarray*} w & \mapsto & h_{x'}(w)\times_{h_{y'}(w)} h_z(w) \\ & = & (h_x(w) \times_{h_y(w)} h_{y'}(w)) \times_{h_{y'}(w)} h_z(w) \\ & = & h_x(w) \times_{h_y(w)} h_z(w) \end{eqnarray*}\] qui est représentable par hypothèse.

Exemples de produits fibrés

Dans cette section, nous énumérons des exemples de produits fibrés et les décrivons.

Comme premier exemple tout à fait trivial, observons que la catégorie des ensembles admet les produits fibrés et que tout morphisme y est donc représentable. En effet, si \(f : X \to Y\) et \(g : Z \to Y\) sont des applications d’ensembles, nous définissons \(X \times_Y Z\) comme le sous-ensemble de \(X \times Z\) formé des couples \((x, z)\) tels que \(f(x) = g(z)\). Les morphismes \(p : X \times_Y Z \to X\) et \(q : X \times_Y Z \to Z\) sont les projections \((x, z) \mapsto x\) et \((x, z) \mapsto z\). Enfin, si \(\alpha : W \to X\) et \(\beta : W \to Z\) sont des morphismes tels que \(f \circ \alpha = g \circ \beta\), alors l’application \(W \to X \times Z\), \(w\mapsto (\alpha(w), \beta(w))\), est manifestement à valeurs dans \(X \times_Y Z\), comme voulu.

Dans de nombreuses catégories dont les objets sont des ensembles munis de certains types de structures algébriques, le produit fibré des ensembles sous-jacents fournit aussi le produit fibré dans la catégorie. Supposons, par exemple, que \(X\), \(Y\) et \(Z\) ci-dessus soient des groupes et que \(f\), \(g\) soient des homomorphismes de groupes. Le produit fibré ensembliste \(X \times_Y Z\) hérite alors d’une structure de groupe, simplement en définissant le produit de deux couples par la formule \((x, z) \cdot (x', z') = (xx', zz')\). Voici les catégories pour lesquelles un raisonnement analogue s’applique.

1. La catégorie \(\textit{Groups}\) des groupes.

2. La catégorie \(G\textit{-Ensembles}\) des ensembles munis d’une action à gauche de \(G\), pour un groupe fixé \(G\).

3. La catégorie des anneaux.

4. La catégorie des \(R\)-modules, pour un anneau \(R\) donné.

Produits fibrés et représentabilité

Dans cette section, nous déterminons les produits fibrés dans la catégorie des foncteurs contravariants d’une catégorie dans la catégorie des ensembles. Cette discussion sera remplacée plus loin par celle des sites, des préfaisceaux et des faisceaux. La notion de « morphisme représentable » entre de tels foncteurs présente un certain intérêt.

Lemme

Soit \(\mathcal{C}\) une catégorie. Soient \(F, G, H : \mathcal{C}^{opp} \to \textit{Ensembles}\) des foncteurs. Soient \(a : F \to G\) et \(b : H \to G\) des transformations de foncteurs. Alors le produit fibré \(F \times_{a, G, b} H\) dans la catégorie \(\textit{PSh}(\mathcal{C})\) existe et est donné par la formule \[(F \times_{a, G, b} H)(X) = F(X) \times_{a_X, G(X), b_X} H(X)\] pour tout objet \(X\) de \(\mathcal{C}\).

Démonstration

Omis.

Comme cas particulier, supposons donnés un morphisme \(a : F \to G\), un objet \(U \in \Ob(\mathcal{C})\) et un élément \(\xi \in G(U)\). D’après le lemme de Yoneda 001P, cela définit une transformation \(\xi : h_U \to G\). Dans ce cas, le produit fibré est décrit par la règle \[(h_U \times_{\xi, G, a} F)(X) = \{ (f, \xi') \mid f : X \to U, \ \xi' \in F(X), \ G(f)(\xi) = a_X(\xi')\}\] Si \(F\) et \(G\) sont eux aussi représentables, ce foncteur représente le produit fibré, lorsque celui-ci existe ; voir la section 001U. L’analogie avec la définition 001X nous conduit à définir une notion de transformations représentables.

Définition

Soit \(\mathcal{C}\) une catégorie. Soient \(F, G : \mathcal{C}^{opp} \to \textit{Ensembles}\) des foncteurs. Nous disons qu’un morphisme \(a : F \to G\) est représentable, ou que \(F\) est relativement représentable au-dessus de \(G\), si, pour tout \(U \in \Ob(\mathcal{C})\) et tout \(\xi \in G(U)\), le foncteur \(h_U \times_{\xi, G, a} F\) est représentable.

Lemme

Soit \(\mathcal{C}\) une catégorie. Soit \(a : F \to G\) un morphisme de foncteurs contravariants de \(\mathcal{C}\) dans \(\textit{Ensembles}\). Si \(a\) est représentable et si \(G\) est un foncteur représentable, alors \(F\) est représentable.

Démonstration

Omis.

Lemme

Soit \(\mathcal{C}\) une catégorie. Soit \(F : \mathcal{C}^{opp} \to \textit{Ensembles}\) un foncteur. Supposons que \(\mathcal{C}\) admette les produits de deux objets et les produits fibrés. Les assertions suivantes sont équivalentes :

1. la diagonale \(\Delta : F \to F \times F\) est représentable ;

2. pour tout \(U\) dans \(\mathcal{C}\) et tout \(\xi \in F(U)\), le morphisme \(\xi : h_U \to F\) est représentable ;

3. pour toute paire \(U, V\) dans \(\mathcal{C}\) et tous \(\xi \in F(U)\), \(\xi' \in F(V)\), le produit fibré \(h_U \times_{\xi, F, \xi'} h_V\) est représentable.

Démonstration

Nous continuerons d’utiliser le lemme de Yoneda pour identifier \(F(U)\) aux transformations de foncteurs \(h_U \to F\).

Équivalence de (2) et (3). Soient \(U, \xi, V, \xi'\) comme dans (3). Les assertions (2) et (3) disent toutes deux exactement que \(h_U \times_{\xi, F, \xi'} h_V\) est représentable ; la seule différence est que l’énoncé (3) est symétrique en \(U\) et \(V\), tandis que (2) ne l’est pas.

Supposons la condition (1). Soient \(U, \xi, V, \xi'\) comme dans (3). Remarquons que \(h_U \times h_V = h_{U \times V}\) est représentable. Notons \(\eta : h_{U \times V} \to F \times F\) le morphisme correspondant au produit \(\xi \times \xi' : h_U \times h_V \to F \times F\). Le produit fibré \(F \times_{\Delta, F \times F, \eta} h_{U \times V}\) est alors représentable par hypothèse. Cela signifie qu’il existe \(W \in \Ob(\mathcal{C})\), des morphismes \(W \to U\), \(W \to V\) et \(h_W \to F\) tels que \[\xymatrix{ h_W \ar[d] \ar[r] & h_U \times h_V \ar[d]^{\xi \times \xi'} \\ F \ar[r] & F \times F }\] soit cartésien. La description explicite des produits fibrés donnée dans le lemme 0022 montre alors que \(h_W = h_U \times_{\xi, F, \xi'} h_V\), comme voulu.

Supposons les conditions équivalentes (2) et (3). Soit \(U\) un objet de \(\mathcal{C}\) et soit \((\xi, \xi') \in (F \times F)(U)\). Par (3), le produit fibré \(h_U \times_{\xi, F, \xi'} h_U\) est représentable. Choisissons un objet \(W\) et un isomorphisme \(h_W \to h_U \times_{\xi, F, \xi'} h_U\). Les deux projections \(\text{pr}_i : h_U \times_{\xi, F, \xi'} h_U \to h_U\) correspondent, par Yoneda, à des morphismes \(p_i : W \to U\). Considérons \(W' = W \times_{(p_1, p_2), U \times U} U\). Un argument formel montre que \(W'\) représente \(F \times_{\Delta, F \times F} h_U\), car \[h_{W'} = h_W \times_{h_U \times h_U} h_U = (h_U \times_{\xi, F, \xi'} h_U) \times_{h_U \times h_U} h_U = F \times_{F \times F} h_U.\] Ainsi, \(\Delta\) est représentable, ce qui achève la preuve.

Sommes amalgamées

La notion duale de celle de produit fibré est celle de somme amalgamée.

Définition

Soient \(x, y, z\in \Ob(\mathcal{C})\), \(f\in \Mor_\mathcal{C}(y, x)\) et \(g\in \Mor_{\mathcal C}(y, z)\). Une somme amalgamée de \(f\) et \(g\) est un objet \(x\amalg_y z\in \Ob(\mathcal{C})\) muni de morphismes \(p\in \Mor_{\mathcal C}(x, x\amalg_y z)\) et \(q\in\Mor_{\mathcal C}(z, x\amalg_y z)\) qui rendent le diagramme \[\xymatrix{ y \ar[r]_g \ar[d]_f & z \ar[d]^q \\ x \ar[r]^p & x\amalg_y z }\] commutatif et qui satisfont la propriété universelle suivante : pour tout \(w\in \Ob(\mathcal{C})\) et tous morphismes \(\alpha \in \Mor_{\mathcal C}(x, w)\) et \(\beta \in \Mor_\mathcal{C}(z, w)\) tels que \(\alpha \circ f = \beta \circ g\), il existe un unique \(\gamma\in \Mor_{\mathcal C}(x\amalg_y z, w)\) qui rend le diagramme \[\xymatrix{ y \ar[r]_g \ar[d]_f & z \ar[d]^q \ar[rrdd]^\beta & & \\ x \ar[r]^p \ar[rrrd]^\alpha & x \amalg_y z \ar@{-->}[rrd]^\gamma & & \\ & & & w }\] commutatif.

On peut démontrer directement, et sans difficulté, l’unicité du triplet \((x\amalg_y z, p, q)\) à isomorphisme unique près (lorsqu’il existe). On peut aussi considérer la somme amalgamée comme le produit fibré dans la catégorie opposée ; son unicité découle alors immédiatement de la discussion de la section 001U.

Définition

Nous disons qu’un diagramme commutatif \[\xymatrix{ y \ar[r] \ar[d] & z \ar[d] \\ x \ar[r] & w }\] dans une catégorie est cocartésien si \(w\) et les morphismes \(x \to w\) et \(z \to w\) forment une somme amalgamée des morphismes \(y \to x\) et \(y \to z\).

Égalisateurs

Définition

Supposons que \(X\) et \(Y\) soient des objets d’une catégorie \(\mathcal{C}\) et que \(a, b : X \to Y\) soient des morphismes. Un morphisme \(e : Z \to X\) est appelé un égalisateur de la paire \((a, b)\) si \(a \circ e = b \circ e\) et si \((Z, e)\) satisfait la propriété universelle suivante : pour tout morphisme \(t : W \to X\) dans \(\mathcal{C}\) tel que \(a \circ t = b \circ t\), il existe un unique morphisme \(s : W \to Z\) tel que \(t = e \circ s\).

Comme pour les produits fibrés ci-dessus, lorsqu’ils existent, les égalisateurs sont uniques à isomorphisme unique près. Cette définition se généralise immédiatement au cas où l’on a plus de \(2\) morphismes.

Coégalisateurs

Définition

Supposons que \(X\) et \(Y\) soient des objets d’une catégorie \(\mathcal{C}\) et que \(a, b : X \to Y\) soient des morphismes. Un morphisme \(c : Y \to Z\) est appelé un coégalisateur de la paire \((a, b)\) si \(c \circ a = c \circ b\) et si \((Z, c)\) satisfait la propriété universelle suivante : pour tout morphisme \(t : Y \to W\) dans \(\mathcal{C}\) tel que \(t \circ a = t \circ b\), il existe un unique morphisme \(s : Z \to W\) tel que \(t = s \circ c\).

Comme pour les sommes amalgamées ci-dessus, lorsqu’ils existent, les coégalisateurs sont uniques à isomorphisme unique près ; cela résulte de l’unicité des égalisateurs en considérant la catégorie opposée. Cette définition se généralise immédiatement au cas où l’on a plus de \(2\) morphismes.

Objets initiaux et finaux

Définition

Soit \(\mathcal{C}\) une catégorie.

1. Un objet \(x\) de la catégorie \(\mathcal{C}\) est dit initial si, pour tout objet \(y\) de \(\mathcal{C}\), il existe exactement un morphisme \(x \to y\).

2. Un objet \(x\) de la catégorie \(\mathcal{C}\) est dit final si, pour tout objet \(y\) de \(\mathcal{C}\), il existe exactement un morphisme \(y \to x\).

Dans la catégorie des ensembles, l’ensemble vide \(\emptyset\) est un objet initial, et c’est même le seul objet initial. Tout singleton, c’est-à-dire tout ensemble à un élément, est par ailleurs un objet final (il n’est donc pas unique).

Monomorphismes et épimorphismes

Définition

Soit \(\mathcal{C}\) une catégorie et soit \(f : X \to Y\) un morphisme de \(\mathcal{C}\).

1. Nous disons que \(f\) est un monomorphisme si, pour tout objet \(W\) et toute paire de morphismes \(a, b : W \to X\) tels que \(f \circ a = f \circ b\), on a \(a = b\).

2. Nous disons que \(f\) est un épimorphisme si, pour tout objet \(W\) et toute paire de morphismes \(a, b : Y \to W\) tels que \(a \circ f = b \circ f\), on a \(a = b\).

Exemple

Dans la catégorie des ensembles, les monomorphismes sont les applications injectives et les épimorphismes sont les applications surjectives.

Lemme

Soit \(\mathcal{C}\) une catégorie et soit \(f : X \to Y\) un morphisme de \(\mathcal{C}\). Alors

1. \(f\) est un monomorphisme si et seulement si \(X\) est le produit fibré \(X \times_Y X\), et

2. \(f\) est un épimorphisme si et seulement si \(Y\) est la somme amalgamée \(Y \amalg_X Y\).

Démonstration

Supposons que \(f\) soit un monomorphisme. Soit \(W\) un objet de \(\mathcal C\) et soient \(\alpha, \beta \in \Mor_\mathcal C(W,X)\) tels que \(f\circ \alpha = f\circ \beta\). On a donc \(\alpha = \beta\), puisque \(f\) est un monomorphisme. De plus, on a le diagramme commutatif \[\xymatrix{ X \ar[r]^{\text{id}_X} \ar[d]_{\text{id}_X} & X \ar[d]^{f} \\ X \ar[r]^{f} & Y }\] qui vérifie la propriété universelle avec \(\gamma := \alpha = \beta\). Ainsi, \(X\) est bien le produit fibré \(X\times_Y X\).

Supposons que \(X \times_Y X \cong X\). Le diagramme \[\xymatrix{ X \ar[r]^{\text{id}_X} \ar[d]_{\text{id}_X} & X \ar[d]^{f} \\ X \ar[r]^{f} & Y }\] est commutatif et, si \(W \in \Ob(\mathcal C)\) et \(\alpha, \beta : W \to X\) sont tels que \(f \circ \alpha = f \circ \beta\), il existe un unique \(\gamma\) vérifiant \[\gamma = \text{id}_X\circ\gamma = \alpha = \beta\] ce qui montre que \(\alpha = \beta\).

La preuve du second point est exactement la même, en utilisant la somme amalgamée \(Y\amalg_X Y = Y\).

Limites et colimites

Soit \(\mathcal{C}\) une catégorie. Un diagramme dans \(\mathcal{C}\) est simplement un foncteur \(M : \mathcal{I} \to \mathcal{C}\). Nous disons que \(\mathcal{I}\) est la catégorie d’indices, ou que \(M\) est un diagramme indexé par \(\mathcal{I}\). Nous noterons \(M_i\) l’image de l’objet \(i\) de \(\mathcal{I}\). Ainsi, pour un morphisme \(\phi : i \to i'\) dans \(\mathcal{I}\), on a \(M(\phi) : M_i \to M_{i'}\).

Définition

Une limite du diagramme indexé par \(\mathcal{I}\) que définit \(M\) dans la catégorie \(\mathcal{C}\) est la donnée d’un objet \(\lim_\mathcal{I} M\) de \(\mathcal{C}\) et de morphismes \(p_i : \lim_\mathcal{I} M \to M_i\) tels que

1. pour tout morphisme \(\phi : i \to i'\) dans \(\mathcal{I}\), on ait \(p_{i'} = M(\phi) \circ p_i\), et

2. pour tout objet \(W\) de \(\mathcal{C}\) et toute famille de morphismes \(q_i : W \to M_i\) (indexée par \(i \in \Ob(\mathcal{I})\)) telle que, pour tout \(\phi : i \to i'\) dans \(\mathcal{I}\), on ait \(q_{i'} = M(\phi) \circ q_i\), il existe un unique morphisme \(q : W \to \lim_\mathcal{I} M\) tel que \(q_i = p_i \circ q\) pour tout objet \(i\) de \(\mathcal{I}\).

Lorsqu’elles existent, les limites \((\lim_\mathcal{I} M, (p_i)_{i\in \Ob(\mathcal{I})})\) sont uniques à isomorphisme unique près, par la condition d’unicité de la définition. Les produits de deux objets, les produits fibrés et les égalisateurs sont des exemples de limites. La limite du diagramme vide est un objet final de \(\mathcal{C}\). Dans la catégorie des ensembles, toutes les limites existent. La notion duale est celle de colimite.

Définition

Une colimite du diagramme indexé par \(\mathcal{I}\) que définit \(M\) dans la catégorie \(\mathcal{C}\) est la donnée d’un objet \(\colim_\mathcal{I} M\) de \(\mathcal{C}\) et de morphismes \(s_i : M_i \to \colim_\mathcal{I} M\) tels que

1. pour tout morphisme \(\phi : i \to i'\) dans \(\mathcal{I}\), on ait \(s_i = s_{i'} \circ M(\phi)\), et

2. pour tout objet \(W\) de \(\mathcal{C}\) et toute famille de morphismes \(t_i : M_i \to W\) (indexée par \(i \in \Ob(\mathcal{I})\)) telle que, pour tout \(\phi : i \to i'\) dans \(\mathcal{I}\), on ait \(t_i = t_{i'} \circ M(\phi)\), il existe un unique morphisme \(t : \colim_\mathcal{I} M \to W\) tel que \(t_i = t \circ s_i\) pour tout objet \(i\) de \(\mathcal{I}\).

Lorsqu’elles existent, les colimites \((\colim_\mathcal{I} M, (s_i)_{i\in \Ob(\mathcal{I})})\) sont uniques à isomorphisme unique près, par la condition d’unicité de la définition. Les coproduits de deux objets, les sommes amalgamées et les coégalisateurs sont des exemples de colimites. La colimite du diagramme vide est un objet initial de \(\mathcal{C}\). Dans la catégorie des ensembles, toutes les colimites existent.

Remarque

La catégorie d’indices d’une (co)limite ne pourra jamais avoir une classe propre d’objets. Dans ce projet, cela signifie qu’elle ne peut être l’une des catégories énumérées dans la remarque 0015.

Remarque

Nous écrivons souvent \(\lim_i M_i\), \(\colim_i M_i\), \(\lim_{i\in \mathcal{I}} M_i\) ou \(\colim_{i\in \mathcal{I}} M_i\) à la place des versions indexées par \(\mathcal{I}\). Avec cette notation et la description des limites et colimites d’ensembles donnée dans la section 002U ci-dessous, nous pouvons énoncer ce qui suit. Soit \(M : \mathcal{I} \to \mathcal{C}\) un diagramme.

1. S’il existe, l’objet \(\lim_i M_i\) vérifie la propriété suivante : \[\Mor_\mathcal{C}(W, \lim_i M_i) = \lim_i \Mor_\mathcal{C}(W, M_i)\] où la limite du membre de droite est prise dans la catégorie des ensembles.

2. S’il existe, l’objet \(\colim_i M_i\) vérifie la propriété suivante : \[\Mor_\mathcal{C}(\colim_i M_i, W) = \lim_{i \in \mathcal{I}^{opp}} \Mor_\mathcal{C}(M_i, W)\] où la limite du membre de droite, prise sur la catégorie opposée, est calculée dans la catégorie des ensembles.

Par le lemme de Yoneda (et son dual), cette formule détermine complètement la limite, respectivement la colimite.

Remarque

Soit \(M : \mathcal{I} \to \mathcal{C}\) un diagramme. Dans ce contexte, un cône sur \(M\) est la donnée d’un objet \(W\) et d’une famille de morphismes \(q_i : W \to M_i\), \(i \in \Ob(\mathcal{I})\), tels que, pour tout morphisme \(\phi : i \to i'\) de \(\mathcal{I}\), le diagramme \[\xymatrix{ & W \ar[dl]_{q_i} \ar[dr]^{q_{i'}} \\ M_i \ar[rr]^{M(\phi)} & & M_{i'} }\] soit commutatif. Les cônes forment une catégorie dont la notion de morphisme est évidente. Manifestement, la limite de \(M\), si elle existe, est un objet final de la catégorie des cônes. Dualement, un cocône sur \(M\) est la donnée d’un objet \(W\) et d’une famille de morphismes \(t_i : M_i \to W\) tels que, pour tout morphisme \(\phi : i \to i'\) dans \(\mathcal{I}\), le diagramme \[\xymatrix{ M_i \ar[rr]^{M(\phi)} \ar[dr]_{t_i} & & M_{i'} \ar[dl]^{t_{i'}} \\ & W }\] soit commutatif. Les cocônes forment une catégorie dont la notion de morphisme est évidente. Comme ci-dessus, la colimite de \(M\) existe si et seulement si la catégorie des cocônes possède un objet initial.

Comme application des notions de limite et de colimite, nous définissons les produits et les coproduits.

Définition

Supposons que \(I\) soit un ensemble et que, pour tout \(i \in I\), soit donné un objet \(M_i\) de la catégorie \(\mathcal{C}\). Un produit \(\prod_{i\in I} M_i\) est, par définition, \(\lim_\mathcal{I} M\) (s’il existe), où \(\mathcal{I}\) est la catégorie dont les objets sont les éléments de \(I\) et dont les seuls morphismes sont les identités.

Un cas particulier important est \(I = \emptyset\) ; le produit est alors un objet final de la catégorie. Les morphismes \(p_i : \prod M_i \to M_i\) sont appelés les morphismes de projection.

Définition

Supposons que \(I\) soit un ensemble et que, pour tout \(i \in I\), soit donné un objet \(M_i\) de la catégorie \(\mathcal{C}\). Un coproduit \(\coprod_{i\in I} M_i\) est, par définition, \(\colim_\mathcal{I} M\) (s’il existe), où \(\mathcal{I}\) est la catégorie dont les objets sont les éléments de \(I\) et dont les seuls morphismes sont les identités.

Un cas particulier important est \(I = \emptyset\) ; le coproduit est alors un objet initial de la catégorie. Remarquons que le coproduit est muni de morphismes \(M_i \to \coprod M_i\). Ceux-ci sont parfois appelés les coprojections.

Lemme

Supposons que \(M : \mathcal{I} \to \mathcal{C}\) et \(N : \mathcal{J} \to \mathcal{C}\) soient des diagrammes dont les colimites existent. Supposons que \(H : \mathcal{I} \to \mathcal{J}\) soit un foncteur et que \(t : M \to N \circ H\) soit une transformation de foncteurs. Il existe alors un unique morphisme \[\theta : \colim_\mathcal{I} M \longrightarrow \colim_\mathcal{J} N\] tel que tous les diagrammes \[\xymatrix{ M_i \ar[d]_{t_i} \ar[r] & \colim_\mathcal{I} M \ar[d]^{\theta} \\ N_{H(i)} \ar[r] & \colim_\mathcal{J} N }\] soient commutatifs.

Démonstration

Omis.

Lemme

Supposons que \(M : \mathcal{I} \to \mathcal{C}\) et \(N : \mathcal{J} \to \mathcal{C}\) soient des diagrammes dont les limites existent. Supposons que \(H : \mathcal{I} \to \mathcal{J}\) soit un foncteur et que \(t : N \circ H \to M\) soit une transformation de foncteurs. Il existe alors un unique morphisme \[\theta : \lim_\mathcal{J} N \longrightarrow \lim_\mathcal{I} M\] tel que tous les diagrammes \[\xymatrix{ \lim_\mathcal{J} N \ar[d]^{\theta} \ar[r] & N_{H(i)} \ar[d]_{t_i} \\ \lim_\mathcal{I} M \ar[r] & M_i }\] soient commutatifs.

Démonstration

Omis.

Lemme

Soient \(\mathcal{I}\) et \(\mathcal{J}\) des catégories d’indices. Soit \(M : \mathcal{I} \times \mathcal{J} \to \mathcal{C}\) un foncteur. Supposons que \(M_{i, \infty} = \colim_j M_{i,j}\) existe pour tout \(i\). Alors le foncteur ainsi obtenu \(M_{-, \infty} : \mathcal{I} \to \mathcal{C}\) admet une colimite si et seulement si \(M\) en admet une, et les deux colimites coïncident. En particulier, \[\colim_i \colim_j M_{i, j} = \colim_{i, j} M_{i, j} = \colim_j \colim_i M_{i, j}\] pourvu que toutes les colimites indiquées existent. Il en va de même pour les limites.

Démonstration

Omis.

Lemme

Soit \(M : \mathcal{I} \to \mathcal{C}\) un diagramme. Écrivons \(I = \Ob(\mathcal{I})\) et \(A = \text{Flèches}(\mathcal{I})\). Notons \(s, t : A \to I\) les applications source et but. Supposons que \(\prod_{i \in I} M_i\) et \(\prod_{a \in A} M_{t(a)}\) existent. Supposons que l’égalisateur de \[\xymatrix{ \prod_{i \in I} M_i \ar@<1ex>[r]^\phi \ar@<-1ex>[r]_\psi & \prod_{a \in A} M_{t(a)} }\] existe, les morphismes étant déterminés par leurs composantes comme suit : \(p_a \circ \psi = M(a) \circ p_{s(a)}\) et \(p_a \circ \phi = p_{t(a)}\). Cet égalisateur est alors la limite du diagramme.

Démonstration

Omis.

Lemme

Soit \(M : \mathcal{I} \to \mathcal{C}\) un diagramme. Écrivons \(I = \Ob(\mathcal{I})\) et \(A = \text{Flèches}(\mathcal{I})\). Notons \(s, t : A \to I\) les applications source et but. Supposons que \(\coprod_{i \in I} M_i\) et \(\coprod_{a \in A} M_{s(a)}\) existent. Supposons que le coégalisateur de \[\xymatrix{ \coprod_{a \in A} M_{s(a)} \ar@<1ex>[r]^\phi \ar@<-1ex>[r]_\psi & \coprod_{i \in I} M_i }\] existe, les morphismes étant déterminés par leurs composantes comme suit : la composante \(M_{s(a)}\) s’envoie par \(\psi\) dans la composante \(M_{t(a)}\) au moyen du morphisme \(M(a)\). La composante \(M_{s(a)}\) s’envoie par \(\phi\) dans la composante \(M_{s(a)}\) au moyen du morphisme identité. Ce coégalisateur est alors la colimite du diagramme.

Démonstration

Omis.

Limites et colimites dans la catégorie des ensembles

Non seulement les limites et les colimites existent dans \(\textit{Ensembles}\), mais elles sont également faciles à décrire. Soit en effet \(M : \mathcal{I} \to \textit{Ensembles}\), \(i \mapsto M_i\), un diagramme d’ensembles. Notons \(I = \Ob(\mathcal{I})\). La limite s’écrit \[\lim_\mathcal{I} M = \{ (m_i)_{i\in I} \in \prod\nolimits_{i\in I} M_i \mid \forall \phi : i \to i' \text{ dans }\mathcal{I}, M(\phi)(m_i) = m_{i'} \}.\] Nous considérons donc un élément de la limite comme un système compatible d’éléments de tous les ensembles \(M_i\).

D’autre part, la colimite est \[\colim_\mathcal{I} M = (\coprod\nolimits_{i\in I} M_i)/\sim\] où la relation d’équivalence \(\sim\) est engendrée en imposant \(m_i \sim m_{i'}\) si \(m_i \in M_i\), \(m_{i'} \in M_{i'}\) et \(M(\phi)(m_i) = m_{i'}\) pour un certain \(\phi : i \to i'\). Autrement dit, \(m_i \in M_i\) et \(m_{i'} \in M_{i'}\) sont équivalents s’il existe une chaîne de morphismes dans \(\mathcal{I}\) \[\xymatrix{ & i_1 \ar[ld] \ar[rd] & & i_3 \ar[ld] & & i_{2n-1} \ar[rd] & \\ i = i_0 & & i_2 & & \ldots & & i_{2n} = i' }\] et des éléments \(m_{i_j} \in M_{i_j}\) dont les images coïncident par les applications \(M_{i_{2k-1}} \to M_{i_{2k-2}}\) et \(M_{i_{2k-1}} \to M_{i_{2k}}\) induites par les flèches de \(\mathcal{I}\) ci-dessus.

Ce type d’objet n’est pas très commode à manipuler. Mais si le diagramme est filtrant, sa description est beaucoup plus simple. Nous l’expliquerons dans la section 04AX.

Limites connexes

Une (co)limite est dite connexe si sa catégorie d’indices est connexe.

Définition

Nous disons qu’une catégorie \(\mathcal{I}\) est connexe si la relation d’équivalence engendrée par \(x \sim y \Leftrightarrow \Mor_\mathcal{I}(x, y) \not = \emptyset\) possède exactement une classe d’équivalence.

Nous suivons ici la convention de Topologie, définition 004S, selon laquelle les espaces connexes sont non vides. Le résultat suivant caractérise, en un sens quelque peu vague, les limites connexes.

Lemme

Soit \(\mathcal{C}\) une catégorie. Soit \(X\) un objet de \(\mathcal{C}\). Soit \(M : \mathcal{I} \to \mathcal{C}/X\) un diagramme dans la catégorie des objets au-dessus de \(X\). Si la catégorie d’indices \(\mathcal{I}\) est connexe et si la limite de \(M\) existe dans \(\mathcal{C}/X\), alors la limite du composé \(\mathcal{I} \to \mathcal{C}/X \to \mathcal{C}\) existe et lui est égale.

Démonstration

Soit \(L \to X\) un objet représentant la limite dans \(\mathcal{C}/X\). Considérons le foncteur \[W \longmapsto \lim_i \Mor_\mathcal{C}(W, M_i).\] Soit \((\varphi_i)\) un élément de l’ensemble de droite. Comme chaque \(M_i\) est muni d’un morphisme \(s_i : M_i \to X\), nous obtenons des morphismes \(f_i = s_i \circ \varphi_i : W \to X\). La connexité de \(\mathcal{I}\) montre que tous les \(f_i\) sont égaux. Puisque \(\mathcal{I}\) est non vide, il existe au moins un \(f_i\). Leur valeur commune \(W \to X\) confère donc à \(W\) une structure d’objet de \(\mathcal{C}/X\), et \((\varphi_i)\) définit un élément de \(\lim_i \Mor_{\mathcal{C}/X}(W, M_i)\). Nous obtenons ainsi un unique morphisme \(\phi : W \to L\) tel que \(\varphi_i\) soit le composé de \(\phi\) et de \(L \to M_i\), comme voulu.

Lemme

Soit \(\mathcal{C}\) une catégorie. Soit \(X\) un objet de \(\mathcal{C}\). Soit \(M : \mathcal{I} \to X/\mathcal{C}\) un diagramme dans la catégorie des objets au-dessous de \(X\). Si la catégorie d’indices \(\mathcal{I}\) est connexe et si la colimite de \(M\) existe dans \(X/\mathcal{C}\), alors la colimite du composé \(\mathcal{I} \to X/\mathcal{C} \to \mathcal{C}\) existe et lui est égale.

Démonstration

Omis. Indication : ce lemme est dual du lemme 002T.

Catégories cofinales et initiales

Dans la littérature, le mot « final » est parfois employé à la place de « cofinal » dans la définition suivante.

Définition

Soit \(H : \mathcal{I} \to \mathcal{J}\) un foncteur entre catégories. Nous disons que \(\mathcal{I}\) est cofinale dans \(\mathcal{J}\), ou que \(H\) est cofinal, si

1. pour tout \(y \in \Ob(\mathcal{J})\), il existe \(x \in \Ob(\mathcal{I})\) et un morphisme \(y \to H(x)\), et

2. étant donnés \(y \in \Ob(\mathcal{J})\), \(x, x' \in \Ob(\mathcal{I})\) et des morphismes \(y \to H(x)\) et \(y \to H(x')\), il existe une suite de morphismes \[x = x_0 \leftarrow x_1 \rightarrow x_2 \leftarrow x_3 \rightarrow \ldots \rightarrow x_{2n} = x'\] dans \(\mathcal{I}\) et des morphismes \(y \to H(x_i)\) dans \(\mathcal{J}\), les morphismes \(y \to H(x_0)\) et \(y \to H(x_{2n})\) étant ceux donnés, tels que les diagrammes \[\xymatrix{ & y \ar[ld] \ar[d] \ar[rd] \\ H(x_{2k}) & H(x_{2k + 1}) \ar[l] \ar[r] & H(x_{2k + 2}) }\] soient commutatifs pour \(k = 0, \ldots, n - 1\).

Autrement dit, fixons un objet \(y\) de \(\mathcal{J}\) et considérons l’ensemble \(S\) des couples \((x, b)\), où \(x\) est un objet de \(\mathcal{I}\) et \(b : y \to H(x)\) un morphisme. Considérons sur \(S\) la relation d’équivalence engendrée par \((x, b) \sim (x', b')\) s’il existe un morphisme \(a : x \to x'\) tel que \(b' = H(a) \circ b\). Alors \(S\) doit être formé d’une seule classe d’équivalence.

Lemme

Soit \(H : \mathcal{I} \to \mathcal{J}\) un foncteur entre catégories. Supposons \(\mathcal{I}\) cofinale dans \(\mathcal{J}\). Alors, pour tout diagramme \(M : \mathcal{J} \to \mathcal{C}\), on a un isomorphisme canonique \[\colim_\mathcal{I} M \circ H = \colim_\mathcal{J} M\] dès que l’un des deux membres existe.

Démonstration

Omis.

Définition

Soit \(H : \mathcal{I} \to \mathcal{J}\) un foncteur entre catégories. Nous disons que \(\mathcal{I}\) est initiale dans \(\mathcal{J}\), ou que \(H\) est initial, si

1. pour tout \(y \in \Ob(\mathcal{J})\), il existe \(x \in \Ob(\mathcal{I})\) et un morphisme \(H(x) \to y\) ;

2. pour tout \(y \in \Ob(\mathcal{J})\), tous \(x , x' \in \Ob(\mathcal{I})\) et tous morphismes \(H(x) \to y\), \(H(x') \to y\) dans \(\mathcal{J}\), il existe une suite de morphismes \[x = x_0 \leftarrow x_1 \rightarrow x_2 \leftarrow x_3 \rightarrow \ldots \rightarrow x_{2n} = x'\] dans \(\mathcal{I}\) et des morphismes \(H(x_i) \to y\) dans \(\mathcal{J}\) tels que les diagrammes \[\xymatrix{ H(x_{2k}) \ar[rd] & H(x_{2k + 1}) \ar[l] \ar[r] \ar[d] & H(x_{2k + 2}) \ar[ld] \\ & y }\] soient commutatifs pour \(k = 0, \ldots, n - 1\).

C’est simplement la notion duale de celle de foncteur « cofinal ».

Lemme

Soit \(H : \mathcal{I} \to \mathcal{J}\) un foncteur de catégories. Supposons \(\mathcal{I}\) initiale dans \(\mathcal{J}\). Alors, pour tout diagramme \(M : \mathcal{J} \to \mathcal{C}\), on a un isomorphisme canonique \[\lim_\mathcal{I} M \circ H = \lim_\mathcal{J} M\] dès que l’un des deux membres existe.

Démonstration

Omis.

Lemme

Soit \(F : \mathcal{I} \to \mathcal{I}'\) un foncteur. Supposons que

1. les catégories fibres (voir la définition 02XH) de \(\mathcal{I}\) au-dessus de \(\mathcal{I}'\) soient toutes connexes, et que

2. pour tout morphisme \(\alpha' : x' \to y'\) dans \(\mathcal{I}'\), il existe un morphisme \(\alpha : x \to y\) dans \(\mathcal{I}\) tel que \(F(\alpha) = \alpha'\).

Alors, pour tout diagramme \(M : \mathcal{I}' \to \mathcal{C}\), la colimite \(\colim_\mathcal{I} M \circ F\) existe si et seulement si \(\colim_{\mathcal{I}'} M\) existe ; lorsqu’elles existent, ces colimites coïncident.

Démonstration

On peut le démontrer en établissant que \(\mathcal{I}\) est cofinale dans \(\mathcal{I}'\), puis en appliquant le lemme 04E7. Mais on peut aussi donner la preuve directe suivante. Il suffit de montrer que, pour tout objet \(T\) de \(\mathcal{C}\), on a \[\lim_{\mathcal{I}^{opp}} \Mor_\mathcal{C}(M_{F(i)}, T) = \lim_{(\mathcal{I}')^{opp}} \Mor_\mathcal{C}(M_{i'}, T)\] Si \((g_{i'})_{i' \in \Ob(\mathcal{I}')}\) est un élément du membre de droite, alors, en posant \(f_i = g_{F(i)}\), on obtient un élément \((f_i)_{i \in \Ob(\mathcal{I})}\) du membre de gauche. Réciproquement, soit \((f_i)_{i \in \Ob(\mathcal{I})}\) un élément du membre de gauche. Sur chaque catégorie fibre (connexe) \(\mathcal{I}_{i'}\), le foncteur \(M \circ F\) est constant de valeur \(M_{i'}\). Les morphismes \(f_i\), pour \(i \in \Ob(\mathcal{I})\) tel que \(F(i) = i'\), sont donc tous égaux et déterminent un morphisme bien défini \(g_{i'} : M_{i'} \to T\). Par l’hypothèse (2), la famille \((g_{i'})_{i' \in \Ob(\mathcal{I}')}\) définit un élément du membre de droite.

Lemme

Soient \(\mathcal{I}\) et \(\mathcal{J}\) des catégories et notons \(p : \mathcal{I} \times \mathcal{J} \to \mathcal{J}\) la projection. Si \(\mathcal{I}\) est connexe, alors, pour un diagramme \(M : \mathcal{J} \to \mathcal{C}\), la colimite \(\colim_\mathcal{J} M\) existe si et seulement si \(\colim_{\mathcal{I} \times \mathcal{J}} M \circ p\) existe et, dans ce cas, ces colimites sont égales.

Démonstration

C’est un cas particulier du lemme 05US.

Limites et colimites finies

Une (co)limite est dite finie si sa catégorie d’indices est finie, c’est-à-dire si celle-ci possède un nombre fini d’objets et un nombre fini de morphismes. Une (co)limite est dite non vide si sa catégorie d’indices est non vide. Une (co)limite est dite connexe si sa catégorie d’indices est connexe ; voir la définition 002S. Il existe en fait « suffisamment » de catégories d’indices finies.

Lemme

Soit \(\mathcal{I}\) une catégorie telle que

1. \(\Ob(\mathcal{I})\) soit fini, et

2. il existe un nombre fini de morphismes \(f_1, \ldots, f_m \in \text{Flèches}(\mathcal{I})\) tels que tout morphisme de \(\mathcal{I}\) soit un composé \(f_{j_1} \circ f_{j_2} \circ \ldots \circ f_{j_k}\).

Il existe alors un foncteur \(F : \mathcal{J} \to \mathcal{I}\) tel que

1. \(\mathcal{J}\) soit une catégorie finie, et

2. pour tout diagramme \(M : \mathcal{I} \to \mathcal{C}\), la (co)limite de \(M\) sur \(\mathcal{I}\) existe si et seulement si la (co)limite de \(M \circ F\) sur \(\mathcal{J}\) existe ; dans ce cas, les (co)limites sont canoniquement isomorphes.

De plus, \(\mathcal{J}\) est connexe (resp. non vide) si et seulement si \(\mathcal{I}\) l’est.

Démonstration

Écrivons \(\Ob(\mathcal{I}) = \{x_1, \ldots, x_n\}\). Notons \(s, t : \{1, \ldots, m\} \to \{1, \ldots, n\}\) les applications telles que \(f_j : x_{s(j)} \to x_{t(j)}\). Posons \(\Ob(\mathcal{J}) = \{y_1, \ldots, y_n, z_1, \ldots, z_n\}\). Outre les identités, introduisons des morphismes \(g_j : y_{s(j)} \to z_{t(j)}\), \(j = 1, \ldots, m\), et des morphismes \(h_i : y_i \to z_i\), \(i = 1, \ldots, n\). Comme tous les morphismes de \(\mathcal{J}\) autres que les identités vont d’un \(y\) vers un \(z\), il n’y a aucune composition à définir ni aucune associativité à vérifier. Posons \(F(y_i) = F(z_i) = x_i\). Posons \(F(g_j) = f_j\) et \(F(h_i) = \text{id}_{x_i}\). Il est clair que \(F\) est un foncteur. Il est clair que \(\mathcal{J}\) est finie. Il est clair que \(\mathcal{J}\) est connexe, resp. non vide, si et seulement si \(\mathcal{I}\) l’est.

Soit \(M : \mathcal{I} \to \mathcal{C}\) un diagramme. Considérons un objet \(W\) de \(\mathcal{C}\) et des morphismes \(q_i : W \to M(x_i)\) comme dans la définition 002E. En prenant \(q_i : W \to M(F(y_i)) = M(F(z_i)) = M(x_i)\), nous obtenons une famille de morphismes comme dans la définition 002E pour le diagramme \(M \circ F\). Réciproquement, supposons donnés des morphismes \(qy_i : W \to M(F(y_i))\) et \(qz_i : W \to M(F(z_i))\) comme dans la définition 002E pour le diagramme \(M \circ F\). Puisque \[M(F(h_i)) = \text{id} : M(F(y_i)) = M(x_i) \longrightarrow M(x_i) = M(F(z_i))\] on en déduit que \(qy_i = qz_i\) pour tout \(i\). Posons \(q_i\) égal à cette valeur commune. La compatibilité de \(q_{s(j)} = qy_{s(j)}\) et de \(q_{t(j)} = qz_{t(j)}\) avec le morphisme \(M(f_j)\) garantit que la famille \(q_i\) est compatible avec tous les morphismes de \(\mathcal{I}\), puisque, par hypothèse, chacun d’eux est un composé de morphismes \(f_j\). Nous avons ainsi obtenu une bijection canonique \[\lim_{B \in \Ob(\mathcal{J})} \Mor_\mathcal{C}(W, M(F(B))) = \lim_{A \in \Ob(\mathcal{I})} \Mor_\mathcal{C}(W, M(A))\] qui entraîne l’assertion du lemme concernant les limites. L’assertion concernant les colimites se démontre de la même manière (preuve omise).

Lemme

Soit \(\mathcal{C}\) une catégorie. Les assertions suivantes sont équivalentes :

1. Les limites finies connexes existent dans \(\mathcal{C}\).

2. Les égalisateurs et les produits fibrés existent dans \(\mathcal{C}\).

Démonstration

Puisque les égalisateurs et les produits fibrés sont des limites finies connexes, (1) implique (2). Réciproquement, soit \(\mathcal{I}\) une catégorie d’indices finie et connexe. Soit \(F : \mathcal{J} \to \mathcal{I}\) le foncteur de catégories d’indices construit dans la preuve du lemme 05XU. Nous pouvons alors remplacer \(\mathcal{I}\) par \(\mathcal{J}\). Nous pouvons donc supposer que \(\Ob(\mathcal{I}) = \{x_1, \ldots, x_n\} \amalg \{y_1, \ldots, y_m\}\), avec \(n, m \geq 1\), et que tous les morphismes de \(\mathcal{I}\) autres que les identités sont des morphismes \(f : x_i \to y_j\) pour certains \(i\) et \(j\).

Supposons \(n > 1\). Puisque \(\mathcal{I}\) est connexe, il existe des indices \(i_1, i_2\) et \(j_0\), ainsi que des morphismes \(a : x_{i_1} \to y_{j_0}\) et \(b : x_{i_2} \to y_{j_0}\). Considérons la catégorie \[\mathcal{I}' = \{x\} \amalg \{x_1, \ldots, \hat x_{i_1}, \ldots, \hat x_{i_2}, \ldots x_n\} \amalg \{y_1, \ldots, y_m\}\] avec \[\Mor_{\mathcal{I}'}(x, y_j) = \Mor_\mathcal{I}(x_{i_1}, y_j) \amalg \Mor_\mathcal{I}(x_{i_2}, y_j)\] et tous les autres ensembles de morphismes égaux à ceux de \(\mathcal{I}\). Pour tout foncteur \(M : \mathcal{I} \to \mathcal{C}\), nous pouvons construire un foncteur \(M' : \mathcal{I}' \to \mathcal{C}\) en posant \[M'(x) = M(x_{i_1}) \times_{M(a), M(y_{j_0}), M(b)} M(x_{i_2})\] et, pour un morphisme \(f' : x \to y_j\) correspondant, disons, à \(f : x_{i_1} \to y_j\), en posant \(M'(f) = M(f) \circ \text{pr}_1\). Le foncteur \(M\) admet alors une limite si et seulement si le foncteur \(M'\) en admet une (preuve omise). Par récurrence, on se ramène donc au cas \(n = 1\).

Si \(n = 1\), la limite de tout \(M : \mathcal{I} \to \mathcal{C}\) est l’égalisateur successif des paires de morphismes \(x_1 \to y_j\) ; elle existe donc par hypothèse.

Lemme

Soit \(\mathcal{C}\) une catégorie. Les assertions suivantes sont équivalentes :

1. Les limites finies non vides existent dans \(\mathcal{C}\).

2. Les produits de deux objets et les égalisateurs existent dans \(\mathcal{C}\).

3. Les produits de deux objets et les produits fibrés existent dans \(\mathcal{C}\).

Démonstration

Puisque les produits de deux objets, les produits fibrés et les égalisateurs sont des limites dont les catégories d’indices sont non vides, (1) implique (2) et (3). Supposons (2). Les produits finis non vides et les égalisateurs existent alors. Le lemme 002N montre donc que les limites finies non vides existent, c’est-à-dire que (1) est vraie. Supposons (3). Si \(a, b : A \to B\) sont des morphismes de \(\mathcal{C}\), l’égalisateur de \(a, b\) est \[(A \times_{a, B, b} A)\times_{(\text{pr}_1, \text{pr}_2), A \times A, \Delta} A.\] Ainsi, (3) implique (2), ce qui démontre le lemme.

Lemme

Soit \(\mathcal{C}\) une catégorie. Les assertions suivantes sont équivalentes :

1. Les limites finies existent dans \(\mathcal{C}\).

2. Les produits finis et les égalisateurs existent.

3. La catégorie possède un objet final et les produits fibrés existent.

Démonstration

Puisque les produits finis, les produits fibrés, les égalisateurs et les objets finaux sont des limites sur des catégories d’indices finies, (1) implique (2) et (3). Le lemme 002N ci-dessus montre que (2) implique (1). Supposons (3). Le produit \(A \times B\) est le produit fibré au-dessus de l’objet final. Si \(a, b : A \to B\) sont des morphismes de \(\mathcal{C}\), l’égalisateur de \(a, b\) est \[(A \times_{a, B, b} A)\times_{(\text{pr}_1, \text{pr}_2), A \times A, \Delta} A.\] Ainsi, (3) implique (2), ce qui démontre le lemme.

Lemme

Soit \(\mathcal{C}\) une catégorie. Les assertions suivantes sont équivalentes :

1. Les colimites finies connexes existent dans \(\mathcal{C}\).

2. Les coégalisateurs et les sommes amalgamées existent dans \(\mathcal{C}\).

Démonstration

Omis. Indication : c’est l’énoncé dual du lemme 04AT.

Lemme

Soit \(\mathcal{C}\) une catégorie. Les assertions suivantes sont équivalentes :

1. Les colimites finies non vides existent dans \(\mathcal{C}\).

2. Les coproduits de deux objets et les coégalisateurs existent dans \(\mathcal{C}\).

3. Les coproduits de deux objets et les sommes amalgamées existent dans \(\mathcal{C}\).

Démonstration

Omis. Indication : c’est l’énoncé dual du lemme 04AU.

Lemme

Soit \(\mathcal{C}\) une catégorie. Les assertions suivantes sont équivalentes :

1. Les colimites finies existent dans \(\mathcal{C}\).

2. Les coproduits finis et les coégalisateurs existent dans \(\mathcal{C}\).

3. La catégorie possède un objet initial et les sommes amalgamées existent.

Démonstration

Omis. Indication : c’est l’énoncé dual du lemme 002O.

Limites inductives filtrantes

Les colimites sont plus faciles à calculer ou à décrire lorsqu’elles portent sur un diagramme filtrant. En voici la définition.

Définition

Nous disons qu’un diagramme \(M : \mathcal{I} \to \mathcal{C}\) est dirigé, ou filtrant, si les conditions suivantes sont satisfaites :

1. la catégorie \(\mathcal{I}\) possède au moins un objet ;

2. pour toute paire d’objets \(x, y\) de \(\mathcal{I}\), il existe un objet \(z\) et des morphismes \(x \to z\), \(y \to z\) ; et

3. pour toute paire d’objets \(x, y\) de \(\mathcal{I}\) et toute paire de morphismes \(a, b : x \to y\) de \(\mathcal{I}\), il existe un morphisme \(c : y \to z\) de \(\mathcal{I}\) tel que \(M(c \circ a) = M(c \circ b)\) comme morphismes dans \(\mathcal{C}\).

Nous disons qu’une catégorie d’indices \(\mathcal{I}\) est dirigée, ou filtrante, si \(\text{id} : \mathcal{I} \to \mathcal{I}\) est filtrant (autrement dit, on supprime le \(M\) dans la partie (3) ci-dessus).

Tout diagramme dont la catégorie d’indices est filtrante est filtrant ; c’est ainsi que les limites inductives filtrantes se présentent habituellement. En fait, si \(M : \mathcal{I} \to \mathcal{C}\) est un diagramme filtrant, on peut factoriser \(M\) sous la forme \(\mathcal{I} \to \mathcal{I}' \to \mathcal{C}\), où \(\mathcal{I}'\) est une catégorie d’indices filtrante¹, de telle sorte que \(\colim_\mathcal{I} M\) existe si et seulement si \(\colim_{\mathcal{I}'} M'\) existe ; dans ce cas, les colimites sont canoniquement isomorphes.

Supposons que \(M : \mathcal{I} \to \textit{Ensembles}\) soit un diagramme filtrant. Dans ce cas, la relation d’équivalence de la formule \[\colim_\mathcal{I} M = (\coprod\nolimits_{i\in I} M_i)/\sim\] se décrit simplement comme suit : \[m_i \sim m_{i'} \Leftrightarrow \exists i'', \phi : i \to i'', \phi': i' \to i'', M(\phi)(m_i) = M(\phi')(m_{i'}).\] Autrement dit, deux éléments sont égaux dans la colimite si et seulement s’ils « finissent par devenir égaux ».

Lemme

Soient \(\mathcal{I}\) et \(\mathcal{J}\) des catégories d’indices. Supposons que \(\mathcal{I}\) soit filtrante et que \(\mathcal{J}\) soit finie. Soit \(M : \mathcal{I} \times \mathcal{J} \to \textit{Ensembles}\), \((i, j) \mapsto M_{i, j}\), un diagramme de diagrammes d’ensembles. Alors \[\colim_i \lim_j M_{i, j} = \lim_j \colim_i M_{i, j}.\] En particulier, les colimites sur \(\mathcal{I}\) commutent aux produits finis, aux produits fibrés et aux égalisateurs d’ensembles.

Démonstration

Omis. C’est en fait un exercice agréable de montrer qu’une catégorie est filtrante si et seulement si les colimites sur cette catégorie commutent aux limites finies (à valeurs dans la catégorie des ensembles).

Donnons un contre-exemple au lemme lorsque \(\mathcal{J}\) est infinie. Prenons pour \(\mathcal{I}\) la catégorie dont les objets sont \(\mathbf{N} = \{1, 2, 3, \ldots\}\) et dans laquelle il existe un unique morphisme \(i \to i'\) dès que \(i \leq i'\). Prenons pour \(\mathcal{J}\) la catégorie discrète \(\mathbf{N} = \{1, 2, 3, \ldots\}\) (ses seuls morphismes sont les identités). Posons \(M_{i, j} = \{1, 2, \ldots, i\}\), avec les applications d’inclusion évidentes \(M_{i, j} \to M_{i', j}\) lorsque \(i \leq i'\). Dans ce cas, \(\colim_i M_{i, j} = \mathbf{N}\), et donc \[\lim_j \colim_i M_{i, j} = \prod\nolimits_j \mathbf{N} = \mathbf{N}^\mathbf{N}\] D’autre part, \(\lim_j M_{i, j} = \prod\nolimits_j M_{i, j}\), et donc \[\colim_i \lim_j M_{i, j} = \bigcup\nolimits_i \{1, 2, \ldots, i\}^{\mathbf{N}}\] qui est plus petit que l’autre limite.

Lemme

Soit \(\mathcal{I}\) une catégorie. Soit \(\mathcal{J}\) une sous-catégorie pleine. Supposons que \(\mathcal{I}\) soit filtrante. Supposons en outre que, pour tout objet \(i\) de \(\mathcal{I}\), il existe un morphisme \(i \to j\) vers un objet \(j\) de \(\mathcal{J}\). Alors \(\mathcal{J}\) est filtrante et cofinale dans \(\mathcal{I}\).

Démonstration

Omis. Exercice agréable sur les notions en jeu.

Nous avons parfois besoin d’un contrôle plus fin des conditions que l’on peut imposer aux catégories d’indices. Nous ajoutons donc quelques lemmes sur les diverses conditions possibles.

Lemme

Soit \(\mathcal{I}\) une catégorie d’indices, c’est-à-dire une catégorie. Supposons que, pour toute paire d’objets \(x, y\) de \(\mathcal{I}\), il existe un objet \(z\) et des morphismes \(x \to z\) et \(y \to z\). Alors

1. si \(M\) et \(N\) sont des diagrammes d’ensembles sur \(\mathcal{I}\), alors \(\colim (M_i \times N_i) \to \colim M_i \times \colim N_i\) est surjective ;

2. en général, les colimites de diagrammes d’ensembles sur \(\mathcal{I}\) ne commutent pas aux produits finis non vides.

Démonstration

Preuve de (1). Soit \((\overline{m}, \overline{n})\) un élément de \(\colim M_i \times \colim N_i\). Il existe alors \(m \in M_x\) et \(n \in N_y\), pour certains \(x, y \in \Ob(\mathcal{I})\), tels que \(m\) s’envoie sur \(\overline{m}\) et \(n\) sur \(\overline{n}\). Voir la section 002U. Choisissons \(a : x \to z\) et \(b : y \to z\) dans \(\mathcal{I}\). Alors \((M(a)(m), N(b)(n))\) est un élément de \((M \times N)_z\) dont l’image dans \(\colim (M_i \times N_i)\) s’envoie sur \((\overline{m}, \overline{n})\), comme voulu.

Preuve de (2). Soit \(G\) un groupe non trivial et soit \(\mathcal{I}\) la catégorie à un objet dont le monoïde des endomorphismes est \(G\). Alors \(\mathcal{I}\) satisfait trivialement la condition du lemme. Faisons agir \(G\) sur lui-même par translations et considérons le \(G\)-ensemble \(G\) comme un diagramme indexé par \(\mathcal{I}\) à valeurs dans les ensembles. Alors \[\colim_\mathcal{I} G \times \colim_\mathcal{I} G \cong G/G \times G/G\] n’est pas isomorphe à \[\colim_\mathcal{I} (G \times G) \cong (G \times G)/G\] Cet exemple montre qu’on ne peut pas simplement supprimer la condition supplémentaire du lemme 002W, même si l’on ne s’intéresse qu’aux produits finis.

Lemme

Soit \(\mathcal{I}\) une catégorie d’indices, c’est-à-dire une catégorie. Supposons que, pour toute paire d’objets \(x, y\) de \(\mathcal{I}\), il existe un objet \(z\) et des morphismes \(x \to z\) et \(y \to z\). Soit \(M : \mathcal{I} \to \textit{Ab}\) un diagramme de groupes abéliens sur \(\mathcal{I}\). Alors l’application naturelle de la colimite de \(M\) dans la catégorie des ensembles vers la colimite de \(M\) dans la catégorie des groupes abéliens est surjective.

Démonstration

Rappelons que la colimite dans la catégorie des ensembles est le quotient de la réunion disjointe \(\coprod M_i\) par une relation d’équivalence ; voir la section 002U. De même, la colimite dans la catégorie des groupes abéliens est un quotient de la somme directe \(\bigoplus M_i\). L’hypothèse du lemme signifie que, étant donnés \(i, j \in \Ob(\mathcal{I})\), \(m \in M_i\) et \(n \in M_j\), on peut trouver un objet \(k\) et des morphismes \(a : i \to k\) et \(b : j \to k\). Ainsi, \(m + n\) est représenté dans la colimite par l’élément \(M(a)(m) + M(b)(n)\) de \(M_k\). L’application naturelle de la réunion disjointe \(\coprod M_i\) vers la colimite est donc surjective.

Lemme

Soit \(\mathcal{I}\) une catégorie d’indices, c’est-à-dire une catégorie. Supposons que, pour tout diagramme en traits pleins \[\xymatrix{ x \ar[d] \ar[r] & y \ar@{..>}[d] \\ z \ar@{..>}[r] & w }\] dans \(\mathcal{I}\), il existe un objet \(w\) et des flèches pointillées qui rendent le diagramme commutatif. Alors \(\mathcal{I}\) est soit vide, soit une réunion disjointe non vide de catégories connexes possédant la même propriété.

Démonstration

Si \(\mathcal{I}\) est la catégorie vide, le lemme est vrai. Sinon, définissons une relation sur les objets de \(\mathcal{I}\) en posant \(x \sim y\) s’il existe \(z\) et des morphismes \(x \to z\) et \(y \to z\). C’est une relation d’équivalence par l’hypothèse du lemme. Ainsi, \(\Ob(\mathcal{I})\) est une réunion disjointe de classes d’équivalence. Soient \(\mathcal{I}_j\) les sous-catégories pleines correspondant à ces classes. Alors \(\mathcal{I} = \coprod \mathcal{I}_j\), où les \(\mathcal{I}_j\) sont non vides, comme voulu.

Lemme

Soit \(\mathcal{I}\) une catégorie d’indices, c’est-à-dire une catégorie. Supposons que, pour tout diagramme en traits pleins \[\xymatrix{ x \ar[d] \ar[r] & y \ar@{..>}[d] \\ z \ar@{..>}[r] & w }\] dans \(\mathcal{I}\), il existe un objet \(w\) et des flèches pointillées qui rendent le diagramme commutatif. Alors

1. tout morphisme injectif \(M \to N\) de diagrammes d’ensembles sur \(\mathcal{I}\) induit une application injective \(\colim M_i \to \colim N_i\) d’ensembles ;

2. en général, il n’en va pas de même pour les diagrammes de groupes abéliens et leurs colimites.

Démonstration

Si \(\mathcal{I}\) est la catégorie vide, le lemme est vrai. Nous pouvons donc supposer \(\mathcal{I}\) non vide. Dans ce cas, on peut écrire \(\mathcal{I} = \coprod \mathcal{I}_j\), où chaque \(\mathcal{I}_j\) est non vide et satisfait la même propriété ; voir le lemme 09WS. Puisque \(\colim_\mathcal{I} M = \coprod_j \colim_{\mathcal{I}_j} M|_{\mathcal{I}_j}\), la preuve de (1) se ramène au cas connexe.

Supposons \(\mathcal{I}\) connexe et \(M \to N\) injectif, c’est-à-dire que toutes les applications \(M_i \to N_i\) sont injectives. Identifions \(M_i\) à l’image de \(M_i \to N_i\) ; autrement dit, considérons \(M_i\) comme un sous-ensemble de \(N_i\). Nous utiliserons sans plus de mention la description des colimites donnée dans la section 002U. Soient \(s, s' \in \colim M_i\) ayant la même image dans \(\colim N_i\). Disons que \(s\) provient d’un élément \(m\) de \(M_i\) et \(s'\) d’un élément \(m'\) de \(M_{i'}\). Il existe alors une suite \(i = i_0, i_1, \ldots, i_n = i'\) d’objets de \(\mathcal{I}\) et des morphismes \[\xymatrix{ & i_1 \ar[ld] \ar[rd] & & i_3 \ar[ld] & & i_{2n-1} \ar[rd] & \\ i = i_0 & & i_2 & & \ldots & & i_{2n} = i' }\] ainsi que des éléments \(n_{i_j} \in N_{i_j}\) dont les images coïncident par les applications \(N_{i_{2k-1}} \to N_{i_{2k-2}}\) et \(N_{i_{2k-1}} \to N_{i_{2k}}\) induites par les flèches de \(\mathcal{I}\) ci-dessus, avec \(n_{i_0} = m\) et \(n_{i_{2n}} = m'\). Nous allons montrer par récurrence sur \(n\) que cela entraîne \(s = s'\). Le cas initial \(n = 0\) est trivial. Supposons \(n \geq 1\). L’hypothèse sur \(\mathcal{I}\) fournit un diagramme commutatif \[\xymatrix{ & i_1 \ar[ld] \ar[rd] \\ i_0 \ar[rd] & & i_2 \ar[ld] \\ & w }\] Nous en déduisons que \(m\) et \(n_{i_2}\) ont la même image dans \(N_w\), puisqu’ils sont tous deux l’image de l’élément \(n_{i_1}\). En particulier, cet élément est un élément \(m'' \in M_w\) qui définit le même élément que \(s\) dans \(\colim M_i\). Nous obtenons alors la chaîne \[\xymatrix{ & i_3 \ar[ld] \ar[rd] & & i_5 \ar[ld] & & i_{2n-1} \ar[rd] & \\ w & & i_4 & & \ldots & & i_{2n} = i' }\] et les éléments \(n_{i_j}\) pour \(j \geq 3\) ; cette chaîne est plus courte que la chaîne initiale. Cela démontre l’étape de récurrence et achève la preuve de (1).

Soit \(G\) un groupe et soit \(\mathcal{I}\) la catégorie à un objet dont le monoïde des endomorphismes est \(G\). Alors \(\mathcal{I}\) satisfait la condition du lemme, car, étant donnés \(g_1, g_2 \in G\), on peut trouver \(h_1, h_2 \in G\) tels que \(h_1 g_1 = h_2 g_2\). Un diagramme \(M\) sur \(\mathcal{I}\) à valeurs dans \(\textit{Ab}\) est la même chose qu’un groupe abélien \(M\) muni d’une action de \(G\), et \(\colim_\mathcal{I} M\) est le groupe des coinvariants \(M_G\) de \(M\). Prenons pour \(G\) le groupe d’ordre \(2\) agissant trivialement sur \(M = \mathbf{Z}/2\mathbf{Z}\), plongé dans le premier facteur de \(N = \mathbf{Z}/2\mathbf{Z} \times \mathbf{Z}/2\mathbf{Z}\), où l’élément non trivial de \(G\) agit par \((x, y) \mapsto (x + y, y)\). Alors \(M_G \to N_G\) est nul.

Lemme

Soit \(\mathcal{I}\) une catégorie d’indices, c’est-à-dire une catégorie. Supposons que

1. pour toute paire de morphismes \(a : w \to x\) et \(b : w \to y\) dans \(\mathcal{I}\), il existe un objet \(z\) et des morphismes \(c : x \to z\) et \(d : y \to z\) tels que \(c \circ a = d \circ b\), et

2. pour toute paire de morphismes \(a, b : x \to y\), il existe un morphisme \(c : y \to z\) tel que \(c \circ a = c \circ b\).

Alors \(\mathcal{I}\) est une réunion (éventuellement vide) de catégories d’indices filtrantes disjointes \(\mathcal{I}_j\).

Démonstration

Si \(\mathcal{I}\) est la catégorie vide, le lemme est vrai. Sinon, définissons une relation sur les objets de \(\mathcal{I}\) en posant \(x \sim y\) s’il existe \(z\) et des morphismes \(x \to z\) et \(y \to z\). C’est une relation d’équivalence par la première hypothèse du lemme. Ainsi, \(\Ob(\mathcal{I})\) est une réunion disjointe de classes d’équivalence. Soient \(\mathcal{I}_j\) les sous-catégories pleines correspondant à ces classes. Le reste découle immédiatement des définitions.

Lemme

Soit \(\mathcal{I}\) une catégorie d’indices satisfaisant les hypothèses du lemme 002X ci-dessus. Alors les colimites sur \(\mathcal{I}\) commutent aux produits fibrés et aux égalisateurs d’ensembles (et, plus généralement, aux limites finies connexes).

Démonstration

D’après le lemme 002X, nous pouvons écrire \(\mathcal{I} = \coprod \mathcal{I}_j\), chaque \(\mathcal{I}_j\) étant filtrante. D’après le lemme 002W, les colimites sur \(\mathcal{I}_j\) commutent aux égalisateurs et aux produits fibrés. Il suffit donc de montrer que les égalisateurs et les produits fibrés commutent aux coproduits dans la catégorie des ensembles (y compris aux coproduits vides). Autrement dit, étant donnés un ensemble \(J\), des ensembles \(A_j, B_j, C_j\) et des applications \(A_j \to B_j\), \(C_j \to B_j\) pour \(j \in J\), il faut montrer que \[(\coprod\nolimits_{j \in J} A_j) \times_{(\coprod\nolimits_{j \in J} B_j)} (\coprod\nolimits_{j \in J} C_j) = \coprod\nolimits_{j \in J} A_j \times_{B_j} C_j\] et, étant données \(a_j, a'_j : A_j \to B_j\), que \[\text{Égalisateur}( \coprod\nolimits_{j \in J} a_j, \coprod\nolimits_{j \in J} a'_j) = \coprod\nolimits_{j \in J} \text{Égalisateur}(a_j, a'_j)\] Cela reste vrai si \(J = \emptyset\). Les détails sont omis.

Limites projectives cofiltrantes

Les limites projectives sont plus faciles à calculer ou à décrire lorsqu’elles portent sur un diagramme cofiltrant. En voici la définition.

Définition

On dit qu’un diagramme \(M : \mathcal{I} \to \mathcal{C}\) est codirigé ou cofiltrant si les conditions suivantes sont satisfaites :

1. la catégorie \(\mathcal{I}\) possède au moins un objet ;

2. pour toute paire d’objets \(x, y\) de \(\mathcal{I}\), il existe un objet \(z\) et des morphismes \(z \to x\), \(z \to y\) ;

3. pour toute paire d’objets \(x, y\) de \(\mathcal{I}\) et toute paire de morphismes \(a, b : x \to y\) de \(\mathcal{I}\), il existe un morphisme \(c : w \to x\) de \(\mathcal{I}\) tel que \(M(a \circ c) = M(b \circ c)\) comme morphismes dans \(\mathcal{C}\).

On dit qu’une catégorie d’indices \(\mathcal{I}\) est codirigée, ou cofiltrante, si \(\text{id} : \mathcal{I} \to \mathcal{I}\) est cofiltrant (autrement dit, on efface le \(M\) dans la partie (3) ci-dessus).

On observe que tout diagramme dont la catégorie d’indices est cofiltrante est cofiltrant ; c’est sous cette forme que la situation se présente habituellement.

Pour illustrer en quoi les limites projectives cofiltrantes d’ensembles sont « plus faciles » que les limites projectives générales, signalons qu’un diagramme cofiltrant d’ensembles finis non vides a une limite non vide (lemme 086J). Ce résultat n’est pas vrai pour une limite générale d’ensembles finis non vides.

Limites projectives et inductives sur des ensembles préordonnés

Les systèmes sur des ensembles préordonnés constituent un cas particulier de diagrammes.

Définition

Soit \(I\) un ensemble et soit \(\leq\) une relation binaire sur \(I\).

1. On dit que \(\leq\) est un préordre si cette relation est transitive (si \(i \leq j\) et \(j \leq k\), alors \(i \leq k\)) et réflexive (\(i \leq i\) pour tout \(i \in I\)).

2. Un ensemble préordonné est un ensemble muni d’un préordre.

3. Un ensemble ordonné filtrant est un ensemble préordonné \((I, \leq)\) tel que \(I\) soit non vide et tel que \(\forall i, j \in I\), il existe \(k \in I\) vérifiant \(i \leq k, j \leq k\).

4. On dit que \(\leq\) est un ordre partiel si c’est un préordre antisymétrique (si \(i \leq j\) et \(j \leq i\), alors \(i = j\)).

5. Un ensemble partiellement ordonné est un ensemble muni d’un ordre partiel.

6. Un ensemble partiellement ordonné filtrant est un ensemble ordonné filtrant dont l’ordre est partiel.

Il est d’usage d’omettre \(\leq\) de la notation lorsqu’on parle d’ensembles préordonnés, c’est-à-dire de parler de l’ensemble préordonné \(I\) plutôt que de l’ensemble préordonné \((I, \leq)\). Étant donné un ensemble préordonné \(I\), le symbole \(\geq\) est défini par la règle \(i \geq j \Leftrightarrow j \leq i\) pour tous \(i, j \in I\). L’abréviation anglaise « poset » est parfois employée pour désigner un ensemble partiellement ordonné.

À tout ensemble préordonné \(I\), on peut associer une catégorie : ses objets sont les éléments de \(I\), il existe exactement un morphisme \(i \to i'\) si \(i \leq i'\), et il n’en existe aucun sinon. Réciproquement, étant donnée une catégorie \(\mathcal{C}\) ayant au plus une flèche entre deux objets quelconques, l’ensemble \(\Ob(\mathcal{C})\) est muni du préordre défini par la règle \(x \leq y \Leftrightarrow \Mor_\mathcal{C}(x, y) \not = \emptyset\).

Définition

Soit \((I, \leq)\) un ensemble préordonné. Soit \(\mathcal{C}\) une catégorie.

1. Un système sur \(I\) à valeurs dans \(\mathcal{C}\), parfois appelé système inductif sur \(I\) à valeurs dans \(\mathcal{C}\), est la donnée d’objets \(M_i\) de \(\mathcal{C}\) et, pour chaque \(i \leq i'\), d’un morphisme \(f_{ii'} : M_i \to M_{i'}\) tel que \(f_{ii} = \text{id}\) et \(f_{ii''} = f_{i'i''} \circ f_{i i'}\) dès que \(i \leq i' \leq i''\).

2. Un système inverse sur \(I\) à valeurs dans \(\mathcal{C}\), parfois appelé système projectif sur \(I\) à valeurs dans \(\mathcal{C}\), est la donnée d’objets \(M_i\) de \(\mathcal{C}\) et, pour chaque \(i' \leq i\), d’un morphisme \(f_{ii'} : M_i \to M_{i'}\) tel que \(f_{ii} = \text{id}\) et \(f_{ii''} = f_{i'i''} \circ f_{i i'}\) dès que \(i'' \leq i' \leq i\). (Remarquer le renversement des inégalités.)

On écrira \((M_i, f_{ii'})\) pour désigner un système de l’un ou l’autre type sur \(I\). Les morphismes \(f_{ii'}\) sont parfois appelés les morphismes de transition.

Autrement dit, un système sur \(I\) n’est autre qu’un diagramme \(M : \mathcal{I} \to \mathcal{C}\), où \(\mathcal{I}\) est la catégorie associée ci-dessus à \(I\) : ses objets sont les éléments de \(I\) et il existe une unique flèche \(i \to i'\) dans \(\mathcal{I}\) si et seulement si \(i \leq i'\). Un système inverse est un diagramme \(M : \mathcal{I}^{opp} \to \mathcal{C}\). De ce point de vue, on pourrait prendre les limites et colimites de tout système, inverse ou non, sur \(I\). Toutefois, il est d’usage de ne prendre que les limites inductives des systèmes sur \(I\) et que les limites projectives des systèmes inverses sur \(I\). Plus précisément, étant donné un système \((M_i, f_{ii'})\) sur \(I\), la limite inductive du système \((M_i, f_{ii'})\) est définie par \[\colim_{i \in I} M_i = \colim_\mathcal{I} M,\] c’est-à-dire comme la limite inductive du diagramme correspondant. Étant donné un système inverse \((M_i, f_{ii'})\) sur \(I\), la limite projective du système inverse \((M_i, f_{ii'})\) est définie par \[\lim_{i \in I} M_i = \lim_{\mathcal{I}^{opp}} M,\] c’est-à-dire comme la limite projective du diagramme correspondant.

Remarque

Soit \(I\) un ensemble préordonné. À partir de \(I\), on peut construire un ensemble partiellement ordonné canonique \(\overline{I}\) et une application croissante \(\pi : I \to \overline{I}\). En effet, on peut définir une relation d’équivalence \(\sim\) sur \(I\) par la règle \[i \sim j \Leftrightarrow (i \leq j\text{ et }j \leq i).\] On pose \(\overline{I} = I/\sim\) et l’on note \(\pi : I \to \overline{I}\) l’application quotient. Enfin, \(\overline{I}\) est muni d’un unique ordre partiel tel que \(\pi(i) \leq \pi(j) \Leftrightarrow i \leq j\). Remarquons que, si \(I\) est un ensemble ordonné filtrant, alors \(\overline{I}\) est un ensemble partiellement ordonné filtrant. Étant donné un système, inverse ou non, \(N\) sur \(\overline{I}\), on obtient un système du même type \(M\) sur \(I\) en posant \(M_i = N_{\pi(i)}\). Cette construction définit un foncteur entre les catégories de systèmes, inverses ou non, sur \(I\) et sur \(\overline{I}\). C’est en fait une équivalence. La raison en est que, si \(i \sim j\), alors, pour tout système \(M\) sur \(I\), les morphismes \(M_i \to M_j\) et \(M_j \to M_i\) sont des isomorphismes réciproques. Plus précisément, si l’on choisit une section \(s : \overline{I} \to I\) de \(\pi\), un quasi-inverse du foncteur précédent envoie \(M\) sur \(N\) défini par \(N_{\overline{i}} = M_{s(\overline{i})}\). Enfin, cette correspondance est compatible avec les limites inductives des systèmes : si \(M\) et \(N\) sont reliés comme ci-dessus et si l’une des limites \(\colim_{\overline{I}} N\) ou \(\colim_I M\) existe, alors l’autre existe aussi et \(\colim_{\overline{I}} N = \colim_I M\). Des résultats analogues valent pour les systèmes inverses et leurs limites projectives.

Il résulte de la remarque 0CN1 que, lorsqu’on calcule la limite inductive d’un système ou la limite projective d’un système inverse, on peut toujours supposer que le préordre est un ordre partiel.

Définition

Soit \(I\) un ensemble préordonné. On dit qu’un système (resp. un système inverse) \((M_i, f_{ii'})\) est un système filtrant (resp. un système inverse filtrant) si \(I\) est un ensemble ordonné filtrant (définition 00D3) : \(I\) est non vide et, pour tous \(i_1, i_2 \in I\), il existe \(i\in I\) tel que \(i_1 \leq i\) et \(i_2 \leq i\).

Dans ce cas, la limite inductive est parfois appelée (malheureusement) « limite directe ». Nous n’emploierons pas cette dernière terminologie. En fait, les diagrammes sur une catégorie filtrante ne sont pas plus généraux que les systèmes filtrants, au sens suivant.

Lemme

Soit \(\mathcal{I}\) une catégorie d’indices filtrante. Il existe un ensemble ordonné filtrant \(I\) et un système \((x_i, \varphi_{ii'})\) sur \(I\) à valeurs dans \(\mathcal{I}\) possédant les propriétés suivantes :

1. Pour toute catégorie \(\mathcal{C}\) et tout diagramme \(M : \mathcal{I} \to \mathcal{C}\) à valeurs dans \(\mathcal{C}\), notons \((M(x_i), M(\varphi_{ii'}))\) le système correspondant sur \(I\). Si \(\colim_{i \in I} M(x_i)\) existe, alors \(\colim_\mathcal{I} M\) existe aussi et la transformation \[\theta : \colim_{i \in I} M(x_i) \longrightarrow \colim_\mathcal{I} M\] du lemme 002K est un isomorphisme.

2. Pour toute catégorie \(\mathcal{C}\) et tout diagramme \(M : \mathcal{I}^{opp} \to \mathcal{C}\) à valeurs dans \(\mathcal{C}\), notons \((M(x_i), M(\varphi_{ii'}))\) le système inverse correspondant sur \(I\). Si \(\lim_{i \in I} M(x_i)\) existe, alors \(\lim_{\mathcal{I}^{opp}} M\) existe aussi et la transformation \[\theta : \lim_{\mathcal{I}^{opp}} M \longrightarrow \lim_{i \in I} M(x_i)\] du lemme 002L est un isomorphisme.

Démonstration

Comme expliqué dans le texte qui suit la définition 0030, on peut considérer les ensembles préordonnés comme des catégories et les systèmes comme des foncteurs. Tout au long de la preuve, nous passerons librement d’un point de vue à l’autre. Nous démontrons le premier énoncé en construisant une catégorie \(\mathcal{I}_0\) correspondant à un ensemble ordonné filtrant², et un foncteur cofinal \(M_0 : \mathcal{I}_0 \to \mathcal{I}\). Alors, d’après le lemme 04E7, la limite inductive d’un diagramme \(M : \mathcal{I} \to \mathcal{C}\) coïncide avec celle du diagramme \(M \circ M_0 : \mathcal{I}_0 \to \mathcal{C}\), d’où l’énoncé. Le second énoncé est dual du premier et peut se démontrer en interprétant une limite projective dans \(\mathcal{C}\) comme une limite inductive dans \(\mathcal{C}^{opp}\). Nous omettons les détails.

Une catégorie \(\mathcal{F}\) est dite finiment engendrée s’il existe un ensemble fini \(F\) de flèches de \(\mathcal{F}\) tel que toute flèche de \(\mathcal{F}\) s’obtienne en composant des flèches de \(F\). Cela implique en particulier que \(\mathcal{F}\) possède un nombre fini d’objets. Commençons par nous ramener au cas où \(\mathcal{I}\) possède la propriété suivante : toute sous-catégorie finiment engendrée de \(\mathcal{I}\) est contenue dans une sous-catégorie finiment engendrée ayant un unique objet final.

Notons \(\omega\) l’ensemble ordonné filtrant des ordinaux finis, que nous considérons comme une catégorie filtrante. On vérifie aisément que la catégorie produit \(\mathcal{I}\times \omega\) est elle aussi filtrante et que la projection \(\Pi : \mathcal{I} \times \omega \to \mathcal{I}\) est cofinale.

Soit maintenant \(\mathcal{F}\) une sous-catégorie finiment engendrée quelconque de \(\mathcal{I}\times \omega\). À l’aide des axiomes d’une catégorie filtrante et d’une récurrence simple sur un ensemble fini de générateurs de \(\mathcal{F}\), on peut construire un cocône \((\{f_i\}, i_\infty)\) dans \(\mathcal{I} \times \omega\) pour le diagramme \(\mathcal{F} \to \mathcal{I} \times \omega\). Autrement dit, on dispose d’un morphisme \(f_i : i \to i_\infty\) pour chaque objet \(i\) de \(\mathcal{F}\), tel que, pour toute flèche \(f : i \to i'\) de \(\mathcal{F}\), on ait \(f_i = f_{i'} \circ f\). On peut en outre choisir \(i_\infty\) de sorte qu’il n’existe aucune flèche de \(i_\infty\) vers un objet de \(\mathcal{F}\). Cela est possible puisqu’on peut toujours composer à gauche les flèches \(f_i\) avec une flèche qui est l’identité sur la composante \(\mathcal{I}\) et strictement croissante sur la composante \(\omega\). Notons maintenant \(\mathcal{F}^+\) la catégorie formée de tous les objets et de toutes les flèches de \(\mathcal{F}\), auxquels on adjoint l’objet \(i_\infty\), la flèche identité \(\text{id}_{i_\infty}\) et les flèches \(f_i\). Comme aucune flèche de \(i_\infty\) dans \(\mathcal{F}^+\) n’aboutit à un objet de \(\mathcal{F}\), l’ensemble des flèches de \(\mathcal{F}^+\) est stable par composition ; \(\mathcal{F}^+\) est donc bien une catégorie. Par construction, c’est une sous-catégorie finiment engendrée de \(\mathcal{I}\) dont \(i_\infty\) est l’unique objet final. Puisque, d’après le lemme 04E7, la limite inductive de tout diagramme \(M : \mathcal{I} \to \mathcal{C}\) coïncide avec celle de \(M\circ\Pi\), on obtient ainsi la réduction voulue.

L’ensemble de toutes les sous-catégories finiment engendrées de \(\mathcal{I}\) ayant un unique objet final est naturellement ordonné par inclusion. On prend pour \(\mathcal{I}_0\) la catégorie correspondant à cet ensemble. On dispose aussi d’un foncteur \(M_0 : \mathcal{I}_0 \to \mathcal{I}\) qui envoie une flèche \(\mathcal{F} \subset \mathcal{F'}\) de \(\mathcal{I}_0\) sur l’unique morphisme de l’objet final de \(\mathcal{F}\) vers l’objet final de \(\mathcal{F}'\). Étant données deux sous-catégories finiment engendrées quelconques de \(\mathcal{I}\), la catégorie qu’elles engendrent est elle aussi finiment engendrée. D’après l’hypothèse faite sur \(\mathcal{I}\), elle est donc contenue dans une sous-catégorie finiment engendrée de \(\mathcal{I}\) ayant un unique objet final. Cela montre que \(\mathcal{I}_0\) est filtrante.

Vérifions enfin que \(M_0\) est cofinal. Tout objet de \(\mathcal{I}\) étant l’objet final de la sous-catégorie formée de ce seul objet et de sa flèche identité, le foncteur \(M_0\) est surjectif sur les objets. La condition (1) de la définition 04E6 est donc satisfaite. Étant donnés un objet \(i\) de \(\mathcal{I}\), des objets \(\mathcal{F}_1, \mathcal{F}_2\) de \(\mathcal{I}_0\) et des morphismes \(\varphi_1 : i \to M_0(\mathcal{F}_1)\) et \(\varphi_2 : i \to M_0(\mathcal{F}_2)\) dans \(\mathcal{I}\), on peut prendre pour \(\mathcal{F}_{12}\) une catégorie finiment engendrée ayant un unique objet final et contenant \(\mathcal{F}_1\), \(\mathcal{F}_2\) ainsi que les morphismes \(\varphi_1, \varphi_2\). Le diagramme obtenu est commutatif : \[\xymatrix{ & M_0(\mathcal{F}_{12}) & \\ M_0(\mathcal{F}_{1}) \ar[ru] & & M_0(\mathcal{F}_{2}) \ar[lu] \\ & i \ar[lu] \ar[ru] }\] car il se trouve dans la catégorie \(\mathcal{F}_{12}\) et \(M_0(\mathcal{F}_{12})\) est final dans cette catégorie. La condition (2) est donc elle aussi satisfaite, ce qui achève la preuve.

Remarque

Remarquons qu’un ensemble ordonné filtrant fini \((I, \geq)\) possède toujours un plus grand élément \(i_\infty\). Toute limite inductive d’un système \((M_i, f_{ii'})\) sur un tel ensemble est donc triviale, au sens où elle est égale à \(M_{i_\infty}\). En revanche, une limite inductive indexée par une catégorie filtrante finie n’est pas nécessairement triviale. Par exemple, soit \(\mathcal{I}\) la catégorie ayant un unique objet \(i\) et un unique morphisme non trivial \(e\) satisfaisant \(e = e \circ e\). La limite inductive d’un diagramme \(M : \mathcal{I} \to Ensembles\) est l’image de l’idempotent \(M(e)\). Cela montre qu’un artifice tel que le passage à \(\mathcal{I}\times \omega\) dans la preuve du lemme 0032 est essentiel.

Lemme

Si \(S : \mathcal{I} \to \textit{Ensembles}\) est un diagramme cofiltrant d’ensembles et si tous les \(S_i\) sont finis et non vides, alors \(\lim_i S_i\) est non vide. Autrement dit, la limite projective d’un système inverse filtrant d’ensembles finis non vides est non vide.

Démonstration

Les deux énoncés sont équivalents d’après le lemme 0032. Soit \(I\) un ensemble ordonné filtrant et soit \((S_i)_{i \in I}\) un système inverse d’ensembles finis non vides sur \(I\). Appelons sous-système \(T\) une famille \(T = (T_i)_{i \in I}\) de parties non vides \(T_i \subset S_i\) telle que \(T_{i'}\) soit envoyé dans \(T_i\) par le morphisme de transition \(S_{i'} \to S_i\) pour tout \(i' \geq i\). Notons \(\mathcal{T}\) l’ensemble des sous-systèmes et ordonnons \(\mathcal{T}\) par inclusion. Supposons que les \(T_\alpha\), \(\alpha \in A\), forment une famille totalement ordonnée d’éléments de \(\mathcal{T}\). Écrivons \(T_\alpha = (T_{\alpha, i})_{i \in I}\). On peut alors trouver un minorant \(T = (T_i)_{i \in I}\) en posant \(T_i = \bigcap_{\alpha \in A} T_{\alpha, i}\) ; c’est manifestement une partie finie non vide de \(S_i\), puisque tous les \(T_{\alpha, i}\) sont non vides et que les \(T_\alpha\) forment une famille totalement ordonnée. Le lemme de Zorn montre donc que \(\mathcal{T}\) possède des éléments minimaux.

Analysons la forme d’un élément minimal \(T \in \mathcal{T}\). Remarquons d’abord que toutes les applications \(T_{i'} \to T_i\) sont surjectives. En effet, puisque \(I\) est un ensemble ordonné filtrant et que \(T_i\) est fini, l’intersection \(T'_i = \bigcap_{i' \geq i} \Im(T_{i'} \to T_i)\) est non vide. Ainsi, \(T' = (T'_i)\) est un sous-système contenu dans \(T\) et, par minimalité, \(T' = T\). Enfin, affirmons que \(T_i\) est un singleton pour tout \(i\). En effet, si \(x \in T_i\), on peut définir \(T'_{i'} = (T_{i'} \to T_i)^{-1}(\{x\})\) pour \(i' \geq i\) et \(T'_j = T_j\) si \(j \not \geq i\). Il s’agit encore d’un sous-système, car on a vu ci-dessus que les morphismes de transition du sous-système \(T\) sont surjectifs. Par minimalité, \(T = T'\), ce qui implique bien que \(T_i\) est un singleton. Cela vaut pour chaque \(i \in I\) ; on a donc \(T_i = \{x_i\}\) pour un certain \(x_i \in S_i\), avec \(x_{i'} \mapsto x_i\) par l’application \(S_{i'} \to S_i\) pour tout \(i' \geq i\). Autrement dit, \((x_i) \in \lim S_i\), ce qui démontre le lemme.

Systèmes essentiellement constants

Soit \(M : \mathcal{I} \to \mathcal{C}\) un diagramme à valeurs dans une catégorie \(\mathcal{C}\). Supposons la catégorie d’indices \(\mathcal{I}\) filtrante. Il existe alors trois notions, de plus en plus fortes, qui distinguent un objet \(X\) de \(\mathcal{C}\). La première est simplement \[X = \colim_{i \in \mathcal{I}} M_i.\] L’objet \(X\) est alors muni des coprojections \(M_i \to X\). Une condition plus forte consisterait à exiger que \(X\) soit la limite inductive et qu’il existe \(i \in \mathcal{I}\) et un morphisme \(X \to M_i\) tels que la composée \(X \to M_i \to X\) soit \(\text{id}_X\). Voici une condition encore plus forte.

Définition

Soit \(M : \mathcal{I} \to \mathcal{C}\) un diagramme à valeurs dans une catégorie \(\mathcal{C}\).

1. Supposons la catégorie d’indices \(\mathcal{I}\) filtrante et soit \((X, \{M_i \to X\}_i)\) un cocône de \(M\), voir la remarque 0G2U. On dit que \(M\) est essentiellement constant de valeur \(X\) s’il existe un \(i \in \mathcal{I}\) et un morphisme \(X \to M_i\) tels que

   1. \(X \to M_i \to X\) soit \(\text{id}_X\) ;

   2. pour tout \(j\), il existe \(k\) et des morphismes \(i \to k\) et \(j \to k\) tels que le morphisme \(M_j \to M_k\) soit égal à la composée \(M_j \to X \to M_i \to M_k\).

2. Supposons la catégorie d’indices \(\mathcal{I}\) cofiltrante et soit \((X, \{X \to M_i\}_i)\) un cône de \(M\), voir la remarque 0G2U. On dit que \(M\) est essentiellement constant de valeur \(X\) s’il existe un \(i \in \mathcal{I}\) et un morphisme \(M_i \to X\) tels que

   1. \(X \to M_i \to X\) soit \(\text{id}_X\) ;

   2. pour tout \(j\), il existe \(k\) et des morphismes \(k \to i\) et \(k \to j\) tels que le morphisme \(M_k \to M_j\) soit égal à la composée \(M_k \to M_i \to X \to M_j\).

Lorsqu’on utilise cette définition, il faut garder à l’esprit le lemme 0G2V.

Le contexte indiquera laquelle des deux versions est considérée. En cas d’ambiguïté, on les distinguera en disant, dans le premier cas, que \(M\) est essentiellement constant en tant qu’ind-objet et, dans le second, qu’il est essentiellement constant en tant que pro-objet. Cette terminologie est expliquée plus avant dans les remarques 05PW et 05PX. En fait, nous emploierons souvent l’expression « système essentiellement constant », laquelle, à strictement parler, n’est définie que pour les systèmes sur des ensembles ordonnés filtrants.

Définition

Soit \(\mathcal{C}\) une catégorie. Un système filtrant \((M_i, f_{ii'})\) est un système essentiellement constant si \(M\), considéré comme un foncteur \(I \to \mathcal{C}\), définit un diagramme essentiellement constant. Un système inverse filtrant \((M_i, f_{ii'})\) est un système inverse essentiellement constant si \(M\), considéré comme un foncteur \(I^{opp} \to \mathcal{C}\), définit un diagramme inverse essentiellement constant.

Si \((M_i, f_{ii'})\) est un système essentiellement constant et si les morphismes \(f_{ii'}\) sont des monomorphismes, alors, pour tous \(i \leq i'\) suffisamment grands, les morphismes \(f_{ii'}\) sont des isomorphismes. Considérons en revanche le système \[\mathbf{Z}^2 \to \mathbf{Z}^2 \to \mathbf{Z}^2 \to \ldots\] dont les applications sont données par \((a, b) \mapsto (a + b, 0)\). Ce système est essentiellement constant de valeur \(\mathbf{Z}\), mais tout morphisme de transition possède un noyau.

Voici un exemple de système qui n’est pas essentiellement constant. Posons \(M = \bigoplus_{n \geq 0} \mathbf{Z}\) et soit \(S : M \to M\) l’opérateur de décalage \((a_0, a_1, \ldots) \mapsto (a_1, a_2, \ldots)\). Alors le système \(M \to M \to M \to \ldots\) dont les morphismes de transition sont \(S\) a pour limite inductive \(0\), et la composée \(0 \to M \to 0\) est l’identité, mais ce système n’est pas essentiellement constant.

Le lemme suivant est un contrôle de cohérence élémentaire.

Lemme

Soit \(M : \mathcal{I} \to \mathcal{C}\) un diagramme. Si \(\mathcal{I}\) est filtrante et si \(M\) est essentiellement constant en tant qu’ind-objet, alors \(X = \colim M_i\) existe et \(M\) est essentiellement constant de valeur \(X\). Si \(\mathcal{I}\) est cofiltrante et si \(M\) est essentiellement constant en tant que pro-objet, alors \(X = \lim M_i\) existe et \(M\) est essentiellement constant de valeur \(X\).

Démonstration

Omis. C’est un bon exercice sur les définitions.

Remarque

Soit \(\mathcal{C}\) une catégorie. Il existe une grande catégorie \(\text{Ind-}\mathcal{C}\) des ind-objets de \(\mathcal{C}\). En effet, si \(F : \mathcal{I} \to \mathcal{C}\) et \(G : \mathcal{J} \to \mathcal{C}\) sont des diagrammes filtrants à valeurs dans \(\mathcal{C}\), on peut définir \[\Mor_{\text{Ind-}\mathcal{C}}(F, G) = \lim_i \colim_j \Mor_\mathcal{C}(F(i), G(j)).\] Il existe un foncteur canonique \(\mathcal{C} \to \text{Ind-}\mathcal{C}\) qui envoie \(X\) sur le système constant de valeur \(X\). C’est un plongement pleinement fidèle. Dans ce langage, on voit qu’un diagramme \(F\) est essentiellement constant si et seulement si \(F\) est isomorphe à un système constant. Si nous avons un jour besoin de ce résultat, nous l’énoncerons sous forme de lemme et le démontrerons ici.

Remarque

Soit \(\mathcal{C}\) une catégorie. Il existe une grande catégorie \(\text{Pro-}\mathcal{C}\) des pro-objets de \(\mathcal{C}\). En effet, si \(F : \mathcal{I} \to \mathcal{C}\) et \(G : \mathcal{J} \to \mathcal{C}\) sont des diagrammes cofiltrants à valeurs dans \(\mathcal{C}\), on peut définir \[\Mor_{\text{Pro-}\mathcal{C}}(F, G) = \lim_j \colim_i \Mor_\mathcal{C}(F(i), G(j)).\] Il existe un foncteur canonique \(\mathcal{C} \to \text{Pro-}\mathcal{C}\) qui envoie \(X\) sur le système constant de valeur \(X\). C’est un plongement pleinement fidèle. Dans ce langage, on voit qu’un diagramme \(F\) est essentiellement constant si et seulement si \(F\) est isomorphe à un système constant. Si nous avons un jour besoin de ce résultat, nous l’énoncerons sous forme de lemme et le démontrerons ici.

Exemple

Soit \(\mathcal{C}\) une catégorie. Soient \((X_n)\) et \((Y_n)\) des systèmes inverses dans \(\mathcal{C}\) sur \(\mathbf{N}\) muni de l’ordre usuel. Schématiquement : \[\ldots \to X_3 \to X_2 \to X_1 \quad\text{et}\quad \ldots \to Y_3 \to Y_2 \to Y_1\] Soit \(a : (X_n) \to (Y_n)\) un morphisme de pro-objets de \(\mathcal{C}\). Quelles données représente \(a\) ? Pour chaque \(n \in \mathbf{N}\), il devrait exister un \(m(n)\) et un morphisme \(a_n : X_{m(n)} \to Y_n\). Ces morphismes devraient être compatibles au sens suivant : pour tout \(n' \geq n\), il existe un \(m(n', n) \geq m(n'), m(n)\) tel que le diagramme \[\xymatrix{ X_{m(n, n')} \ar[rr] \ar[d] & & X_{m(n)} \ar[d]^{a_n} \\ X_{m(n')} \ar[r]^{a_{n'}} & Y_{n'} \ar[r] & Y_n }\] soit commutatif. Après avoir remplacé \(m(n)\) par \(\max_{k, l \leq n}\{m(n, k), m(k, l)\}\), on voit que l’on obtient \(\ldots \geq m(3) \geq m(2) \geq m(1)\) et un diagramme commutatif \[\xymatrix{ \ldots \ar[r] & X_{m(3)} \ar[d]^{a_3} \ar[r] & X_{m(2)} \ar[d]^{a_2} \ar[r] & X_{m(1)} \ar[d]^{a_1} \\ \ldots \ar[r] & Y_3 \ar[r] & Y_2 \ar[r] & Y_1 }\] Étant donnée une application croissante \(m' : \mathbf{N} \to \mathbf{N}\) telle que \(m' \geq m\), et en posant \(a'_i : X_{m'(i)} \to X_{m(i)} \to Y_i\), la paire \((m', a')\) définit le même morphisme de pro-systèmes. Réciproquement, deux paires \((m_1, a_1)\) et \((m_1, a_2)\) comme ci-dessus définissent le même morphisme de pro-objets si et seulement s’il existe \(m' \geq m_1, m_2\) tel que \(a'_1 = a'_2\).

Remarque

Soit \(\mathcal{C}\) une catégorie. Soient \(F : \mathcal{I} \to \mathcal{C}\) et \(G : \mathcal{J} \to \mathcal{C}\) des diagrammes cofiltrants à valeurs dans \(\mathcal{C}\). Considérons les foncteurs \(A, B : \mathcal{C} \to \textit{Ensembles}\) définis par \[A(X) = \colim_i \Mor_\mathcal{C}(F(i), X) \quad\text{et}\quad B(X) = \colim_j \Mor_\mathcal{C}(G(j), X)\] Nous affirmons qu’un morphisme de pro-systèmes de \(F\) vers \(G\) équivaut à une transformation de foncteurs \(t : B \to A\). En effet, étant donné \(t\), on peut appliquer \(t\) à la classe de \(\text{id}_{G(j)}\) dans \(B(G(j))\) et obtenir un système compatible d’éléments \(\xi_j \in A(G(j)) = \colim_i \Mor_\mathcal{C}(F(i), G(j))\) ; c’est exactement notre définition d’un morphisme dans \(\text{Pro-}\mathcal{C}\) donnée dans la remarque 05PX. Nous omettons la construction d’une transformation \(B \to A\) à partir d’un morphisme de pro-objets de \(F\) vers \(G\).

Lemme

Soit \(\mathcal{C}\) une catégorie. Soit \(M : \mathcal{I} \to \mathcal{C}\) un diagramme dont la catégorie d’indices \(\mathcal{I}\) est filtrante (resp. cofiltrante). Soit \(F : \mathcal{C} \to \mathcal{D}\) un foncteur. Si \(M\) est essentiellement constant en tant qu’ind-objet (resp. pro-objet), alors il en va de même de \(F \circ M : \mathcal{I} \to \mathcal{D}\).

Démonstration

Si \(X\) est une valeur de \(M\), il découle immédiatement de la définition que \(F(X)\) est une valeur de \(F \circ M\).

Lemme

Soit \(\mathcal{C}\) une catégorie. Soit \(M : \mathcal{I} \to \mathcal{C}\) un diagramme dont la catégorie d’indices \(\mathcal{I}\) est filtrante. Les assertions suivantes sont équivalentes :

1. \(M\) est un ind-objet essentiellement constant ;

2. il existe un cocône \((X, \{M_i \to X\}_i)\) tel que, pour tout \(W\) dans \(\mathcal{C}\), l’application \(\colim_i \Mor_\mathcal{C}(W, M_i) \to \Mor_\mathcal{C}(W, X)\) soit bijective ;

3. \(X = \colim_i M_i\) existe et, pour tout \(W\) dans \(\mathcal{C}\), l’application \(\colim_i \Mor_\mathcal{C}(W, M_i) \to \Mor_\mathcal{C}(W, X)\) est bijective ;

4. il existe un \(i\) dans \(\mathcal{I}\) et un morphisme \(X \to M_i\) tel que, pour tout \(W\) dans \(\mathcal{C}\), l’application \(\Mor_\mathcal{C}(W, X) \to \colim_{j \in \mathcal{I}} \Mor_\mathcal{C}(W, M_j)\) soit bijective.

Dans les cas (2), (3) et (4), la valeur du système essentiellement constant est \(X\).

Démonstration

Il est clair que (3) implique (2). Supposons (2). Alors \(\text{id}_X \in \Mor_\mathcal{C}(X, X)\) provient d’un morphisme \(X \to M_i\) pour un certain \(i\), c’est-à-dire que \(X \to M_i \to X\) est l’identité. Les deux applications \[\Mor_\mathcal{C}(W, X) \longrightarrow \colim_i \Mor_\mathcal{C}(W, M_i) \longrightarrow \Mor_\mathcal{C}(W, X)\] sont alors bijectives pour tout \(W\) ; la première est induite par le morphisme \(X \to M_i\) trouvé ci-dessus et leur composée est l’identité. Cela signifie que la composée \[\colim_i \Mor_\mathcal{C}(W, M_i) \longrightarrow \Mor_\mathcal{C}(W, X) \longrightarrow \colim_i \Mor_\mathcal{C}(W, M_i)\] est elle aussi l’identité. En prenant \(W = M_j\) et en partant de \(\text{id}_{M_j}\) dans la limite inductive, on voit que \(M_j \to X \to M_i \to M_k\) est égal à \(M_j \to M_k\) pour un certain \(k\) suffisamment loin dans le système. Cela démontre (1).

Supposons (4). Soit \(k\) un objet de \(\mathcal{I}\). En prenant \(W = M_k\), on déduit qu’il existe un unique morphisme \(M_k \to X\) tel qu’il existe un \(j\) et des morphismes \(k \to j\) et \(i \to j\) dans \(\mathcal{I}\) pour lesquels \(M_k \to X \to M_i \to M_j\) est égal à \(M_k \to M_j\). L’unicité garantit que l’on obtient ainsi un cocône \((X, \{M_k \to X\})\). On voit de cette manière que (4) implique (2) ; certains détails sont omis.

Nous omettons la preuve que (1) implique les autres assertions.

Lemme

Soit \(\mathcal{C}\) une catégorie. Soit \(M : \mathcal{I} \to \mathcal{C}\) un diagramme dont la catégorie d’indices \(\mathcal{I}\) est cofiltrante. Les assertions suivantes sont équivalentes :

1. \(M\) est un pro-objet essentiellement constant ;

2. il existe un cône \((X, \{X \to M_i\})\) tel que, pour tout \(W\) dans \(\mathcal{C}\), l’application \(\colim_{i \in \mathcal{I}^{opp}} \Mor_\mathcal{C}(M_i, W) \to \Mor_\mathcal{C}(X, W)\) soit bijective ;

3. \(X = \lim_i M_i\) existe et, pour tout \(W\) dans \(\mathcal{C}\), l’application \(\colim_{i \in \mathcal{I}^{opp}} \Mor_\mathcal{C}(M_i, W) \to \Mor_\mathcal{C}(X, W)\) est bijective ;

4. il existe un \(i\) dans \(\mathcal{I}\) et un morphisme \(M_i \to X\) tel que, pour tout \(W\) dans \(\mathcal{C}\), l’application \(\Mor_\mathcal{C}(X, W) \to \colim_{j \in \mathcal{I}^{opp}} \Mor_\mathcal{C}(M_j, W)\) soit bijective.

Dans les cas (2), (3) et (4), la valeur du système essentiellement constant est \(X\).

Démonstration

Ce lemme est dual du lemme 05PY.

Lemme

Soit \(\mathcal{C}\) une catégorie. Soit \(H : \mathcal{I} \to \mathcal{J}\) un foncteur entre catégories d’indices filtrantes. Si \(H\) est cofinal, alors tout diagramme \(M : \mathcal{J} \to \mathcal{C}\) est essentiellement constant si et seulement si \(M \circ H\) est essentiellement constant.

Démonstration

Cela résulte formellement des lemmes 05PY et 04E7.

Lemme

Soient \(\mathcal{I}\) et \(\mathcal{J}\) des catégories filtrantes et notons \(p : \mathcal{I} \times \mathcal{J} \to \mathcal{J}\) la projection. Alors \(\mathcal{I} \times \mathcal{J}\) est filtrante, et un diagramme \(M : \mathcal{J} \to \mathcal{C}\) est essentiellement constant si et seulement si \(M \circ p : \mathcal{I} \times \mathcal{J} \to \mathcal{C}\) est essentiellement constant.

Démonstration

Nous omettons la vérification que \(\mathcal{I} \times \mathcal{J}\) est filtrante. L’équivalence résulte du lemme 0A1S, car \(p\) est cofinal (vérification omise).

Lemme

Soit \(\mathcal{C}\) une catégorie. Soit \(H : \mathcal{I} \to \mathcal{J}\) un foncteur entre catégories d’indices cofiltrantes. Si \(H\) est initial, alors tout diagramme \(M : \mathcal{J} \to \mathcal{C}\) est essentiellement constant si et seulement si \(M \circ H\) est essentiellement constant.

Démonstration

Cela résulte formellement des lemmes 05PZ, 002R, 04E7, et du fait que, si \(\mathcal{I}\) est initiale dans \(\mathcal{J}\), alors \(\mathcal{I}^{opp}\) est cofinale dans \(\mathcal{J}^{opp}\).

Foncteurs exacts

Dans cette section, nous définissons les foncteurs exacts.

Définition

Soit \(F : \mathcal{A} \to \mathcal{B}\) un foncteur.

1. Supposons que toutes les limites finies existent dans \(\mathcal{A}\). Nous disons que \(F\) est exact à gauche s’il commute avec toutes les limites finies.

2. Supposons que toutes les colimites finies existent dans \(\mathcal{A}\). Nous disons que \(F\) est exact à droite s’il commute avec toutes les colimites finies.

3. Nous disons que \(F\) est exact s’il est exact à la fois à gauche et à droite.

Lemme

Soit \(F : \mathcal{A} \to \mathcal{B}\) un foncteur. Supposons que toutes les limites finies existent dans \(\mathcal{A}\), voir le lemme 002O. Les assertions suivantes sont équivalentes :

1. \(F\) est exact à gauche,

2. \(F\) commute avec des produits finis et des égalisateurs, et

3. \(F\) transforme un objet final de \(\mathcal{A}\) en un objet final de \(\mathcal{B}\) et commute avec des produits fibrés.

Démonstration

Le lemme 002N montre que (2) implique (1). Supposons que (3) soit vrai. Le produit fibré sur l’objet final est le produit. Si \(a, b : A \to B\) sont des morphismes de \(\mathcal{A}\), alors l’égalisateur de \(a, b\) est \[(A \times_{a, B, b} A)\times_{(\text{pr}_1, \text{pr}_2), A \times A, \Delta} A.\] Ainsi (3) implique (2). Enfin (1) implique (3) car la limite vide est un objet final et les produits fibrés sont des limites.

Lemme

Soit \(F : \mathcal{A} \to \mathcal{B}\) un foncteur. Supposons que toutes les colimites finies existent dans \(\mathcal{A}\), voir le lemme 002Q. Les assertions suivantes sont équivalentes :

1. \(F\) est exact à droite,

2. \(F\) commute avec des coproduits finis et des coégalisateurs, et

3. \(F\) transforme un objet initial de \(\mathcal{A}\) en un objet initial de \(\mathcal{B}\) et commute avec les sommes amalgamées.

Démonstration

Dual du lemme 0035.

Foncteurs adjoints

Définition

Soient \(\mathcal{C}\), \(\mathcal{D}\) des catégories. Soient \(u : \mathcal{C} \to \mathcal{D}\) et \(v : \mathcal{D} \to \mathcal{C}\) des foncteurs. On dit que \(u\) est un adjoint à gauche de \(v\), ou que \(v\) est un adjoint à droite de \(u\) s’il existe des bijections \[\Mor_\mathcal{D}(u(X), Y) \longrightarrow \Mor_\mathcal{C}(X, v(Y))\] fonctorielles en \(X \in \Ob(\mathcal{C})\) et \(Y \in \Ob(\mathcal{D})\).

En d’autres termes, cela signifie que l’on s’est donné un isomorphisme entre les foncteurs \(\mathcal{C}^{opp} \times \mathcal{D} \to \textit{Ensembles}\), allant de \(\Mor_\mathcal{D}(u(-), -)\) à \(\Mor_\mathcal{C}(-, v(-))\). Pour tout objet \(X\) de \(\mathcal{C}\) on obtient un morphisme \(X \to v(u(X))\) correspondant à \(\text{id}_{u(X)}\). De même, pour tout objet \(Y\) de \(\mathcal{D}\) on obtient un morphisme \(u(v(Y)) \to Y\) correspondant à \(\text{id}_{v(Y)}\). Ces morphismes sont appelés morphismes d’adjonction. Les morphismes d’adjonction sont fonctoriels en \(X\) et \(Y\) ; on obtient donc des morphismes de foncteurs \[\eta : \text{id}_\mathcal{C} \to v \circ u\quad (\text{unité}) \quad\text{et}\quad \epsilon : u \circ v \to \text{id}_\mathcal{D}\quad (\text{counité}).\] De plus, si \(\alpha : u(X) \to Y\) et \(\beta : X \to v(Y)\) sont des morphismes, alors les conditions suivantes sont équivalentes

1. \(\alpha\) et \(\beta\) se correspondent via la bijection de la définition,

2. \(\beta\) est la composition \(X \to v(u(X)) \xrightarrow{v(\alpha)} v(Y)\), et

3. \(\alpha\) est la composition \(u(X) \xrightarrow{u(\beta)} u(v(Y)) \to Y\).

On peut ainsi reformuler la notion de foncteurs adjoints en termes de morphismes d’adjonction.

Lemme

Soit \(u : \mathcal{C} \to \mathcal{D}\) un foncteur entre catégories. Si pour chaque \(y \in \Ob(\mathcal{D})\) le foncteur \(x \mapsto \Mor_\mathcal{D}(u(x), y)\) est représentable, alors \(u\) a un adjoint à droite.

Démonstration

Pour chaque \(y\), choisissons un objet \(v(y)\) et un isomorphisme \(\Mor_\mathcal{C}(-, v(y)) \to \Mor_\mathcal{D}(u(-), y)\) de foncteurs. Par le lemme de Yoneda (lemme 001P) pour tout morphisme \(g : y \to y'\) la transformation de foncteurs \[\Mor_\mathcal{C}(-, v(y)) \to \Mor_\mathcal{D}(u(-), y) \to \Mor_\mathcal{D}(u(-), y') \to \Mor_\mathcal{C}(-, v(y'))\] correspond à un morphisme unique \(v(g) : v(y) \to v(y')\). Nous omettons de vérifier que \(v\) est un foncteur et qu’il est adjoint à droite de \(u\).

Lemme

Soit \(u\) un adjoint à gauche de \(v\) comme dans la définition 0037.

1. Si \(v \circ u\) est pleinement fidèle, alors \(u\) est pleinement fidèle.

2. Si \(u \circ v\) est pleinement fidèle, alors \(v\) est pleinement fidèle.

Démonstration

Preuve de (2). Supposons que \(u \circ v\) soit pleinement fidèle. Soient \(X\) et \(Y\) des objets de \(\mathcal{D}\). Alors l’application composite naturelle \[\Mor(X,Y) \to \Mor(v(X),v(Y)) \to \Mor(u(v(X)), u(v(Y)))\] est une bijection, donc \(v\) est au moins fidèle. Pour montrer qu’il est pleinement fidèle, il faut montrer que la deuxième application ci-dessus est injective. Mais l’adjonction entre \(u\) et \(v\) dit que \[\Mor(v(X), v(Y)) \to \Mor(u(v(X)), u(v(Y))) \to \Mor(u(v(X)), Y)\] est une bijection, où la première application est naturelle et la deuxième est induite par la counité \(u(v(Y)) \to Y\) de l’adjonction. Cela signifie donc que \(\Mor(v(X), v(Y)) \to \Mor(u(v(X)), u(v(Y)))\) est également injectif, comme souhaité. La preuve de (1) est duale.

Lemme

Soit \(u\) un adjoint à gauche de \(v\) comme dans la définition 0037. Alors

1. \(u\) est pleinement fidèle \(\Leftrightarrow\) \(\text{id} \cong v \circ u\) \(\Leftrightarrow\) \(\eta : \text{id} \to v \circ u\) est un isomorphisme,

2. \(v\) est pleinement fidèle \(\Leftrightarrow\) \(u \circ v \cong \text{id}\) \(\Leftrightarrow\) \(\epsilon : u \circ v \to \text{id}\) est un isomorphisme.

Démonstration

Preuve de (1). Supposons que \(u\) soit pleinement fidèle. Nous allons montrer que \(\eta_X : X \to v(u(X))\) est un isomorphisme. Considérons un morphisme quelconque \(X' \to v(u(X))\). Par adjonction cela correspond à un morphisme \(u(X') \to u(X)\). Par la pleine fidélité de \(u\), cela correspond à un morphisme unique \(X' \to X\). On voit ainsi que la post-composition par \(\eta_X\) définit une bijection \(\Mor(X', X) \to \Mor(X', v(u(X)))\). Donc \(\eta_X\) est un isomorphisme. S’il existe un isomorphisme \(\text{id} \cong v \circ u\) de foncteurs, alors \(v \circ u\) est pleinement fidèle. Par le lemme 0FWV nous voyons que \(u\) est pleinement fidèle. D’après ce qui précède, cela implique que \(\eta\) est un isomorphisme. Ainsi, les \(3\) conditions sont équivalentes (et ces conditions sont également équivalentes au fait que \(v \circ u\) soit pleinement fidèle).

La partie (2) est duale de la partie (1).

Lemme

Soit \(u\) un adjoint à gauche de \(v\) comme dans la définition 0037.

1. Supposons que \(M : \mathcal{I} \to \mathcal{C}\) soit un diagramme et supposons que \(\colim_\mathcal{I} M\) existe dans \(\mathcal{C}\). Alors \(u(\colim_\mathcal{I} M) = \colim_\mathcal{I} u \circ M\). En d’autres termes, \(u\) commute avec les colimites existantes.

2. Supposons que \(M : \mathcal{I} \to \mathcal{D}\) soit un diagramme et supposons que \(\lim_\mathcal{I} M\) existe dans \(\mathcal{D}\). Alors \(v(\lim_\mathcal{I} M) = \lim_\mathcal{I} v \circ M\). En d’autres termes, \(v\) commute avec les limites existantes.

Démonstration

La donnée d’un morphisme d’une colimite vers un objet équivaut à celle d’un système compatible de morphismes des constituants de la colimite vers l’objet, voir remarque 002H. Alors \[\begin{matrix} \Mor_\mathcal{D}(u(\colim_{i \in \mathcal{I}} M_i), Y) & = & \Mor_\mathcal{C}(\colim_{i \in \mathcal{I}} M_i, v(Y)) \\ & = & \lim_{i \in \mathcal{I}^{opp}} \Mor_\mathcal{C}(M_i, v(Y)) \\ & = & \lim_{i \in \mathcal{I}^{opp}} \Mor_\mathcal{D}(u(M_i), Y) \end{matrix}\] prouve que \(u(\colim_{i \in \mathcal{I}} M_i)\) est la colimite que nous recherchons. Un argument analogue s’applique au second énoncé.

Lemme

Soit \(u\) un adjoint à gauche de \(v\) comme dans la définition 0037.

1. Si \(\mathcal{C}\) a des colimites finies, alors \(u\) est exact à droite.

2. Si \(\mathcal{D}\) a des limites finies, alors \(v\) est exact à gauche.

Démonstration

Évident d’après les définitions et le lemme 0038.

Lemme

Soit \(u : \mathcal{C} \to \mathcal{D}\) un adjoint à gauche du foncteur \(v : \mathcal{D} \to \mathcal{C}\). Soit \(\eta_X : X \to v(u(X))\) l’unité et \(\epsilon_Y : u(v(Y)) \to Y\) la counité. Alors \[u(X) \xrightarrow{u(\eta_X)} u(v(u(X)) \xrightarrow{\epsilon_{u(X)}} u(X) \quad\text{et}\quad v(Y) \xrightarrow{\eta_{v(Y)}} v(u(v(Y))) \xrightarrow{v(\epsilon_Y)} v(Y)\] sont les identités.

Démonstration

Omis.

Lemme

Soient \(u_1, u_2 : \mathcal{C} \to \mathcal{D}\) des foncteurs avec adjoints droits \(v_1, v_2 : \mathcal{D} \to \mathcal{C}\). Soit \(\beta : u_2 \to u_1\) une transformation de foncteurs. Soit \(\beta^\vee : v_1 \to v_2\) la transformation correspondante des foncteurs adjoints. Alors \[\xymatrix{ u_2 \circ v_1 \ar[r]_\beta \ar[d]_{\beta^\vee} & u_1 \circ v_1 \ar[d] \\ u_2 \circ v_2 \ar[r] & \text{id} }\] est commutatif, où les flèches sans étiquette sont les transformations de counité.

Démonstration

Cela est vrai car \(\beta^\vee_D : v_1D \to v_2D\) est le morphisme unique tel que l’application induite \(\Mor(C, v_1D) \to \Mor(C, v_2D)\) soit l’application \(\Mor(u_1C, D) \to \Mor(u_2C, D)\) induite par \(\beta_C : u_2C \to u_1C\). Autrement dit, cela signifie que l’application \[\Mor(u_1 v_1 D, D') \to \Mor(u_2 v_1 D, D')\] induite par \(\beta_{v_1 D}\) est la même que l’application \[\Mor(v_1 D, v_1 D') \to \Mor(v_1 D, v_2 D')\] induite par \(\beta^\vee_{D'}\). En prenant \(D' = D\), nous constatons que la counité \(u_1 v_1 D \to D\) précomposée par \(\beta_{v_1D}\) correspond à \(\beta^\vee_D\) sous adjonction. Cela signifie exactement que le diagramme est commutatif lorsqu’il est évalué sur \(D\).

Lemme

Soient \(\mathcal{A}\), \(\mathcal{B}\) et \(\mathcal{C}\) des catégories. Soient \(v : \mathcal{A} \to \mathcal{B}\) et \(v' : \mathcal{B} \to \mathcal{C}\) des foncteurs ayant pour adjoints à gauche \(u\) et \(u'\) respectivement. Alors

1. Le foncteur \(v'' = v' \circ v\) a un adjoint à gauche égal à \(u'' = u \circ u'\).

2. Étant donné \(X\) dans \(\mathcal{A}\), nous avons [0DV1]\[\begin{equation} \epsilon_X^v \circ u(\epsilon^{v'}_{v(X)}) = \epsilon^{v''}_X : u''(v''(X)) \to X \end{equation}\] où \(\epsilon\) est la counité des adjonctions.

Démonstration

Déroulons la formule de (2) car cela prouvera aussi immédiatement (1). Premièrement, les counités des adjonctions correspondant aux paires \((u, v)\) et \((u', v')\) sont les morphismes \(\epsilon_X^v : u(v(X)) \to X\) et \(\epsilon_Y^{v'} : u'(v'(Y)) \to Y\), voir la discussion qui suit la définition 0037. Avec \(u''\) et \(v''\) comme en (1) on déroule tout \[u''(v''(X)) = u(u'(v'(v(X)))) \xrightarrow{u(\epsilon_{v(X)}^{v'})} u(v(X)) \xrightarrow{\epsilon_X^v} X\] pour obtenir le morphisme du membre de gauche de (0DV1). Notons-le \(\epsilon_X^{v''}\) pour l’instant. Pour voir qu’il s’agit de la counité d’une paire de foncteurs adjoints \((u'', v'')\) il faut montrer qu’étant donné \(Z\) dans \(\mathcal{C}\) la règle qui envoie un morphisme \(\beta : Z \to v''(X)\) à \(\alpha = \epsilon_X^{v''} \circ u''(\beta) : u''(Z) \to X\) est une bijection entre ensembles de morphismes. C’est vrai car il s’agit de la composition de la règle envoyant \(\beta\) à \(\epsilon_{v(X)}^{v'} \circ u'(\beta)\) qui est une bijection par hypothèse sur \((u', v')\) puis envoyant celle-ci à \(\epsilon_X^v \circ u(\epsilon_{v(X)}^{v'} \circ u'(\beta))\) qui est une bijection par hypothèse sur \((u, v)\).

Un critère de représentabilité

Le lemme suivant est souvent utile pour prouver l’existence d’objets universels dans de grandes catégories ; voir la discussion dans la remarque 0AHP.

Lemme

Soit \(\mathcal{C}\) une grande³ catégorie qui a des limites. Soit \(F : \mathcal{C} \to \textit{Ensembles}\) un foncteur. Supposons que

1. \(F\) commute avec les limites,

2. il existe une famille \(\{x_i\}_{i \in I}\) d’objets de \(\mathcal{C}\) et pour chaque \(i \in I\) un élément \(f_i \in F(x_i)\) tel que pour \(y \in \Ob(\mathcal{C})\) et \(g \in F(y)\) il existe un \(i\) et un morphisme \(\varphi : x_i \to y\) avec \(F(\varphi)(f_i) = g\).

Alors \(F\) est représentable, c’est-à-dire qu’il existe un objet \(x\) de \(\mathcal{C}\) tel que \[F(y) = \Mor_\mathcal{C}(x, y)\] fonctoriellement en \(y\).

Démonstration

Soit \(\mathcal{I}\) la catégorie dont les objets sont les couples \((x_i, f_i)\) et dont les morphismes \((x_i, f_i) \to (x_{i'}, f_{i'})\) sont des morphismes \(\varphi : x_i \to x_{i'}\) dans \(\mathcal{C}\) tels que \(F(\varphi)(f_i) = f_{i'}\). Posons \[x = \lim_{(x_i, f_i) \in \mathcal{I}} x_i\] (ce ne sera pas le \(x\) que nous recherchons, voir ci-dessous). La limite existe par hypothèse. Comme \(F\) commute avec les limites, nous avons \[F(x) = \lim_{(x_i, f_i) \in \mathcal{I}} F(x_i).\] Il existe donc un élément universel \(f \in F(x)\) dont l’image est \(f_i \in F(x_i)\) lorsque l’on applique \(F\) au morphisme de projection \(x \to x_i\). En utilisant \(f\) on obtient une transformation de foncteurs \[\xi : \Mor_\mathcal{C}(x, - ) \longrightarrow F(-)\] voir la section 001L. Soit \(y\) un objet quelconque de \(\mathcal{C}\) et soit \(g \in F(y)\). Choisissons \(x_i \to y\) de telle sorte que \(f_i\) corresponde à \(g\), ce qui est possible par hypothèse. Alors \(F\) appliqué aux morphismes \[x \longrightarrow x_i \longrightarrow y\] (le premier étant le morphisme de projection de la limite définissant \(x\)) envoie \(f\) sur \(g\). La transformation \(\xi\) est donc surjective.

Afin de trouver l’objet représentant \(F\), prenons pour \(e : x' \to x\) l’égalisateur de tous les endomorphismes \(\varphi : x \to x\) avec \(F(\varphi)(f) = f\). Puisque \(F\) commute avec les limites, il commute avec les égalisateurs, et nous voyons qu’il existe un élément \(f' \in F(x')\) dont l’image est \(f\) dans \(F(x)\). Puisque \(\xi\) est surjective et que \(f'\) correspond à \(f\), nous voyons que \(\xi' : \Mor_\mathcal{C}(x', -) \to F(-)\) est également surjective. Enfin, supposons que \(a, b : x' \to y\) soient deux morphismes tels que \(F(a)(f') = F(b)(f')\). Nous devons montrer \(a = b\). Considérons l’égalisateur \(e' : x'' \to x'\). De nouveau, nous trouvons un \(f'' \in F(x'')\) dont l’image est \(f'\). Choisissons un morphisme \(\psi : x \to x''\) tel que \(F(\psi)(f) = f''\). On voit alors que \(e \circ e' \circ \psi : x \to x\) est un morphisme avec \(F(e \circ e' \circ \psi)(f) = f\). D’où \(e \circ e' \circ \psi \circ e = e\). Puisque \(e\) est un monomorphisme, cela implique que \(e'\) est un épimorphisme, donc \(a = b\) comme souhaité.

Remarque

Le lemme ci-dessus est souvent utilisé pour construire quelque chose de libre sur quelque chose. Par exemple le groupe abélien libre sur un ensemble, le groupe libre sur un ensemble, etc. L’idée, disons dans le cas du groupe libre sur un ensemble \(E\), est de considérer le foncteur \[F : \textit{Groups} \to \textit{Ensembles},\quad G \longmapsto \text{Map}(E, G)\] Ce foncteur commute avec les limites. Comme famille d’objets, nous pouvons prendre une famille de structures \(E \to G_i\) constituées de groupes \(G_i\) de cardinalité au plus \(\max(\aleph_0, |E|)\) et d’applications ensemblistes \(E \to G_i\), de telle sorte que chaque classe d’isomorphisme d’une telle structure soit représentée au moins une fois. En effet, si \(E \to G\) est une application de \(E\) vers un groupe \(G\), alors le sous-groupe \(G'\) généré par l’image a une cardinalité au plus \(\max(\aleph_0, |E|)\). Le lemme nous dit que le foncteur est représentable, il existe donc un groupe \(F_E\) tel que \(\Mor_{\textit{Groups}}(F_E, G) = \text{Map}(E, G)\). En particulier, le morphisme identité de \(F_E\) correspond à une application \(E \to F_E\) et on peut montrer que \(F_E\) est généré par l’image sans imposer de relations.

Une autre application typique est que nous pouvons utiliser le lemme pour construire des colimites dès que l’on sait que des limites existent. Nous l’illustrons à l’aide de la catégorie des espaces topologiques, qui admet des limites d’après Topologie, Lemme 08ZT. Supposons que \(\mathcal{I} \to \textit{Top}\), \(i \mapsto X_i\) soit un foncteur. On peut alors considérer \[F : \textit{Top} \longrightarrow \textit{Ensembles},\quad Y \longmapsto \lim_\mathcal{I} \Mor_{\textit{Top}}(X_i, Y)\] Ce foncteur commute avec les limites. De plus, étant donné tout espace topologique \(Y\) et un élément \((\varphi_i : X_i \to Y)\) de \(F(Y)\), il existe un sous-espace \(Y' \subset Y\) de cardinalité au plus \(|\coprod X_i|\) tel que les morphismes \(\varphi_i\) se factorisent par \(Y'\). En effet, nous pouvons prendre la topologie induite sur l’union des images des \(\varphi_i\). Ainsi il est clair que les hypothèses du lemme sont satisfaites et on retrouve un espace topologique \(X\) représentant le foncteur \(F\), ce qui signifie précisément que \(X\) est la colimite du diagramme \(i \mapsto X_i\).

Théorème

Soit \(G : \mathcal{C} \to \mathcal{D}\) un foncteur entre grandes catégories. Supposons que \(\mathcal{C}\) admette des limites, que \(G\) commute avec elles et que, pour chaque objet \(y\) de \(\mathcal{D}\), il existe un ensemble de paires \((x_i, f_i)_{i \in I}\) avec \(x_i \in \Ob(\mathcal{C})\), \(f_i \in \Mor_\mathcal{D}(y, G(x_i))\) tel que pour toute paire \((x, f)\) avec \(x \in \Ob(\mathcal{C})\), \(f \in \Mor_\mathcal{D}(y, G(x))\) il existe un \(i\) et un morphisme \(h : x_i \to x\) tel que \(f = G(h) \circ f_i\). Alors \(G\) a un adjoint à gauche \(F\).

Démonstration

Les hypothèses impliquent que pour chaque objet \(y\) de \(\mathcal{D}\) le foncteur \(x \mapsto \Mor_\mathcal{D}(y, G(x))\) satisfait les hypothèses du lemme 0AHN. Il est donc représentable par un objet, appelons-le \(F(y)\). Une application du lemme de Yoneda (Lemme 001P) permet de faire de la règle \(y \mapsto F(y)\) un foncteur qui par construction est un adjoint à gauche de \(G\). Nous omettons les détails.

Objets catégoriquement compacts

Un peu sur les « petits » objets d’une catégorie.

Définition

Soit \(\mathcal{C}\) une grande catégorie ⁴. Un objet \(X\) de \(\mathcal{C}\) est dit catégoriquement compact si on a \[\Mor_\mathcal{C}(X, \colim_i M_i) = \colim_i \Mor_\mathcal{C}(X, M_i)\] pour chaque diagramme filtrant \(M : \mathcal{I} \to \mathcal{C}\) tel que \(\colim_i M_i\) existe.

Souvent, cette définition n’est donnée que sous l’hypothèse que \(\mathcal{C}\) admet toutes les limites inductives filtrantes.

Lemme

Soient \(\mathcal{C}\) et \(\mathcal{D}\) deux grandes catégories admettant des limites inductives filtrantes. Soit \(\mathcal{C}' \subset \mathcal{C}\) une petite sous-catégorie pleine composée d’objets catégoriquement compacts de \(\mathcal{C}\), telle que chaque objet de \(\mathcal{C}\) soit une limite inductive filtrante d’objets de \(\mathcal{C}'\). Alors chaque foncteur \(F' : \mathcal{C}' \to \mathcal{D}\) a une extension unique \(F : \mathcal{C} \to \mathcal{D}\) qui commute avec les limites inductives filtrantes.

Démonstration

Pour chaque objet \(X\) de \(\mathcal{C}\), nous pouvons écrire \(X\) comme limite inductive filtrante \(X = \colim X_i\) avec \(X_i \in \Ob(\mathcal{C}')\). Posons \[F(X) = \colim F'(X_i)\] dans \(\mathcal{D}\). Nous montrerons ci-dessous que cette construction ne dépend pas du choix d’une telle présentation de \(X\).

Soit \(\alpha : X \to Y\) un morphisme de \(\mathcal{C}\), et supposons que \(X = \colim_{i \in I} X_i\) et \(Y = \colim_{j \in J} Y_i\) soient écrits comme limites inductives filtrantes d’objets de \(\mathcal{C}'\). Pour chaque \(i \in I\), puisque \(X_i\) est un objet catégoriquement compact de \(\mathcal{C}\), nous pouvons trouver un \(j \in J\) et un diagramme commutatif \[\xymatrix{ X_i \ar[r] \ar[d] & X \ar[d]^\alpha \\ Y_j \ar[r] & Y }\] On obtient alors un morphisme \(F'(X_i) \to F'(Y_j) \to F(Y)\) où le deuxième morphisme est la coprojection dans \(F(Y) = \colim F'(Y_j)\). La flèche \(\beta_i : F'(X_i) \to F(Y)\) ne dépend pas du choix de \(j\). Pour \(i \leq i'\), la composition \[F'(X_i) \to F'(X_{i'}) \xrightarrow{\beta_{i'}} F(Y)\] est égale à \(\beta_i\). On obtient ainsi une flèche bien définie \[F(\alpha) : F(X) = \colim F(X_i) \to F(Y)\] par la propriété universelle de la colimite. Si \(\alpha' : Y \to Z\) est un deuxième morphisme de \(\mathcal{C}\) et que \(Z = \colim Z_k\) s’écrit également comme limite inductive filtrante d’objets de \(\mathcal{C}'\), alors c’est un exercice agréable de montrer que les morphismes induits \(F(\alpha) : F(X) \to F(Y)\) et \(F(\alpha') : F(Y) \to F(Z)\) ont pour composé le morphisme \(F(\alpha' \circ \alpha)\). Détails omis.

En particulier, si on nous donne deux présentations \(X = \colim X_i\) et \(X = \colim X'_{i'}\) comme limites inductives filtrantes de systèmes dans \(\mathcal{C}'\), alors nous obtenons des flèches mutuellement inverses \(\colim F'(X_i) \to \colim F'(X'_{i'})\) et \(\colim F'(X'_{i'}) \to \colim F'(X_i)\). Autrement dit, la valeur \(F(X)\) est bien définie indépendamment du choix de la présentation de \(X\) comme limite inductive filtrante d’objets de \(\mathcal{C}'\). Avec la fonctorialité de \(F\) discutée dans le paragraphe précédent, nous constatons que \(F\) est un foncteur. En outre, il est clair que \(F(X) = F'(X)\) si \(X \in \Ob(\mathcal{C}')\).

L’énoncé d’unicité du lemme est clair, à condition de montrer que \(F\) commute avec les limites inductives filtrantes (car cet énoncé n’a aucun sens autrement). Pour cela, supposons que \(X = \colim_{\lambda \in \Lambda} X_\lambda\) soit une limite inductive filtrante dans \(\mathcal{C}\). Puisque \(F\) est un foncteur, nous obtenons un morphisme naturel \[\colim_\lambda F(X_\lambda) \longrightarrow F(X)\] D’autre part, écrivons \(X = \colim X_i\) comme limite inductive filtrante d’objets de \(\mathcal{C}'\). Comme ci-dessus, pour chaque \(i \in I\) on peut choisir un \(\lambda \in \Lambda\) et un diagramme commutatif \[\xymatrix{ X_i \ar[rr] \ar[rd] & & X_\lambda \ar[ld] \\ & X }\] Comme ci-dessus cela détermine un morphisme bien défini \(F'(X_i) \to \colim_\lambda F(X_\lambda)\) compatible avec les morphismes de transition et donc un morphisme \[F(X) = \colim_i F'(X_i) \longrightarrow \colim_\lambda F(X_\lambda)\] Ce morphisme est inverse du morphisme ci-dessus (détails omis) et prouve que \(F(X) = \colim_\lambda F(X_\lambda)\) comme souhaité.

Localisation dans les catégories

L’idée de base de cette section est la suivante : étant donnés une catégorie \(\mathcal{C}\) et un ensemble de flèches \(S\), construire un foncteur \(F : \mathcal{C} \to S^{-1}\mathcal{C}\) tel que tous les éléments de \(S\) deviennent inversibles dans \(S^{-1}\mathcal{C}\) et tel que \(F\) soit universel parmi tous les foncteurs possédant cette propriété. Les références pour cette section sont [GZ, chapitre I, section 2] et [Verdier, chapitre II, section 2].

Définition

Soit \(\mathcal{C}\) une catégorie. Un ensemble de flèches \(S\) de \(\mathcal{C}\) est appelé un système multiplicatif à gauche s’il possède les propriétés suivantes :

1. L’identité de chaque objet de \(\mathcal{C}\) est dans \(S\) et la composition de deux éléments composables de \(S\) est dans \(S\).

2. Tout diagramme en traits pleins \[\xymatrix{ X \ar[d]_t \ar[r]_g & Y \ar@{..>}[d]^s \\ Z \ar@{..>}[r]^f & W }\] avec \(t \in S\) peut être complété en un carré commutatif par des flèches pointillées avec \(s \in S\).

3. Pour chaque paire de morphismes \(f, g : X \to Y\) et \(t \in S\) de but \(X\) tel que \(f \circ t = g \circ t\), il existe un \(s \in S\) de source \(Y\) tel que \(s \circ f = s \circ g\).

Un ensemble de flèches \(S\) de \(\mathcal{C}\) est appelé un système multiplicatif à droite s’il possède les propriétés suivantes :

1. L’identité de chaque objet de \(\mathcal{C}\) est dans \(S\) et la composition de deux éléments composables de \(S\) est dans \(S\).

2. Tout diagramme en traits pleins \[\xymatrix{ X \ar@{..>}[d]_t \ar@{..>}[r]_g & Y \ar[d]^s \\ Z \ar[r]^f & W }\] avec \(s \in S\) peut être complété en un carré commutatif par des flèches pointillées avec \(t \in S\).

3. Pour chaque paire de morphismes \(f, g : X \to Y\) et \(s \in S\) de source \(Y\) tel que \(s \circ f = s \circ g\), il existe un \(t \in S\) de but \(X\) tel que \(f \circ t = g \circ t\).

Un ensemble de flèches \(S\) de \(\mathcal{C}\) est appelé un système multiplicatif s’il s’agit à la fois d’un système multiplicatif à gauche et d’un système multiplicatif à droite. En d’autres termes, cela signifie que MS1, MS2, MS3 sont vérifiées, où MS1 \(=\) LMS1 \(+\) RMS1, MS2 \(=\) LMS2 \(+\) RMS2 et MS3 \(=\) LMS3 \(+\) RMS3. (Cela dit, bien sûr LMS1 \(=\) RMS1 \(=\) MS1.)

Ces conditions sont utiles pour construire les catégories \(S^{-1}\mathcal{C}\) comme suit.

Calcul des fractions à gauche. Soit \(\mathcal{C}\) une catégorie et \(S\) un système multiplicatif à gauche. Nous définissons une nouvelle catégorie \(S^{-1}\mathcal{C}\) comme suit (nous vérifions que cela fonctionne dans la preuve du lemme 04VD) :

1. Nous définissons \(\Ob(S^{-1}\mathcal{C}) = \Ob(\mathcal{C})\).

2. Les morphismes \(X \to Y\) de \(S^{-1}\mathcal{C}\) sont représentés par des paires \((f : X \to Y', s : Y \to Y')\) avec \(s \in S\) à équivalence près. (L’équivalence est définie ci-dessous. Considérons la classe d’équivalence d’une paire \((f, s)\) comme \(s^{-1}f : X \to Y\).)

3. Deux paires \((f_1 : X \to Y_1, s_1 : Y \to Y_1)\) et \((f_2 : X \to Y_2, s_2 : Y \to Y_2)\) sont dites équivalentes s’il existe une troisième paire \((f_3 : X \to Y_3, s_3 : Y \to Y_3)\) ainsi que des morphismes \(u : Y_1 \to Y_3\) et \(v : Y_2 \to Y_3\) de \(\mathcal{C}\) qui s’insèrent dans le diagramme commutatif \[\xymatrix{ & Y_1 \ar[d]^u & \\ X \ar[ru]^{f_1} \ar[r]^{f_3} \ar[rd]_{f_2} & Y_3 & Y \ar[lu]_{s_1} \ar[l]_{s_3} \ar[ld]^{s_2} \\ & Y_2 \ar[u]_v & }\]

4. La composition des classes d’équivalence des couples \((f : X \to Y', s : Y \to Y')\) et \((g : Y \to Z', t : Z \to Z')\) est définie comme la classe d’équivalence d’un couple \((h \circ f : X \to Z'', u \circ t : Z \to Z'')\) où \(h\) et \(u \in S\) sont choisis pour s’insérer dans un diagramme commutatif \[\xymatrix{ Y \ar[d]_s \ar[r]_g & Z' \ar[d]^u \\ Y' \ar[r]^h & Z'' }\] qui existe par hypothèse.

5. Le morphisme identité \(X \to X\) dans \(S^{-1} \mathcal{C}\) est la classe d’équivalence de la paire \((\text{id} : X \to X, \text{id} : X \to X)\).

Lemme

Soit \(\mathcal{C}\) une catégorie et \(S\) un système multiplicatif à gauche.

1. La relation sur les paires définie ci-dessus est une relation d’équivalence.

2. La règle de composition donnée ci-dessus est bien définie sur les classes d’équivalence.

3. La composition est associative (et les morphismes identité satisfont les axiomes d’identité), et donc \(S^{-1}\mathcal{C}\) est une catégorie.

Démonstration

Preuve de (1). Disons que deux paires \(p_1 = (f_1 : X \to Y_1, s_1 : Y \to Y_1)\) et \(p_2 = (f_2 : X \to Y_2, s_2 : Y \to Y_2)\) sont élémentairement équivalentes s’il existe un morphisme \(a : Y_1 \to Y_2\) de \(\mathcal{C}\) tel que \(a \circ f_1 = f_2\) et \(a \circ s_1 = s_2\). Le diagramme : \[\xymatrix{ X \ar@{=}[d] \ar[r]_{f_1} & Y_1 \ar[d]^a & Y \ar[l]^{s_1} \ar@{=}[d] \\ X \ar[r]^{f_2} & Y_2 & Y \ar[l]_{s_2} }\] Notons cette propriété en disant \(p_1Ep_2\). Notez que \(pEp\) et \(aEb, bEc \Rightarrow aEc\). (Malgré son nom, \(E\) n’est pas une relation d’équivalence.) La partie (1) affirme que la relation \(p \sim p' \Leftrightarrow \exists q: pEq \wedge p'Eq\) (où \(q\) est une paire satisfaisant les mêmes conditions que \(p\) et \(p'\)) est une relation d’équivalence. Un simple argument formel, utilisant les propriétés de \(E\) ci-dessus, montre qu’il suffit de prouver \(p_3Ep_1, p_3Ep_2 \Rightarrow p_1 \sim p_2\). Supposons donc qu’on nous donne un diagramme commutatif \[\xymatrix{ & Y_1 & \\ X \ar[ru]^{f_1} \ar[r]^{f_3} \ar[rd]_{f_2} & Y_3 \ar[u]_{a_{31}} \ar[d]^{a_{32}} & Y \ar[lu]_{s_1} \ar[l]_{s_3} \ar[ld]^{s_2} \\ & Y_2 & }\] avec \(s_i \in S\). Nous appliquons d’abord LMS2 pour obtenir un diagramme commutatif \[\xymatrix{ Y \ar[d]_{s_1} \ar[r]_{s_2} & Y_2 \ar@{..>}[d]^{a_{24}} \\ Y_1 \ar@{..>}[r]^{a_{14}} & Y_4 }\] avec \(a_{24} \in S\). Ensuite, nous avons \[a_{14} \circ a_{31} \circ s_3 = a_{14} \circ s_1 = a_{24} \circ s_2 = a_{24} \circ a_{32} \circ s_3.\] Ainsi, par LMS3, il existe un morphisme \(s_{44} : Y_4 \to Y'_4\) tel que \(s_{44} \in S\) et \(s_{44} \circ a_{14} \circ a_{31} = s_{44} \circ a_{24} \circ a_{32}\). Ainsi, après avoir remplacé \(Y_4\), \(a_{14}\) et \(a_{24}\) par \(Y'_4\), \(s_{44} \circ a_{14}\) et \(s_{44} \circ a_{24}\), nous pouvons supposer que \(a_{14} \circ a_{31} = a_{24} \circ a_{32}\) (et nous avons toujours \(a_{24} \in S\) et \(a_{14} \circ s_1 = a_{24} \circ s_2\)). Posons \[f_4 = a_{14} \circ f_1 = a_{14} \circ a_{31} \circ f_3 = a_{24} \circ a_{32} \circ f_3 = a_{24} \circ f_2\] et \(s_4 = a_{14} \circ s_1 = a_{24} \circ s_2\). Ensuite, le diagramme \[\xymatrix{ X \ar@{=}[d] \ar[r]_{f_1} & Y_1 \ar[d]^{a_{14}} & Y \ar[l]^{s_1} \ar@{=}[d] \\ X \ar[r]^{f_4} & Y_4 & Y \ar[l]_{s_4} }\] est commutatif, et nous avons \(s_4 \in S\) (par LMS1). Ainsi, \(p_1 E p_4\), où \(p_4 = (f_4, s_4)\). De même, \(p_2 E p_4\). Ces deux faits donnent \(p_1 \sim p_2\).

Preuve de (2). Soient \(p = (f : X \to Y', s : Y \to Y')\) et \(q = (g : Y \to Z', t : Z \to Z')\) des paires comme dans la définition de la composition ci-dessus. Pour composer on choisit un diagramme \[\xymatrix{ Y \ar[d]_s \ar[r]_g & Z' \ar[d]^{u_2} \\ Y' \ar[r]^{h_2} & Z_2 }\] avec \(u_2 \in S\). Nous montrons d’abord que la classe d’équivalence du couple \(r_2 = (h_2 \circ f : X \to Z_2, u_2 \circ t : Z \to Z_2)\) est indépendante du choix de \((Z_2, h_2, u_2)\). Supposons en effet que \((Z_3, h_3, u_3)\) soit un autre choix avec la composition correspondante \(r_3 = (h_3 \circ f : X \to Z_3, u_3 \circ t : Z \to Z_3)\). Alors, par LMS2 on peut choisir un diagramme \[\xymatrix{ Z' \ar[d]_{u_2} \ar[r]_{u_3} & Z_3 \ar[d]^{u_{34}} \\ Z_2 \ar[r]^{h_{24}} & Z_4 }\] avec \(u_{34} \in S\). Nous avons \(h_2 \circ s = u_2 \circ g\) et de même \(h_3 \circ s = u_3 \circ g\). De plus, \[u_{34} \circ h_3 \circ s = u_{34} \circ u_3 \circ g = h_{24} \circ u_2 \circ g = h_{24} \circ h_2 \circ s.\] Ainsi, LMS3 montre qu’il existe un \(Z'_4\) et un \(s_{44} : Z_4 \to Z'_4\) tel que \(s_{44} \circ u_{34} \circ h_3 = s_{44} \circ h_{24} \circ h_2\). En remplaçant \(Z_4\), \(h_{24}\) et \(u_{34}\) par \(Z'_4\), \(s_{44} \circ h_{24}\) et \(s_{44} \circ u_{34}\), nous pouvons supposer que \(u_{34} \circ h_3 = h_{24} \circ h_2\). Pendant ce temps, les relations \(u_{34} \circ u_3 = h_{24} \circ u_2\) et \(u_{34} \in S\) restent satisfaites. Nous pouvons maintenant définir \(h_4 = u_{34} \circ h_3 = h_{24} \circ h_2\) et \(u_4 = u_{34} \circ u_3 = h_{24} \circ u_2\). On a alors un diagramme commutatif \[\xymatrix{ X \ar@{=}[d] \ar[r]_{h_2\circ f} & Z_2 \ar[d]^{h_{24}} & Z \ar[l]^{u_2 \circ t} \ar@{=}[d] \\ X \ar@{=}[d] \ar[r]^{h_4\circ f} & Z_4 & Z \ar@{=}[d] \ar[l]_{u_4 \circ t} \\ X \ar[r]^{h_3 \circ f} & Z_3 \ar[u]^{u_{34}} & Z \ar[l]_{u_3 \circ t} }\] Nous obtenons donc une paire \(r_4 = (h_4 \circ f : X \to Z_4, u_4 \circ t : Z \to Z_4)\) et le diagramme ci-dessus montre que nous avons \(r_2Er_4\) et \(r_3Er_4\), d’où \(r_2 \sim r_3\), comme souhaité. Il est donc désormais légitime de définir \(p \circ q\) comme la classe d’équivalence de toutes les paires possibles \(r\) obtenues comme ci-dessus.

Pour terminer la preuve de (2), nous devons montrer que, pour des paires \(p_1, p_2, q\) telles que \(p_1Ep_2\), on a \(p_1 \circ q = p_2 \circ q\) et \(q \circ p_1 = q \circ p_2\) chaque fois que les compositions ont un sens. Pour ce faire, écrivons \(p_1 = (f_1 : X \to Y_1, s_1 : Y \to Y_1)\) et \(p_2 = (f_2 : X \to Y_2, s_2 : Y \to Y_2)\), et soit \(a : Y_1 \to Y_2\) un morphisme de \(\mathcal{C}\) tel que \(f_2 = a \circ f_1\) et \(s_2 = a \circ s_1\). Supposons d’abord que \(q = (g : Y \to Z', t : Z \to Z')\). Dans ce cas, choisissez un diagramme commutatif comme celui de gauche \[\vcenter{ \xymatrix{ Y \ar[d]_{s_2} \ar[r]^g & Z' \ar[d]^u \\ Y_2 \ar[r]^h & Z'' } } \quad \Rightarrow \quad \vcenter{ \xymatrix{ Y \ar[d]_{s_1} \ar[r]^g & Z' \ar[d]^u \\ Y_1 \ar[r]^{h \circ a} & Z'' } }\] (avec \(u \in S\)), ce qui implique que le diagramme de droite est également commutatif. À l’aide de ces diagrammes, nous voyons que les deux compositions \(q \circ p_1\) et \(q \circ p_2\) représentent la classe d’équivalence de \((h \circ a \circ f_1 : X \to Z'', u \circ t : Z \to Z'')\). Ainsi \(q \circ p_1 = q \circ p_2\). La preuve de l’autre cas, dans lequel nous devons montrer \(p_1 \circ q = p_2 \circ q\), est omise. (C’est similaire au cas que nous avons traité.)

Preuve de (3). Nous devons prouver l’associativité de la composition. Considérons un diagramme en traits pleins \[\xymatrix{ & & & Z \ar[d] \\ & & Y \ar[d] \ar[r] & Z' \ar@{..>}[d] \\ & X \ar[d] \ar[r] & Y' \ar@{..>}[d] \ar@{..>}[r] & Z'' \ar@{..>}[d] \\ W \ar[r] & X' \ar@{..>}[r] & Y'' \ar@{..>}[r] & Z''' }\] (dont les flèches verticales appartiennent à \(S\)) qui détermine trois paires composables. En utilisant LMS2 on peut choisir les flèches pointillées qui rendent les carrés commutatifs et telles que les flèches verticales soient dans \(S\). Il est alors clair que la composition des trois paires est la classe d’équivalence de la paire \((W \to Z''', Z \to Z''')\) obtenue en composant les flèches horizontales sur la ligne du bas et les flèches verticales sur la colonne de droite.

Nous laissons au lecteur le soin de vérifier les axiomes d’identité.

Remarque

La motivation pour la construction de \(S^{-1} \mathcal{C}\) est de « forcer » les morphismes de \(S\) à être inversibles en créant artificiellement des inverses (au prix de certains morphismes existants qui peuvent s’identifier les uns aux autres). Ceci est analogue à la localisation d’un anneau commutatif par rapport à une partie multiplicative, et plus généralement à la localisation d’un anneau non commutatif par rapport à un ensemble de dénominateurs à droite (voir [Lam, section 10A]). C’est plus qu’une simple similitude : la construction de \(S^{-1} \mathcal{C}\) (ou, plus précisément, sa version pour les catégories additives \(\mathcal{C}\)) généralise en fait ce dernier type de localisation. En effet, un anneau non commutatif peut être considéré comme une catégorie préadditive avec un seul objet (les morphismes étant les éléments de l’anneau) ; une partie multiplicative de cet anneau devient alors un ensemble \(S\) de morphismes satisfaisant LMS1 (alias RMS1). Ensuite, les conditions RMS2 et RMS3 pour cette catégorie et cet ensemble \(S\) se traduisent par les deux conditions (« permutable à droite » et « réversible à droite ») d’un ensemble de dénominateurs à droite (et de même pour les ensembles de dénominateurs à gauche et LMS), et \(S^{-1} \mathcal{C}\) (munie d’une structure additive convenablement définie) est la catégorie à un objet correspondant à la localisation de l’anneau.

Définition

Soit \(\mathcal{C}\) une catégorie et soit \(S\) un système multiplicatif à gauche de morphismes de \(\mathcal{C}\). Étant donné tout morphisme \(f : X \to Y'\) dans \(\mathcal{C}\) et tout morphisme \(s : Y \to Y'\) dans \(S\), on note \(s^{-1} f\) la classe d’équivalence de la paire \((f : X \to Y', s : Y \to Y')\). Il s’agit d’un morphisme de \(X\) à \(Y\) dans \(S^{-1} \mathcal{C}\).

Cette notation est suggestive, et les choses qu’elle suggère sont vraies : étant donnés un morphisme \(f : X \to Y'\) dans \(\mathcal{C}\) et deux morphismes quelconques \(s : Y \to Y'\) et \(t : Y' \to Y''\) dans \(S\), nous avons \(\left(t \circ s\right)^{-1} \left(t \circ f\right) = s^{-1} f\). De plus, pour tous les \(f : X \to Y'\) et \(g : Y' \to Z'\) dans \(\mathcal{C}\) et tous les \(s : Z \to Z'\) dans \(S\), nous avons \(s^{-1} \left(g \circ f\right) = \left(s^{-1} g\right) \circ \left(\text{id}_{Y'}^{-1} f\right)\). Enfin, pour tout \(f : X \to Y'\) dans \(\mathcal{C}\), tous les \(s : Y \to Y'\) dans \(S\) et \(t : Z \to Y\) dans \(S\), nous avons \(\left(s \circ t\right)^{-1} f = \left(t^{-1} \text{id}_Y\right) \circ \left(s^{-1} f\right)\). Tout cela ressort clairement de la définition. Nous pouvons « écrire toute famille finie de morphismes de même but sous forme de fractions à dénominateur commun ».

Lemme

Soit \(\mathcal{C}\) une catégorie et soit \(S\) un système multiplicatif à gauche de morphismes de \(\mathcal{C}\). Étant donnée toute famille finie \(g_i : X_i \to Y\) de morphismes de \(S^{-1}\mathcal{C}\) (indexée par \(i\)), on peut trouver un élément \(s : Y \to Y'\) de \(S\) et une famille de morphismes \(f_i : X_i \to Y'\) de \(\mathcal{C}\) telle que chaque \(g_i\) soit la classe d’équivalence de la paire \((f_i : X_i \to Y', s : Y \to Y')\).

Démonstration

Pour chaque \(i\), choisissons un représentant \((X_i \to Y_i, s_i : Y \to Y_i)\) de \(g_i\). Il suffit de trouver un morphisme \(s : Y \to Y'\) dans \(S\) tel que pour chaque \(i\) il existe un morphisme \(a_i : Y_i \to Y'\) avec \(a_i \circ s_i = s\). Si nous avons deux indices \(i = 1, 2\), alors nous pouvons le faire en complétant le carré \[\xymatrix{ Y \ar[d]_{s_1} \ar[r]_{s_2} & Y_2 \ar[d]^{t_2} \\ Y_1 \ar[r]^{a_1} & Y' }\] avec \(t_2 \in S\) ce qui est possible par la définition 04VC. Ensuite, \(s = t_2 \circ s_2 \in S\) convient. Si nous avons \(n > 2\) morphismes, alors nous utilisons l’argument ci-dessus pour nous ramener au cas de \(n - 1\) morphismes, et nous concluons par induction.

Il existe une caractérisation facile de l’égalité des morphismes s’ils ont le même dénominateur.

Lemme

Soit \(\mathcal{C}\) une catégorie et soit \(S\) un système multiplicatif à gauche de morphismes de \(\mathcal{C}\). Soient \(A, B : X \to Y\) des morphismes de \(S^{-1}\mathcal{C}\) qui sont les classes d’équivalence de \((f : X \to Y', s : Y \to Y')\) et \((g : X \to Y', s : Y \to Y')\). Les assertions suivantes sont équivalentes

1. \(A = B\)

2. il existe un morphisme \(t : Y' \to Y''\) dans \(S\) avec \(t \circ f = t \circ g\), et

3. il existe un morphisme \(a : Y' \to Y''\) tel que \(a \circ f = a \circ g\) et \(a \circ s \in S\).

Démonstration

Nous utiliserons le fait que \(S^{-1}\mathcal{C}\) est une catégorie (Lemme 04VD) et nous utiliserons la notation de la définition 0BM2 ainsi que la discussion qui suit cette définition pour identifier certains morphismes dans \(S^{-1}\mathcal{C}\). Ainsi nous écrivons \(A = s^{-1}f\) et \(B = s^{-1}g\).

Si \(A = B\) alors \((\text{id}_{Y'}^{-1}s) \circ A = (\text{id}_{Y'}^{-1}s) \circ B\). Nous avons \((\text{id}_{Y'}^{-1}s) \circ A = \text{id}_{Y'}^{-1}f\) et \((\text{id}_{Y'}^{-1}s) \circ B = \text{id}_{Y'}^{-1}g\). L’égalité de \(\text{id}_{Y'}^{-1}f\) et \(\text{id}_{Y'}^{-1}g\) signifie par définition qu’il existe un diagramme commutatif \[\xymatrix{ & Y' \ar[d]^u & \\ X \ar[ru]^f \ar[r]^h \ar[rd]_g & Z & Y' \ar[lu]_{\text{id}_{Y'}} \ar[l]_t \ar[ld]^{\text{id}_{Y'}} \\ & Y' \ar[u]_v & }\] avec \(t \in S\). En particulier \(u = v = t \in S\) et \(t \circ f = t\circ g\). Ainsi (1) implique (2).

L’implication (2) \(\Rightarrow\) (3) est immédiate. Supposons que \(a\) soit comme dans (3). Posons \(s' = a \circ s \in S\). Alors \(\text{id}_{Y''}^{-1}s'\) est un isomorphisme dans la catégorie \(S^{-1}\mathcal{C}\) (avec l’inverse \((s')^{-1}\text{id}_{Y''}\)). Ainsi pour vérifier \(A = B\) il suffit de vérifier que \(\text{id}_{Y''}^{-1}s' \circ A = \text{id}_{Y''}^{-1}s' \circ B\). Nous calculons en utilisant les règles discutées dans le texte suivant la définition 0BM2 que \(\text{id}_{Y''}^{-1}s' \circ A = \text{id}_{Y''}^{-1}(a \circ s) \circ s^{-1}f = \text{id}_{Y''}^{-1}(a \circ f) = \text{id}_{Y''}^{-1}(a \circ g) = \text{id}_{Y''}^{-1}(a \circ s) \circ s^{-1}g = \text{id}_{Y''}^{-1}s' \circ B\) et nous voyons que (1) est vrai.

Remarque

Soit \(\mathcal{C}\) une catégorie. Soit \(S\) un système multiplicatif à gauche. Étant donné un objet \(Y\) de \(\mathcal{C}\) on note \(Y/S\) la catégorie dont les objets sont \(s : Y \to Y'\) avec \(s \in S\) et dont les morphismes sont des diagrammes commutatifs \[\xymatrix{ & Y \ar[ld]_s \ar[rd]^t & \\ Y' \ar[rr]^a & & Y'' }\] où \(a : Y' \to Y''\) est arbitraire. Nous affirmons que la catégorie \(Y/S\) est filtrante (voir définition 002V). En effet, LMS1 implique que \(\text{id}_Y : Y \to Y\) se trouve dans \(Y/S\) ; donc \(Y/S\) n’est pas vide. LMS2 implique qu’étant donnés deux morphismes \(s_1 : Y \to Y_1\) et \(s_2 : Y \to Y_2\) nous pouvons trouver un diagramme \[\xymatrix{ Y \ar[d]_{s_1} \ar[r]_{s_2} & Y_2 \ar[d]^t \\ Y_1 \ar[r]^a & Y_3 }\] avec \(t \in S\). Par conséquent, \(s_1 : Y \to Y_1\) et \(s_2 : Y \to Y_2\) ont tous deux des morphismes vers \(t \circ s_2 : Y \to Y_3\) dans \(Y/S\). Enfin, étant donnés deux morphismes \(a, b\) de \(s_1 : Y \to Y_1\) à \(s_2 : Y \to Y_2\) dans \(Y/S\), nous voyons que \(a \circ s_1 = b \circ s_1\) ; donc par LMS3 il existe un \(t : Y_2 \to Y_3\) dans \(S\) tel que \(t \circ a = t \circ b\). Les résultats conjoints des lemmes 04VE et 04VF nous disent que [05Q1]\[\begin{equation} \Mor_{S^{-1}\mathcal{C}}(X, Y) = \colim_{(s : Y \to Y') \in Y/S} \Mor_\mathcal{C}(X, Y') \end{equation}\] Cette formule exprimant les ensembles de morphismes dans \(S^{-1}\mathcal{C}\) comme limite inductive filtrante d’ensembles de morphismes dans \(\mathcal{C}\) est parfois utile.

Lemme

Soit \(\mathcal{C}\) une catégorie et soit \(S\) un système multiplicatif à gauche de morphismes de \(\mathcal{C}\).

1. Les règles \(X \mapsto X\) et \((f : X \to Y) \mapsto (f : X \to Y, \text{id}_Y : Y \to Y)\) définissent un foncteur \(Q : \mathcal{C} \to S^{-1}\mathcal{C}\).

2. Pour tout \(s \in S\) le morphisme \(Q(s)\) est un isomorphisme dans \(S^{-1}\mathcal{C}\).

3. Si \(G : \mathcal{C} \to \mathcal{D}\) est un foncteur tel que \(G(s)\) est inversible pour chaque \(s \in S\), alors il existe un foncteur unique \(H : S^{-1}\mathcal{C} \to \mathcal{D}\) tel que \(H \circ Q = G\).

Démonstration

Les assertions (1) et (2) sont claires. (Dans (2), l’inverse de \(Q(s)\) est la classe d’équivalence de la paire \((\text{id}_Y, s)\).) Pour voir (3), définissons simplement \(H(X) = G(X)\) et \(H((f : X \to Y', s : Y \to Y')) = G(s)^{-1} \circ G(f)\). Détails omis.

Lemme

Soit \(\mathcal{C}\) une catégorie et soit \(S\) un système multiplicatif à gauche de morphismes de \(\mathcal{C}\). Le foncteur de localisation \(Q : \mathcal{C} \to S^{-1}\mathcal{C}\) commute avec les colimites finies.

Démonstration

Soit \(\mathcal{I}\) une catégorie finie et soit \(\mathcal{I} \to \mathcal{C}\), \(i \mapsto X_i\) un foncteur dont la colimite existe. Alors, en utilisant (05Q1), le fait que \(Y/S\) soit filtrante et le lemme 002W, nous avons \[\begin{align*} \Mor_{S^{-1}\mathcal{C}}(Q(\colim X_i), Q(Y)) & = \colim_{(s : Y \to Y') \in Y/S} \Mor_\mathcal{C}(\colim X_i, Y') \\ & = \colim_{(s : Y \to Y') \in Y/S} \lim_i \Mor_\mathcal{C}(X_i, Y') \\ & = \lim_i \colim_{(s : Y \to Y') \in Y/S} \Mor_\mathcal{C}(X_i, Y') \\ & = \lim_i \Mor_{S^{-1}\mathcal{C}}(Q(X_i), Q(Y)) \end{align*}\] et cet isomorphisme commute avec les projections des deux côtés vers l’ensemble \(\Mor_{S^{-1}\mathcal{C}}(Q(X_j), Q(Y))\) pour chaque \(j \in \Ob(\mathcal{I})\). Ainsi, \(Q(\colim X_i)\) satisfait la propriété universelle de la colimite du foncteur \(i \mapsto Q(X_i)\) ; c’est donc cette colimite, comme souhaité.

Lemme

Soit \(\mathcal{C}\) une catégorie. Soit \(S\) un système multiplicatif à gauche. Si \(f : X \to Y\), \(f' : X' \to Y'\) sont deux morphismes de \(\mathcal{C}\) et si \[\xymatrix{ Q(X) \ar[d]_{Q(f)} \ar[r]_a & Q(X') \ar[d]^{Q(f')} \\ Q(Y) \ar[r]^b & Q(Y') }\] est un diagramme commutatif dans \(S^{-1}\mathcal{C}\), alors il existe un morphisme \(f'' : X'' \to Y''\) dans \(\mathcal{C}\) et un diagramme commutatif \[\xymatrix{ X \ar[d]_f \ar[r]_g & X'' \ar[d]^{f''} & X' \ar[d]^{f'} \ar[l]^s \\ Y \ar[r]^h & Y'' & Y' \ar[l]_t }\] dans \(\mathcal{C}\) avec \(s, t \in S\) et \(a = s^{-1}g\), \(b = t^{-1}h\).

Démonstration

Nous choisissons les morphismes et les objets de la manière suivante : Écrivons d’abord \(a = s^{-1}g\) pour un certain \(s : X' \to X''\) dans \(S\) et un morphisme \(g : X \to X''\). Par LMS2 on peut trouver \(t : Y' \to Y''\) dans \(S\) et \(f'' : X'' \to Y''\) de sorte que \[\xymatrix{ X \ar[d]_f \ar[r]_g & X'' \ar[d]^{f''} & X' \ar[d]^{f'} \ar[l]^s \\ Y & Y'' & Y' \ar[l]_t }\] est commutatif. À ce stade, dans ce diagramme, nous allons modifier à plusieurs reprises notre choix de \[X'' \xrightarrow{f''} Y'' \xleftarrow{t} Y'\] en postcomposant à la fois \(t\) et \(f''\) par un morphisme \(d : Y'' \to Y'''\) avec la propriété \(d \circ t \in S\). D’après la remarque 05Q0, nous pouvons, après un tel remplacement, supposer qu’il existe un morphisme \(h : Y \to Y''\) tel que \(b = t^{-1}h\)⁵. À ce stade, nous avons toutes les données du lemme, sauf que nous ne savons pas que le carré de gauche du diagramme est commutatif. Mais la définition de composition dans \(S^{-1} \mathcal{C}\) montre que \(b \circ Q\left(f\right)\) est la classe d’équivalence de la paire \((h \circ f : X \to Y'', t : Y' \to Y'')\) (puisque \(b\) est la classe d’équivalence de la paire \((h : Y \to Y'', t : Y' \to Y'')\), tandis que \(Q\left(f\right)\) est la classe d’équivalence de la paire \((f : X \to Y, \text{id} : Y \to Y)\)), tandis que \(Q\left(f'\right) \circ a\) est la classe d’équivalence de la paire \((f'' \circ g : X \to Y'', t : Y' \to Y'')\) (puisque \(a\) est la classe d’équivalence de la paire \((g : X \to X'', s : X' \to X'')\), tandis que \(Q\left(f'\right)\) est la classe d’équivalence de la paire \((f' : X' \to Y', \text{id} : Y' \to Y')\)). Puisque l’on sait que \(b \circ Q\left(f\right) = Q\left(f'\right) \circ a\), on conclut que les classes d’équivalence des couples \((h \circ f : X \to Y'', t : Y' \to Y'')\) et \((f'' \circ g : X \to Y'', t : Y' \to Y'')\) sont égales. Ainsi en utilisant le lemme 04VF nous pouvons trouver un morphisme \(d : Y'' \to Y'''\) tel que \(d \circ t \in S\) et \(d \circ h \circ f = d \circ f'' \circ g\). Nous effectuons donc un remplacement supplémentaire du type décrit ci-dessus et nous concluons.

Calcul des fractions à droite. Soit \(\mathcal{C}\) une catégorie et \(S\) un système multiplicatif à droite. Nous définissons une nouvelle catégorie \(S^{-1}\mathcal{C}\) comme suit (nous vérifions que cela fonctionne dans la preuve du lemme 04VH) :

1. Nous définissons \(\Ob(S^{-1}\mathcal{C}) = \Ob(\mathcal{C})\).

2. Les morphismes \(X \to Y\) de \(S^{-1}\mathcal{C}\) sont représentés par des couples \((f : X' \to Y, s : X' \to X)\) avec \(s \in S\) à équivalence près. (L’équivalence est définie ci-dessous. Considérons la classe d’équivalence d’une paire \((f, s)\) comme \(fs^{-1} : X \to Y\).)

3. Deux paires \((f_1 : X_1 \to Y, s_1 : X_1 \to X)\) et \((f_2 : X_2 \to Y, s_2 : X_2 \to X)\) sont dites équivalentes s’il existe une troisième paire \((f_3 : X_3 \to Y, s_3 : X_3 \to X)\) ainsi que des morphismes \(u : X_3 \to X_1\) et \(v : X_3 \to X_2\) de \(\mathcal{C}\) qui s’insèrent dans le diagramme commutatif \[\xymatrix{ & X_1 \ar[ld]_{s_1} \ar[rd]^{f_1} & \\ X & X_3 \ar[l]_{s_3} \ar[u]_u \ar[d]^v \ar[r]^{f_3} & Y \\ & X_2 \ar[lu]^{s_2} \ar[ru]_{f_2} & }\]

4. La composition des classes d’équivalence des couples \((f : X' \to Y, s : X' \to X)\) et \((g : Y' \to Z, t : Y' \to Y)\) est définie comme la classe d’équivalence d’un couple \((g \circ h : X'' \to Z, s \circ u : X'' \to X)\) où \(h\) et \(u \in S\) sont choisis pour s’insérer dans un diagramme commutatif \[\xymatrix{ X'' \ar[d]_u \ar[r]^h & Y' \ar[d]^t \\ X' \ar[r]^f & Y }\] qui existe par hypothèse.

5. Le morphisme identité \(X \to X\) dans \(S^{-1} \mathcal{C}\) est la classe d’équivalence de la paire \((\text{id} : X \to X, \text{id} : X \to X)\).

Lemme

Soit \(\mathcal{C}\) une catégorie et \(S\) un système multiplicatif à droite.

1. La relation sur les paires définie ci-dessus est une relation d’équivalence.

2. La règle de composition donnée ci-dessus est bien définie sur les classes d’équivalence.

3. La composition est associative (et les morphismes identité satisfont les axiomes d’identité), et donc \(S^{-1}\mathcal{C}\) est une catégorie.

Démonstration

Ce lemme est dual du lemme 04VD. Il découle formellement de ce lemme en remplaçant \(\mathcal{C}\) par sa catégorie opposée dans laquelle \(S\) est un système multiplicatif à gauche.

Définition

Soit \(\mathcal{C}\) une catégorie et soit \(S\) un système multiplicatif à droite de morphismes de \(\mathcal{C}\). Étant donné tout morphisme \(f : X' \to Y\) dans \(\mathcal{C}\) et tout morphisme \(s : X' \to X\) dans \(S\), on note \(f s^{-1}\) la classe d’équivalence de la paire \((f : X' \to Y, s : X' \to X)\). Il s’agit d’un morphisme de \(X\) à \(Y\) dans \(S^{-1} \mathcal{C}\).

On a des identités analogues (en fait, duales) à celles de la définition 0BM2. Nous pouvons « écrire toute famille finie de morphismes de même source sous forme de fractions à dénominateur commun ».

Lemme

Soit \(\mathcal{C}\) une catégorie et soit \(S\) un système multiplicatif à droite de morphismes de \(\mathcal{C}\). Étant donnée toute famille finie \(g_i : X \to Y_i\) de morphismes de \(S^{-1}\mathcal{C}\) (indexée par \(i\)), on peut trouver un élément \(s : X' \to X\) de \(S\) et une famille de morphismes \(f_i : X' \to Y_i\) de \(\mathcal{C}\) tels que chaque \(g_i\) soit la classe d’équivalence du couple \((f_i : X' \to Y_i, s : X' \to X)\).

Démonstration

Ce lemme est le dual du lemme 04VE et découle formellement de ce lemme en remplaçant toutes les catégories considérées par leurs opposés.

Il existe une caractérisation facile de l’égalité des morphismes s’ils ont le même dénominateur.

Lemme

Soit \(\mathcal{C}\) une catégorie et soit \(S\) un système multiplicatif à droite de morphismes de \(\mathcal{C}\). Soient \(A, B : X \to Y\) des morphismes de \(S^{-1}\mathcal{C}\) qui sont les classes d’équivalence de \((f : X' \to Y, s : X' \to X)\) et \((g : X' \to Y, s : X' \to X)\). Les assertions suivantes sont équivalentes

1. \(A = B\),

2. il existe un morphisme \(t : X'' \to X'\) dans \(S\) avec \(f \circ t = g \circ t\), et

3. il existe un morphisme \(a : X'' \to X'\) avec \(f \circ a = g \circ a\) et \(s \circ a \in S\).

Démonstration

Ce lemme est dual du lemme 04VF.

Remarque

Soit \(\mathcal{C}\) une catégorie. Soit \(S\) un système multiplicatif à droite. Étant donné un objet \(X\) de \(\mathcal{C}\) on note \(S/X\) la catégorie dont les objets sont \(s : X' \to X\) avec \(s \in S\) et dont les morphismes sont des diagrammes commutatifs \[\xymatrix{ X' \ar[rd]_s \ar[rr]_a & & X'' \ar[ld]^t \\ & X }\] où \(a : X' \to X''\) est arbitraire. La catégorie \(S/X\) est cofiltrante (voir définition 04AZ). (Ceci est le dual de l’énoncé correspondant dans la remarque 05Q0.) Les résultats conjoints des lemmes 04VI et 04VJ nous disent que [05Q5]\[\begin{equation} \Mor_{S^{-1}\mathcal{C}}(X, Y) = \colim_{(s : X' \to X) \in (S/X)^{opp}} \Mor_\mathcal{C}(X', Y) \end{equation}\] Cette formule exprimant les ensembles de morphismes dans \(S^{-1}\mathcal{C}\) comme limite inductive filtrante d’ensembles de morphismes dans \(\mathcal{C}\) est parfois utile.

Lemme

Soit \(\mathcal{C}\) une catégorie et soit \(S\) un système multiplicatif à droite de morphismes de \(\mathcal{C}\).

1. Les règles \(X \mapsto X\) et \((f : X \to Y) \mapsto (f : X \to Y, \text{id}_X : X \to X)\) définissent un foncteur \(Q : \mathcal{C} \to S^{-1}\mathcal{C}\).

2. Pour tout \(s \in S\) le morphisme \(Q(s)\) est un isomorphisme dans \(S^{-1}\mathcal{C}\).

3. Si \(G : \mathcal{C} \to \mathcal{D}\) est un foncteur tel que \(G(s)\) est inversible pour chaque \(s \in S\), alors il existe un foncteur unique \(H : S^{-1}\mathcal{C} \to \mathcal{D}\) tel que \(H \circ Q = G\).

Démonstration

Ce lemme est le dual du lemme 04VG et découle formellement de ce lemme en remplaçant toutes les catégories considérées par leurs opposés.

Lemme

Soit \(\mathcal{C}\) une catégorie et soit \(S\) un système multiplicatif à droite de morphismes de \(\mathcal{C}\). Le foncteur de localisation \(Q : \mathcal{C} \to S^{-1}\mathcal{C}\) commute avec les limites finies.

Démonstration

Ce lemme est dual du lemme 05Q2.

Lemme

Soit \(\mathcal{C}\) une catégorie. Soit \(S\) un système multiplicatif à droite. Si \(f : X \to Y\), \(f' : X' \to Y'\) sont deux morphismes de \(\mathcal{C}\) et si \[\xymatrix{ Q(X) \ar[d]_{Q(f)} \ar[r]_a & Q(X') \ar[d]^{Q(f')} \\ Q(Y) \ar[r]^b & Q(Y') }\] est un diagramme commutatif dans \(S^{-1}\mathcal{C}\), alors il existe un morphisme \(f'' : X'' \to Y''\) dans \(\mathcal{C}\) et un diagramme commutatif \[\xymatrix{ X \ar[d]_f & X'' \ar[l]^s \ar[d]^{f''} \ar[r]_g & X' \ar[d]^{f'} \\ Y & Y'' \ar[l]_t \ar[r]^h & Y' }\] dans \(\mathcal{C}\) avec \(s, t \in S\) et \(a = gs^{-1}\), \(b = ht^{-1}\).

Démonstration

Ce lemme est dual du lemme 05Q3.

Systèmes multiplicatifs et calcul bilatéral des fractions. Si \(S\) est un système multiplicatif, alors les calculs de fractions à gauche et à droite donnent des catégories canoniquement isomorphes.

Lemme

Soit \(\mathcal{C}\) une catégorie et \(S\) un système multiplicatif. Les catégories de fractions à gauche et de fractions à droite \(S^{-1}\mathcal{C}\) sont canoniquement isomorphes.

Démonstration

Notons \(\mathcal{C}_{left}\), \(\mathcal{C}_{right}\) les deux catégories de fractions. Par les propriétés universelles des lemmes 04VG et 04VK nous obtenons les foncteurs \(\mathcal{C}_{left} \to \mathcal{C}_{right}\) et \(\mathcal{C}_{right} \to \mathcal{C}_{left}\). D’après l’énoncé d’unicité dans les propriétés universelles, ces foncteurs sont inverses les uns des autres.

Définition

Soit \(\mathcal{C}\) une catégorie et \(S\) un système multiplicatif. On dit que \(S\) est saturé si, en plus de MS1, MS2, MS3, on a aussi

1. Étant donnés trois morphismes composables \(f, g, h\), si \(fg, gh \in S\), alors \(g \in S\).

Notez qu’un système multiplicatif saturé contient tous les isomorphismes. De plus, si \(f, g, h\) sont des morphismes composables dans une catégorie et que \(fg, gh\) sont des isomorphismes, alors \(g\) est un isomorphisme (car alors \(g\) a à la fois un inverse gauche et un inverse droit, donc est inversible).

Lemme

Soit \(\mathcal{C}\) une catégorie et \(S\) un système multiplicatif. Notons \(Q : \mathcal{C} \to S^{-1}\mathcal{C}\) le foncteur de localisation. L’ensemble \[\hat S = \{f \in \text{Flèches}(\mathcal{C}) \mid Q(f) \text{ est un isomorphisme}\}\] est égal à \[S' = \{f \in \text{Flèches}(\mathcal{C}) \mid \text{il existe }g, h\text{ tels que }gf, fh \in S\}\] et est le plus petit système multiplicatif saturé contenant \(S\). En particulier, si \(S\) est saturé, alors \(\hat S = S\).

Démonstration

Il est clair que \(S \subset S' \subset \hat S\) car les éléments de \(S'\) correspondent aux morphismes de \(S^{-1}\mathcal{C}\) qui ont à la fois des inverses à gauche et à droite. Notez que \(S'\) satisfait à MS4 et que \(\hat S\) satisfait à MS1. Montrons ensuite que \(S' = \hat S\).

Soit \(f \in \hat S\). Soit \(s^{-1}g = ht^{-1}\) le morphisme inverse dans \(S^{-1}\mathcal{C}\). (Nous pouvons utiliser à la fois des fractions gauches et des fractions droites pour décrire les morphismes dans \(S^{-1}\mathcal{C}\), voir le lemme 04VL.) La relation \(\text{id}_X = s^{-1}gf\) dans \(S^{-1}\mathcal{C}\) signifie qu’il existe un diagramme commutatif. \[\xymatrix{ & X' \ar[d]^u & \\ X \ar[ru]^{gf} \ar[r]^{f'} \ar[rd]_{\text{id}_X} & X'' & X \ar[lu]_s \ar[l]_{s'} \ar[ld]^{\text{id}_X} \\ & X \ar[u]_v & }\] pour certains morphismes \(f', u, v\) et \(s' \in S\). D’où \(ugf = s' \in S\). De même, en utilisant l’égalité \(\text{id}_Y = fht^{-1}\) on prouve que \(fhw \in S\) pour un certain \(w\). Nous concluons que \(f \in S'\). Ainsi \(S' = \hat S\). Une fois établi que \(S' = \hat S\) est un système multiplicatif, il est clair que \(S' = \hat S\) est le plus petit système saturé contenant \(S\).

Nos remarques ci-dessus établissent MS1 et MS4, donc pour terminer la preuve du lemme nous devons montrer que LMS2, RMS2, LMS3, RMS3 sont valables pour \(\hat S\). Vérifions que LMS2 est satisfaite pour \(\hat S\). Supposons que nous ayons un diagramme en traits pleins \[\xymatrix{ X \ar[d]_t \ar[r]_g & Y \ar@{..>}[d]^s \\ Z \ar@{..>}[r]^f & W }\] avec \(t \in \hat S\). Choisissons un morphisme \(a : Z \to Z'\) tel que \(at \in S\). Nous pouvons alors appliquer LMS2 à \(S\) pour trouver un diagramme commutatif \[\xymatrix{ X \ar[d]_t \ar[r]_g & Y \ar[dd]^s \\ Z \ar[d]_a \\ Z' \ar[r]^{f'} & W }\] et, en posant \(f = f' \circ a\), nous concluons. La preuve de RMS2 est duale. Enfin, supposons qu’une paire de morphismes \(f, g : X \to Y\) et \(t \in \hat S\) soient donnés, où ce dernier est de but \(X\) et vérifie \(ft = gt\). Choisissons alors un morphisme \(b\) tel que \(tb \in S\). Alors \(ftb = gtb\), ce qui implique par LMS3 pour \(S\) qu’il existe un \(s \in S\) de source \(Y\) tel que \(sf = sg\), comme souhaité. La preuve de RMS3 est duale.

Propriétés formelles

Dans cette section, nous discutons de certaines propriétés formelles de la \(2\)-catégorie des catégories. Cela nous amènera plus tard à la définition d’une \(2\)-catégorie (stricte).

Notons \(\Ob(\textit{Cat})\) la classe de toutes les catégories. Pour chaque paire de catégories \(\mathcal{A}, \mathcal{B} \in \Ob(\textit{Cat})\), nous avons la « petite » catégorie des foncteurs \(\text{Fun}(\mathcal{A}, \mathcal{B})\). La composition de transformations de foncteurs comme \[\xymatrix{ \mathcal{A} \rruppertwocell^{F''}{t'} \ar[rr]_(.3){F'} \rrlowertwocell_F{t} & & \mathcal{B} } \text{ a pour composé } \xymatrix{ \mathcal{A} \rrtwocell^{F''}_F{\ \ t \circ t'} & & \mathcal{B} }\] est appelée composition verticale. Nous utiliserons pour cela le symbole habituel \(\circ\). Nous définirons ensuite la composition horizontale. Pour ce faire, nous expliquons un peu plus la structure en question.

En effet, pour chaque triplet de catégories \(\mathcal{A}\), \(\mathcal{B}\) et \(\mathcal{C}\), il existe une loi de composition \[\circ : \Ob(\text{Fun}(\mathcal{B}, \mathcal{C})) \times \Ob(\text{Fun}(\mathcal{A}, \mathcal{B})) \longrightarrow \Ob(\text{Fun}(\mathcal{A}, \mathcal{C}))\] provenant de la composition des foncteurs. Cette loi de composition est associative et les foncteurs identité agissent comme des unités. Autrement dit – en oubliant les transformations des foncteurs – on voit que \(\textit{Cat}\) forme une catégorie. Comment cette structure interagit-elle avec les morphismes entre foncteurs ?

Soit \(t : F \to F'\) une transformation de foncteurs, où \(F, F' : \mathcal{A} \to \mathcal{B}\), et soit \(G : \mathcal{B} \to \mathcal{C}\) un foncteur. Nous pouvons définir une transformation de foncteurs \(G\circ F \to G \circ F'\), que nous noterons \({}_Gt\). Elle est donnée par la formule \(({}_Gt)_x = G(t_x) : G(F(x)) \to G(F'(x))\) pour tous les \(x \in \mathcal{A}\). De cette façon, la composition avec \(G\) devient un foncteur \[\text{Fun}(\mathcal{A}, \mathcal{B}) \longrightarrow \text{Fun}(\mathcal{A}, \mathcal{C}).\] Pour le voir, il suffit de vérifier que \({}_G(\text{id}_F) = \text{id}_{G \circ F}\) et que \({}_G(t_1 \circ t_2) = {}_Gt_1 \circ {}_Gt_2\). Bien sûr, nous avons aussi \({}_{\text{id}_\mathcal{B}}t = t\).

De même, soit \(s : G \to G'\) une transformation de foncteurs, où \(G, G' : \mathcal{B} \to \mathcal{C}\), et soit \(F : \mathcal{A} \to \mathcal{B}\) un foncteur. Nous pouvons définir \(s_F\) comme étant la transformation de foncteurs \(G\circ F \to G' \circ F\) donnée par \((s_F)_x = s_{F(x)} : G(F(x)) \to G'(F(x))\) pour tous les \(x \in \mathcal{A}\). De cette façon, la composition avec \(F\) devient un foncteur \[\text{Fun}(\mathcal{B}, \mathcal{C}) \longrightarrow \text{Fun}(\mathcal{A}, \mathcal{C}).\] Pour le voir, il suffit de vérifier que \((\text{id}_G)_F = \text{id}_{G\circ F}\) et que \((s_1 \circ s_2)_F = s_{1, F} \circ s_{2, F}\). Bien sûr, nous avons aussi \(s_{\text{id}_\mathcal{B}} = s\).

Ces constructions satisfont en outre aux propriétés \[{}_{G_1}({}_{G_2}t) = {}_{G_1\circ G_2}t, \ (s_{F_1})_{F_2} = s_{F_1 \circ F_2}, \text{ et }{}_H(s_F) = ({}_Hs)_F\] chaque fois que cela a du sens. Enfin, étant donnés les foncteurs \(F, F' : \mathcal{A} \to \mathcal{B}\) et \(G, G' : \mathcal{B} \to \mathcal{C}\) ainsi que les transformations \(t : F \to F'\) et \(s : G \to G'\), le diagramme suivant est commutatif \[\xymatrix{ G \circ F \ar[r]^{{}_Gt} \ar[d]_{s_F} & G \circ F' \ar[d]^{s_{F'}} \\ G' \circ F \ar[r]_{{}_{G'}t} & G' \circ F' }\] en d’autres termes \({}_{G'}t \circ s_F = s_{F'}\circ {}_Gt\). Pour le prouver, considérons simplement ce qui se passe sur tout objet \(x \in \Ob(\mathcal{A})\) : \[\xymatrix{ G(F(x)) \ar[r]^{G(t_x)} \ar[d]_{s_{F(x)}} & G(F'(x)) \ar[d]^{s_{F'(x)}} \\ G'(F(x)) \ar[r]_{G'(t_x)} & G'(F'(x)) }\] qui est commutatif car \(s\) est une transformation de foncteurs. Cette relation de compatibilité permet de définir une composition horizontale.

Définition

Étant donné un diagramme comme dans le premier diagramme ci-dessous : \[\xymatrix{ \mathcal{A} \rtwocell^F_{F'}{t} & \mathcal{B} \rtwocell^G_{G'}{s} & \mathcal{C} } \text{ donne } \xymatrix{ \mathcal{A} \rrtwocell^{G \circ F} _{G' \circ F'}{\ \ s \star t} & & \mathcal{C} }\] nous définissons la composition horizontale \(s \star t\) comme étant la transformation de foncteurs \({}_{G'}t \circ s_F = s_{F'}\circ {}_Gt\).

Nous voyons maintenant que l’on peut retrouver nos transformations précédemment construites \({}_Gt\) et \(s_F\) sous les noms \({}_Gt = \text{id}_G \star t\) et \(s_F = s \star \text{id}_F\). De plus, toutes les règles que nous avons trouvées ci-dessus sont des conséquences des propriétés énoncées dans le lemme qui suit.

Lemme

Les compositions horizontales et verticales ont les propriétés suivantes

1. \(\circ\) et \(\star\) sont associatifs,

2. les transformations identité \(\text{id}_F\) sont des unités pour \(\circ\),

3. les transformations identité des foncteurs identité \(\text{id}_{\text{id}_\mathcal{A}}\) sont des unités pour \(\star\) et \(\circ\), et

4. étant donné un diagramme \[\xymatrix{ \mathcal{A} \rruppertwocell^F{t} \ar[rr]_(.3){F'} \rrlowertwocell_{F''}{t'} & & \mathcal{B} \rruppertwocell^G{s} \ar[rr]_(.3){G'} \rrlowertwocell_{G''}{s'} & & \mathcal{C} }\] nous avons \((s' \circ s) \star (t' \circ t) = (s' \star t') \circ (s \star t)\).

Démonstration

La dernière assertion devient, dans la notation précédente, l’équation suivante \[s'_{F''} \circ {}_{G'}t' \circ s_{F'} \circ {}_Gt = (s' \circ s)_{F''} \circ {}_G(t' \circ t).\] D’après notre résultat ci-dessus appliqué à la composition du milieu, nous pouvons réécrire le côté gauche comme \(s'_{F''} \circ s_{F''} \circ {}_Gt' \circ {}_Gt\) qui est facilement reconnu égal au côté droit.

Une autre façon de formuler la condition (4) du lemme est que la composition des foncteurs et la composition horizontale des transformations de foncteurs définissent un foncteur \[(\circ, \star) : \text{Fun}(\mathcal{B}, \mathcal{C}) \times \text{Fun}(\mathcal{A}, \mathcal{B}) \longrightarrow \text{Fun}(\mathcal{A}, \mathcal{C})\] dont la source est la catégorie produit, voir Définition 001K.

2-catégories

Nous donnerons une définition des \(2\)-catégories (strictes) telles qu’elles apparaissent dans le contexte des champs. Avant de poursuivre, consulter la section 003D et l’exemple 003K. Il s’agit essentiellement de partir de cet exemple et d’expliciter toutes les règles satisfaites par les objets, les \(1\)-morphismes et les \(2\)-morphismes dans cet exemple.

Définition

Une (stricte) \(2\)-catégorie \(\mathcal{C}\) se compose des données suivantes

1. Un ensemble d’objets \(\Ob(\mathcal{C})\).

2. Pour chaque paire \(x, y \in \Ob(\mathcal{C})\) une catégorie \(\Mor_\mathcal{C}(x, y)\). Les objets de \(\Mor_\mathcal{C}(x, y)\) seront appelés \(1\)-morphismes et notés \(F : x \to y\). Les morphismes entre ces \(1\)-morphismes seront appelés \(2\)-morphismes et notés \(t : F' \to F\). La composition des \(2\)-morphismes dans \(\Mor_\mathcal{C}(x, y)\) sera appelée composition verticale et sera notée \(t \circ t'\) pour \(t : F' \to F\) et \(t' : F'' \to F'\).

3. Pour chaque triple \(x, y, z\in \Ob(\mathcal{C})\) un foncteur \[(\circ, \star) : \Mor_\mathcal{C}(y, z) \times \Mor_\mathcal{C}(x, y) \longrightarrow \Mor_\mathcal{C}(x, z).\] L’image du couple de \(1\)-morphismes \((F, G)\) dans le membre de gauche sera appelée la composition de \(F\) et \(G\), et notée \(F\circ G\). L’image de la paire de \(2\)-morphismes \((t, s)\) sera appelée composition horizontale et notée \(t \star s\).

Ces données doivent satisfaire aux règles suivantes :

1. L’ensemble des objets ainsi que l’ensemble des \(1\)-morphismes dotés d’une composition de \(1\)-morphismes forment une catégorie.

2. La composition horizontale des \(2\)-morphismes est associative.

3. Le \(2\)-morphisme identité \(\text{id}_{\text{id}_x}\) de l’identité \(1\)-morphisme \(\text{id}_x\) est une unité pour la composition horizontale.

Ce type de structure n’est évidemment pas très commode à manier. D’un autre côté, il existe de nombreux exemples où la manière de procéder est assez claire. Le seul exemple que nous ayons jusqu’à présent est celui de la \(2\)-catégorie dont les objets forment une famille donnée de catégories, les \(1\)-morphismes sont des foncteurs entre ces catégories, et les \(2\)-morphismes sont des transformations naturelles de foncteurs, voir la section 003D. En ce qui concerne ce texte, toutes les \(2\)-catégories seront des sous-\(2\)-catégories de cet exemple. Voici ce que signifie être une sous-\(2\)-catégorie.

Définition

Soit \(\mathcal{C}\) une \(2\)-catégorie. Une sous-\(2\)-catégorie \(\mathcal{C}'\) de \(\mathcal{C}\) est donnée par un sous-ensemble \(\Ob(\mathcal{C}')\) de \(\Ob(\mathcal{C})\) et des sous-catégories \(\Mor_{\mathcal{C}'}(x, y)\) des catégories \(\Mor_\mathcal{C}(x, y)\) pour tous les \(x, y \in \Ob(\mathcal{C}')\) de sorte que ces données, avec les opérations \(\circ\) (composition des \(1\)-morphismes), \(\circ\) (composition verticale des \(2\)-morphismes) et \(\star\) (composition horizontale) forment une \(2\)-catégorie.

Remarque

Grandes \(2\)-catégories. Dans de nombreux textes, une \(2\)-catégorie est autorisée à avoir une classe d’objets (mais, espérons-le, une « classe de classes » n’est pas autorisée). Nous autoriserons également ces « grandes » \(2\)-catégories, mais uniquement dans la liste de cas suivante (à mettre à jour au fur et à mesure) :

1. La \(2\)-catégorie des catégories \(\textit{Cat}\).

2. La \((2, 1)\)-catégorie des catégories \(\textit{Cat}\).

3. La \(2\)-catégorie des groupoïdes \(\textit{Groupoïdes}\) ; il s’agit d’une \((2, 1)\)-catégorie.

4. La \(2\)-catégorie des catégories fibrées au-dessus d’une catégorie fixe.

5. La \((2, 1)\)-catégorie des catégories fibrées au-dessus d’une catégorie fixe.

6. La \(2\)-catégorie des catégories fibrées en groupoïdes au-dessus d’une catégorie fixe ; il s’agit d’une \((2, 1)\)-catégorie.

7. La \(2\)-catégorie des champs sur un site fixe.

8. La \((2, 1)\)-catégorie des champs sur un site fixe.

9. La \(2\)-catégorie des champs en groupoïdes sur un site fixe ; il s’agit d’une \((2, 1)\)-catégorie.

10. La \(2\)-catégorie des champs en setoïdes sur un site fixe ; il s’agit d’une \((2, 1)\)-catégorie.

11. La \(2\)-catégorie des champs algébriques sur un schéma fixe ; il s’agit d’une \((2, 1)\)-catégorie.

Voir la définition 003I. Notez que dans chaque cas, la classe d’objets de la \(2\)-catégorie \(\mathcal{C}\) est une classe propre, mais pour tous les objets \(x, y \in \Ob(C)\), la catégorie \(\Mor_\mathcal{C}(x, y)\) est « petite » (selon nos conventions).

La notion d’équivalence des catégories que nous avons définie dans la section 0013 s’étend au cadre plus général des \(2\)-catégories comme suit.

Définition

Deux objets \(x, y\) d’une \(2\)-catégorie sont équivalents s’il existe des \(1\)-morphismes \(F : x \to y\) et \(G : y \to x\) tels que \(F \circ G\) est \(2\)-isomorphe à \(\text{id}_y\) et \(G \circ F\) est \(2\)-isomorphe à \(\text{id}_x\).

Parfois, nous devons dire ce que signifie avoir un foncteur d’une catégorie dans une \(2\)-catégorie.

Définition

Soit \(\mathcal{A}\) une catégorie et \(\mathcal{C}\) une \(2\)-catégorie.

1. Un foncteur d’une catégorie ordinaire dans une \(2\)-catégorie ignorera les \(2\)-morphismes, sauf indication contraire. Autrement dit, ce sera un foncteur « habituel » dans la catégorie obtenue à partir de cette 2-catégorie en oubliant tous les 2-morphismes.

2. Un foncteur faible, ou pseudo-foncteur \(\varphi\) de \(\mathcal{A}\) dans la 2-catégorie \(\mathcal{C}\) est défini par les données suivantes :

   1. une application \(\varphi : \Ob(\mathcal{A}) \to \Ob(\mathcal{C})\),

   2. pour chaque paire \(x, y\in \Ob(\mathcal{A})\) et chaque morphisme \(f : x \to y\), un \(1\)-morphisme \(\varphi(f) : \varphi(x) \to \varphi(y)\),

   3. pour chaque \(x\in \Ob(A)\) un \(2\)-morphisme \(\alpha_x : \text{id}_{\varphi(x)} \to \varphi(\text{id}_x)\), et

   4. pour chaque paire de morphismes composables \(f : x \to y\), \(g : y \to z\) de \(\mathcal{A}\), un \(2\)-morphisme \(\alpha_{g, f} : \varphi(g \circ f) \to \varphi(g) \circ \varphi(f)\).

   Ces données sont soumises aux conditions suivantes :

   1. les \(2\)-morphismes \(\alpha_x\) et \(\alpha_{g, f}\) sont tous des isomorphismes,

   2. pour tout morphisme \(f : x \to y\) dans \(\mathcal{A}\) nous avons \(\alpha_{\text{id}_y, f} = \alpha_y \star \text{id}_{\varphi(f)}\) : \[\xymatrix{ \varphi(x) \rrtwocell^{\varphi(f)}_{\varphi(f)}{\ \ \ \ \text{id}_{\varphi(f)}} & & \varphi(y) \rrtwocell^{\text{id}_{\varphi(y)}}_{\varphi(\text{id}_y)}{\alpha_y} & & \varphi(y) } = \xymatrix{ \varphi(x) \rrtwocell^{\varphi(f)}_{\varphi(\text{id}_y) \circ \varphi(f)}{\ \ \ \ \alpha_{\text{id}_y, f}} & & \varphi(y) }\]

   3. pour tout morphisme \(f : x \to y\) dans \(\mathcal{A}\) nous avons \(\alpha_{f, \text{id}_x} = \text{id}_{\varphi(f)} \star \alpha_x\),

   4. pour tout triple de morphismes composables \(f : w \to x\), \(g : x \to y\) et \(h : y \to z\) de \(\mathcal{A}\) nous avons \[(\text{id}_{\varphi(h)} \star \alpha_{g, f}) \circ \alpha_{h, g \circ f} = (\alpha_{h, g} \star \text{id}_{\varphi(f)}) \circ \alpha_{h \circ g, f}\] en d’autres termes, le diagramme suivant, dont les objets sont les \(1\)-morphismes et les flèches les \(2\)-morphismes, est commutatif \[\xymatrix{ \varphi(h \circ g \circ f) \ar[d]_{\alpha_{h, g \circ f}} \ar[rr]_{\alpha_{h \circ g, f}} & & \varphi(h \circ g) \circ \varphi(f) \ar[d]^{\alpha_{h, g} \star \text{id}_{\varphi(f)}} \\ \varphi(h) \circ \varphi(g \circ f) \ar[rr]^{\text{id}_{\varphi(h)} \star \alpha_{g, f}} & & \varphi(h) \circ \varphi(g) \circ \varphi(f) }\]

Encore une fois, ce n’est pas une notion très pratique, mais elle revient parfois. Il existe un théorème qui dit que tout pseudo-foncteur est isomorphe à un foncteur. Enfin, il y a les notions de foncteur entre \(2\)-catégories et de pseudo-foncteur entre \(2\)-catégories. Cette dernière notion nous amène dans le domaine des \(3\)-catégories. Nous aimerions éviter de devoir définir cela à tout prix ou presque !

(2, 1)-catégories

Certaines \(2\)-catégories ont la propriété que tous les \(2\)-morphismes sont des isomorphismes. Celles-ci joueront un rôle important dans la suite et seront plus faciles à utiliser.

Définition

Une (stricte) \((2, 1)\)-catégorie est une \(2\)-catégorie dans laquelle tous les \(2\)-morphismes sont des isomorphismes.

Exemple

La \(2\)-catégorie \(\textit{Cat}\), voir la remarque 003J, peut être transformée en \((2, 1)\)-catégorie en ne conservant comme \(2\)-morphismes que les isomorphismes de foncteurs.

En fait, plus généralement toute \(2\)-catégorie \(\mathcal{C}\) donne une \((2, 1)\)-catégorie en considérant la sous-\(2\)-catégorie \(\mathcal{C}'\) avec les mêmes objets et \(1\)-morphismes mais dont les \(2\)-morphismes sont les \(2\)-morphismes inversibles de \(\mathcal{C}\). Dans cette situation, nous dirons « soit \(\mathcal{C}'\) la \((2, 1)\)-catégorie associée à \(\mathcal{C}\) » ou une formulation analogue. Par exemple, la \((2, 1)\)-catégorie de groupoïdes désigne la \(2\)-catégorie dont les objets sont des groupoïdes, dont les \(1\)-morphismes sont des foncteurs et dont les \(2\)-morphismes sont des isomorphismes de foncteurs. Cet exemple est toutefois mal choisi, car une transformation entre foncteurs entre groupoïdes est automatiquement un isomorphisme !

Remarque

Il existe donc des variantes de la construction de l’exemple 003K ci-dessus dans lesquelles on considère la \(2\)-catégorie des groupoïdes, ou des catégories fibrées en groupoïdes au-dessus d’une catégorie fixe, ou des champs. Et ainsi de suite.

2-produits fibrés

Dans cette section, nous présentons les \(2\)-produits fibrés. Supposons que \(\mathcal{C}\) soit une 2-catégorie. On dit qu’un diagramme \[\xymatrix{ w \ar[r] \ar[d] & y \ar[d] \\ x \ar[r] & z }\] est 2-commutatif si les deux 1-morphismes \(w \to y \to z\) et \(w \to x \to z\) sont 2-isomorphes. Dans une 2-catégorie, il est plus naturel de demander la 2-commutativité des diagrammes que leur commutativité stricte. (En effet, certains diront peut-être que nous ne devrions pas du tout travailler avec des 2-catégories strictes, et dans une 2-catégorie « faible » la notion de diagramme commutatif de 1-morphismes n’a même pas de sens.) En conséquence, la notion de produit fibré doit être ajustée.

Soit \(\mathcal{C}\) une \(2\)-catégorie. Soient \(x, y, z\in \Ob(\mathcal{C})\) et \(f\in \Mor_\mathcal{C}(x, z)\) et \(g\in \Mor_{\mathcal C}(y, z)\). Afin de définir le 2-produit fibré de \(f\) et \(g\), nous allons examiner les diagrammes 2-commutatifs \[\xymatrix{ & w \ar[r]_a \ar[d]_b & x \ar[d]^{f} \\ & y \ar[r]^{g} & z. }\] Dans le cas des catégories ordinaires, le produit fibré est un objet final dans la catégorie de tels diagrammes. En conséquence, un 2-produit fibré est un objet final dans une 2-catégorie (voir la définition ci-dessous). La \(2\)-catégorie des diagrammes \(2\)-commutatifs sur \(f\) et \(g\) est la \(2\)-catégorie définie comme suit :

1. Les objets sont des quadruples \((w, a, b, \phi)\) comme ci-dessus où \(\phi\) est un 2-morphisme inversible \(\phi : f \circ a \to g \circ b\),

2. Les 1-morphismes de \((w', a', b', \phi')\) à \((w, a, b, \phi)\) sont les triplets \((k : w' \to w, \alpha : a' \to a \circ k, \beta : b' \to b \circ k)\) tels que \[\xymatrix{ f \circ a' \ar[rr]_{\text{id}_f \star \alpha} \ar[d]_{\phi'} & & f \circ a \circ k \ar[d]^{\phi \star \text{id}_k} \\ g \circ b' \ar[rr]^{\text{id}_g \star \beta} & & g \circ b \circ k }\] est commutatif,

3. étant donné un deuxième \(1\)-morphisme \((k', \alpha', \beta') : (w'', a'', b'', \phi'') \to (w', \alpha', \beta', \phi')\), la composition des \(1\)-morphismes est donnée par la règle \[(k, \alpha, \beta) \circ (k', \alpha', \beta') = (k \circ k', (\alpha \star \text{id}_{k'}) \circ \alpha', (\beta \star \text{id}_{k'}) \circ \beta'),\]

4. un 2-morphisme entre les \(1\)-morphismes \((k_i, \alpha_i, \beta_i)\), \(i = 1, 2\) avec la même source et le même but est donné par un 2-morphisme \(\delta : k_1 \to k_2\) tel que \[\xymatrix{ a' \ar[rd]_{\alpha_2} \ar[r]_{\alpha_1} & a \circ k_1 \ar[d]^{\text{id}_a \star \delta} & & b \circ k_1 \ar[d]_{\text{id}_b \star \delta} & b' \ar[l]^{\beta_1} \ar[ld]^{\beta_2} \\ & a \circ k_2 & & b \circ k_2 & }\] est commutatif,

5. la composition verticale des \(2\)-morphismes est donnée par la composition verticale des morphismes \(\delta\) dans \(\mathcal{C}\), et

6. la composition horizontale du diagramme \[\xymatrix{ (w'', a'', b'', \phi'') \rrtwocell^{(k'_1, \alpha'_1, \beta'_1)}_{(k'_2, \alpha'_2, \beta'_2)}{\delta'} & & (w', a', b', \phi') \rrtwocell^{(k_1, \alpha_1, \beta_1)}_{(k_2, \alpha_2, \beta_2)}{\delta} & & (w, a, b, \phi) }\] est donnée par le diagramme \[\xymatrix@C=12pc{ (w'', a'', b'', \phi'') \rtwocell^{(k_1 \circ k'_1, (\alpha_1 \star \text{id}_{k'_1}) \circ \alpha'_1, (\beta_1 \star \text{id}_{k'_1}) \circ \beta'_1)}_{(k_2 \circ k'_2, (\alpha_2 \star \text{id}_{k'_2}) \circ \alpha'_2, (\beta_2 \star \text{id}_{k'_2}) \circ \beta'_2)}{\ \ \ \delta \star \delta'} & (w, a, b, \phi) }\]

Notez que si \(\mathcal{C}\) est en fait une \((2, 1)\)-catégorie, les morphismes \(\alpha\) et \(\beta\) dans (2) ci-dessus sont automatiquement également des isomorphismes⁶. De plus, la \(2\)-catégorie des diagrammes \(2\)-commutatifs est également une \((2, 1)\)-catégorie si \(\mathcal{C}\) est une \((2, 1)\)-catégorie.

Définition

Un objet final d’une \((2, 1)\)-catégorie \(\mathcal{C}\) est un objet \(x\) tel que

1. pour chaque \(y \in \Ob(\mathcal{C})\) il existe un morphisme \(y \to x\), et

2. deux morphismes quelconques \(y \to x\) sont isomorphes par un 2-morphisme unique.

Il est probable que dans le cas plus général des \(2\)-catégories, il existe différentes versions d’objets finaux. Nous ne voulons pas entrer dans ce sujet et c’est pourquoi nous définissons uniquement les \(2\)-produits fibrés dans le cas des \((2, 1)\)-catégories.

Définition

Soit \(\mathcal{C}\) une \((2, 1)\)-catégorie. Soient \(x, y, z\in \Ob(\mathcal{C})\) et \(f\in \Mor_\mathcal{C}(x, z)\) et \(g\in \Mor_{\mathcal C}(y, z)\). Un 2-produit fibré de \(f\) et \(g\) est un objet final dans la catégorie des diagrammes 2-commutatifs décrite ci-dessus. Si un 2-produit fibré existe, nous le noterons \(x \times_z y\in \Ob(\mathcal{C})\), et noterons les morphismes correspondants \(p\in \Mor_{\mathcal C}(x \times_z y, x)\) et \(q\in \Mor_{\mathcal C}(x \times_z y, y)\) rendant le diagramme \[\xymatrix{ & x \times_z y \ar[r]^{p} \ar[d]_q & x \ar[d]^{f} \\ & y \ar[r]^{g} & z }\] 2-commutatif ; nous noterons le 2-morphisme inversible qui en témoigne \(\psi : f \circ p \to g \circ q\).

On a donc la propriété universelle suivante : pour tout \(w\in \Ob(\mathcal{C})\), tous les morphismes \(a \in \Mor_{\mathcal C}(w, x)\) et \(b \in \Mor_\mathcal{C}(w, y)\) munis d’un 2-isomorphisme \(\phi : f \circ a \to g\circ b\) donné, il existe un \(\gamma \in \Mor_{\mathcal C}(w, x \times_z y)\) tel que le diagramme \[\xymatrix{ w\ar[rrrd]^a \ar@{-->}[rrd]_\gamma \ar[rrdd]_b & & \\ & & x \times_z y \ar[r]_p \ar[d]_q & x \ar[d]^{f} \\ & & y \ar[r]^{g} & z }\] soit 2-commutatif, de telle sorte que, pour des choix appropriés de \(a \to p \circ \gamma\) et \(b \to q \circ \gamma\), le diagramme \[\xymatrix{ f \circ a \ar[r] \ar[d]_\phi & f \circ p \circ \gamma \ar[d]^{\psi \star \text{id}_\gamma} \\ g\circ b \ar[r] & g \circ q \circ \gamma }\] est commutatif. De plus, \(\gamma\) est unique à l’isomorphisme près. Bien entendu, les propriétés précises sont plus fines que cela. Tous les cas de 2-produits fibrés dont nous aurons besoin plus tard proviennent de l’exemple suivant de 2-produits fibrés dans la 2-catégorie de catégories.

Exemple

Soient \(\mathcal{A}\), \(\mathcal{B}\) et \(\mathcal{C}\) des catégories. Soient \(F : \mathcal{A} \to \mathcal{C}\) et \(G : \mathcal{B} \to \mathcal{C}\) des foncteurs. Nous définissons une catégorie \(\mathcal{A} \times_\mathcal{C} \mathcal{B}\) comme suit :

1. un objet de \(\mathcal{A} \times_\mathcal{C} \mathcal{B}\) est un triple \((A, B, f)\), où \(A\in \Ob(\mathcal{A})\), \(B\in \Ob(\mathcal{B})\) et \(f : F(A) \to G(B)\) est un isomorphisme dans \(\mathcal{C}\),

2. un morphisme \((A, B, f) \to (A', B', f')\) est donné par une paire \((a, b)\), où \(a : A \to A'\) est un morphisme dans \(\mathcal{A}\), et \(b : B \to B'\) est un morphisme dans \(\mathcal{B}\) tel que le diagramme \[\xymatrix{ F(A) \ar[r]^f \ar[d]^{F(a)} & G(B) \ar[d]^{G(b)} \\ F(A') \ar[r]^{f'} & G(B') }\] est commutatif.

De plus, nous définissons les foncteurs \(p : \mathcal{A} \times_\mathcal{C}\mathcal{B} \to \mathcal{A}\) et \(q : \mathcal{A} \times_\mathcal{C}\mathcal{B} \to \mathcal{B}\) en posant \[p(A, B, f) = A, \quad q(A, B, f) = B,\] en d’autres termes, ce sont les foncteurs d’oubli. Nous définissons une transformation de foncteurs \(\psi : F \circ p \to G \circ q\). Sur l’objet \(\xi = (A, B, f)\) elle est donnée par \(\psi_\xi = f : F(p(\xi)) = F(A) \to G(B) = G(q(\xi))\).

Lemme

Dans la \((2, 1)\)-catégorie des catégories, des \(2\)-produits fibrés existent et sont donnés par la construction de l’exemple 003R.

Démonstration

Vérifions la propriété universelle : soit \(\mathcal{W}\) une catégorie, soit \(a : \mathcal{W} \to \mathcal{A}\) et \(b : \mathcal{W} \to \mathcal{B}\) des foncteurs, et soit \(t : F \circ a \to G \circ b\) un isomorphisme de foncteurs.

Considérons le foncteur \(\gamma : \mathcal{W} \to \mathcal{A} \times_\mathcal{C}\mathcal{B}\) donné par \(W \mapsto (a(W), b(W), t_W)\). (La vérification qu’il s’agit d’un foncteur est omise.) De plus, considérons \(\alpha : a \to p \circ \gamma\) et \(\beta : b \to q \circ \gamma\) obtenus à partir des identités \(p \circ \gamma = a\) et \(q \circ \gamma = b\). Il est alors clair que \((\gamma, \alpha, \beta)\) est un morphisme de \((W, a, b, t)\) vers \((\mathcal{A} \times_\mathcal{C} \mathcal{B}, p, q, \psi)\).

Soit \((k, \alpha', \beta') : (W, a, b, t) \to (\mathcal{A} \times_\mathcal{C} \mathcal{B}, p, q, \psi)\) un deuxième morphisme de ce type. Pour un objet \(W\) de \(\mathcal{W}\) écrivons \(k(W) = (a_k(W), b_k(W), t_{k, W})\). D’où \(p(k(W)) = a_k(W)\), et ainsi de suite. La transformation \(\alpha'\) correspond à une famille fonctorielle de morphismes \(\alpha' : a(W) \to a_k(W)\). Puisque nous travaillons dans la \((2, 1)\)-catégorie des catégories, en fait chacun de ces morphismes \(a(W) \to a_k(W)\) est un isomorphisme. Nous pouvons les utiliser (ainsi que leurs analogues \(b(W) \to b_k(W)\)) pour obtenir des isomorphismes \[\delta_W : \gamma(W) = (a(W), b(W), t_W) \longrightarrow (a_k(W), b_k(W), t_{k, W}) = k(W).\] Il est immédiat de montrer que \(\delta\) définit un \(2\)-isomorphisme entre \(\gamma\) et \(k\) dans la \(2\)-catégorie des diagrammes \(2\)-commutatifs, comme souhaité.

Remarque

Soient \(\mathcal{A}\), \(\mathcal{B}\) et \(\mathcal{C}\) des catégories. Soient \(F : \mathcal{A} \to \mathcal{C}\) et \(G : \mathcal{B} \to \mathcal{C}\) des foncteurs. Une autre construction, légèrement plus symétrique, d’un \(2\)-produit fibré \(\mathcal{A} \times_\mathcal{C} \mathcal{B}\) est la suivante. Un objet est un quintuple \((A, B, C, a, b)\) où \(A, B, C\) sont des objets de \(\mathcal{A}, \mathcal{B}, \mathcal{C}\) et où \(a : F(A) \to C\) et \(b : G(B) \to C\) sont des isomorphismes. Un morphisme \((A, B, C, a, b) \to (A', B', C', a', b')\) est donné par un triplet de morphismes \(A \to A', B \to B', C \to C'\) compatible avec les morphismes \(a, b, a', b'\). Nous pouvons prouver directement que cette construction donne un \(2\)-produit fibré. Cependant, il est plus facile d’observer que le foncteur \((A, B, C, a, b) \mapsto (A, B, b^{-1} \circ a)\) donne une équivalence entre la catégorie des quintuples et la catégorie construite dans l’exemple 003R.

Lemme

Soit le diagramme \[\xymatrix{ & \mathcal{Y} \ar[d]_I \ar[rd]^K & \\ \mathcal{X} \ar[r]^H \ar[rd]^L & \mathcal{Z} \ar[rd]^M & \mathcal{B} \ar[d]^G \\ & \mathcal{A} \ar[r]^F & \mathcal{C} }\] \(2\)-commutatif de catégories. Un choix d’isomorphismes \(\alpha : G \circ K \to M \circ I\) et \(\beta : M \circ H \to F \circ L\) détermine un morphisme \[\mathcal{X} \times_\mathcal{Z} \mathcal{Y} \longrightarrow \mathcal{A} \times_\mathcal{C} \mathcal{B}\] entre les \(2\)-produits fibrés associés à cette situation.

Démonstration

On utilise simplement le foncteur \[(X, Y, \phi) \longmapsto (L(X), K(Y), \alpha^{-1}_Y \circ M(\phi) \circ \beta^{-1}_X)\] sur les objets et \[(a, b) \longmapsto (L(a), K(b))\] sur les morphismes.

Lemme

Plaçons-nous sous les hypothèses du lemme 02XA.

1. Si \(K\) et \(L\) sont fidèles alors le morphisme \(\mathcal{X} \times_\mathcal{Z} \mathcal{Y} \to \mathcal{A} \times_\mathcal{C} \mathcal{B}\) est fidèle.

2. Si \(K\) et \(L\) sont pleinement fidèles et que \(M\) est fidèle alors le morphisme \(\mathcal{X} \times_\mathcal{Z} \mathcal{Y} \to \mathcal{A} \times_\mathcal{C} \mathcal{B}\) est pleinement fidèle.

3. Si \(K\) et \(L\) sont des équivalences et que \(M\) est pleinement fidèle alors le morphisme \(\mathcal{X} \times_\mathcal{Z} \mathcal{Y} \to \mathcal{A} \times_\mathcal{C} \mathcal{B}\) est une équivalence.

Démonstration

Soient \((X, Y, \phi)\) et \((X', Y', \phi')\) des objets de \(\mathcal{X} \times_\mathcal{Z} \mathcal{Y}\). Posons \(Z = H(X)\) et identifions-le à \(I(Y)\) au moyen de \(\phi\). Identifions également \(M(Z)\) à \(F(L(X))\) au moyen de \(\alpha_X\) et \(M(Z)\) à \(G(K(Y))\) au moyen de \(\beta_Y\). De même pour \(Z' = H(X')\) et \(M(Z')\). L’application sur les morphismes est l’application \[\xymatrix{ \Mor_\mathcal{X}(X, X') \times_{\Mor_\mathcal{Z}(Z, Z')} \Mor_\mathcal{Y}(Y, Y') \ar[d] \\ \Mor_\mathcal{A}(L(X), L(X')) \times_{\Mor_\mathcal{C}(M(Z), M(Z'))} \Mor_\mathcal{B}(K(Y), K(Y')) }\] Les parties (1) et (2) suivent donc. De plus, si \(K\) et \(L\) sont des équivalences et que \(M\) est pleinement fidèle, alors tout objet \((A, B, \phi)\) appartient à l’image essentielle pour les raisons suivantes : choisissons \(X\), \(Y\) tels que \(L(X) \cong A\) et \(K(Y) \cong B\). Alors la pleine fidélité de \(M\) garantit que l’on peut trouver un isomorphisme \(H(X) \cong I(Y)\). Certains détails sont omis.

Lemme

Soit le diagramme \[\xymatrix{ \mathcal{A} \ar[rd] & & \mathcal{C} \ar[ld] \ar[rd] & & \mathcal{E} \ar[ld] \\ & \mathcal{B} & & \mathcal{D} }\] de catégories et de foncteurs. Alors il existe un isomorphisme canonique \[(\mathcal{A} \times_\mathcal{B} \mathcal{C}) \times_\mathcal{D} \mathcal{E} \cong \mathcal{A} \times_\mathcal{B} (\mathcal{C} \times_\mathcal{D} \mathcal{E})\] de catégories.

Démonstration

On utilise simplement le foncteur \[((A, C, \phi), E, \psi) \longmapsto (A, (C, E, \psi), \phi)\] ce qui définit le foncteur voulu, si l’on voit ce que cela signifie.

Désormais, nous omettrons les parenthèses lorsqu’il s’agit de produits fibrés de plus de 2 catégories.

Lemme

Soit le diagramme \[\xymatrix{ \mathcal{A} \ar[rd] & & \mathcal{C} \ar[ld] \ar[rd] & & \mathcal{E} \ar[ld] \\ & \mathcal{B} \ar[rd]_F & & \mathcal{D} \ar[ld]^G \\ & & \mathcal{F} & }\] commutatif de catégories et de foncteurs. Alors il existe un foncteur canonique \[\text{pr}_{02} : \mathcal{A} \times_\mathcal{B} \mathcal{C} \times_\mathcal{D} \mathcal{E} \longrightarrow \mathcal{A} \times_\mathcal{F} \mathcal{E}\] de catégories.

Démonstration

Si nous écrivons \(\mathcal{A} \times_\mathcal{B} \mathcal{C} \times_\mathcal{D} \mathcal{E}\) comme \((\mathcal{A} \times_\mathcal{B} \mathcal{C}) \times_\mathcal{D} \mathcal{E}\) alors nous pouvons simplement utiliser le foncteur \[((A, C, \phi), E, \psi) \longmapsto (A, E, G(\psi) \circ F(\phi))\] ce qui définit le foncteur voulu, si l’on voit ce que cela signifie.

Lemme

Soit le diagramme \[\mathcal{A} \to \mathcal{B} \leftarrow \mathcal{C} \leftarrow \mathcal{D}\] de catégories et de foncteurs. Alors il existe un isomorphisme canonique \[\mathcal{A} \times_\mathcal{B} \mathcal{C} \times_\mathcal{C} \mathcal{D} \cong \mathcal{A} \times_\mathcal{B} \mathcal{D}\] de catégories.

Démonstration

Omis.

Nous affirmons que cela signifie que l’on peut travailler avec ces \(2\)-produits fibrés comme avec des produits fibrés ordinaires. Voici quelques autres lemmes qui reviendront plus tard.

Lemme

Soit le diagramme \[\xymatrix{ \mathcal{C}_3 \ar[r] \ar[d] & \mathcal{S} \ar[d]^\Delta \\ \mathcal{C}_1 \times \mathcal{C}_2 \ar[r]^{G_1 \times G_2} & \mathcal{S} \times \mathcal{S} }\] un \(2\)-produit fibré de catégories. Il existe alors un isomorphisme canonique \(\mathcal{C}_3 \cong \mathcal{C}_1 \times_{G_1, \mathcal{S}, G_2} \mathcal{C}_2\).

Démonstration

Nous pouvons supposer que \(\mathcal{C}_3\) est la catégorie \((\mathcal{C}_1 \times \mathcal{C}_2)\times_{\mathcal{S} \times \mathcal{S}} \mathcal{S}\) construite dans l’exemple 003R. Un objet est donc un triple \(((X_1, X_2), S, \phi)\) où \(\phi = (\phi_1, \phi_2) : (G_1(X_1), G_2(X_2)) \to (S, S)\) est un isomorphisme. On peut ainsi y associer le triple \((X_1, X_2, \phi_2^{-1} \circ \phi_1)\). À l’inverse, si \((X_1, X_2, \psi)\) est un objet de \(\mathcal{C}_1 \times_{G_1, \mathcal{S}, G_2} \mathcal{C}_2\), alors on peut lui associer le triple \(((X_1, X_2), G_2(X_2), (\psi, \text{id}_{G_2(X_2)}))\). Nous affirmons que ces constructions définissent des foncteurs mutuellement inverses. Nous omettons de décrire comment traiter les morphismes et de montrer qu’ils sont mutuellement inverses.

Lemme

Soit le diagramme \[\xymatrix{ \mathcal{C}' \ar[r] \ar[d] & \mathcal{S} \ar[d]^\Delta \\ \mathcal{C} \ar[r]^{(G_1, G_2)} & \mathcal{S} \times \mathcal{S} }\] un \(2\)-produit fibré de catégories. Alors il existe un isomorphisme canonique \[\mathcal{C}' \cong (\mathcal{C} \times_{G_1, \mathcal{S}, G_2} \mathcal{C}) \times_{(p, q), \mathcal{C} \times \mathcal{C}, \Delta} \mathcal{C}.\]

Démonstration

Un objet du côté droit est donné par \(((C_1, C_2, \phi), C_3, \psi)\) où \(\phi : G_1(C_1) \to G_2(C_2)\) est un isomorphisme et \(\psi = (\psi_1, \psi_2) : (C_1, C_2) \to (C_3, C_3)\) est un isomorphisme. On peut donc y associer le triple \((C_3, G_1(C_1), (G_1(\psi_1^{-1}), \phi^{-1} \circ G_2(\psi_2^{-1})))\) qui est un objet de \(\mathcal{C}'\). Détails omis.

Lemme

Soient \(\mathcal{A} \to \mathcal{C}\), \(\mathcal{B} \to \mathcal{C}\) et \(\mathcal{C} \to \mathcal{D}\) des foncteurs entre catégories. Alors le diagramme \[\xymatrix{ \mathcal{A} \times_\mathcal{C} \mathcal{B} \ar[d] \ar[r] & \mathcal{A} \times_\mathcal{D} \mathcal{B} \ar[d] \\ \mathcal{C} \ar[r]^-{\Delta_{\mathcal{C}/\mathcal{D}}} \ar[r] & \mathcal{C} \times_\mathcal{D} \mathcal{C} }\] est \(2\)-cartésien.

Démonstration

Omis.

Lemme

Soit le diagramme \[\xymatrix{ \mathcal{U} \ar[d] \ar[r] & \mathcal{V} \ar[d] \\ \mathcal{X} \ar[r] & \mathcal{Y} }\] un \(2\)-produit fibré de catégories. Alors le diagramme \[\xymatrix{ \mathcal{U} \ar[d] \ar[r] & \mathcal{U} \times_\mathcal{V} \mathcal{U} \ar[d] \\ \mathcal{X} \ar[r] & \mathcal{X} \times_\mathcal{Y} \mathcal{X} }\] est \(2\)-cartésien.

Démonstration

Il s’agit d’un énoncé purement \(2\)-catégorique, valable dans toute \((2, 1)\)-catégorie avec des \(2\)-produits fibrés. Explicitement, cela découle de la chaîne d’équivalences suivante : \[\begin{align*} \mathcal{X} \times_{(\mathcal{X} \times_\mathcal{Y} \mathcal{X})} (\mathcal{U} \times_\mathcal{V} \mathcal{U}) & = \mathcal{X} \times_{(\mathcal{X} \times_\mathcal{Y} \mathcal{X})} ((\mathcal{X} \times_\mathcal{Y} \mathcal{V}) \times_\mathcal{V} (\mathcal{X} \times_\mathcal{Y} \mathcal{V})) \\ & = \mathcal{X} \times_{(\mathcal{X} \times_\mathcal{Y} \mathcal{X})} (\mathcal{X} \times_\mathcal{Y} \mathcal{X} \times_\mathcal{Y} \mathcal{V}) \\ & = \mathcal{X} \times_\mathcal{Y} \mathcal{V} = \mathcal{U} \end{align*}\] voir les lemmes 02XC et 02XD.

Catégories au-dessus de catégories

Dans cette section, nous avons un foncteur \(p : \mathcal{S} \to \mathcal{C}\). Nous considérons \(\mathcal{S}\) comme placée au-dessus et \(\mathcal{C}\) comme placée au-dessous. Pour nous assurer que tout le monde sait de quoi nous parlons, nous définissons la \(2\)-catégorie des catégories au-dessus de \(\mathcal{C}\).

Définition

Soit \(\mathcal{C}\) une catégorie. La \(2\)-catégorie des catégories au-dessus de \(\mathcal{C}\) est la \(2\)-catégorie définie comme suit :

1. Ses objets seront des foncteurs \(p : \mathcal{S} \to \mathcal{C}\).

2. Ses \(1\)-morphismes \((\mathcal{S}, p) \to (\mathcal{S}', p')\) seront des foncteurs \(G : \mathcal{S} \to \mathcal{S}'\) tels que \(p' \circ G = p\).

3. Ses \(2\)-morphismes \(t : G \to H\) pour \(G, H : (\mathcal{S}, p) \to (\mathcal{S}', p')\) seront des morphismes de foncteurs tels que \(p'(t_x) = \text{id}_{p(x)}\) pour tous \(x \in \Ob(\mathcal{S})\).

Dans cette situation nous désignerons par \[\Mor_{\textit{Cat}/\mathcal{C}}(\mathcal{S}, \mathcal{S}')\] la catégorie des \(1\)-morphismes entre \((\mathcal{S}, p)\) et \((\mathcal{S}', p')\).

Dans cette \(2\)-catégorie, nous définissons la composition horizontale et verticale exactement comme cela est fait pour \(\textit{Cat}\) dans la section 003D. Les axiomes d’une \(2\)-catégorie sont satisfaits pour la même raison que ceux de \(\textit{Cat}\). Pour voir cela, on peut également utiliser le fait que les axiomes sont valables dans \(\textit{Cat}\) et vérifier des assertions telles que « la composition verticale des \(2\)-morphismes au-dessus de \(\mathcal{C}\) donne un autre \(2\)-morphisme au-dessus de \(\mathcal{C}\) ». C’est clair.

Par analogie avec la fibre d’une application d’espaces, nous avons la notion de catégorie fibre, ainsi que quelques notions de relèvement associées à cette situation.

Définition

Soit \(\mathcal{C}\) une catégorie. Soit \(p : \mathcal{S} \to \mathcal{C}\) une catégorie au-dessus de \(\mathcal{C}\).

1. La catégorie fibre au-dessus d’un objet \(U\in \Ob(\mathcal{C})\) est la catégorie \(\mathcal{S}_U\) avec des objets \[\Ob(\mathcal{S}_U) = \{x\in \Ob(\mathcal{S}) : p(x) = U\}\] et morphismes \[\Mor_{\mathcal{S}_U}(x, y) = \{ \phi \in \Mor_\mathcal{S}(x, y) : p(\phi) = \text{id}_U\}.\]

2. Un relèvement d’un objet \(U \in \Ob(\mathcal{C})\) est un objet \(x\in \Ob(\mathcal{S})\) tel que \(p(x) = U\), c’est-à-dire que \(x\in \Ob(\mathcal{S}_U)\). Nous dirons aussi parfois que \(x\) est au-dessus de \(U\).

3. De même, un relèvement d’un morphisme \(f : V \to U\) dans \(\mathcal{C}\) est un morphisme \(\phi : y \to x\) dans \(\mathcal{S}\) tel que \(p(\phi) = f\). On dit parfois que \(\phi\) est au-dessus de \(f\).

Nous pourrions faire ici quelques observations. Par exemple, si \(F : (\mathcal{S}, p) \to (\mathcal{S}', p')\) est un \(1\)-morphisme de catégories au-dessus de \(\mathcal{C}\), alors \(F\) induit des foncteurs entre catégories fibres \(F : \mathcal{S}_U \to \mathcal{S}'_U\). Il en va de même pour les \(2\)-morphismes.

Voici le lemme incontournable décrivant le \(2\)-produit fibré dans la \((2, 1)\)-catégorie des catégories au-dessus de \(\mathcal{C}\).

Lemme

Soit \(\mathcal{C}\) une catégorie. La \((2, 1)\)-catégorie des catégories au-dessus de \(\mathcal{C}\) admet des 2-produits fibrés. Supposons que \(F : \mathcal{X} \to \mathcal{S}\) et \(G : \mathcal{Y} \to \mathcal{S}\) soient des morphismes de catégories au-dessus de \(\mathcal{C}\). Un 2-produit fibré explicite \(\mathcal{X} \times_\mathcal{S}\mathcal{Y}\) est donné par la description suivante :

1. un objet de \(\mathcal{X} \times_\mathcal{S} \mathcal{Y}\) est un quadruple \((U, x, y, f)\), où \(U \in \Ob(\mathcal{C})\), \(x\in \Ob(\mathcal{X}_U)\), \(y\in \Ob(\mathcal{Y}_U)\) et \(f : F(x) \to G(y)\) est un isomorphisme dans \(\mathcal{S}_U\),

2. un morphisme \((U, x, y, f) \to (U', x', y', f')\) est donné par une paire \((a, b)\), où \(a : x \to x'\) est un morphisme dans \(\mathcal{X}\), et \(b : y \to y'\) est un morphisme dans \(\mathcal{Y}\) tel que

   1. \(a\) et \(b\) induisent le même morphisme \(U \to U'\), et

   2. le diagramme \[\xymatrix{ F(x) \ar[r]^f \ar[d]^{F(a)} & G(y) \ar[d]^{G(b)} \\ F(x') \ar[r]^{f'} & G(y') }\] est commutatif.

Les foncteurs \(p : \mathcal{X} \times_\mathcal{S}\mathcal{Y} \to \mathcal{X}\) et \(q : \mathcal{X} \times_\mathcal{S}\mathcal{Y} \to \mathcal{Y}\) sont les foncteurs d’oubli dans ce cas. La transformation \(\psi : F \circ p \to G \circ q\) est donnée sur l’objet \(\xi = (U, x, y, f)\) par \(\psi_\xi = f : F(p(\xi)) = F(x) \to G(y) = G(q(\xi))\).

Démonstration

Vérifions la propriété universelle : soit \(p_\mathcal{W} : \mathcal{W}\to \mathcal{C}\) une catégorie au-dessus de \(\mathcal{C}\), soient \(X : \mathcal{W} \to \mathcal{X}\) et \(Y : \mathcal{W} \to \mathcal{Y}\) des foncteurs au-dessus de \(\mathcal{C}\), et soit \(t : F \circ X \to G \circ Y\) un isomorphisme de foncteurs au-dessus de \(\mathcal{C}\). Le foncteur recherché \(\gamma : \mathcal{W} \to \mathcal{X} \times_\mathcal{S} \mathcal{Y}\) est donné par \(W \mapsto (p_\mathcal{W}(W), X(W), Y(W), t_W)\). Détails omis ; comparer avec le lemme 02X9.

Exemple

Les constructions de \(2\)-produits fibrés dans la 2-catégorie des catégories au-dessus d’une catégorie, données dans le lemme 0040, et dans la 2-catégorie des catégories, données dans le lemme 02X9 (comme dans l’exemple 003R) produisent des résultats non équivalents en général. Plus précisément, soit \(\mathcal{S}\) le groupoïde avec un objet et deux flèches, et soit \(\mathcal{X}\) la catégorie discrète avec un objet. En prenant le \(2\)-produit fibré \(\mathcal{X} \times_\mathcal{S} \mathcal{X}\) en tant que catégories, on obtient la catégorie discrète avec deux objets. Cependant, si nous considérons toutes ces catégories comme des catégories au-dessus de \(\mathcal{S}\), le \(2\)-produit fibré \(\mathcal{X} \times_\mathcal{S} \mathcal{X}\) en tant que catégories au-dessus de \(\mathcal{S}\) est la catégorie discrète avec un objet. La différence est que (dans la notation du lemme 0040), nous étions autorisés à choisir n’importe quel isomorphisme de comparaison \(f\) dans la première situation, mais nous ne pouvions choisir la flèche d’identité que dans la seconde situation.

Lemme

Soit \(\mathcal{C}\) une catégorie. Soient \(f : \mathcal{X} \to \mathcal{S}\) et \(g : \mathcal{Y} \to \mathcal{S}\) des morphismes de catégories au-dessus de \(\mathcal{C}\). Pour tout objet \(U\) de \(\mathcal{C}\) nous avons l’identité suivante entre les catégories fibres \[\left(\mathcal{X} \times_\mathcal{S}\mathcal{Y}\right)_U = \mathcal{X}_U \times_{\mathcal{S}_U} \mathcal{Y}_U\]

Démonstration

Omis.

Catégories fibrées

Il convient de donner une très brève présentation des catégories fibrées.

Soit \(p : \mathcal{S} \to \mathcal{C}\) une catégorie au-dessus de \(\mathcal{C}\). Étant donné un objet \(x \in \mathcal{S}\) tel que \(p(x) = U\), et un morphisme \(f : V \to U\), nous pouvons essayer de former une sorte de « produit fibré \(V \times_U x\) » (ou un changement de base de \(x\) par \(V \to U\)). En effet, un morphisme d’un objet \(z \in \mathcal{S}\) vers « \(V \times_U x\) » devrait être donné par une paire \((\varphi, g)\), où \(\varphi : z \to x\), \(g : p(z) \to V\) et \(p(\varphi) = f \circ g\). Voici la situation : \[\xymatrix{ z \ar@{~>}[d]^p \ar@{-}[r] & ? \ar[r] \ar@{~>}[d]^p & x \ar@{~>}[d]^p \\ p(z) \ar[r] & V \ar[r]^f & U }\] Si un tel morphisme \(V \times_U x \to x\) existe, on l’appelle un morphisme fortement cartésien.

Définition

Soit \(\mathcal{C}\) une catégorie. Soit \(p : \mathcal{S} \to \mathcal{C}\) une catégorie au-dessus de \(\mathcal{C}\). Un morphisme fortement cartésien, ou plus précisément un morphisme fortement \(\mathcal{C}\)-cartésien, est un morphisme \(\varphi : y \to x\) de \(\mathcal{S}\) tel que, pour tout \(z \in \Ob(\mathcal{S})\), l’application \[\Mor_\mathcal{S}(z, y) \longrightarrow \Mor_\mathcal{S}(z, x) \times_{\Mor_\mathcal{C}(p(z), p(x))} \Mor_\mathcal{C}(p(z), p(y)),\] donnée par \(\psi \longmapsto (\varphi \circ \psi, p(\psi))\), soit bijective.

Notons que, par le lemme de Yoneda 001P, étant donnés \(x \in \Ob(\mathcal{S})\) au-dessus de \(U \in \Ob(\mathcal{C})\) et un morphisme \(f : V \to U\) de \(\mathcal{C}\), s’il existe un morphisme fortement cartésien \(\varphi : y \to x\) tel que \(p(\varphi) = f\), alors \((y, \varphi)\) est unique à isomorphisme unique près. Cela résulte clairement de la définition ci-dessus, puisque le foncteur \[z \longmapsto \Mor_\mathcal{S}(z, x) \times_{\Mor_\mathcal{C}(p(z), U)} \Mor_\mathcal{C}(p(z), V)\] ne dépend que des données \((x, U, f : V \to U)\). Ainsi, nous emploierons parfois \(V \times_U x \to x\) ou \(f^*x \to x\) pour désigner un morphisme fortement cartésien qui relève \(f\).

Lemme

Soit \(\mathcal{C}\) une catégorie. Soit \(p : \mathcal{S} \to \mathcal{C}\) une catégorie au-dessus de \(\mathcal{C}\).

1. Le composé de deux morphismes fortement cartésiens est fortement cartésien.

2. Tout isomorphisme de \(\mathcal{S}\) est fortement cartésien.

3. Tout morphisme fortement cartésien \(\varphi\) tel que \(p(\varphi)\) soit un isomorphisme est un isomorphisme.

Démonstration

Démonstration de (1). Soient \(\varphi : y \to x\) et \(\psi : z \to y\) des morphismes fortement cartésiens. Soit \(t\) un objet quelconque de \(\mathcal{S}\). Alors \[\begin{align*} & \Mor_\mathcal{S}(t, z) \\ & = \Mor_\mathcal{S}(t, y) \times_{\Mor_\mathcal{C}(p(t), p(y))} \Mor_\mathcal{C}(p(t), p(z)) \\ & = \Mor_\mathcal{S}(t, x) \times_{\Mor_\mathcal{C}(p(t), p(x))} \Mor_\mathcal{C}(p(t), p(y)) \times_{\Mor_\mathcal{C}(p(t), p(y))} \Mor_\mathcal{C}(p(t), p(z)) \\ & = \Mor_\mathcal{S}(t, x) \times_{\Mor_\mathcal{C}(p(t), p(x))} \Mor_\mathcal{C}(p(t), p(z)) \end{align*}\] et donc \(z \to x\) est fortement cartésien.

Démonstration de (2). Soit \(y \to x\) un isomorphisme. Alors \(p(y) \to p(x)\) est également un isomorphisme. Par conséquent, \(\Mor_\mathcal{C}(p(z), p(y)) \to \Mor_\mathcal{C}(p(z), p(x))\) est une bijection. Ainsi, \(\Mor_\mathcal{S}(z, x) \times_{\Mor_\mathcal{C}(p(z), p(x))} \Mor_\mathcal{C}(p(z), p(y))\) est en bijection avec \(\Mor_\mathcal{S}(z, x)\). L’application affichée dans la définition 02XK est donc bijective puisque \(y \to x\) est un isomorphisme, et nous en concluons que \(y \to x\) est fortement cartésien.

Démonstration de (3). Supposons que \(\varphi : y \to x\) soit fortement cartésien et que \(p(\varphi) : p(y) \to p(x)\) soit un isomorphisme. En appliquant la définition avec \(z = x\), on voit que \((\text{id}_x, p(\varphi)^{-1})\) provient d’un unique morphisme \(\chi : x \to y\). Nous omettons la vérification que \(\chi\) est l’inverse de \(\varphi\).

Lemme

Soient \(F : \mathcal{A} \to \mathcal{B}\) et \(G : \mathcal{B} \to \mathcal{C}\) des foncteurs composables entre catégories. Soit \(x \to y\) un morphisme de \(\mathcal{A}\). Si \(x \to y\) est fortement \(\mathcal{B}\)-cartésien et si \(F(x) \to F(y)\) est fortement \(\mathcal{C}\)-cartésien, alors \(x \to y\) est fortement \(\mathcal{C}\)-cartésien.

Démonstration

Cela résulte directement de la définition.

Lemme

Soit \(\mathcal{C}\) une catégorie. Soit \(p : \mathcal{S} \to \mathcal{C}\) une catégorie au-dessus de \(\mathcal{C}\). Soient \(x \to y\) et \(z \to y\) des morphismes de \(\mathcal{S}\). Supposons que

1. \(x \to y\) soit fortement cartésien,

2. \(p(x) \times_{p(y)} p(z)\) existe, et

3. il existe un morphisme fortement cartésien \(a : w \to z\) dans \(\mathcal{S}\) tel que \(p(w) = p(x) \times_{p(y)} p(z)\) et \(p(a) = \text{pr}_2 : p(x) \times_{p(y)} p(z) \to p(z)\).

Alors le produit fibré \(x \times_y z\) existe et est isomorphe à \(w\).

Démonstration

Comme \(x \to y\) est fortement cartésien, il existe un unique morphisme \(b : w \to x\) tel que \(p(b) = \text{pr}_1\). Pour voir que \(w\) est le produit fibré, calculons \[\begin{align*} & \Mor_\mathcal{S}(t, w) \\ & = \Mor_\mathcal{S}(t, z) \times_{\Mor_\mathcal{C}(p(t), p(z))} \Mor_\mathcal{C}(p(t), p(w)) \\ & = \Mor_\mathcal{S}(t, z) \times_{\Mor_\mathcal{C}(p(t), p(z))} (\Mor_\mathcal{C}(p(t), p(x)) \times_{\Mor_\mathcal{C}(p(t), p(y))} \Mor_\mathcal{C}(p(t), p(z))) \\ & = \Mor_\mathcal{S}(t, z) \times_{\Mor_\mathcal{C}(p(t), p(y))} \Mor_\mathcal{C}(p(t), p(x)) \\ & = \Mor_\mathcal{S}(t, z) \times_{\Mor_\mathcal{S}(t, y)} \Mor_\mathcal{S}(t, y) \times_{\Mor_\mathcal{C}(p(t), p(y))} \Mor_\mathcal{C}(p(t), p(x)) \\ & = \Mor_\mathcal{S}(t, z) \times_{\Mor_\mathcal{S}(t, y)} \Mor_\mathcal{S}(t, x) \end{align*}\] comme voulu. La première égalité vaut parce que \(a : w \to z\) est fortement cartésien, et la dernière parce que \(x \to y\) est fortement cartésien.

Définition

Soit \(\mathcal{C}\) une catégorie. Soit \(p : \mathcal{S} \to \mathcal{C}\) une catégorie au-dessus de \(\mathcal{C}\). On dit que \(\mathcal{S}\) est une catégorie fibrée au-dessus de \(\mathcal{C}\) si, pour tout \(x \in \Ob(\mathcal{S})\) au-dessus de \(U \in \Ob(\mathcal{C})\) et tout morphisme \(f : V \to U\) de \(\mathcal{C}\), il existe un morphisme fortement cartésien \(f^*x \to x\) au-dessus de \(f\).

Supposons que \(p : \mathcal{S} \to \mathcal{C}\) soit une catégorie fibrée. Pour tous \(f : V \to U\) et \(x\in \Ob(\mathcal{S}_U)\) comme dans la définition, nous pouvons choisir un morphisme fortement cartésien \(f^\ast x \to x\) au-dessus de \(f\). Par l’axiome du choix, nous pouvons choisir simultanément \(f^*x \to x\) pour tous les \(f: V \to U = p(x)\). Nous affirmons que, pour tout morphisme \(\phi : x \to x'\) dans \(\mathcal{S}_U\) et tout \(f : V \to U\), il existe un unique morphisme \(f^\ast \phi : f^\ast x \to f^\ast x'\) dans \(\mathcal{S}_V\) tel que \[\xymatrix{ f^\ast x \ar[r]_{f^\ast \phi} \ar[d] & f^\ast x' \ar[d] \\ x \ar[r]^{\phi} & x' }\] soit commutatif. En effet, la flèche existe et est unique parce que \(f^*x' \to x'\) est fortement cartésien. L’unicité de cette flèche garantit que \(f^\ast\) (désormais également défini sur les morphismes) est un foncteur \(f^\ast : \mathcal{S}_U \to \mathcal{S}_V\).

Définition

Supposons que \(p : \mathcal{S} \to \mathcal{C}\) soit une catégorie fibrée.

1. Un choix de changements de base⁷ pour \(p : \mathcal{S} \to \mathcal{C}\) consiste à choisir un morphisme fortement cartésien \(f^\ast x \to x\) au-dessus de \(f\) pour tout morphisme \(f: V \to U\) de \(\mathcal{C}\) et tout \(x \in \Ob(\mathcal{S}_U)\).

2. Étant donné un choix de changements de base, pour tout morphisme \(f : V \to U\) de \(\mathcal{C}\), le foncteur \(f^* : \mathcal{S}_U \to \mathcal{S}_V\) décrit ci-dessus est appelé foncteur de changement de base (associé aux choix \(f^*x \to x\) faits ci-dessus).

Nous pouvons évidemment toujours supposer que notre choix de changements de base vérifie \(\text{id}_U^*x = x\), bien qu’en pratique cette propriété soit inutile si l’on n’impose pas d’autres hypothèses aux changements de base.

Lemme

Supposons que \(p : \mathcal{S} \to \mathcal{C}\) soit une catégorie fibrée. Supposons que l’on ait choisi des changements de base pour \(p : \mathcal{S} \to \mathcal{C}\).

1. Pour toute paire de morphismes composables \(f : V \to U\), \(g : W \to V\), il existe un unique isomorphisme \[\alpha_{g, f} : (f \circ g)^\ast \longrightarrow g^\ast \circ f^\ast\] de foncteurs \(\mathcal{S}_U \to \mathcal{S}_W\) tel que, pour tout \(y\in \Ob(\mathcal{S}_U)\), le diagramme suivant soit commutatif : \[\xymatrix{ g^\ast f^\ast y \ar[r] & f^\ast y \ar[d] \\ (f \circ g)^\ast y \ar[r] \ar[u]^{(\alpha_{g, f})_y} & y }\]

2. Si \(f = \text{id}_U\), il existe un isomorphisme canonique \(\alpha_U : \text{id} \to (\text{id}_U)^*\) de foncteurs \(\mathcal{S}_U \to \mathcal{S}_U\).

3. Le quadruplet \((U \mapsto \mathcal{S}_U, f \mapsto f^*, \alpha_{g, f}, \alpha_U)\) définit un pseudo-foncteur de \(\mathcal{C}^{opp}\) vers la \((2, 1)\)-catégorie des catégories, voir la définition 003N.

Démonstration

En fait, il est clair que le diagramme commutatif de la partie (1) détermine de manière unique le morphisme \((\alpha_{g, f})_y\) dans la catégorie fibre \(\mathcal{S}_W\). C’est un isomorphisme, puisque tant le morphisme \((f \circ g)^*y \to y\) que le composé \(g^*f^*y \to f^*y \to y\) sont des morphismes fortement cartésiens relevant \(f \circ g\) (voir la discussion qui suit la définition 02XK et le lemme 02XL). De même, comme \(\text{id}_x : x \to x\) est manifestement fortement cartésien au-dessus de \(\text{id}_U\) (avec \(U = p(x)\)), nous voyons qu’il existe un isomorphisme \((\alpha_U)_x : x \to (\text{id}_U)^*x\). (Nous aurions évidemment pu supposer au préalable que \(f^*x = x\) chaque fois que \(f\) est un morphisme identité, mais il vaut mieux, par souci de généralité, ne pas faire cette hypothèse.) Nous omettons la vérification que \(\alpha_{g, f}\) et \(\alpha_U\) ainsi obtenus sont des transformations de foncteurs. Nous omettons aussi la vérification de (3).

Lemme

Soit \(\mathcal{C}\) une catégorie. Soient \(\mathcal{S}_1\), \(\mathcal{S}_2\) des catégories au-dessus de \(\mathcal{C}\). Supposons que \(\mathcal{S}_1\) et \(\mathcal{S}_2\) soient équivalentes comme catégories au-dessus de \(\mathcal{C}\). Alors \(\mathcal{S}_1\) est fibrée au-dessus de \(\mathcal{C}\) si et seulement si \(\mathcal{S}_2\) est fibrée au-dessus de \(\mathcal{C}\).

Démonstration

Notons \(p_i : \mathcal{S}_i \to \mathcal{C}\) les foncteurs donnés. Soient \(F : \mathcal{S}_1 \to \mathcal{S}_2\), \(G : \mathcal{S}_2 \to \mathcal{S}_1\) des foncteurs au-dessus de \(\mathcal{C}\), et soient \(i : F \circ G \to \text{id}_{\mathcal{S}_2}\), \(j : G \circ F \to \text{id}_{\mathcal{S}_1}\) des isomorphismes de foncteurs au-dessus de \(\mathcal{C}\). Nous affirmons que, dans ce cas, \(F\) envoie les morphismes fortement cartésiens sur des morphismes fortement cartésiens. En effet, supposons que \(\varphi : y \to x\) soit fortement cartésien dans \(\mathcal{S}_1\). Posons \(f : V \to U\) ; il s’agit de \(p_1(\varphi)\). Supposons que \(z' \in \Ob(\mathcal{S}_2)\), avec \(W = p_2(z')\), et que l’on se soit donné \(g : W \to V\) et \(\psi' : z' \to F(x)\) tels que \(p_2(\psi') = f \circ g\). Alors \[\psi = j \circ G(\psi') : G(z') \to G(F(x)) \to x\] est un morphisme dans \(\mathcal{S}_1\) tel que \(p_1(\psi) = f \circ g\). Par hypothèse, il existe donc un unique morphisme \(\xi : G(z') \to y\) au-dessus de \(g\) tel que \(\psi = \varphi \circ \xi\). Celui-ci fournit à son tour un morphisme \[\xi' = F(\xi) \circ i^{-1} : z' \to F(G(z')) \to F(y)\] au-dessus de \(g\) tel que \(\psi' = F(\varphi) \circ \xi'\). Nous omettons la vérification que \(\xi'\) est unique.

Le lemme 042G permet de conclure que les équivalences envoient les morphismes fortement cartésiens sur des morphismes fortement cartésiens. Cela peut toutefois être faux pour un foncteur quelconque entre catégories fibrées au-dessus de \(\mathcal{C}\). Nous définissons donc la \(2\)-catégorie des catégories fibrées comme suit.

Définition

Soit \(\mathcal{C}\) une catégorie. La \(2\)-catégorie des catégories fibrées au-dessus de \(\mathcal{C}\) est la sous-\(2\)-catégorie de la \(2\)-catégorie des catégories au-dessus de \(\mathcal{C}\) (voir la définition 003Y) définie comme suit :

1. Ses objets sont les catégories fibrées \(p : \mathcal{S} \to \mathcal{C}\).

2. Ses \(1\)-morphismes \((\mathcal{S}, p) \to (\mathcal{S}', p')\) sont les foncteurs \(G : \mathcal{S} \to \mathcal{S}'\) tels que \(p' \circ G = p\) et tels que \(G\) envoie les morphismes fortement cartésiens sur des morphismes fortement cartésiens.

3. Ses \(2\)-morphismes \(t : G \to H\), pour \(G, H : (\mathcal{S}, p) \to (\mathcal{S}', p')\), sont les morphismes de foncteurs tels que \(p'(t_x) = \text{id}_{p(x)}\) pour tout \(x \in \Ob(\mathcal{S})\).

Dans cette situation, nous noterons \[\Mor_{\textit{Fib}/\mathcal{C}}(\mathcal{S}, \mathcal{S}')\] la catégorie des \(1\)-morphismes entre \((\mathcal{S}, p)\) et \((\mathcal{S}', p')\).

Notons la condition imposée aux \(1\)-morphismes. Notons aussi qu’il s’agit d’une véritable \(2\)-catégorie et non d’une \((2, 1)\)-catégorie. Ainsi, lorsque nous prenons des \(2\)-produits fibrés, nous passons d’abord à la \((2, 1)\)-catégorie associée.

Lemme

Soit \(\mathcal{C}\) une catégorie. La \((2, 1)\)-catégorie des catégories fibrées au-dessus de \(\mathcal{C}\) possède des 2-produits fibrés, qui sont décrits comme dans le lemme 0040.

Démonstration

Il s’agit essentiellement de montrer que, si \(F : \mathcal{X} \to \mathcal{S}\) et \(G : \mathcal{Y} \to \mathcal{S}\) sont des morphismes de catégories fibrées au-dessus de \(\mathcal{C}\), alors la catégorie \(\mathcal{X} \times_\mathcal{S} \mathcal{Y}\) décrite dans le lemme 0040 est fibrée. Montrons que \(\mathcal{X} \times_\mathcal{S} \mathcal{Y}\) possède suffisamment de morphismes fortement cartésiens. Soit donc \((U, x, y, \phi)\) un objet de \(\mathcal{X} \times_\mathcal{S} \mathcal{Y}\). Soit \(f : V \to U\) un morphisme de \(\mathcal{C}\). Choisissons des morphismes fortement cartésiens \(a : f^*x \to x\) dans \(\mathcal{X}\) au-dessus de \(f\) et \(b : f^*y \to y\) dans \(\mathcal{Y}\) au-dessus de \(f\). Par hypothèse, \(F(a)\) et \(G(b)\) sont fortement cartésiens. Comme \(\phi : F(x) \to G(y)\) est un isomorphisme, l’unicité des morphismes fortement cartésiens fournit un unique isomorphisme \(f^*\phi : F(f^*x) \to G(f^*y)\) tel que \(G(b) \circ f^*\phi = \phi \circ F(a)\). Autrement dit, \((a, b) : (V, f^*x, f^*y, f^*\phi) \to (U, x, y, \phi)\) est un morphisme dans \(\mathcal{X} \times_\mathcal{S} \mathcal{Y}\). Nous omettons la vérification que c’est un morphisme fortement cartésien (et que ce sont en fait les seuls morphismes fortement cartésiens).

Lemme

Soit \(\mathcal{C}\) une catégorie. Soit \(U \in \Ob(\mathcal{C})\). Si \(p : \mathcal{S} \to \mathcal{C}\) est une catégorie fibrée et si \(p\) se factorise par \(p' : \mathcal{S} \to \mathcal{C}/U\), alors \(p' : \mathcal{S} \to \mathcal{C}/U\) est une catégorie fibrée.

Démonstration

Supposons que \(\varphi : x' \to x\) soit fortement cartésien relativement à \(p\). Nous affirmons que \(\varphi\) est également fortement cartésien relativement à \(p'\). Posons \(g = p'(\varphi)\), de sorte que \(g : V'/U \to V/U\) pour certains morphismes \(f : V \to U\) et \(f' : V' \to U\). Soit \(z \in \Ob(\mathcal{S})\). Posons \(p'(z) = (W \to U)\). Pour montrer que \(\varphi\) est fortement cartésien pour \(p'\), nous devons montrer que l’application \[\Mor_\mathcal{S}(z, x') \longrightarrow \Mor_\mathcal{S}(z, x) \times_{\Mor_{\mathcal{C}/U}(W/U, V/U)} \Mor_{\mathcal{C}/U}(W/U, V'/U),\] donnée par \(\psi' \longmapsto (\varphi \circ \psi', p'(\psi'))\), est bijective. Soit \((\psi, h)\) un élément du membre de droite. Alors, en particulier, \(g \circ h = p(\psi)\) et, puisque \(\varphi\) est fortement cartésien, nous obtenons un unique morphisme \(\psi' : z \to x'\) tel que \(\psi = \varphi \circ \psi'\) et tel que \(p(\psi') = h\). Or \(p'(\psi') : W/U \to V/U\) est un morphisme dont l’application correspondante \(W \to V\) est \(h\) ; il est donc égal à \(h\) comme morphisme dans \(\mathcal{C}/U\). Ainsi, \(\psi'\) est l’unique morphisme \(z \to x'\) qui s’envoie sur la paire donnée \((\psi, h)\). Cela démontre l’affirmation.

Enfin, soient \(g : V'/U \to V/U\) et \(x\) tel que \(p'(x) = V/U\). Puisque \(p : \mathcal{S} \to \mathcal{C}\) est une catégorie fibrée, il existe un morphisme fortement cartésien \(\varphi : x' \to x\) tel que \(p(\varphi) = g\). Le même argument que ci-dessus montre que \(p'(\varphi) = g : V'/U \to V/U\). Comme nous l’avons vu plus haut, le morphisme \(\varphi\) est fortement cartésien. Les conditions de la définition 02XM sont donc satisfaites, ce qui achève la preuve.

Lemme

Soient \(\mathcal{A} \to \mathcal{B} \to \mathcal{C}\) des foncteurs entre catégories. Si \(\mathcal{A}\) est fibrée au-dessus de \(\mathcal{B}\) et si \(\mathcal{B}\) est fibrée au-dessus de \(\mathcal{C}\), alors \(\mathcal{A}\) est fibrée au-dessus de \(\mathcal{C}\).

Démonstration

Cela résulte des définitions et du lemme 09WU.

Lemme

Soit \(p : \mathcal{S} \to \mathcal{C}\) une catégorie fibrée. Soient \(x \to y\) et \(z \to y\) des morphismes de \(\mathcal{S}\), où \(x \to y\) est fortement cartésien. Si \(p(x) \times_{p(y)} p(z)\) existe, alors \(x \times_y z\) existe, \(p(x \times_y z) = p(x) \times_{p(y)} p(z)\), et \(x \times_y z \to z\) est fortement cartésien.

Démonstration

Choisissons un morphisme fortement cartésien \(\text{pr}_2^*z \to z\) au-dessus de \(\text{pr}_2 : p(x) \times_{p(y)} p(z) \to p(z)\). Alors \(\text{pr}_2^*z = x \times_y z\) par le lemme 06N4.

Lemme

Soit \(\mathcal{C}\) une catégorie. Soit \(F : \mathcal{X} \to \mathcal{Y}\) un \(1\)-morphisme de catégories fibrées au-dessus de \(\mathcal{C}\). Il existe des \(1\)-morphismes de catégories fibrées au-dessus de \(\mathcal{C}\) \[\xymatrix{ \mathcal{X} \ar@<1ex>[r]^u & \mathcal{X}' \ar[r]^v \ar@<1ex>[l]^w & \mathcal{Y} }\] tels que \(F = v \circ u\) et tels que

1. \(u : \mathcal{X} \to \mathcal{X}'\) soit pleinement fidèle,

2. \(w\) soit adjoint à gauche de \(u\), et

3. le foncteur \(v : \mathcal{X}' \to \mathcal{Y}\) définisse une catégorie fibrée.

Démonstration

Notons \(p : \mathcal{X} \to \mathcal{C}\) et \(q : \mathcal{Y} \to \mathcal{C}\) les foncteurs structuraux. Nous construisons explicitement \(\mathcal{X}'\) comme suit. Un objet de \(\mathcal{X}'\) est un quadruplet \((U, x, y, f)\) où \(x \in \Ob(\mathcal{X}_U)\), \(y \in \Ob(\mathcal{Y}_U)\) et \(f : y \to F(x)\) est un morphisme dans \(\mathcal{Y}_U\). Un morphisme \((a, b) : (U, x, y, f) \to (U', x', y', f')\) est donné par \(a : x \to x'\) et \(b : y \to y'\) tels que \(p(a) = q(b) : U \to U'\) et tels que \(f' \circ b = F(a) \circ f\).

Faisons un choix de changements de base pour \(p\) et pour \(q\), et employons la même notation pour les désigner. Soit \((U, x, y, f)\) un objet et soit \(h : V \to U\) un morphisme. Considérons le morphisme \(c : (V, h^*x, h^*y, h^*f) \to (U, x, y, f)\) provenant des morphismes fortement cartésiens donnés \(h^*x \to x\) et \(h^*y \to y\). Nous affirmons que \(c\) est fortement cartésien dans \(\mathcal{X}'\) au-dessus de \(\mathcal{C}\). Supposons en effet que l’on se soit donné un objet \((W, x', y', f')\) de \(\mathcal{X}'\), un morphisme \((a, b) : (W, x', y', f') \to (U, x, y, f)\) au-dessus de \(W \to U\), et une factorisation \(W \to V \to U\) de \(W \to U\) par \(h\). Comme \(h^*x \to x\) et \(h^*y \to y\) sont fortement cartésiens, nous obtenons des morphismes \(a' : x' \to h^*x\) et \(b' : y' \to h^*y\) au-dessus du morphisme donné \(W \to V\). Considérons le diagramme \[\xymatrix{ y' \ar[d]_{f'} \ar[r] & h^*y \ar[r] \ar[d]_{h^*f} & y \ar[d]_f \\ F(x') \ar[r] & F(h^*x) \ar[r] & F(x) }\] Le rectangle extérieur et le carré de droite sont commutatifs. Puisque \(F\) est un \(1\)-morphisme de catégories fibrées, le morphisme \(F(h^*x) \to F(x)\) est fortement cartésien. Le carré de gauche est donc commutatif par la propriété universelle des morphismes fortement cartésiens. Cela montre que \(\mathcal{X}'\) est fibrée au-dessus de \(\mathcal{C}\).

Le foncteur \(u : \mathcal{X} \to \mathcal{X}'\) est donné par \(x \mapsto (p(x), x, F(x), \text{id})\). Il est pleinement fidèle. Le foncteur \(\mathcal{X}' \to \mathcal{Y}\) est donné par \((U, x, y, f) \mapsto y\). Le foncteur \(w : \mathcal{X}' \to \mathcal{X}\) est donné par \((U, x, y, f) \mapsto x\). Chacun de ces foncteurs est un \(1\)-morphisme de catégories fibrées au-dessus de \(\mathcal{C}\) d’après notre description des morphismes fortement cartésiens de \(\mathcal{X}'\) au-dessus de \(\mathcal{C}\). Dire que \(w\) est adjoint à gauche de \(u\) signifie que \[\Mor_\mathcal{X}(x, x') = \Mor_{\mathcal{X}'}((U, x, y, f), (p(x'), x', F(x'), \text{id})),\] ce qui résulte immédiatement des définitions.

Enfin, nous devons montrer que \(\mathcal{X}' \to \mathcal{Y}\) est une catégorie fibrée. Soit \(c : y' \to y\) un morphisme dans \(\mathcal{Y}\) et soit \((U, x, y, f)\) un objet de \(\mathcal{X}'\) au-dessus de \(y\). Posons \(V = q(y')\) et \(h = q(c) : V \to U\). Soient \(a : h^*x \to x\) et \(b : h^*y \to y\) les morphismes fortement cartésiens au-dessus de \(h\). Comme \(F\) est un \(1\)-morphisme de catégories fibrées, nous pouvons identifier \(h^*F(x) = F(h^*x)\), le morphisme fortement cartésien correspondant étant \(F(a) : F(h^*x) \to F(x)\). Par la propriété universelle de \(b : h^*y \to y\), il existe un morphisme \(c' : y' \to h^*y\) dans \(\mathcal{Y}_V\) tel que \(c = b \circ c'\). Nous affirmons que \[(a, c) : (V, h^*x, y', h^*f \circ c') \longrightarrow (U, x, y, f)\] est fortement cartésien dans \(\mathcal{X}'\) au-dessus de \(\mathcal{Y}\). Pour le voir, soit \((W, x_1, y_1, f_1)\) un objet de \(\mathcal{X}'\), soit \((a_1, b_1) : (W, x_1, y_1, f_1) \to (U, x, y, f)\) un morphisme, et supposons que \(b_1 = c \circ b_1'\) pour un morphisme \(b_1' : y_1 \to y'\). Alors \[(a_1', b_1') : (W, x_1, y_1, f_1) \longrightarrow (V, h^*x, y', h^*f \circ c')\] (où \(a_1' : x_1 \to h^*x\) est l’unique morphisme au-dessus du morphisme donné \(q(b_1') : W \to V\) tel que \(a_1 = a \circ a_1'\)) est le morphisme recherché.

Inertie

Étant données des catégories fibrées \(p : \mathcal{S} \to \mathcal{C}\) et \(p' : \mathcal{S}' \to \mathcal{C}\) au-dessus d’une catégorie \(\mathcal{C}\) ainsi qu’un \(1\)-morphisme \(F : \mathcal{S} \to \mathcal{S}'\), nous disposons du morphisme diagonal \[\Delta = \Delta_{\mathcal{S}/\mathcal{S}'} : \mathcal{S} \longrightarrow \mathcal{S} \times_{\mathcal{S}'} \mathcal{S}\] dans la \((2, 1)\)-catégorie des catégories fibrées au-dessus de \(\mathcal{C}\).

Lemme

Soit \(\mathcal{C}\) une catégorie. Soient \(p : \mathcal{S} \to \mathcal{C}\) et \(p' : \mathcal{S}' \to \mathcal{C}\) des catégories fibrées. Soit \(F : \mathcal{S} \to \mathcal{S}'\) un \(1\)-morphisme de catégories fibrées au-dessus de \(\mathcal{C}\). Considérons la catégorie \(\mathcal{I}_{\mathcal{S}/\mathcal{S}'}\) au-dessus de \(\mathcal{C}\) dont

1. les objets sont les paires \((x, \alpha)\) où \(x \in \Ob(\mathcal{S})\) et \(\alpha : x \to x\) est un automorphisme tel que \(F(\alpha) = \text{id}\),

2. les morphismes \((x, \alpha) \to (y, \beta)\) sont donnés par les morphismes \(\phi : x \to y\) tels que le diagramme \[\xymatrix{ x\ar[r]_\phi\ar[d]_\alpha & y\ar[d]^{\beta} \\ x\ar[r]^\phi & y \\ }\] soit commutatif, et

3. le foncteur \(\mathcal{I}_{\mathcal{S}/\mathcal{S}'} \to \mathcal{C}\) est donné par \((x, \alpha) \mapsto p(x)\).

Alors

1. il existe une équivalence \[\mathcal{I}_{\mathcal{S}/\mathcal{S}'} \longrightarrow \mathcal{S} \times_{\Delta, (\mathcal{S} \times_{\mathcal{S}'} \mathcal{S}), \Delta} \mathcal{S}\] dans la \((2, 1)\)-catégorie des catégories au-dessus de \(\mathcal{C}\), et

2. \(\mathcal{I}_{\mathcal{S}/\mathcal{S}'}\) est une catégorie fibrée au-dessus de \(\mathcal{C}\).

Démonstration

Remarquons que (2) découle de (1) par les lemmes 02XQ et 042G. Il suffit donc de prouver (1). Nous utiliserons sans autre mention la construction du \(2\)-produit fibré donnée dans le lemme 02XQ. En particulier, un objet de \(\mathcal{S} \times_{\Delta, (\mathcal{S} \times_{\mathcal{S}'} \mathcal{S}), \Delta} \mathcal{S}\) est un triplet \((x, y, (\iota, \kappa))\) où \(x\) et \(y\) sont des objets de \(\mathcal{S}\), et \((\iota, \kappa) : (x, x, \text{id}_{F(x)}) \to (y, y, \text{id}_{F(y)})\) est un isomorphisme dans \(\mathcal{S} \times_{\mathcal{S}'} \mathcal{S}\). Cela signifie simplement que \(\iota, \kappa : x \to y\) sont des isomorphismes et que \(F(\iota) = F(\kappa)\). Considérons le foncteur \[I_{\mathcal{S}/\mathcal{S}'} \longrightarrow \mathcal{S} \times_{\Delta, (\mathcal{S} \times_{\mathcal{S}'} \mathcal{S}), \Delta} \mathcal{S}\] qui, à un objet \((x, \alpha)\) du membre de gauche, associe l’objet \((x, x, (\alpha, \text{id}_x))\) du membre de droite et, à un morphisme \(\phi\) du membre de gauche, associe le morphisme \((\phi, \phi)\) du membre de droite. Nous affirmons qu’un quasi-inverse de ce foncteur est donné par le foncteur \[\mathcal{S} \times_{\Delta, (\mathcal{S} \times_{\mathcal{S}'} \mathcal{S}), \Delta} \mathcal{S} \longrightarrow I_{\mathcal{S}/\mathcal{S}'}\] qui, à un objet \((x, y, (\iota, \kappa))\) du membre de gauche, associe l’objet \((x, \kappa^{-1} \circ \iota)\) du membre de droite et, à un morphisme \((\phi, \phi') : (x, y, (\iota, \kappa)) \to (z, w, (\lambda, \mu))\) du membre de gauche, associe le morphisme \(\phi\). En effet, l’endofoncteur de \(I_{\mathcal{S}/\mathcal{S}'}\) obtenu en composant les deux foncteurs ci-dessus est strictement l’identité, et l’endofoncteur induit sur \(\mathcal{S} \times_{\Delta, (\mathcal{S} \times_{\mathcal{S}'} \mathcal{S}), \Delta} \mathcal{S}\) est isomorphe à l’identité par l’isomorphisme naturel \[(\text{id}_x, \kappa) : (x, x, (\kappa^{-1} \circ \iota, \text{id}_x)) \longrightarrow (x, y, (\iota, \kappa)).\] Certains détails sont omis.

Définition

Soit \(\mathcal{C}\) une catégorie.

1. Soit \(F : \mathcal{S} \to \mathcal{S}'\) un \(1\)-morphisme de catégories fibrées au-dessus de \(\mathcal{C}\). L’inertie relative de \(\mathcal{S}\) au-dessus de \(\mathcal{S}'\) est la catégorie fibrée \(\mathcal{I}_{\mathcal{S}/\mathcal{S}'} \to \mathcal{C}\) du lemme 034H.

2. Par catégorie fibrée d’inertie \(\mathcal{I}_\mathcal{S}\) de \(\mathcal{S}\), nous entendons \(\mathcal{I}_\mathcal{S} = \mathcal{I}_{\mathcal{S}/\mathcal{C}}\).

Remarquons qu’il existe des \(1\)-morphismes canoniques [042H]\[\begin{equation} \mathcal{I}_{\mathcal{S}/\mathcal{S}'} \longrightarrow \mathcal{S} \quad\text{et}\quad \mathcal{I}_\mathcal{S} \longrightarrow \mathcal{S} \end{equation}\] de catégories fibrées au-dessus de \(\mathcal{C}\). Dans la description du lemme 034H, ils envoient simplement l’objet \((x, \alpha)\) sur l’objet \(x\) et le morphisme \(\phi : (x, \alpha) \to (y, \beta)\) sur le morphisme \(\phi : x \to y\). Il existe aussi une section neutre [04Z3]\[\begin{equation} e : \mathcal{S} \to \mathcal{I}_{\mathcal{S}/\mathcal{S}'} \quad\text{et}\quad e : \mathcal{S} \to \mathcal{I}_\mathcal{S} \end{equation}\] définie par les règles \(x \mapsto (x, \text{id}_x)\) et \((\phi : x \to y) \mapsto \phi\). C’est un inverse à droite de (042H). Étant donné un carré \(2\)-commutatif \[\xymatrix{ \mathcal{S}_1 \ar[d]_{F_1} \ar[r]_G & \mathcal{S}_2 \ar[d]^{F_2} \\ \mathcal{S}'_1 \ar[r]^{G'} & \mathcal{S}'_2 }\] il existe des morphismes de fonctorialité [04Z4]\[\begin{equation} \mathcal{I}_{\mathcal{S}_1/\mathcal{S}'_1} \longrightarrow \mathcal{I}_{\mathcal{S}_2/\mathcal{S}'_2} \quad\text{et}\quad \mathcal{I}_{\mathcal{S}_1} \longrightarrow \mathcal{I}_{\mathcal{S}_2} \end{equation}\] définis par les règles \((x, \alpha) \mapsto (G(x), G(\alpha))\) et \(\phi \mapsto G(\phi)\). En particulier, il existe toujours un morphisme de comparaison [04Z5]\[\begin{equation} \mathcal{I}_{\mathcal{S}/\mathcal{S}'} \longrightarrow \mathcal{I}_\mathcal{S} \end{equation}\] et tous les morphismes ci-dessus sont compatibles avec celui-ci.

Lemme

Soit \(F : \mathcal{S} \to \mathcal{S}'\) un \(1\)-morphisme de catégories fibrées au-dessus d’une catégorie \(\mathcal{C}\). Alors le diagramme \[\xymatrix{ \mathcal{I}_{\mathcal{S}/\mathcal{S}'} \ar[d]_{F \circ (\href{categories.html#categories-equation-inertia-structure-map}{042H})} \ar[rr]_{(\href{categories.html#categories-equation-comparison}{04Z5})} & & \mathcal{I}_\mathcal{S} \ar[d]^{(\href{categories.html#categories-equation-functorial}{04Z4})} \\ \mathcal{S}' \ar[rr]^e & & \mathcal{I}_{\mathcal{S}'} }\] est un \(2\)-produit fibré.

Démonstration

Omis.

Catégories fibrées en groupoïdes

Dans cette section, nous expliquons comment concevoir les catégories fibrées en groupoïdes et nous voyons qu’elles reviennent essentiellement aux foncteurs à valeurs dans la \((2, 1)\)-catégorie des groupoïdes.

Définition

Soit \(p : \mathcal{S} \to \mathcal{C}\) un foncteur. On dit que \(\mathcal{S}\) est une catégorie fibrée en groupoïdes au-dessus de \(\mathcal{C}\) si les deux conditions suivantes sont satisfaites :

1. Pour tout morphisme \(f : V \to U\) dans \(\mathcal{C}\) et tout relèvement \(x\) de \(U\), il existe un relèvement \(\phi : y \to x\) de \(f\) de but \(x\).

2. Pour toute paire de morphismes \(\phi : y \to x\) et \(\psi : z \to x\) et tout morphisme \(f : p(z) \to p(y)\) tel que \(p(\phi) \circ f = p(\psi)\), il existe un unique relèvement \(\chi : z \to y\) de \(f\) tel que \(\phi \circ \chi = \psi\).

Formulée autrement, la condition (2) dit que l’application induite par le foncteur \(p\) est une bijection entre les ensembles de flèches pointillées dans le diagramme commutatif suivant : \[\xymatrix{ y \ar[r] & x & p(y) \ar[r] & p(x) \\ z \ar@{-->}[u] \ar[ru] & & p(z) \ar@{-->}[u]\ar[ru] & \\ }\] Voici une autre manière d’interpréter la deuxième condition. Supposons que \(g : W \to V\) et \(f : V \to U\) soient des morphismes de \(\mathcal{C}\). Soit \(x \in \Ob(\mathcal{S}_U)\). Par la première condition, nous pouvons relever \(f\) en \(\phi : y \to x\), puis relever \(g\) en \(\psi : z \to y\). Au lieu de procéder en deux étapes, nous pouvons relever directement \(g \circ f\) en \(\gamma : z' \to x\). On obtient ainsi les flèches pleines du diagramme [03WP]\[\begin{equation} \vcenter{ \xymatrix{ z' \ar@{-->}[d]\ar[rrd]^\gamma & & \\ z \ar@{-->}[u] \ar[r]^\psi \ar@{~>}[d]^p & y \ar[r]^\phi \ar@{~>}[d]^p & x \ar@{~>}[d]^p \\ W \ar[r]^g & V \ar[r]^f & U \\ } } \end{equation}\] où les flèches ondulées représentent non pas des morphismes, mais le foncteur \(p\). En appliquant la deuxième condition aux flèches \(\phi \circ \psi\), \(\gamma\) et \(\text{id}_W\), nous concluons qu’il existe un unique morphisme \(\chi : z \to z'\) dans \(\mathcal{S}_W\) tel que \(\gamma \circ \chi = \phi \circ \psi\). De même, il existe un unique morphisme \(z' \to z\). L’unicité implique que les morphismes \(z' \to z\) et \(z\to z'\) sont inverses l’un de l’autre, autrement dit des isomorphismes.

Cette discussion montre clairement qu’une catégorie fibrée en groupoïdes est très étroitement liée à une catégorie fibrée. Voici le résultat.

Lemme

Soit \(p : \mathcal{S} \to \mathcal{C}\) un foncteur. Les assertions suivantes sont équivalentes :

1. \(p : \mathcal{S} \to \mathcal{C}\) est une catégorie fibrée en groupoïdes, et

2. toutes les catégories fibres sont des groupoïdes et \(\mathcal{S}\) est une catégorie fibrée au-dessus de \(\mathcal{C}\).

De plus, dans ce cas, tout morphisme de \(\mathcal{S}\) est fortement cartésien. En outre, étant donnés des \(f^\ast x \to x\) au-dessus de \(f\) pour tous les \(f: V \to U = p(x)\), les données \((U \mapsto \mathcal{S}_U, f \mapsto f^*, \alpha_{f, g}, \alpha_U)\) construites dans le lemme 02XO définissent un pseudo-foncteur de \(\mathcal{C}^{opp}\) vers la \((2, 1)\)-catégorie des groupoïdes.

Démonstration

Supposons que le foncteur \(p : \mathcal{S} \to \mathcal{C}\) définisse une catégorie fibrée en groupoïdes. Pour montrer que toutes les catégories fibres \(\mathcal{S}_U\), pour \(U \in \Ob(\mathcal{C})\), sont des groupoïdes, nous devons exhiber, pour tout \(f : y \to x\) dans \(\mathcal{S}_U\), un morphisme inverse. Le diagramme de gauche (dans \(\mathcal{S}_U\)) est envoyé par \(p\) sur le diagramme de droite : \[\xymatrix{ y \ar[r]^f & x & U \ar[r]^{\text{id}_U} & U \\ x \ar@{-->}[u] \ar[ru]_{\text{id}_x} & & U \ar@{-->}[u]\ar[ru]_{\text{id}_U} & \\ }\] Puisque seul \(\text{id}_U\) rend commutatif le diagramme de droite, il existe un unique \(g : x \to y\) rendant commutatif le diagramme de gauche, donc \(fg = \text{id}_x\). Par un argument analogue, il existe un unique \(h : y \to x\) tel que \(gh = \text{id}_y\). Alors \(fgh = f : y \to x\). Comme \(fg = \text{id}_x\), on a \(h = f\). La condition (2) de la définition 003T dit exactement que tout morphisme de \(\mathcal{S}\) est fortement cartésien. Ainsi, la condition (1) de la définition 003T implique que \(\mathcal{S}\) est une catégorie fibrée au-dessus de \(\mathcal{C}\).

Réciproquement, supposons que toutes les catégories fibres soient des groupoïdes et que \(\mathcal{S}\) soit une catégorie fibrée au-dessus de \(\mathcal{C}\). Il faut vérifier les conditions (1) et (2) de la définition 003T. La première condition est immédiate. Soient \(\phi : y \to x\), \(\psi : z \to x\) et \(f : p(z) \to p(y)\) tels que \(p(\phi) \circ f = p(\psi)\), comme dans la condition (2) de la définition 003T. Écrivons \(U = p(x)\), \(V = p(y)\), \(W = p(z)\), \(p(\phi) = g : V \to U\), \(p(\psi) = h : W \to U\). Choisissons un morphisme fortement cartésien \(g^*x \to x\) au-dessus de \(g\). Nous obtenons alors un morphisme \(i : y \to g^*x\) dans \(\mathcal{S}_V\), qui est donc un isomorphisme. Nous obtenons aussi un morphisme \(j : z \to g^*x\) correspondant à la paire \((\psi, f)\) puisque \(g^*x \to x\) est fortement cartésien. On vérifie alors que \(\chi = i^{-1} \circ j\) est une solution.

Nous avons vu dans la preuve de (1) \(\Rightarrow\) (2) que tout morphisme de \(\mathcal{S}\) est fortement cartésien. La dernière assertion découle directement du lemme 02XO.

Lemme

Soit \(\mathcal{C}\) une catégorie. Soit \(p : \mathcal{S} \to \mathcal{C}\) une catégorie fibrée. Soit \(\mathcal{S}'\) la sous-catégorie de \(\mathcal{S}\) définie comme suit :

1. \(\Ob(\mathcal{S}') = \Ob(\mathcal{S})\), et

2. pour \(x, y \in \Ob(\mathcal{S}')\), l’ensemble des morphismes entre \(x\) et \(y\) dans \(\mathcal{S}'\) est l’ensemble des morphismes fortement cartésiens entre \(x\) et \(y\) dans \(\mathcal{S}\).

Soit \(p' : \mathcal{S}' \to \mathcal{C}\) la restriction de \(p\) à \(\mathcal{S}'\). Alors \(p' : \mathcal{S}' \to \mathcal{C}\) est une catégorie fibrée en groupoïdes.

Démonstration

Remarquons que la construction a un sens puisque, d’après le lemme 02XL, le morphisme identité de tout objet de \(\mathcal{S}\) est fortement cartésien, et la composée de morphismes fortement cartésiens est fortement cartésienne. La première propriété de relèvement de la définition 003T découle de la condition selon laquelle, dans une catégorie fibrée, pour tout morphisme \(f : V \to U\) et tout \(x\) au-dessus de \(U\), il existe un morphisme fortement cartésien \(\varphi : y \to x\) au-dessus de \(f\). Vérifions la deuxième propriété de relèvement de la définition 003T pour la catégorie \(p' : \mathcal{S}' \to \mathcal{C}\) au-dessus de \(\mathcal{C}\). Pour ce faire, raisonnons comme dans la discussion qui suit la définition 003T. Ainsi, dans le diagramme 03WP, les morphismes \(\phi\), \(\psi\) et \(\gamma\) sont des morphismes fortement cartésiens de \(\mathcal{S}\). Par conséquent, \(\gamma\) et \(\phi \circ \psi\) sont des morphismes fortement cartésiens de \(\mathcal{S}\) au-dessus de la même flèche de \(\mathcal{C}\) et ayant le même but dans \(\mathcal{S}\). D’après la discussion qui suit la définition 02XK, ces deux flèches sont donc isomorphes, comme voulu (nous utilisons aussi ici le fait que tout isomorphisme de \(\mathcal{S}\) est fortement cartésien, d’après le lemme 02XL).

Exemple

Un homomorphisme de groupes \(p : G \to H\) donne naissance à un foncteur \(p : \mathcal{S}\to\mathcal{C}\) comme dans l’exemple 001F. Ce foncteur \(p : \mathcal{S}\to\mathcal{C}\) définit une catégorie fibrée en groupoïdes si et seulement si \(p\) est surjectif. La catégorie fibre \(\mathcal{S}_U\) au-dessus de l’unique objet \(U\in \Ob(\mathcal{C})\) est la catégorie associée au noyau de \(p\), comme dans l’exemple 0019.

Étant donné \(p : \mathcal{S} \to \mathcal{C}\), on peut se demander : si la catégorie fibre \(\mathcal{S}_U\) est un groupoïde pour tout \(U \in \Ob(\mathcal{C})\), \(\mathcal{S}\) est-elle nécessairement fibrée en groupoïdes au-dessus de \(\mathcal{C}\) ? La réponse est négative, comme on peut le voir ainsi. Partons d’une catégorie fibrée en groupoïdes \(p : \mathcal{S} \to \mathcal{C}\). Modifier les morphismes de \(\mathcal{S}\) qui ne s’envoient pas sur le morphisme identité d’un objet ne modifie pas les catégories \(\mathcal{S}_U\). On peut donc faire échouer les conditions d’existence et d’unicité des relèvements. Un exemple est fourni par le foncteur de l’exemple 003U lorsque \(G \to H\) n’est pas surjectif. Voici un autre exemple.

Exemple

Posons \(\Ob(\mathcal{C}) = \{A, B, T\}\) et \(\Mor_\mathcal{C}(A, B) = \{f\}\), \(\Mor_\mathcal{C}(B, T) = \{g\}\), \(\Mor_\mathcal{C}(A, T) = \{h\} = \{gf\},\) auxquels s’ajoute le morphisme identité de chaque objet. Le diagramme ci-dessous représente cette catégorie. Posons maintenant \(\Ob(\mathcal{S}) = \{A', B', T'\}\) et \(\Mor_\mathcal{S}(A', B') = \emptyset\), \(\Mor_\mathcal{S}(B', T') = \{g'\}\), \(\Mor_\mathcal{S}(A', T') = \{h'\},\) auxquels s’ajoutent les morphismes identité. Le foncteur \(p : \mathcal{S} \to \mathcal{C}\) est évident. Alors, pour tout \(U \in \Ob(\mathcal{C})\), \(\mathcal{S}_U\) est la catégorie ayant un seul objet et le morphisme identité de cet objet, donc un groupoïde, mais le morphisme \(f: A \to B\) ne peut être relevé. De même, si l’on pose \(\Mor_\mathcal{S}(A', B') = \{f'_1, f'_2\}\) et \(\Mor_\mathcal{S}(A', T') = \{h'\} = \{g'f'_1 \} = \{g'f'_2\}\), alors les catégories fibres sont les mêmes et \(f: A \to B\) dans le diagramme ci-dessous possède deux relèvements. \[\xymatrix{ B' \ar[r]^{g'} & T' & & B \ar[r]^g & T & \\ A' \ar@{-->}[u]^{??} \ar[ru]_{h'} & & \ar@{}[u]^{\text{ci-dessus}} & A \ar[u]^f \ar[ru]_{gf = h} & \\ }\]

Plus loin, nous voudrons formuler des assertions telles que « toute catégorie fibrée en groupoïdes au-dessus de \(\mathcal{C}\) est équivalente à une catégorie scindée », ou « toute catégorie fibrée en groupoïdes dont les catégories fibres sont assimilables à des ensembles est équivalente à une catégorie fibrée en ensembles ». La notion d’équivalence dépend de la \(2\)-catégorie dans laquelle nous travaillons.

Définition

Soit \(\mathcal{C}\) une catégorie. La \(2\)-catégorie des catégories fibrées en groupoïdes au-dessus de \(\mathcal{C}\) est la sous-\(2\)-catégorie de la \(2\)-catégorie des catégories fibrées au-dessus de \(\mathcal{C}\) (voir la définition 02XP) définie comme suit :

1. Ses objets sont les catégories \(p : \mathcal{S} \to \mathcal{C}\) fibrées en groupoïdes.

2. Ses \(1\)-morphismes \((\mathcal{S}, p) \to (\mathcal{S}', p')\) sont les foncteurs \(G : \mathcal{S} \to \mathcal{S}'\) tels que \(p' \circ G = p\) (puisque tout morphisme est fortement cartésien, \(G\) les préserve automatiquement).

3. Ses \(2\)-morphismes \(t : G \to H\) pour \(G, H : (\mathcal{S}, p) \to (\mathcal{S}', p')\) sont les morphismes de foncteurs tels que \(p'(t_x) = \text{id}_{p(x)}\) pour tout \(x \in \Ob(\mathcal{S})\).

Remarquons que tout \(2\)-morphisme est automatiquement un isomorphisme ! Il s’agit donc en fait d’une \((2, 1)\)-catégorie, et non simplement d’une \(2\)-catégorie. Voici l’inévitable lemme sur les \(2\)-produits fibrés.

Lemme

Soit \(\mathcal{C}\) une catégorie. La \(2\)-catégorie des catégories fibrées en groupoïdes au-dessus de \(\mathcal{C}\) admet des \(2\)-produits fibrés, et ceux-ci sont décrits comme dans le lemme 0040.

Démonstration

D’après le lemme 02XQ, le produit fibré décrit dans le lemme 0040 est une catégorie fibrée. Il suffit donc de prouver que les catégories fibres sont des groupoïdes ; voir le lemme 003V. D’après le lemme 02XI, il suffit de montrer que le 2-produit fibré de groupoïdes est un groupoïde, ce qui est clair (par exemple d’après la construction du lemme 02X9).

Remarque

Soit \(\mathcal{C}\) une catégorie. Soient \(f : \mathcal{X} \to \mathcal{S}\) et \(g : \mathcal{Y} \to \mathcal{S}\) des \(1\)-morphismes de catégories fibrées en groupoïdes au-dessus de \(\mathcal{C}\). Soit \(p : \mathcal{S} \to \mathcal{C}\) le foncteur donné. Nous affirmons que le \(2\)-produit fibré du lemme 0041 est canoniquement équivalent (comme catégorie) à celui de l’exemple 003R. Les objets du premier sont les quadruplets \((U, x, y, \alpha)\) où \(p(\alpha) = \text{id}_U\) (voir le lemme 0040), et les objets du second sont les triplets \((x, y, \alpha)\) (voir l’exemple 003R). L’équivalence entre les deux catégories est donnée par les règles \((U, x, y, \alpha) \mapsto (x, y, \alpha)\) et \((x, y, \alpha) \mapsto (p(f(x)), x, y', \alpha')\), où \(\alpha' = g(\gamma)^{-1} \circ \alpha\) et \(\gamma : y' \to y\) est un relèvement de la flèche \(p(\alpha) : p(f(x)) \to p(g(y))\). Les détails sont omis.

Lemme

Soient \(p : \mathcal{S}\to \mathcal{C}\) et \(p' : \mathcal{S'}\to \mathcal{C}\) des catégories fibrées en groupoïdes, et supposons que \(G : \mathcal{S}\to \mathcal {S}'\) soit un foncteur au-dessus de \(\mathcal{C}\).

1. Alors \(G\) est fidèle (resp. pleinement fidèle, resp. une équivalence) si et seulement si, pour chaque \(U\in\Ob(\mathcal{C})\), le foncteur induit \(G_U : \mathcal{S}_U\to \mathcal{S}'_U\) est fidèle (resp. pleinement fidèle, resp. une équivalence).

2. Si \(G\) est une équivalence, alors \(G\) est une équivalence dans la \(2\)-catégorie des catégories fibrées en groupoïdes au-dessus de \(\mathcal{C}\).

Démonstration

Soient \(x, y\) des objets de \(\mathcal{S}\) au-dessus du même objet \(U\). Considérons le diagramme commutatif \[\xymatrix{ \Mor_\mathcal{S}(x, y) \ar[rd]_p \ar[rr]_G & & \Mor_{\mathcal{S}'}(G(x), G(y)) \ar[ld]^{p'} \\ & \Mor_\mathcal{C}(U, U) & }\] Ce diagramme montre clairement que, si \(G\) est fidèle (resp. pleinement fidèle), alors chaque \(G_U\) l’est aussi.

Supposons que \(G\) soit une équivalence. Pour tout objet \(x'\) de \(\mathcal{S}'\), il existe un objet \(x\) de \(\mathcal{S}\) tel que \(G(x)\) soit isomorphe à \(x'\). Supposons que \(x'\) soit au-dessus de \(U'\) et que \(x\) soit au-dessus de \(U\). Il existe alors un isomorphisme \(f : U' \to U\) dans \(\mathcal{C}\), à savoir l’image par \(p'\) de l’isomorphisme \(x' \to G(x)\). Par les axiomes d’une catégorie fibrée en groupoïdes, il existe une flèche \(f^*x \to x\) de \(\mathcal{S}\) au-dessus de \(f\). Il existe donc un isomorphisme \(\alpha : x' \to G(f^*x)\) tel que \(p'(\alpha) = \text{id}_{U'}\) (cette fois par les axiomes de \(\mathcal{S}'\)). En définitive, nous concluons que, pour tout objet \(x'\) de \(\mathcal{S}'\), nous pouvons choisir une paire \((o_{x'}, \alpha_{x'})\) formée d’un objet \(o_{x'}\) de \(\mathcal{S}\) et d’un isomorphisme \(\alpha_{x'} : x' \to G(o_{x'})\) tel que \(p'(\alpha_{x'}) = \text{id}_{p'(x')}\). À partir de là, nous procédons comme d’habitude (voir la preuve du lemme 02C3) pour construire un foncteur inverse \(F : \mathcal{S}' \to \mathcal{S}\), en prenant \(x' \mapsto o_{x'}\) et \(\varphi' : x' \to y'\) pour l’unique flèche \(\varphi_{\varphi'} : o_{x'} \to o_{y'}\) telle que \(\alpha_{y'}^{-1} \circ G(\varphi_{\varphi'}) \circ \alpha_{x'} = \varphi'\). Avec ces choix, \(F\) est un foncteur au-dessus de \(\mathcal{C}\). Nous omettons de vérifier que \(G \circ F\) et \(F \circ G\) sont \(2\)-isomorphes aux foncteurs identité respectifs (dans la \(2\)-catégorie des catégories fibrées en groupoïdes au-dessus de \(\mathcal{C}\)).

Supposons que \(G_U\) soit fidèle (resp. pleinement fidèle) pour tout \(U\in\Ob(\mathcal C)\). Pour montrer que \(G\) est fidèle (resp. pleinement fidèle), il faut montrer, pour tous objets \(x, y\in\Ob(\mathcal{S})\), que \(G\) induit une injection (resp. bijection) entre \(\Mor_\mathcal{S}(x, y)\) et \(\Mor_{\mathcal{S}'}(G(x), G(y))\). Posons \(U = p(x)\) et \(V = p(y)\). Il suffit de prouver que \(G\) induit une injection (resp. bijection) entre les morphismes \(x \to y\) au-dessus de \(f\) et les morphismes \(G(x) \to G(y)\) au-dessus de \(f\), pour tout morphisme \(f : U \to V\). Fixons maintenant \(f : U \to V\). Choisissons un morphisme fortement cartésien \(f^*y \to y\) au-dessus de ce morphisme. Alors \(G(f^*y) \to G(y)\) est lui aussi fortement cartésien. L’ensemble des morphismes de \(x\) vers \(y\) au-dessus de \(f\) est en bijection avec l’ensemble des morphismes entre \(x\) et \(f^*y\) au-dessus de \(\text{id}_U\). (Par le deuxième axiome d’une catégorie fibrée en groupoïdes.) De même, l’ensemble des morphismes de \(G(x)\) vers \(G(y)\) au-dessus de \(f\) est en bijection avec l’ensemble des morphismes entre \(G(x)\) et \(G(f^*y)\) au-dessus de \(\text{id}_U\). Le fait que \(G_U\) soit fidèle (resp. pleinement fidèle) donne donc le résultat voulu.

Enfin, supposons que tous les \(G_U\) soient des équivalences pour tout \(U\) ; ils sont donc pleinement fidèles et essentiellement surjectifs. Nous avons vu que cela implique que \(G\) est pleinement fidèle ; pour montrer que c’est une équivalence, il reste donc à montrer qu’il est essentiellement surjectif. C’est clair : si \(z'\in \Ob(\mathcal{S}')\), alors \(z'\in \Ob(\mathcal{S}'_U)\), où \(U = p'(z')\). Puisque \(G_U\) est essentiellement surjectif, nous savons que \(z'\) est isomorphe, dans \(\mathcal{S}'_U\), à un objet de la forme \(G_U(z)\) pour un certain \(z\in \Ob(\mathcal{S}_U)\). Or les morphismes de \(\mathcal{S}'_U\) sont des morphismes de \(\mathcal{S}'\) ; ainsi \(z'\) est isomorphe à \(G(z)\) dans \(\mathcal{S}'\).

Lemme

Soit \(\mathcal{C}\) une catégorie. Soient \(p : \mathcal{S}\to \mathcal{C}\) et \(p' : \mathcal{S'}\to \mathcal{C}\) des catégories fibrées en groupoïdes. Soit \(G : \mathcal{S}\to \mathcal {S}'\) un foncteur au-dessus de \(\mathcal{C}\). Alors \(G\) est pleinement fidèle si et seulement si la diagonale \[\Delta_G : \mathcal{S} \longrightarrow \mathcal{S} \times_{G, \mathcal{S}', G} \mathcal{S}\] est une équivalence.

Démonstration

D’après le lemme 003Z, il suffit de considérer les catégories fibres au-dessus d’un objet \(U\) de \(\mathcal{C}\). Un objet du membre de droite est un triplet \((x, x', \alpha)\) où \(\alpha : G(x) \to G(x')\) est un morphisme de \(\mathcal{S}'_U\). Le foncteur \(\Delta_G\) envoie l’objet \(x\) de \(\mathcal{S}_U\) sur le triplet \((x, x, \text{id}_{G(x)})\). Remarquons que \((x, x', \alpha)\) appartient à l’image essentielle de \(\Delta_G\) si et seulement si \(\alpha = G(\beta)\) pour un certain morphisme \(\beta : x \to x'\) dans \(\mathcal{S}_U\) (détails omis). Par conséquent, pour que \(\Delta_G\) soit une équivalence, tout \(\alpha\) doit être l’image d’un morphisme \(\beta : x \to x'\), et deux morphismes distincts \(\beta, \beta' : x \to x'\) doivent aussi donner des morphismes distincts \(G(\beta), G(\beta')\). Cela prouve le lemme.

Lemme

Soit \(\mathcal{C}\) une catégorie. Soient \(\mathcal{S}_i\), \(i = 1, 2, 3, 4\), des catégories fibrées en groupoïdes au-dessus de \(\mathcal{C}\). Supposons que \(\varphi : \mathcal{S}_1 \to \mathcal{S}_2\) et \(\psi : \mathcal{S}_3 \to \mathcal{S}_4\) soient des équivalences au-dessus de \(\mathcal{C}\). Alors \[\Mor_{\textit{Cat}/\mathcal{C}}(\mathcal{S}_2, \mathcal{S}_3) \longrightarrow \Mor_{\textit{Cat}/\mathcal{C}}(\mathcal{S}_1, \mathcal{S}_4), \quad \alpha \longmapsto \psi \circ \alpha \circ \varphi\] est une équivalence de catégories.

Démonstration

C’est un fait général, valable dans toute \(2\)-catégorie.

Lemme

Soit \(\mathcal{C}\) une catégorie. Si \(p : \mathcal{S} \to \mathcal{C}\) est une catégorie fibrée en groupoïdes, alors la catégorie fibrée d’inertie \(\mathcal{I}_\mathcal{S} \to \mathcal{C}\) l’est aussi.

Démonstration

Cela ressort de la construction du lemme 034H, ou bien du fait (établi dans le même lemme) que \(I_\mathcal{S} \to \mathcal{S} \times_{\Delta, \mathcal{S} \times_\mathcal{C} \mathcal{S}, \Delta}\mathcal{S}\) est une équivalence, combiné au lemme 0041.

Lemme

Soit \(\mathcal{C}\) une catégorie. Soit \(U \in \Ob(\mathcal{C})\). Si \(p : \mathcal{S} \to \mathcal{C}\) est une catégorie fibrée en groupoïdes et si \(p\) se factorise par \(p' : \mathcal{S} \to \mathcal{C}/U\), alors \(p' : \mathcal{S} \to \mathcal{C}/U\) est une catégorie fibrée en groupoïdes.

Démonstration

Nous avons déjà vu dans le lemme 02XR que \(p'\) est une catégorie fibrée. Il suffit donc de prouver que les catégories fibres sont des groupoïdes ; voir le lemme 003V. Pour \(V \in \Ob(\mathcal{C})\), on a \[\mathcal{S}_V = \coprod\nolimits_{f : V \to U} \mathcal{S}_{(f : V \to U)}\] où le membre de gauche est la catégorie fibre de \(p\) et le membre de droite est la réunion disjointe des catégories fibres de \(p'\). D’où le résultat.

Lemme

Soient \(\mathcal{A} \to \mathcal{B} \to \mathcal{C}\) des foncteurs entre catégories. Si \(\mathcal{A}\) est fibrée en groupoïdes au-dessus de \(\mathcal{B}\) et \(\mathcal{B}\) est fibrée en groupoïdes au-dessus de \(\mathcal{C}\), alors \(\mathcal{A}\) est fibrée en groupoïdes au-dessus de \(\mathcal{C}\).

Démonstration

On peut le prouver directement à partir de la définition. Toutefois, nous raisonnerons à l’aide du critère du lemme 003V. D’après le lemme 09WV, \(\mathcal{A}\) est fibrée au-dessus de \(\mathcal{C}\). Pour achever la preuve, montrons que la catégorie fibre \(\mathcal{A}_U\) est un groupoïde pour tout objet \(U\) de \(\mathcal{C}\). En effet, si \(x \to y\) est un morphisme de \(\mathcal{A}_U\), alors son image dans \(\mathcal{B}\) est un isomorphisme puisque \(\mathcal{B}_U\) est un groupoïde. Mais alors \(x \to y\) est un isomorphisme, par exemple d’après le lemme 02XL et le fait que tout morphisme de \(\mathcal{A}\) est fortement \(\mathcal{B}\)-cartésien (voir le lemme 003V).

Lemme

Soit \(p : \mathcal{S} \to \mathcal{C}\) une catégorie fibrée en groupoïdes. Soient \(x \to y\) et \(z \to y\) des morphismes de \(\mathcal{S}\). Si \(p(x) \times_{p(y)} p(z)\) existe, alors \(x \times_y z\) existe et \(p(x \times_y z) = p(x) \times_{p(y)} p(z)\).

Démonstration

Cela découle du lemme 06N5.

Lemme

Soit \(\mathcal{C}\) une catégorie. Soit \(F : \mathcal{X} \to \mathcal{Y}\) un \(1\)-morphisme de catégories fibrées en groupoïdes au-dessus de \(\mathcal{C}\). Il existe une factorisation \(\mathcal{X} \to \mathcal{X}' \to \mathcal{Y}\) par des \(1\)-morphismes de catégories fibrées en groupoïdes au-dessus de \(\mathcal{C}\), telle que \(\mathcal{X} \to \mathcal{X}'\) soit une équivalence au-dessus de \(\mathcal{C}\) et que \(\mathcal{X}'\) soit une catégorie fibrée en groupoïdes au-dessus de \(\mathcal{Y}\).

Démonstration

Notons \(p : \mathcal{X} \to \mathcal{C}\) et \(q : \mathcal{Y} \to \mathcal{C}\) les foncteurs structuraux. Construisons explicitement \(\mathcal{X}'\) comme suit. Un objet de \(\mathcal{X}'\) est un quadruplet \((U, x, y, f)\) où \(x \in \Ob(\mathcal{X}_U)\), \(y \in \Ob(\mathcal{Y}_U)\) et \(f : F(x) \to y\) est un isomorphisme dans \(\mathcal{Y}_U\). Un morphisme \((a, b) : (U, x, y, f) \to (U', x', y', f')\) est donné par \(a : x \to x'\) et \(b : y \to y'\), avec \(p(a) = q(b)\) et tels que \(f' \circ F(a) = b \circ f\). Autrement dit, \(\mathcal{X}' = \mathcal{X} \times_{F, \mathcal{Y}, \text{id}} \mathcal{Y}\) avec la construction du \(2\)-produit fibré du lemme 0040. D’après le lemme 0041, \(\mathcal{X}'\) est une catégorie fibrée en groupoïdes au-dessus de \(\mathcal{C}\) et \(\mathcal{X}' \to \mathcal{Y}\) est un morphisme de catégories au-dessus de \(\mathcal{C}\). Comme foncteur \(\mathcal{X} \to \mathcal{X}'\), prenons \(x \mapsto (p(x), x, F(x), \text{id}_{F(x)})\) sur les objets et \((a : x \to x') \mapsto (a, F(a))\) sur les morphismes. Il est clair que la composée \(\mathcal{X} \to \mathcal{X}' \to \mathcal{Y}\) est égale à \(F\). Nous omettons de vérifier que \(\mathcal{X} \to \mathcal{X}'\) est une équivalence de catégories fibrées au-dessus de \(\mathcal{C}\).

Enfin, il reste à montrer que \(\mathcal{X}' \to \mathcal{Y}\) est une catégorie fibrée en groupoïdes. Soit \(b : y' \to y\) un morphisme de \(\mathcal{Y}\) et soit \((U, x, y, f)\) un objet de \(\mathcal{X}'\) au-dessus de \(y\). Puisque \(\mathcal{X}\) est fibrée en groupoïdes au-dessus de \(\mathcal{C}\), nous pouvons trouver un morphisme \(a : x' \to x\) au-dessus de \(U' = q(y') \to q(y) = U\). Puisque \(\mathcal{Y}\) est fibrée en groupoïdes au-dessus de \(\mathcal{C}\) et que \(F(x') \to F(x)\) et \(y' \to y\) sont tous deux au-dessus du même morphisme \(U' \to U\), nous pouvons trouver \(f' : F(x') \to y'\) au-dessus de \(\text{id}_{U'}\) tel que \(f \circ F(a) = b \circ f'\). Nous obtenons ainsi \((a, b) : (U', x', y', f') \to (U, x, y, f)\). Ceci vérifie la première condition (1) de la définition 003T. Pour vérifier (2), soient \((a, b) : (U', x', y', f') \to (U, x, y, f)\) et \((a', b') : (U'', x'', y'', f'') \to (U, x, y, f)\) des morphismes de \(\mathcal{X}'\), et soit \(b'' : y' \to y''\) un morphisme de \(\mathcal{Y}\) tel que \(b' \circ b'' = b\). Il faut montrer qu’il existe un unique morphisme \(a'' : x' \to x''\) tel que \(f'' \circ F(a'') = b'' \circ f'\) et tel que \((a', b') \circ (a'', b'') = (a, b)\). Puisque \(\mathcal{X}\) est fibrée en groupoïdes, nous savons qu’il existe un unique morphisme \(a'' : x' \to x''\) tel que \(a' \circ a'' = a\) et \(p(a'') = q(b'')\). Puisque \(\mathcal{Y}\) est fibrée en groupoïdes, nous voyons que \(F(a'')\) est l’unique morphisme \(F(x') \to F(x'')\) tel que \(F(a') \circ F(a'') = F(a)\) et \(q(F(a'')) = q(b'')\). La relation \(f'' \circ F(a'') = b'' \circ f'\) découle alors de cette unicité et des relations données \(f \circ F(a) = b \circ f'\) et \(f \circ F(a') = b' \circ f''\).

Lemme

Soit \(\mathcal{C}\) une catégorie. Soit \(F : \mathcal{X} \to \mathcal{Y}\) un \(1\)-morphisme de catégories fibrées en groupoïdes au-dessus de \(\mathcal{C}\). Supposons donné un diagramme \(2\)-commutatif \[\xymatrix{ \mathcal{X}' \ar[rd]_f & \mathcal{X} \ar[l]^a \ar[d]^F \ar[r]_b & \mathcal{X}'' \ar[ld]^g \\ & \mathcal{Y} }\] où \(a\) et \(b\) sont des équivalences de catégories au-dessus de \(\mathcal{C}\) et où \(f\) et \(g\) définissent des catégories fibrées en groupoïdes. Il existe alors une équivalence \(h : \mathcal{X}'' \to \mathcal{X}'\) de catégories au-dessus de \(\mathcal{Y}\) telle que \(h \circ b\) soit \(2\)-isomorphe à \(a\) comme \(1\)-morphismes de catégories au-dessus de \(\mathcal{C}\). Si le diagramme ci-dessus est effectivement commutatif, on peut faire en sorte que \(h \circ b\) soit \(2\)-isomorphe à \(a\) comme \(1\)-morphismes de catégories au-dessus de \(\mathcal{Y}\).

Démonstration

Nous montrerons que \(\mathcal{X}'\) et \(\mathcal{X}''\), au-dessus de \(\mathcal{Y}\), sont toutes deux équivalentes à la catégorie fibrée en groupoïdes \(\mathcal{X} \times_{F, \mathcal{Y}, \text{id}} \mathcal{Y}\) au-dessus de \(\mathcal{Y}\) ; voir la preuve du lemme 06N7. Choisissons un quasi-inverse \(b^{-1} : \mathcal{X}'' \to \mathcal{X}\) dans la \(2\)-catégorie des catégories au-dessus de \(\mathcal{C}\). Puisque le triangle de droite du diagramme est \(2\)-commutatif, le diagramme \[\xymatrix{ \mathcal{X} \ar[d]_F & \mathcal{X}'' \ar[l]^{b^{-1}} \ar[d]^g \\ \mathcal{Y} & \mathcal{Y} \ar[l] }\] est \(2\)-commutatif. Nous obtenons donc un \(1\)-morphisme \(c : \mathcal{X}'' \to \mathcal{X} \times_{F, \mathcal{Y}, \text{id}} \mathcal{Y}\) par la propriété universelle du \(2\)-produit fibré. De plus, \(c\) est un morphisme de catégories au-dessus de \(\mathcal{Y}\) (!) et une équivalence (puisque \(b\) est supposé être une équivalence ; voir le lemme 02XB). Ainsi, \(c\) est une équivalence dans la \(2\)-catégorie des catégories fibrées en groupoïdes au-dessus de \(\mathcal{Y}\) d’après le lemme 003Z.

Il reste à construire un \(2\)-isomorphisme entre \(c \circ b\) et le foncteur \(d : \mathcal{X} \to \mathcal{X} \times_{F, \mathcal{Y}, \text{id}} \mathcal{Y}\), \(x \mapsto (p(x), x, F(x), \text{id}_{F(x)})\), construit dans la preuve du lemme 06N7. Soient \(\alpha : F \to g \circ b\) et \(\beta : b^{-1} \circ b \to \text{id}\) des \(2\)-isomorphismes entre \(1\)-morphismes de catégories au-dessus de \(\mathcal{C}\). Remarquons que \(c \circ b\) est donné sur les objets par la règle \[x \mapsto (p(x), b^{-1}(b(x)), g(b(x)), \alpha_x \circ F(\beta_x))\] On voit alors que \[(\beta_x, \alpha_x) : (p(x), x, F(x), \text{id}_{F(x)}) \longrightarrow (p(x), b^{-1}(b(x)), g(b(x)), \alpha_x \circ F(\beta_x))\] est un isomorphisme fonctoriel qui donne notre \(2\)-morphisme \(d \to b \circ c\). Enfin, si le diagramme est commutatif, alors \(\alpha_x\) est l’identité pour tout \(x\), et ce \(2\)-morphisme est donc un \(2\)-morphisme dans la \(2\)-catégorie des catégories au-dessus de \(\mathcal{Y}\).

Préfaisceaux de catégories

Dans cette section, nous comparons la notion de catégorie fibrée à la notion étroitement apparentée de « préfaisceau de catégories ». La construction de base est expliquée dans l’exemple suivant.

Exemple

Soit \(\mathcal{C}\) une catégorie. Supposons que \(F : \mathcal{C}^{opp} \to \textit{Cat}\) soit un foncteur vers la \(2\)-catégorie des catégories ; voir la définition 003N. Pour \(f : V \to U\) dans \(\mathcal{C}\), nous écrirons de manière suggestive \(F(f) = f^\ast\) pour le foncteur de \(F(U)\) vers \(F(V)\). À partir de là, nous pouvons construire une catégorie fibrée \(\mathcal{S}_F\) au-dessus de \(\mathcal{C}\) comme suit. Posons \[\Ob(\mathcal{S}_F) = \{(U, x) \mid U\in \Ob(\mathcal{C}), x\in \Ob(F(U))\}.\] Pour \((U, x), (V, y) \in \Ob(\mathcal{S}_F)\), posons \[\begin{align*} \Mor_{\mathcal{S}_F}((V, y), (U, x)) & = \{ (f, \phi) \mid f \in \Mor_\mathcal{C}(V, U), \phi \in \Mor_{F(V)}(y, f^\ast x)\} \\ & = \coprod\nolimits_{f \in \Mor_\mathcal{C}(V, U)} \Mor_{F(V)}(y, f^\ast x) \end{align*}\] Pour définir la composition, nous utilisons l’égalité \(g^\ast \circ f^\ast = (f \circ g)^\ast\) pour une paire de morphismes composables de \(\mathcal{C}\) (par définition d’un foncteur vers une \(2\)-catégorie). Plus précisément, nous définissons la composée de \(\psi : z \to g^\ast y\) et \(\phi : y \to f^\ast x\) comme \(g^\ast(\phi) \circ \psi\). Le foncteur \(p_F : \mathcal{S}_F \to \mathcal{C}\) est donné par la règle \((U, x) \mapsto U\). Vérifions qu’il s’agit bien d’une catégorie fibrée. Étant donnés \(f: V \to U\) dans \(\mathcal{C}\) et \((U, x)\), objet au-dessus de \(U\), nous affirmons que \((f, \text{id}_{f^\ast x}): (V, {f^\ast x}) \to (U, x)\) est un relèvement fortement cartésien de \(f\). Il faut montrer qu’un \(h\) dans le diagramme de gauche détermine \((h, \nu)\) dans celui de droite : \[\xymatrix{ V \ar[r]^f & U & (V, f^*x) \ar[r]^{(f, \text{id}_{f^*x})} & (U, x) \\ W \ar@{-->}[u]^h \ar[ru]_g & & (W, z) \ar@{-->}[u]^{(h, \nu)} \ar[ru]_{(g, \psi)} & }\] Il suffit de prendre \(\nu = \psi\), ce qui convient puisque \(f \circ h = g\) et donc \(g^*x = h^*f^*x\). De plus, c’est l’unique relèvement qui rende commutatif le diagramme (de droite).

Définition

Soit \(\mathcal{C}\) une catégorie. Supposons que \(F : \mathcal{C}^{opp} \to \textit{Cat}\) soit un foncteur vers la \(2\)-catégorie des catégories. Nous noterons \(p_F : \mathcal{S}_F \to \mathcal{C}\) la catégorie fibrée construite dans l’exemple 02XV. Une catégorie fibrée scindée est une catégorie fibrée isomorphe (!), au-dessus de \(\mathcal{C}\), à l’une de ces catégories \(\mathcal{S}_F\).

Lemme

Soit \(\mathcal{C}\) une catégorie. Soit \(\mathcal{S}\) une catégorie fibrée au-dessus de \(\mathcal{C}\). Alors \(\mathcal{S}\) est scindée si et seulement si, pour un certain clivage (voir la définition 02XN), les foncteurs de changement de base \((f \circ g)^*\) et \(g^* \circ f^*\) sont égaux.

Démonstration

Cela découle immédiatement des définitions.

Lemme

Soit \(p : \mathcal{S} \to \mathcal{C}\) une catégorie fibrée. Il existe un foncteur contravariant \(F : \mathcal{C} \to \textit{Cat}\) tel que \(\mathcal{S}\) soit équivalente à \(\mathcal{S}_F\) dans la \(2\)-catégorie des catégories fibrées au-dessus de \(\mathcal{C}\). Autrement dit, toute catégorie fibrée est équivalente à une catégorie scindée.

Démonstration

Choisissons un clivage (voir la définition 02XN). Le lemme 02XO fournit des foncteurs de changement de base \(f^*\) pour tout morphisme \(f\) de \(\mathcal{C}\).

Construisons une nouvelle catégorie \(\mathcal{S}'\) comme suit. Les objets de \(\mathcal{S}'\) sont les paires \((x, f)\) formées d’un morphisme \(f : V \to U\) de \(\mathcal{C}\) et d’un objet \(x\) de \(\mathcal{S}\) au-dessus de \(U\), c’est-à-dire \(x\in \Ob(\mathcal{S}_U)\). Le foncteur \(p' : \mathcal{S}' \to \mathcal{C}\) envoie la paire \((x, f)\) sur la source du morphisme \(f\) ; autrement dit, \(p'(x, f : V\to U) = V\). Un morphisme \(\varphi : (x_1, f_1: V_1 \to U_1) \to (x_2, f_2 : V_2 \to U_2)\) est donné par une paire \((\varphi, g)\) formée d’un morphisme \(g : V_1 \to V_2\) et d’un morphisme \(\varphi : f_1^\ast x_1 \to f_2^\ast x_2\) tel que \(p(\varphi) = g\). Il est immédiat de définir la loi de composition : \((\varphi, g) \circ (\psi, h) = (\varphi \circ \psi, g\circ h)\) pour toute paire de morphismes composables. Il existe un foncteur naturel \(\mathcal{S} \to \mathcal{S}'\) qui envoie simplement \(x\) au-dessus de \(U\) sur la paire \((x, \text{id}_U)\).

Il nous faut à présent vérifier que \(p'\) fait de \(\mathcal{S}'\) une catégorie fibrée au-dessus de \(\mathcal{C}\), et que \(\mathcal{S} \to \mathcal{S}'\) est une équivalence de catégories au-dessus de \(\mathcal{C}\) qui envoie les morphismes fortement cartésiens sur des morphismes fortement cartésiens. Nous omettons ces vérifications.

Enfin, nous pouvons définir des foncteurs de changement de base sur \(\mathcal{S}'\) en posant \(g^\ast(x, f) = (x, f \circ g)\) sur les objets si \(g : V' \to V\) et \(f : V \to U\). Sur les morphismes \((\varphi, \text{id}_V) : (x_1, f_1) \to (x_2, f_2)\) de \(\mathcal{S}'_V\), nous posons \(g^\ast(\varphi, \text{id}_V) = (g^\ast\varphi, \text{id}_{V'})\), où nous utilisons les identifications uniques \(g^\ast f_i^\ast x_i = (f_i \circ g)^\ast x_i\) du lemme 02XO pour considérer \(g^\ast\varphi\) comme un morphisme de \((f_1 \circ g)^\ast x_1\) vers \((f_2 \circ g)^\ast x_2\). Manifestement, ces foncteurs de changement de base \(g^\ast\) vérifient \(g_1^\ast \circ g_2^\ast = (g_2\circ g_1)^\ast\) ; autrement dit, \(\mathcal{S}'\) est scindée, comme voulu.

Préfaisceaux de groupoïdes

Dans cette section, nous comparons la notion de catégorie fibrée en groupoïdes à la notion étroitement apparentée de « préfaisceau de groupoïdes ». La construction de base est expliquée dans l’exemple suivant.

Exemple

Cet exemple est l’analogue de l’exemple 02XV, pour les « préfaisceaux de groupoïdes » plutôt que pour les « préfaisceaux de catégories ». Le résultat sera une catégorie fibrée en groupoïdes plutôt qu’une catégorie fibrée. Supposons que \(F : \mathcal{C}^{opp} \to \textit{Groupoïdes}\) soit un foncteur vers la catégorie de groupoïdes ; voir la définition 003N. Pour \(f : V \to U\) dans \(\mathcal{C}\), nous écrirons de manière suggestive \(F(f) = f^\ast\) pour le foncteur de \(F(U)\) vers \(F(V)\). Construisons une catégorie \(\mathcal{S}_F\) fibrée en groupoïdes au-dessus de \(\mathcal{C}\) comme suit. Posons \[\Ob(\mathcal{S}_F) = \{(U, x) \mid U\in \Ob(\mathcal{C}), x\in \Ob(F(U))\}.\] Pour \((U, x), (V, y) \in \Ob(\mathcal{S}_F)\), posons \[\begin{align*} \Mor_{\mathcal{S}_F}((V, y), (U, x)) & = \{ (f, \phi) \mid f \in \Mor_\mathcal{C}(V, U), \phi \in \Mor_{F(V)}(y, f^\ast x)\} \\ & = \coprod\nolimits_{f \in \Mor_\mathcal{C}(V, U)} \Mor_{F(V)}(y, f^\ast x) \end{align*}\] Pour définir la composition, nous utilisons l’égalité \(g^\ast \circ f^\ast = (f \circ g)^\ast\) pour une paire de morphismes composables de \(\mathcal{C}\) (par définition d’un foncteur vers une \(2\)-catégorie). Plus précisément, nous définissons la composée de \(\psi : z \to g^\ast y\) et \(\phi : y \to f^\ast x\) comme \(g^\ast(\phi) \circ \psi\). Le foncteur \(p_F : \mathcal{S}_F \to \mathcal{C}\) est donné par la règle \((U, x) \mapsto U\). La condition selon laquelle \(F(U)\) est un groupoïde pour tout \(U\) garantit que \(\mathcal{S}_F\) est fibrée en groupoïdes au-dessus de \(\mathcal{C}\), puisque nous avons déjà vu dans l’exemple 02XV que \(\mathcal{S}_F\) est une catégorie fibrée ; voir le lemme 003V. Mais nous pouvons aussi démontrer directement les conditions (1), (2) de la définition 003T comme suit : (1) Les relèvements de morphismes existent : étant donnés \(f: V \to U\) dans \(\mathcal{C}\) et \((U, x)\), objet de \(\mathcal{S}_F\) au-dessus de \(U\), \((f, \text{id}_{f^\ast x}): (V, {f^\ast x}) \to (U, x)\) est un relèvement de \(f\). (2) Supposons données les flèches pleines des diagrammes suivants : \[\xymatrix{ V \ar[r]^f & U & (V, y) \ar[r]^{(f, \phi)} & (U, x) \\ W \ar@{-->}[u]^h \ar[ru]_g & & (W, z) \ar@{-->}[u]^{(h, \nu)} \ar[ru]_{(g, \psi)} & \\ }\] Alors, pour les flèches pointillées, on a \(\nu = (h^\ast \phi)^{-1} \circ \psi\) ; ainsi, \(h\) étant donné, il existe un \(\nu\), unique par unicité des inverses.

Définition

Soit \(\mathcal{C}\) une catégorie. Supposons que \(F : \mathcal{C}^{opp} \to \textit{Groupoïdes}\) soit un foncteur vers la \(2\)-catégorie des groupoïdes. Nous noterons \(p_F : \mathcal{S}_F \to \mathcal{C}\) la catégorie fibrée en groupoïdes construite dans l’exemple 0049. Une catégorie fibrée en groupoïdes scindée est une catégorie fibrée en groupoïdes isomorphe (!), au-dessus de \(\mathcal{C}\), à l’une de ces catégories \(\mathcal{S}_F\).

Lemme

Soit \(p : \mathcal{S} \to \mathcal{C}\) une catégorie fibrée en groupoïdes. Il existe un foncteur contravariant \(F : \mathcal{C} \to \textit{Groupoïdes}\) tel que \(\mathcal{S}\) soit équivalente à \(\mathcal{S}_F\) au-dessus de \(\mathcal{C}\). Autrement dit, toute catégorie fibrée en groupoïdes est équivalente à une catégorie scindée.

Démonstration

Choisissons un clivage (voir la définition 02XN). Les lemmes 02XO et 003V fournissent des foncteurs de changement de base \(f^*\) pour tout morphisme \(f\) de \(\mathcal{C}\).

Construisons une nouvelle catégorie \(\mathcal{S}'\) comme suit. Les objets de \(\mathcal{S}'\) sont les paires \((x, f)\) formées d’un morphisme \(f : V \to U\) de \(\mathcal{C}\) et d’un objet \(x\) de \(\mathcal{S}\) au-dessus de \(U\), c’est-à-dire \(x\in \Ob(\mathcal{S}_U)\). Le foncteur \(p' : \mathcal{S}' \to \mathcal{C}\) envoie la paire \((x, f)\) sur la source du morphisme \(f\) ; autrement dit, \(p'(x, f : V\to U) = V\). Un morphisme \(\varphi : (x_1, f_1: V_1 \to U_1) \to (x_2, f_2 : V_2 \to U_2)\) est donné par une paire \((\varphi, g)\) formée d’un morphisme \(g : V_1 \to V_2\) et d’un morphisme \(\varphi : f_1^\ast x_1 \to f_2^\ast x_2\) tel que \(p(\varphi) = g\). Il est immédiat de définir la loi de composition : \((\varphi, g) \circ (\psi, h) = (\varphi \circ \psi, g\circ h)\) pour toute paire de morphismes composables. Il existe un foncteur naturel \(\mathcal{S} \to \mathcal{S}'\) qui envoie simplement \(x\) au-dessus de \(U\) sur la paire \((x, \text{id}_U)\).

Il nous faut à présent vérifier que \(p'\) fait de \(\mathcal{S}'\) une catégorie fibrée en groupoïdes au-dessus de \(\mathcal{C}\), et que \(\mathcal{S} \to \mathcal{S}'\) est une équivalence de catégories au-dessus de \(\mathcal{C}\). Nous omettons ces vérifications.

Enfin, nous pouvons définir des foncteurs de changement de base sur \(\mathcal{S}'\) en posant \(g^\ast(x, f) = (x, f \circ g)\) sur les objets si \(g : V' \to V\) et \(f : V \to U\). Sur les morphismes \((\varphi, \text{id}_V) : (x_1, f_1) \to (x_2, f_2)\) de \(\mathcal{S}'_V\), nous posons \(g^\ast(\varphi, \text{id}_V) = (g^\ast\varphi, \text{id}_{V'})\), où nous utilisons les identifications uniques \(g^\ast f_i^\ast x_i = (f_i \circ g)^\ast x_i\) du lemme 003V pour considérer \(g^\ast\varphi\) comme un morphisme de \((f_1 \circ g)^\ast x_1\) vers \((f_2 \circ g)^\ast x_2\). Manifestement, ces foncteurs de changement de base \(g^\ast\) vérifient \(g_1^\ast \circ g_2^\ast = (g_2\circ g_1)^\ast\) ; autrement dit, \(\mathcal{S}'\) est scindée, comme voulu.

Nous verrons une autre preuve de ce lemme dans la section 02Y4.

Catégories fibrées en ensembles

Définition

Une catégorie est dite discrète si ses seuls morphismes sont les identités.

Une catégorie discrète ne possède qu’une seule donnée intéressante : son ensemble d’objets. Ainsi, nous confondons parfois les catégories discrètes avec les ensembles.

Définition

Soit \(\mathcal{C}\) une catégorie. Une catégorie fibrée en ensembles, ou une catégorie fibrée en catégories discrètes, est une catégorie fibrée en groupoïdes dont toutes les catégories fibres sont discrètes.

Nous voulons préciser la relation entre les catégories fibrées en ensembles et les préfaisceaux (voir la définition 02X6). Pour ce faire, il est naturel de commencer par la définition suivante.

Définition

Soit \(\mathcal{C}\) une catégorie. La \(2\)-catégorie des catégories fibrées en ensembles au-dessus de \(\mathcal{C}\) est la sous-\(2\)-catégorie de la catégorie des catégories fibrées en groupoïdes au-dessus de \(\mathcal{C}\) (voir la définition 02XS) définie comme suit :

1. Ses objets sont les catégories \(p : \mathcal{S} \to \mathcal{C}\) fibrées en ensembles.

2. Ses \(1\)-morphismes \((\mathcal{S}, p) \to (\mathcal{S}', p')\) sont les foncteurs \(G : \mathcal{S} \to \mathcal{S}'\) tels que \(p' \circ G = p\) (puisque tout morphisme est fortement cartésien, \(G\) les préserve automatiquement).

3. Ses \(2\)-morphismes \(t : G \to H\) pour \(G, H : (\mathcal{S}, p) \to (\mathcal{S}', p')\) sont les morphismes de foncteurs tels que \(p'(t_x) = \text{id}_{p(x)}\) pour tout \(x \in \Ob(\mathcal{S})\).

Notons que tout \(2\)-morphisme est automatiquement un isomorphisme. Cette \(2\)-catégorie est donc en fait une \((2, 1)\)-catégorie. Voici le lemme obligé sur l’existence des \(2\)-produits fibrés.

Lemme

Soit \(\mathcal{C}\) une catégorie. La 2-catégorie des catégories fibrées en ensembles au-dessus de \(\mathcal{C}\) admet des 2-produits fibrés. Plus précisément, le 2-produit fibré décrit dans le lemme 0040 est une catégorie fibrée en ensembles lorsque les données de départ le sont.

Démonstration

Omis.

Exemple

Cet exemple est l’analogue des exemples 02XV et 0049 pour les préfaisceaux au lieu des « préfaisceaux de catégories ». Le résultat sera une catégorie fibrée en ensembles plutôt qu’une catégorie fibrée. Supposons que \(F : \mathcal{C}^{opp} \to \textit{Ensembles}\) soit un préfaisceau. Pour \(f : V \to U\) dans \(\mathcal{C}\), nous écrirons de manière suggestive \(F(f) = f^\ast : F(U) \to F(V)\). Nous construisons une catégorie \(\mathcal{S}_F\) fibrée en ensembles au-dessus de \(\mathcal{C}\) comme suit. Posons \[\Ob(\mathcal{S}_F) = \{(U, x) \mid U \in \Ob(\mathcal{C}), x \in \Ob(F(U))\}.\] Pour \((U, x), (V, y) \in \Ob(\mathcal{S}_F)\), nous posons \[\begin{align*} \Mor_{\mathcal{S}_F}((V, y), (U, x)) & = \{f \in \Mor_\mathcal{C}(V, U) \mid f^*x = y\} \end{align*}\] La composition est héritée de celle de \(\mathcal{C}\) ; cela fonctionne car \(g^\ast \circ f^\ast = (f \circ g)^\ast\) pour une paire de morphismes composables de \(\mathcal{C}\). Le foncteur \(p_F : \mathcal{S}_F \to \mathcal{C}\) est donné par la règle \((U, x) \mapsto U\). Puisque toute catégorie fibre \(\mathcal{S}_{F, U}\) est discrète, d’ensemble sous-jacent \(F(U)\), et que nous avons déjà vu dans l’exemple 0049 que \(\mathcal{S}_F\) est une catégorie fibrée en groupoïdes, nous concluons que \(\mathcal{S}_F\) est fibrée en ensembles.

Lemme

Soit \(\mathcal{C}\) une catégorie. Les seuls \(2\)-morphismes entre catégories fibrées en ensembles sont les identités. Autrement dit, la \(2\)-catégorie des catégories fibrées en ensembles est une catégorie. De plus, il existe une équivalence de catégories \[\left\{ \begin{matrix} \text{la catégorie des préfaisceaux}\\ \text{d'ensembles sur }\mathcal{C} \end{matrix} \right\} \leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} \text{la catégorie des catégories}\\ \text{fibrées en ensembles au-dessus de }\mathcal{C} \end{matrix} \right\}\] Le foncteur de gauche à droite est la construction \(F \to \mathcal{S}_F\) étudiée dans l’exemple 04TM. Le foncteur de droite à gauche associe à \(p : \mathcal{S} \to \mathcal{C}\) le préfaisceau d’objets \(U \mapsto \Ob(\mathcal{S}_U)\).

Démonstration

La première assertion est claire, puisque les seuls morphismes des catégories fibres sont les identités.

Supposons que \(p : \mathcal{S} \to \mathcal{C}\) soit fibrée en ensembles. Soit \(f : V \to U\) un morphisme de \(\mathcal{C}\) et soit \(x \in \Ob(\mathcal{S}_U)\). Il existe alors exactement un choix pour l’objet \(f^\ast x\). Nous voyons donc que \((f \circ g)^\ast x = g^\ast(f^\ast x)\) pour \(f, g\) comme dans le lemme 003V. Il s’ensuit que l’on peut considérer les applications \(U \mapsto \Ob(\mathcal{S}_U)\) et \(f \mapsto f^\ast\) comme un préfaisceau sur \(\mathcal{C}\).

Voici un exemple important de catégorie fibrée en ensembles.

Exemple

Soit \(\mathcal{C}\) une catégorie. Soit \(X \in \Ob(\mathcal{C})\). Considérons le préfaisceau représentable \(h_X = \Mor_\mathcal{C}(-, X)\) (voir l’exemple 001O). D’autre part, considérons la catégorie \(p : \mathcal{C}/X \to \mathcal{C}\) de l’exemple 001G. La catégorie fibre \((\mathcal{C}/X)_U\) a pour objets les morphismes \(h : U \to X\), et pour seuls morphismes les identités. Nous voyons donc que, sous la correspondance du lemme 02Y2, nous avons \[h_X \longleftrightarrow \mathcal{C}/X.\] Autrement dit, la catégorie \(\mathcal{C}/X\) est canoniquement équivalente à la catégorie \(\mathcal{S}_{h_X}\) associée à \(h_X\) dans l’exemple 04TM.

Pour cette raison, il est tentant de définir un objet « représentable » de la 2-catégorie des catégories fibrées en groupoïdes comme une catégorie fibrée en ensembles dont le préfaisceau associé est représentable. Ce ne serait toutefois pas une bonne définition, car nous préférons disposer d’une notion qui soit invariante par équivalences. Pour préciser ce point, nous étudions exactement quelles catégories fibrées en groupoïdes sont équivalentes à des catégories fibrées en ensembles.

Catégories fibrées en setoïdes

Définition

Appelons setoïde⁸ toute catégorie qui est un groupoïde dans lequel tout objet possède exactement un automorphisme : l’identité.

Si \(C\) est un ensemble muni d’une relation d’équivalence \(\sim\), on peut en faire un setoïde \(\mathcal{C}\) comme suit : \(\Ob(\mathcal{C}) = C\) et \(\Mor_\mathcal{C}(x, y) = \emptyset\) sauf si \(x \sim y\), auquel cas on pose \(\Mor_\mathcal{C}(x, y) = \{1\}\). La transitivité de \(\sim\) signifie que l’on peut composer les morphismes. Réciproquement, tout setoïde définit sur ses objets la relation d’équivalence « être isomorphes », à partir de laquelle on retrouve la catégorie (à isomorphisme unique près, et non simplement à équivalence près) par le procédé qui vient d’être décrit.

Les catégories discrètes sont des setoïdes. Pour tout setoïde \(\mathcal{C}\), il existe un procédé canonique qui produit une catégorie discrète équivalente : on remplace \(\Ob(\mathcal{C})\) par l’ensemble des classes d’isomorphisme (et l’on ajoute les identités). En termes d’ensembles munis d’une relation d’équivalence, cela correspond au passage au quotient par la relation d’équivalence.

Définition

Soit \(\mathcal{C}\) une catégorie. Une catégorie fibrée en setoïdes est une catégorie fibrée en groupoïdes dont toutes les catégories fibres sont des setoïdes.

Nous préciserons ci-dessous la relation entre les catégories fibrées en setoïdes et les catégories fibrées en ensembles.

Définition

Soit \(\mathcal{C}\) une catégorie. La \(2\)-catégorie des catégories fibrées en setoïdes au-dessus de \(\mathcal{C}\) est la sous-\(2\)-catégorie de la catégorie des catégories fibrées en groupoïdes au-dessus de \(\mathcal{C}\) (voir la définition 02XS) définie comme suit :

1. Ses objets sont les catégories \(p : \mathcal{S} \to \mathcal{C}\) fibrées en setoïdes.

2. Ses \(1\)-morphismes \((\mathcal{S}, p) \to (\mathcal{S}', p')\) sont les foncteurs \(G : \mathcal{S} \to \mathcal{S}'\) tels que \(p' \circ G = p\) (puisque tout morphisme est fortement cartésien, \(G\) les préserve automatiquement).

3. Ses \(2\)-morphismes \(t : G \to H\) pour \(G, H : (\mathcal{S}, p) \to (\mathcal{S}', p')\) sont les morphismes de foncteurs tels que \(p'(t_x) = \text{id}_{p(x)}\) pour tout \(x \in \Ob(\mathcal{S})\).

Notons que tout \(2\)-morphisme est automatiquement un isomorphisme. Cette \(2\)-catégorie est donc en fait une \((2, 1)\)-catégorie.

Voici le lemme obligé sur l’existence des \(2\)-produits fibrés.

Lemme

Soit \(\mathcal{C}\) une catégorie. La 2-catégorie des catégories fibrées en setoïdes au-dessus de \(\mathcal{C}\) admet des 2-produits fibrés. Plus précisément, le 2-produit fibré décrit dans le lemme 0040 est une catégorie fibrée en setoïdes lorsque les données de départ le sont.

Démonstration

Omis.

Lemme

Soit \(\mathcal{C}\) une catégorie. Soit \(\mathcal{S}\) une catégorie au-dessus de \(\mathcal{C}\).

1. Si \(\mathcal{S} \to \mathcal{S}'\) est une équivalence au-dessus de \(\mathcal{C}\), avec \(\mathcal{S}'\) fibrée en ensembles au-dessus de \(\mathcal{C}\), alors

   1. \(\mathcal{S}\) est fibrée en setoïdes au-dessus de \(\mathcal{C}\), et

   2. pour tout \(U \in \Ob(\mathcal{C})\), l’application \(\Ob(\mathcal{S}_U) \to \Ob(\mathcal{S}'_U)\) identifie le but à l’ensemble des classes d’isomorphisme de la source.

2. Si \(p : \mathcal{S} \to \mathcal{C}\) est une catégorie fibrée en setoïdes, alors il existe une catégorie fibrée en ensembles \(p' : \mathcal{S}' \to \mathcal{C}\) et une équivalence \(\text{can} : \mathcal{S} \to \mathcal{S}'\) au-dessus de \(\mathcal{C}\).

Démonstration

Démontrons (2). Un objet de la catégorie \(\mathcal{S}'\) est une paire \((U, \xi)\), où \(U \in \Ob(\mathcal{C})\) et \(\xi\) est une classe d’isomorphisme d’objets de \(\mathcal{S}_U\). Un morphisme \((U, \xi) \to (V , \psi)\) est donné par un morphisme \(x \to y\), où \(x \in \xi\) et \(y \in \psi\). Ici, nous identifions deux morphismes \(x \to y\) et \(x' \to y'\) s’ils induisent le même morphisme \(U \to V\), et si, pour certains choix d’isomorphismes \(x \to x'\) dans \(\mathcal{S}_U\) et \(y \to y'\) dans \(\mathcal{S}_V\), les composées \(x \to x' \to y'\) et \(x \to y \to y'\) coïncident. Par construction, les applications sur les objets et les morphismes induites par \(\mathcal{S} \to \mathcal{S}'\) sont surjectives. Nous définissons la composition des morphismes dans \(\mathcal{S}'\) comme l’unique loi qui fasse de \(\mathcal{S} \to \mathcal{S}'\) un foncteur. Certains détails sont omis.

Ainsi, les catégories fibrées en setoïdes sont exactement les catégories fibrées en groupoïdes qui sont équivalentes à des catégories fibrées en ensembles. De plus, une équivalence de catégories fibrées en ensembles est un isomorphisme d’après le lemme 02Y2.

Lemme

Soit \(\mathcal{C}\) une catégorie. La construction du lemme 0045, partie (2), donne un foncteur \[F : \left\{ \begin{matrix} \text{la 2-catégorie des catégories}\\ \text{fibrées en setoïdes au-dessus de }\mathcal{C} \end{matrix} \right\} \longrightarrow \left\{ \begin{matrix} \text{la catégorie des catégories}\\ \text{fibrées en ensembles au-dessus de }\mathcal{C} \end{matrix} \right\}\] (voir la définition 003N). Ce foncteur est une équivalence au sens suivant :

1. pour deux 1-morphismes quelconques \(f, g : \mathcal{S}_1 \to \mathcal{S}_2\) tels que \(F(f) = F(g)\), il existe un unique 2-isomorphisme \(f \to g\),

2. pour tout morphisme \(h : F(\mathcal{S}_1) \to F(\mathcal{S}_2)\), il existe un 1-morphisme \(f : \mathcal{S}_1 \to \mathcal{S}_2\) tel que \(F(f) = h\), et

3. toute catégorie fibrée en ensembles \(\mathcal{S}\) est égale à \(F(\mathcal{S})\).

En particulier, si l’on définit \(F_i \in \textit{PSh}(\mathcal{C})\) par la règle \(F_i(U) = \Ob(\mathcal{S}_{i, U})/\cong\), on a \[\Mor_{\textit{Cat}/\mathcal{C}}(\mathcal{S}_1, \mathcal{S}_2) \Big/ 2\text{-isomorphisme} = \Mor_{\textit{PSh}(\mathcal{C})}(F_1, F_2)\] Plus précisément, pour tout morphisme \(\phi : F_1 \to F_2\), il existe un \(1\)-morphisme \(f : \mathcal{S}_1 \to \mathcal{S}_2\) qui induit \(\phi\) sur les classes d’isomorphisme d’objets et qui est unique à un unique \(2\)-isomorphisme près.