Groupes de Brauer

Introduction

On pourra consulter les exposés de Serre au Séminaire Cartan, voir [Serre-Cartan]. Serre renvoie lui-même à [Deuring] et [ANT]. Nous avons modifié certaines démonstrations ; en particulier, nous avons utilisé un élégant argument de Rieffel pour démontrer le théorème de Wedderburn. Il est très probable que cette modification ne constitue pas une amélioration, et nous encourageons vivement le lecteur à lire l’exposé original de Serre.

Algèbres non commutatives

Soit \(k\) un corps. Dans ce chapitre, une algèbre \(A\) sur \(k\) est un anneau \(A\), éventuellement non commutatif, muni d’un homomorphisme d’anneaux \(k \to A\) tel que l’image de \(k\) soit contenue dans le centre de \(A\) et qui envoie \(1\) sur l’élément unité de \(A\). Un \(A\)-module est un \(A\)-module à droite sur lequel l’élément unité de \(A\) agit comme l’identité.

Définition

Soit \(A\) une \(k\)-algèbre. Nous disons que \(A\) est finie si \(\dim_k(A) < \infty\). Dans ce cas, nous écrivons \([A : k] = \dim_k(A)\).

Définition

Un corps gauche est un anneau éventuellement non commutatif, muni d’un élément unité \(1\), avec \(1 \not = 0\), dans lequel tout élément non nul possède un inverse multiplicatif.

Un corps gauche est une \(k\)-algèbre pour un certain \(k\) (par exemple pour le sous-corps premier qu’il contient). Nous utiliserons ci-dessous que tout module sur un corps gauche est libre : une famille maximale de vecteurs linéairement indépendants constitue une base, et une telle famille existe d’après le lemme de Zorn.

Définition

Soit \(A\) une \(k\)-algèbre. Nous disons qu’un \(A\)-module \(M\) est simple s’il est non nul et si ses seuls sous-\(A\)-modules sont \(0\) et \(M\). Nous disons que \(A\) est simple si les seuls idéaux bilatères de \(A\) sont \(0\) et \(A\).

Définition

Une \(k\)-algèbre \(A\) est centrale si le centre de \(A\) est l’image de \(k \to A\).

Définition

Étant donnée une \(k\)-algèbre \(A\), nous notons \(A^{op}\) la \(k\)-algèbre obtenue en renversant l’ordre de la multiplication dans \(A\). On l’appelle l’algèbre opposée.

Théorème de Wedderburn

L’élégant argument qui suit se trouve dans un article de Rieffel, voir [Rieffel]. La démonstration pourrait difficilement être plus simple (pour reprendre les mots du compte rendu de Carl Faith).

Lemme

Soit \(A\) un anneau éventuellement non commutatif, muni de \(1\), qui ne possède aucun idéal bilatère non trivial. Soit \(M\) un idéal à droite non nul de \(A\), et considérons \(M\) comme un \(A\)-module à droite. Alors \(A\) coïncide avec le bicommutant de \(M\).

Démonstration

Soit \(A' = \text{End}_A(M)\), de sorte que \(M\) est un \(A'\)-module à gauche. Posons \(A'' = \text{End}_{A'}(M)\) (le bicommutant de \(M\)). Considérons \(M\) comme un \(A''\)-module à droite¹. Soit \(R : A \to A''\) l’homomorphisme naturel défini par \(mR(a) = ma\). Alors \(R\) est injectif, puisque \(R(1) = \text{id}_M\) et que \(A\) ne possède aucun idéal bilatère non trivial. Nous affirmons que \(R(M)\) est un idéal à droite de \(A''\). En effet, \(R(m)a'' = R(ma'')\) pour \(a'' \in A''\) et \(m\) dans \(M\), car la multiplication à gauche sur \(M\) par tout élément \(n\) de \(M\) définit un élément de \(A'\), de sorte que \((nm)a'' = n(ma'')\) pour tout \(n\) dans \(M\). Enfin, l’idéal produit \(AM\) est un idéal bilatère, et donc \(A = AM\). Ainsi \(R(A) = R(A)R(M)\), si bien que \(R(A)\) est un idéal à droite de \(A''\). Mais \(R(A)\) contient l’élément unité de \(A''\), donc \(R(A) = A''\).

Lemme

Soit \(A\) une \(k\)-algèbre. Si \(A\) est finie, alors

1. \(A\) possède un module simple,

2. tout module non nul contient un sous-module simple,

3. tout module simple sur \(A\) est de dimension finie sur \(k\), et

4. si \(M\) est un \(A\)-module simple, alors \(\text{End}_A(M)\) est un corps gauche.

Démonstration

Bien sûr, (1) résulte de (2), puisque \(A\) est un \(A\)-module non nul. Pour (2), tout sous-module de dimension (finie) minimale comme espace vectoriel sur \(k\) est simple. Il en existe un de dimension finie, car un sous-module cyclique est de dimension finie. Si \(M\) est simple, alors \(mA \subset M\) est un sous-module, ce qui donne (3). Tout élément non nul de \(\text{End}_A(M)\) est un isomorphisme, d’où (4).

Théorème

Soit \(A\) une \(k\)-algèbre simple et finie. Alors \(A\) est une algèbre de matrices sur une \(k\)-algèbre finie \(K\) qui est un corps gauche.

Démonstration

Nous pouvons choisir un sous-module simple \(M \subset A\) ; alors la \(k\)-algèbre \(K = \text{End}_A(M)\) est un corps gauche, voir le lemme 0746. D’après le lemme 0745, nous avons \(A = \text{End}_K(M)\). Comme \(K\) est un corps gauche et que \(M\) est de type fini (puisque \(\dim_k(M) < \infty\)), nous voyons que \(M\) est libre de rang fini comme \(K\)-module à gauche. Il en résulte immédiatement que \(A \cong \text{Mat}(n \times n, K^{op})\).

Lemmes sur les algèbres

Soit \(A\) une \(k\)-algèbre. Soit \(B \subset A\) une sous-algèbre. Le centralisateur de \(B\) dans \(A\) est la sous-algèbre \[C = \{y \in A \mid xy = yx \text{ pour tout }x \in B\}.\] C’est une \(k\)-algèbre.

Lemme

Soient \(A\), \(A'\) des \(k\)-algèbres. Soient \(B \subset A\), \(B' \subset A'\) des sous-algèbres de centralisateurs respectifs \(C\), \(C'\). Alors le centralisateur de \(B \otimes_k B'\) dans \(A \otimes_k A'\) est \(C \otimes_k C'\).

Démonstration

Notons \(C'' \subset A \otimes_k A'\) le centralisateur de \(B \otimes_k B'\). Il est clair que \(C \otimes_k C' \subset C''\). Réciproquement, tout élément de \(C''\) commute à \(B \otimes 1\) et appartient donc à \(C \otimes_k A'\). De même, \(C'' \subset A \otimes_k C'\). Ainsi \(C'' \subset C \otimes_k A' \cap A \otimes_k C' = C \otimes_k C'\).

Lemme

Soit \(A\) une \(k\)-algèbre simple de dimension finie. Alors le centre \(k'\) de \(A\) est une extension finie de \(k\).

Démonstration

Écrivons \(A = \text{Mat}(n \times n, K)\) pour un corps gauche \(K\) de dimension finie sur \(k\) ; voir le théorème 0747. D’après le lemme 0749, le centre de \(A\) est \(k \otimes_k k'\), où \(k' \subset K\) est le centre de \(K\). Puisque le centre d’un corps gauche est un corps, le résultat en découle.

Lemme

Soit \(V\) un espace vectoriel sur \(k\). Soit \(K\) une \(k\)-algèbre centrale qui est un corps gauche. Soit \(W \subset V \otimes_k K\) un sous-espace vectoriel à gauche et à droite sur \(K\). Alors \(W\) est engendré, comme espace vectoriel à gauche sur \(K\), par \(W \cap (V \otimes 1)\).

Démonstration

Soit \(V' \subset V\) le sous-espace vectoriel sur \(k\) engendré par les \(v \in V\) tels que \(v \otimes 1 \in W\). Alors \(V' \otimes_k K \subset W\) et nous avons \[W/(V' \otimes_k K) \subset (V/V') \otimes_k K.\] S’il existe un vecteur non nul \(\overline{v} \in V/V'\) tel que \(\overline{v} \otimes 1\) appartienne à \(W/(V' \otimes_k K)\), alors \(v \otimes 1 \in W\), où \(v \in V\) est un relèvement de \(\overline{v}\). Cela contredit la construction de \(V'\). Nous pouvons donc remplacer \(V\) par \(V/V'\) et \(W\) par \(W/(V' \otimes_k K)\) ; il suffit alors de montrer que \(W \cap (V \otimes 1)\) est non nul si \(W\) est non nul.

Pour le voir, choisissons un élément non nul \(w \in W\) qui puisse s’écrire \(w = \sum_{i = 1, \ldots, n} v_i \otimes k_i\), avec \(n\) minimal. En multipliant à droite par \(k_1^{-1}\), nous pouvons supposer \(k_1 = 1\). Si \(n = 1\), la conclusion est acquise puisque \(v_1 \otimes 1 \in W\). Si \(n > 1\), alors, pour tout \(c \in K\), \[c w - w c = \sum\nolimits_{i = 2, \ldots, n} v_i \otimes (c k_i - k_i c) \in W\] et donc \(c k_i - k_i c = 0\) par minimalité de \(n\). Il s’ensuit que \(k_i\) appartient au centre de \(K\), qui est \(k\) par hypothèse. Ainsi \(w = (v_1 + \sum k_i v_i) \otimes 1\), ce qui contredit la minimalité de \(n\).

Lemme

Soit \(A\) une \(k\)-algèbre. Soit \(K\) une \(k\)-algèbre centrale qui est un corps gauche. Alors tout idéal bilatère \(I \subset A \otimes_k K\) est de la forme \(J \otimes_k K\) pour un idéal bilatère \(J \subset A\). En particulier, si \(A\) est simple, alors \(A \otimes_k K\) l’est aussi.

Démonstration

Posons \(J = \{a \in A \mid a \otimes 1 \in I\}\). C’est un idéal bilatère de \(A\). En outre, \(I = J \otimes_k K\) d’après le lemme 074B.

Lemme

Soit \(R\) un anneau, éventuellement non commutatif. Soit \(n \geq 1\) un entier. Posons \(R_n = \text{Mat}(n \times n, R)\).

1. Les foncteurs \(M \mapsto M^{\oplus n}\) et \(N \mapsto Ne_{11}\) définissent des équivalences de catégories quasi inverses \(\text{Mod}_R \leftrightarrow \text{Mod}_{R_n}\).

2. Tout idéal bilatère de \(R_n\) est de la forme \(IR_n\) pour un certain idéal bilatère \(I\) de \(R\).

3. Le centre de \(R_n\) est égal au centre de \(R\).

Démonstration

Le point (1) est immédiat. Si \(J \subset R_n\) est un idéal bilatère, alors \(J = \bigoplus e_{ii}Je_{jj}\), et tous les termes \(e_{ii}Je_{jj}\) sont égaux entre eux et constituent un idéal bilatère \(I\) de \(R\). Cela prouve (2). Le point (3) est clair.

Lemme

Soit \(A\) une \(k\)-algèbre simple de dimension finie.

1. Il existe, à isomorphisme près, un unique \(A\)-module simple \(M\).

2. Tout \(A\)-module de dimension finie est somme directe de copies d’un module simple.

3. Deux \(A\)-modules de dimension finie sont isomorphes si et seulement s’ils ont même dimension sur \(k\).

4. Si \(A = \text{Mat}(n \times n, K)\), où \(K\) est un corps gauche de dimension finie sur \(k\), alors \(M = K^{\oplus n}\) est un \(A\)-module simple et \(\text{End}_A(M) = K^{op}\).

5. Si \(M\) est un \(A\)-module simple, alors \(L = \text{End}_A(M)\) est un corps gauche de dimension finie sur \(k\) qui agit à gauche sur \(M\), nous avons \(A = \text{End}_L(M)\), et les centres de \(A\) et de \(L\) coïncident. En outre, \([A : k] [L : k] = \dim_k(M)^2\).

6. Pour tout \(A\)-module \(N\) de dimension finie, l’algèbre \(B = \text{End}_A(N)\) est une algèbre de matrices sur le corps gauche \(L\) du point (5). De plus, \(\text{End}_B(N) = A\).

Démonstration

D’après le théorème 0747, nous pouvons écrire \(A = \text{Mat}(n \times n, K)\) pour un corps gauche \(K\) de dimension finie sur \(k\). D’après le lemme 074D, la catégorie des modules sur \(A\) est équivalente à celle des modules sur \(K\). Les points (1), (2) et (3) en résultent, puisque tout module sur \(K\) est libre. Le point (4) résulte de ce que cette équivalence transforme le \(K\)-module \(K\) en \(M = K^{\oplus n}\). En prenant \(M = K^{\oplus n}\) dans (5), nous voyons que \(L = K^{op}\). L’assertion sur le centre de \(L = K^{op}\) résulte du lemme 074D. L’assertion sur \(\text{End}_L(M)\) résulte de la forme explicite de \(M\). La formule des dimensions est claire. Le point (6) résulte du fait que \(N\) est isomorphe à une somme directe de copies d’un module simple.

Lemme

Soient \(A\) et \(A'\) deux \(k\)-algèbres simples, dont l’une est centrale et de dimension finie sur \(k\). Alors \(A \otimes_k A'\) est simple.

Démonstration

Supposons que \(A'\) soit centrale et de dimension finie sur \(k\). Écrivons \(A' = \text{Mat}(n \times n, K')\) ; voir le théorème 0747. Le centre de \(K'\) est alors \(k\), et nous concluons que \(A \otimes_k K'\) est simple d’après le lemme 074C. Par conséquent, \(A \otimes_k A' = \text{Mat}(n \times n, A \otimes_k K')\) est simple d’après le lemme 074D.

Lemme

Le produit tensoriel de deux algèbres centrales simples sur \(k\) et de dimension finie est une algèbre centrale simple de dimension finie.

Démonstration

Combiner les lemmes 0749 et 074F.

Lemme

Soit \(A\) une \(k\)-algèbre centrale simple de dimension finie. Soit \(k'/k\) une extension de corps. Alors \(A' = A \otimes_k k'\) est une \(k'\)-algèbre centrale simple de dimension finie.

Démonstration

Combiner les lemmes 0749 et 074F.

Lemme

Soit \(A\) une \(k\)-algèbre centrale simple de dimension finie. Alors \(A \otimes_k A^{op} \cong \text{Mat}(n \times n, k)\), où \(n = [A : k]\).

Démonstration

D’après le lemme 074G, l’algèbre \(A \otimes_k A^{op}\) est simple. L’application \[A \otimes_k A^{op} \longrightarrow \text{End}_k(A),\quad a \otimes a' \longmapsto (x \mapsto axa')\] est donc injective. Comme la source et le but de la flèche ont même dimension, on conclut.

Le groupe de Brauer d’un corps

Soit \(k\) un corps. Considérons deux algèbres centrales simples \(A\) et \(B\), de dimension finie sur \(k\). Nous disons que \(A\) et \(B\) sont semblables s’il existe \(n, m > 0\) tels que \(\text{Mat}(n \times n, A) \cong \text{Mat}(m \times m, B)\) comme \(k\)-algèbres.

Lemme

Similitude.

1. La similitude définit une relation d’équivalence sur l’ensemble des classes d’isomorphisme de \(k\)-algèbres centrales simples de dimension finie.

2. Chaque classe de similitude contient, à isomorphisme près, un unique corps gauche central de dimension finie sur \(k\).

3. Si \(A = \text{Mat}(n \times n, K)\) et \(B = \text{Mat}(m \times m, K')\) pour des corps gauches centraux \(K\), \(K'\) de dimension finie sur \(k\), alors \(A\) et \(B\) sont semblables si et seulement si \(K \cong K'\) comme \(k\)-algèbres.

Démonstration

Remarquons que, d’après le théorème de Wedderburn (théorème 0747), toute algèbre centrale simple de dimension finie s’écrit comme une algèbre de matrices sur un corps gauche central de dimension finie. Il suffit donc de prouver la troisième assertion. Pour cela, il suffit de montrer que, si \(A = \text{Mat}(n \times n, K) \cong \text{Mat}(m \times m, K') = B\), alors \(K \cong K'\). En effet, si \(M\) est un module simple sur \(A\), nous avons \(\text{End}_A(M) = K^{op}\) ; voir le lemme 074E. Par conséquent, \(A \cong B\) implique \(K^{op} \cong (K')^{op}\), d’où le résultat.

Étant données deux \(k\)-algèbres centrales simples de dimension finie \(A\) et \(B\), le produit tensoriel \(A \otimes_k B\) en est encore une ; voir le lemme 074G. De plus, si \(A\) est semblable à \(A'\), alors \(A \otimes_k B\) est semblable à \(A' \otimes_k B\), car le produit tensoriel commute à la formation des algèbres de matrices. Le produit tensoriel définit donc une loi sur les classes d’équivalence des algèbres centrales simples de dimension finie, manifestement associative et commutative. Enfin, le lemme 074I montre que \(A \otimes_k A^{op}\) est isomorphe à une algèbre de matrices, autrement dit que \(A \otimes_k A^{op}\) appartient à la classe de similitude de \(k\). Nous obtenons ainsi un groupe abélien.

Définition

Soit \(k\) un corps. Le groupe de Brauer de \(k\) est le groupe abélien des classes de similitude des \(k\)-algèbres centrales simples de dimension finie défini ci-dessus. On le note \(\text{Br}(k)\).

Tout homomorphisme de corps \(k \to k'\) fournit un homomorphisme de groupes \[\text{Br}(k) \longrightarrow \text{Br}(k'),\quad A \longmapsto A \otimes_k k'\] par le lemme 074H. Autrement dit, \(\text{Br}(-)\) est un foncteur de la catégorie des corps vers celle des groupes abéliens. Remarquons que le groupe de Brauer d’un corps est nul si et seulement si toute extension \(k \subset K\), finie et centrale, par un corps gauche est triviale.

Lemme

Le groupe de Brauer d’un corps algébriquement clos est nul.

Démonstration

Soit \(k \subset K\) une extension, finie et centrale, par un corps gauche. Pour tout élément \(x \in K\), le sous-anneau \(k[x] \subset K\) est une sous-\(k\)-algèbre commutative, intègre et de dimension finie ; c’est donc un corps, voir Algèbre, lemme 00GS. Puisque \(k\) est algébriquement clos, nous en déduisons que \(k[x] = k\). Comme \(x\) était arbitraire, nous concluons que \(k = K\).

Lemme

Soit \(A\) une algèbre centrale simple de dimension finie sur un corps \(k\). Alors \([A : k]\) est un carré.

Démonstration

Cela résulte de ce que \(A \otimes_k \overline{k}\) est une algèbre de matrices sur \(\overline{k}\) d’après le lemme 074M.

Skolem-Noether

Théorème

Soit \(A\) une \(k\)-algèbre centrale simple de dimension finie. Soit \(B\) une \(k\)-algèbre simple. Soient \(f, g : B \to A\) deux homomorphismes de \(k\)-algèbres. Alors il existe un élément inversible \(x \in A\) tel que \(f(b) = xg(b)x^{-1}\) pour tout \(b \in B\).

Démonstration

Choisissons un \(A\)-module simple \(M\). Posons \(L = \text{End}_A(M)\). Alors \(L\) est un corps gauche de centre \(k\) qui agit à gauche sur \(M\); voir les lemmes 0746 et 074E. Alors \(M\) possède deux structures de \(B \otimes_k L^{op}\)-module définies par \(m \cdot_1 (b \otimes l) = lmf(b)\) et \(m \cdot_2 (b \otimes l) = lmg(b)\). La \(k\)-algèbre \(B \otimes_k L^{op}\) est simple d’après le lemme 074F. Comme \(B\) est simple, l’existence d’un homomorphisme de \(k\)-algèbres \(B \to A\) implique que \(B\) est de dimension finie. Ainsi \(B \otimes_k L^{op}\) est simple de dimension finie, et les deux structures de \(B \otimes_k L^{op}\)-module sur \(M\) sont isomorphes d’après le lemme 074E. Il existe donc \(\varphi : M \to M\) entrelaçant ces actions. En particulier, \(\varphi\) appartient au centralisateur de \(L\), ce qui implique que \(\varphi\) est la multiplication par un certain \(x \in A\); voir le lemme 074E. En explicitant les définitions, on voit que \(x\) résout notre problème.

Lemme

Soit \(A\) une \(k\)-algèbre centrale simple de dimension finie. Tout automorphisme de \(A\) est intérieur. En particulier, tout automorphisme de \(\text{Mat}(n \times n, k)\) est intérieur.

Démonstration

Le théorème de Skolem-Noether (théorème 074Q) s’applique.

Le théorème du centralisateur

Théorème

Soit \(A\) une algèbre centrale simple de dimension finie sur \(k\), et soit \(B\) une sous-algèbre simple de \(A\). Alors

1. le centralisateur \(C\) de \(B\) dans \(A\) est simple,

2. \([A : k] = [B : k][C : k]\), et

3. le centralisateur de \(C\) dans \(A\) est \(B\).

Démonstration

Dans toute cette démonstration, nous utilisons librement les résultats du lemme 074E. Choisissons un \(A\)-module simple \(M\). Posons \(L = \text{End}_A(M)\). Alors \(L\) est un corps gauche de centre \(k\) qui agit à gauche sur \(M\) et \(A = \text{End}_L(M)\). Alors \(M\) est un \(B \otimes_k L^{op}\)-module à droite et \(C = \text{End}_{B \otimes_k L^{op}}(M)\). Comme l’algèbre \(B \otimes_k L^{op}\) est simple d’après le lemme 074F, on voit que \(C\) est simple (encore d’après le lemme 074E).

Écrivons \(B \otimes_k L^{op} = \text{Mat}(m \times m, K)\) pour un certain corps gauche \(K\) de dimension finie sur \(k\). Alors \(C = \text{Mat}(n \times n, K^{op})\) si \(M\) est isomorphe à une somme directe de \(n\) copies du \(B \otimes_k L^{op}\)-module simple \(K^{\oplus m}\) (encore d’après le lemme). Ainsi, \(\dim_k(M) = nm [K : k]\), \([B : k] [L : k] = m^2 [K : k]\), \([C : k] = n^2 [K : k]\), et \([A : k] [L : k] = \dim_k(M)^2\) (encore d’après le lemme). On en déduit (2).

L’assertion (3) découle de (2) appliquée à \(C \subset A\), qui montre que \([B : k] = [C' : k]\), où \(C'\) est le centralisateur de \(C\) dans \(A\) (ainsi que du fait évident que \(B \subset C')\).

Lemme

Soit \(A\) une algèbre centrale simple de dimension finie sur \(k\), et soit \(B\) une sous-algèbre simple de \(A\). Si \(B\) est une \(k\)-algèbre centrale, alors \(A = B \otimes_k C\), où \(C\) est le centralisateur de \(B\) dans \(A\), et ce centralisateur est central simple.

Démonstration

Nous avons \(\dim_k(A) = \dim_k(B \otimes_k C)\) d’après le théorème 074T. D’après le lemme 074F, le produit tensoriel est simple. L’application naturelle \(B \otimes_k C \to A\) est donc injective, et par conséquent un isomorphisme.

Lemme

Soit \(A\) une algèbre centrale simple de dimension finie sur \(k\). Si \(K \subset A\) est un sous-corps, les assertions suivantes sont équivalentes :

1. \([A : k] = [K : k]^2\),

2. \(K\) est son propre centralisateur, et

3. \(K\) est un sous-anneau commutatif maximal.

Démonstration

Le théorème 074T montre que (1) et (2) sont équivalentes. Il est clair que (3) et (2) sont équivalentes.

Lemme

Soit \(A\) un corps gauche central de dimension finie sur \(k\). Alors tout sous-corps commutatif maximal \(K \subset A\) satisfait \([A : k] = [K : k]^2\).

Démonstration

C’est un cas particulier du lemme 074V.

Corps neutralisants

Définition

Soit \(A\) une \(k\)-algèbre centrale simple de dimension finie. On dit qu’une extension \(k'/k\) neutralise \(A\), ou que \(k'\) est un corps neutralisant de \(A\), si \(A \otimes_k k'\) est une algèbre de matrices sur \(k'\).

Autrement dit, la classe de \(A\) a pour image zéro par l’application \(\text{Br}(k) \to \text{Br}(k')\).

Théorème

Soit \(A\) une \(k\)-algèbre centrale simple de dimension finie. Soit \(k'/k\) une extension de corps finie. Les assertions suivantes sont équivalentes :

1. \(k'\) neutralise \(A\), et

2. il existe une algèbre \(B\) centrale simple de dimension finie, semblable à \(A\), telle que \(k' \subset B\) et \([B : k] = [k' : k]^2\).

Démonstration

Supposons (2). Il suffit de montrer que \(B \otimes_k k'\) est une algèbre de matrices. Nous savons que \(B \otimes_k B^{op} \cong \text{End}_k(B)\). Comme \(k'\) est le centralisateur de \(k'\) dans \(B^{op}\) d’après le lemme 074V, on voit que \(B \otimes_k k'\) est le centralisateur de \(k \otimes k'\) dans \(B \otimes_k B^{op} = \text{End}_k(B)\). Bien entendu, ce centralisateur n’est autre que \(\text{End}_{k'}(B)\), où l’on considère \(B\) comme un espace vectoriel sur \(k'\) au moyen du plongement \(k' \to B\). D’où le résultat.

Supposons (1). Cela signifie qu’il existe un isomorphisme \(A \otimes_k k' \cong \text{End}_{k'}(V)\) pour un certain espace vectoriel sur \(k'\), noté \(V\). Soit \(B\) le centralisateur de \(A\) dans \(\text{End}_k(V)\). Remarquons que \(k'\) est contenu dans \(B\). D’après le lemme 074U, la somme des classes de \(A\) et de \(B\) est nulle dans \(\text{Br}(k)\). La formule des dimensions du théorème 074T donne \[[B : k] [A : k] = \dim_k(V)^2 = [k' : k]^2 \dim_{k'}(V)^2 = [k' : k]^2 [A : k].\] Ainsi, \([B : k] = [k' : k]^2\). Nous avons donc démontré le résultat pour la classe opposée à la classe de Brauer de \(A\). Cependant, \(k'\) neutralise la classe de Brauer de \(A\) si et seulement s’il neutralise la classe de Brauer de l’algèbre opposée, ce qui conclut dans tous les cas.

Lemme

Tout sous-corps commutatif maximal d’un corps gauche central \(K\) de dimension finie sur \(k\) est un corps neutralisant de \(K\).

Démonstration

Combiner le lemme 074W avec le théorème 074Z.

Lemme

Considérons un corps gauche central \(K\) de dimension finie sur \(k\). Soit \(d^2 = [K : k]\). Pour tout corps neutralisant fini \(k'\) de \(K\), le degré \([k' : k]\) est divisible par \(d\).

Démonstration

D’après le théorème 074Z, il existe une algèbre centrale simple de dimension finie, notée \(B\), dans la classe de Brauer de \(K\), telle que \([B : k] = [k' : k]^2\). D’après le lemme 074K, on a \(B = \text{Mat}(n \times n, K)\) pour un certain \(n\). Alors \([k' : k]^2 = n^2d^2\), d’où le résultat.

Proposition

Considérons un corps gauche central \(K\) de dimension finie sur \(k\). Il existe un sous-corps commutatif maximal \(k \subset k' \subset K\) qui est séparable sur \(k\). En particulier, toute classe de Brauer possède un corps neutralisant fini et séparable.

Démonstration

Comme toute classe de Brauer est représentée par un corps gauche central de dimension finie sur \(k\), la seconde assertion découle de la première et du lemme 0750.

Pour démontrer la première assertion, supposons donné un sous-corps séparable \(k' \subset K\). Alors le centralisateur \(K'\) de \(k'\) dans \(K\) a pour centre \(k'\), et le problème se ramène à trouver un sous-corps commutatif maximal de \(K'\) qui soit séparable sur \(k'\). Il suffit donc de montrer que, si \(k \not = K\), on peut trouver un élément \(x \in K\), \(x \not \in k\), qui soit séparable sur \(k\). Cette assertion est claire en caractéristique zéro. Nous pouvons donc supposer que \(k\) est de caractéristique \(p > 0\). Si le corps de base \(k\) est fini, le résultat est également clair (car les extensions de corps finis sont toujours séparables). Nous pouvons donc supposer que \(k\) est un corps infini de caractéristique positive.

Pour obtenir une contradiction, supposons qu’aucun élément de \(K\) ne soit séparable sur \(k\). D’après la discussion de Corps, section 037H, cela signifie que le polynôme minimal de tout \(x \in K\) est de la forme \(T^q - a\), où \(q\) est une puissance de \(p\) et \(a \in k\). Comme il est clair que tout élément de \(K\) a un polynôme minimal de degré \(\leq \dim_k(K)\), on en conclut qu’il existe une puissance fixée de \(p\), notée \(q\), telle que \(x^q \in k\) pour tout \(x \in K\).

Considérons l’application \[(-)^q : K \longrightarrow K\] et exprimons-la dans une \(k\)-base \(\{a_1, \ldots, a_n\}\) de \(K\) avec \(a_1 = 1\). Ainsi, \[(\sum x_i a_i)^q = \sum f_i(x_1, \ldots, x_n)a_i.\] Comme la multiplication dans \(K\) est \(k\)-bilinéaire, chaque \(f_i\) est un polynôme en \(x_1, \ldots, x_n\) (nous omettons les détails). Le choix de \(q\) ci-dessus et le fait que \(k\) soit infini montrent que \(f_i\) est identiquement nul pour \(i \geq 2\). Cette annulation subsiste donc après extension de \(k\) à sa clôture algébrique \(\overline{k}\). Mais l’algèbre \(K \otimes_k \overline{k}\) est une algèbre de matrices (par exemple d’après les lemmes 074H et 074M), ce qui implique qu’il existe des éléments dont la puissance \(q\)-ième n’est pas centrale (par exemple \(e_{11}\)). C’est la contradiction cherchée.

Les résultats précédents permettent de caractériser les algèbres centrales simples de dimension finie comme suit.

Lemme

Soit \(k\) un corps. Pour une \(k\)-algèbre \(A\), les assertions suivantes sont équivalentes :

1. \(A\) est une \(k\)-algèbre centrale simple de dimension finie,

2. \(A\) est un espace vectoriel de dimension finie sur \(k\), \(k\) est le centre de \(A\), et \(A\) n’a aucun idéal bilatère non trivial,

3. il existe \(d \geq 1\) tel que \(A \otimes_k \bar k \cong \text{Mat}(d \times d, \bar k)\),

4. il existe \(d \geq 1\) tel que \(A \otimes_k k^{sep} \cong \text{Mat}(d \times d, k^{sep})\),

5. il existe \(d \geq 1\) et une extension galoisienne finie \(k'/k\) tels que \(A \otimes_k k' \cong \text{Mat}(d \times d, k')\),

6. il existe \(n \geq 1\) et un corps gauche central \(K\) de dimension finie sur \(k\) tels que \(A \cong \text{Mat}(n \times n, K)\).

L’entier \(d\) est appelé le degré de \(A\).

Démonstration

L’équivalence de (1) et (2) résulte des définitions; voir la section 073Y. Supposons (1). D’après la proposition 0752, il existe un corps neutralisant séparable \(k \subset k'\) de \(A\). Bien entendu, une clôture galoisienne de \(k'/k\) est encore un corps neutralisant. Ainsi, (1) implique (5). Il est clair que (5) \(\Rightarrow\) (4) \(\Rightarrow\) (3). Supposons (3). Alors \(A \otimes_k \overline{k}\) est une \(\overline{k}\)-algèbre centrale simple de dimension finie, par exemple d’après le lemme 074D. Cela implique immédiatement que \(A\) est une \(k\)-algèbre centrale simple de dimension finie. Enfin, l’équivalence de (1) et (6) est le théorème de Wedderburn; voir le théorème 0747.