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Français / 098

Axiomes d’Artin

LaTeX de ce chapitre restauréPDF · LaTeX intégral · Sources complètesMotifs des restaurations
Sections de ce chapitreIntroduction
Conventions
Catégories de prédéformations
Sommes amalgamées et champs
La condition de Rim–Schlessinger
Catégories de déformations
Changement de corps
Espaces tangents
Objets formels
Approximation
Commutation aux limites
Versalité
Ouverture de la versalité
Axiomes
Axiomes pour les foncteurs
Espaces algébriques
Champs algébriques
Condition de Rim-Schlessinger forte
Versalité et générisations
Effectivité formelle forte
Déformations infinitésimales
Théories de l’obstruction
Théories naïves de l’obstruction
Une notion duale
Foncteurs commutant aux limites sur les schémas noethériens
Espaces algébriques dans le cadre noethérien
Théorème d’Artin sur les contractions

Introduction

Dans ce chapitre, nous étudions les axiomes d’Artin relatifs à la représentabilité des foncteurs par des espaces algébriques. Nous renvoyons aux articles [ArtinI], [ArtinII], [ArtinVersal].

Certaines notations, conventions et certains termes employés dans ce chapitre sont peu commodes et peuvent sembler aller à rebours des usages au lecteur expérimenté. Ce choix est délibéré. Voir Quot, section 05X6, pour une explication.

Soit \(S\) un schéma de base localement noethérien. Soit \[p : \mathcal{X} \longrightarrow (\Sch/S)_{fppf}\] une catégorie fibrée en groupoïdes. Soit \(x_0\) un objet de \(\mathcal{X}\) au-dessus d’un corps \(k\) de type fini sur \(S\). Dans tout ce chapitre, un rôle important est joué par la catégorie de prédéformations (voir Théorie formelle des déformations, définition 06GS) \[\mathcal{F}_{\mathcal{X}, k, x_0} \longrightarrow \{\text{algèbres locales artiniennes sur }S\text{ de corps résiduel }k\}\] associée à \(x_0\) au-dessus de \(k\). Nous introduisons la condition de Rim–Schlessinger (RS) pour \(\mathcal{X}\) et montrons qu’elle entraîne que \(\mathcal{F}_{\mathcal{X}, k, x_0}\) est une catégorie de déformations, c’est-à-dire que \(\mathcal{F}_{\mathcal{X}, k, x_0}\) satisfait elle-même (RS). Nous étudions comment \(\mathcal{F}_{\mathcal{X}, k, x_0}\) se transforme lorsqu’on remplace \(k\) par une extension finie, ainsi que ses espaces tangents.

Nous étudions ensuite les objets formels \(\xi = (\xi_n)\) de \(\mathcal{X}\), c’est-à-dire les systèmes projectifs d’objets situés au-dessus des quotients \(R/\mathfrak m^n\), où \(R\) est une \(S\)-algèbre locale noethérienne complète dont le corps résiduel est de type fini sur \(S\). Cela revient à se donner un objet formel de \(\mathcal{F}_{\mathcal{X}, k, x_0}\) pour certains \(x_0\) et \(k\). Un objet formel est dit effectif s’il existe un objet de \(\mathcal{X}\) au-dessus de \(R\) qui engendre ce système projectif. Un objet formel de \(\mathcal{X}\) est dit versel s’il engendre un objet formel versel de \(\mathcal{F}_{\mathcal{X}, k, x_0}\). Enfin, étant donnés un \(S\)-schéma \(U\) de type fini, un objet \(x\) de \(\mathcal{X}\) au-dessus de \(U\) et un point fermé \(u_0 \in U\), on dit que \(x\) est versel en \(u_0\) si l’objet formel induit sur l’anneau local complété \(\mathcal{O}_{U, u_0}^\wedge\) est versel.

Après ces préliminaires, nous pouvons énoncer le célèbre théorème d’Artin : notre \(\mathcal{X}\) est un champ algébrique si les conditions suivantes sont satisfaites :

  1. \(\mathcal{O}_{S, s}\) est un G-anneau pour tout \(s \in S\)1,

  2. \(\Delta : \mathcal{X} \to \mathcal{X} \times \mathcal{X}\) est représentable par des espaces algébriques,

  3. \(\mathcal{X}\) est un champ pour la topologie étale,

  4. \(\mathcal{X}\) commute aux limites,

  5. \(\mathcal{X}\) satisfait (RS),

  6. les espaces tangents et les espaces d’automorphismes infinitésimaux des catégories de déformations \(\mathcal{F}_{\mathcal{X}, k, x_0}\) sont de dimension finie,

  7. les objets formels sont effectifs,

  8. \(\mathcal{X}\) satisfait l’ouverture de la versalité.

Il s’agit du lemme 07Y4 ; voir aussi la proposition 07Y5 pour une légère amélioration. Une proposition analogue caractérise les foncteurs \(F : (\Sch/S)_{fppf}^{opp} \to \textit{Ensembles}\) qui sont des espaces algébriques ; voir la section 07Y0.

Voici les grandes lignes de la démonstration du théorème d’Artin. Nous montrons d’abord qu’il existe suffisamment d’objets formels versels en utilisant (RS) et la finitude des dimensions des espaces tangents et d’automorphismes ; voir par exemple Théorie formelle des déformations, lemme 06L2. Ces objets formels sont effectifs par hypothèse. Les objets formels effectifs peuvent être “approchés” par des objets \(x\) au-dessus de \(S\)-schémas \(U\) de type fini ; voir le lemme 07XB. Cette approximation utilise le fait que les anneaux locaux de \(S\) sont des G-anneaux et que \(\mathcal{X}\) commute aux limites ; c’est peut-être la partie la plus difficile de la démonstration, car elle s’appuie sur la désingularisation générale de Néron pour approcher des solutions formelles d’équations algébriques sur un G-anneau local noethérien par des solutions dans son hensélisé. L’ouverture de la versalité permet ensuite, quitte à restreindre \(U\), de supposer que \(x\) est versel en tout point fermé de \(U\). Après ces étapes, nous montrons que \(U \to \mathcal{X}\) est un morphisme lisse. En prenant suffisamment de morphismes \(U \to \mathcal{X}\), nous obtenons un “atlas lisse” de \(\mathcal{X}\), ce qui montre que \(\mathcal{X}\) est un champ algébrique.

Lorsqu’on vérifie les axiomes d’Artin pour une catégorie \(\mathcal{X}\) fibrée en groupoïdes, l’étape la plus difficile consiste souvent à établir l’ouverture de la versalité. Dans la suite, supposons que \(\mathcal{X}/S\) satisfasse déjà les autres conditions énumérées ci-dessus. Nous présentons dans ce chapitre deux méthodes qui permettent de démontrer que \(\mathcal{X}\) satisfait l’ouverture de la versalité :

  1. La première consiste à supposer une condition de Rim–Schlessinger plus forte, appelée (RS*), ainsi qu’une version renforcée de l’effectivité formelle, qui exige essentiellement que les objets au-dessus de systèmes projectifs d’épaississements soient effectifs. Sous ces hypothèses, l’ouverture de la versalité en découle automatiquement ; voir le lemme 0CXU. Remarquons que nous utilisons ici de manière essentielle le fait que \(\mathcal{X}\) est définie sur la catégorie de tous les schémas au-dessus de \(S\), et non seulement sur celle des schémas noethériens !

  2. La seconde méthode, suivant Artin, consiste à munir \(\mathcal{X}\) d’une théorie des obstructions. Si cette théorie des obstructions “commute aux produits” en un sens convenable, alors \(\mathcal{X}\) satisfait l’ouverture de la versalité ; voir le lemme 0CYF.

Les théories des obstructions admettent de nombreuses axiomatisations et la littérature en propose effectivement maintes variantes, souvent adaptées à des champs de modules particuliers. dans la littérature. Nous présentons une variante fondée sur la catégorie dérivée (qui apparaît souvent naturellement dans les calculs de théorie des déformations effectués dans la littérature) dans le lemme 07YZ.

Dans la section 0GE6, nous indiquons les modifications nécessaires pour traiter les foncteurs définis sur la catégorie \((\textit{Noetherian}/S)_\etale\) des schémas localement noethériens au-dessus de \(S\).

Dans la dernière section de ce chapitre, nous appliquons les axiomes d’Artin pour démontrer le théorème d’Artin sur l’existence des contractions ; voir la section 0GH7. Ce théorème affirme, en gros, qu’étant donnés un espace algébrique \(X'\) séparé et de type fini sur \(S\), une partie fermée \(T' \subset |X'|\) et une modification formelle \[\mathfrak{f} : X'_{/T'} \longrightarrow \mathfrak{X}\] où \(\mathfrak{X}\) est un espace algébrique formel noethérien au-dessus de \(S\), il existe un morphisme propre \(f : X' \to X\) qui “réalise la contraction”. Cela signifie qu’il existe une identification \(\mathfrak{X} = X_{/T}\) telle que \(\mathfrak{f} = f_{/T'} : X'_{/T'} \to X_{/T}\), où \(T = f(T')\), et que \(f\) soit en outre un isomorphisme au-dessus de \(X \setminus T\). La démonstration consiste à définir un foncteur \(F\) sur la catégorie des schémas localement noethériens au-dessus de \(S\) et à vérifier les axiomes d’Artin pour \(F\). Fait remarquable, dans cette application des axiomes d’Artin, l’ouverture de la versalité n’est pas le point le plus difficile à démontrer ; c’est plutôt la preuve que \(F\) commute aux limites qui exige de nombreux travaux et résultats préliminaires.

Conventions

Les conventions employées dans ce chapitre sont les mêmes que dans le chapitre consacré aux champs algébriques ; voir Champs algébriques, section 026M. Dans ce chapitre, le schéma de base \(S\) sera souvent localement noethérien (bien que nous répétions toujours cette hypothèse dans les énoncés des résultats).

Catégories de prédéformations

Soit \(S\) un schéma de base localement noethérien. Soit \[p : \mathcal{X} \longrightarrow (\Sch/S)_{fppf}\] une catégorie fibrée en groupoïdes. Soit \(k\) un corps et soit \(\Spec(k) \to S\) un morphisme de type fini (voir Morphismes, lemme 01TA). Nous dirons parfois simplement que \(k\) est un corps de type fini sur \(S\). Soit \(x_0\) un objet de \(\mathcal{X}\) au-dessus de \(\Spec(k)\). À partir de \(S\), \(\mathcal{X}\), \(k\) et \(x_0\), nous allons construire une catégorie de prédéformations, au sens de Théorie formelle des déformations, définition 06GS. Cette construction sera analogue à celle de Théorie formelle des déformations, remarque 06GU.

D’abord, d’après Morphismes, lemme 01TA, nous pouvons choisir un ouvert affine \(\Spec(\Lambda) \subset S\) tel que \(\Spec(k) \to S\) se factorise par \(\Spec(\Lambda)\) et que l’homomorphisme d’anneaux associé \(\Lambda \to k\) soit fini. Nous obtenons ainsi la catégorie \(\mathcal{C}_\Lambda\) ; voir Théorie formelle des déformations, définition 06GC. À équivalence canonique près, la catégorie \(\mathcal{C}_\Lambda\) ne dépend pas du choix de l’ouvert affine \(\Spec(\Lambda)\) de \(S\). En effet, \(\mathcal{C}_\Lambda\) est équivalente à l’opposée de la catégorie des factorisations [07T3]\[\begin{equation} \Spec(k) \to \Spec(A) \to S \end{equation}\] du morphisme structural telles que \(A\) soit un anneau local artinien et que \(\Spec(k) \to \Spec(A)\) corresponde à un homomorphisme d’anneaux \(A \to k\) qui identifie \(k\) au corps résiduel de \(A\).

Notons \(\mathcal{F} = \mathcal{F}_{\mathcal{X}, k, x_0}\) la catégorie dont

  1. les objets sont les morphismes \(x_0 \to x\) de \(\mathcal{X}\) tels que \(p(x) = \Spec(A)\), où \(A\) est un anneau local artinien, et que \(p(x_0) \to p(x) \to S\) soit une factorisation comme en (07T3) ;

  2. les morphismes \((x_0 \to x) \to (x_0 \to x')\) sont les diagrammes commutatifs \[\xymatrix{ x & & x' \ar[ll] \\ & x_0 \ar[lu] \ar[ru] }\] dans \(\mathcal{X}\). (Noter le renversement des flèches.)

Si \(x_0 \to x\) est un objet de \(\mathcal{F}\), en écrivant \(p(x) = \Spec(A)\), nous obtenons un objet \(A\) de \(\mathcal{C}_\Lambda\). Nous dirons souvent que \(x_0 \to x\), ou \(x\), est au-dessus de \(A\). Un morphisme de \(\mathcal{F}\) entre les objets \(x_0 \to x\) au-dessus de \(A\) et \(x_0 \to x'\) au-dessus de \(A'\) correspond à un morphisme \(x' \to x\) de \(\mathcal{X}\), donc à un morphisme \(p(x' \to x) : \Spec(A') \to \Spec(A)\), lequel correspond à son tour à un homomorphisme d’anneaux \(A \to A'\). Comme \(\mathcal{X}\) est une catégorie au-dessus de la catégorie des schémas sur \(S\), nous voyons que \(A \to A'\) est un homomorphisme de \(\Lambda\)-algèbres. Nous obtenons donc un foncteur [07T4]\[\begin{equation} p : \mathcal{F} = \mathcal{F}_{\mathcal{X}, k, x_0} \longrightarrow \mathcal{C}_\Lambda. \end{equation}\] Nous noterons \(\mathcal{F}(A)\) la catégorie fibre au-dessus d’un objet \(A\) de \(\mathcal{C}_\Lambda\). Un objet de \(\mathcal{F}(A)\) est simplement un morphisme \(x_0 \to x\) de \(\mathcal{X}\) tel que \(x\) soit au-dessus de \(\Spec(A)\) et \(x_0 \to x\) au-dessus de \(\Spec(k) \to \Spec(A)\).

Lemme

Le foncteur \(p : \mathcal{F} \to \mathcal{C}_\Lambda\) défini ci-dessus est une catégorie de prédéformations.

Démonstration

Il faut montrer (a) que \(\mathcal{F}\) est cofibrée en groupoïdes au-dessus de \(\mathcal{C}_\Lambda\) et (b) que \(\mathcal{F}(k)\) est équivalente à une catégorie possédant un unique objet et un unique morphisme.

Démonstration de (a). Les catégories fibres de \(\mathcal{F}\) au-dessus de \(\mathcal{C}_\Lambda\) sont des groupoïdes puisque les catégories fibres de \(\mathcal{X}\) le sont. Soient \(A \to A'\) un morphisme de \(\mathcal{C}_\Lambda\) et \(x_0 \to x\) un objet de \(\mathcal{F}(A)\). Comme \(\mathcal{X}\) est fibrée en groupoïdes, il existe un morphisme \(x' \to x\) au-dessus de \(\Spec(A') \to \Spec(A)\). Puisque le composé \(A \to A' \to k\) est égal à l’homomorphisme donné \(A \to k\), l’unicité des images inverses à isomorphisme près montre que l’image inverse par \(\Spec(k) \to \Spec(A')\) de \(x'\) est \(x_0\) ; autrement dit, il existe un morphisme \(x_0 \to x'\) au-dessus de \(\Spec(k) \to \Spec(A')\), compatible avec \(x_0 \to x\) et \(x' \to x\). Ainsi, \(\mathcal{F}\) admet des images directes. On conclut par le dual de Catégories, lemme 003V.

Démonstration de (b). Si \(A = k\), alors \(\Spec(k) = \Spec(A)\) et, puisque \(\mathcal{X}\) est fibrée en groupoïdes au-dessus de \((\Sch/S)_{fppf}\), pour tout objet \(x_0 \to x\) de \(\mathcal{F}(k)\), le morphisme \(x_0 \to x\) est un isomorphisme. Tout objet de \(\mathcal{F}(k)\) est donc isomorphe à \(x_0 \to x_0\). Enfin, l’unique endomorphisme de \(x_0 \to x_0\) dans \(\mathcal{F}\) est l’identité.

Soit \(S\) un schéma de base localement noethérien. Soit \(F : \mathcal{X} \to \mathcal{Y}\) un \(1\)-morphisme entre catégories fibrées en groupoïdes au-dessus de \((\Sch/S)_{fppf}\). Soit \(k\) un corps de type fini sur \(S\). Soit \(x_0\) un objet de \(\mathcal{X}\) au-dessus de \(\Spec(k)\). Posons \(y_0 = F(x_0)\) ; c’est un objet de \(\mathcal{Y}\) au-dessus de \(\Spec(k)\). Alors \(F\) induit un foncteur [07WJ]\[\begin{equation} F : \mathcal{F}_{\mathcal{X}, k, x_0} \longrightarrow \mathcal{F}_{\mathcal{Y}, k, y_0} \end{equation}\] entre catégories cofibrées au-dessus de \(\mathcal{C}_\Lambda\). Plus précisément, à l’objet \(x_0 \to x\) de \(\mathcal{F}_{\mathcal{X}, k, x_0}(A)\), nous associons l’objet \(F(x_0) \to F(x)\) de \(\mathcal{F}_{\mathcal{Y}, k, y_0}(A)\).

Lemme

Soit \(S\) un schéma localement noethérien. Soit \(F : \mathcal{X} \to \mathcal{Y}\) un \(1\)-morphisme de catégories fibrées en groupoïdes au-dessus de \((\Sch/S)_{fppf}\). Supposons que l’une des conditions suivantes soit satisfaite :

  1. \(F\) est formellement lisse sur les objets (Critères de représentabilité, section 06CZ) ;

  2. \(F\) est représentable par des espaces algébriques et formellement lisse ;

  3. \(F\) est représentable par des espaces algébriques et lisse.

Alors, pour tout corps \(k\) de type fini sur \(S\) et tout objet \(x_0\) de \(\mathcal{X}\) au-dessus de \(k\), le foncteur (07WJ) est lisse au sens de Théorie formelle des déformations, définition 06HG.

Démonstration

Le cas (1) résulte directement des définitions. L’hypothèse (2) entraîne (1) d’après Critères de représentabilité, lemme 06D3. L’hypothèse (3) entraîne (2) d’après Compléments sur les morphismes d’espaces, lemme 04AM et le principe de Champs algébriques, lemme 045F.

Lemme

Soit \(S\) un schéma localement noethérien. Soit \[\xymatrix{ \mathcal{W} \ar[d] \ar[r] & \mathcal{Z} \ar[d] \\ \mathcal{X} \ar[r] & \mathcal{Y} }\] un \(2\)-produit fibré de catégories fibrées en groupoïdes au-dessus de \((\Sch/S)_{fppf}\). Soient \(k\) un corps de type fini sur \(S\) et \(w_0\) un objet de \(\mathcal{W}\) au-dessus de \(k\). Notons \(x_0, z_0, y_0\) les images de \(w_0\) par les morphismes du diagramme. Alors \[\xymatrix{ \mathcal{F}_{\mathcal{W}, k, w_0} \ar[d] \ar[r] & \mathcal{F}_{\mathcal{Z}, k, z_0} \ar[d] \\ \mathcal{F}_{\mathcal{X}, k, x_0} \ar[r] & \mathcal{F}_{\mathcal{Y}, k, y_0} }\] est un produit fibré de catégories de prédéformations.

Démonstration

Cela résulte directement des définitions. Nous omettons les détails.

Sommes amalgamées et champs

Dans cette section, nous montrons que les champs algébriques se comportent bien à l’égard de certaines sommes amalgamées. Les résultats de cette section sont valables sur un schéma de base quelconque.

Le lemme suivant reste vrai lorsque \(Y\), \(X'\), \(X\), \(Y'\) sont des espaces algébriques ; voir (insérer ici une référence future).

Lemme

Soit \(S\) un schéma. Soit \[\xymatrix{ X \ar[r] \ar[d] & X' \ar[d] \\ Y \ar[r] & Y' }\] une somme amalgamée dans la catégorie des schémas sur \(S\), où \(X \to X'\) est un épaississement et \(X \to Y\) est affine ; voir Compléments sur les morphismes, lemme 07RT. Soit \(\mathcal{Z}\) un champ algébrique sur \(S\). Alors le foncteur entre catégories fibres \[\mathcal{Z}_{Y'} \longrightarrow \mathcal{Z}_Y \times_{\mathcal{Z}_X} \mathcal{Z}_{X'}\] est une équivalence de catégories.

Démonstration

Soit \(y'\) un objet du membre de gauche. Le faisceau \(\mathit{Isom}(y', y')\) sur la catégorie des schémas au-dessus de \(Y'\) est représentable par un espace algébrique \(I\) sur \(Y'\) ; voir Champs algébriques, lemme 045G. Le foncteur du lemme est donc pleinement fidèle, puisque \(Y'\) est la somme amalgamée dans la catégorie des espaces algébriques aussi bien que dans celle des schémas ; voir Sommes amalgamées d’espaces, lemme 07SY.

Soit \((y, x', f)\) un objet du membre de droite. Ici, \(f : y|_X \to x'|_X\) est un isomorphisme. Pour achever la démonstration, nous devons construire un objet \(y'\) de \(\mathcal{Z}_{Y'}\) dont les restrictions à \(Y\) et à \(X'\) s’identifient à \(y\) et à \(x'\) de manière compatible avec \(f\). Il suffit en fait de construire \(y'\) localement pour la topologie fppf sur \(Y'\) ; voir Champs, lemme 046N. Choisissons un champ algébrique représentable \(\mathcal{W}\) et un morphisme lisse surjectif \(\mathcal{W} \to \mathcal{Z}\). Alors \[(\Sch/Y)_{fppf} \times_{y, \mathcal{Z}} \mathcal{W} \quad\text{et}\quad (\Sch/X')_{fppf} \times_{x', \mathcal{Z}} \mathcal{W}\] sont des champs algébriques représentables par des espaces algébriques \(V\) et \(U'\) lisses sur \(Y\) et \(X'\). L’isomorphisme \(f\) induit un isomorphisme \(\varphi : V \times_Y X \to U' \times_{X'} X\) sur \(X\). D’après Sommes amalgamées d’espaces, lemmes 07VX et 07W3 nous voyons que la somme amalgamée \(V' = V \amalg_{V \times_Y X} U'\) est un espace algébrique lisse sur \(Y'\) dont les changements de base à \(Y\) et \(X'\) redonnent \(V\) et \(U'\) de manière compatible avec \(\varphi\).

Soit \(W\) l’espace algébrique qui représente \(\mathcal{W}\). Les projections \(V \to W\) et \(U' \to W\) coïncident comme morphismes sur \(V \times_Y X \cong U' \times_{X'} X\) ; la propriété universelle de la somme amalgamée détermine donc un morphisme d’espaces algébriques \(V' \to W\). Choisissons un schéma \(Y_1'\) et un morphisme étale surjectif \(Y_1' \to V'\). Posons \(Y_1 = Y \times_{Y'} Y_1'\), \(X_1' = X' \times_{Y'} Y_1'\) et \(X_1 = X \times_{Y'} Y_1'\). Le composé \[(\Sch/Y_1') \to (\Sch/V') \to (\Sch/W) = \mathcal{W} \to \mathcal{Z}\] correspond, par le lemme de Yoneda \(2\)-catégorique, à un objet \(y_1'\) de \(\mathcal{Z}\) au-dessus de \(Y_1'\) dont les restrictions à \(Y_1\) et à \(X_1'\) s’identifient à \(y|_{Y_1}\) et à \(x'|_{X_1'}\) de manière compatible avec \(f|_{X_1}\). Nous avons ainsi construit localement pour la topologie lisse sur \(Y'\) l’objet voulu, ce qui achève la démonstration.

La condition de Rim–Schlessinger

La définition suivante est motivée par le lemme 07WN ainsi que par Théorie formelle des déformations, définition 06J2 et lemme 06J5.

Définition

Soit \(S\) un schéma localement noethérien. Soit \(\mathcal{Z}\) une catégorie fibrée en groupoïdes au-dessus de \((\Sch/S)_{fppf}\). Nous disons que \(\mathcal{Z}\) satisfait la condition (RS) si, pour toute somme amalgamée \[\xymatrix{ X \ar[r] \ar[d] & X' \ar[d] \\ Y \ar[r] & Y' = Y \amalg_X X' }\] dans la catégorie des schémas sur \(S\), telle que

  1. \(X\), \(X'\), \(Y\), \(Y'\) soient les spectres d’anneaux locaux artiniens ;

  2. \(X\), \(X'\), \(Y\), \(Y'\) soient de type fini sur \(S\) ;

  3. \(X \to X'\) (et donc \(Y \to Y'\)) soit une immersion fermée,

le foncteur entre catégories fibres \[\mathcal{Z}_{Y'} \longrightarrow \mathcal{Z}_Y \times_{\mathcal{Z}_X} \mathcal{Z}_{X'}\] est une équivalence de catégories.

Si \(A\) est un anneau local artinien de corps résiduel \(k\), alors tout morphisme \(\Spec(A) \to S\) est affine et de type fini si et seulement si le morphisme induit \(\Spec(k) \to S\) est de type fini ; voir Morphismes, lemmes 01SI et 02HV.

Lemme

Soit \(\mathcal{X}\) un champ algébrique sur une base localement noethérienne \(S\). Alors \(\mathcal{X}\) satisfait (RS).

Démonstration

Cela résulte immédiatement des définitions et du lemme 07WN.

Lemme

Soit \(S\) un schéma. Soient \(p : \mathcal{X} \to \mathcal{Y}\) et \(q : \mathcal{Z} \to \mathcal{Y}\) des \(1\)-morphismes de catégories fibrées en groupoïdes au-dessus de \((\Sch/S)_{fppf}\). Si \(\mathcal{X}\), \(\mathcal{Y}\) et \(\mathcal{Z}\) satisfont (RS), alors \(\mathcal{X} \times_\mathcal{Y} \mathcal{Z}\) la satisfait également.

Démonstration

C’est formel. Soit \[\xymatrix{ X \ar[r] \ar[d] & X' \ar[d] \\ Y \ar[r] & Y' = Y \amalg_X X' }\] un diagramme comme dans la définition 07WP. Il faut montrer que \[(\mathcal{X} \times_{\mathcal{Y}} \mathcal{Z})_{Y'} \longrightarrow (\mathcal{X} \times_{\mathcal{Y}} \mathcal{Z})_Y \times_{(\mathcal{X} \times_{\mathcal{Y}} \mathcal{Z})_X} (\mathcal{X} \times_{\mathcal{Y}} \mathcal{Z})_{X'}\] est une équivalence. En utilisant la définition du \(2\)-produit fibré, cela devient [07WS]\[\begin{equation} \mathcal{X}_{Y'} \times_{\mathcal{Y}_{Y'}} \mathcal{Z}_{Y'} \longrightarrow (\mathcal{X}_Y \times_{\mathcal{Y}_Y} \mathcal{Z}_Y) \times_{(\mathcal{X}_X \times_{\mathcal{Y}_X} \mathcal{Z}_X)} (\mathcal{X}_{X'} \times_{\mathcal{Y}_{X'}} \mathcal{Z}_{X'}). \end{equation}\] Par hypothèse, chacun des foncteurs \[\mathcal{X}_{Y'} \to \mathcal{X}_Y \times_{\mathcal{Y}_Y} \mathcal{Z}_Y, \quad \mathcal{Y}_{Y'} \to \mathcal{X}_X \times_{\mathcal{Y}_X} \mathcal{Z}_X, \quad \mathcal{Z}_{Y'} \to \mathcal{X}_{X'} \times_{\mathcal{Y}_{X'}} \mathcal{Z}_{X'}\] est une équivalence. Un objet du membre de droite de (07WS) est un système \[((x_Y, z_Y, \phi_Y), (x_{X'}, z_{X'}, \phi_{X'}), (\alpha, \beta)).\] Alors \((x_Y, x_{Y'}, \alpha)\) est isomorphe à l’image d’un objet \(x_{Y'}\) de \(\mathcal{X}_{Y'}\), et \((z_Y, z_{Y'}, \beta)\) est isomorphe à l’image d’un objet \(z_{Y'}\) de \(\mathcal{Z}_{Y'}\). Le couple de morphismes \((\phi_Y, \phi_{X'})\) correspond à un morphisme \(\psi\) entre les images de \(x_{Y'}\) et \(z_{Y'}\) dans \(\mathcal{Y}_{Y'}\). Alors \((x_{Y'}, z_{Y'}, \psi)\) est un objet du membre de gauche de (07WS) qui s’envoie sur l’objet donné du membre de droite. Cela montre que (07WS) est essentiellement surjectif. Nous omettons la preuve de sa pleine fidélité.

Catégories de déformations

Rapprochons les notations introduites ci-dessus de celles du chapitre “Théorie formelle des déformations”.

Lemme

Soit \(S\) un schéma localement noethérien. Soit \(\mathcal{X}\) une catégorie fibrée en groupoïdes au-dessus de \((\Sch/S)_{fppf}\) satisfaisant (RS). Pour tout corps \(k\) de type fini sur \(S\) et tout objet \(x_0\) de \(\mathcal{X}\) au-dessus de \(k\), la catégorie de prédéformations \(p : \mathcal{F}_{\mathcal{X}, k, x_0} \to \mathcal{C}_\Lambda\) (07T4) est une catégorie de déformations ; voir Théorie formelle des déformations, définition 06J9.

Démonstration

Posons \(\mathcal{F} = \mathcal{F}_{\mathcal{X}, k, x_0}\). Soient \(f_1 : A_1 \to A\) et \(f_2 : A_2 \to A\) des homomorphismes d’anneaux dans \(\mathcal{C}_\Lambda\), avec \(f_2\) surjectif. Il faut montrer que le foncteur \[\mathcal{F}(A_1 \times_A A_2) \longrightarrow \mathcal{F}(A_1) \times_{\mathcal{F}(A)} \mathcal{F}(A_2)\] est une équivalence ; voir Théorie formelle des déformations, lemme 06J5. Posons \(X = \Spec(A)\), \(X' = \Spec(A_2)\), \(Y = \Spec(A_1)\) et \(Y' = \Spec(A_1 \times_A A_2)\). Notons que \(Y' = Y \amalg_X X'\) dans la catégorie des schémas ; voir Compléments sur les morphismes, lemme 07RT. Dans le diagramme de foncteurs entre catégories fibres \[\xymatrix{ \mathcal{X}_{Y'} \ar[r] \ar[d] & \mathcal{X}_Y \times_{\mathcal{X}_X} \mathcal{X}_{X'} \ar[d] \\ \mathcal{X}_{\Spec(k)} \ar@{=}[r] & \mathcal{X}_{\Spec(k)} }\] la flèche horizontale supérieure est une équivalence d’après la définition 07WP. Comme \(\mathcal{F}(B)\) est la catégorie des objets de \(\mathcal{X}_{\Spec(B)}\) munis d’une identification à \(x_0\) au-dessus de \(k\), le résultat en découle.

Remarque

Soit \(S\) un schéma localement noethérien. Soit \(\mathcal{X}\) une catégorie fibrée en groupoïdes au-dessus de \((\Sch/S)_{fppf}\). Soient \(k\) un corps de type fini sur \(S\) et \(x_0\) un objet de \(\mathcal{X}\) au-dessus de \(k\). Soit \(p : \mathcal{F} \to \mathcal{C}_\Lambda\) comme en (07T4). Si \(\mathcal{F}\) est une catégorie de déformations, c’est-à-dire si \(\mathcal{F}\) satisfait la condition (RS) de Rim–Schlessinger, alors \(\mathcal{F}\) satisfait les conditions (S1) et (S2) de Schlessinger d’après Théorie formelle des déformations, lemme 06J7. Soit \(\overline{\mathcal{F}}\) le foncteur des classes d’isomorphisme ; voir Théorie formelle des déformations, remarques 06GK (07W5). Alors \(\overline{\mathcal{F}}\) satisfait également (S1) et (S2) ; voir Théorie formelle des déformations, lemme 06I0. C’est en particulier le cas dans la situation du lemme 07WU.

Changement de corps

Cette section est l’analogue de Théorie formelle des déformations, section 07W7. Comme cela y est signalé, pour étudier le comportement par changement de corps, nous devons écrire \(\mathcal{C}_{\Lambda, k}\) plutôt que \(\mathcal{C}_\Lambda\). Dans le lemme suivant, nous utilisons la notation \(\mathcal{F}_{l/k}\) introduite dans Théorie formelle des déformations, situation 07W8.

Lemme

Soit \(S\) un schéma localement noethérien. Soit \(\mathcal{X}\) une catégorie fibrée en groupoïdes sur \((\Sch/S)_{fppf}\). Soit \(k\) un corps de type fini sur \(S\) et soit \(l/k\) une extension finie. Soit \(x_0\) un objet de \(\mathcal{F}\) au-dessus de \(\Spec(k)\). Notons \(x_{l, 0}\) la restriction de \(x_0\) à \(\Spec(l)\). Alors il existe un foncteur canonique \[(\mathcal{F}_{\mathcal{X}, k , x_0})_{l/k} \longrightarrow \mathcal{F}_{\mathcal{X}, l, x_{l, 0}}\] de catégories cofibrées en groupoïdes sur \(\mathcal{C}_{\Lambda, l}\). Si \(\mathcal{X}\) satisfait à (RS), alors ce foncteur est une équivalence.

Démonstration

Considérons une factorisation \[\Spec(l) \to \Spec(B) \to S\] comme dans (07T3). Par définition, nous avons \[(\mathcal{F}_{\mathcal{X}, k , x_0})_{l/k}(B) = \mathcal{F}_{\mathcal{X}, k, x_0}(B \times_l k)\] voir Théorie formelle des déformations, situation 07W8. Ainsi, un objet de cette catégorie est un morphisme \(x_0 \to x\) de \(\mathcal{X}\) au-dessus du morphisme \(\Spec(k) \to \Spec(B \times_l k)\). En choisissant un foncteur image réciproque pour \(\mathcal{X}\), on peut associer à \(x_0 \to x\) le morphisme \(x_{l, 0} \to x_B\), où \(x_B\) est la restriction de \(x\) à \(\Spec(B)\) (par le morphisme \(\Spec(B) \to \Spec(B \times_l k)\) provenant de \(B \times_l k \subset B\)). Cette construction est fonctorielle en \(B\) et compatible avec les morphismes.

Supposons maintenant que \(\mathcal{X}\) satisfait à (RS). Considérons les diagrammes \[\vcenter{ \xymatrix{ l & B \ar[l] \\ k \ar[u] & B \times_l k \ar[l] \ar[u] } } \quad\text{et}\quad \vcenter{ \xymatrix{ \Spec(l) \ar[d] \ar[r] & \Spec(B) \ar[d] \\ \Spec(k) \ar[r] & \Spec(B \times_l k) } }\] Le diagramme de gauche est un produit fibré d’anneaux. Celui de droite est une somme amalgamée dans la catégorie des schémas, voir Compléments sur les morphismes, lemme 07RT. Tous ces schémas sont de type fini sur \(S\) (voir les remarques suivant la définition 07WP). Ainsi, (RS) s’applique et donne une équivalence de catégories fibres \[\mathcal{X}_{\Spec(B \times_l k)} \longrightarrow \mathcal{X}_{\Spec(k)} \times_{\mathcal{X}_{\Spec(l)}} \mathcal{X}_{\Spec(B)}\] Cela entraîne que le foncteur défini ci-dessus donne une équivalence de catégories fibres. Par conséquent, le foncteur est une équivalence de catégories cofibrées en groupoïdes par (le dual de) Catégories, lemme 003Z.

Espaces tangents

Soit \(S\) un schéma localement noethérien. Soit \(\mathcal{X}\) une catégorie fibrée en groupoïdes sur \((\Sch/S)_{fppf}\). Soit \(k\) un corps de type fini sur \(S\) et soit \(x_0\) un objet de \(\mathcal{X}\) au-dessus de \(k\). Dans Théorie formelle des déformations, section 06I1, nous avons défini l’espace tangent [07WZ]\[\begin{equation} T\mathcal{F}_{\mathcal{X}, k, x_0} = \left\{ \begin{matrix} \text{classes d'isomorphisme de morphismes}\\ x_0 \to x\text{ au-dessus de }\Spec(k) \to \Spec(k[\epsilon]) \end{matrix} \right\} \end{equation}\] de la catégorie de prédéformations \(\mathcal{F}_{\mathcal{X}, k, x_0}\). Dans Théorie formelle des déformations, section 06JN, nous avons défini [07X0]\[\begin{equation} \text{Inf}(\mathcal{F}_{\mathcal{X}, k, x_0}) = \Ker\left( \text{Aut}_{\Spec(k[\epsilon])}(x'_0) \to \text{Aut}_{\Spec(k)}(x_0) \right) \end{equation}\] où \(x_0'\) est l’image réciproque de \(x_0\) sur \(\Spec(k[\epsilon])\). Si \(\mathcal{X}\) satisfait à la condition de Rim-Schlessinger (RS), alors \(T\mathcal{F}_{\mathcal{X}, k, x_0}\) est naturellement muni d’une structure d’espace vectoriel sur \(k\) par Théorie formelle des déformations, lemme 06IH (les hypothèses sont vérifiées d’après le lemme 07WU et la remarque 07WV). De plus, Théorie formelle des déformations, lemme 06JX, montre que \(\text{Inf}(\mathcal{F}_{\mathcal{X}, k, x_0})\) possède une structure naturelle d’espace vectoriel sur \(k\) telle que l’addition correspond à la composition des automorphismes. Il est naturel de demander que ces espaces vectoriels soient de dimension finie.

Le lemme suivant affirme que cela est vrai si \(\mathcal{X}\) est localement de type fini sur \(S\) (voir Morphismes de champs, section 06FR).

Lemme

Soit \(S\) un schéma localement noethérien. Supposons que

  1. \(\mathcal{X}\) est un champ algébrique,

  2. \(U\) est un schéma localement de type fini sur \(S\), et

  3. \((\Sch/U)_{fppf} \to \mathcal{X}\) est un morphisme lisse et surjectif.

Alors, pour tout \(\mathcal{F} = \mathcal{F}_{\mathcal{X}, k, x_0}\) comme dans la section 07T2, l’espace tangent \(T\mathcal{F}\) et l’espace des automorphismes infinitésimaux \(\text{Inf}(\mathcal{F})\) sont de dimension finie sur \(k\).

Démonstration

Posons \(\mathcal{U} = (\Sch/U)_{fppf}\). Selon notre définition des champs algébriques, le \(1\)-morphisme \(\mathcal{U} \to \mathcal{X}\) est représentable par des espaces algébriques. En particulier, le 2-produit fibré \[\mathcal{U}_{x_0} = (\Sch/\Spec(k))_{fppf} \times_\mathcal{X} \mathcal{U}\] est représenté par un espace algébrique \(U_{x_0}\) sur \(\Spec(k)\). Alors \(U_{x_0} \to \Spec(k)\) est lisse et surjectif (en particulier, \(U_{x_0}\) est non vide). D’après Espaces sur les corps, lemme 07W4, il existe une extension finie \(l/k\) et un point \(\Spec(l) \to U_{x_0}\) au-dessus de \(k\). Nous avons \[(\mathcal{F}_{\mathcal{X}, k , x_0})_{l/k} = \mathcal{F}_{\mathcal{X}, l, x_{l, 0}}\] d’après le lemme 07WX et le fait que \(\mathcal{X}\) satisfait à (RS). Nous voyons donc que \[T\mathcal{F} \otimes_k l \cong T\mathcal{F}_{\mathcal{X}, l, x_{l, 0}} \quad\text{et}\quad \text{Inf}(\mathcal{F}) \otimes_k l \cong \text{Inf}(\mathcal{F}_{\mathcal{X}, l, x_{l, 0}})\] d’après Théorie formelle des déformations, lemmes 07WB et 07WC (ces lemmes sont applicables d’après les lemmes 07WQ et 07WU et la remarque 07WV). Il suffit donc de démontrer que \(T\mathcal{F}_{\mathcal{X}, l, x_{l, 0}}\) et \(\text{Inf}(\mathcal{F}_{\mathcal{X}, l, x_{l, 0}})\) sont de dimension finie sur \(l\). Notons que \(x_{l, 0}\) provient d’un point \(u_0\) de \(\mathcal{U}\) au-dessus de \(l\).

Interrompons le cours de l’argument pour montrer que le lemme concernant les automorphismes infinitésimaux se déduit du lemme concernant les espaces tangents. En effet, posons \(\mathcal{R} = \mathcal{U} \times_\mathcal{X} \mathcal{U}\). Soit \(r_0\) le point à valeurs dans \(l\), \((u_0, u_0, \text{id}_{x_0})\), de \(\mathcal{R}\). En combinant le lemme 07WL et Théorie formelle des déformations, lemme 06L6, nous obtenons \[\text{Inf}(\mathcal{F}_{\mathcal{X}, l, x_{l, 0}}) \subset T\mathcal{F}_{\mathcal{R}, l, r_0}\] Notons que \(\mathcal{R}\) est un champ algébrique, voir Champs algébriques, lemme 04TF. De plus, \(\mathcal{R}\) est représenté par un espace algébrique \(R\) lisse sur \(U\) (par l’une ou l’autre projection, voir Champs algébriques, lemme 04T5). Par conséquent, choisissons un schéma \(U'\) et un morphisme étale surjectif \(U' \to R\) ; nous voyons que \(U'\) est lisse sur \(U\), donc localement de type fini sur \(S\). Comme \((\Sch/U')_{fppf} \to \mathcal{R}\) est surjectif et lisse, nous avons ramené la question au cas des espaces tangents.

Le foncteur (07WJ) \[\mathcal{F}_{\mathcal{U}, l, u_0} \longrightarrow \mathcal{F}_{\mathcal{X}, l, x_{l, 0}}\] est lisse d’après le lemme 07WK. L’application induite sur les espaces tangents \[T\mathcal{F}_{\mathcal{U}, l, u_0} \longrightarrow T\mathcal{F}_{\mathcal{X}, l, x_{l, 0}}\] est \(l\)-linéaire (d’après Théorie formelle des déformations, lemme 06IJ) et surjective (puisque les morphismes lisses de catégories de prédéformations induisent des applications surjectives sur les espaces tangents d’après Théorie formelle des déformations, lemme 06HN). Il suffit donc de prouver que l’espace tangent de l’espace de déformations associé au champ algébrique représentable \(\mathcal{U}\) au point \(u_0\) est de dimension finie. Soit \(\Spec(R) \subset U\) un ouvert affine tel que \(u_0 : \Spec(l) \to U\) se factorise par \(\Spec(R)\) et tel que \(\Spec(R) \to S\) se factorise par \(\Spec(\Lambda) \subset S\). Soit \(\mathfrak m_R \subset R\) le noyau du morphisme de \(\Lambda\)-algèbres \(\varphi_0 : R \to l\) correspondant à \(u_0\). Comme \(R\) est de type fini sur l’anneau noethérien \(\Lambda\), c’est un anneau noethérien. Ainsi, \(\mathfrak m_R = (f_1, \ldots, f_n)\) est un idéal de type fini. Nous avons \[T\mathcal{F}_{\mathcal{U}, l, u_0} = \{\varphi : R \to l[\epsilon] \mid \varphi \text{ est un morphisme de } \Lambda\text{-algèbres et } \varphi \bmod \epsilon = \varphi_0\}\] Un élément du membre de droite est déterminé par ses valeurs sur \(f_1, \ldots, f_n\) ; le membre de droite est donc de dimension au plus \(n\), ce qui conclut. Nous omettons quelques détails.

Lemme

Soit \(S\) un schéma localement noethérien. Soient \(p : \mathcal{X} \to \mathcal{Y}\) et \(q : \mathcal{Z} \to \mathcal{Y}\) des \(1\)-morphismes de catégories fibrées en groupoïdes sur \((\Sch/S)_{fppf}\). Supposons que \(\mathcal{X}\), \(\mathcal{Y}\) et \(\mathcal{Z}\) satisfassent à (RS). Soit \(k\) un corps de type fini sur \(S\) et soit \(w_0\) un objet de \(\mathcal{W} = \mathcal{X} \times_\mathcal{Y} \mathcal{Z}\) au-dessus de \(k\). Notons \(x_0, y_0, z_0\) les objets de \(\mathcal{X}, \mathcal{Y}, \mathcal{Z}\) déduits de \(w_0\). Alors il existe une suite exacte à \(6\) termes \[\xymatrix{ 0 \ar[r] & \text{Inf}(\mathcal{F}_{\mathcal{W}, k, w_0}) \ar[r] & \text{Inf}(\mathcal{F}_{\mathcal{X}, k, x_0}) \oplus \text{Inf}(\mathcal{F}_{\mathcal{Z}, k, z_0}) \ar[r] & \text{Inf}(\mathcal{F}_{\mathcal{Y}, k, y_0}) \ar[lld] \\ & T\mathcal{F}_{\mathcal{W}, k, w_0} \ar[r] & T\mathcal{F}_{\mathcal{X}, k, x_0} \oplus T\mathcal{F}_{\mathcal{Z}, k, z_0} \ar[r] & T\mathcal{F}_{\mathcal{Y}, k, y_0} }\] d’espaces vectoriels sur \(k\).

Démonstration

D’après le lemme 07WR, \(\mathcal{W}\) satisfait à (RS), de sorte que l’énoncé du lemme a un sens. Pour démontrer le lemme, appliquons les lemmes 07WL et 07WU, ainsi que Théorie formelle des déformations, lemme 06L5.

Objets formels

Dans cette section, nous transposons au présent cadre certaines des notions déjà définies dans le chapitre « Théorie formelle des déformations ». Dans la suite, nous dirons que « \(R\) est une \(S\)-algèbre » pour signifier que \(R\) est un anneau muni d’un morphisme de schémas \(\Spec(R) \to S\).

Définition

Soit \(S\) un schéma localement noethérien. Soit \(p : \mathcal{X} \to (\Sch/S)_{fppf}\) une catégorie fibrée en groupoïdes.

  1. Un objet formel \(\xi = (R, \xi_n, f_n)\) de \(\mathcal{X}\) est constitué d’une \(S\)-algèbre locale noethérienne complète \(R\), d’objets \(\xi_n\) de \(\mathcal{X}\) au-dessus de \(\Spec(R/\mathfrak m_R^n)\), et de morphismes \(f_n : \xi_n \to \xi_{n + 1}\) de \(\mathcal{X}\) au-dessus de \(\Spec(R/\mathfrak m^n) \to \Spec(R/\mathfrak m^{n + 1})\) tels que \(R/\mathfrak m\) soit un corps de type fini sur \(S\).

  2. Un morphisme d’objets formels \(a : \xi = (R, \xi_n, f_n) \to \eta = (T, \eta_n, g_n)\) est la donnée de morphismes \(a_n : \xi_n \to \eta_n\) tels que, pour tout \(n\), le diagramme \[\xymatrix{ \xi_n \ar[r]_{f_n} \ar[d]_{a_n} & \xi_{n + 1} \ar[d]^{a_{n + 1}} \\ \eta_n \ar[r]^{g_n} & \eta_{n + 1} }\] soit commutatif. En appliquant le foncteur \(p\), on obtient une famille compatible de morphismes \(\Spec(R/\mathfrak m_R^n) \to \Spec(T/\mathfrak m_T^n)\), donc un morphisme \(a_0 : \Spec(R) \to \Spec(T)\) au-dessus de \(S\). On dit que \(a\) est au-dessus de \(a_0\).

On obtient ainsi une catégorie d’objets formels de \(\mathcal{X}\).

Remarque

Soit \(S\) un schéma localement noethérien. Soit \(p : \mathcal{X} \to (\Sch/S)_{fppf}\) une catégorie fibrée en groupoïdes. Soit \(\xi = (R, \xi_n, f_n)\) un objet formel. Posons \(k = R/\mathfrak m\) et \(x_0 = \xi_1\). L’objet formel \(\xi\) définit un objet formel \(\xi\) de la catégorie de prédéformations \(\mathcal{F}_{\mathcal{X}, k, x_0}\). Cela résulte immédiatement de la Définition 07X4 ci-dessus, de Théorie formelle des déformations, Définition 06H3, et de notre construction de la catégorie de prédéformations \(\mathcal{F}_{\mathcal{X}, k, x_0}\) dans la section 07T2.

Si \(F : \mathcal{X} \to \mathcal{Y}\) est un \(1\)-morphisme de catégories fibrées en groupoïdes sur \((\Sch/S)_{fppf}\), alors \(F\) induit aussi un foncteur entre les catégories d’objets formels.

Lemme

Soit \(S\) un schéma localement noethérien. Soit \(F : \mathcal{X} \to \mathcal{Y}\) un \(1\)-morphisme de catégories fibrées en groupoïdes sur \((\Sch/S)_{fppf}\). Soit \(\eta = (R, \eta_n, g_n)\) un objet formel de \(\mathcal{Y}\) et soit \(\xi_1\) un objet de \(\mathcal{X}\) tel que \(F(\xi_1) \cong \eta_1\). Si \(F\) est formellement lisse sur les objets (voir Critères de représentabilité, section 06CZ), alors il existe un objet formel \(\xi = (R, \xi_n, f_n)\) de \(\mathcal{X}\) tel que \(F(\xi) \cong \eta\).

Démonstration

Notons que chacun des morphismes \(\Spec(R/\mathfrak m^n) \to \Spec(R/\mathfrak m^{n + 1})\) est un épaississement du premier ordre de schémas affines sur \(S\). L’hypothèse sur \(F\) signifie donc que l’on peut relever successivement \(\xi_1\) en des objets \(\xi_2, \xi_3, \ldots\) de \(\mathcal{X}\) munis d’isomorphismes compatibles \(\eta_n|_{\Spec(R/\mathfrak m^{n - 1})} \cong \eta_{n - 1}\) et \(F(\eta_n) \cong \xi_n\).

Soit \(S\) un schéma localement noethérien. Soit \(p : \mathcal{X} \to (\Sch/S)_{fppf}\) une catégorie fibrée en groupoïdes. Supposons que \(x\) soit un objet de \(\mathcal{X}\) au-dessus de \(R\), où \(R\) est une \(S\)-algèbre locale noethérienne complète dont le corps résiduel est de type fini sur \(S\). On peut alors considérer le système des restrictions \(\xi_n = x|_{\Spec(R/\mathfrak m^n)}\) muni des morphismes naturels \(\xi_1 \to \xi_2 \to \ldots\) provenant de la transitivité de la restriction. Ainsi, \(\xi = (R, \xi_n, \xi_n \to \xi_{n + 1})\) est un objet formel de \(\mathcal{X}\). Cette construction est fonctorielle en l’objet \(x\). On obtient donc un foncteur [07X6]\[\begin{equation} \left\{ \begin{matrix} \text{objets }x\text{ de }\mathcal{X} \text{ tels que }p(x) = \Spec(R) \\ \text{où }R\text{ est un anneau local noethérien complet}\\ \text{et }R/\mathfrak m\text{ est de type fini sur }S \end{matrix} \right\} \longrightarrow \left\{ \begin{matrix} \text{objets formels de }\mathcal{X} \end{matrix} \right\} \end{equation}\] Plus précisément, le membre de gauche est la sous-catégorie pleine de \(\mathcal{X}\) constituée des objets indiqués, et le membre de droite est la catégorie des objets formels de \(\mathcal{X}\) au sens de la Définition 07X4.

Définition

Soit \(S\) un schéma localement noethérien. Soit \(\mathcal{X}\) une catégorie fibrée en groupoïdes sur \((\Sch/S)_{fppf}\). Un objet formel \(\xi = (R, \xi_n, f_n)\) de \(\mathcal{X}\) est dit effectif s’il appartient à l’image essentielle du foncteur (07X6).

Si la catégorie fibrée en groupoïdes est un champ algébrique, alors tout objet formel est effectif, comme il résulte du lemme suivant.

Lemme

Soit \(S\) un schéma localement noethérien. Soit \(\mathcal{X}\) un champ algébrique sur \(S\). Le foncteur (07X6) est une équivalence.

Démonstration

Cas I : \(\mathcal{X}\) est représentable (par un schéma). Écrivons \(\mathcal{X} = (\Sch/X)_{fppf}\) pour un schéma \(X\) sur \(S\). En explicitant les définitions, il faut démontrer ceci : étant donnée une \(S\)-algèbre locale noethérienne complète \(R\) telle que \(R/\mathfrak m\) soit de type fini sur \(S\), l’application \[\Mor_S(\Spec(R), X) \longrightarrow \lim \Mor_S(\Spec(R/\mathfrak m^n), X)\] est bijective. Cela résulte de Espaces formels, Lemme 0AQG.

Cas II. \(\mathcal{X}\) est représentable par un espace algébrique. Écrivons que \(\mathcal{X}\) est représentable par \(X\). Il faut à nouveau montrer que \[\Mor_S(\Spec(R), X) \longrightarrow \lim \Mor_S(\Spec(R/\mathfrak m^n), X)\] est bijective pour \(R\) comme ci-dessus. C’est Espaces formels, Lemme 0AQH.

Cas III : cas général d’un champ algébrique. Remarquons de manière générale que les membres de gauche et de droite de (07X6) sont des catégories fibrées en groupoïdes sur la catégorie des schémas affines sur \(S\) qui sont les spectres d’anneaux locaux noethériens complets dont le corps résiduel est de type fini sur \(S\). Nous verrons aussi dans la démonstration ci-dessous qu’elles sont des champs pour une certaine topologie sur cette catégorie.

Démontrons d’abord la pleine fidélité. Soit \(R\) une algèbre locale noethérienne complète sur \(S\) telle que \(k = R/\mathfrak m\) soit de type fini sur \(S\). Soient \(x, x'\) des objets de \(\mathcal{X}\) au-dessus de \(R\). Comme \(\mathcal{X}\) est un champ algébrique, \(\mathit{Isom}(x, x')\) est représentable par un espace algébrique \(I\) sur \(\Spec(R)\), voir Champs algébriques, Lemme 045G. L’application du Cas II à \(I\) sur \(\Spec(R)\) implique immédiatement que (07X6) est pleinement fidèle sur les catégories fibres au-dessus de \(\Spec(R)\). Le foncteur est donc pleinement fidèle d’après Catégories, Lemme 003Z.

Surjectivité essentielle. Soit \(\xi = (R, \xi_n, f_n)\) un objet formel de \(\mathcal{X}\). Choisissons un schéma \(U\) sur \(S\) et un morphisme lisse surjectif \(f : (\Sch/U)_{fppf} \to \mathcal{X}\). Pour tout \(n\), considérons le produit fibré \[(\Sch/\Spec(R/\mathfrak m^n))_{fppf} \times_{\xi_n, \mathcal{X}, f} (\Sch/U)_{fppf}\] Par hypothèse, il est représentable par un espace algébrique \(V_n\), lisse et surjectif sur \(\Spec(R/\mathfrak m^n)\). Les morphismes \(f_n : \xi_n \to \xi_{n + 1}\) induisent des carrés cartésiens \[\xymatrix{ V_{n + 1} \ar[d] & V_n \ar[d] \ar[l] \\ \Spec(R/\mathfrak m^{n + 1}) & \Spec(R/\mathfrak m^n) \ar[l] }\] d’espaces algébriques. D’après Espaces sur les corps, Lemme 07W4, on peut trouver une extension finie séparable \(k'/k\) et un point \(v'_1 : \Spec(k') \to V_1\) au-dessus de \(k\). Soit \(R \subset R'\) l’extension finie étale dont l’extension de corps résiduels est \(k'/k\) (elle existe et est unique d’après Algèbre, Lemmes 04GK et 04GM). Par le critère infinitésimal de lissité (voir Compléments sur les morphismes d’espaces, Lemme 04AM), appliqué à \(V_n \to \Spec(R/\mathfrak m^n)\) pour \(n = 2, 3, 4, \ldots\), on peut trouver successivement des morphismes \(v'_n : \Spec(R'/(\mathfrak m')^n) \to V_n\) au-dessus de \(\Spec(R/\mathfrak m^n)\) s’inscrivant dans des diagrammes commutatifs \[\xymatrix{ \Spec(R'/(\mathfrak m')^{n + 1}) \ar[d]_{v'_{n + 1}} & \Spec(R'/(\mathfrak m')^n) \ar[d]^{v'_n} \ar[l] \\ V_{n + 1} & V_n \ar[l] }\] En composant avec les morphismes de projection \(V_n \to U\), on obtient un système compatible de morphismes \(u'_n : \Spec(R'/(\mathfrak m')^n) \to U\). D’après le Cas I, la famille \((u'_n)\) provient d’un unique morphisme \(u' : \Spec(R') \to U\). Notons \(x'\) l’objet de \(\mathcal{X}\) au-dessus de \(\Spec(R')\) que l’on obtient en appliquant le \(1\)-morphisme \(f\) à \(u'\). Par construction, il existe un morphisme d’objets formels \[(\href{artin.html#artin-equation-approximation}{07X6})(x') = (R', x'|_{\Spec(R'/(\mathfrak m')^n)}, \ldots) \longrightarrow (R, \xi_n, f_n)\] au-dessus de \(\Spec(R') \to \Spec(R)\). Notons que \(R' \otimes_R R'\) est un produit fini de spectres d’anneaux locaux noethériens complets auxquels s’applique notre présente discussion. Notons \(p_0, p_1 : \Spec(R' \otimes_R R') \to \Spec(R')\) les deux projections. Par la pleine fidélité démontrée ci-dessus, il existe un isomorphisme canonique \(\varphi : p_0^*x' \to p_1^*x'\), puisque l’on dispose de tels isomorphismes au-dessus de \(\Spec((R' \otimes_R R')/\mathfrak m^n(R' \otimes_R R'))\). Nous omettons de démontrer que l’isomorphisme \(\varphi\) satisfait la condition de cocycle (voir Champs, Définition 026B). Puisque \(\{\Spec(R') \to \Spec(R)\}\) est un recouvrement fppf, on conclut que \(x'\) provient par descente d’un objet \(x\) de \(\mathcal{X}\) au-dessus de \(\Spec(R)\). Nous omettons de démontrer que \(x_n\) est la restriction de \(x\) à \(\Spec(R/\mathfrak m^n)\).

Lemme

Soit \(S\) un schéma. Soient \(p : \mathcal{X} \to \mathcal{Y}\) et \(q : \mathcal{Z} \to \mathcal{Y}\) des \(1\)-morphismes de catégories fibrées en groupoïdes sur \((\Sch/S)_{fppf}\). Si le foncteur (07X6) est une équivalence pour \(\mathcal{X}\), \(\mathcal{Y}\) et \(\mathcal{Z}\), alors il est une équivalence pour \(\mathcal{X} \times_\mathcal{Y} \mathcal{Z}\).

Démonstration

Les membres de gauche et de droite de (07X6) pour \(\mathcal{X} \times_\mathcal{Y} \mathcal{Z}\) sont simplement les \(2\)-produits fibrés des membres de gauche et de droite de (07X6) pour \(\mathcal{X}\) et \(\mathcal{Z}\) au-dessus de \(\mathcal{Y}\). Le résultat en découle, car la formation des \(2\)-produits fibrés est compatible avec les équivalences de catégories, voir Catégories, Lemme 02XB.

Approximation

Une idée fondamentale due à Michael Artin est que l’on peut approcher les objets d’un champ commutant aux limites. Plus précisément, étant donné un objet \(x\) du champ sur un anneau local noethérien complet, on peut trouver un objet \(x_A\) sur un anneau algébrique qui soit « proche de » \(x\). Ici, un anneau algébrique désigne une \(S\)-algèbre de type fini, et proche signifie proche pour la topologie adique. Nous présentons dans cette section une forme simple, mais générale, de ce résultat.

Pour formuler le résultat, il faut réunir quelques définitions provenant de différents endroits du projet Champs. Tout d’abord, dans Critères de représentabilité, section 06CT, nous avons introduit la notion de commutation aux limites sur les objets pour les \(1\)-morphismes de catégories fibrées en groupoïdes sur la catégorie des schémas. Dans Compléments d’algèbre, Définition 07GH, nous avons défini la notion d’anneau G. Soit \(S\) un schéma localement noethérien. Soit \(A\) une \(S\)-algèbre. On dit que \(A\) est de type fini sur \(S\) ou que c’est une \(S\)-algèbre de type fini si \(\Spec(A) \to S\) est de type fini. Dans ce cas, \(A\) est un anneau noethérien. Enfin, étant donnés un anneau \(A\) et un idéal \(I\), on note \(\text{Gr}_I(A) = \bigoplus I^n/I^{n + 1}\).

Lemme

Soit \(S\) un schéma localement noethérien. Soit \(p : \mathcal{X} \to (\Sch/S)_{fppf}\) une catégorie fibrée en groupoïdes. Soit \(x\) un objet de \(\mathcal{X}\) au-dessus de \(\Spec(R)\), où \(R\) est un anneau local noethérien complet de corps résiduel \(k\) de type fini sur \(S\). Soit \(s \in S\) l’image de \(\Spec(k) \to S\). Supposons que (a) \(\mathcal{O}_{S, s}\) soit un anneau G et (b) \(p\) commute aux limites sur les objets. Alors, pour tout entier \(N \geq 1\), il existe

  1. une \(S\)-algèbre de type fini \(A\),

  2. un idéal maximal \(\mathfrak m_A \subset A\),

  3. un objet \(x_A\) de \(\mathcal{X}\) au-dessus de \(\Spec(A)\),

  4. un \(S\)-isomorphisme \(R/\mathfrak m_R^N \cong A/\mathfrak m_A^N\),

  5. un isomorphisme \(x|_{\Spec(R/\mathfrak m_R^N)} \cong x_A|_{\Spec(A/\mathfrak m_A^N)}\) compatible avec (4), et

  6. un isomorphisme \(\text{Gr}_{\mathfrak m_R}(R) \cong \text{Gr}_{\mathfrak m_A}(A)\) de \(k\)-algèbres graduées.

Démonstration

Choisissons un ouvert affine \(\Spec(\Lambda) \subset S\) tel que \(k\) soit une \(\Lambda\)-algèbre finie, voir Morphismes, Lemme 01TA. On peut, et on va, remplacer \(S\) par \(\Spec(\Lambda)\).

On peut écrire \(R\) comme une limite inductive filtrante \(R = \colim C_j\), où chaque \(C_j\) est une \(\Lambda\)-algèbre de type fini (voir Algèbre, Lemme 00QN). D’après l’hypothèse (b), l’objet \(x\) est isomorphe à la restriction d’un objet au-dessus de l’un des \(C_j\). On peut donc choisir une \(\Lambda\)-algèbre de type fini \(C\), un homomorphisme de \(\Lambda\)-algèbres \(C \to R\) et un objet \(x_C\) de \(\mathcal{X}\) au-dessus de \(\Spec(C)\) tels que \(x = x_C|_{\Spec(R)}\). Le choix de \(C\) est une commodité de notation dont on pourrait se passer. Pour la suite, écrivons \(C = \Lambda[y_1, \ldots, y_u]/(f_1, \ldots, f_v)\) et notons \(\overline{a}_i \in R\) l’image de \(y_i\) par l’homomorphisme \(C \to R\). Posons \(\mathfrak m_C = C \cap \mathfrak m_R\).

Choisissons une surjection de \(\Lambda\)-algèbres \(\Lambda[x_1, \ldots, x_s] \to k\) et notons \(\mathfrak m'\) son noyau. Par la propriété universelle des anneaux de polynômes, on peut la relever en un homomorphisme de \(\Lambda\)-algèbres \(\Lambda[x_1, \ldots, x_s] \to R\). Ajoutons quelques variables (c’est-à-dire augmentons un peu \(s\)) envoyées sur des générateurs de \(\mathfrak m_R\). Cela fait, on voit que \(\Lambda[x_1, \ldots, x_s] \to R/\mathfrak m_R^2\) est surjectif. On en déduit que [07XC]\[\begin{equation} P = \Lambda[x_1, \ldots, x_s]_{\mathfrak m'}^\wedge \longrightarrow R \end{equation}\] est un homomorphisme surjectif d’anneaux locaux noethériens complets, voir par exemple Théorie formelle des déformations, Lemme 06GZ.

Choisissons des relèvements \(a_i \in P\) des \(\overline{a}_i\) trouvés ci-dessus. Choisissons des générateurs \(b_1, \ldots, b_r \in P\) du noyau de (07XC). Choisissons des \(c_{ji} \in P\) tels que \[f_j(a_1, \ldots, a_u) = \sum c_{ji} b_i\] dans \(P\), ce qui est possible en vertu des choix déjà effectués. Choisissons des générateurs \[k_1, \ldots, k_t \in \Ker(P^{\oplus r} \xrightarrow{(b_1, \ldots, b_r)} P)\] et écrivons \(k_i = (k_{i1}, \ldots, k_{ir})\) et \(K = (k_{ij})\) de sorte que \[P^{\oplus t} \xrightarrow{K} P^{\oplus r} \xrightarrow{(b_1, \ldots, b_r)} P \to R \to 0\] soit une suite exacte de \(P\)-modules. En particulier, on a \(\sum k_{ij} b_j = 0\). Quitte à augmenter \(N\), on peut supposer que \(N - 1\) convient dans le lemme d’Artin-Rees pour les deux premiers morphismes de cette suite exacte (voir Compléments d’algèbre, section 07VD pour la terminologie).

Par hypothèse, \(\mathcal{O}_{S, s} = \Lambda_{\Lambda \cap \mathfrak m'}\) est un anneau G. Ainsi, d’après Compléments d’algèbre, Proposition 07PV, l’anneau \(\Lambda[x_1, \ldots, x_s]_{\mathfrak m'}\) est un anneau \(G\). Par conséquent, d’après Lissage des homomorphismes d’anneaux, Théorème 07QZ, il existe un homomorphisme d’anneaux étale \[\Lambda[x_1, \ldots, x_s]_{\mathfrak m'} \to B,\] un idéal maximal \(\mathfrak m_B\) de \(B\) au-dessus de \(\mathfrak m'\), et des éléments \(a'_i, b'_i, c'_{ij}, k'_{ij} \in B'\) tels que

  1. \(\kappa(\mathfrak m') = \kappa(\mathfrak m_B)\), ce qui implique que \(\Lambda[x_1, \ldots, x_s]_{\mathfrak m'} \subset B_{\mathfrak m_B} \subset P\) et que \(P\) s’identifie au complété de \(B\) en \(\mathfrak m_B\), voir la remarque précédant Lissage des homomorphismes d’anneaux, Théorème 07QZ,

  2. \(a_i - a'_i, b_i - b'_i, c_{ij} - c'_{ij}, k_{ij} - k'_{ij} \in (\mathfrak m')^N P\), et

  3. \(f_j(a'_1, \ldots, a'_u) = \sum c'_{ji} b'_i\) et \(\sum k'_{ij}b'_j = 0\).

Posons \(A = B/(b'_1, \ldots, b'_r)\) et notons \(\mathfrak m_A\) l’image de \(\mathfrak m_B\) dans \(A\). (Notons que \(A\) est essentiellement de type fini sur \(\Lambda\) ; à la fin de la démonstration, nous expliquerons comment obtenir un \(A\) qui soit de type fini sur \(\Lambda\).) Il existe un homomorphisme d’anneaux \(C \to A\) envoyant \(y_i \mapsto a'_i\), car les \(a'_i\) satisfont les équations voulues modulo \((b'_1, \ldots, b'_r)\). Notons que \(A/\mathfrak m_A^N = R/\mathfrak m_R^N\) en tant que quotients de \(P = B^\wedge\) d’après la propriété (2) ci-dessus. Posons \(x_A = x_C|_{\Spec(A)}\). Comme les homomorphismes \[C \to A \to A/\mathfrak m_A^N \cong R/\mathfrak m_R^N \quad\text{et}\quad C \to R \to R/\mathfrak m_R^N\] sont égaux, on voit que \(x_A\) et \(x\) coïncident modulo \(\mathfrak m_R^N\) via l’isomorphisme \(A/\mathfrak m_A^N = R/\mathfrak m_R^N\). À ce stade, nous avons établi les propriétés (1) – (5) de l’énoncé du lemme. Pour voir (6), notons que \[P^{\oplus t} \xrightarrow{K} P^{\oplus r} \xrightarrow{(b_1, \ldots, b_r)} P \quad\text{et}\quad P^{\oplus t} \xrightarrow{K'} P^{\oplus r} \xrightarrow{(b'_1, \ldots, b'_r)} P\] sont deux complexes de \(P\)-modules congrus modulo \((\mathfrak m')^N\), le premier étant exact. D’après notre choix de \(N\) ci-dessus, on voit d’après Compléments d’algèbre, Lemme 07VF, que \(R = P/(b_1, \ldots, b_r)\) et \(P/(b'_1, \ldots, b'_r) = B^\wedge/(b'_1, \ldots, b'_r) = A^\wedge\) ont des algèbres graduées associées isomorphes, ce qu’il fallait démontrer.

Ce dernier paragraphe de la démonstration sert à régler le fait que \(A\) est essentiellement de type fini sur \(S\), et non encore de type fini. La construction ci-dessus donne \(A = B/(b'_1, \ldots, b'_r)\) et \(\mathfrak m_A \subset A\), avec \(B\) étale sur \(\Lambda[x_1, \ldots, x_s]_{\mathfrak m'}\). Ainsi, \(A\) est de type fini sur l’anneau noethérien \(\Lambda[x_1, \ldots, x_s]_{\mathfrak m'}\). On peut donc écrire \(A = (A_0)_{\mathfrak m'}\) pour une \(\Lambda[x_1, \ldots, x_n]\)-algèbre de type fini \(A_0\). Alors \(A = \colim (A_0)_f\), où \(f \in \Lambda[x_1, \ldots, x_n] \setminus \mathfrak m'\), voir Algèbre, Lemme 00CR. Puisque \(p : \mathcal{X} \to (\Sch/S)_{fppf}\) commute aux limites sur les objets, on voit que \(x_A\) provient d’un objet \(x_{(A_0)_f}\) au-dessus de \(\Spec((A_0)_f)\) pour un \(f\) comme ci-dessus. Après avoir remplacé \(A\) par \((A_0)_f\), \(x_A\) par \(x_{(A_0)_f}\) et \(\mathfrak m_A\) par \((A_0)_f \cap \mathfrak m_A\), la démonstration est achevée.

Commutation aux limites

Le morphisme \(p : \mathcal{X} \to (\Sch/S)_{fppf}\) commute aux limites sur les objets, au sens de Critères de représentabilité, section 06CT, si le foncteur de la définition ci-dessous est essentiellement surjectif. Toutefois, l’exemple de Exemples, section 07Z0, montre que cela n’équivaut pas à la commutation aux limites.

Définition

Soit \(S\) un schéma. Soit \(\mathcal{X}\) une catégorie fibrée en groupoïdes sur \((\Sch/S)_{fppf}\). On dit que \(\mathcal{X}\) commute aux limites si, pour tout schéma affine \(T\) sur \(S\) qui est une limite \(T = \lim T_i\) d’un système projectif filtrant de schémas affines \(T_i\) sur \(S\), on a une équivalence \[\colim \mathcal{X}_{T_i} \longrightarrow \mathcal{X}_T\] de catégories fibres.

Explicitons ce que cela signifie. Premièrement, pour des objets \(x, y\) de \(\mathcal{X}\) au-dessus de \(T_i\), on doit avoir \[\Mor_{\mathcal{X}_T}(x|_T, y|_T) = \colim_{i' \geq i} \Mor_{\mathcal{X}_{T_{i'}}}(x|_{T_{i'}}, y|_{T_{i'}})\] et, deuxièmement, tout objet de \(\mathcal{X}_T\) est isomorphe à la restriction d’un objet au-dessus de \(T_i\) pour un certain \(i\). Notons que la première condition signifie que les préfaisceaux \(\mathit{Isom}_\mathcal{X}(x, y)\) (voir Champs, Définition 02ZB) commutent aux limites.

Lemme

Soit \(S\) un schéma. Soient \(p : \mathcal{X} \to \mathcal{Y}\) et \(q : \mathcal{Z} \to \mathcal{Y}\) des \(1\)-morphismes de catégories fibrées en groupoïdes sur \((\Sch/S)_{fppf}\).

  1. Si \(\mathcal{X} \to (\Sch/S)_{fppf}\) et \(\mathcal{Z} \to (\Sch/S)_{fppf}\) commutent aux limites sur les objets et \(\mathcal{Y}\) commute aux limites, alors \(\mathcal{X} \times_\mathcal{Y} \mathcal{Z} \to (\Sch/S)_{fppf}\) commute aux limites sur les objets.

  2. Si \(\mathcal{X}\), \(\mathcal{Y}\) et \(\mathcal{Z}\) commutent aux limites, alors il en va de même de \(\mathcal{X} \times_\mathcal{Y} \mathcal{Z}\).

Démonstration

C’est formel. Preuve de (1). Soit \(T = \lim_{i \in I} T_i\) la limite du système projectif filtrant de schémas affines \(T_i\) sur \(S\). Montrons que le foncteur \(\colim \mathcal{X}_{T_i} \to \mathcal{X}_T\) est essentiellement surjectif. Rappelons qu’un objet du produit fibré au-dessus de \(T\) est un quadruplet \((T, x, z, \alpha)\), où \(x\) est un objet de \(\mathcal{X}\) au-dessus de \(T\), \(z\) est un objet de \(\mathcal{Z}\) au-dessus de \(T\), et \(\alpha : p(x) \to q(z)\) est un morphisme dans la catégorie fibre de \(\mathcal{Y}\) au-dessus de \(T\). D’après l’hypothèse sur \(\mathcal{X}\) et \(\mathcal{Z}\), on peut trouver un \(i\) et des objets \(x_i\) et \(z_i\) au-dessus de \(T_i\) tels que \(x_i|_T \cong T\) et \(z_i|_T \cong z\). Alors \(\alpha\) correspond à un isomorphisme \(p(x_i)|_T \to q(z_i)|_T\) qui provient d’un isomorphisme \(\alpha_{i'} : p(x_i)|_{T_{i'}} \to q(z_i)|_{T_{i'}}\) d’après notre hypothèse sur \(\mathcal{Y}\). Après avoir remplacé \(i\) par \(i'\), \(x_i\) par \(x_i|_{T_{i'}}\) et \(z_i\) par \(z_i|_{T_{i'}}\), on voit que \((T_i, x_i, z_i, \alpha_i)\) est un objet du produit fibré au-dessus de \(T_i\) dont la restriction est un objet isomorphe à \((T, x, z, \alpha)\) au-dessus de \(T\), comme voulu.

Nous omettons les arguments montrant que \(\colim \mathcal{X}_{T_i} \to \mathcal{X}_T\) est pleinement fidèle dans (2).

Lemme

Soit \(S\) un schéma. Soit \(\mathcal{X}\) un champ algébrique sur \(S\). Les conditions suivantes sont alors équivalentes :

  1. \(\mathcal{X}\) est un champ en setoïdes et \(\mathcal{X} \to (\Sch/S)_{fppf}\) commute aux limites sur les objets,

  2. \(\mathcal{X}\) est un champ en setoïdes et commute aux limites,

  3. \(\mathcal{X}\) est représentable par un espace algébrique localement de présentation finie.

Démonstration

Sous chacune des trois hypothèses, \(\mathcal{X}\) est représentable par un espace algébrique \(X\) sur \(S\), voir Champs algébriques, Proposition 04SZ. Il est clair que (1) et (2) sont équivalentes, puisqu’un foncteur entre setoïdes est une équivalence si et seulement s’il est surjectif sur les classes d’isomorphisme. Enfin, (1) et (3) sont équivalentes d’après Limites d’espaces, Proposition 04AK.

Lemme

Soit \(S\) un schéma. Soit \(\mathcal{X}\) une catégorie fibrée en groupoïdes sur \((\Sch/S)_{fppf}\). Supposons que \(\Delta : \mathcal{X} \to \mathcal{X} \times \mathcal{X}\) soit représentable par des espaces algébriques et que \(\mathcal{X}\) commute aux limites. Alors \(\Delta\) est localement de type fini.

Démonstration

Appliquons Critères de représentabilité, Lemme 07WI. Soit \(V\) un schéma affine \(V\) localement de présentation finie sur \(S\), et soit \(\theta\) un objet de \(\mathcal{X} \times \mathcal{X}\) au-dessus de \(V\). Soit \(F_\theta\) un espace algébrique représentant \(\mathcal{X} \times_{\Delta, \mathcal{X} \times \mathcal{X}, \theta} (\Sch/V)_{fppf}\), et soit \(f_\theta : F_\theta \to V\) le morphisme canonique (voir Champs algébriques, section 04SX). Il suffit de montrer que \(F_\theta \to V\) possède les propriétés correspondantes. D’après les Lemmes 07XM et 07XN, on voit que \(F_\theta \to S\) est localement de présentation finie. Il s’ensuit que \(F_\theta \to V\) est localement de type fini d’après Morphismes d’espaces, Lemme 0462.

Versalité

Dans la section précédente, nous avons expliqué comment approcher les objets sur des anneaux locaux complets par des objets algébriques. Mais, pour montrer qu’un champ \(\mathcal{X}\) est un champ algébrique, nous devons trouver des \(1\)-morphismes lisses de schémas vers \(\mathcal{X}\). Comme nous n’allons pas supposer a priori que \(\mathcal{X}\) possède une diagonale représentable, nous ne pouvons même pas parler de morphismes lisses vers \(\mathcal{X}\). Nous allons plutôt introduire, en empruntant la terminologie de la théorie des déformations, les objets versels.

Définition

Soit \(S\) un schéma localement noethérien. Soit \(p : \mathcal{X} \to (\Sch/S)_{fppf}\) une catégorie fibrée en groupoïdes. Soit \(\xi = (R, \xi_n, f_n)\) un objet formel. Posons \(k = R/\mathfrak m\) et \(x_0 = \xi_1\). Nous dirons que \(\xi\) est versel si \(\xi\), considéré comme objet formel de \(\mathcal{F}_{\mathcal{X}, k, x_0}\) (Remarque 0CXH), est versel au sens de Théorie des déformations formelles, Définition 06HR.

Explicitons brièvement ce que cela signifie. Avec les notations de la définition, supposons donnés des morphismes \(\xi_1 = x_0 \to y \to z\) de \(\mathcal{X}\) au-dessus des immersions fermées \(\Spec(k) \to \Spec(A) \to \Spec(B)\), où \(A, B\) sont des anneaux locaux artiniens de corps résiduel \(k\). Supposons donnés un entier \(n \geq 1\) et un diagramme commutatif \[\vcenter{ \xymatrix{ & y \ar[ld] \\ \xi_n & \xi_1 \ar[u] \ar[l] } } \quad\text{au-dessus de}\quad \vcenter{ \xymatrix{ & \Spec(A) \ar[ld] \\ \Spec(R/\mathfrak m^n) & \Spec(k) \ar[u] \ar[l] } }\] La versalité signifie que, pour toutes données comme ci-dessus, il existe un entier \(m \geq n\) et un diagramme commutatif \[\vcenter{ \xymatrix{ & & z \ar[lldd] \\ & & y \ar[ld] \ar[u] \\ \xi_m & \xi_n \ar[l] & \xi_1 \ar[u] \ar[l] } } \quad\text{au-dessus de} \vcenter{ \xymatrix{ & & \Spec(B) \ar[lldd] \\ & & \Spec(A) \ar[ld] \ar[u] \\ \Spec(R/\mathfrak m^m) & \Spec(R/\mathfrak m^n) \ar[l] & \Spec(k) \ar[u] \ar[l] } }\] Comparer avec Théorie des déformations formelles, Remarque 06HS.

Soit \(S\) un schéma localement noethérien. Soit \(U\) un schéma sur \(S\) dont le morphisme structural \(U \to S\) est localement de type fini. Soit \(u_0 \in U\) un point de type fini de \(U\) ; voir Morphismes, Définition 02J1. Posons \(k = \kappa(u_0)\). Notons que le composé \(\Spec(k) \to S\) est aussi de type fini ; voir Morphismes, Lemme 01T3. Soit \(p : \mathcal{X} \to (\Sch/S)_{fppf}\) une catégorie fibrée en groupoïdes. Soit \(x\) un objet de \(\mathcal{X}\) au-dessus de \(U\). Notons \(x_0\) l’image réciproque de \(x\) par \(u_0\). Par le lemme de \(2\)-Yoneda, \(x\) correspond à un \(1\)-morphisme \[x : (\Sch/U)_{fppf} \longrightarrow \mathcal{X},\] voir Champs algébriques, section 04SS. Nous obtenons un morphisme de catégories de prédéformation [07XE]\[\begin{equation} \hat x : \mathcal{F}_{(\Sch/U)_{fppf}, k, u_0} \longrightarrow \mathcal{F}_{\mathcal{X}, k, x_0}, \end{equation}\] au-dessus de \(\mathcal{C}_\Lambda\) ; voir (07WJ).

Définition

Soit \(S\) un schéma localement noethérien. Soit \(\mathcal{X}\) une catégorie fibrée en groupoïdes sur \((\Sch/S)_{fppf}\). Soit \(U\) un schéma localement de type fini sur \(S\). Soit \(x\) un objet de \(\mathcal{X}\) au-dessus de \(U\). Soit \(u_0\) un point de type fini de \(U\). On dit que \(x\) est versel en \(u_0\) si le morphisme \(\hat x\) (07XE) est lisse ; voir Théorie des déformations formelles, Définition 06HG.

Cette définition coïncide avec notre notion de versalité pour les objets formels de \(\mathcal{X}\).

Lemme

Avec les notations de la Définition 07XF, soit \(R = \mathcal{O}_{U, u_0}^\wedge\). Soit \(\xi\) l’objet formel de \(\mathcal{X}\) sur \(R\) associé à \(x|_{\Spec(R)}\) ; voir (07X6). Alors \[x\text{ est versel en }u_0 \Leftrightarrow \xi\text{ est versel}\]

Démonstration

Observons que \(\mathcal{O}_{U, u_0}\) est une \(S\)-algèbre locale noethérienne de corps résiduel \(k\). Ainsi, \(R = \mathcal{O}_{U, u_0}^\wedge\) est un objet de \(\mathcal{C}_\Lambda^\wedge\) ; voir Théorie des déformations formelles, Définition 06GW. Rappelons que \(\xi\) est versel si \(\underline{\xi} : \underline{R}|_{\mathcal{C}_\Lambda} \to \mathcal{F}_{\mathcal{X}, k, x_0}\) est lisse, et que \(x\) est versel en \(u_0\) si \(\hat x : \mathcal{F}_{(\Sch/U)_{fppf}, k, u_0} \to \mathcal{F}_{\mathcal{X}, k, x_0}\) est lisse. Il existe une identification de catégories de prédéformation \[\underline{R}|_{\mathcal{C}_\Lambda} = \mathcal{F}_{(\Sch/U)_{fppf}, k, u_0},\] voir Théorie des déformations formelles, Remarque 06HC pour les notations. En effet, pour toute \(S\)-algèbre locale artinienne \(A\) dont le corps résiduel est identifié à \(k\), nous avons \[\Mor_{\mathcal{C}_\Lambda^\wedge}(R, A) = \{\varphi \in \Mor_S(\Spec(A), U) \mid \varphi|_{\Spec(k)} = u_0\}\] En explicitant les définitions, on vérifie que le morphisme obtenu \[\underline{R}|_{\mathcal{C}_\Lambda} = \mathcal{F}_{(\Sch/U)_{fppf}, k, u_0} \xrightarrow{\hat x} \mathcal{F}_{\mathcal{X}, k, x_0},\] est égal à \(\underline{\xi}\), ce qui démontre le lemme.

Voici une vérification de cohérence.

Lemme

Soit \(S\) un schéma localement noethérien. Soit \(f : U \to V\) un morphisme de schémas localement de type fini sur \(S\). Soit \(u_0 \in U\) un point de type fini. Les conditions suivantes sont équivalentes :

  1. \(f\) est lisse en \(u_0\),

  2. \(f\), considéré comme objet de \((\Sch/V)_{fppf}\) au-dessus de \(U\), est versel en \(u_0\).

Démonstration

C’est une reformulation de Compléments sur les morphismes, Lemme 02HX.

Il s’avère que cette notion se comporte bien par extension de corps.

Lemme

Soient \(S\), \(\mathcal{X}\), \(U\), \(x\), \(u_0\) comme dans la Définition 07XF. Soit \(l\) un corps et soit \(u_{l, 0} : \Spec(l) \to U\) un morphisme d’image \(u_0\) tel que l’extension \(l/k = \kappa(u_0)\) soit finie. Posons \(x_{l, 0} = x_0|_{\Spec(l)}\). Si \(\mathcal{X}\) vérifie (RS) et si \(x\) est versel en \(u_0\), alors \[\mathcal{F}_{(\Sch/U)_{fppf}, l, u_{l, 0}} \longrightarrow \mathcal{F}_{\mathcal{X}, l, x_{l, 0}}\] est lisse.

Démonstration

Notons que \((\Sch/U)_{fppf}\) vérifie (RS) d’après le Lemme 07WQ. Le foncteur du lemme est donc le foncteur \[(\mathcal{F}_{(\Sch/U)_{fppf}, k , u_0})_{l/k} \longrightarrow (\mathcal{F}_{\mathcal{X}, k , x_0})_{l/k}\] associé à \(\hat x\) ; voir le Lemme 07WX. Le lemme résulte donc de Théorie des déformations formelles, Lemme 07WD.

Le lemme suivant est une autre vérification de cohérence. Il exprime essentiellement que, si \(x\) est versel en \(u_0\) comme dans la Définition 07XF, alors \(x\), considéré comme morphisme de \(U\) vers \(\mathcal{X}\), est lisse après tout changement de base par un schéma.

Lemme

Soient \(S\), \(\mathcal{X}\), \(U\), \(x\), \(u_0\) comme dans la Définition 07XF. Supposons que

  1. \(\Delta : \mathcal{X} \to \mathcal{X} \times \mathcal{X}\) soit représentable par des espaces algébriques,

  2. \(\Delta\) soit localement de type fini (par exemple si \(\mathcal{X}\) commute aux limites), et

  3. \(\mathcal{X}\) vérifie (RS).

Soit \(V\) un schéma localement de type fini sur \(S\) et soit \(y\) un objet de \(\mathcal{X}\) au-dessus de \(V\). Formons le \(2\)-produit fibré \[\xymatrix{ \mathcal{Z} \ar[r] \ar[d] & (\Sch/U)_{fppf} \ar[d]^x \\ (\Sch/V)_{fppf} \ar[r]^y & \mathcal{X} }\] Soit \(Z\) l’espace algébrique qui représente \(\mathcal{Z}\), et soit \(z_0 \in |Z|\) un point de type fini au-dessus de \(u_0\). Si \(x\) est versel en \(u_0\), alors le morphisme \(Z \to V\) est lisse en \(z_0\).

Démonstration

(La remarque entre parenthèses dans l’énoncé résulte du Lemme 0CXI.) L’espace \(Z\) existe par l’hypothèse (1) et Champs algébriques, Lemme 045G. Par l’hypothèse (2), nous voyons que \(Z \to V \times_S U\) est localement de type fini. Choisissons un schéma \(W\), un point fermé \(w_0 \in W\) et un morphisme étale \(W \to Z\) envoyant \(w_0\) sur \(z_0\) ; voir Morphismes d’espaces, Définition 06EG. Alors \(W\) est localement de type fini sur \(S\) et \(w_0\) est un point de type fini de \(W\). Posons \(l = \kappa(z_0)\). Notons \(z_{l, 0}\), \(v_{l, 0}\), \(u_{l, 0}\) et \(x_{l, 0}\) les objets de \(\mathcal{Z}\), \((\Sch/V)_{fppf}\), \((\Sch/U)_{fppf}\) et \(\mathcal{X}\) au-dessus de \(\Spec(l)\) obtenus par image réciproque sur \(\Spec(l) = w_0\). Considérons \[\xymatrix{ \mathcal{F}_{(\Sch/W)_{fppf}, l, w_0} \ar[r] & \mathcal{F}_{\mathcal{Z}, l, z_{l, 0}} \ar[d] \ar[r] & \mathcal{F}_{(\Sch/U)_{fppf}, l, u_{l, 0}} \ar[d] \\ & \mathcal{F}_{(\Sch/V)_{fppf}, l, v_{l, 0}} \ar[r] & \mathcal{F}_{\mathcal{X}, l, x_{l, 0}} }\] D’après le Lemme 07WL, le carré est un produit fibré de catégories de prédéformation. D’après le Lemme 07XG, la flèche verticale de droite est lisse. D’après Théorie des déformations formelles, Lemme 06HM, la flèche verticale de gauche est lisse. D’après le Lemme 07WK, la flèche horizontale de gauche est lisse. Nous en concluons que l’application \[\mathcal{F}_{(\Sch/W)_{fppf}, l, w_0} \to \mathcal{F}_{(\Sch/V)_{fppf}, l, v_{l, 0}}\] est lisse d’après Théorie des déformations formelles, Lemme 06HM. Nous en déduisons que \(W \to V\) est lisse en \(w_0\) d’après Compléments sur les morphismes, Lemme 02HX. Cela signifie précisément que \(Z \to V\) est lisse en \(z_0\), ce qui achève la démonstration.

Reformulons le résultat d’approximation au moyen des objets versels.

Lemme

Soit \(S\) un schéma localement noethérien. Soit \(p : \mathcal{X} \to (\Sch/S)_{fppf}\) une catégorie fibrée en groupoïdes. Soit \(\xi = (R, \xi_n, f_n)\) un objet formel de \(\mathcal{X}\) dont \(\xi_1\) est au-dessus de \(\Spec(k) \to S\), d’image \(s \in S\). Supposons que

  1. \(\xi\) soit versel,

  2. \(\xi\) soit effectif,

  3. \(\mathcal{O}_{S, s}\) soit un anneau G, et

  4. \(p : \mathcal{X} \to (\Sch/S)_{fppf}\) commute aux limites sur les objets.

Alors il existe un morphisme de type fini \(U \to S\), un point de type fini \(u_0 \in U\) de corps résiduel \(k\), et un objet \(x\) de \(\mathcal{X}\) au-dessus de \(U\), tel que \(x\) soit versel en \(u_0\) et que \(x|_{\Spec(\mathcal{O}_{U, u_0}/\mathfrak m_{u_0}^n)} \cong \xi_n\).

Démonstration

Choisissons un objet \(x_R\) de \(\mathcal{X}\) au-dessus de \(\Spec(R)\) dont l’objet formel associé est \(\xi\). Posons \(N = 2\) et appliquons le Lemme 07XB. Nous obtenons \(A, \mathfrak m_A, x_A, \ldots\). Soit \(\eta = (A^\wedge, \eta_n, g_n)\) l’objet formel associé à \(x_A|_{\Spec(A^\wedge)}\). Nous avons un diagramme \[\vcenter{ \xymatrix{ & \eta \ar[d] \\ \xi \ar[r] \ar@{..>}[ru] & \xi_2 = \eta_2 } } \quad\text{au-dessus de}\quad \vcenter{ \xymatrix{ & A^\wedge \ar[d] \\ R \ar[r] \ar@{..>}[ru] & R/\mathfrak m_R^2 = A/\mathfrak m_A^2 } }\] La versalité de \(\xi\) signifie précisément que nous pouvons construire les flèches pointillées dans les diagrammes, car nous pouvons construire successivement des morphismes \(\xi \to \eta_3\), \(\xi \to \eta_4\), et ainsi de suite, d’après Théorie des déformations formelles, Remarque 06HS. L’homomorphisme d’anneaux correspondant \(R \to A^\wedge\) est surjectif d’après Théorie des déformations formelles, Lemme 06GZ. D’autre part, nous avons \(\dim_k \mathfrak m_R^n/\mathfrak m_R^{n + 1} = \dim_k \mathfrak m_A^n/\mathfrak m_A^{n + 1}\) pour tout \(n\), par construction. Ainsi, \(R/\mathfrak m_R^n\) et \(A/\mathfrak m_A^n\) ont la même longueur (finie) comme \(\Lambda\)-modules, par additivité de la longueur et d’après Théorie des déformations formelles, Lemme 06GG. Il s’ensuit que \(R/\mathfrak m_R^n \to A/\mathfrak m_A^n\) est un isomorphisme pour tout \(n\) ; par conséquent, \(R \to A^\wedge\) est un isomorphisme. Ainsi, \(\eta\) est isomorphe à un objet versel, donc est lui-même versel. D’après le Lemme 0CXK, nous concluons que \(x_A\) est versel au point \(u_0\) de \(U = \Spec(A)\) correspondant à \(\mathfrak m_A\).

Exemple

Dans cet exemple, nous montrons que l’anneau local \(\mathcal{O}_{S, s}\) doit être un anneau G pour que le résultat du Lemme 07XH soit vrai. En effet, soit \(\Lambda\) un anneau noethérien et soit \(\mathfrak m\) un idéal maximal de \(\Lambda\). Posons \(R = \Lambda_\mathfrak m^\wedge\). Soit \(\Lambda \to C \to R\) une factorisation où \(C\) est de type fini sur \(\Lambda\). Posons \(S = \Spec(\Lambda)\), \(U = S \setminus \{\mathfrak m\}\) et \(S' = U \amalg \Spec(C)\). Considérons le foncteur \(F : (\Sch/S)_{fppf}^{opp} \to \textit{Ensembles}\) défini par la règle \[F(T) = \left\{ \begin{matrix} * & \text{si }T \to S\text{ se factorise par }S' \\ \emptyset & \text{sinon} \end{matrix} \right.\] Soit \(\mathcal{X} = \mathcal{S}_F\) la catégorie fibrée en ensembles associée à \(F\) ; voir Champs algébriques, section 04SU. Alors \(\mathcal{X} \to (\Sch/S)_{fppf}\) commute aux limites sur les objets, et il existe un objet formel effectif et versel \(\xi\) sur \(R\). Ainsi, si la conclusion du Lemme 07XH vaut pour \(\mathcal{X}\), alors il existe un homomorphisme d’anneaux de type fini \(\Lambda \to A\) et un idéal maximal \(\mathfrak m_A\) au-dessus de \(\mathfrak m\) tels que

  1. \(\kappa(\mathfrak m) = \kappa(\mathfrak m_A)\),

  2. \(\Lambda \to A\) et \(\mathfrak m_A\) vérifient la condition (4) du Lemme 02HT d’Algèbre, et

  3. il existe un homomorphisme de \(\Lambda\)-algèbres \(C \to A\).

Ainsi, \(\Lambda \to A\) est lisse en \(\mathfrak m_A\) d’après le lemme cité. Après une localisation puis un passage au quotient convenables de \(A\), nous pouvons supposer que \(\Lambda \to A\) est étale en \(\mathfrak m_A\) ; voir par exemple Compléments sur les morphismes, Lemme 057G, ou le vérifier directement. Écrivons \(C = \Lambda[y_1, \ldots, y_n]/(f_1, \ldots, f_m)\). Alors \(C \to R\) correspond à une solution dans \(R\) du système d’équations \(f_1 = \ldots = f_m = 0\) ; voir Lissage des homomorphismes d’anneaux, section 07QX. Par conséquent, si la conclusion du Lemme 07XH vaut pour tout \(\mathcal{X}\) comme ci-dessus, alors tout système d’équations qui possède une solution dans \(R\) possède une solution dans l’hensélisé de \(\Lambda_{\mathfrak m}\). Autrement dit, la propriété d’approximation vaut pour \(\Lambda_{\mathfrak m}^h\). Cela implique que \(\Lambda_{\mathfrak m}^h\) est un anneau G (insérer ici une référence ultérieure ; voir aussi la discussion dans Lissage des homomorphismes d’anneaux, section 07BX), ce qui implique à son tour que \(\Lambda_{\mathfrak m}\) est un anneau G.

Ouverture de la versalité

Nous abordons maintenant l’ouverture de la versalité.

Définition

Soit \(S\) un schéma localement noethérien.

  1. Soit \(\mathcal{X}\) une catégorie fibrée en groupoïdes sur \((\Sch/S)_{fppf}\). Nous disons que \(\mathcal{X}\) vérifie l’ouverture de la versalité si, étant donnés un schéma \(U\) localement de type fini sur \(S\), un objet \(x\) de \(\mathcal{X}\) au-dessus de \(U\) et un point de type fini \(u_0 \in U\) tel que \(x\) soit versel en \(u_0\), il existe un voisinage ouvert \(u_0 \in U' \subset U\) tel que \(x\) soit versel en tout point de type fini de \(U'\).

  2. Soit \(f : \mathcal{X} \to \mathcal{Y}\) un \(1\)-morphisme de catégories fibrées en groupoïdes sur \((\Sch/S)_{fppf}\). Nous disons que \(f\) vérifie l’ouverture de la versalité si, étant donnés un schéma \(U\) localement de type fini sur \(S\) et un objet \(y\) de \(\mathcal{Y}\) au-dessus de \(U\), l’ouverture de la versalité vaut pour \((\Sch/U)_{fppf} \times_\mathcal{Y} \mathcal{X}\).

L’ouverture de la versalité est souvent la condition la plus difficile à vérifier. L’exemple suivant montre néanmoins qu’il est nécessaire de l’imposer.

Exemple

Soit \(k\) un corps et posons \(\Lambda = k[s, t]\). Considérons le foncteur \(F : \Lambda\text{-algèbres} \longrightarrow \textit{Ensembles}\) défini par la règle \[F(A) = \left\{ \begin{matrix} * & \text{s'il existe }f_1, \ldots, f_n \in A\text{ tels que } \\ & A = (s, t, f_1, \ldots, f_n)\text{ et } f_i s = 0\ \forall i \\ \emptyset & \text{sinon} \end{matrix} \right.\] Géométriquement, \(F(A) = *\) signifie qu’il existe un voisinage ouvert quasi-compact \(W\) de \(V(s, t) \subset \Spec(A)\) tel que \(s|_W = 0\). Soit \(\mathcal{X} \subset (\Sch/\Spec(\Lambda))_{fppf}\) la sous-catégorie pleine formée des schémas \(T\) qui admettent un recouvrement ouvert affine \(T = \bigcup \Spec(A_j)\) tel que \(F(A_j) = *\) pour tout \(j\). Alors \(\mathcal{X}\) vérifie [0], [1], [2], [3] et [4], mais pas [5]. En effet, au-dessus de \(U = \Spec(k[s, t]/(s))\), il existe un objet \(x\) qui est versel en \(u_0 = (s, t)\), mais qui ne l’est en aucun autre point. Nous omettons les détails.

Soit \(S\) un schéma localement noethérien. Soit \(f : \mathcal{X} \to \mathcal{Y}\) un \(1\)-morphisme de catégories fibrées en groupoïdes sur \((\Sch/S)_{fppf}\). Considérons la propriété suivante : [07XS]\[\begin{equation} \begin{matrix} \text{pour tout corps }k\text{ de type fini sur }S \text{ et tout }x_0 \in \Ob(\mathcal{X}_{\Spec(k)})\text{,}\\ \text{ l'application } \mathcal{F}_{\mathcal{X}, k, x_0} \to \mathcal{F}_{\mathcal{Y}, k, f(x_0)} \text{ de catégories de prédéformation est lisse} \end{matrix} \end{equation}\] Formulons quelques lemmes concernant cette notion. Nous la relions d’abord à (l’ouverture de) la versalité.

Lemme

Soit \(S\) un schéma localement noethérien. Soit \(\mathcal{X}\) une catégorie fibrée en groupoïdes sur \((\Sch/S)_{fppf}\). Soit \(U\) un schéma localement de type fini sur \(S\). Soit \(x\) un objet de \(\mathcal{X}\) au-dessus de \(U\). Supposons que \(x\) soit versel en tout point de type fini de \(U\) et que \(\mathcal{X}\) vérifie (RS). Alors \(x : (\Sch/U)_{fppf} \to \mathcal{X}\) vérifie (07XS).

Démonstration

Soit \(\Spec(l) \to U\) un morphisme où \(l\) est de type fini sur \(S\). Alors l’image \(u_0 \in U\) est un point de type fini de \(U\), et \(l/\kappa(u_0)\) est une extension finie ; voir la discussion dans Morphismes, section 01T9. Par conséquent, \(\mathcal{F}_{(\Sch/U)_{fppf}, l, u_{l, 0}} \to \mathcal{F}_{\mathcal{X}, l, x_{l, 0}}\) est lisse d’après le Lemme 07XG.

Lemme

Soit \(S\) un schéma localement noethérien. Soient \(f : \mathcal{X} \to \mathcal{Y}\) et \(g : \mathcal{Y} \to \mathcal{Z}\) deux \(1\)-morphismes composables de catégories fibrées en groupoïdes sur \((\Sch/S)_{fppf}\). Si \(f\) et \(g\) vérifient (07XS), alors \(g \circ f\) la vérifie aussi.

Démonstration

Cela résulte formellement de Théorie des déformations formelles, Lemme 06HM.

Lemme

Soit \(S\) un schéma localement noethérien. Soient \(f : \mathcal{X} \to \mathcal{Y}\) et \(\mathcal{Z} \to \mathcal{Y}\) des \(1\)-morphismes de catégories fibrées en groupoïdes sur \((\Sch/S)_{fppf}\). Si \(f\) vérifie (07XS), alors la projection \(\mathcal{X} \times_\mathcal{Y} \mathcal{Z} \to \mathcal{Z}\) la vérifie aussi.

Démonstration

Cela résulte immédiatement du Lemme 07WL et de Théorie des déformations formelles, Lemme 06HM.

Lemme

Soit \(S\) un schéma localement noethérien. Soit \(f : \mathcal{X} \to \mathcal{Y}\) un \(1\)-morphisme de catégories fibrées en groupoïdes sur \((\Sch/S)_{fppf}\). Si \(f\) est formellement lisse sur les objets, alors \(f\) vérifie (07XS). Si \(f\) est représentable par des espaces algébriques et lisse, alors \(f\) vérifie (07XS).

Démonstration

C’est une reformulation du Lemme 07WK.

Lemme

Soit \(S\) un schéma localement noethérien. Soit \(f : \mathcal{X} \to \mathcal{Y}\) un \(1\)-morphisme de catégories fibrées en groupoïdes sur \((\Sch/S)_{fppf}\). Supposons que

  1. \(f\) soit représentable par des espaces algébriques,

  2. \(f\) vérifie (07XS),

  3. \(\mathcal{X} \to (\Sch/S)_{fppf}\) commute aux limites sur les objets, et

  4. \(\mathcal{Y}\) commute aux limites.

Alors \(f\) est lisse.

Démonstration

L’ingrédient clé de la démonstration est Compléments sur les morphismes, Lemme 02HX, qui affirme presque qu’un morphisme de schémas de type fini sur \(S\) vérifiant (07XS) est un morphisme lisse. Les autres arguments de la démonstration se réduisent essentiellement à des vérifications de compatibilité.

Soit \(V\) un schéma sur \(S\) et soit \(y\) un objet de \(\mathcal{Y}\) au-dessus de \(V\). Soit \(Z\) un espace algébrique représentant le \(2\)-produit fibré \(\mathcal{Z} = \mathcal{X} \times_{f, \mathcal{X}, y} (\Sch/V)_{fppf}\). Nous devons montrer que le morphisme de projection \(Z \to V\) est lisse ; voir Champs algébriques, Définition 03YK. Il suffit même de le faire lorsque \(V\) est un schéma affine localement de présentation finie sur \(S\) ; voir Critères de représentabilité, Lemme 07WI. Alors \((\Sch/V)_{fppf}\) commute aux limites d’après le Lemme 07XN. Par conséquent, \(Z \to S\) est localement de présentation finie d’après les Lemmes 07XM et 07XN. Choisissons un schéma \(W\) et un morphisme étale surjectif \(W \to Z\). Alors \(W\) est localement de présentation finie sur \(S\).

Puisque \(f\) vérifie (07XS), il en est de même de \(\mathcal{Z} \to (\Sch/V)_{fppf}\) ; voir le Lemme 07XV. Ensuite, \((\Sch/W)_{fppf} \to \mathcal{Z}\) vérifie (07XS) d’après le Lemme 07XW. Ainsi, le composé \[(\Sch/W)_{fppf} \to \mathcal{Z} \to (\Sch/V)_{fppf}\] vérifie (07XS) d’après le Lemme 07XU. Compléments sur les morphismes, Lemme 02HX, montre que le composé \(W \to Z \to V\) est lisse en tout point de type fini \(w_0\) de \(W\). Le lieu de lissité étant ouvert, nous en concluons que \(W \to V\) est un morphisme lisse de schémas d’après Morphismes, Lemme 02J4. Nous en concluons que \(Z \to V\) est un morphisme lisse d’espaces algébriques, par définition.

Le lemme ci-dessous indique comment nous utiliserons l’ouverture de la versalité.

Lemme

Soit \(S\) un schéma localement noethérien. Soit \(p : \mathcal{X} \to (\Sch/S)_{fppf}\) une catégorie fibrée en groupoïdes. Soit \(k\) un corps de type fini sur \(S\) et soit \(x_0\) un objet de \(\mathcal{X}\) au-dessus de \(\Spec(k)\), d’image \(s \in S\). Supposons que

  1. \(\Delta : \mathcal{X} \to \mathcal{X} \times \mathcal{X}\) soit représentable par des espaces algébriques,

  2. \(\mathcal{X}\) vérifie les axiomes [1], [2], [3] (voir la section 07XJ),

  3. tout objet formel de \(\mathcal{X}\) soit effectif,

  4. l’ouverture de la versalité vaille pour \(\mathcal{X}\), et

  5. \(\mathcal{O}_{S, s}\) soit un anneau G.

Alors il existe un morphisme de type fini \(U \to S\) et un objet \(x\) de \(\mathcal{X}\) au-dessus de \(U\) tels que \[x : (\Sch/U)_{fppf} \longrightarrow \mathcal{X}\] soit lisse et qu’il existe un point de type fini \(u_0 \in U\) de corps résiduel \(k\) tel que \(x|_{u_0} \cong x_0\).

Démonstration

Par l’axiome [2], le Lemme 07WU et la Remarque 07WV, nous voyons que \(\mathcal{F}_{\mathcal{X}, k, x_0}\) vérifie (S1) et (S2). Comme l’espace tangent est en outre de dimension finie par l’axiome [3], nous déduisons de Théorie des déformations formelles, Lemme 06IW, que \(\mathcal{F}_{\mathcal{X}, k, x_0}\) possède un objet formel versel \(\xi\). L’hypothèse (3) affirme que \(\xi\) est effectif. Par l’axiome [1] et le Lemme 07XH, il existe un morphisme de type fini \(U \to S\), un objet \(x\) de \(\mathcal{X}\) au-dessus de \(U\), et un point de type fini \(u_0\) de \(U\), de corps résiduel \(k\), tels que \(x\) soit versel en \(u_0\) et que \(x|_{\Spec(k)} \cong x_0\). Par l’ouverture de la versalité, quitte à rétrécir \(U\), nous pouvons supposer que \(x\) est versel en tout point de type fini de \(U\). Nous affirmons que \[x : (\Sch/U)_{fppf} \longrightarrow \mathcal{X}\] est lisse, ce qui démontre le lemme. En effet, d’après le Lemme 07XT, \(x\) vérifie (07XS), et le Lemme 07XX achève alors la démonstration.

Axiomes

Soit \(S\) un schéma localement noethérien. Soit \(p : \mathcal{X} \to (\Sch/S)_{fppf}\) une catégorie fibrée en groupoïdes. Voici les axiomes que nous considérerons pour \(\mathcal{X}\).

  1. une condition ensembliste2 que peuvent ignorer les lecteurs que les questions ensemblistes n’intéressent pas,

  2. \(\mathcal{X}\) est un champ en groupoïdes pour la topologie étale,

  3. \(\mathcal{X}\) commute aux limites,

  4. \(\mathcal{X}\) vérifie la condition de Rim–Schlessinger (RS),

  5. les espaces \(T\mathcal{F}_{\mathcal{X}, k, x_0}\) et \(\text{Inf}(\mathcal{F}_{\mathcal{X}, k, x_0})\) sont de dimension finie pour tout \(k\) et tout \(x_0\) ; voir (07WZ) et (07X0),

  6. le foncteur (07X6) est une équivalence,

  7. \(\mathcal{X}\) et \(\Delta : \mathcal{X} \to \mathcal{X} \times \mathcal{X}\) vérifient l’ouverture de la versalité.

Axiomes pour les foncteurs

Soit \(S\) un schéma. Soit \(F : (\Sch/S)_{fppf}^{opp} \to \textit{Ensembles}\) un foncteur. Notons \(\mathcal{X} = \mathcal{S}_F\) la catégorie fibrée en ensembles associée à \(F\), voir Champs algébriques, section 04SU. Dans cette section, nous traduisons les résultats précédents, tels qu’ils s’appliquent à \(\mathcal{X}\), en énoncés portant sur \(F\).

Soit \(S\) un schéma localement noethérien. Soit \(F : (\Sch/S)_{fppf}^{opp} \to \textit{Ensembles}\) un foncteur. Soit \(k\) un corps de type fini sur \(S\). Soit \(x_0 \in F(\Spec(k))\). La catégorie de prédéformations associée (07T4) correspond au foncteur \[F_{k, x_0} : \mathcal{C}_\Lambda \longrightarrow \textit{Ensembles}, \quad A \longmapsto \{x \in F(\Spec(A)) \mid x|_{\Spec(k)} = x_0 \}.\] Rappelons que nous ne distinguons pas les catégories cofibrées en ensembles sur \(\mathcal{C}_\Lambda\) des foncteurs \(\mathcal{C}_\Lambda \to \textit{Ensembles}\), voir Théorie formelle des déformations, Remarques 06GK (06GP). Étant donnée une transformation de foncteurs \(a : F \to G\), en posant \(y_0 = a(x_0)\), nous obtenons un morphisme \[F_{k, x_0} \longrightarrow G_{k, y_0}\] voir (07WJ). Le Lemme 07WK nous dit que si \(a : F \to G\) est formellement lisse (au sens de Compléments sur les morphismes d’espaces, Définition 049S), alors \(F_{k, x_0} \longrightarrow G_{k, y_0}\) est lisse au sens de Théorie formelle des déformations, Remarque 06HJ.

Le Lemme 07WN dit que si \(Y' = Y \amalg_X X'\) dans la catégorie des schémas sur \(S\), où \(X \to X'\) est un épaississement et \(X \to Y\) est affine, alors l’application \[F(Y \amalg_X X') \to F(Y) \times_{F(X)} F(X')\] est une bijection, pourvu que \(F\) soit un espace algébrique. Nous disons qu’un foncteur \(F\) vérifie la condition de Rim-Schlessinger ou que \(F\) vérifie (RS) si, pour toute somme amalgamée \(Y' = Y \amalg_X X'\), où \(Y, X, X'\) sont les spectres d’anneaux artiniens locaux de type fini sur \(S\), l’application \[F(Y \amalg_X X') \to F(Y) \times_{F(X)} F(X')\] est une bijection. Ainsi, tout espace algébrique vérifie (RS).

Le Lemme 07WU dit que, si un foncteur \(F\) vérifie (RS), alors tous les \(F_{k, x_0}\) sont des foncteurs de déformations au sens de Théorie formelle des déformations, Définition 06J9, c’est-à-dire qu’ils vérifient la condition (RS) au sens de Théorie formelle des déformations, Remarque 06J6. En particulier, l’espace tangent \[TF_{k, x_0} = \{x \in F(\Spec(k[\epsilon])) \mid x|_{\Spec(k)} = x_0\}\] est muni d’une structure de \(k\)-espace vectoriel par Théorie formelle des déformations, Lemme 06IH.

Le Lemme 07X1 dit qu’un espace algébrique \(F\) localement de type fini sur \(S\) donne naissance à des foncteurs de déformations \(F_{k, x_0}\) dont les espaces tangents \(TF_{k, x_0}\) sont de dimension finie.

Un objet formel3 \(\xi = (R, \xi_n)\) de \(F\) consiste en une algèbre noethérienne locale complète sur \(S\), notée \(R\), dont le corps résiduel est de type fini sur \(S\), munie d’éléments \(\xi_n \in F(\Spec(R/\mathfrak m^n))\) tels que \(\xi_{n + 1}|_{\Spec(R/\mathfrak m^n)} = \xi_n\). Un objet formel \(\xi\) définit un objet formel \(\xi\) de \(F_{R/\mathfrak m, \xi_1}\). Nous disons que \(\xi\) est versel si et seulement s’il est versel au sens de Théorie formelle des déformations, Définition 06HR. Un objet formel \(\xi = (R, \xi_n)\) est dit effectif s’il existe \(x \in F(\Spec(R))\) tel que \(\xi_n = x|_{\Spec(R/\mathfrak m^n)}\) pour tout \(n \geq 1\). Le Lemme 07X8 dit que, si \(F\) est un espace algébrique, alors tout objet formel est effectif.

Soit \(U\) un schéma localement de type fini sur \(S\) et soit \(x \in F(U)\). Soit \(u_0 \in U\) un point de type fini. Nous disons que \(x\) est versel en \(u_0\) si et seulement si \(\xi = (\mathcal{O}_{U, u_0}^\wedge, x|_{\Spec(\mathcal{O}_{U, u_0}/\mathfrak m_{u_0}^n)})\) est un objet formel versel au sens décrit ci-dessus.

Soit \(S\) un schéma localement noethérien. Soit \(F : (\Sch/S)_{fppf}^{opp} \to \textit{Ensembles}\) un foncteur. Voici les axiomes que nous considérerons pour \(F\).

  1. une condition ensembliste4 que peuvent ignorer les lecteurs que les questions ensemblistes n’intéressent pas,

  2. \(F\) est un faisceau pour la topologie étale,

  3. \(F\) commute aux limites,

  4. \(F\) vérifie la condition de Rim-Schlessinger (RS),

  5. tout espace tangent \(TF_{k, x_0}\) est de dimension finie,

  6. tout objet formel est effectif,

  7. \(F\) vérifie l’ouverture de la versalité.

Ici, l’expression commute aux limites désigne la notion définie dans Limites d’espaces, Définition 049J, et ouverture de la versalité signifie ce qui suit : étant donnés un schéma \(U\) localement de type fini sur \(S\), un élément \(x \in F(U)\) et un point de type fini \(u_0 \in U\) tel que \(x\) soit versel en \(u_0\), il existe alors un voisinage ouvert \(u_0 \in U' \subset U\) tel que \(x\) soit versel en tout point de type fini de \(U'\).

Espaces algébriques

Voici notre premier résultat principal sur les espaces algébriques.

Proposition

Soit \(S\) un schéma localement noethérien. Soit \(F : (\Sch/S)_{fppf}^{opp} \to \textit{Ensembles}\) un foncteur. Supposons que

  1. \(\Delta : F \to F \times F\) soit représentable par des espaces algébriques,

  2. \(F\) vérifie les axiomes [-1], [0], [1], [2], [3], [4], [5] (voir section 07XZ), et

  3. \(\mathcal{O}_{S, s}\) soit un anneau G pour tout point \(s\) de type fini de \(S\).

Alors \(F\) est un espace algébrique.

Démonstration

Le Lemme 07XY s’applique à \(F\). Nous pouvons donc choisir, pour tout corps \(k\) de type fini sur \(S\) et tout \(x_0 \in F(\Spec(k))\), un schéma affine \(U_{k, x_0}\) de type fini sur \(S\) et un morphisme lisse \(U_{k, x_0} \to F\) tel qu’il existe un point de type fini \(u_{k, x_0} \in U_{k, x_0}\) de corps résiduel \(k\) tel que \(x_0\) soit l’image de \(u_{k, x_0}\). Alors \[U = \coprod\nolimits_{k, x_0} U_{k, x_0} \longrightarrow F\] est lisse5. Pour achever la démonstration, il suffit de montrer que cette application est surjective ; voir Fondements, Lemme 07WF (c’est ici que nous utilisons l’axiome [0]). Par Critères de représentabilité, Lemme 07WI, il suffit de montrer que \(U \times_F V \to V\) est surjectif pour les morphismes \(V \to F\) où \(V\) est un schéma affine localement de présentation finie sur \(S\). Comme \(U \times_F V \to V\) est lisse, son image est ouverte. Il suffit donc de montrer que l’image de \(U \times_F V \to V\) contient tous les points de type fini de \(V\) ; voir Morphismes, Lemme 02J4. Soit \(v_0 \in V\) un point de type fini. Alors \(k = \kappa(v_0)\) est un corps de type fini sur \(S\). Notons \(x_0\) le composé \(\Spec(k) \xrightarrow{v_0} V \to F\). Alors \((u_{k, x_0}, v_0) : \Spec(k) \to U \times_F V\) est un point s’envoyant sur \(v_0\), ce qui donne le résultat.

Lemme

Soit \(S\) un schéma localement noethérien. Soit \(a : F \to G\) une transformation de foncteurs \((\Sch/S)_{fppf}^{opp} \to \textit{Ensembles}\). Supposons que

  1. \(a\) soit injective,

  2. \(F\) vérifie les axiomes [0], [1], [2], [4] et [5],

  3. \(\mathcal{O}_{S, s}\) soit un anneau G pour tout point \(s\) de type fini de \(S\),

  4. \(G\) soit un espace algébrique localement de type fini sur \(S\),

Alors \(F\) est un espace algébrique.

Démonstration

Par le Lemme 07X1, le foncteur \(G\) vérifie [3]. Comme \(F \to G\) est injectif, nous en concluons que \(F\) vérifie aussi [3]. De plus, comme \(F \to G\) est injectif, étant donnés des schémas \(U\), \(V\) et des morphismes \(U \to F\) et \(V \to F\), nous avons \(U \times_F V = U \times_G V\). Ainsi, \(\Delta : F \to F \times F\) est représentable (par des schémas), puisque c’est le cas de \(G\) par hypothèse. La Proposition 07Y1 s’applique donc6.

Champs algébriques

La Proposition 07Y5 est notre premier résultat principal sur les champs algébriques.

Lemme

Soit \(S\) un schéma localement noethérien. Soit \(p : \mathcal{X} \to (\Sch/S)_{fppf}\) une catégorie fibrée en groupoïdes. Supposons que

  1. \(\Delta : \mathcal{X} \to \mathcal{X} \times \mathcal{X}\) soit représentable par des espaces algébriques,

  2. \(\mathcal{X}\) vérifie les axiomes [-1], [0], [1], [2], [3] (voir section 07XJ),

  3. tout objet formel de \(\mathcal{X}\) soit effectif,

  4. \(\mathcal{X}\) vérifie l’ouverture de la versalité, et

  5. \(\mathcal{O}_{S, s}\) soit un anneau G pour tout point \(s\) de type fini de \(S\).

Alors \(\mathcal{X}\) est un champ algébrique.

Démonstration

Le Lemme 07XY s’applique à \(\mathcal{X}\). Nous pouvons donc choisir, pour tout corps \(k\) de type fini sur \(S\) et toute classe d’isomorphisme d’un objet \(x_0 \in \Ob(\mathcal{X}_{\Spec(k)})\), un schéma affine \(U_{k, x_0}\) de type fini sur \(S\) et un morphisme lisse \((\Sch/U_{k, x_0})_{fppf} \to \mathcal{X}\) tel qu’il existe un point de type fini \(u_{k, x_0} \in U_{k, x_0}\) de corps résiduel \(k\) tel que \(x_0\) soit l’image de \(u_{k, x_0}\). Alors \[(\Sch/U)_{fppf} \to \mathcal{X}, \quad\text{avec}\quad U = \coprod\nolimits_{k, x_0} U_{k, x_0}\] est lisse7. Pour achever la démonstration, il suffit de montrer que cette application est surjective ; voir Critères de représentabilité, Lemme 076V (c’est ici que nous utilisons l’axiome [0]). Par Critères de représentabilité, Lemme 07WI, il suffit de montrer que \((\Sch/U)_{fppf} \times_\mathcal{X} (\Sch/V)_{fppf} \to (\Sch/V)_{fppf}\) est surjectif pour les morphismes \(y : (\Sch/V)_{fppf} \to \mathcal{X}\) où \(V\) est un schéma affine localement de présentation finie sur \(S\). Par l’hypothèse (1), le produit fibré \((\Sch/U)_{fppf} \times_\mathcal{X} (\Sch/V)_{fppf}\) est représentable par un espace algébrique \(W\). Alors \(W \to V\) est lisse, donc son image est ouverte. Il suffit donc de montrer que l’image de \(W \to V\) contient tous les points de type fini de \(V\) ; voir Morphismes, Lemme 02J4. Soit \(v_0 \in V\) un point de type fini. Alors \(k = \kappa(v_0)\) est un corps de type fini sur \(S\). Notons \(x_0 = y|_{\Spec(k)}\) l’image réciproque de \(y\) par \(v_0\). Alors \((u_{k, x_0}, v_0)\) fournit un morphisme \(\Spec(k) \to W\) dont le composé avec \(W \to V\) est \(v_0\), ce qui donne le résultat.

Proposition

Soit \(S\) un schéma localement noethérien. Soit \(p : \mathcal{X} \to (\Sch/S)_{fppf}\) une catégorie fibrée en groupoïdes. Supposons que

  1. \(\Delta_\Delta : \mathcal{X} \to \mathcal{X} \times_{\mathcal{X} \times \mathcal{X}} \mathcal{X}\) soit représentable par des espaces algébriques,

  2. \(\mathcal{X}\) vérifie les axiomes [-1], [0], [1], [2], [3], [4] et [5] (voir section 07XJ),

  3. \(\mathcal{O}_{S, s}\) soit un anneau G pour tout point \(s\) de type fini de \(S\).

Alors \(\mathcal{X}\) est un champ algébrique.

Démonstration

Nous montrons d’abord que \(\Delta : \mathcal{X} \to \mathcal{X} \times \mathcal{X}\) est représentable par des espaces algébriques. Pour cela, il suffit de montrer que \[\mathcal{Y} = \mathcal{X} \times_{\Delta, \mathcal{X} \times \mathcal{X}, y} (\Sch/V)_{fppf}\] est représentable par un espace algébrique pour tout schéma affine \(V\) localement de présentation finie sur \(S\) et tout objet \(y\) de \(\mathcal{X} \times \mathcal{X}\) au-dessus de \(V\) ; voir Critères de représentabilité, Lemme 07WH8. Observons que \(\mathcal{Y}\) est fibrée en catégories discrètes (Champs, Lemme 04SI) et soit \(Y : (\Sch/S)_{fppf}^{opp} \to \textit{Ensembles}\) le foncteur \(T \mapsto \Ob(\mathcal{Y}_T)/\cong\) des classes d’isomorphisme. Nous appliquerons la Proposition 07Y1 pour voir que \(Y\) est un espace algébrique.

Notons que \(\Delta_\mathcal{Y} : \mathcal{Y} \to \mathcal{Y} \times \mathcal{Y}\) (et donc aussi \(Y \to Y \times Y\)) est représentable par des espaces algébriques par la condition (1) et Critères de représentabilité, Lemme 07WG. Observons que \(Y\) est un faisceau pour la topologie étale par Champs, Lemmes 0432 et 05UI, c’est-à-dire que l’axiome [0] est satisfait. De plus, \(Y\) commute aux limites par le Lemme 07XM, c’est-à-dire que [1] est satisfait. Notons que \(Y\) vérifie (RS), c’est-à-dire l’axiome [2], par les Lemmes 07WQ et 07WR. L’axiome [3] pour \(Y\) résulte des Lemmes 07X1 et 07X2. L’axiome [4] résulte des Lemmes 07X8 et 07X9. L’axiome [5] pour \(Y\) résulte directement de l’ouverture de la versalité pour \(\Delta_\mathcal{X}\), qui fait partie de l’axiome [5] pour \(\mathcal{X}\). Ainsi, toutes les hypothèses de la Proposition 07Y1 sont satisfaites et \(Y\) est un espace algébrique.

À ce stade, il résulte du Lemme 07Y4 que \(\mathcal{X}\) est un champ algébrique.

Condition de Rim-Schlessinger forte

Dans la suite de ce chapitre, la version strictement plus forte suivante des conditions de Rim-Schlessinger jouera un rôle important.

Définition

Soit \(S\) un schéma. Soit \(\mathcal{X}\) une catégorie fibrée en groupoïdes sur \((\Sch/S)_{fppf}\). Nous disons que \(\mathcal{X}\) vérifie la condition (RS*) si, pour tout diagramme de produit fibré \[\xymatrix{ B' \ar[r] & B \\ A' = A \times_B B' \ar[u] \ar[r] & A \ar[u] }\] de \(S\)-algèbres, où \(B' \to B\) est surjectif et de noyau de carré nul, le foncteur entre les catégories fibres \[\mathcal{X}_{\Spec(A')} \longrightarrow \mathcal{X}_{\Spec(A)} \times_{\mathcal{X}_{\Spec(B)}} \mathcal{X}_{\Spec(B')}\] est une équivalence de catégories.

Faisons quelques observations : pour \(A \to B \leftarrow B'\) comme dans la Définition 07Y8,

  1. nous avons \(\Spec(A') = \Spec(A) \amalg_{\Spec(B)} \Spec(B')\) dans la catégorie des schémas ; voir Compléments sur les morphismes, Lemme 07RT, et

  2. si \(\mathcal{X}\) est un champ algébrique, alors \(\mathcal{X}\) vérifie (RS*) par le Lemme 0CXP.

Si \(S\) est localement noethérien, alors

  1. si \(A\), \(B\), \(B'\) sont de type fini sur \(S\) et si \(B\) est fini sur \(A\), alors \(A'\) est de type fini sur \(S\)9, et

  2. si \(\mathcal{X}\) vérifie (RS*), alors \(\mathcal{X}\) vérifie (RS), car (RS) recouvre exactement les cas de (RS*) où \(A\), \(B\), \(B'\) sont artiniens locaux.

Lemme

Soit \(\mathcal{X}\) un champ algébrique sur une base \(S\). Alors \(\mathcal{X}\) vérifie (RS*).

Démonstration

Cela résulte du Lemme 07WN ; voir les remarques qui suivent la Définition 07Y8.

Lemme

Soit \(S\) un schéma. Soient \(p : \mathcal{X} \to \mathcal{Y}\) et \(q : \mathcal{Z} \to \mathcal{Y}\) des \(1\)-morphismes de catégories fibrées en groupoïdes sur \((\Sch/S)_{fppf}\). Si \(\mathcal{X}\), \(\mathcal{Y}\) et \(\mathcal{Z}\) vérifient (RS*), alors il en va de même de \(\mathcal{X} \times_\mathcal{Y} \mathcal{Z}\).

Démonstration

La démonstration est exactement la même que celle du Lemme 07WR.

Versalité et générisations

Nous montrons que la versalité se conserve par générisation pour les champs qui vérifient (RS*) et commutent aux limites. Nous suggérons d’omettre cette section en première lecture.

Lemme

Soit \(S\) un schéma localement noethérien. Soit \(\mathcal{X}\) une catégorie fibrée en groupoïdes sur \((\Sch/S)_{fppf}\) vérifiant (RS*). Soit \(x\) un objet de \(\mathcal{X}\) au-dessus d’un schéma affine \(U\) de type fini sur \(S\). Soit \(u \in U\) un point de type fini tel que \(x\) ne soit pas versel en \(u\). Il existe alors un morphisme \(x \to y\) de \(\mathcal{X}\) au-dessus de \(U \to T\) satisfaisant aux conditions suivantes :

  1. le morphisme \(U \to T\) est un épaississement du premier ordre,

  2. nous avons une suite exacte courte \[0 \to \kappa(u) \to \mathcal{O}_T \to \mathcal{O}_U \to 0\]

  3. il n’existe pas de couple \((W, \alpha)\) formé d’un voisinage ouvert \(W \subset T\) de \(u\) et d’un morphisme \(\beta : y|_W \to x\) tel que le composé \[x|_{U \cap W} \xrightarrow{\text{restriction de }x \to y} y|_W \xrightarrow{\beta} x\] soit le morphisme canonique \(x|_{U \cap W} \to x\).

Démonstration

Posons \(R = \mathcal{O}_{U, u}^\wedge\). Soit \(k = \kappa(u)\) le corps résiduel de \(R\). Soit \(\xi\) l’objet formel de \(\mathcal{X}\) au-dessus de \(R\) associé à \(x\). Comme \(x\) n’est pas versel en \(u\), nous voyons que \(\xi\) n’est pas versel ; voir le Lemme 0CXK. D’après la discussion qui suit la Définition 0CXJ, cela signifie que nous pouvons trouver des morphismes \(\xi_1 \to x_A \to x_B\) de \(\mathcal{X}\) au-dessus des immersions fermées \(\Spec(k) \to \Spec(A) \to \Spec(B)\), où \(A, B\) sont des anneaux artiniens locaux de corps résiduel \(k\), un entier \(n \geq 1\) et un diagramme commutatif \[\vcenter{ \xymatrix{ & x_A \ar[ld] \\ \xi_n & \xi_1 \ar[u] \ar[l] } } \quad\text{au-dessus de}\quad \vcenter{ \xymatrix{ & \Spec(A) \ar[ld] \\ \Spec(R/\mathfrak m^n) & \Spec(k) \ar[u] \ar[l] } }\] tels qu’il n’existe pas d’entier \(m \geq n\) et de diagramme commutatif \[\vcenter{ \xymatrix{ & & x_B \ar[lldd] \\ & & x_A \ar[ld] \ar[u] \\ \xi_m & \xi_n \ar[l] & \xi_1 \ar[u] \ar[l] } } \quad\text{au-dessus de} \vcenter{ \xymatrix{ & & \Spec(B) \ar[lldd] \\ & & \Spec(A) \ar[ld] \ar[u] \\ \Spec(R/\mathfrak m^m) & \Spec(R/\mathfrak m^n) \ar[l] & \Spec(k) \ar[u] \ar[l] } }\] Nous pouvons en outre supposer que \(B \to A\) est une petite extension, c’est-à-dire que le noyau \(I\) de la surjection \(B \to A\) est isomorphe à \(k\) comme \(A\)-module. Cela résulte de Théorie formelle des déformations, Remarque 06HS. Nous définissons alors simplement \[T = U \amalg_{\Spec(A)} \Spec(B)\] Grâce à la propriété (RS*), nous trouvons \(y\) au-dessus de \(T\) dont la restriction à \(\Spec(B)\) est \(x_B\) et dont la restriction à \(U\) est \(x\) (cela donne la flèche \(x \to y\) au-dessus de \(U \to T\)). Pour achever la démonstration, vérifions les conditions (1), (2) et (3).

Par construction de la somme amalgamée, nous avons un diagramme commutatif \[\xymatrix{ 0 \ar[r] & I \ar[r] & B \ar[r] & A \ar[r] & 0 \\ 0 \ar[r] & I \ar[r] \ar[u] & \Gamma(T, \mathcal{O}_T) \ar[r] \ar[u] & \Gamma(U, \mathcal{O}_U) \ar[r] \ar[u] & 0 }\] à lignes exactes. Cela démontre immédiatement (1) et (2). Pour achever la démonstration, nous allons raisonner par l’absurde. Supposons donné un couple \((W, \beta)\) comme en (3). Comme \(\Spec(B) \to T\) se factorise par \(W\), nous obtenons le morphisme \[x_B \to y|_W \xrightarrow{\beta} x\] Comme \(B\) est artinien local de corps résiduel \(k = \kappa(u)\), nous voyons que \(x_B \to x\) est au-dessus d’un morphisme \(\Spec(B) \to U\) qui se factorise par \(\Spec(\mathcal{O}_{U, u}/\mathfrak m_u^m)\) pour un certain \(m \geq n\). Autrement dit, \(x_B \to x\) se factorise par \(\xi_m\), ce qui donne un morphisme \(x_B \to \xi_m\). La condition de compatibilité imposée au morphisme \(\alpha\) dans la condition (3) se traduit par la commutativité du diagramme \[\xymatrix{ x_B \ar[d] & x_A \ar[d] \ar[l] \\ \xi_m & \xi_n \ar[l] }\] Cela donne la contradiction recherchée.

Lemme

Soit \(S\) un schéma localement noethérien. Soit \(\mathcal{X}\) une catégorie fibrée en groupoïdes sur \((\Sch/S)_{fppf}\). Supposons que

  1. \(\Delta : \mathcal{X} \to \mathcal{X} \times \mathcal{X}\) soit représentable par des espaces algébriques,

  2. \(\mathcal{X}\) vérifie (RS*),

  3. \(\mathcal{X}\) commute aux limites.

Soit \(x\) un objet de \(\mathcal{X}\) au-dessus d’un schéma \(U\) de type fini sur \(S\). Soit \(u \leadsto u_0\) une spécialisation de points de type fini de \(U\) telle que \(x\) soit versel en \(u_0\). Alors \(x\) est versel en \(u\).

Démonstration

Après avoir rétréci \(U\), nous pouvons supposer que \(U\) est affine et que \(U\) s’envoie dans un ouvert affine \(\Spec(\Lambda)\) de \(S\). Si \(x\) n’est pas versel en \(u\), nous pouvons choisir \(x \to y\) au-dessus de \(U \to T\) comme dans le Lemme 0G2J. Écrivons \(U = \Spec(R_0)\) et \(T = \Spec(R)\). Le morphisme \(U \to T\) correspond à un homomorphisme surjectif d’anneaux \(R \to R_0\) dont le noyau est un idéal de carré nul. Par l’hypothèse (3), \(y\) provient d’un objet \(x'\) au-dessus de \(U' = \Spec(R')\), pour une certaine \(\Lambda\)-sous-algèbre de type fini \(R' \subset R\). En agrandissant \(R'\), nous pouvons supposer, et supposons désormais, que \(R' \to R_0\) est surjectif, de sorte que \(U \subset U'\) est un épaississement du premier ordre. Nous avons donc maintenant \[x \to y \to x' \text{ au-dessus de } U \to T \to U'\] Par l’hypothèse (1), il existe un espace algébrique \(Z\) sur \(S\) représentant \[(\Sch/U)_{fppf} \times_{x, \mathcal{X}, x'} (\Sch/U')_{fppf}\] voir Champs algébriques, Lemme 045G. Par construction des \(2\)-produits fibrés, un point de \(Z\) à valeurs dans \(V\) correspond à un triplet \((a, a', \alpha)\) formé de morphismes \(a : V \to U\), \(a' : V \to U'\) et d’un morphisme \(\alpha : a^*x \to (a')^*x'\). Nous obtenons un diagramme commutatif \[\xymatrix{ U \ar[rd] \ar[rdd] \ar[rrd] \\ & Z \ar[r]_{p'} \ar[d]^p & U' \ar[d] \\ & U \ar[r] & S }\] Le morphisme \(i : U \to Z\) provient de l’isomorphisme \(x \to x'|_U\). Soit \(z_0 = i(u_0) \in Z\). Par le Lemme 0CXM, nous voyons que \(Z \to U'\) est lisse en \(z_0\). En remplaçant \(U\) par un voisinage ouvert affine de \(u_0\), \(U'\) par l’ouvert correspondant et \(Z\) par l’intersection des images réciproques de ces ouverts par \(p\) et \(p'\), nous nous ramenons à la situation où \(Z \to U'\) est lisse le long de \(i(U)\). Comme \(u \leadsto u_0\), le point \(u\) appartient à cet ouvert. La condition (3) du Lemme 0G2J est manifestement préservée lorsque l’on rétrécit \(U\) (tous les schémas \(U\), \(T\), \(U'\) ont le même espace topologique sous-jacent). Comme \(U \to U'\) est un épaississement du premier ordre de schémas affines, nous pouvons choisir un morphisme \(i' : U' \to Z\) tel que \(p' \circ i' = \text{id}_{U'}\) et dont la restriction à \(U\) soit \(i\) (Compléments sur les morphismes d’espaces, Lemme 04AM). En prenant par \(i'\) l’image réciproque du morphisme universel \(p^*x \to (p')^*x'\), nous obtenons un morphisme \[x' \to x\] au-dessus de \(p \circ i' : U' \to U\) tel que le composé \[x \to x' \to x\] soit l’identité. Rappelons que nous avons \(y \to x'\) au-dessus du morphisme \(T \to U'\). En composant, nous obtenons un morphisme \(y \to x\) dont l’existence contredit la condition (3) du Lemme 0G2J. Cette contradiction achève la démonstration.

Effectivité formelle forte

Dans cette section, nous montrons comment une version forte de l’effectivité des objets formels implique l’ouverture de la versalité. La démonstration de [Bhatt-Algebraize, théorème 1.1] montre que les espaces algébriques quasi-compacts et quasi-séparés vérifient l’effectivité formelle forte décrite dans la Remarque 0CXT. En outre, la théorie que nous développons n’est pas vide : nous l’utiliserons plus loin pour démontrer l’ouverture de la versalité pour le champ des faisceaux cohérents et pour le champ de modules de complexes ; voir Quot, Théorèmes 09DS et 0DLN.

Lemme

Soit \(S\) un schéma localement noethérien. Soit \(\mathcal{X}\) une catégorie fibrée en groupoïdes sur \((\Sch/S)_{fppf}\) vérifiant (RS*). Soit \(x\) un objet de \(\mathcal{X}\) au-dessus d’un schéma affine \(U\) de type fini sur \(S\). Soient \(u_n \in U\), \(n \geq 1\), des points de type fini tels que (a) il n’existe aucune spécialisation \(u_n \leadsto u_m\) pour \(n \not = m\), et (b) \(x\) ne soit versel en \(u_n\) pour tout \(n\). Il existe alors des morphismes \[x \to x_1 \to x_2 \to \ldots \quad\text{dans }\mathcal{X}\text{ au-dessus de }\quad U \to U_1 \to U_2 \to \ldots\] sur \(S\) tels que

  1. pour tout \(n\), le morphisme \(U \to U_n\) soit un épaississement du premier ordre,

  2. pour tout \(n\), on ait une suite exacte courte \[0 \to \kappa(u_n) \to \mathcal{O}_{U_n} \to \mathcal{O}_{U_{n - 1}} \to 0\] avec \(U_0 = U\) pour \(n = 1\),

  3. pour tout \(n\), il n’existe pas de couple \((W, \alpha)\) formé d’un voisinage ouvert \(W \subset U_n\) de \(u_n\) et d’un morphisme \(\alpha : x_n|_W \to x\) tel que le composé \[x|_{U \cap W} \xrightarrow{\text{restriction de }x \to x_n} x_n|_W \xrightarrow{\alpha} x\] soit le morphisme canonique \(x|_{U \cap W} \to x\).

Démonstration

Comme il n’y a pas de spécialisations entre les points \(u_n\) (et que les \(u_n\) sont donc en particulier deux à deux distincts), pour tout \(n\) nous pouvons trouver un ouvert \(U' \subset U\) tel que \(u_n \in U'\) et \(u_i \not \in U'\) pour \(i = 1, \ldots, n - 1\). Par le Lemme 0G2J, pour tout \(n \geq 1\), nous pouvons trouver \[x \to y_n \quad\text{dans }\mathcal{X}\text{ au-dessus de}\quad U \to T_n\] tels que

  1. le morphisme \(U \to T_n\) soit un épaississement du premier ordre,

  2. on ait une suite exacte courte \[0 \to \kappa(u_n) \to \mathcal{O}_{T_n} \to \mathcal{O}_U \to 0\]

  3. il n’existe pas de couple \((W, \alpha)\) formé d’un voisinage ouvert \(W \subset T_n\) de \(u_n\) et d’un morphisme \(\beta : y_n|_W \to x\) tel que le composé \[x|_{U \cap W} \xrightarrow{\text{restriction de }x \to y_n} y_n|_W \xrightarrow{\beta} x\] soit le morphisme canonique \(x|_{U \cap W} \to x\).

Nous pouvons donc définir par récurrence \[U_1 = T_1, \quad U_{n + 1} = U_n \amalg_U T_{n + 1}\] En posant \(x_1 = y_1\) et en utilisant (RS*), nous trouvons par récurrence \(x_{n + 1}\) au-dessus de \(U_{n + 1}\) dont la restriction à \(U_n\) est \(x_n\) et dont la restriction à \(T_{n + 1}\) est \(y_{n + 1}\). La propriété (1) de \(U \to U_n\) résulte de la construction de la somme amalgamée dans Compléments sur les morphismes, Lemme 07RT. La propriété (2) pour \(U_n\) résulte de même de la propriété (2) pour \(T_n\) et de la construction de la somme amalgamée. Après restriction à un voisinage ouvert \(U'\) de \(u_n\) comme ci-dessus, la propriété (3) pour \((U_n, x_n)\) résulte de la propriété (3) pour \((T_n, y_n)\), simplement parce que les sous-schémas ouverts correspondants de \(T_n\) et \(U_n\) sont isomorphes. Nous omettons certains détails.

Remarque

Soit \(S\) un schéma localement noethérien. Soit \(\mathcal{X}\) une catégorie fibrée en groupoïdes sur \((\Sch/S)_{fppf}\). Supposons donnés

  1. un ouvert affine \(\Spec(\Lambda) \subset S\),

  2. un système projectif \((R_n)\) de \(\Lambda\)-algèbres à morphismes de transition surjectifs et dont les noyaux sont localement nilpotents,

  3. un système \((\xi_n)\) d’objets de \(\mathcal{X}\) au-dessus du système \((\Spec(R_n))\).

Dans cette situation, posons \(R = \lim R_n\). Nous disons que \((\xi_n)\) est effectif s’il existe un objet \(\xi\) de \(\mathcal{X}\) au-dessus de \(\Spec(R)\) dont la restriction à \(\Spec(R_n)\) redonne le système \((\xi_n)\).

Il n’est pas vrai que tout champ algébrique \(\mathcal{X}\) sur \(S\) vérifie un axiome d’effectivité forte de la forme suivante : tout système \((\xi_n)\) comme dans la Remarque 0CXT est effectif. Un exemple est donné dans Exemples, section 0CXW.

Lemme

Soit \(S\) un schéma localement noethérien. Soit \(\mathcal{X}\) une catégorie fibrée en groupoïdes sur \((\Sch/S)_{fppf}\). Supposons que

  1. \(\Delta : \mathcal{X} \to \mathcal{X} \times \mathcal{X}\) soit représentable par des espaces algébriques,

  2. \(\mathcal{X}\) vérifie (RS*),

  3. \(\mathcal{X}\) commute aux limites,

  4. les systèmes \((\xi_n)\) comme dans la Remarque 0CXT, où \(\Ker(R_m \to R_n)\) est un idéal de carré nul pour tous \(m \geq n\), soient effectifs.

Alors \(\mathcal{X}\) vérifie l’ouverture de la versalité.

Démonstration

Choisissons un schéma \(U\) localement de type fini sur \(S\), un point \(u_0\) de type fini de \(U\) et un objet \(x\) de \(\mathcal{X}\) au-dessus de \(U\), tel que \(x\) soit versel en \(u_0\). Après avoir rétréci \(U\), nous pouvons supposer que \(U\) est affine et que \(U\) s’envoie dans un ouvert affine \(\Spec(\Lambda)\) de \(S\). Soit \(E \subset U\) l’ensemble des points de type fini \(u\) tels que \(x\) ne soit pas versel en \(u\). D’après le Lemme 0G2K, si \(u \in E\), alors \(u_0\) n’est pas une spécialisation de \(u\). Si l’ouverture de la versalité n’est pas satisfaite, alors \(u_0\) appartient à l’adhérence \(\overline{E}\) de \(E\). Par le Lemme 0G2F de Propriétés, nous pouvons choisir un sous-ensemble dénombrable \(E' \subset E\) de même adhérence que \(E\). Par Propriétés, Lemme 0G2R, nous pouvons supposer qu’il n’existe aucune spécialisation entre les points de \(E'\). Observons que \(E'\) doit être (dénombrable) infini, puisque \(u_0\) n’est la spécialisation d’aucun point de \(E'\), comme nous venons de le voir. Nous pouvons donc écrire \(E' = \{u_1, u_2, u_3, \ldots\}\) ; il n’existe aucune spécialisation entre les \(u_i\), et \(u_0\) appartient à l’adhérence de \(E'\).

Choisissons \(x \to x_1 \to x_2 \to \ldots\) au-dessus de \(U \to U_1 \to U_2 \to \ldots\) comme dans le Lemme 0G2S. Écrivons \(U_n = \Spec(R_n)\) et \(U = \Spec(R_0)\). Posons \(R = \lim R_n\). Observons que \(R \to R_0\) est surjectif et que son noyau est un idéal de carré nul. Par l’hypothèse (4), nous obtenons \(\xi\) au-dessus de \(\Spec(R)\) dont le changement de base à \(R_n\) est \(x_n\). Par l’hypothèse (3), \(\xi\) provient d’un objet \(\xi'\) au-dessus de \(U' = \Spec(R')\), pour une certaine \(\Lambda\)-sous-algèbre de type fini \(R' \subset R\). En agrandissant \(R'\), nous pouvons supposer, et supposons désormais, que \(R' \to R_0\) est surjectif, de sorte que \(U \subset U'\) est un épaississement du premier ordre. Nous avons donc maintenant \[x \to x_1 \to x_2 \to \ldots \to \xi' \text{ au-dessus de } U \to U_1 \to U_2 \to \ldots \to U'\] Par l’hypothèse (1), il existe un espace algébrique \(Z\) sur \(S\) représentant \[(\Sch/U)_{fppf} \times_{x, \mathcal{X}, \xi'} (\Sch/U')_{fppf}\] voir Champs algébriques, Lemme 045G. Par construction des \(2\)-produits fibrés, un point de \(Z\) à valeurs dans \(T\) correspond à un triplet \((a, a', \alpha)\) formé de morphismes \(a : T \to U\), \(a' : T \to U'\) et d’un morphisme \(\alpha : a^*x \to (a')^*\xi'\). Nous obtenons un diagramme commutatif \[\xymatrix{ U \ar[rd] \ar[rdd] \ar[rrd] \\ & Z \ar[r]_{p'} \ar[d]^p & U' \ar[d] \\ & U \ar[r] & S }\] Le morphisme \(i : U \to Z\) provient de l’isomorphisme \(x \to \xi'|_U\). Soit \(z_0 = i(u_0) \in Z\). Par le Lemme 0CXM, nous voyons que \(Z \to U'\) est lisse en \(z_0\). En remplaçant \(U\) par un voisinage ouvert affine de \(u_0\), \(U'\) par l’ouvert correspondant et \(Z\) par l’intersection des images réciproques de ces ouverts par \(p\) et \(p'\), nous nous ramenons à la situation où \(Z \to U'\) est lisse le long de \(i(U)\). Notons que cela implique aussi de remplacer la suite \(u_n\) par une sous-suite, à savoir celle correspondant aux indices tels que \(u_n\) appartienne à l’ouvert. De plus, la condition (3) du Lemme 0G2S est manifestement préservée lorsque l’on rétrécit \(U\) (tous les schémas \(U\), \(U_n\), \(U'\) ont le même espace topologique sous-jacent). Comme \(U \to U'\) est un épaississement du premier ordre de schémas affines, nous pouvons choisir un morphisme \(i' : U' \to Z\) tel que \(p' \circ i' = \text{id}_{U'}\) et dont la restriction à \(U\) soit \(i\) (Compléments sur les morphismes d’espaces, Lemme 04AM). En prenant l’image réciproque du morphisme universel \(p^*x \to (p')^*\xi'\) par \(i'\), nous obtenons un morphisme \[\xi' \to x\] au-dessus de \(p \circ i' : U' \to U\) tel que le composé \[x \to \xi' \to x\] soit l’identité. Rappelons que nous avons \(x_1 \to \xi'\) au-dessus du morphisme \(U_1 \to U'\). En composant, nous obtenons un morphisme \(x_1 \to x\) dont l’existence contredit la condition (3) du Lemme 0G2S. Cette contradiction achève la démonstration.

Remarque

Il existe une manière de déduire l’ouverture de la versalité de la diagonale d’une catégorie fibrée en groupoïdes à partir d’un axiome d’effectivité formelle forte. Soit \(S\) un schéma localement noethérien. Soit \(\mathcal{X}\) une catégorie fibrée en groupoïdes sur \((\Sch/S)_{fppf}\). Supposons que

  1. \(\Delta_\Delta : \mathcal{X} \to \mathcal{X} \times_{\mathcal{X} \times \mathcal{X}} \mathcal{X}\) soit représentable par des espaces algébriques,

  2. \(\mathcal{X}\) vérifie (RS*),

  3. \(\mathcal{X}\) commute aux limites,

  4. pour tout système projectif \((R_n)\) de \(S\)-algèbres comme dans la Remarque 0CXT, où \(\Ker(R_m \to R_n)\) est un idéal de carré nul pour tous \(m \geq n\), le foncteur \[\mathcal{X}_{\Spec(\lim R_n)} \longrightarrow \lim_n \mathcal{X}_{\Spec(R_n)}\] soit pleinement fidèle.

Alors \(\Delta : \mathcal{X} \to \mathcal{X} \times \mathcal{X}\) vérifie l’ouverture de la versalité. Cela résulte de l’application du Lemme 0CXU aux produits fibrés de la forme \(\mathcal{X} \times_{\Delta, \mathcal{X} \times \mathcal{X}, y} (\Sch/V)_{fppf}\), pour tout schéma affine \(V\) localement de présentation finie sur \(S\) et tout objet \(y\) de \(\mathcal{X} \times \mathcal{X}\) au-dessus de \(V\). Si jamais nous en avons besoin, nous transformerons cette remarque en un lemme et en donner une démonstration détaillée.

Déformations infinitésimales

Dans cette section, nous étudions une généralisation de la notion d’espace tangent introduite à la section 07WY. Pour le faire de façon naturelle, nous empruntons certaines notations à Théorie formelle des déformations, sections 06I2, 06JD et 06JN.

Soit \(S\) un schéma. Soit \(\mathcal{X}\) une catégorie fibrée en groupoïdes au-dessus de \((\Sch/S)_{fppf}\). Étant donnés un homomorphisme \(A' \to A\) de \(S\)-algèbres et un objet \(x\) de \(\mathcal{X}\) au-dessus de \(\Spec(A)\), nous notons \(\textit{Lift}(x, A')\) la catégorie des relèvements de \(x\) à \(\Spec(A')\). Un objet de \(\textit{Lift}(x, A')\) est un morphisme \(x \to x'\) de \(\mathcal{X}\) au-dessus de \(\Spec(A) \to \Spec(A')\), et les morphismes de \(\textit{Lift}(x, A')\) sont définis par des diagrammes commutatifs. L’ensemble des classes d’isomorphisme de \(\textit{Lift}(x, A')\) est noté \(\text{Lift}(x, A')\). Voir Théorie formelle des déformations, définition 06JE et remarque 06JF. Si \(A' \to A\) est surjectif de noyau localement nilpotent, nous appelons tout élément \(x'\) de \(\text{Lift}(x, A')\) une déformation (infinitésimale) de \(x\). Dans ce cas, le groupe des automorphismes infinitésimaux de \(x'\) au-dessus de \(x\) est le noyau \[\text{Inf}(x'/x) = \Ker\left( \text{Aut}_{\mathcal{X}_{\Spec(A')}}(x') \to \text{Aut}_{\mathcal{X}_{\Spec(A)}}(x)\right)\] Remarquons qu’un élément de \(\text{Inf}(x'/x)\) revient à un relèvement de \(\text{id}_x\) au-dessus de \(\Spec(A')\) pour (la catégorie fibrée en ensembles associée à) \(\mathit{Aut}_\mathcal{X}(x')\). Comparer à Théorie formelle des déformations, définition 06JP et Théorie formelle des déformations, remarque 06JW.

Si \(M\) est un \(A\)-module, nous notons \(A[M]\) la \(A\)-algèbre dont le \(A\)-module sous-jacent est \(A \oplus M\) et dont la multiplication est donnée par \((a, m) \cdot (a', m') = (aa', am' + a'm)\). Lorsque \(M = A\), c’est l’anneau des nombres duaux sur \(A\), que nous notons, comme il est d’usage, \(A[\epsilon]\). Il existe un homomorphisme de \(A\)-algèbres \(A[M] \to A\). L’image inverse de \(x\) sur \(\Spec(A[M])\) est appelée la déformation triviale de \(x\) sur \(\Spec(A[M])\).

Lemme

Soit \(S\) un schéma. Soit \(f : \mathcal{X} \to \mathcal{Y}\) un \(1\)-morphisme de catégories fibrées en groupoïdes au-dessus de \((\Sch/S)_{fppf}\). Soit \[\xymatrix{ B' \ar[r] & B \\ A' \ar[u] \ar[r] & A \ar[u] }\] un diagramme commutatif de \(S\)-algèbres. Soient \(x\) un objet de \(\mathcal{X}\) au-dessus de \(\Spec(A)\), \(y\) un objet de \(\mathcal{Y}\) au-dessus de \(\Spec(B)\), et \(\phi : f(x)|_{\Spec(B)} \to y\) un morphisme de \(\mathcal{Y}\) au-dessus de \(\Spec(B)\). Il existe alors un foncteur canonique \[\textit{Lift}(x, A') \longrightarrow \textit{Lift}(y, B')\] entre catégories de relèvements, induit par \(f\) et \(\phi\). La construction est compatible, de manière évidente, aux compositions de \(1\)-morphismes de catégories fibrées en groupoïdes.

Démonstration

Le lemme résulte immédiatement des définitions.

Soit \(S\) un schéma de base. Soit \(\mathcal{X}\) une catégorie fibrée en groupoïdes au-dessus de \((\Sch/S)_{fppf}\). Nous définissons une catégorie dont les objets sont les couples \((x, A' \to A)\) tels que

  1. \(A' \to A\) soit une surjection de \(S\)-algèbres dont le noyau est un idéal de carré nul ;

  2. \(x\) soit un objet de \(\mathcal{X}\) au-dessus de \(\Spec(A)\).

Un morphisme \((y, B' \to B) \to (x, A' \to A)\) est donné par un diagramme commutatif \[\xymatrix{ B' \ar[r] & B \\ A' \ar[u] \ar[r] & A \ar[u] }\] de \(S\)-algèbres, ainsi que par un morphisme \(x|_{\Spec(B)} \to y\) au-dessus de \(\Spec(B)\). Appelons-la catégorie des situations de déformation.

Lemme

Soit \(S\) un schéma. Soit \(\mathcal{X}\) une catégorie fibrée en groupoïdes au-dessus de \((\Sch/S)_{fppf}\). Supposons que \(\mathcal{X}\) satisfasse la condition (RS*). Soient \(A\) une \(S\)-algèbre et \(x\) un objet de \(\mathcal{X}\) au-dessus de \(\Spec(A)\).

  1. Il existe un foncteur \(A\)-linéaire \(\text{Inf}_x : \text{Mod}_A \to \text{Mod}_A\) tel que, pour toute situation de déformation \((x, A' \to A)\) et tout relèvement \(x'\), il existe un isomorphisme \(\text{Inf}_x(I) \to \text{Inf}(x'/x)\), où \(I = \Ker(A' \to A)\).

  2. Il existe un foncteur \(A\)-linéaire \(T_x : \text{Mod}_A \to \text{Mod}_A\) tel que

    1. pour tout \(M\) dans \(\text{Mod}_A\), il existe une bijection \(T_x(M) \to \text{Lift}(x, A[M])\) ;

    2. pour toute situation de déformation \((x, A' \to A)\), il existe une action \[T_x(I) \times \text{Lift}(x, A') \to \text{Lift}(x, A')\] où \(I = \Ker(A' \to A)\). Elle est simplement transitive si \(\text{Lift}(x, A') \not = \emptyset\).

Démonstration

Nous définissons \(\text{Inf}_x\) comme le foncteur \[\text{Mod}_A \longrightarrow \textit{Ensembles},\quad M \longrightarrow \text{Inf}(x'_M/x) = \text{Lift}(\text{id}_x, A[M])\] qui associe à \(M\) le groupe des automorphismes infinitésimaux de la déformation triviale \(x'_M\) de \(x\) sur \(\Spec(A[M])\), ou, ce qui revient au même, le groupe des relèvements de \(\text{id}_x\) dans \(\mathit{Aut}_\mathcal{X}(x'_M)\). Nous définissons \(T_x\) comme le foncteur \[\text{Mod}_A \longrightarrow \textit{Ensembles},\quad M \longrightarrow \text{Lift}(x, A[M])\] des classes d’isomorphisme de déformations infinitésimales de \(x\) sur \(\Spec(A[M])\). Nous appliquons Théorie formelle des déformations, lemme 06I6 à \(\text{Inf}_x\) et \(T_x\). Ce lemme s’applique, puisque (RS*) nous dit que \[\textit{Lift}(x, A[M \times N]) = \textit{Lift}(x, A[M]) \times \textit{Lift}(x, A[N])\] comme catégories (et que les déformations triviales se correspondent également).

Soit \((x, A' \to A)\) une situation de déformation. Considérons l’homomorphisme d’anneaux \(g : A' \times_A A' \to A[I]\) défini par la règle \(g(a_1, a_2) = \overline{a_1} \oplus a_2 - a_1\). Il existe un isomorphisme \[A' \times_A A' \longrightarrow A' \times_A A[I]\] donné par \((a_1, a_2) \mapsto (a_1, g(a_1, a_2))\). Cet isomorphisme commute aux projections sur \(A'\) par le premier facteur, et donc aux projections sur \(A\). En appliquant deux fois (RS*), nous obtenons ainsi des équivalences de catégories \[\begin{align*} \textit{Lift}(x, A') \times \textit{Lift}(x, A') & = \textit{Lift}(x, A' \times_A A') \\ & = \textit{Lift}(x, A' \times_A A[I]) \\ & = \textit{Lift}(x, A') \times \textit{Lift}(x, A[I]) \end{align*}\] En utilisant ces applications et la projection sur le dernier facteur du dernier produit, nous obtenons des “applications différence” \[\text{Inf}(x'/x) \times \text{Inf}(x'/x) \longrightarrow \text{Inf}_x(I) \quad\text{et}\quad \text{Lift}(x, A') \times \text{Lift}(x, A') \longrightarrow T_x(I)\] Ces applications différence satisfont la règle de transitivité “\((x'_1 - x'_2) + (x'_2 - x'_3) = x'_1 - x'_3\)”, car le diagramme \[\xymatrix{ A' \times_A A' \times_A A' \ar[rrrrr]_-{(a_1, a_2, a_3) \mapsto (g(a_1, a_2), g(a_2, a_3))} \ar[rrrrrd]_{(a_1, a_2, a_3) \mapsto g(a_1, a_3)} & & & & & A[I] \times_A A[I] = A[I \times I] \ar[d]^{+} \\ & & & & & A[I] }\] est commutatif. En inversant la chaîne d’équivalences ci-dessus, nous obtenons une action libre et transitive dès que \(\text{Inf}(x'/x)\), resp. \(\text{Lift}(x, A')\), est non vide. Remarquons que \(\text{Inf}(x'/x)\) est toujours non vide, puisque c’est un groupe.

Remarque

Hypothèses et notations comme dans le lemme 07Y9. Supposons donné un homomorphisme d’anneaux \(A \to B\) et posons \(y = x|_{\Spec(B)}\). Soient \(M \in \text{Mod}_A\), \(N \in \text{Mod}_B\) et \(M \to N\) une application \(A\)-linéaire. Il existe alors des applications canoniques \(\text{Inf}_x(M) \to \text{Inf}_y(N)\) et \(T_x(M) \to T_y(N)\), simplement parce qu’il existe un foncteur d’image inverse \[\textit{Lift}(x, A[M]) \to \textit{Lift}(y, B[N])\] provenant de l’homomorphisme d’anneaux \(A[M] \to B[N]\). De même, tout morphisme de situations de déformation \((y, B' \to B) \to (x, A' \to A)\) induit un foncteur d’image inverse \(\textit{Lift}(x, A') \to \textit{Lift}(y, B')\). Comme la construction de l’action, de l’addition et de la multiplication scalaire sur \(\text{Inf}_x\) et \(T_x\) n’emploie que des morphismes dans les catégories de relèvements (voir la démonstration de Théorie formelle des déformations, lemme 06I6) nous voyons que les constructions précédentes sont fonctorielles. Autrement dit, nous obtenons des applications \(A\)-linéaires \[\text{Inf}_x(M) \to \text{Inf}_y(N) \quad\text{et}\quad T_x(M) \to T_y(N)\] telles que les diagrammes \[\vcenter{ \xymatrix{ \text{Inf}_y(J) \ar[r] & \text{Inf}(y'/y) \\ \text{Inf}_x(I) \ar[r] \ar[u] & \text{Inf}(x'/x) \ar[u] } } \quad\text{et}\quad \vcenter{ \xymatrix{ T_y(J) \times \text{Lift}(y, B') \ar[r] & \text{Lift}(y, B') \\ T_x(I) \times \text{Lift}(x, A') \ar[r] \ar[u] & \text{Lift}(x, A') \ar[u] } }\] sont commutatifs. Ici, \(I = \Ker(A' \to A)\), \(J = \Ker(B' \to B)\), \(x'\) est un relèvement de \(x\) à \(A'\) (qui n’existe pas nécessairement) et \(y' = x'|_{\Spec(B')}\).

Remarque

Hypothèses et notations comme dans le lemme 07Y9. Soient \(x', x''\) des relèvements de \(x\) à \(A'\). Nous disposons alors d’une application de composition \[\text{Inf}(x'/x) \times \Mor_{\textit{Lift}(x, A')}(x', x'') \times \text{Inf}(x''/x) \longrightarrow \Mor_{\textit{Lift}(x, A')}(x', x'').\] Comme \(\textit{Lift}(x, A')\) est un groupoïde, si \(\Mor_{\textit{Lift}(x, A')}(x', x'')\) est non vide, cela définit une action à gauche simplement transitive de \(\text{Inf}(x'/x)\) sur \(\Mor_{\textit{Lift}(x, A')}(x', x'')\) et une action à droite simplement transitive de \(\text{Inf}(x''/x)\). Or le lemme donne \(\text{Inf}(x'/x) = \text{Inf}_x(I) = \text{Inf}(x''/x)\). Nous affirmons que, par ces identifications, les deux actions décrites ci-dessus coïncident. En effet, ou bien \(x' \not \cong x''\), auquel cas l’affirmation est claire, ou bien \(x' \cong x''\) ; dans ce cas, nous pouvons supposer \(x'' = x'\), et le résultat découle alors de la commutativité de \(\text{Inf}(x'/x)\). En particulier, nous obtenons une action bien définie \[\text{Inf}_x(I) \times \Mor_{\textit{Lift}(x, A')}(x', x'') \longrightarrow \Mor_{\textit{Lift}(x, A')}(x', x'')\] qui est simplement transitive dès que \(\Mor_{\textit{Lift}(x, A')}(x', x'')\) est non vide.

Remarque

Soit \(S\) un schéma. Soit \(\mathcal{X}\) une catégorie fibrée en groupoïdes au-dessus de \((\Sch/S)_{fppf}\). Soit \(A\) une \(S\)-algèbre. Il existe une notion de suite exacte courte \[(x, A_1' \to A) \to (x, A_2' \to A) \to (x, A_3' \to A)\] de situations de déformation : nous demandons que les applications correspondantes entre les noyaux \(I_i = \Ker(A_i' \to A)\) donnent une suite exacte courte \[0 \to I_3 \to I_2 \to I_1 \to 0\] de \(A\)-modules. Remarquons que, dans ce cas, l’application \(A_3' \to A_1'\) se factorise par \(A\) ; il existe donc un isomorphisme canonique \(A_1' = A[I_1]\).

Lemme

Soit \(S\) un schéma. Soient \(p : \mathcal{X} \to \mathcal{Y}\) et \(q : \mathcal{Z} \to \mathcal{Y}\) des \(1\)-morphismes de catégories fibrées en groupoïdes au-dessus de \((\Sch/S)_{fppf}\). Supposons que \(\mathcal{X}\), \(\mathcal{Y}\) et \(\mathcal{Z}\) satisfassent (RS*). Soient \(A\) une \(S\)-algèbre et \(w\) un objet de \(\mathcal{W} = \mathcal{X} \times_\mathcal{Y} \mathcal{Z}\) au-dessus de \(A\). Notons \(x, y, z\) les objets de \(\mathcal{X}, \mathcal{Y}, \mathcal{Z}\) issus de \(w\). Pour tout \(A\)-module \(M\), il existe une suite exacte à \(6\) termes \[\xymatrix{ 0 \ar[r] & \text{Inf}_w(M) \ar[r] & \text{Inf}_x(M) \oplus \text{Inf}_z(M) \ar[r] & \text{Inf}_y(M) \ar[lld] \\ & T_w(M) \ar[r] & T_x(M) \oplus T_z(M) \ar[r] & T_y(M) }\] de \(A\)-modules.

Démonstration

D’après le lemme 0CXQ, \(\mathcal{W}\) satisfait (RS*) ; par conséquent, \(T_w(M)\) et \(\text{Inf}_w(M)\) sont définis. Les flèches horizontales sont définies par la fonctorialité du lemme 07Y7.

Définition du “morphisme de connexion” \(\delta : \text{Inf}_y(M) \to T_w(M)\). Choisissons des isomorphismes \(p(x) \to y\) et \(y \to q(z)\) tels que \(w = (x, z, p(x) \to y \to q(z))\) dans la description du \(2\)-produit fibré de Catégories, lemme 0041, et plus précisément Catégories, lemme 0040. Notons \(x', y', z', w'\) les déformations triviales de \(x, y, z, w\) sur \(A[M]\). Par image inverse, nous obtenons des isomorphismes \(y' \to p(x')\) et \(q(z') \to y'\). Un élément \(\alpha \in \text{Inf}_y(M)\) revient à un automorphisme \(\alpha : y' \to y'\) au-dessus de \(A[M]\) dont la restriction à \(y\) au-dessus de \(A\) est l’identité. En posant \[\delta(\alpha) = (x', z', p(x') \to y' \xrightarrow{\alpha} y' \to q(z'))\] nous obtenons un objet de \(T_w(M)\). C’est une application de \(A\)-modules d’après Théorie formelle des déformations, lemme 06I7.

La suite de la démonstration est exactement la même que celle de Théorie formelle des déformations, lemme 06L5.

Remarque

Soit \(S\) un schéma localement noethérien. Soit \(\mathcal{X}\) une catégorie fibrée en groupoïdes au-dessus de \((\Sch/S)_{fppf}\). Supposons que \(\mathcal{X}\) satisfasse (RS*). Soient \(k\) un corps de type fini sur \(S\) et \(x_0\) un objet de \(\mathcal{X}\) au-dessus de \(\Spec(k)\). Nous avons alors les égalités d’espaces vectoriels sur \(k\) \[T\mathcal{F}_{\mathcal{X}, k, x_0} = T_{x_0}(k) \quad\text{et}\quad \text{Inf}(\mathcal{F}_{\mathcal{X}, k, x_0}) = \text{Inf}_{x_0}(k)\] où les espaces figurant aux membres de gauche des égalités sont donnés en (07WZ) et (07X0) où ceux des membres de droite sont donnés par le lemme 07Y9.

Remarque

Hypothèses et notations comme dans le lemme 07Y9. Choisissons un ouvert affine \(\Spec(\Lambda) \subset S\) tel que \(\Spec(A) \to S\) corresponde à un homomorphisme d’anneaux \(\Lambda \to A\). Considérons l’homomorphisme d’anneaux \[A \longrightarrow A[\Omega_{A/\Lambda}], \quad a \longmapsto (a, \text{d}_{A/\Lambda}(a))\] En prenant l’image inverse de \(x\) par le morphisme correspondant \(\Spec(A[\Omega_{A/\Lambda}]) \to \Spec(A)\), nous obtenons une déformation \(x_{can}\) de \(x\) sur \(A[\Omega_{A/\Lambda}]\). Nous l’appelons l’élément canonique \[x_{can} \in T_x(\Omega_{A/\Lambda}) = \text{Lift}(x, A[\Omega_{A/\Lambda}]).\] Supposons ensuite que \(\Lambda\) soit noethérien et que \(\Lambda \to A\) soit de type fini. Soit \(k = \kappa(\mathfrak p)\) le corps résiduel en un point de type fini \(u_0\) de \(U = \Spec(A)\). Posons \(x_0 = x|_{u_0}\). D’après (RS*) et l’égalité \(A[k] = A \times_k k[k]\), l’espace \(T_x(k)\) est l’espace tangent au foncteur de déformations \(\mathcal{F}_{\mathcal{X}, k, x_0}\). Par l’identification \[T\mathcal{F}_{U, k, u_0} = \text{Der}_\Lambda(A, k) = \Hom_A(\Omega_{A/\Lambda}, k)\] (voir Théorie formelle des déformations, exemple 06IC) et par la fonctorialité de \(T_x\), l’élément canonique fournit l’application sur les espaces tangents induite par l’objet \(x\) au-dessus de \(U\). Plus précisément, \(\theta \in T\mathcal{F}_{U, k, u_0}\) s’envoie sur \(T_x(\theta)(x_{can})\) dans \(T_x(k) = T\mathcal{F}_{\mathcal{X}, k, x_0}\).

Remarque

Soit \(S\) un schéma localement noethérien. Soit \(\mathcal{X}\) une catégorie fibrée en groupoïdes au-dessus de \((\Sch/S)_{fppf}\). Supposons que \(\mathcal{X}\) satisfasse la condition (RS*). Soit \(A\) une \(S\)-algèbre telle que \(\Spec(A) \to S\) se factorise par un ouvert affine, et soient \(x, y\) des objets de \(\mathcal{X}\) au-dessus de \(\Spec(A)\). Soient en outre \(A \to B\) un homomorphisme d’anneaux et \(\alpha : x|_{\Spec(B)} \to y|_{\Spec(B)}\) un morphisme de \(\mathcal{X}\) au-dessus de \(\Spec(B)\). Considérons l’homomorphisme d’anneaux \[B \longrightarrow B[\Omega_{B/A}], \quad b \longmapsto (b, \text{d}_{B/A}(b))\] En prenant l’image inverse de \(\alpha\) par le morphisme correspondant \(\Spec(B[\Omega_{B/A}]) \to \Spec(B)\), nous obtenons un morphisme \(\alpha_{can}\) entre les images inverses de \(x\) et \(y\) au-dessus de \(B[\Omega_{B/A}]\). D’autre part, nous pouvons prendre l’image inverse de \(\alpha\) par le morphisme \(\Spec(B[\Omega_{B/A}]) \to \Spec(B)\) correspondant à l’injection de \(B\) dans le premier facteur de \(B[\Omega_{B/A}]\). D’après la remarque 07YB, nous pouvons prendre la différence \[\varphi(x, y, \alpha) = \alpha_{can} - \alpha|_{\Spec(B[\Omega_{B/A}])} \in \text{Inf}_{x|_{\Spec(B)}}(\Omega_{B/A}).\] Nous l’appellerons l’automorphisme canonique. Il dépend de toutes les données \(A\), \(x\), \(y\), \(A \to B\) et \(\alpha\).

Théories de l’obstruction

Dans cette section, nous décrivons ce qu’est une théorie de l’obstruction. Contrairement aux espaces de déformations infinitésimales et d’automorphismes infinitésimaux, une théorie de l’obstruction est une donnée supplémentaire. La formulation est motivée par les résultats du Lemme 07Y9 et de la Remarque 07YA.

Définition

Soit \(S\) une base localement noethérienne. Soit \(\mathcal{X}\) une catégorie fibrée en groupoïdes sur \((\Sch/S)_{fppf}\). Une théorie de l’obstruction est constituée des données suivantes :

  1. pour toute \(S\)-algèbre \(A\) telle que \(\Spec(A) \to S\) se factorise par un ouvert affine, et pour tout objet \(x\) de \(\mathcal{X}\) sur \(\Spec(A)\), un foncteur \(A\)-linéaire \[\mathcal{O}_x : \text{Mod}_A \to \text{Mod}_A\] de modules d’obstruction,

  2. pour \((x, A)\) comme en (1), un homomorphisme d’anneaux \(A \to B\), \(M \in \text{Mod}_A\), \(N \in \text{Mod}_B\), et un morphisme \(A\)-linéaire \(M \to N\), un morphisme \(A\)-linéaire induit \(\mathcal{O}_x(M) \to \mathcal{O}_y(N)\), où \(y = x|_{\Spec(B)}\), et

  3. pour toute situation de déformation \((x, A' \to A)\), un élément d’obstruction \(o_x(A') \in \mathcal{O}_x(I)\), où \(I = \Ker(A' \to A)\).

Ces données sont soumises aux conditions suivantes :

  1. les morphismes de fonctorialité font des modules d’obstruction un foncteur de la catégorie des triplets \((x, A, M)\) à valeurs dans les ensembles,

  2. pour tout morphisme de situations de déformation \((y, B' \to B) \to (x, A' \to A)\), l’élément \(o_x(A')\) s’envoie sur \(o_y(B')\), et

  3. on a \[\text{Lift}(x, A') \not = \emptyset \Leftrightarrow o_x(A') = 0\] pour toute situation de déformation \((x, A' \to A)\).

Cette dernière condition explique la terminologie. Le module \(\mathcal{O}_x(A')\) est appelé le module d’obstruction. L’élément \(o_x(A')\) est l’obstruction. La plupart des théories de l’obstruction possèdent des propriétés supplémentaires et, pour qu’elles soient utiles, il faut imposer des conditions supplémentaires. De plus, il ne s’agit ici que d’une définition possible ; on pourrait par exemple n’y considérer que les situations de déformation de type fini sur \(S\).

L’une des principales raisons d’introduire les théories de l’obstruction est de vérifier l’ouverture de la versalité. Un exemple de résultat de cette nature est le Lemme 0CYF ci-dessous. L’idée initiale de cette méthode est due à Artin ; voir les articles d’Artin mentionnés dans l’introduction. Elle a été reprise, par exemple, dans les travaux de Flenner [Flenner], Hall [Hall-coherent], Hall et Rydh [rydh_axioms], Olsson [olsson_deformation], Olsson et Starr [olsson-starr], et Lieblich [lieblich-complexes] (références citées sans ordre particulier). En outre, pour des catégories fibrées en groupoïdes particulières, les auteurs développent souvent un peu de théorie adaptée au problème considéré. Nous développerons cette théorie plus loin (insérer ici une référence future).

Lemme

Soit \(S\) un schéma localement noethérien. Soit \(\mathcal{X}\) une catégorie fibrée en groupoïdes sur \((\Sch/S)_{fppf}\). Supposons que

  1. \(\Delta : \mathcal{X} \to \mathcal{X} \times \mathcal{X}\) soit représentable par des espaces algébriques,

  2. \(\mathcal{X}\) vérifie (RS*),

  3. \(\mathcal{X}\) commute aux limites,

  4. il existe une théorie de l’obstruction10,

  5. pour un objet \(x\) de \(\mathcal{X}\) sur \(\Spec(A)\) et des \(A\)-modules \(M_n\), \(n \geq 1\), on ait

    1. \(T_x(\prod M_n) = \prod T_x(M_n)\),

    2. \(\mathcal{O}_x(\prod M_n) \to \prod \mathcal{O}_x(M_n)\) est injectif.

Alors \(\mathcal{X}\) vérifie l’ouverture de la versalité.

Démonstration

Nous le démontrons en vérifiant la condition (4) du Lemme 0CXU. Soient \((\xi_n)\) et \((R_n)\) comme dans la Remarque 0CXT, de sorte que \(\Ker(R_m \to R_n)\) soit un idéal de carré nul pour tous \(m \geq n\). Posons \(A = R_1\) et \(x = \xi_1\). Notons \(M_n = \Ker(R_n \to R_1)\). Alors \(M_n\) est un \(A\)-module. Posons \(R = \lim R_n\). Soit \[\tilde R = \{(r_1, r_2, r_3 \ldots) \in \prod R_n \text{ tels que tous aient la même image dans }A\}\] Alors \(\tilde R \to A\) est surjectif de noyau \(M = \prod M_n\). Il existe un morphisme \(R \to \tilde R\) et un morphisme \(\tilde R \to A[M]\), \((r_1, r_2, r_3, \ldots) \mapsto (r_1, r_2 - r_1, r_3 - r_2, \ldots)\). Ils donnent ensemble une suite exacte courte \[(x, R \to A) \to (x, \tilde R \to A) \to (x, A[M])\] de situations de déformation ; voir la Remarque 07YE. La suite associée des noyaux \(0 \to \lim M_n \to M \to M \to 0\) est la suite canonique qui calcule la limite du système de modules \((M_n)\).

Soit \(o_x(\tilde R) \in \mathcal{O}_x(M)\) l’élément d’obstruction. Puisque nous disposons des relèvements \(\xi_n\), nous voyons que \(o_x(\tilde R)\) s’envoie sur zéro dans \(\mathcal{O}_x(M_n)\). D’après l’hypothèse (5)(b), on a \(o_x(\tilde R) = 0\). Choisissons un relèvement \(\tilde \xi\) de \(x\) à \(\Spec(\tilde R)\). Soit \(\tilde \xi_n\) la restriction de \(\tilde \xi\) à \(\Spec(R_n)\). Il existe des éléments \(t_n \in T_x(M_n)\) tels que \(t_n \cdot \tilde \xi_n = \xi_n\), d’après la partie (2)(b) du Lemme 07Y9. D’après l’hypothèse (5)(a), nous pouvons trouver \(t \in T_x(M)\) qui s’envoie sur \(t_n\) dans \(T_x(M_n)\). Après avoir remplacé \(\tilde \xi\) par \(t \cdot \tilde \xi\), nous obtenons que \(\tilde \xi\) se restreint à \(\xi_n\) sur \(\Spec(R_n)\) pour tout \(n\). En particulier, puisque \(\xi_{n + 1}\) se restreint à \(\xi_n\) sur \(\Spec(R_n)\), la restriction \(\overline{\xi}\) de \(\tilde \xi\) à \(\Spec(A[M])\) est telle que sa restriction à \(\Spec(A[M_n])\) est la déformation triviale pour tout \(n\). Par conséquent, l’hypothèse (5)(a) montre que \(\overline{\xi}\) est la déformation triviale de \(x\). L’axiome (RS*) appliqué à \(R = \tilde R \times_{A[M]} A\) implique que \(\tilde \xi\) est l’image réciproque d’une déformation \(\xi\) de \(x\) sur \(R\). Ceci achève la démonstration.

Exemple

Soit \(S = \Spec(\Lambda)\) pour un anneau noethérien \(\Lambda\). Soit \(W \to S\) un morphisme de schémas. Soit \(\mathcal{F}\) un \(\mathcal{O}_W\)-module quasi-cohérent et plat sur \(S\). Considérons le foncteur \[F : (\Sch/S)_{fppf}^{opp} \longrightarrow \textit{Ensembles}, \quad T/S \longrightarrow H^0(W_T, \mathcal{F}_T)\] où \(W_T = T \times_S W\) est le changement de base et \(\mathcal{F}_T\) l’image réciproque de \(\mathcal{F}\) sur \(W_T\). Si \(T = \Spec(A)\), nous écrirons \(W_T = W_A\), etc. Soit \(\mathcal{X} \to (\Sch/S)_{fppf}\) la catégorie fibrée en groupoïdes associée à \(F\). Alors \(\mathcal{X}\) possède une théorie de l’obstruction. Plus précisément,

  1. étant donnés \(A\), une algèbre sur \(\Lambda\), et \(x \in H^0(W_A, \mathcal{F}_A)\), nous posons \(\mathcal{O}_x(M) = H^1(W_A, \mathcal{F}_A \otimes_A M)\),

  2. étant donnée une situation de déformation \((x, A' \to A)\), nous définissons \(o_x(A') \in \mathcal{O}_x(A)\) comme l’image de \(x\) par l’homomorphisme cobord \[H^0(W_A, \mathcal{F}_A) \longrightarrow H^1(W_A, \mathcal{F}_A \otimes_A I)\] provenant de la suite exacte courte de modules \[0 \to \mathcal{F}_A \otimes_A I \to \mathcal{F}_{A'} \to \mathcal{F}_A \to 0.\]

Nous avons omis certains détails, notamment la construction de la suite exacte courte ci-dessus (elle utilise le fait que \(W_A\) et \(W_{A'}\) ont le même espace topologique sous-jacent), ainsi que l’explication du fait que la platitude de \(\mathcal{F}\) sur \(S\) implique l’exactitude de la suite ci-dessus.

Exemple

Soit \(S = \Spec(\Lambda)\) pour un anneau noethérien \(\Lambda\). Supposons que \(\mathcal{X} = (\Sch/X)_{fppf}\), avec \(X = \Spec(R)\) et \(R = \Lambda[x_1, \ldots, x_n]/J\). Le complexe cotangent naïf \(\NL_{R/\Lambda}\) est (canoniquement) homotopiquement équivalent à \[J/J^2 \longrightarrow \bigoplus\nolimits_{i = 1, \ldots, n} R\text{d}x_i,\] voir Algèbre, Lemme 00S1. Considérons une situation de déformation \((x, A' \to A)\). Notons \(I\) le noyau de \(A' \to A\). L’objet \(x\) correspond à \((a_1, \ldots, a_n)\), où \(a_i \in A\) et \(f(a_1, \ldots, a_n) = 0\) dans \(A\) pour tout \(f \in J\). Posons \[\begin{align*} \mathcal{O}_x(A') & = \Hom_R(J/J^2, I)/\Hom_R(R^{\oplus n}, I) \\ & = \Ext^1_R(\NL_{R/\Lambda}, I) \\ & = \Ext^1_A(\NL_{R/\Lambda} \otimes_R A, I). \end{align*}\] Choisissons des relèvements \(a_i' \in A'\) des \(a_i\) dans \(A\). Alors \(o_x(A')\) est la classe du morphisme \(J/J^2 \to I\) défini en envoyant \(f \in J\) sur \(f(a_1', \ldots, a'_n) \in I\). Nous omettons de vérifier que \(o_x(A')\) est indépendant des choix. Il est clair que, si \(o_x(A') = 0\), alors le morphisme se relève. Enfin, la fonctorialité est immédiate. Nous obtenons ainsi une théorie de l’obstruction. Observons que \(o_x(A')\) peut se décrire un peu plus canoniquement comme le composé \[\NL_{R/\Lambda} \to \NL_{A/\Lambda} \to \NL_{A/A'} = I[1]\] dans \(D(A)\) ; voir Algèbre, Lemme 07BP pour la dernière identification.

Théories naïves de l’obstruction

Le titre de cette section renvoie au fait que nous y utiliserons le complexe cotangent naïf. Soit \((x, A' \to A)\) une situation de déformation pour une catégorie fibrée en groupoïdes donnée sur un schéma localement noethérien \(S\). L’Exemple clé 07YI laisse penser que toute théorie de l’obstruction devrait être étroitement liée aux morphismes dans \(D(A)\) aboutissant au complexe cotangent naïf de \(A\). En précisant cette idée, nous obtenons dans le Lemme 07YM un critère de versalité qui conduit à un critère d’ouverture de la versalité dans le Lemme 07YN. Nous introduisons la notion de théorie naïve de l’obstruction dans la Définition 07YP afin de formaliser un peu plus cette idée.

Dans ce qui suit, nous utiliserons le complexe cotangent naïf tel qu’il est défini dans Algèbre, section 00S0. En particulier, si \(A' \to A\) est une surjection de \(\Lambda\)-algèbres de noyau \(I\) de carré nul, il existe des morphismes \[\NL_{A'/\Lambda} \to \NL_{A/\Lambda} \to \NL_{A/A'}\] dont le composé est homotopiquement équivalent à zéro (voir Algèbre, Remarque 07VC). Ils ne forment pas en général un triangle distingué, car nous utilisons le complexe cotangent naïf et non le complexe cotangent proprement dit. Il existe une équivalence d’homotopie \(\NL_{A/A'} \to I[1]\) (le complexe constitué de \(I\) placé en degré \(-1\) ; voir Algèbre, Lemme 07BP). Enfin, remarquons qu’il existe un morphisme canonique \(\NL_{A/\Lambda} \to \Omega_{A/\Lambda}\).

Lemme

Soit \(A \to k\) un homomorphisme d’anneaux, où \(k\) est un corps. Soit \(E \in D^-(A)\). Alors \(\Ext^i_A(E, k) = \Hom_k(H^{-i}(E \otimes^\mathbf{L} k), k)\).

Démonstration

Omis. Indication : remplacer \(E\) par un complexe de \(A\)-modules libres borné supérieurement et calculer les deux membres.

Lemme

Soient \(\Lambda \to A \to k\) des homomorphismes de type fini d’anneaux noethériens, avec \(k = \kappa(\mathfrak p)\) pour un idéal premier \(\mathfrak p\) de \(A\). Soit \(\xi : E \to \NL_{A/\Lambda}\) un morphisme de \(D^{-}(A)\) tel que \(H^{-1}(\xi \otimes^{\mathbf{L}} k)\) ne soit pas surjectif. Alors il existe une surjection \(A' \to A\) de \(\Lambda\)-algèbres telle que

  1. \(I = \Ker(A' \to A)\) soit de carré nul et isomorphe à \(k\) comme \(A\)-module,

  2. \(\Omega_{A'/\Lambda} \otimes k = \Omega_{A/\Lambda} \otimes k\), et

  3. \(E \to \NL_{A/A'}\) soit nul.

Démonstration

Soit \(f \in A\), \(f \not \in \mathfrak p\). Supposons que \(A'' \to A_f\) vérifie (a), (b), (c) pour le morphisme induit \(E \otimes_A A_f \to \NL_{A_f/\Lambda}\) ; voir Algèbre, Lemme 00S7. On peut alors poser \(A' = A'' \times_{A_f} A\) et obtenir une solution. Il est en effet clair que \(A' \to A\) vérifie (a), puisque \(\Ker(A' \to A) = \Ker(A'' \to A) = I\). Choisissons \(f'' \in A''\) relevant \(f\). Alors le localisé de \(A'\) en \((f'', f)\) est isomorphe à \(A''\) (par exemple, d’après Compléments sur l’algèbre, Lemme 01Z8). Ainsi, (b) et (c) sont également clairs pour \(A'\). Nous voyons de cette manière que nous pouvons remplacer \(A\) par le localisé \(A_f\) (un nombre fini de fois). En particulier, après un tel remplacement, nous pouvons supposer que \(\mathfrak p\) est un idéal maximal de \(A\) ; voir Morphismes, Lemme 01TA.

Choisissons une présentation \(A = \Lambda[x_1, \ldots, x_n]/J\). Alors \(\NL_{A/\Lambda}\) est (canoniquement) homotopiquement équivalent à \[J/J^2 \longrightarrow \bigoplus\nolimits_{i = 1, \ldots, n} A\text{d}x_i,\] voir Algèbre, Lemme 00S1. Quitte à localiser si nécessaire (en utilisant le lemme de Nakayama), nous pouvons choisir des générateurs \(f_1, \ldots, f_m\) de \(J\) tels que les \(f_j \otimes 1\) forment une base de \(J/J^2 \otimes_A k\). De plus, après renumérotation, nous pouvons supposer que les images de \(\text{d}f_1, \ldots, \text{d}f_r\) forment une base de l’image de \(J/J^2 \otimes k \to \bigoplus k\text{d}x_i\) et que \(\text{d}f_{r + 1}, \ldots, \text{d}f_m\) s’envoient sur zéro dans \(\bigoplus k\text{d}x_i\). Avec ces choix, l’espace \[H^{-1}(\NL_{A/\Lambda} \otimes^{\mathbf{L}}_A k) = H^{-1}(\NL_{A/\Lambda} \otimes_A k)\] a pour base \(f_{r + 1} \otimes 1, \ldots, f_m \otimes 1\). En changeant encore une fois de base, nous pouvons supposer que l’image de \(H^{-1}(\xi \otimes^{\mathbf{L}} k)\) est contenue dans le sous-espace vectoriel sur \(k\) engendré par \(f_{r + 1} \otimes 1, \ldots, f_{m - 1} \otimes 1\). Posons \[A' = \Lambda[x_1, \ldots, x_n]/(f_1, \ldots, f_{m - 1}, \mathfrak pf_m)\] Par construction, \(A' \to A\) vérifie (a). Puisque \(\text{d}f_m\) s’envoie sur zéro dans \(\bigoplus k\text{d}x_i\), nous voyons que (b) est satisfaite. Enfin, par construction, le morphisme induit \(E \to \NL_{A/A'} = I[1]\) induit le morphisme nul \(H^{-1}(E \otimes_A^\mathbf{L} k) \to I \otimes_A k\). D’après le Lemme 07YK, nous voyons que le composé est nul.

Le lemme suivant est notre principal résultat technique.

Lemme

Soit \(S\) un schéma localement noethérien. Soit \(\mathcal{X}\) une catégorie fibrée en groupoïdes sur \((\Sch/S)_{fppf}\) vérifiant (RS*). Soit \(U = \Spec(A)\) un schéma affine de type fini sur \(S\) dont le morphisme se factorise par un ouvert affine \(\Spec(\Lambda)\). Soit \(x\) un objet de \(\mathcal{X}\) sur \(U\). Soit \(\xi : E \to \NL_{A/\Lambda}\) un morphisme de \(D^{-}(A)\). Supposons que

  1. pour toute situation de déformation \((x, A' \to A)\), on ait : \(x\) se relève à \(\Spec(A')\) si et seulement si \(E \to \NL_{A/\Lambda} \to \NL_{A/A'}\) est nul, et

  2. il existe un isomorphisme de foncteurs \(T_x(-) \to \Ext^0_A(E, -)\) tel que \(E \to \NL_{A/\Lambda} \to \Omega^1_{A/\Lambda}\) corresponde à l’élément canonique (voir la Remarque 07YC).

Soit \(u_0 \in U\) un point de type fini de corps résiduel \(k = \kappa(u_0)\). Considérons les assertions suivantes :

  1. \(x\) est versel en \(u_0\), et

  2. \(\xi : E \to \NL_{A/\Lambda}\) induit une surjection \(H^{-1}(E \otimes_A^{\mathbf{L}} k) \to H^{-1}(\NL_{A/\Lambda} \otimes_A^{\mathbf{L}} k)\) et une injection \(H^0(E \otimes_A^{\mathbf{L}} k) \to H^0(\NL_{A/\Lambda} \otimes_A^{\mathbf{L}} k)\).

Alors on a toujours (2) \(\Rightarrow\) (1), et on a (1) \(\Rightarrow\) (2) si \(u_0\) est un point fermé.

Démonstration

Soit \(\mathfrak p = \Ker(A \to k)\) l’idéal premier correspondant à \(u_0\).

Supposons que \(x\) soit versel en \(u_0\) et que \(u_0\) soit un point fermé de \(U\). Si \(H^{-1}(\xi \otimes_A^{\mathbf{L}} k)\) n’est pas surjectif, alors soit \(A' \to A\) une extension de noyau \(I\) comme dans le Lemme 07YL. Puisque \(u_0\) est un point fermé, nous voyons que \(I\) est un \(A\)-module de type fini, et donc que \(A'\) est une \(\Lambda\)-algèbre de type fini (ceci est faux si \(u_0\) n’est pas fermé). En particulier, \(A'\) est noethérien. D’après la propriété (c) de \(A'\) et la propriété (i) de \(\xi\), nous voyons que \(x\) se relève en un objet \(x'\) sur \(A'\). Soit \(\mathfrak p' \subset A'\) le noyau de l’homomorphisme surjectif vers \(k\). D’après Artin–Rees (Algèbre, Lemme 00IN), il existe un \(n > 1\) tel que \((\mathfrak p')^n \cap I = 0\). Nous voyons alors que \[B' = A'/(\mathfrak p')^n \longrightarrow A/\mathfrak p^n = B\] est une petite extension essentielle d’anneaux locaux artiniens ; voir Théorie formelle des déformations, Lemme 06H0. D’autre part, puisque \(x\) est versel en \(u_0\) et que \(x'|_{\Spec(B')}\) est un relèvement de \(x|_{\Spec(B)}\), il existe un entier \(m \geq n\) et un morphisme \(q : A/\mathfrak p^m \to B'\) tel que le composé \(A/\mathfrak p^m \to B' \to B\) soit le morphisme quotient. Puisque \(B'\) est tel que la puissance \(n\)-ième de son idéal maximal est nulle, ce \(q\) se factorise par \(B\), ce qui contredit le fait que \(B' \to B\) est une surjection essentielle. Cette contradiction montre que \(H^{-1}(\xi \otimes_A^{\mathbf{L}} k)\) est surjectif.

Supposons que \(x\) soit versel en \(u_0\). D’après le Lemme 07YK, le morphisme \(H^0(\xi \otimes_A^{\mathbf{L}} k)\) est dual du morphisme \(\Ext^0_A(\NL_{A/\Lambda}, k) \to \text{Ext}^0_A(E, k)\). Remarquons que \[\Ext^0_A(\NL_{A/\Lambda}, k) = \text{Der}_\Lambda(A, k) \quad\text{et}\quad T_x(k) = \Ext^0_A(E, k)\] La condition (ii) assure que le morphisme \(\Ext^0_A(\NL_{A/\Lambda}, k) \to \text{Ext}^0_A(E, k)\) envoie un vecteur tangent \(\theta\) à \(U\) en \(u_0\) sur la déformation infinitésimale correspondante de \(x_0\) ; voir la Remarque 07YC. Par conséquent, si \(x\) est versel, ce morphisme est surjectif ; voir Théorie formelle des déformations, Lemme 06IU. Ainsi, \(H^0(\xi \otimes_A^{\mathbf{L}} k)\) est injectif. Ceci achève la démonstration de (1) \(\Rightarrow\) (2) lorsque \(u_0\) est un point fermé.

Pour la suite de la démonstration, supposons que \(H^{-1}(E \otimes_A^\mathbf{L} k) \to H^{-1}(\NL_{A/\Lambda} \otimes_A^\mathbf{L} k)\) soit surjectif et que \(H^0(E \otimes_A^\mathbf{L} k) \to H^0(\NL_{A/\Lambda} \otimes_A^\mathbf{L} k)\) soit injectif. Posons \(R = A_\mathfrak p^\wedge\) et soit \(\eta\) l’objet formel sur \(R\) associé à \(x|_{\Spec(R)}\). Le morphisme \(d\underline{\eta}\) sur les espaces tangents est surjectif car il s’identifie au dual du morphisme injectif \(H^0(E \otimes_A^{\mathbf{L}} k) \to H^0(\NL_{A/\Lambda} \otimes_A^{\mathbf{L}} k)\) (voir le paragraphe précédent). D’après le Lemme 06IU de la Théorie formelle des déformations, il suffit de démontrer ce qui suit : Soit \(C' \to C\) une petite extension d’algèbres locales artiniennes de type fini sur \(\Lambda\), de corps résiduel \(k\). Soit \(R \to C\) un homomorphisme de \(\Lambda\)-algèbres compatible avec les identifications des corps résiduels. Soit \(y = x|_{\Spec(C)}\) et soit \(y'\) un relèvement de \(y\) à \(C'\). Il faut montrer que l’on peut relever l’homomorphisme de \(\Lambda\)-algèbres \(R \to C\) en un homomorphisme \(R \to C'\).

Observons qu’il suffit de relever l’homomorphisme de \(\Lambda\)-algèbres \(A \to C\). Soit \(I = \Ker(C' \to C)\). Remarquons que \(I\) est de dimension \(1\) sur \(k\) comme espace vectoriel. L’obstruction \(ob\) au relèvement de \(A \to C\) est un élément de \(\Ext^1_A(\NL_{A/\Lambda}, I)\) ; voir l’Exemple 07YI. D’après le Lemme 07YK et notre hypothèse, le morphisme \(\xi\) induit une injection \[\Ext^1_A(\NL_{A/\Lambda}, I) \longrightarrow \Ext^1_A(E, I)\] D’après la construction de \(ob\) et (i), l’image de \(ob\) dans \(\Ext^1_A(E, I)\) est l’obstruction au relèvement de \(x\) à \(A \times_C C'\). D’après (RS*), le fait que \(y/C\) ait pour relèvement \(y'/C'\) implique que \(x\) se relève à \(A \times_C C'\). Ainsi, \(ob = 0\), et la démonstration est achevée.

Le lemme clé ci-dessus nous permet de conclure à l’ouverture de la versalité dans certains cas.

Lemme

Soit \(S\) un schéma localement noethérien. Soit \(\mathcal{X}\) une catégorie fibrée en groupoïdes sur \((\Sch/S)_{fppf}\) vérifiant (RS*). Soit \(U = \Spec(A)\) un schéma affine de type fini sur \(S\) dont le morphisme se factorise par un ouvert affine \(\Spec(\Lambda)\). Soit \(x\) un objet de \(\mathcal{X}\) sur \(U\). Soit \(\xi : E \to \NL_{A/\Lambda}\) un morphisme de \(D^{-}(A)\). Supposons que

  1. pour toute situation de déformation \((x, A' \to A)\), on ait : \(x\) se relève à \(\Spec(A')\) si et seulement si \(E \to \NL_{A/\Lambda} \to \NL_{A/A'}\) est nul,

  2. il existe un isomorphisme de foncteurs \(T_x(-) \to \Ext^0_A(E, -)\) tel que \(E \to \NL_{A/\Lambda} \to \Omega^1_{A/\Lambda}\) corresponde à l’élément canonique (voir la Remarque 07YC),

  3. les groupes de cohomologie de \(E\) soient des \(A\)-modules de type fini.

Si \(x\) est versel en un point fermé \(u_0 \in U\), alors il existe un voisinage ouvert \(u_0 \in U' \subset U\) tel que \(x\) soit versel en tout point de type fini de \(U'\).

Démonstration

Soit \(C\) le cône de \(\xi\), de sorte que nous ayons un triangle distingué \[E \to \NL_{A/\Lambda} \to C \to E[1]\] dans \(D^{-}(A)\). D’après le Lemme 07YM, l’hypothèse selon laquelle \(x\) est versel en \(u_0\) implique que \(H^{-1}(C \otimes^\mathbf{L} k) = 0\). D’après Compléments sur l’algèbre, Lemme 068U, il existe un \(f \in A\) qui n’appartient pas à l’idéal premier correspondant à \(u_0\) tel que \(H^{-1}(C \otimes^\mathbf{L}_A M) = 0\) pour tout \(A_f\)-module \(M\). En utilisant de nouveau le Lemme 07YM, nous obtenons la versalité en tout point de type fini de l’ouvert \(D(f) \subset U\).

Les lemmes techniques ci-dessus suggèrent la définition suivante.

Définition

Soit \(S\) une base localement noethérienne. Soit \(\mathcal{X}\) une catégorie fibrée en groupoïdes sur \((\Sch/S)_{fppf}\). Supposons que \(\mathcal{X}\) vérifie (RS*). Une théorie naïve de l’obstruction est constituée des données suivantes :

  1. pour toute \(S\)-algèbre \(A\) telle que \(\Spec(A) \to S\) se factorise par un ouvert affine \(\Spec(\Lambda) \subset S\), et pour tout objet \(x\) de \(\mathcal{X}\) sur \(\Spec(A)\), on se donne un objet \(E_x \in D^-(A)\) et un morphisme \(\xi_x : E \to \NL_{A/\Lambda}\),

  2. étant donné \((x, A)\) comme dans (07YQ), il existe des transformations de foncteurs \[\text{Inf}_x( - ) \to \Ext^{-1}_A(E_x, -) \quad\text{et}\quad T_x(-) \to \Ext^0_A(E_x, -)\]

  3. pour \((x, A)\) comme dans (07YQ) et un homomorphisme d’anneaux \(A \to B\), en posant \(y = x|_{\Spec(B)}\), il existe un morphisme de fonctorialité \(E_x \to E_y\) dans \(D(A)\).

Ces données sont soumises aux conditions suivantes :

  1. dans la situation de (07YS), le diagramme \[\xymatrix{ E_y \ar[r]_{\xi_y} & \NL_{B/\Lambda} \\ E_x \ar[u] \ar[r]^{\xi_x} & \NL_{A/\Lambda} \ar[u] }\] est commutatif dans \(D(A)\),

  2. étant donnés \((x, A)\) comme dans (07YQ) et \(A \to B \to C\), en posant \(y = x|_{\Spec(B)}\) et \(z = x|_{\Spec(C)}\), le composé des morphismes de fonctorialité \(E_x \to E_y\) et \(E_y \to E_z\) est le morphisme de fonctorialité \(E_x \to E_z\),

  3. les morphismes de (07YR) sont des isomorphismes compatibles avec les morphismes de fonctorialité et avec les morphismes de la Remarque 07YA,

  4. le composé \(E_x \to \NL_{A/\Lambda} \to \Omega_{A/\Lambda}\) correspond à l’élément canonique de \(T_x(\Omega_{A/\Lambda}) = \Ext^0(E_x, \Omega_{A/\Lambda})\) ; voir la Remarque 07YC,

  5. étant donnée une situation de déformation \((x, A' \to A)\) avec \(I = \Ker(A' \to A)\), le composé \(E_x \to \NL_{A/\Lambda} \to \NL_{A/A'}\) est nul dans \[\Hom_A(E_x, \NL_{A/\Lambda}) = \Ext^0_A(E_x, \NL_{A/A'}) = \Ext^1_A(E_x, I)\] si et seulement si \(x\) se relève à \(A'\).

Nous voyons ainsi, en particulier, que nous obtenons une théorie de l’obstruction comme dans la section 07YF en posant \(\mathcal{O}_x( - ) = \Ext^1_A(E_x, -)\).

Lemme

Soient \(S\) et \(\mathcal{X}\) comme dans la Définition 07YP, et munissons \(\mathcal{X}\) d’une théorie naïve de l’obstruction. Soient \(A \to B\) et \(y \to x\) comme dans (07YS). Soit \(k\) une \(B\)-algèbre qui est un corps. Alors le morphisme de fonctorialité \(E_x \to E_y\) induit des bijections \[H^i(E_x \otimes_A^{\mathbf{L}} k) \to H^i(E_y \otimes_B^{\mathbf{L}} k)\] pour \(i = 0, 1\).

Démonstration

Soit \(z = x|_{\Spec(k)}\). Alors (RS*) implique que \[\textit{Lift}(x, A[k]) = \textit{Lift}(z, k[k]) \quad\text{et}\quad \textit{Lift}(y, B[k]) = \textit{Lift}(z, k[k])\] car \(A[k] = A \times_k k[k]\) et \(B[k] = B \times_k k[k]\). Les propriétés d’une théorie naïve de l’obstruction impliquent donc que le morphisme de fonctorialité \(E_x \to E_y\) induit des bijections \(\Ext^i_A(E_x, k) \to \text{Ext}^i_B(E_y, k)\) pour \(i = -1, 0\). D’après le Lemme 07YK, nos morphismes \(H^i(E_x \otimes_A^{\mathbf{L}} k) \to H^i(E_y \otimes_B^{\mathbf{L}} k)\), \(i = 0, 1\), induisent des isomorphismes sur les espaces vectoriels duaux ; ce sont donc des isomorphismes.

Lemme

Soit \(S\) un schéma localement noethérien. Soit \(p : \mathcal{X} \to (\Sch/S)_{fppf}^{opp}\) une catégorie fibrée en groupoïdes. Supposons que \(\mathcal{X}\) vérifie (RS*) et que \(\mathcal{X}\) possède une théorie naïve de l’obstruction. Alors l’ouverture de la versalité est satisfaite pour \(\mathcal{X}\), pourvu que les complexes \(E_x\) de la Définition 07YP aient des groupes de cohomologie de type fini pour les couples \((A, x)\) où \(A\) est de type fini sur \(S\).

Démonstration

Soit \(U\) un schéma localement de type fini sur \(S\), soit \(x\) un objet de \(\mathcal{X}\) sur \(U\), et soit \(u_0\) un point de type fini de \(U\) tel que \(x\) soit versel en \(u_0\). Nous pouvons d’abord remplacer \(U\) par un ouvert affine tel que \(u_0\) y soit fermé et que le morphisme \(U \to S\) se factorise par un ouvert affine \(\Spec(\Lambda)\). Écrivons \(U = \Spec(A)\). Soit \(\xi_x : E_x \to \NL_{A/\Lambda}\) le morphisme d’obstruction. Nous pouvons alors appliquer le Lemme 07YN pour conclure.

Une notion duale

Soit \((x, A' \to A)\) une situation de déformation pour une catégorie donnée \(\mathcal{X}\) fibrée en groupoïdes au-dessus d’un schéma localement noethérien \(S\). Supposons que \(\mathcal{X}\) soit munie d’une théorie des obstructions ; voir la définition 07YG. En pratique, on dispose souvent d’un complexe \(K^\bullet\) de \(A\)-modules et d’isomorphismes de foncteurs \[\text{Inf}_x(-) \to H^0(K^\bullet \otimes_A^\mathbf{L} -),\quad T_x(-) \to H^1(K^\bullet \otimes_A^\mathbf{L} -),\quad \mathcal{O}_x(-) \to H^2(K^\bullet \otimes_A^\mathbf{L} -)\] Dans cette section, nous formalisons quelque peu cette situation et montrons comment elle conduit, dans certains cas, à vérifier l’ouverture de la versalité.

Exemple

Soient \(\Lambda, S, W, \mathcal{F}\) comme dans l’exemple 07YH. Supposons que \(W \to S\) soit propre et que \(\mathcal{F}\) soit cohérent. D’après Cohomologie des schémas, remarque 07VL il existe un complexe fini de \(\Lambda\)-modules projectifs de type fini \(N^\bullet\) qui calcule universellement la cohomologie de \(\mathcal{F}\). En particulier, les espaces d’obstructions de l’exemple 07YH sont \(\mathcal{O}_x(M) = H^1(N^\bullet \otimes_\Lambda M)\). Ainsi, avec \(K^\bullet = N^\bullet \otimes_\Lambda A[-1]\), nous obtenons \(\mathcal{O}_x(M) = H^2(K^\bullet \otimes_A^\mathbf{L} M)\).

Situation

Soit \(S\) un schéma localement noethérien. Soit \(\mathcal{X}\) une catégorie fibrée en groupoïdes au-dessus de \((\Sch/S)_{fppf}\). Supposons que \(\mathcal{X}\) satisfasse (RS*), de sorte que le foncteur \(T_x(-)\) soit défini ; voir le lemme 07Y9. Soit \(U = \Spec(A)\) un schéma affine de type fini sur \(S\) dont l’image est contenue dans un ouvert affine \(\Spec(\Lambda)\). Soit \(x\) un objet de \(\mathcal{X}\) au-dessus de \(U\). Supposons données

  1. un complexe de \(A\)-modules \(K^\bullet\) ;

  2. une transformation de foncteurs \(T_x(-) \to H^1(K^\bullet \otimes_A^\mathbf{L} -)\) ;

  3. pour toute situation de déformation \((x, A' \to A)\) de noyau \(I = \Ker(A' \to A)\), un élément \(o_x(A') \in H^2(K^\bullet \otimes_A^\mathbf{L} I)\)

qui satisfont les conditions (minimales) suivantes :

  1. la transformation \(T_x(-) \to H^1(K^\bullet \otimes_A^\mathbf{L} -)\) est un isomorphisme ;

  2. pour tout morphisme \((x, A'' \to A) \to (x, A' \to A)\) de situations de déformation, l’élément \(o_x(A')\) s’envoie sur l’élément \(o_x(A'')\) par l’application \(H^2(K^\bullet \otimes_A^\mathbf{L} I) \to H^2(K^\bullet \otimes_A^\mathbf{L} I')\) où \(I' = \Ker(A'' \to A)\) ;

  3. \(x\) se relève en un objet au-dessus de \(\Spec(A')\) si et seulement si \(o_x(A') = 0\).

On pourrait aussi incorporer les automorphismes infinitésimaux, mais nous ne le faisons pas afin d’obtenir le résultat le plus précis possible.

Dans la situation 07YX, le complexe \(K^\bullet \otimes_A^\mathbf{L} \NL_{A/\Lambda}\) jouera un rôle important. Supposons donné un élément \(\xi \in H^1(K^\bullet \otimes_A^\mathbf{L} \NL_{A/\Lambda})\). Alors (1), pour toute surjection \(A' \to A\) de \(\Lambda\)-algèbres de noyau \(I\) de carré nul, l’application canonique \(\NL_{A/\Lambda} \to \NL_{A/A'} = I[1]\) envoie \(\xi\) sur un élément \(\xi_{A'} \in H^2(K^\bullet \otimes_A^\mathbf{L} I)\), et (2) l’application \(\NL_{A/\Lambda} \to \Omega_{A/\Lambda}\) envoie \(\xi\) sur un élément \(\xi_{can}\) de \(H^1(K^\bullet \otimes_A^\mathbf{L} \Omega_{A/\Lambda})\).

Lemme

Dans la situation 07YX, supposons en outre que

  1. pour toute suite exacte courte de situations de déformation comme dans la remarque 07YE et tout relèvement \(x'_2 \in \text{Lift}(x, A_2')\), \(o_x(A_3') \in H^2(K^\bullet \otimes_A^\mathbf{L} I_3)\) soit égal à \(\partial\theta\), où \(\theta \in H^1(K^\bullet \otimes_A^\mathbf{L} I_1)\) est l’élément correspondant à \(x'_2|_{\Spec(A_1')}\) par \(A_1' = A[I_1]\) et l’application donnée \(T_x(-) \to H^1(K^\bullet \otimes_A^\mathbf{L} -)\).

Alors il existe un élément \(\xi \in H^1(K^\bullet \otimes_A^\mathbf{L} \NL_{A/\Lambda})\) tel que

  1. pour toute situation de déformation \((x, A' \to A)\), on ait \(\xi_{A'} = o_x(A')\) ;

  2. \(\xi_{can}\) corresponde à l’élément canonique de la remarque 07YC par la transformation donnée \(T_x(-) \to H^1(K^\bullet \otimes_A^\mathbf{L} -)\).

Démonstration

Choisissons un homomorphisme \(\alpha : \Lambda[x_1, \ldots, x_n] \to A\) de noyau \(J\). Posons \(P = \Lambda[x_1, \ldots, x_n]\). Dans la suite de cette démonstration, nous travaillons avec \[\NL(\alpha) = (J/J^2 \longrightarrow \bigoplus A \text{d}x_i)\] ce qui est permis par Algèbre, lemme 00S1, et Compléments d’algèbre, lemme 064I. Considérons l’élément \(o_x(P/J^2) \in H^2(K^\bullet \otimes_A^\mathbf{L} J/J^2)\) ainsi que le quotient \[C = (P/J^2 \times \bigoplus A \text{d}x_i)/(J/J^2)\] où \(J/J^2\) est plongé diagonalement. Remarquons que \(C \to A\) est une surjection de noyau \(\bigoplus A\text{d}x_i\). Il existe en outre une section \(A \to C\) de \(C \to A\), qui envoie la classe de \(f \in P\) sur la classe de \((f, \text{d}f)\) dans la somme amalgamée. Pour la suite, notons \(x_C\) l’image inverse de \(x\) par le morphisme correspondant \(\Spec(C) \to \Spec(A)\). Nous avons donc \(o_x(C) = 0\). Il s’ensuit que \(o_x(P/J^2)\) s’envoie sur zéro dans \(H^2(K^\bullet \otimes_A^\mathbf{L} \bigoplus A\text{d}x_i)\). Il existe par conséquent un élément \(\xi \in H^1(K^\bullet \otimes_A^\mathbf{L} \NL(\alpha))\) qui s’envoie sur \(o_x(P/J^2)\).

Remarquons que, pour toute situation de déformation \((x, A' \to A)\), il existe un homomorphisme de \(\Lambda\)-algèbres \(P/J^2 \to A'\) compatible aux augmentations vers \(A\). Par conséquent, l’élément \(\xi\) satisfait par construction la première propriété du lemme et la propriété (ii) de la situation 07YX.

Remarquons que notre choix de \(\xi\) est bien défini à l’ajout près d’un élément de \(H^1(K^\bullet \otimes_A^\mathbf{L} \bigoplus A\text{d}x_i)\). Nous allons montrer qu’en modifiant \(\xi\) par un élément de ce groupe, on peut faire en sorte que la seconde assertion du lemme soit satisfaite. Soit \(C' \subset C\) l’image de \(P/J^2\) par l’homomorphisme de \(\Lambda\)-algèbres \(P/J^2 \to C\) (inclusion du premier facteur). Observons que \(\Ker(C' \to A) = \Im(J/J^2 \to \bigoplus A\text{d}x_i)\). Posons \(\overline{C} = A[\Omega_{A/\Lambda}]\). L’application \(P/J^2 \times \bigoplus A \text{d}x_i \to \overline{C}\), \((f, \sum f_i \text{d}x_i) \mapsto (f \bmod J, \sum f_i \text{d}x_i)\) se factorise par une application surjective \(C \to \overline{C}\). Alors \[(x, \overline{C} \to A) \to (x, C \to A) \to (x, C' \to A)\] est une suite exacte courte de situations de déformation. Le scindage associé \(\overline{C} = A[\Omega_{A/\Lambda}]\) (issu de la remarque 07YE) est égal au scindage donné ci-dessus. En outre, la section \(A \to C\) composée avec l’application \(C \to \overline{C}\) est l’application \((1, \text{d}) : A \to A[\Omega_{A/\Lambda}]\) de la remarque 07YC. Ainsi, la restriction de \(x_C\) est l’élément canonique \(x_{can}\) de \(T_x(\Omega_{A/\Lambda}) = \text{Lift}(x, A[\Omega_{A/\Lambda}])\). La condition (iv) montre que \(o_x(P/J^2)\) s’envoie sur \(\partial x_{can}\) dans \[H^1(K^\bullet \otimes_A^\mathbf{L} \Im(J/J^2 \to \bigoplus A\text{d}x_i))\] Par construction, \(\xi\) s’envoie sur \(o_x(P/J^2)\). Il en résulte que \(x_{can}\) et \(\xi_{can}\) s’envoient sur le même élément dans le groupe affiché, ce qui signifie (d’après la suite exacte longue de cohomologie) qu’ils diffèrent d’un élément de \(H^1(K^\bullet \otimes_A^\mathbf{L} \bigoplus A\text{d}x_i)\) comme souhaité.

Lemme

Dans la situation 07YX, supposons que la condition (iv) du lemme 07YY soit satisfaite et que \(K^\bullet\) soit un objet parfait de \(D(A)\). Si \(x\) est versel en un point fermé \(u_0 \in U\), il existe alors un voisinage ouvert \(u_0 \in U' \subset U\) tel que \(x\) soit versel en tout point de type fini de \(U'\).

Démonstration

Nous pouvons supposer que \(K^\bullet\) est un complexe fini de \(A\)-modules projectifs de type fini. Le produit tensoriel dérivé par \(K^\bullet\) revient donc au simple produit tensoriel par \(K^\bullet\). Soit \(E^\bullet\) le complexe parfait dual de \(K^\bullet\) ; voir Compléments d’algèbre, lemme 07VI. (Ainsi \(E^n = \Hom_A(K^{-n}, A)\), les différentielles étant les transposées des différentielles de \(K^\bullet\).) Notons \(E \in D^{-}(A)\) l’objet représenté par le complexe \(E^\bullet[-1]\). Soit \(\xi \in H^1(\text{Tot}(K^\bullet \otimes_A \NL_{A/\Lambda}))\) l’élément construit dans le lemme 07YY, et notons \(\xi : E = E^\bullet[-1] \to \NL_{A/\Lambda}\) l’application correspondante (loc. cit.). Nous affirmons que le couple \((E, \xi)\) satisfait toutes les hypothèses du lemme 07YN, ce qui achève la démonstration.

En effet, l’hypothèse (i) du lemme 07YN découle de la conclusion (1) du lemme 07YY et de l’égalité \(H^2(K^\bullet \otimes_A^\mathbf{L} -) = \Ext^1(E, -)\), d’après la référence citée. L’hypothèse (ii) du lemme 07YN découle de la conclusion (2) du lemme 07YY et de l’égalité \(H^1(K^\bullet \otimes_A^\mathbf{L} -) = \Ext^0(E, -)\), d’après la même référence. L’hypothèse (iii) du lemme 07YN est claire.

Foncteurs commutant aux limites sur les schémas noethériens

Il est parfois commode de considérer des foncteurs ou des champs définis seulement sur la sous-catégorie pleine des schémas (localement) noethériens. Dans cette section, nous examinons cette question dans le cas des espaces algébriques.

Soit \(S\) un schéma localement noethérien. Soyons un peu pédants afin d’ajuster correctement nos catégories ; ceux qui font abstraction des questions ensemblistes peuvent simplement remplacer les ensembles de schémas choisis par la collection de tous les schémas dans ce qui suit. Comme dans Topologies, remarque 03FF, nous choisissons une catégorie \(\Sch_\alpha\) de schémas contenant \(S\) de sorte que nous obtenions les gros sites \((\Sch/S)_{Zar}\), \((\Sch/S)_\etale\), \((\Sch/S)_{smooth}\), \((\Sch/S)_{syntomic}\) et \((\Sch/S)_{fppf}\), ayant tous la même catégorie sous-jacente \(\Sch_\alpha/S\). Notons \[\textit{Noetherian}_\alpha \subset \Sch_\alpha\] la sous-catégorie pleine formée des schémas localement noethériens. Cela détermine une sous-catégorie pleine \[\textit{Noetherian}_\alpha/S \subset \Sch_\alpha/S\] Pour \(\tau \in \{Zariski, \etale, smooth, syntomic, fppf\}\), on a

  1. si \(f : X \to Y\) est un morphisme de \(\Sch_\alpha/S\) où \(Y\) appartient à \(\textit{Noetherian}_\alpha/S\) et si \(f\) est localement de type fini, alors \(X\) appartient à \(\textit{Noetherian}_\alpha/S\),

  2. pour des morphismes \(f : X \to Y\) et \(g : Z \to Y\) de \(\textit{Noetherian}_\alpha/S\), avec \(f\) localement de type fini, le produit fibré \(X \times_Y Z\) dans \(\textit{Noetherian}_\alpha/S\) existe et coïncide avec le produit fibré dans \(\Sch_\alpha/S\),

  3. si \(\{X_i \to X\}_{i \in I}\) est un recouvrement de \((\Sch/S)_\tau\) et si \(X\) appartient à \(\textit{Noetherian}_\alpha/S\), alors les objets \(X_i\) appartiennent à \(\textit{Noetherian}_\alpha/S\),

  4. la catégorie \(\textit{Noetherian}_\alpha/S\) munie de l’ensemble des recouvrements de \((\Sch/S)_\tau\) dont les objets appartiennent à \(\textit{Noetherian}_\alpha/S\) est un site que nous noterons \((\textit{Noetherian}/S)_\tau\),

  5. le foncteur d’inclusion \((\textit{Noetherian}/S)_\tau \to (\Sch/S)_\tau\) est pleinement fidèle, continu et cocontinu.

D’après Sites, lemmes 00XO et 00XR, nous obtenons un morphisme de topos \[g_\tau : \Sh((\textit{Noetherian}/S)_\tau) \longrightarrow \Sh((\Sch/S)_\tau)\] dont le foncteur image inverse est la restriction des faisceaux suivant le foncteur d’inclusion \((\textit{Noetherian}/S)_\tau \to (\Sch/S)_\tau\).

Remarque

Le site \((\textit{Noetherian}/S)_\tau\) ne possède pas de produits fibrés. Il faut donc être prudent lorsque l’on travaille avec des faisceaux. Par exemple, le foncteur d’inclusion continu \((\textit{Noetherian}/S)_\tau \to (\Sch/S)_\tau\) ne définit pas un morphisme de sites. Voir Exemples, section 0GE8, pour un exemple lorsque \(\tau = fppf\).

Soit \(F : (\textit{Noetherian}/S)_\tau^{opp} \to \textit{Ensembles}\) un foncteur. On dit que \(F\) commute aux limites si, pour toute limite projective filtrante de schémas affines \(X = \lim X_i\) de \((\textit{Noetherian}/S)_\tau\), on a \(F(X) = \colim F(X_i)\).

Lemme

Soit \(\tau \in \{Zariski, \etale, smooth, syntomic, fppf\}\). La restriction suivant le foncteur d’inclusion \((\textit{Noetherian}/S)_\tau \to (\Sch/S)_\tau\) définit une équivalence de catégories entre

  1. la catégorie des faisceaux commutant aux limites sur \((\Sch/S)_\tau\) et

  2. la catégorie des faisceaux commutant aux limites sur \((\textit{Noetherian}/S)_\tau\).

Démonstration

Soit \(F : (\textit{Noetherian}/S)_\tau^{opp} \to \textit{Ensembles}\) un foncteur qui commute aux limites et qui est un faisceau. D’après Topologies, lemmes 0EUW et 0GDW, il existe un unique foncteur \(F' : (\Sch/S)_\tau^{opp} \to \textit{Ensembles}\) qui commute aux limites, est un faisceau et dont la restriction est \(F\). En fait, la construction de \(F'\) dans Topologies, lemme 0EUW, est fonctorielle en \(F\), et cette construction est un foncteur quasi-inverse de la restriction. Nous omettons quelques détails.

Lemme

Soit \(X\) un objet de \((\textit{Noetherian}/S)_\tau\). Si le foncteur des points \(h_X : (\textit{Noetherian}/S)_\tau^{opp} \to \textit{Ensembles}\) commute aux limites, alors \(X\) est localement de présentation finie sur \(S\).

Démonstration

Soit \(V \subset X\) un ouvert affine dont l’image est contenue dans un ouvert affine \(U \subset S\). On peut écrire \(V = \lim V_i\) comme limite projective filtrante de schémas affines \(V_i\) de présentation finie sur \(U\), voir Algèbre, lemme 00QN. Par hypothèse, la flèche \(V \to X\) se factorise sous la forme \(V \to V_i \to X\) pour un certain \(i\). Quitte à augmenter \(i\), on peut supposer que \(V_i \to X\) se factorise par \(V\) : en effet, l’image réciproque de \(V \subset X\) dans \(V_i\) est égale à \(V_i\) pour un indice assez grand, d’après Limites, lemme 01Z4. Alors le morphisme identité \(V \to V\) se factorise par \(V_i\) pour un certain \(i\) dans la catégorie des schémas sur \(U\). Ainsi \(V \to U\) est de présentation finie ; le fait algébrique correspondant est que, si \(B\) est une \(A\)-algèbre telle que \(\text{id} : B \to B\) se factorise par une \(A\)-algèbre de présentation finie, alors \(B\) est de présentation finie sur \(A\) (joli exercice). Par conséquent, \(X\) est localement de présentation finie sur \(S\).

Le lemme suivant possède une variante pour les morphismes de foncteurs représentables par des espaces algébriques.

Lemme

Soit \(\tau \in \{Zariski, \etale, smooth, syntomic, fppf\}\). Soient \(F', G' : (\Sch/S)_\tau^{opp} \to \textit{Ensembles}\) des foncteurs commutant aux limites et qui sont des faisceaux. Soit \(a' : F' \to G'\) un morphisme de foncteurs. Notons \(a : F \to G\) la restriction de \(a' : F' \to G'\) à \((\textit{Noetherian}/S)_\tau\). Les assertions suivantes sont équivalentes :

  1. \(a'\) est représentable (comme morphisme de foncteurs, voir Catégories, définition 001X),

  2. pour tout objet \(V\) de \((\textit{Noetherian}/S)_\tau\) et tout morphisme \(V \to G\), le produit fibré \(F \times_G V : (\textit{Noetherian}/S)_\tau^{opp} \to \textit{Ensembles}\) est un foncteur représentable,

  3. même assertion qu’en (2), mais seulement pour \(V\) affine de type fini sur \(S\) dont l’image est contenue dans un ouvert affine de \(S\).

Démonstration

Supposons (1). D’après Limites d’espaces, lemme 0GDY, le morphisme de foncteurs \(a'\) commute aux limites11. Soit \(\xi : V \to G\) comme en (2). Notons \(V' = V\), mais considéré comme un objet de \((\Sch/S)_\tau\). Puisque \(G\) est la restriction de \(G'\) à \((\textit{Noetherian}/S)_\tau\), on voit que \(\xi \in G(V)\) correspond à \(\xi' \in G'(V')\). Par hypothèse, \(V' \times_{\xi', G'} F'\) est représentable par un schéma \(U'\). Le morphisme de schémas \(U' \to V'\) correspondant à la projection \(V' \times_{\xi', G'} F' \to V'\) est localement de présentation finie d’après Limites d’espaces, lemme 049M et Limites, proposition 01ZC. Ainsi \(U'\) est un schéma localement noethérien et, par conséquent, \(U'\) est isomorphe à un objet \(U\) de \((\textit{Noetherian}/S)_\tau\). Alors \(U\) représente \(F \times_G V\), comme voulu.

L’implication (2) \(\Rightarrow\) (3) est immédiate. Supposons (3). Nous allons démontrer (1). Soit \(T\) un objet de \((\Sch/S)_\tau\) et soit \(T \to G'\) un morphisme. Il faut montrer que le foncteur \(F' \times_{G'} T\) est représentable par un schéma \(X\) sur \(T\). Soit \(\mathcal{B}\) l’ensemble des ouverts affines de \(T\) dont l’image est contenue dans un ouvert affine de \(S\). Ils forment une base de la topologie de \(T\). Nous montrerons ci-dessous que, pour \(W \in \mathcal{B}\), le produit fibré \(F' \times_{G'} W\) est représentable par un schéma \(X_W\) sur \(W\). Si \(W_1 \subset W_2\) dans \(\mathcal{B}\), alors nous obtenons un isomorphisme \(X_{W_1} \to X_{W_2} \times_{W_2} W_1\), car \(X_{W_1}\) et \(X_{W_2} \times_{W_2} W_1\) représentent tous deux le foncteur \(F' \times_{G'} W_1\). Ces isomorphismes sont canoniques et satisfont la condition de cocycle mentionnée dans Constructions, lemme 01LH. Nous pouvons donc recoller les schémas \(X_W\) en un schéma \(X\) sur \(T\). La compatibilité des isomorphismes de recollement avec les morphismes \(X_W \to F'\) nous fournit un morphisme \(X \to F'\). Le morphisme ainsi obtenu \(X \to F' \times_{G'} T\) est un isomorphisme, comme on peut le vérifier localement sur \(T\) (la source et le but de cette flèche étant des faisceaux pour la topologie de Zariski).

Soit \(W\) un schéma affine dont l’image est contenue dans un ouvert affine \(U \subset S\). Soit \(W \to G'\) un morphisme. Toujours sous l’hypothèse (3), il faut montrer que \(F' \times_{G'} W\) est représentable par un schéma. On peut écrire \(W = \lim V'_i\) comme limite projective filtrante de schémas affines \(V'_i\) de présentation finie sur \(U\), voir Algèbre, lemme 00QN. Puisque \(V'_i\) est de type fini sur un schéma noethérien, on voit que \(V'_i\) est un schéma noethérien. Notons \(V_i = V'_i\), mais considéré comme un objet de \((\textit{Noetherian}/S)_\tau\). Puisque \(G'\) commute aux limites, on peut choisir un \(i\) et un morphisme \(V'_i \to G'\) tels que \(W \to G'\) soit le composé \(W \to V'_i \to G'\). Puisque \(G\) est la restriction de \(G'\) à \((\textit{Noetherian}/S)_\tau\), le morphisme \(V'_i \to G'\) est la même chose qu’un morphisme \(V_i \to G\) (voir ci-dessus). Par hypothèse (3), le foncteur \(F \times_G V_i\) est représentable par un objet \(X_i\) de \((\textit{Noetherian}/S)_\tau\). Le foncteur \(F \times_G V_i\) commute aux limites, car il est la restriction de \(F' \times_{G'} V'_i\), et ce foncteur commute aux limites d’après Limites d’espaces, lemme 0GDZ, l’hypothèse que \(F'\) et \(G'\) commutent aux limites, ainsi que Limites, remarque 05LX, qui nous dit que le foncteur des points de \(V'_i\) commute aux limites. D’après le lemme 0GE4, on conclut que \(X_i\) est localement de présentation finie sur \(S\). Notons \(X'_i = X_i\), mais considéré comme un objet de \((\Sch/S)_\tau\). Alors on voit que \(F' \times_{G'} V'_i\) et le foncteur des points \(h_{X'_i}\) sont tous deux des prolongements de \(h_{X_i} : (\textit{Noetherian}/S)_\tau^{opp} \to \textit{Ensembles}\) en des faisceaux sur \((\Sch/S)_\tau\) qui commutent aux limites. Par l’équivalence de catégories du lemme 0GE3, on en déduit que \(X'_i\) représente \(F' \times_{G'} V'_i\). Enfin, \[F' \times_{G'} W = F' \times_{G'} V'_i \times_{V'_i} W = X'_i \times_{V'_i} W\] est représentable, comme voulu.

Espaces algébriques dans le cadre noethérien

Soit \(S\) un schéma localement noethérien. Soit \((\textit{Noetherian}/S)_\etale \subset (\Sch/S)_\etale\) le site étudié à la section 0GE1. Soit \(F : (\textit{Noetherian}/S)_\etale^{opp} \to \textit{Ensembles}\) un foncteur, c’est-à-dire que \(F\) est un préfaisceau sur \((\textit{Noetherian}/S)_\etale\). Dans ce cadre, tous les axiomes [-1], [0], [1], [2], [3], [4], [5] de la section 07XZ ont un sens. Nous allons les passer en revue un à un et préciser exactement ce que nous entendons.

Axiome [-1]. Il s’agit d’une condition ensembliste que peuvent ignorer les lecteurs que les questions ensemblistes n’intéressent pas. Elle a un sens pour \(F\), puisqu’elle concerne l’évaluation de \(F\) sur les spectres de corps de type fini sur \(S\), qui sont des objets de \((\textit{Noetherian}/S)_\etale\).

Axiome [0]. C’est l’axiome selon lequel \(F\) est un faisceau sur \((\textit{Noetherian}/S)_\etale^{opp}\), c’est-à-dire qu’il vérifie la condition de faisceau pour les recouvrements étales.

Axiome [1]. C’est l’axiome selon lequel \(F\) commute aux limites au sens défini à la section 0GE1 : pour toute limite projective filtrante de schémas affines \(X = \lim X_i\) de \((\textit{Noetherian}/S)_\etale\), on a \(F(X) = \colim F(X_i)\).

Axiome [2]. C’est l’axiome selon lequel \(F\) vérifie la condition de Rim-Schlessinger (RS). D’après sa définition, donnée à la Définition 07WP, et la discussion de la section 07XZ, cela signifie que, pour toute somme amalgamée \(Y' = Y \amalg_X X'\) de schémas de type fini sur \(S\), où \(Y, X, X'\) sont les spectres d’anneaux locaux artiniens, l’application \[F(Y \amalg_X X') \to F(Y) \times_{F(X)} F(X')\] est bijective. Cette condition a un sens, car les schémas \(X\), \(X'\), \(Y\) et \(Y'\) appartiennent à \((\text{Noetherian}/S)_\etale\), puisqu’ils sont de type fini sur \(S\).

Axiome [3]. C’est l’axiome selon lequel tout espace tangent \(TF_{k, x_0}\) est de dimension finie. Cela a un sens, car les espaces tangents \(TF_{k, x_0}\) sont construits à partir des évaluations de \(F\) en \(\Spec(k)\) et en \(\Spec(k[\epsilon])\), où \(k\) est un corps de type fini sur \(S\), et sont donc obtenus par évaluation sur des objets de la catégorie \((\textit{Noetherian}/S)_\etale\).

Axiome [4]. C’est l’axiome selon lequel tout objet formel est effectif. D’après la discussion des sections 07X3 et 07XZ, cela ne fait intervenir que l’évaluation de notre foncteur sur des schémas noethériens, et cette condition a donc un sens pour \(F\).

Axiome [5]. C’est l’axiome selon lequel \(F\) vérifie l’ouverture de la versalité. Rappelons que cela signifie ce qui suit : étant donnés un schéma \(U\) localement de type fini sur \(S\), un élément \(x \in F(U)\) et un point de type fini \(u_0 \in U\) tel que \(x\) soit versel en \(u_0\), il existe alors un voisinage ouvert \(u_0 \in U' \subset U\) tel que \(x\) soit versel en tout point de type fini de \(U'\). Comme précédemment, sa vérification ne fait intervenir que l’évaluation de notre foncteur sur des schémas noethériens.

Proposition

Soit \(S\) un schéma localement noethérien. Soit \(F : (\textit{Noetherian}/S)_\etale^{opp} \to \textit{Ensembles}\) un foncteur. Supposons que

  1. \(\Delta : F \to F \times F\) soit représentable (comme transformation de foncteurs, voir Catégories, Définition 001X),

  2. \(F\) vérifie les axiomes [-1], [0], [1], [2], [3], [4], [5] (voir ci-dessus), et

  3. \(\mathcal{O}_{S, s}\) soit un anneau G pour tout point \(s\) de type fini de \(S\).

Alors il existe un unique espace algébrique \(F' : (\Sch/S)_{fppf}^{opp} \to \textit{Ensembles}\) dont la restriction à \((\textit{Noetherian}/S)_\etale\) est \(F\) (voir la démonstration pour plus de précisions).

Démonstration

Rappelons que les sites \((\Sch/S)_{fppf}\) et \((\Sch/S)_\etale\) ont la même catégorie sous-jacente ; voir la discussion de la section 0GE1. De même, les sites \((\textit{Noetherian}/S)_\etale\) et \((\textit{Noetherian}/S)_{fppf}\) ont la même catégorie sous-jacente. Par les axiomes [0] et [1], le foncteur \(F\) est un faisceau et commute aux limites. Soit \(F' : (\Sch/S)_\etale^{opp} \to \textit{Ensembles}\) l’unique prolongement de \(F\) qui soit un faisceau (pour la topologie étale) et qui commute aux limites ; voir le Lemme 0GE3. Alors \(F'\) vérifie les axiomes [0] et [1] tels qu’ils sont énoncés à la section 07XZ. D’après le Lemme 0GE5, \(\Delta' : F' \to F' \times F'\) est représentable (par des schémas). D’autre part, il est immédiat que \(F'\) vérifie les axiomes [-1], [2], [3], [4], [5] de la section 07XZ, puisque chacun de ces axiomes ne fait intervenir que l’évaluation de \(F'\) sur des objets de \((\textit{Noetherian}/S)_\etale\) et que nous avons supposé les conditions correspondantes pour \(F\). Ainsi, \(F'\) est un espace algébrique d’après la Proposition 07Y1.

Théorème d’Artin sur les contractions

Dans cette section, nous utiliserons librement le langage des espaces algébriques formels, voir Espaces formels, section 0AHX. Le théorème d’Artin sur les contractions est l’un des deux principaux théorèmes de l’article d’Artin [ArtinII] ; le premier est son théorème sur les dilatations, que nous avons énoncé et démontré dans Algébrisation des espaces formels, section 0GDT.

Situation

Soit \(S\) un schéma localement noethérien. Soit \(X'\) un espace algébrique localement de type fini sur \(S\). Soit \(T' \subset |X'|\) une partie fermée. Soit \(U' \subset X'\) le sous-espace ouvert tel que \(|U'| = |X'| \setminus T'\). Soit \(W\) un espace algébrique formel localement noethérien sur \(S\), tel que \(W_{red}\) soit localement de type fini sur \(S\). Enfin, soit \[g : X'_{/T'} \longrightarrow W\] une modification formelle, voir Algébrisation des espaces formels, définition 0GDK. Rappelons que \(X'_{/T'}\) désigne le complété formel de \(X'\) le long de \(T'\), voir Espaces formels, section 0AIX.

Dans la situation ci-dessus, notre but est de démontrer qu’il existe un morphisme propre \(f : X' \to X\) d’espaces algébriques sur \(S\), une partie fermée \(T \subset |X|\) et un isomorphisme \(a : X_{/T} \to W\) d’espaces algébriques formels tels que

  1. \(T'\) soit l’image inverse de \(T\) par \(|f| : |X'| \to |X|\),

  2. \(f : X' \to X\) envoie isomorphiquement \(U'\) sur un sous-espace ouvert \(U\) de \(X\), et

  3. \(g = a \circ f_{/T}\), où \(f_{/T} : X'_{/T'} \to X_{/T}\) est le morphisme induit.

Nous dirons que \((f : X' \to X, T, a)\) est une solution.

Nous suivrons la stratégie d’Artin en construisant un foncteur \(F\) sur la catégorie des schémas localement noethériens sur \(S\), en montrant que \(F\) est un espace algébrique à l’aide de la proposition 0GE7, et en démontrant que le choix \(X = F\) convient.

Remarque

En particulier, nous ne pouvons pas démontrer que le résultat souhaité est vrai pour toute Situation 0GH8, car nous devrons supposer que les anneaux locaux de \(S\) sont des G-anneaux. Si vous pouvez démontrer le résultat en général ou si vous disposez d’un contre-exemple, veuillez nous le signaler à l’adresse stacks.project@gmail.com.

Dans la Situation 0GH8, soit \(V\) un schéma localement noethérien sur \(S\). La valeur de notre foncteur \(F\) en \(V\) sera l’ensemble de tous les triplets \[(Z, u' : V \setminus Z \to U', \hat x : V_{/Z} \to W)\] satisfaisant aux conditions suivantes :

  1. \(Z \subset V\) est une partie fermée,

  2. \(u' : V \setminus Z \to U'\) est un morphisme sur \(S\),

  3. \(\hat x : V_{/Z} \to W\) est un morphisme adique d’espaces algébriques formels sur \(S\),

  4. \(u'\) et \(\hat x\) sont compatibles (voir ci-dessous).

La condition de compatibilité est la suivante : par changement de base de la modification formelle \(g\), nous obtenons une modification formelle \[X'_{/T'} \times_{g, W, \hat x} V_{/Z} \longrightarrow V_{/Z}\] Voir Algébrisation des espaces formels, lemme 0GDN. D’après le théorème principal sur les dilatations (Algébrisation des espaces formels, théorème 0GDU), il existe un unique morphisme propre \(V' \to V\) d’espaces algébriques, qui est un isomorphisme au-dessus de \(V \setminus Z\), tel que \(V'_{/Z} \to V_{/Z}\) soit isomorphe à la flèche affichée. Autrement dit, pour un certain morphisme \(\hat x' : V'_{/Z} \to X'_{/T'}\), nous avons un diagramme cartésien \[\xymatrix{ V'_{/Z} \ar[r] \ar[d]_{\hat x'} & V_{/Z} \ar[d]^{\hat x} \\ X'_{/T'} \ar[r]^g & W }\] d’espaces algébriques formels. Nous considérerons \(V \setminus Z\) comme un sous-espace ouvert de \(V'\) sans plus le mentionner. La condition de compatibilité exige qu’il existe un morphisme \(x' : V' \to X'\) dont les restrictions soient \(u'\) et \(\hat x\) sur \(V \setminus Z \subset V'\) et \(V'_{/Z}\). Autrement dit, il faut que le diagramme \[\xymatrix{ V \setminus Z \ar[r] \ar[d]_{u'} & V' \ar[d]^{x'} & V'_{/Z} \ar[l] \ar[d]^{\hat x'} \ar[r] & V_{/Z} \ar[d]^{\hat x} \\ U' \ar[r] & X' & X'_{/T'} \ar[r]^g \ar[l] & W }\] soit commutatif. Observons que, d’après Algébrisation des espaces formels, lemme 0AR7, le morphisme \(x'\) est unique s’il existe. Nous indiquerons cette situation en disant “\(V' \to V\), \(\hat x'\) et \(x'\) témoignent de la compatibilité entre \(u'\) et \(\hat x\)”.

Remarque

Dans la Situation 0GH8, soit \(V\) un schéma localement noethérien sur \(S\). Soit \((Z, u', \hat x)\) un triplet satisfaisant aux conditions (1), (2) et (3) ci-dessus. Nous voulons expliquer une manière d’envisager la condition de compatibilité (4). Elle ne sera pas mathématiquement précise, car nous allons utiliser une catégorie fictive \(\textit{An}_S\) d’espaces analytiques sur \(S\) et un foncteur d’analytification fictif \[\left\{ \begin{matrix} \text{espaces algébriques formels} \\ \text{localement noethériens sur }S \end{matrix} \right\} \longrightarrow \textit{An}_S, \quad\quad Y \longmapsto Y^{an}\] Par exemple, si \(Y = \text{Spf}(k[[t]])\) sur \(S = \Spec(k)\), alors \(Y^{an}\) doit être considéré comme un disque unité ouvert. Si \(Y = \Spec(k)\), alors \(Y^{an}\) est réduit à un seul point. La catégorie \(\textit{An}_S\) devrait posséder des immersions ouvertes et fermées, et nous devrions pouvoir prendre l’ouvert complémentaire d’une partie fermée. Pour \(Y\) donné, le morphisme \(Y_{red} \to Y\) devrait induire une immersion fermée \(Y_{red}^{an} \to Y^{an}\). Nous posons \(Y^{rig} = Y^{an} \setminus Y_{red}^{an}\) égal à son ouvert complémentaire. Si \(Y\) est un espace algébrique et si \(Z \subset Y\) est fermé, alors le morphisme \(Y_{/Z} \to Y\) devrait induire une immersion ouverte \(Y_{/Z}^{an} \to Y^{an}\), laquelle devrait à son tour induire une immersion ouverte \[can : (Y_{/Z})^{rig} \longrightarrow (Y \setminus Z)^{an}\] En outre, étant donnée une modification formelle \(g : Y' \to Y\) d’espaces algébriques formels localement noethériens, le morphisme induit \(g^{rig} : (Y')^{rig} \to Y^{rig}\) devrait être un isomorphisme. Étant donnés \(\text{An}_S\) et le foncteur d’analytification, nous pouvons considérer l’exigence que le diagramme \[\xymatrix{ (V_{/Z})^{rig} \ar[rr]_{can} \ar[d]_{(g^{rig})^{-1} \circ \hat x^{an}} & & (V \setminus Z)^{an} \ar[d]^{(u')^{an}} \\ (X'_{/T'})^{rig} \ar[rr]^{can} & & (X' \setminus T')^{an} }\] soit commutatif. Cela a un sens puisque \(g^{rig} : (X'_{T'})^{rig} \to W^{rig}\) est un isomorphisme et que \(U' = X' \setminus T'\). Enfin, sous certaines hypothèses de fidélité du foncteur d’analytification, cette exigence sera équivalente à la condition de compatibilité formulée ci-dessus. Nous espérons que cela incitera le lecteur à considérer la compatibilité de \(u'\) et de \(\hat x\) comme l’exigence que certaines applications soient égales, plutôt que comme la demande d’existence d’un certain diagramme commutatif.

Lemme

Dans la Situation 0GH8, la règle \(F\) qui associe à un schéma localement noethérien \(V\) sur \(S\) l’ensemble des triplets \((Z, u', \hat x)\) satisfaisant à la condition de compatibilité et qui associe à un morphisme \(\varphi : V_2 \to V_1\) de schémas localement noethériens sur \(S\) l’application \[F(\varphi) : F(V_1) \longrightarrow F(V_2)\] envoyant un élément \((Z_1, u'_1, \hat x_1)\) de \(F(V_1)\) sur \((Z_2, u'_2, \hat x_2)\) dans \(F(V_2)\) défini par

  1. \(Z_2 \subset V_2\) est l’image inverse de \(Z_1\) par \(\varphi\),

  2. \(u'_2\) est le composé de \(u'_1\) et de \(\varphi|_{V_2 \setminus Z_2} : V_2 \setminus Z_2 \to V_1 \setminus Z_1\),

  3. \(\hat x_2\) est le composé de \(\hat x_1\) et de \(\varphi_{/Z_2} : V_{2, /Z_2} \to V_{1, /Z_1}\)

est un foncteur contravariant.

Démonstration

Pour vérifier la condition de compatibilité entre \(u'_2\) et \(\hat x_2\), soient \(V'_1 \to V_1\), \(\hat x'_1\) et \(x'_1\) témoignant de la compatibilité entre \(u'_1\) et \(\hat x_1\). Posons \(V'_2 = V_2 \times_{V_1} V'_1\), posons \(\hat x'_2\) égal au composé de \(\hat x'_1\) et de \(V'_{2, /Z_2} \to V'_{1, /Z_1}\), et posons \(x'_2\) égal au composé de \(x'_1\) et de \(V'_2 \to V'_1\). Alors \(V'_2 \to V_2\), \(\hat x'_2\) et \(x'_2\) témoignent de la compatibilité entre \(u'_2\) et \(\hat x_2\). Nous omettons la vérification détaillée.

Lemme

Dans la Situation 0GH8, s’il existe une solution \((f : X' \to X, T, a)\), alors il existe une bijection fonctorielle \(F(V) = \Mor_S(V, X)\) sur la catégorie des schémas localement noethériens \(V\) sur \(S\).

Démonstration

Soit \(V\) un schéma localement noethérien sur \(S\). Soit \(x : V \to X\) un morphisme sur \(S\). Nous obtenons alors un élément \((Z, u', \hat x)\) de \(F(V)\) comme suit :

  1. \(Z \subset V\) est l’image inverse de \(T\) par \(x\),

  2. \(u' : V \setminus Z \to U' = U\) est la restriction de \(x\) à \(V \setminus Z\),

  3. \(\hat x : V_{/Z} \to W\) est le composé de \(x_{/Z} : V_{/Z} \to X_{/T}\) avec l’isomorphisme \(a : X_{/T} \to W\).

Ce triplet satisfait à la condition de compatibilité, car nous pouvons prendre \(V' = V \times_{x, X} X'\) et prendre pour \(\hat x'\) le complété de la projection \(x' : V' \to X'\).

Réciproquement, supposons donné un élément \((Z, u', \hat x)\) de \(F(V)\). Nous affirmons qu’il existe un unique morphisme \(x : V \to X\) compatible avec \(u'\) et \(\hat x\). En effet, soient \(V' \to V\), \(\hat x'\) et \(x'\) témoignant de la compatibilité entre \(u'\) et \(\hat x\). Alors Algébrisation des espaces formels, proposition 0GI3 est exactement le résultat dont nous avons besoin pour trouver un unique morphisme \(x : V \to X\) coïncidant avec \(\hat x\) sur \(V_{/Z}\) et avec \(x'\) sur \(V'\) (et a fortiori coïncidant avec \(u'\) sur \(V \setminus Z\)).

Nous omettons la vérification que les deux constructions ci-dessus définissent des bijections réciproques entre leurs domaines respectifs.

Lemme

Dans la Situation 0GH8, s’il existe un espace algébrique \(X\) localement de type fini sur \(S\) et une bijection fonctorielle \(F(V) = \Mor_S(V, X)\) sur la catégorie des schémas localement noethériens \(V\) sur \(S\), alors \(X\) est une solution.

Démonstration

Nous devons construire un morphisme propre \(f : X' \to X\), une partie fermée \(T \subset |X|\) et un isomorphisme \(a : X_{/T} \to W\) ayant les propriétés (1), (2), (3) énumérées juste après la Situation 0GH8.

La discussion de cette démonstration est quelque peu pédante, car nous voulons faire coïncider soigneusement les catégories sous-jacentes. Dans ce paragraphe, nous expliquons comment le lecteur aventureux peut procéder avec moins de timidité. En effet, le lecteur peut étendre notre définition du foncteur \(F\) à tous les espaces algébriques localement noethériens sur \(S\). Ce faisant, le lecteur peut alors conclure que \(F\) et \(X\) coïncident en tant que foncteurs sur la catégorie de ces espaces algébriques, c’est-à-dire que \(X\) représente \(F\). On considère alors l’objet universel \((T, u', \hat x)\) dans \(F(X)\). Le lecteur constatera alors que, pour le triplet \(X'' \to X\), \(\hat x'\), \(x'\) témoignant de la compatibilité entre \(u'\) et \(\hat x\), le morphisme \(x' : X'' \to X'\) est un isomorphisme, ce qui produira \(f : X' \to X\) en inversant \(x'\). Enfin, nous disposons déjà de \(T \subset |X|\), et le lecteur peut montrer que \(\hat x\) est un isomorphisme qui peut servir de dernier ingrédient, à savoir \(a\).

Notons \(h_X(-) = \Mor_S(-, X)\) le foncteur des points de \(X\) restreint à la catégorie \((\textit{Noetherian}/S)_\etale\) de la section 0GE1. D’après Limites d’espaces, remarque 05N0, les espaces algébriques \(X\) et \(X'\) commutent aux limites. Il en est donc de même des restrictions \(h_X\) et \(h_{X'}\). Pour construire \(f\), il suffit donc de construire une transformation \(h_{X'} \to h_X = F\), voir le lemme 0GE3. Soit donc \(V \to S\) un objet de \((\textit{Noetherian}/S)_\etale\) et soit \(\tilde x : V \to X'\) un élément de \(h_{X'}(V)\). Nous obtenons alors un élément \((Z, u', \hat x)\) de \(F(V)\) comme suit :

  1. \(Z \subset V\) est l’image inverse de \(T'\) par \(\tilde x\),

  2. \(u' : V \setminus Z \to U'\) est la restriction de \(\tilde x\) à \(V \setminus Z\),

  3. \(\hat x : V_{/Z} \to W\) est le composé de \(x_{/Z} : V_{/Z} \to X'_{/T'}\) avec \(g : X'_{/T'} \to W\).

Ce triplet satisfait à la condition de compatibilité : tout d’abord, nous obtenons gratuitement \(V' \to V\) et \(\hat x' : V'_{/Z'} \to X'_{/T'}\) (voir la discussion précédant le lemme 0GHA). Il suffit ensuite de définir \(x' : V' \to X'\) comme le composé de \(V' \to V\) et du morphisme \(\tilde x : V \to X'\). Nous omettons de vérifier que cette construction convient.

Si \(\xi : V \to X\) est un morphisme étale, où \(V\) est un schéma, alors nous obtenons \(\xi = (Z, u', \hat x) \in F(V) = h_X(V) = X(V)\). Bien entendu, si \(\varphi : V' \to V\) est encore un morphisme étale de schémas, alors l’image inverse de \((Z, u', \hat x)\) dans \(F(V')\) correspond à \(\xi \circ \varphi\). La partie fermée \(T \subset |X|\) est simplement définie par la condition que le morphisme \(\xi : V \to X\) associé à \(\xi = (Z, u', \hat x)\) ait pour image inverse de \(T\) la partie \(Z\).

Considérons un schéma noethérien \(V\) sur \(S\) et un morphisme \(\xi : V \to X\) correspondant à \((Z, u', \hat x)\) comme ci-dessus. Alors \(\xi(V)\) est ensemblistement contenue dans \(T\) si et seulement si \(V = Z\) (comme espaces topologiques). Il s’ensuit que \(X_{/T}\) coïncide avec \(W\) en tant que foncteur. On obtient ainsi l’isomorphisme \(a : X_{/T} \to W\). (Nous avons omis ici un petit détail : pour les espaces algébriques formels localement noethériens \(X_{/T}\) et \(W\), il suffit de vérifier que l’on obtient un isomorphisme après évaluation sur les schémas localement noethériens sur \(S\).)

Nous omettons la démonstration des conditions (1), (2) et (3).

Remarque

Plaçons-nous dans la Situation 0GH8. Soit \(V\) un schéma localement noethérien sur \(S\). Soit \((Z_i, u'_i, \hat x_i) \in F(V)\) pour \(i = 1, 2\). Supposons que \(V'_i \to V\), \(\hat x'_i\) et \(x'_i\) témoignent de la compatibilité entre \(u'_i\) et \(\hat x_i\) pour \(i = 1, 2\).

Posons \(V' = V'_1 \times_V V'_2\). Notons \(E' \to V'\) le noyau du couple de morphismes \[V' \to V'_1 \xrightarrow{x'_1} X' \quad\text{et}\quad V' \to V'_2 \xrightarrow{x'_2} X'\] Posons \(Z = Z_1 \cap Z_2\). Notons \(E_W \to V_{/Z}\) le noyau du couple de morphismes \[V_{/Z} \to V_{/Z_1} \xrightarrow{\hat x_1} W \quad\text{et}\quad V_{/Z} \to V_{/Z_2} \xrightarrow{\hat x_2} W\] Remarquons que \(E' \to V\) est séparé et localement de type fini et que \(E_W\) est un espace algébrique formel localement noethérien séparé sur \(V\). Les compatibilités entre les divers morphismes en jeu montrent que

  1. \(\Im(E' \to V) \cap (Z_1 \cup Z_2)\) est contenue dans \(Z = Z_1 \cap Z_2\),

  2. le morphisme \(E' \times_V (V \setminus Z) \to V \setminus Z\) est un monomorphisme et est le noyau du couple formé par les restrictions de \(u'_1\) et \(u'_2\) à \(V \setminus (Z_1 \cup Z_2)\),

  3. le morphisme \(E'_{/Z} \to V_{/Z}\) se factorise par \(E_W\) et le diagramme \[\xymatrix{ E'_{/Z} \ar[r] \ar[d] & X'_{/T'} \ar[d]^g \\ E_W \ar[r] & W }\] est cartésien. En particulier, le morphisme \(E'_{/Z} \to E_W\) est une modification formelle, car il s’obtient par changement de base de \(g\),

  4. les données \(E'\), \((E' \to V)^{-1}Z\) et \(E'_{/Z} \to E_W\) forment un triplet comme dans la Situation 0GH8 dont le schéma de base est le schéma localement noethérien \(V\),

  5. pour tout morphisme \(\varphi : A \to V\) de schémas localement noethériens, les conditions suivantes sont équivalentes :

    1. \((Z_1, u'_1, \hat x_1)\) et \((Z_2, u'_2, \hat x_2)\) induisent le même élément de \(F(A)\),

    2. \(A \setminus \varphi^{-1}(Z) \to V \setminus Z\) se factorise par \(E' \times_V (V \setminus Z)\) et \(A_{/\varphi^{-1}(Z)} \to V_{/Z}\) se factorise par \(E_W\).

Nous concluons, à l’aide des lemmes 0GHB et 0GHC, que, s’il existe une solution \(E \to V\) pour le triplet de (4), alors \(E\) représente \(F \times_{\Delta, F \times F} V\) sur la catégorie des schémas localement noethériens sur \(V\).

Lemme

Dans la Situation 0GH8, supposons donnée une partie fermée \(Z \subset S\) telle que

  1. l’image inverse de \(Z\) dans \(X'\) soit \(T'\),

  2. \(U' \to S \setminus Z\) soit une immersion fermée,

  3. \(W \to S_{/Z}\) soit une immersion fermée.

Alors il existe une solution \((f : X' \to X, T, a)\) et, de plus, \(X \to S\) est une immersion fermée.

Démonstration

Supposons qu’il existe un sous-schéma fermé \(X \subset S\) tel que \(X \cap (S \setminus Z) = U'\) et \(X_{/Z} = W\). Alors \(X\) représente le foncteur \(F\) (nous omettons certains détails) et est donc une solution. Trouver \(X\) est manifestement une question locale sur \(S\). On se ramène ainsi au cas traité au paragraphe suivant.

Supposons que \(S = \Spec(A)\) soit affine. Soit \(I \subset A\) l’idéal radical définissant \(Z\). Écrivons \(I = (f_1, \ldots, f_r)\). Par hypothèse, les assertions suivantes sont vraies :

  1. l’immersion fermée \(U' \to S \setminus Z\) détermine des idéaux \(J_i \subset A[1/f_i]\) tels que \(J_i\) et \(J_j\) engendrent le même idéal de \(A[1/f_if_j]\),

  2. l’immersion fermée \(W \to S_{/Z}\) est l’application \(\text{Spf}(A^\wedge/J') \to \text{Spf}(A^\wedge)\) pour un certain idéal \(J' \subset A^\wedge\) du complété \(I\)-adique \(A^\wedge\) de \(A\).

Pour achever la démonstration, il nous faut trouver un idéal \(J \subset A\) tel que \(J_i = J[1/f_i]\) et \(J' = JA^\wedge\). D’après la proposition 05ER de Compléments d’algèbre, il suffit de montrer que \(J_i\) et \(J'\) engendrent le même idéal de \(A^\wedge[1/f_i]\) pour tout \(i\).

Rappelons que \(A' = H^0(X', \mathcal{O})\) est une \(A\)-algèbre finie dont la formation commute au changement de base plat (Cohomologie des espaces, lemmes 08AS et 073K). Posons \(J'' = \Ker(A \to A')\)12. L’égalité \(J_i = J''A[1/f_i]\) résulte du changement de base au spectre de \(A[1/f_i]\). Considérons le diagramme commutatif \[\xymatrix{ X' \ar[d] & X'_{/T'} \times_{S_{/Z}} \text{Spf}(A^\wedge) \ar[l] \ar[d] & X'_{/T'} \times_W \text{Spf}(A^\wedge/J') \ar@{=}[l] \ar[d] \\ \Spec(A) & \text{Spf}(A^\wedge) \ar[l] & \text{Spf}(A^\wedge/J') \ar[l] }\] La flèche verticale médiane est le complété de la flèche verticale de gauche le long des parties fermées évidentes. D’après le théorème des fonctions formelles, on a \[(A')^\wedge = \Gamma(X' \times_S \Spec(A^\wedge), \mathcal{O}) = \lim H^0(X' \times_S \Spec(A/I^n), \mathcal{O})\] Voir Cohomologie des espaces, théorème 08AZ. Le diagramme montre que \(J'\) s’envoie sur zéro dans \((A')^\wedge\). Ainsi \(J' \subset J'' A^\wedge\). Considérons les flèches \[X'_{/T'} \to \text{Spf}(A^\wedge/J''A^\wedge) \to \text{Spf}(A^\wedge/J') = W\] Nous savons que le composé \(g\) est une modification formelle (donc, en particulier, rig-étale et rig-surjectif) et que la seconde flèche est une immersion fermée (donc, en particulier, un monomorphisme adique). Par conséquent, \(X'_{/T'} \to \text{Spf}(A^\wedge/J''A^\wedge)\) est rig-surjectif et rig-étale ; voir Algébrisation des espaces formels, lemmes 0GH5 et 0GH4. En appliquant les lemmes d’Algébrisation des espaces formels 0GH6 et 0AQT, nous concluons que \(\text{Spf}(A^\wedge/J''A^\wedge) \to W\) est rig-étale et rig-surjectif. D’après Algébrisation des espaces formels, lemme 0GD6, nous concluons que \(I^n J'' A^\wedge \subset J'\) pour un certain \(n > 0\). Il s’ensuit que \(J'' A^\wedge[1/f_i] = J' A^\wedge[1/f_i]\) et nous en déduisons \(J_i A^\wedge[1/f_i] = J' A^\wedge[1/f_i]\) pour tout \(i\), comme souhaité.

Lemme

Dans la Situation 0GH8, supposons que \(X' \to S\) et \(W \to S\) soient séparés. Alors la diagonale \(\Delta : F \to F \times F\) est représentable par des immersions fermées.

Démonstration

Il suffit de combiner le lemme 0GHE avec la discussion de la remarque 0GHD.

Lemme

Dans la Situation 0GH8, le foncteur \(F\) vérifie la propriété de faisceau pour tout recouvrement étale de schémas localement noethériens sur \(S\).

Démonstration

Démonstration omise. Indication : les morphismes peuvent se définir localement pour la topologie étale.

Lemme

Dans la Situation 0GH8, le foncteur \(F\) commute aux limites : pour toute limite projective \(V = \lim V_\lambda\) d’un système filtrant de schémas affines noethériens sur \(S\), nous avons \(F(V) = \colim F(V_\lambda)\).

Démonstration

Cette démonstration est absurdement longue. Elle repose en grande partie sur des arguments classiques sur les limites et la localisation étale. Nous invitons le lecteur à passer directement à la dernière partie de la démonstration, où survient quelque chose d’intéressant.

Soit \(V = \lim_{\lambda \in \Lambda} V_i\) la limite projective d’un système filtrant de schémas sur \(S\), où \(V\) et \(V_\lambda\) sont noethériens et où les morphismes de transition sont affines. Voir Limites, section 01YV, pour les résultats sur les limites de schémas. Nous allons démontrer que \(\colim F(V_\lambda) \to F(V)\) est bijective.

Démonstration de l’injectivité : notations. Soit \(\lambda \in \Lambda\) et soient \(\xi_{\lambda, 1}, \xi_{\lambda, 2} \in F(V_\lambda)\) des éléments qui induisent le même élément de \(F(V)\). Écrivons \(\xi_{\lambda, 1} = (Z_{\lambda, 1}, u'_{\lambda, 1}, \hat x_{\lambda, 1})\) et \(\xi_{\lambda, 2} = (Z_{\lambda, 2}, u'_{\lambda, 2}, \hat x_{\lambda, 2})\).

Démonstration de l’injectivité : coïncidence des \(Z_{\lambda, i}\). Puisque \(Z_{\lambda, 1}\) et \(Z_{\lambda, 2}\) ont la même image inverse fermée dans \(V\), quitte à augmenter \(i\), nous pouvons supposer que \(Z_{\lambda, 1} = Z_{\lambda, 2}\) ; voir Limites, lemme 0CUF, et Topologie, lemme 0A2P. Notons leur valeur commune \(Z_\lambda \subset V_\lambda\) et, pour \(\mu \geq \lambda\), notons \(Z_\mu \subset V_\mu\) son image inverse dans \(V_\mu\), et notons \(Z\) son image inverse dans \(V\). Nous utiliserons plus bas l’égalité \(Z = \lim_{\mu \geq \lambda} Z_\mu\) en tant que schémas si l’on considère \(Z\) et les \(Z_\mu\) comme des sous-schémas fermés réduits.

Démonstration de l’injectivité : coïncidence des \(u'_{\lambda, i}\). Puisque \(U'\) est localement de type fini sur \(S\) et que les restrictions de \(u'_{\lambda, 1}\) et \(u'_{\lambda, 2}\) à \(V \setminus Z\) coïncident, quitte à augmenter \(\lambda\), nous pouvons supposer que \(u'_{\lambda, 1} = u'_{\lambda, 2}\) ; voir Limites, proposition 01ZC. Notons leur valeur commune \(u'_\lambda\) et notons \(u'\) sa restriction à \(V \setminus Z\).

Démonstration de l’injectivité : reformulation. À ce stade, nous avons \(\xi_{\lambda, 1} = (Z_\lambda, u'_\lambda, \hat x_{\lambda, 1})\) et \(\xi_{\lambda, 2} = (Z_\lambda, u'_\lambda, \hat x_{\lambda, 2})\). Le principal problème de cette partie de la démonstration consiste à montrer que les morphismes \(\hat x_{\lambda, 1}\) et \(\hat x_{\lambda, 2}\) coïncident après avoir éventuellement augmenté \(\lambda\).

Démonstration de l’injectivité : coïncidence des \(\hat x_{\lambda, i}|_{Z_\lambda}\). Considérons les morphismes \(\hat x_{\lambda, 1}|_{Z_\lambda}, \hat x_{\lambda, 2}|_{Z_\lambda} : Z_\lambda \to W_{red}\). Ces morphismes induisent le même morphisme \(Z \to W_{red}\). Puisque \(W_{red}\) est un schéma localement de type fini sur \(S\), la proposition de Limites 01ZC montre que, quitte à remplacer \(\lambda\) par un indice plus grand, nous pouvons supposer que \(\hat x_{\lambda, 1}|_{Z_\lambda} = \hat x_{\lambda, 2}|_{Z_\lambda} : Z_\lambda \to W_{red}\).

Démonstration de l’injectivité : fin. Nous allons maintenant appliquer la discussion de la remarque 0GHD à \(V_\lambda\) et aux deux éléments \(\xi_{\lambda, 1}, \xi_{\lambda, 2} \in F(V_\lambda)\). Nous obtenons ainsi

  1. \(e_\lambda : E_\lambda' \to V_\lambda\) séparé et localement de type fini,

  2. \(e_\lambda^{-1}(V_\lambda \setminus Z_\lambda) \to V_\lambda \setminus Z_\lambda\) est un isomorphisme,

  3. un monomorphisme \(E_{W, \lambda} \to V_{\lambda, /Z_\lambda}\) qui est l’égalisateur de \(\hat x_{\lambda, 1}\) et \(\hat x_{\lambda, 2}\),

  4. une modification formelle \(E'_{\lambda, /Z_\lambda} \to E_{W, \lambda}\)

L’assertion (2) découle de l’assertion (2) de la Remarque 0GHD et du travail préparatoire effectué ci-dessus, qui donne \(u'_{\lambda, 1} = u'_{\lambda, 2} = u'_\lambda\). Puisque \(Z_\lambda = (V_{\lambda, /Z_\lambda})_{red}\) se factorise par \(E_{W, \lambda}\) car \(\hat x_{\lambda, 1}|_{Z_\lambda} = \hat x_{\lambda, 2}|_{Z_\lambda}\), il résulte de Espaces formels, Lemme 0GHZ, que \(E_{W, \lambda} \to V_{\lambda, /Z_\lambda}\) est une immersion fermée. Alors il résulte de l’assertion (4) de la Remarque 0GHD et du Lemme 0GHE appliqué au triplet \(E_\lambda'\), \(e_\lambda^{-1}(Z_\lambda)\), \(E'_{\lambda, /Z_\lambda} \to E_{W, \lambda}\) au-dessus de \(V_\lambda\) que l’on obtient une immersion fermée \(E_\lambda \to V_\lambda\) qui est une solution pour ce triplet. Ensuite, nous utilisons l’assertion (5) de la Remarque 0GHD qui, combinée au Lemme 0GHB, dit que \(E_\lambda\) est l’“égalisateur” de \(\xi_{\lambda, 1}\) et \(\xi_{\lambda, 2}\). En particulier, nous voyons que \(V \to V_\lambda\) se factorise par \(E_\lambda\). Puis, en utilisant encore Limites, Proposition 01ZC, nous trouvons une fois de plus un \(\mu \geq \lambda\) tel que \(V_\mu \to V_\lambda\) se factorise par \(E_\lambda\) et, par conséquent, les images réciproques de \(\xi_{\lambda, 1}\) et \(\xi_{\lambda, 2}\) dans \(V_\mu\) sont égales, comme souhaité.

Démonstration de la surjectivité : énoncé. Soit \(\xi = (Z, u', \hat x)\) un élément de \(F(V)\). Il faut trouver un \(\lambda \in \Lambda\) et un élément \(\xi_\lambda \in F(V_\lambda)\) dont la restriction soit \(\xi\).

Démonstration de la surjectivité : la question est locale pour la topologie étale. Grâce à l’unicité établie dans la partie précédente de la démonstration et à la propriété de faisceau de \(F\) du Lemme 0GHG, le problème est local sur \(V\) pour la topologie étale. Plus précisément, soit \(v \in V\). Nous affirmons qu’il suffit de trouver un morphisme étale \((\tilde V, \tilde v) \to (V, v)\) ainsi qu’un \(\lambda\), un morphisme étale \(\tilde V_\lambda \to V_\lambda\), et un élément \(\tilde \xi_\lambda \in F(\tilde V_\lambda)\) tels que \(\tilde V = \tilde V_\lambda \times_{V_\lambda} V\) et \(\xi|_U = \tilde \xi_\lambda|_U\). Nous omettons une démonstration détaillée de cette affirmation13.

Démonstration de la surjectivité : reformulation du problème. Rappelons que tout morphisme étale \((\tilde V, \tilde v) \to (V, v)\) avec \(\tilde V\) affine s’obtient par changement de base à partir d’un morphisme étale \(\tilde V_\lambda \to V_\lambda\) avec \(\tilde V_\lambda\) affine pour un certain \(\lambda\), voir par exemple Topologies, Lemme 049N. Une fois \(\tilde V_\lambda\) donné, nous avons \(\tilde V = \lim_{\mu \geq \lambda} \tilde V_\lambda \times_{V_\lambda} V_\mu\). Ainsi, étant donné \((\tilde V, \tilde v) \to (V, v)\) étale avec \(\tilde V\) affine, nous pouvons remplacer \((V, v)\) par \((\tilde V, \tilde v)\) et \(\xi\) par la restriction de \(\xi\) à \(\tilde V\).

Démonstration de la surjectivité : réduction au cas où la base est affine. En particulier, supposons que \(\tilde S \subset S\) soit un sous-schéma ouvert affine tel que \(v \in V\) s’envoie sur un point de \(\tilde S\). Alors, conformément au paragraphe précédent, nous pouvons remplacer \(V\) par \(\tilde V = \tilde S \times_S V\). Bien sûr, si nous procédons ainsi, il suffit de résoudre le problème pour le foncteur \(F\) restreint à la catégorie des schémas localement noethériens sur \(\tilde S\). Ce foncteur est évidemment celui associé à toute la situation après changement de base à \(\tilde S\). Nous pouvons donc supposer, et nous supposerons, que \(S = \Spec(R)\) est un schéma affine noethérien dans la suite de la démonstration.

Démonstration de la surjectivité : cas facile. Si \(v \in V \setminus Z\), nous pouvons prendre \(\tilde V = V \setminus Z\). Celui-ci descend en un sous-schéma ouvert \(\tilde V_\lambda \subset V_\lambda\) pour un certain \(\lambda\) par Limites, Lemme 01Z4. Ensuite, après avoir augmenté \(\lambda\), nous pouvons supposer qu’il existe un morphisme \(u'_\lambda : \tilde V_\lambda \to U'\) dont la restriction est \(u'\). En prenant \(\tilde \xi_\lambda = (\emptyset, u'_\lambda, \emptyset)\), on obtient l’élément souhaité de \(F(\tilde V_\lambda)\).

Démonstration de la surjectivité : cas difficile et réduction au cas où \(W\) est affine. Le cas le plus difficile est celui où l’on considère \(v \in Z \subset V\). Nous affirmons que nous pouvons nous ramener au cas où \(W\) est un schéma formel affine ; nous invitons le lecteur à sauter cet argument14. En effet, nous pouvons choisir un morphisme étale \(\tilde W \to W\) où \(\tilde W\) est un espace algébrique formel affine tel que l’image de \(v\) par \(\hat x : V_{/Z} \to W\) appartienne à l’image de \(\tilde W \to W\) (sur les réductions). Alors les morphismes \[p : \tilde W \times_{W, g} X'_{/T'} \longrightarrow X'_{/T'}\] et \[q : \tilde W \times_{W, \hat x} V_{/Z} \to V_{/Z}\] sont des morphismes étales d’espaces algébriques formels localement noethériens. D’après Algébrisation des espaces formels, Théorème 0ARB (dans un cas facile), il existe un morphisme \(\tilde X' \to X'\) d’espaces algébriques qui est localement de type fini, est un isomorphisme au-dessus de \(U'\), et tel que \(\tilde X'_{/T'} \to X'_{/T'}\) soit isomorphe à \(p\). D’après Algébrisation des espaces formels, Lemme 0GI4, le morphisme \(\tilde X' \to X'\) est étale. Notons \(\tilde T' \subset |\tilde X'|\) l’image réciproque de \(T'\). Notons \(\tilde U' \subset \tilde X'\) le sous-espace ouvert complémentaire. Notons \(\tilde g' : \tilde X'_{/\tilde T'} \to \tilde W\) la modification formelle obtenue par changement de base de \(g\) par \(\tilde W \to W\). Alors \[\tilde X',\ \tilde T',\ \tilde U',\ \tilde W, \ \tilde g : \tilde X'_{/\tilde T'} \to \tilde W\] constitue un autre exemple de la Situation 0GH8. Notons \(\tilde F\) le foncteur construit à partir de ce triplet. Il existe une transformation de foncteurs \[\tilde F \longrightarrow F\] construite de manière évidente à l’aide des morphismes \(\tilde X' \to X'\) et \(\tilde W \to W\) ; nous omettons les détails.

Démonstration de la surjectivité : cas difficile et réduction au cas où \(W\) est affine, partie 2. D’après le même théorème que ci-dessus, il existe un morphisme \(\tilde V \to V\) d’espaces algébriques qui est localement de type fini, est un isomorphisme au-dessus de \(V \setminus Z\) et tel que \(\tilde V_{/Z} \to V_{/Z}\) soit isomorphe à \(q\). Notons \(\tilde Z \subset \tilde V\) l’image réciproque de \(Z\). D’après Algébrisation des espaces formels, Lemmes 0GI4 et 0ARW, le morphisme \(\tilde V \to V\) est étale et séparé. En particulier, \(\tilde V\) est un schéma (localement noethérien), voir par exemple Morphismes d’espaces, Proposition 03XX. Nous avons le morphisme \(u'\), que nous pouvons considérer comme un morphisme \[\tilde u' : \tilde V \setminus \tilde Z \longrightarrow \tilde U'\] où \(\tilde U' \subset \tilde X'\) est l’ouvert qui s’envoie isomorphiquement sur \(U'\). Nous avons un morphisme \[\tilde {\hat x} : \tilde V_{/\tilde Z} = \tilde W \times_{W, \hat x} V_{/Z} \longrightarrow \tilde W\] Ici, il s’agit simplement de la projection. Nous avons donc le triplet \[\tilde \xi = (\tilde Z, \tilde u', \tilde {\hat x}) \in \tilde F(\tilde V)\] Nous omettons de démontrer la condition de compatibilité ; indications : si \(V' \to V\), \(\hat x'\), et \(x'\) témoignent de la compatibilité entre \(u'\) et \(\hat x\), alors on pose \(\tilde V' = V' \times_V \tilde V\), qui est muni de morphismes \(\tilde{\hat x}'\) et \(\tilde x'\), et on montre que cela convient. L’image de \(\tilde \xi\) par la transformation \(\tilde F \to F\) est la restriction de \(\xi\) à \(\tilde V\).

Démonstration de la surjectivité : cas difficile et réduction au cas où \(W\) est affine, partie 3. Par notre choix de \(\tilde W \to W\), il existe un ouvert affine \(\tilde V_{open} \subset \tilde V\) (nous sommes à court de notation) dont l’image dans \(V\) contient le point choisi \(v \in V\). Or, grâce au cas étudié dans le paragraphe suivant et aux remarques faites ci-dessus, nous pouvons descendre \(\tilde \xi|_{\tilde V_{open}}\) en un élément \(\tilde \xi_\lambda\) de \(\tilde F\) sur \(\tilde V_{\lambda, open}\) pour un certain morphisme étale \(\tilde V_{\lambda, open} \to V_\lambda\) dont le changement de base à \(V\) est \(\tilde V_{open}\). En appliquant la transformation de foncteurs \(\tilde F \to F\), nous obtenons l’élément de \(F(\tilde V_{\lambda, open})\) que nous cherchions. Cela nous ramène au cas traité dans le paragraphe suivant.

Démonstration de la surjectivité : le cas où \(W\) est affine. Nous avons \(v \in Z \subset V\) et \(W\) est un espace algébrique formel affine. Rappelons que \[\xi = (Z, u', \hat x) \in F(V)\] Nous pouvons encore remplacer \(V\) par un voisinage étale de \(v\). En particulier, nous pouvons supposer, et supposons, que \(V\) et \(V_\lambda\) sont affines.

Démonstration de la surjectivité : descente de \(Z\). Nous pouvons trouver un \(\lambda\) et un sous-schéma fermé \(Z_\lambda \subset V_\lambda\) tel que \(Z\) soit obtenu par changement de base de \(Z_\lambda\) à \(V\). Voir Limites, Lemme 01ZM. Attention : nous ne savons pas (et, en général, ce ne sera pas vrai) que \(Z_\lambda\) soit un sous-schéma fermé réduit de \(V_\lambda\). Pour \(\mu \geq \lambda\), notons \(Z_\mu \subset V_\mu\) l’image réciproque schématique dans \(V_\mu\). Nous utiliserons plus bas le fait que \(Z = \lim_{\mu \geq \lambda} Z_\mu\) comme schémas.

Démonstration de la surjectivité : descente de \(u'\). Puisque \(U'\) est localement de type fini sur \(S\), nous pouvons supposer, après avoir augmenté \(\lambda\), qu’il existe un morphisme \(u'_\lambda : V_\lambda \setminus Z_\lambda \to U'\) dont la restriction à \(V \setminus Z\) est \(u'\). Voir Limites, Proposition 01ZC. Pour \(\mu \geq \lambda\), nous noterons \(u'_\mu\) la restriction de \(u'_\lambda\) à \(V_\mu \setminus Z_\mu\).

Démonstration de la surjectivité : descente d’un témoin. Soient \(V' \to V\), \(\hat x'\) et \(x'\) des données témoignant de la compatibilité entre \(u'\) et \(\hat x\). En utilisant les mêmes références que ci-dessus, nous pouvons supposer (après avoir augmenté \(\lambda\)) qu’il existe un morphisme \(V'_\lambda \to V_\lambda\) de type fini dont le changement de base à \(V\) est \(V' \to V\). Après avoir augmenté \(\lambda\), nous pouvons supposer que \(V'_\lambda \to V_\lambda\) est propre (Limites, Lemme 081F). Ensuite, nous pouvons supposer que \(V'_\lambda \to V_\lambda\) est un isomorphisme au-dessus de \(V_\lambda \setminus Z_\lambda\) (Limites, Lemme 081E). Ensuite, nous pouvons supposer qu’il existe un morphisme \(x'_\lambda : V'_\lambda \to X'\) dont la restriction à \(V'\) est \(x'\). En augmentant encore \(\lambda\), nous pouvons supposer que \(x'_\lambda\) coïncide avec \(u'_\lambda\) au-dessus de \(V_\lambda \setminus Z_\lambda\). Pour \(\mu \geq \lambda\), nous noterons \(V'_\mu\) et \(x'_\mu\) respectivement le changement de base de \(V'_\lambda\) et la restriction de \(x'_\lambda\).

Démonstration de la surjectivité : algèbre. Écrivons \(W = \text{Spf}(B)\), \(V = \Spec(A)\) et, pour \(\mu \geq \lambda\), écrivons \(V_\mu = \Spec(A_\mu)\). Notons \(I_\mu \subset A_\mu\) et \(I \subset A\) les idéaux définissant \(Z_\mu\) et \(Z\). Alors \(I_\lambda A_\mu = I_\mu\) et \(I_\lambda A = I\). Le morphisme \(\hat x\) détermine, et est déterminé par, un homomorphisme continu d’anneaux \[(\hat x)^\sharp : B \longrightarrow A^\wedge\] où \(A^\wedge\) est le complété \(I\)-adique de \(A\). Pour achever la démonstration, il faut montrer que cette application descend en une application à valeurs dans \(A_\mu^\wedge\) pour un \(\mu\) suffisamment grand, où \(A_\mu^\wedge\) est le complété \(I_\mu\)-adique de \(A_\mu\). C’est un fait non trivial ; Artin écrit dans son article [ArtinII] : “Puisque les données (3.5) mettent en jeu les complétés \(I\)-adiques, qui ne commutent pas aux limites inductives, la vérification est assez délicate. C’est l’analogue algébrique d’une preuve de convergence en analyse.”

Démonstration de la surjectivité : algèbre, encore des anneaux. Posons \[C_\mu = \Gamma(V'_\mu, \mathcal{O}) \quad\text{et}\quad C = \Gamma(V', \mathcal{O})\] Remarquons que les homomorphismes d’anneaux \(A \to C\) et \(A_\mu \to C_\mu\) sont finis puisque \(V' \to V\) et \(V'_\mu \to V_\mu\) sont des morphismes propres, voir Cohomologie des espaces, Lemme 08AS. Puisque \(V = \lim V_\mu\) et \(V' = \lim V'_\mu\), nous avons \[A = \colim A_\mu \quad\text{et}\quad C = \colim C_\mu\] par Limites, Lemme 01Z015. Pour un élément \(a \in I\), resp. \(a \in I_\mu\), les applications \(A_a \to C_a\), resp. \((A_\mu)_a \to (C_\mu)_a\) sont des isomorphismes par changement de base plat (Cohomologie des espaces, Lemme 073K). Ainsi, le noyau et le conoyau de \(A \to C\) sont à support dans \(V(I)\), et de même pour \(A_\mu \to C_\mu\). Nous en concluons que le noyau et le conoyau de \(A \to C\) sont annulés par une puissance de \(I\), et que le noyau et le conoyau de \(A_\mu \to C_\mu\) sont annulés par une puissance de \(I_\mu\), voir Algèbre, Lemme 00L6.

Preuve de la surjectivité : algèbre, d’autres homomorphismes d’anneaux. Notons \(Z_n \subset V\) le \(n\)-ième voisinage infinitésimal de \(Z\) et notons \(Z_{\mu, n} \subset V_\mu\) le \(n\)-ième voisinage infinitésimal de \(Z_\mu\). D’après le théorème des fonctions formelles (Cohomologie des espaces, Théorème 08AZ), nous avons \[C^\wedge = \lim_n H^0(V' \times_V Z_n, \mathcal{O}) \quad\text{et}\quad C_\mu^\wedge = \lim_n H^0(V'_\mu \times_{V_\mu} Z_{\mu, n}, \mathcal{O})\] où \(C^\wedge\) et \(C_\mu^\wedge\) sont les complétés pour les topologies \(I\)-adique et \(I_\mu\)-adique. En composant le complété du morphisme \(x'_\mu : V'_\mu \to X'\) avec le morphisme \(g : X'_{/T'} \to W\), nous obtenons \[g \circ x'_{\mu, /Z_\mu} : V'_{\mu, /Z_\mu} = \colim V_\mu' \times_{V_\mu} Z_{\mu, n} \longrightarrow W\] et donc, d’après la description ci-dessus du complété \(C_\mu^\wedge\), nous obtenons un homomorphisme continu d’anneaux \[(g \circ x'_{\mu, /Z_\mu})^\sharp : B \longrightarrow C_\mu^\wedge\] Le fait que \(V' \to V\), \(\hat x'\), \(x'\) réalisent la compatibilité entre \(u'\) et \(\hat x\) entraîne la commutativité du diagramme suivant : \[\xymatrix{ C_\mu^\wedge \ar[r] & C^\wedge \\ B \ar[u]^{(g \circ x'_{\mu, /Z_\mu})^\sharp} \ar[r]^{(\hat x)^\sharp} & A^\wedge \ar[u] }\]

Preuve de la surjectivité : encore des arguments algébriques. Rappelons que les \(A\)-modules de type fini \(\Ker(A \to C)\) et \(\Coker(A \to C)\) sont annulés par une puissance de \(I\), et que, de même, les \(A_\mu\)-modules de type fini \(\Ker(A_\mu \to C_\mu)\) et \(\Coker(A_\mu \to C_\mu)\) sont annulés par une puissance de \(I_\mu\). Il s’ensuit que ces modules coïncident avec leurs complétés. Comme le passage au complété \(I\)-adique dans la catégorie des \(A\)-modules de type fini est exact (voir Algèbre, section 0BNH), il s’ensuit que \[\Coker(A^\wedge \to C^\wedge) = \Coker(A \to C)\] et de même pour les noyaux et pour les homomorphismes \(A_\mu \to C_\mu\). Bien entendu, nous avons aussi \[\Ker(A \to C) = \colim \Ker(A_\mu \to C_\mu) \quad\text{et}\quad \Coker(A \to C) = \colim \Coker(A_\mu \to C_\mu)\] Rappelons que \(S = \Spec(R)\) est affine. Tous les homomorphismes d’anneaux ci-dessus sont des homomorphismes de \(R\)-algèbres, puisque tous les morphismes sont des morphismes au-dessus de \(S\). D’après Algébrisation des espaces formels, Lemme 0GC6, nous voyons que \(B\) est topologiquement de type fini sur \(R\). Supposons que l’algèbre \(B\) soit topologiquement engendrée par \(b_1, \ldots, b_n\). Fixons un \(\mu\) (par exemple \(\lambda\)) et considérons les éléments \[\text{images de } (g \circ x'_{\mu, /Z_\mu})^\sharp(b_1) , \ldots, (g \circ x'_{\mu, /Z_\mu})^\sharp(b_n) \text{ dans }\Coker(A_\mu \to C_\mu)\] Les images de ces éléments dans \(\Coker(\alpha)\) sont nulles par commutativité du carré ci-dessus. Puisque \(\Coker(A \to C) = \colim \Coker(A_\mu \to C_\mu)\) et que ces conoyaux coïncident avec leurs complétés, nous voyons qu’après avoir augmenté \(\mu\), nous pouvons supposer que toutes ces images sont nulles. Cela signifie que l’image de l’homomorphisme continu \((g \circ x'_{\mu, /Z_\mu})^\sharp\) est contenue dans \(\Im(A_\mu \to C_\mu)\). Choisissons des éléments \(a_{\mu, j} \in (A_\mu)^\wedge\) envoyés sur \((g \circ x'_{\mu, /Z_\mu})^\sharp(b_1)\) dans \((C_\mu)^\wedge\). Alors \(a_{\mu, j} \in A_\mu^\wedge\) et \((\hat x)^\sharp(b_j) \in A^\wedge\) sont envoyés sur le même élément de \(C^\wedge\) par commutativité du carré ci-dessus. Puisque \(\Ker(A \to C) = \colim \Ker(A_\mu \to C_\mu)\) et que ces noyaux coïncident avec leurs complétés, nous pouvons, après avoir augmenté \(\mu\), modifier nos choix des \(a_{\mu, j}\) de sorte que l’image de \(a_{\mu, j}\) dans \(A^\wedge\) soit égale à \((\hat x)^\sharp(b_j)\).

Preuve de la surjectivité : derniers arguments algébriques. Soit \(\mathfrak b \subset B\) l’idéal des éléments topologiquement nilpotents. Soit \(J \subset R[x_1, \ldots, x_n]\) l’idéal constitué des \(h(x_1, \ldots, x_n)\) tels que \(h(b_1, \ldots, b_n) \in \mathfrak b\). Nous obtenons alors un homomorphisme continu surjectif de \(R\)-algèbres topologiques \[\Phi : R[x_1, \ldots, x_n]^\wedge \longrightarrow B,\quad x_j \longmapsto b_j\] où le complété du membre de gauche est pris pour la topologie \(J\)-adique. Comme \(R[x_1, \ldots, x_n]\) est noethérien, nous pouvons choisir des générateurs \(h_1, \ldots, h_m\) de \(J\). Par commutativité du carré ci-dessus, nous voyons que \(h_j(a_{\mu, 1}, \ldots, a_{\mu, n})\) est un élément de \(A_\mu^\wedge\) dont l’image dans \(A^\wedge\) appartient à \(IA^\wedge\). En effet, l’homomorphisme d’anneaux \((\hat x)^\sharp\) est continu et \(IA^\wedge\) est l’idéal des éléments topologiquement nilpotents de \(A^\wedge\), car \(A^\wedge/IA^\wedge = A/I\) est réduit. (Voir Algèbre, section 0BNH pour les résultats sur les complétés d’anneaux noethériens.) Puisque \(A/I = \colim A_\mu/I_\mu\), nous concluons qu’après avoir augmenté \(\mu\), nous pouvons supposer que \(h_j(a_{\mu, 1}, \ldots, a_{\mu, n})\) appartient à \(I_\mu A_\mu^\wedge\). En particulier, les éléments \(h_j(a_{\mu, 1}, \ldots, a_{\mu, n})\) de \(A_\mu^\wedge\) sont topologiquement nilpotents dans \(A_\mu^\wedge\). Nous obtenons donc un homomorphisme continu de \(R\)-algèbres \[\Psi : R[x_1, \ldots, x_n]^\wedge \longrightarrow A_\mu^\wedge,\quad x_j \longmapsto a_{\mu, j}\] Pour conclure, il nous reste à voir si \(\Ker(\Phi)\) est annulé par \(\Psi\). Ce n’est peut-être pas le cas, mais nous pouvons faire en sorte qu’il le soit après avoir augmenté \(\mu\). En effet, puisque \(R[x_1, \ldots, x_n]^\wedge\) est noethérien, nous pouvons choisir des générateurs \(g_1, \ldots, g_l\) de l’idéal \(\Ker(\Phi)\). Nous voyons alors que \[\Psi(g_1), \ldots, \Psi(g_l) \in \Ker(A_\mu^\wedge \to C_\mu^\wedge) = \Ker(A_\mu \to C_\mu)\] s’envoient sur zéro dans \(\Ker(A \to C) = \colim \Ker(A_\mu \to C_\mu)\). Ainsi, en augmentant \(\mu\) comme précédemment, nous obtenons le résultat voulu.

Preuve de la surjectivité : conclusion. L’homomorphisme continu d’anneaux \(B \to (A_\mu)^\wedge\) construit ci-dessus détermine un morphisme \(\hat x_\mu : V_{\mu, /Z_\mu} \to W\). La compatibilité de \(\hat x_\mu\) et de \(u'_\mu\) résulte du fait que l’homomorphisme d’anneaux \(B \to (A_\mu)^\wedge\) est, par construction, compatible avec l’homomorphisme d’anneaux \(A_\mu \to C_\mu\). En fait, la compatibilité sera réalisée par le morphisme propre \(V'_\mu \to V_\mu\) et les morphismes \(x'_\mu\) et \(\hat x'_\mu = x'_{\mu, /Z_\mu}\) utilisés dans la construction. Ceci achève la démonstration.

Lemme

Dans la Situation 0GH8, le foncteur \(F\) vérifie la condition de Rim-Schlessinger (RS).

Démonstration

Rappelons que la condition ne fait intervenir que l’évaluation \(F(V)\) du foncteur \(F\) sur les schémas \(V\) au-dessus de \(S\) qui sont les spectres d’anneaux locaux artiniens, et les applications de restriction \(F(V_2) \to F(V_1)\) associées aux morphismes \(V_1 \to V_2\) de schémas au-dessus de \(S\) qui sont les spectres d’anneaux locaux artiniens. Soit donc \(V/S\) le spectre d’un anneau local artinien. Si \(\xi = (Z, u', \hat x) \in F(V)\), alors soit \(Z = \emptyset\), soit \(Z = V\) (ensemblistement). Dans le premier cas, nous voyons que \(\hat x\) est un morphisme de l’espace algébrique formel vide vers \(W\). Dans le second cas, nous voyons que \(u'\) est un morphisme du schéma vide vers \(X'\) et que \(\hat x : V \to W\) est un morphisme vers \(W\). Nous concluons que \[F(V) = U'(V) \amalg W(V)\] et, de plus, pour \(V_1 \to V_2\) comme ci-dessus, l’application induite \(F(V_2) \to F(V_1)\) est compatible avec cette décomposition. Il suffit donc de prouver que \(U'\) et \(W\) vérifient tous deux la condition de Rim-Schlessinger. Pour \(U'\), cela résulte du Lemme 07WQ. Pour \(W\), écrivons \(W = \colim W_n\) comme dans Espaces formels, Lemme 0GHM. Écrivons \(V = \Spec(A)\), où \((A, \mathfrak m)\) est un anneau local artinien. Choisissons \(n \geq 1\) tel que \(\mathfrak m^n = 0\). Alors nous avons \(W(V) = W_n(V)\). Ainsi, la condition de Rim-Schlessinger pour \(W\) résulte de la condition de Rim-Schlessinger pour \(W_n\), pour tout \(n\) (laquelle résulte à son tour du Lemme 07WQ).

Lemme

Dans la Situation 0GH8, les espaces tangents du foncteur \(F\) sont de dimension finie.

Démonstration

Dans la preuve du Lemme 0GI6, nous avons vu que \(F(V) = U'(V) \amalg W(V)\) si \(V\) est le spectre d’un anneau local artinien. Les espaces tangents se calculent entièrement à partir des évaluations de \(F\) sur de tels schémas au-dessus de \(S\). Il suffit donc de prouver que les espaces tangents des foncteurs \(U'\) et \(W\) sont de dimension finie. Pour \(U'\), cela résulte du Lemme 07X1. Écrivons \(W = \colim W_n\) comme dans la preuve du Lemme 0GI6. Nous voyons alors que les espaces tangents de \(W\) sont égaux aux espaces tangents de \(W_2\), car, pour calculer l’espace tangent, il nous suffit d’évaluer \(W\) sur les spectres d’anneaux locaux artiniens \((A, \mathfrak m)\) tels que \(\mathfrak m^2 = 0\). Nous voyons alors, de nouveau, que les espaces tangents de \(W_2\) sont de dimension finie d’après le Lemme 07X1.

Lemme

Dans la Situation 0GH8, supposons que \(X' \to S\) soit séparé. Alors tout objet formel de \(F\) est effectif.

Démonstration

Un objet formel \(\xi = (R, \xi_n)\) de \(F\) consiste en une \(S\)-algèbre locale noethérienne complète \(R\) dont le corps résiduel est de type fini sur \(S\), munie d’éléments \(\xi_n \in F(\Spec(R/\mathfrak m^n))\) pour tout \(n\), tels que \(\xi_{n + 1}|_{\Spec(R/\mathfrak m^n)} = \xi_n\). D’après la discussion dans la preuve du Lemme 0GI6, nous voyons que \(\xi\) est soit un objet formel de \(U'\), soit un objet formel de \(W\). Dans le premier cas, nous voyons que \(\xi\) est effectif d’après le Lemme 07X8. Le second cas est le cas intéressant. Posons \(V = \Spec(R)\). Nous allons construire un élément \((Z, u', \hat x) \in F(V)\) dont l’image dans \(F(\Spec(R/\mathfrak m^n))\) est \(\xi_n\) pour tout \(n \geq 1\).

Nous pouvons voir la famille d’éléments \(\xi_n\) comme un morphisme \[\xi : \text{Spf}(R) \longrightarrow W\] d’espaces algébriques formels localement noethériens au-dessus de \(S\). Remarquons que \(\xi\) n’est pas, en général, un morphisme adique. Pour y remédier, soit \(I \subset R\) l’idéal correspondant au sous-espace formel fermé \[\text{Spf}(R) \times_{\xi, W} W_{red} \subset \text{Spf}(R)\] Notons que \(I \subset \mathfrak m_R\). Posons \(Z = V(I) \subset V = \Spec(R)\). Puisque \(R\) est complet pour la topologie \(\mathfrak m_R\)-adique, il est a fortiori complet pour la topologie \(I\)-adique (Algèbre, Lemme 090T). De plus, nous affirmons que, pour tout \(n \geq 1\), le morphisme \[\xi|_{\text{Spf}(R/I^n)} : \text{Spf}(R/I^n) \longrightarrow W\] provient en fait d’un morphisme \[\xi'_n : \Spec(R/I^n) \longrightarrow W\] En effet, cela résulte de l’écriture \(W = \colim W_n\) comme dans la preuve du Lemme 0GI6, en remarquant que \(\xi|_{\text{Spf}(R/I^n)}\) se factorise par \(W_n\), et en appliquant Espaces formels, Lemme 0AQH pour l’algébriser en un morphisme \(\Spec(R/I^n) \to W_n\) comme voulu. Notons \(\text{Spf}'(R) = V_{/Z}\) le spectre formel de \(R\) muni de la topologie \(I\)-adique – autrement dit, le complété formel de \(V\) le long de \(Z\). À l’aide des morphismes \(\xi'_n\), nous obtenons un morphisme adique \[\hat x = (\xi'_n) : \text{Spf}'(R) \longrightarrow W\] d’espaces algébriques formels localement noethériens au-dessus de \(S\). Considérons le changement de base \[\text{Spf}'(R) \times_{\hat x, W, g} X'_{/T'} \longrightarrow \text{Spf}'(R)\] C’est une modification formelle d’après Algébrisation des espaces formels, Lemme 0GDN. Ainsi, par le théorème principal sur les dilatations (Algébrisation des espaces formels, Théorème 0GDU), nous obtenons un morphisme propre \[V' \longrightarrow V = \Spec(R)\] qui est un isomorphisme au-dessus de \(\Spec(R) \setminus V(I)\) et dont le complété redonne la modification formelle ci-dessus, autrement dit \[V' \times_{\Spec(R)} \Spec(R/I^n) = \Spec(R/I^n) \times_{\xi'_n, W, g} X'_{/T'}\] Cela nous donne en particulier un système compatible de morphismes \[V' \times_{\Spec(R)} \Spec(R/I^n) \longrightarrow X' \times_S \Spec(R/I^n)\] Par conséquent, d’après le théorème d’algébrisation de Grothendieck (sous la forme de Compléments sur les morphismes d’espaces, Lemme 0A4Z) nous obtenons un morphisme \[x' : V' \to X'\] sur \(S\) qui redonne les morphismes affichés ci-dessus. Finalement, en posant \(u' : V \setminus Z \to X'\) égal à la restriction de \(x'\) à \(V \setminus Z \subset V'\), on obtient la troisième composante de notre élément cherché \((Z, u', \hat x) \in F(V)\).

Lemme

Soit \(S\) un schéma localement noethérien. Soit \(V\) un schéma localement de type fini sur \(S\). Soit \(Z \subset V\) un fermé. Soit \(W\) un espace algébrique formel localement noethérien sur \(S\) tel que \(W_{red}\) soit localement de type fini sur \(S\). Soit \(g : V_{/Z} \to W\) un morphisme adique d’espaces algébriques formels sur \(S\). Soit \(v \in V\) un point fermé tel que \(g\) soit versel en \(v\) (au sens de la section 07XZ). Alors, après avoir remplacé \(V\) par un voisinage ouvert de \(v\), le morphisme \(g\) est lisse (voir la démonstration).

Démonstration

Puisque \(g\) est adique, il est représentable par des espaces algébriques (Espaces formels, section 0AQ2). Ainsi, dire que \(g\) est lisse signifie que \(g\) doit être lisse au sens de Fondements, définition 03XZ.

Écrivons \(W = \colim W_n\) comme dans Espaces formels, lemme 0GHM. Posons \(V_n = V_{/Z} \times_{\hat x, W} W_n\). Alors \(V_n\) est un sous-schéma fermé d’ensemble sous-jacent \(Z\). Le fait que \(V \to W\) soit lisse équivaut à la lissité de tous les morphismes \(V_n \to W_n\) (cela vaut parce que tout morphisme \(T \to W\), où \(T\) est un schéma quasi-compact, se factorise par \(W_n\) pour un certain \(n\)). Nous savons que le morphisme \(V_n \to W_n\) est lisse en \(v\) d’après le lemme 0CXM16. Bien sûr, cela signifie que, pour tout \(n\), nous pouvons restreindre \(V\) de sorte que \(V_n \to W_n\) soit lisse. Le problème est de trouver un ouvert qui convienne simultanément à tous les \(n\).

La question est locale sur \(V\) ; nous pouvons donc supposer que \(S = \Spec(R)\) et \(V = \Spec(A)\) sont affines.

Dans ce paragraphe, nous nous ramenons au cas où \(W\) est un espace algébrique formel affine. Choisissons un schéma formel affine \(W'\) et un morphisme étale \(W' \to W\) tels que l’image de \(v\) dans \(W_{red}\) appartienne à l’image de \(W'_{red} \to W_{red}\). Alors \(V_{/Z} \times_{g, W} W' \to V_{/Z}\) est un morphisme adique étale d’espaces algébriques formels sur \(S\), et \(V_{/Z} \times_{g, W} W'\) est un espace algébrique formel affine. D’après Algébrisation des espaces formels, lemme 0AR4, il existe un morphisme étale \(\varphi : V' \to V\) de schémas affines tel que le complété de \(V'\) le long de \(Z' = \varphi^{-1}(Z)\) soit isomorphe à \(V_{/Z} \times_{g, W} W'\) sur \(V_{/Z}\). Notons que \(v\) est l’image d’un certain \(v' \in V'\). Comme la lissité est stable par changement de base, nous voyons que \(V'_n \to W'_n\) est lisse pour tout \(n\). Dans le paragraphe suivant, nous montrons qu’après avoir remplacé \(V'\) par un voisinage ouvert de \(v'\), les morphismes \(V'_n \to W'_n\) sont lisses pour tout \(n\). Alors, après avoir remplacé \(V\) par l’image ouverte de \(V' \to V\), nous obtenons que \(V_n \to W_n\) est lisse par descente étale de la lissité. Nous omettons quelques détails.

Supposons \(S = \Spec(R)\), \(V = \Spec(A)\), \(Z = V(I)\) et \(W = \text{Spf}(B)\). Soit \(v\) le point correspondant à l’idéal maximal \(I \subset \mathfrak m \subset A\). On se donne un homomorphisme continu adique de \(R\)-algèbres \[B \longrightarrow A^\wedge\] Soit \(\mathfrak b \subset B\) l’idéal des éléments topologiquement nilpotents (c’est le plus grand idéal de définition de l’anneau topologique adique noethérien \(B\)). Notons que \(\mathfrak b A^\wedge\) et \(IA^\wedge\) sont tous deux des idéaux de définition de l’anneau adique noethérien \(A^\wedge\). En outre, \(\mathfrak m A^\wedge\) est un idéal maximal de \(A^\wedge\) contenant à la fois \(\mathfrak b A^\wedge\) et \(IA^\wedge\). On sait que \[B_n = B/\mathfrak b^n \to A^\wedge/\mathfrak b^n A^\wedge = A_n\] est lisse en \(\mathfrak m\) pour tout \(n\). D’après la discussion précédente, nous pouvons supposer et supposons que \(B_1 \to A_1\) est un homomorphisme lisse. Notons \(\mathfrak m_1 \subset A_1\) l’idéal maximal correspondant à \(\mathfrak m\). Puisque la lissité implique la platitude, nous voyons que : pour tout \(n \geq 1\), l’application \[\mathfrak b^n/\mathfrak b^{n + 1} \otimes_{B_1} (A_1)_{\mathfrak m_1} \longrightarrow \left(\mathfrak b^nA^\wedge/\mathfrak b^{n + 1}A^\wedge\right)_{\mathfrak m_1}\] est un isomorphisme (voir Algèbre, lemme 0AS8). Considérons l’algèbre de Rees \[B' = \bigoplus\nolimits_{n \geq 0} \mathfrak b^n/\mathfrak b^{n + 1}\] qui est une algèbre graduée de type fini sur l’anneau noethérien \(B_1\), et l’algèbre de Rees \[A' = \bigoplus\nolimits_{n \geq 0} \mathfrak b^nA^\wedge/\mathfrak b^{n + 1}A^\wedge\] qui est une algèbre graduée de type fini sur l’anneau noethérien \(A_1\). Considérons l’homomorphisme d’\(A_1\)-algèbres graduées \[\Psi : B' \otimes_{B_1} A_1 \longrightarrow A'\] D’après ce qui précède, cette application devient un isomorphisme après localisation en l’idéal maximal \(\mathfrak m_1\) de \(A_1\). Ainsi, \(\Ker(\Psi)\), resp. \(\Coker(\Psi)\), est un module de type fini sur \(B' \otimes_{B_1} A_1\), resp. \(A'\), dont le localisé en \(\mathfrak m_1\) est nul. Il s’ensuit qu’après avoir remplacé \(A_1\) (et, de manière correspondante, \(A\)) par une localisation principale, nous pouvons supposer que \(\Psi\) est un isomorphisme. (C’est l’étape clé de la démonstration.) En remontant alors le raisonnement, nous voyons que \(B_n \to A_n\) est plat, voir Algèbre, lemme 0AS8. Par suite, \(A_n \to B_n\) est lisse (comme homomorphisme plat à fibres lisses, voir Algèbre, lemme 00TF), ce qui achève la démonstration.

Lemme

Dans la situation 0GH8, le foncteur \(F\) satisfait à l’ouverture de la versalité.

Démonstration

Nous devons montrer ce qui suit. Étant donnés un schéma \(V\) localement de type fini sur \(S\), un élément \(\xi \in F(V)\) et un point de type fini \(v_0 \in V\) tel que \(\xi\) soit versel en \(v_0\), après avoir remplacé \(V\) par un voisinage ouvert de \(v_0\), l’élément \(\xi\) est versel en tout point de type fini de \(V\). Écrivons \(\xi = (Z, u', \hat x)\).

Premier cas : \(v_0 \not \in Z\). Nous pouvons d’abord remplacer \(V\) par \(V \setminus Z\). Nous voyons ainsi que \(\xi = (\emptyset, u', \emptyset)\) et que le morphisme \(u' : V \to X'\) est versel en \(v_0\). D’après Compléments sur les morphismes d’espaces, lemme 0APN, cela signifie que \(u' : V \to X'\) est lisse en \(v_0\). Puisque l’ensemble des points où un morphisme est lisse est ouvert, nous pouvons, après avoir restreint \(V\), supposer que \(u'\) est lisse. Le même lemme nous dit alors que \(\xi\) est versel en tout point, comme souhaité.

Second cas : \(v_0 \in Z\). Écrivons \(W = \colim W_n\) comme dans Espaces formels, lemme 0GHM. D’après le lemme 0GI9, nous pouvons supposer que \(\hat x : V_{/Z} \to W\) est un morphisme lisse d’espaces algébriques formels. Il en résulte immédiatement que \(\xi = (Z, u', \hat x)\) est versel en tout point de type fini de \(Z\). Soient \(V' \to V\), \(\hat x'\) et \(x'\) réalisant la compatibilité entre \(u'\) et \(\hat x\). Nous voyons que \(\hat x' : V'_{/Z} \to X'_{/T'}\) est lisse en tant que changement de base de \(\hat x\). Puisque \(\hat x'\) est le complété de \(x' : V' \to X'\), cela entraîne que \(x' : V' \to X'\) est lisse en tous les points de \((V' \to V)^{-1}(Z) = |x'|^{-1}(T') \subset |V'|\) d’après Compléments sur les morphismes d’espaces, lemme déjà utilisé 0APN. Puisque l’ensemble des points de lissité d’un morphisme est ouvert, nous voyons que l’ensemble fermé des points \(B \subset |V'|\) où \(x'\) n’est pas lisse ne rencontre pas \((V' \to V)^{-1}(Z)\). Comme \(V' \to V\) est propre et donc fermé, nous voyons que \((V' \to V)(B) \subset V\) est un sous-ensemble fermé qui ne rencontre pas \(Z\). Après avoir restreint \(V\), nous pouvons donc supposer que \(B = \emptyset\), c’est-à-dire que \(x'\) est lisse. D’après la discussion du paragraphe précédent, cela signifie exactement que \(\xi\) est versel en tout point de type fini de \(V\) qui n’est pas dans \(Z\), ce qui achève la démonstration.

Voici le résultat final.

Théorème

Soit \(S\) un schéma localement noethérien tel que \(\mathcal{O}_{S, s}\) soit un G-anneau pour tout point de type fini \(s \in S\). Soit \(X'\) un espace algébrique localement de type fini sur \(S\). Soit \(T' \subset |X'|\) un sous-ensemble fermé. Soit \(W\) un espace algébrique formel localement noethérien sur \(S\), où \(W_{red}\) est localement de type fini sur \(S\). Enfin, soit \[g : X'_{/T'} \longrightarrow W\] une modification formelle, voir Algébrisation des espaces formels, définition 0GDK. Si \(X'\) et \(W\) sont séparés17 sur \(S\), alors il existe un morphisme propre \(f : X' \to X\) d’espaces algébriques sur \(S\), un sous-ensemble fermé \(T \subset |X|\) et un isomorphisme \(a : X_{/T} \to W\) d’espaces algébriques formels tels que

  1. \(T'\) soit l’image réciproque de \(T\) par \(|f| : |X'| \to |X|\),

  2. \(f : X' \to X\) induise un isomorphisme de \(X' \setminus T'\) sur \(X \setminus T\), et

  3. \(g = a \circ f_{/T}\), où \(f_{/T} : X'_{/T'} \to X_{/T}\) est le morphisme induit.

Autrement dit, \((f : X' \to X, T, a)\) est une solution au sens défini plus haut dans cette section.

Démonstration

Soit \(F\) le foncteur construit dans cette section à partir de \(X'\), \(T'\), \(W\) et \(g\). D’après le lemme 0GHC, il suffit de montrer que \(F\) est représenté par un espace algébrique \(X\) localement de type fini sur \(S\). À cette fin, nous allons appliquer la proposition 0GE7. En effet, d’après le lemme 0GHF, la diagonale de \(F\) est représentable par des immersions fermées et, d’après les lemmes 0GHG, 0GI5, 0GI6, 0GI7, 0GI8 et 0GIA, les axiomes [0], [1], [2], [3], [4] et [5] sont satisfaits.

Remarque

La démonstration du théorème 0GIB utilise en deux endroits le fait que \(X'\) et \(W\) sont séparés sur \(S\). Premièrement, elle l’utilise pour montrer que \(\Delta : F \to F \times F\) est représentable par des espaces algébriques. On peut éviter entièrement cet emploi de l’hypothèse en prouvant que \(\Delta\) est représentable par application du théorème dans le cas séparé aux triplets \(E'\), \((E' \to V)^{-1}Z\) et \(E'_{/Z} \to E_W\) trouvés dans la remarque 0GHD (c’est le procédé d’amorçage usuel pour la diagonale). Ainsi, la démonstration du lemme 0GI8 est le seul endroit de notre démonstration du théorème 0GIB où nous ayons réellement besoin d’utiliser le fait que \(X' \to S\) est séparé. Le lecteur vérifiera que nous n’utilisons l’hypothèse que pour obtenir le morphisme \(x' : V' \to X'\). L’existence de \(x'\) peut être établie, à l’aide de résultats de la littérature, si \(X' \to S\) est quasi-séparé, voir Compléments sur les morphismes d’espaces, remarque 0GHK. Nous concluons que le théorème reste vrai tel quel lorsque l’on remplace “séparé” par “quasi-séparé”. Si nous en avons un jour besoin, nous l’énoncerons précisément et le démontrerons ici avec soin.

  1. Cela signifie que \(S\) est un G-schéma ; voir Propriétés, section 0HA2.↩︎

  2. La condition est la suivante : la borne supérieure de tous les cardinaux \(|\Ob(\mathcal{X}_{\Spec(k)})/\cong|\) et \(|\text{Flèches}(\mathcal{X}_{\Spec(k)})|\), où \(k\) parcourt les corps de type fini sur \(S\), est inférieure ou égale (\(\leq\)) au cardinal d’un objet de \((\Sch/S)_{fppf}\).↩︎

  3. C’est ce qu’Artin appelle une déformation formelle.↩︎

  4. La condition est la suivante : la borne supérieure de tous les cardinaux \(|F(\Spec(k))|\), où \(k\) parcourt les corps de type fini sur \(S\), est inférieur ou égal (\(\leq\)) au cardinal d’un certain objet de \((\Sch/S)_{fppf}\).↩︎

  5. Remarque ensembliste : ce coproduit est (isomorphe à) un objet de \((\Sch/S)_{fppf}\), puisque l’axiome [-1] nous donne une borne sur l’ensemble d’indices ; voir Ensembles, Lemme 000R.↩︎

  6. La condition ensembliste [-1] est satisfaite par \(F\), puisqu’elle l’est par \(G\). Détails omis.↩︎

  7. Remarque ensembliste : ce coproduit est (isomorphe à) un objet de \((\Sch/S)_{fppf}\), puisque l’axiome [-1] nous donne une borne sur l’ensemble d’indices ; voir Ensembles, Lemme 000R.↩︎

  8. La condition ensembliste de Critères de représentabilité, Lemme 07WH, sera satisfaite : la taille de l’espace algébrique \(Y\) représentant \(\mathcal{Y}\) est convenablement bornée. En effet, \(Y \to S\) sera localement de type fini et \(Y\) vérifiera l’axiome [-1]. Détails omis.↩︎

  9. Si \(\Spec(A)\) s’envoie dans un ouvert affine de \(S\), cela résulte de Compléments d’algèbre, Lemme 00IT. Le cas général résulte du Lemme 01Z8 de Compléments d’algèbre.↩︎

  10. L’analyse de la démonstration montre qu’il suffit en fait de vérifier la fonctorialité (ii) des classes d’obstruction dans la Définition 07YG pour les morphismes \((y, B' \to B) \to (x, A' \to A)\) avec \(B = A\) et \(y = x\).↩︎

  11. Cela a un sens même si \(\tau \not = fppf\), car la catégorie sous-jacente à \((\Sch/S)_\tau\) est égale à la catégorie sous-jacente à \((\Sch/S)_{fppf}\) et l’énoncé ne fait pas intervenir la topologie.↩︎

  12. Contrairement à ce à quoi le lecteur pourrait s’attendre, les idéaux \(J\) et \(J''\) ne coïncident pas en général.↩︎

  13. Pour la démontrer, on réunit une famille de morphismes \(\tilde V \to V\) en un recouvrement étale fini et on montre que les morphismes correspondants \(\tilde V_\lambda \to V_\lambda\) forment également un recouvrement étale (après avoir augmenté \(\lambda\)). Ensuite, on utilise l’injectivité pour voir que les éléments \(\tilde \xi_\lambda\) se recollent (après avoir augmenté \(\lambda\)), et la propriété de faisceau de \(F\) pour descendre ces éléments en un élément de \(F(V_\lambda)\).↩︎

  14. La démarche d’Artin pour démontrer ce lemme consiste à contourner cette difficulté et il peut par conséquent éviter de démontrer d’abord l’injectivité. En effet, Artin travaille systématiquement avec des recouvrements étales affines finis de tous les espaces considérés, en gardant la trace des applications qui les relient au cours de la démonstration. Rétrospectivement, ce serait peut-être préférable à notre méthode.↩︎

  15. Nous ne savons pas que \(C_\mu = C_\lambda \otimes_{A_\lambda} A_\mu\) puisque les divers morphismes ne sont pas plats.↩︎

  16. Le lemme s’applique puisque la diagonale de \(W\) est représentable par des espaces algébriques et localement de type fini, voir Espaces formels, lemme 0AN2, et nous avons vu que \(W\) vérifie (RS) dans la démonstration du lemme 0GI6.↩︎

  17. Voir la remarque 0GIC.↩︎