Géométrie algébrique et formelle

Introduction

Ce chapitre poursuit l’étude de la géométrie algébrique formelle, et notamment de la question de savoir si un objet formel est le complété d’un objet algébrique. Une référence fondamentale est [SGA2]. Voici une liste des résultats déjà abordés dans le projet Champs :

1. Le théorème des fonctions formelles, voir Cohomologie des schémas, section 02O7.

2. Les modules formels cohérents, voir Cohomologie des schémas, section 0EHN.

3. Le théorème d’existence de Grothendieck, voir Cohomologie des schémas, sections 087V, 0886 et 0CYW.

4. Le théorème d’algébrisation de Grothendieck, voir Cohomologie des schémas, section 0898.

5. Le théorème d’existence de Grothendieck dans un cadre plus général, voir Compléments sur la platitude, sections 0CTB et 0DIA.

Donnons un aperçu du contenu de ce chapitre.

Soient \(X\) un schéma et \(\mathcal{I} \subset \mathcal{O}_X\) un faisceau quasi-cohérent d’idéaux de type fini. De nombreuses questions de ce chapitre portent sur des systèmes projectifs \((\mathcal{F}_n)\) de \(\mathcal{O}_X\)-modules quasi-cohérents tels que \(\mathcal{F}_n = \mathcal{F}_{n + 1}/\mathcal{I}^n\mathcal{F}_{n + 1}\). Un cas particulier important est celui où \(X\) est un schéma sur un anneau noethérien \(A\) et où \(\mathcal{I} = I \mathcal{O}_X\) pour un idéal \(I \subset A\). Dans Cohomologie, sections 0GYJ, 0H38 et 0H3B, nous avons établi des résultats généraux. Dans ce chapitre, les sections 0EH3 et 0BLA contiennent des résultats propres aux schémas et aux modules quasi-cohérents. Dans la section 0EI9, nous démontrons que la topologie de limite sur \(\lim H^p(X, \mathcal{F}_n)\) est \(I\)-adique lorsque \(\text{cd}(A, I) = 1\). L’un des thèmes de ce chapitre sera de montrer que les résultats démontrés lorsque l’idéal est principal, \(I = (f)\), restent valables sous la seule hypothèse \(\text{cd}(A, I) = 1\).

Dans la section 0995, nous étudions la complétion dérivée des modules sur un site annelé \((\mathcal{C}, \mathcal{O})\) relativement à un faisceau d’idéaux de type fini \(\mathcal{I}\). Cette section prolonge naturellement la théorie de la complétion dérivée en algèbre commutative, telle qu’elle est exposée dans Compléments d’algèbre, section 091N. Le premier résultat principal affirme l’existence de la complétion dérivée. Le second affirme que, pour un morphisme \(f\) de sites annelés, la complétion dérivée commute à l’image directe dérivée : \[(Rf_*K)^\wedge = Rf_*(K^\wedge)\] si le faisceau d’idéaux à la source est localement engendré par des sections provenant de l’idéal sur la base, voir le lemme 0A0G. Soulignons que ces deux résultats principaux sont très élémentaires lorsque les idéaux en question sont globalement de type fini, ce qui sera le cas dans toutes les applications de cette théorie faites dans ce chapitre. L’égalité ci-dessus est la version « correcte » du théorème des fonctions formelles ; voir la discussion de la section 0A0H.

Soient \(A\) un anneau noethérien et \(I, J\) deux idéaux de \(A\). Soit \(M\) un \(A\)-module de type fini. Le sujet suivant de ce chapitre est l’application \[R\Gamma_J(M) \longrightarrow R\Gamma_J(M)^\wedge\] de la cohomologie locale de \(M\) dans son complété \(I\)-adique dérivé. Il se trouve que, sous des conditions de profondeur convenables, cette application induit un isomorphisme en cohomologie dans un intervalle de degrés. Dans la section 0EFF, nous travaillons essentiellement dans le cadre général qui vient d’être indiqué. Dans la section 0EFP, nous supposons que \(A\) est un anneau local et que \(J = \mathfrak m\) est un idéal maximal. Nous conseillons au lecteur de lire cette section avant les deux autres de cette partie du chapitre. Enfin, dans la section 0EFT, nous exploitons le cas local pour obtenir des résultats plus forts dans le cas général.

Dans la partie suivante de ce chapitre, nous utilisons les résultats sur la complétion de la cohomologie locale pour obtenir une liste non exhaustive de résultats sur la cohomologie du complété des modules cohérents. Plus précisément, soient \(A\) un anneau noethérien, \(I \subset A\) un idéal et \(U \subset \Spec(A)\) un sous-schéma ouvert. Si \(\mathcal{F}\) est un \(\mathcal{O}_U\)-module cohérent, alors nous pouvons considérer les applications \[H^i(U, \mathcal{F}) \longrightarrow \lim H^i(U, \mathcal{F}/I^n\mathcal{F})\] et nous demander si elles sont des isomorphismes dans un certain intervalle de degrés. Dans la section 0DXH, nous étudions quelques exemples où \(U\) est le spectre épointé d’un anneau local. Dans la section 0EG1, nous traitons le cas général. Dans la section 0ECQ, nous appliquons certains des résultats obtenus à des questions de connexité en géométrie algébrique.

Les dernières sections de ce chapitre sont consacrées à l’étude de l’algébrisation des modules formels cohérents. Autrement dit, étant donné un système projectif de modules cohérents \((\mathcal{F}_n)\) sur \(U\) comme ci-dessus, avec \(\mathcal{F}_n = \mathcal{F}_{n + 1}/I^n\mathcal{F}_{n + 1}\) nous demandons s’il existe un \(\mathcal{O}_U\)-module cohérent \(\mathcal{F}\) tel que \(\mathcal{F}_n = \mathcal{F}/I^n\mathcal{F}\) pour tout \(n\). Nous conseillons au lecteur de consulter la section 0DXS pour un énoncé précis de la question, un résultat général utile (lemme 0EHH) et une application non triviale (lemme 0DXW). La démonstration d’un résultat dépassant substantiellement ce cas exige de développer une théorie sensiblement plus étendue. On trouvera dans la section 0EJH les résultats de ce type les plus forts obtenus dans ce chapitre.

sections formelles, I

Nous conseillons de consulter d’abord Cohomologie, section 0GYJ.

Lemme

Soient \(X\) un schéma et \(\mathcal{I} \subset \mathcal{O}_X\) un faisceau quasi-cohérent d’idéaux. Soit \[\ldots \to \mathcal{F}_3 \to \mathcal{F}_2 \to \mathcal{F}_1\] un système projectif de \(\mathcal{O}_X\)-modules quasi-cohérents tel que \(\mathcal{F}_n = \mathcal{F}_{n + 1}/\mathcal{I}^n\mathcal{F}_{n + 1}\). Posons \(\mathcal{F} = \lim \mathcal{F}_n\). Alors

1. \(\mathcal{F} = R\lim \mathcal{F}_n\),

2. pour tout ouvert affine \(U \subset X\), on a \(H^p(U, \mathcal{F}) = 0\) pour \(p > 0\), et

3. pour tout \(p\), il existe une suite exacte courte \(0 \to R^1\lim H^{p - 1}(X, \mathcal{F}_n) \to H^p(X, \mathcal{F}) \to \lim H^p(X, \mathcal{F}_n) \to 0\).

Si, de plus, \(\mathcal{I}\) est de type fini, alors

1. \(\mathcal{F}_n = \mathcal{F}/\mathcal{I}^n\mathcal{F}\), et

2. \(\mathcal{I}^n \mathcal{F} = \lim_{m \geq n} \mathcal{I}^n\mathcal{F}_m\).

Démonstration

Les assertions (1), (2) et (3) sont des faits généraux sur les systèmes projectifs de modules quasi-cohérents dont les applications de transition sont surjectives ; voir Catégories dérivées des schémas, lemme 0A0J et Cohomologie, lemme 0D60. Supposons maintenant que \(\mathcal{I}\) est de type fini. Soit \(U \subset X\) un ouvert affine. Écrivons \(U = \Spec(A)\) et supposons que \(\mathcal{I}|_U\) correspond à \(I \subset A\). Remarquons que \(I\) est un idéal de type fini. L’équivalence entre la catégorie des \(\mathcal{O}_U\)-modules quasi-cohérents et celle des \(A\)-modules (Schémas, lemme 01IB) montre que \(M_n = \mathcal{F}_n(U)\) est un système projectif de \(A\)-modules tel que \(M_n = M_{n + 1}/I^nM_{n + 1}\). Ainsi \[M = \mathcal{F}(U) = \lim \mathcal{F}_n(U) = \lim M_n\] est un module \(I\)-adiquement complet, avec \(M/I^nM = M_n\), d’après Algèbre, lemme 09B8. Cela prouve (4). L’assertion (5) se traduit par l’égalité \(\lim_{m \geq n} I^nM/I^mM = I^nM\). Puisque \(I^mM = I^{m - n} \cdot I^nM\), cela signifie simplement que \(I^mM\) est \(I\)-adiquement complet. Cela résulte d’Algèbre, lemme 05GG, et du fait que \(M\) est complet.

sections formelles, II

Nous conseillons de consulter d’abord Cohomologie, sections 0H38 et 0H3B.

Lemme

Soient \(X\) un schéma et \(f \in \Gamma(X, \mathcal{O}_X)\). Soit \[\ldots \to \mathcal{F}_3 \to \mathcal{F}_2 \to \mathcal{F}_1\] un système projectif de \(\mathcal{O}_X\)-modules quasi-cohérents. Les conditions suivantes sont équivalentes :

1. pour tout \(n \geq 1\), l’application \(f : \mathcal{F}_{n + 1} \to \mathcal{F}_{n + 1}\) se factorise par \(\mathcal{F}_{n + 1} \to \mathcal{F}_n\) et définit une suite exacte courte \(0 \to \mathcal{F}_n \to \mathcal{F}_{n + 1} \to \mathcal{F}_1 \to 0\),

2. pour tout \(n \geq 1\), l’application \(f^n : \mathcal{F}_{n + 1} \to \mathcal{F}_{n + 1}\) se factorise par \(\mathcal{F}_{n + 1} \to \mathcal{F}_1\) et définit une suite exacte courte \(0 \to \mathcal{F}_1 \to \mathcal{F}_{n + 1} \to \mathcal{F}_n \to 0\)

3. il existe un \(\mathcal{O}_X\)-module \(\mathcal{G}\) qui est \(f\)-divisible et tel que \(\mathcal{F}_n = \mathcal{G}[f^n]\).

4. il existe un \(\mathcal{O}_X\)-module \(\mathcal{F}\) qui est sans \(f\)-torsion et tel que \(\mathcal{F}_n = \mathcal{F}/f^n\mathcal{F}\).

Démonstration

L’équivalence de (1), (2), (3) et l’implication (4) \(\Rightarrow\) (1) sont démontrées dans Cohomologie, lemme 0H39. Supposons (1) vérifiée. Posons \(\mathcal{F} = \lim \mathcal{F}_n\). D’après le lemme 0EI8, assertion (4), on a \(\mathcal{F}_n = \mathcal{F}/f^n\mathcal{F}\). Soient \(U \subset X\) un ouvert et \(s = (s_n) \in \mathcal{F}(U) = \lim \mathcal{F}_n(U)\). Choisissons \(n \geq 1\). Si \(fs = 0\), alors \(s_{n + 1}\) appartient au noyau de \(\mathcal{F}_{n + 1} \to \mathcal{F}_n\) par la condition (1). Ainsi \(s_n = 0\). Comme \(n\) est arbitraire, on obtient \(s = 0\). Donc \(\mathcal{F}\) est sans \(f\)-torsion.

Lemme

Soient \(A\) un anneau et \(f \in A\). Soit \(X\) un schéma sur \(A\). Soit \(\mathcal{F}\) un \(\mathcal{O}_X\)-module quasi-cohérent. Supposons que la suite \(\mathcal{F}[f^n] = \Ker(f^n : \mathcal{F} \to \mathcal{F})\) stationne. Alors \[R\Gamma(X, \lim \mathcal{F}/f^n\mathcal{F}) = R\Gamma(X, \mathcal{F})^\wedge\] où le membre de droite désigne le complété dérivé relativement à l’idéal \((f) \subset A\). Par conséquent, pour \(p \in \mathbf{Z}\), on obtient un diagramme commutatif \[\xymatrix{ & 0 & 0 \\ 0 \ar[r] & \widehat{H^p(X, \mathcal{F})} \ar[r] \ar[u] & \lim H^p(X, \mathcal{F}/f^n\mathcal{F}) \ar[r] \ar[u] & T_f(H^{p + 1}(X, \mathcal{F})) \ar[r] & 0 \\ 0 \ar[r] & H^0(H^p(X, \mathcal{F})^\wedge) \ar[r] \ar[u] & H^p(X, \lim \mathcal{F}/f^n\mathcal{F}) \ar[r] \ar[u] & T_f(H^{p + 1}(X, \mathcal{F})) \ar[r] \ar@{=}[u] & 0 \\ & R^1\lim H^p(X, \mathcal{F})[f^n] \ar[u] \ar[r]^\cong & R^1\lim H^{p - 1}(X, \mathcal{F}/f^n\mathcal{F}) \ar[u] \\ & 0 \ar[u] & 0 \ar[u] }\] à lignes et colonnes exactes, où \(\widehat{H^p(X, \mathcal{F})} = \lim H^p(X, \mathcal{F})/f^n H^p(X, \mathcal{F})\) est le complété \(f\)-adique usuel et où \(T_f(-)\) désigne le module de Tate \(f\)-adique comme dans Compléments d’algèbre, exemple 0BKG.

Démonstration

D’après le lemme 0EI8, on a \(\lim \mathcal{F}/f^n\mathcal{F} = R\lim \mathcal{F}/f^n \mathcal{F}\). Le reste découle de Cohomologie, exemple 0H3E.

sections formelles, III

Dans cette section, nous démontrons le lemme 0EH7, qui, dans le cadre des schémas noethériens et des modules cohérents, est l’analogue de Cohomologie, lemme 0EHA, lorsque l’idéal \(I\) n’est pas supposé principal, mais vérifie \(\text{cd}(A, I) = 1\).

Lemme

Soit \(I = (f_1, \ldots, f_r)\) un idéal d’un anneau noethérien \(A\). Si \(\text{cd}(A, I) = 1\), il existe \(c \geq 1\) et des applications \(\varphi_j : I^c \to A\) telles que \(\sum f_j \varphi_j : I^c \to I\) soit l’inclusion.

Démonstration

Puisque \(\text{cd}(A, I) = 1\), le complémentaire \(U = \Spec(A) \setminus V(I)\) est affine (Cohomologie locale, lemme 0DXD). Écrivons \(U = \Spec(B)\). Alors \(IB = B\) et l’on peut écrire \(1 = \sum_{j = 1, \ldots, r} f_j b_j\) pour des \(b_j \in B\). D’après Cohomologie des schémas, lemme 01YB, on peut représenter les \(b_j\) par des applications \(\varphi_j : I^c \to A\) pour un certain \(c \geq 0\). Alors \(\sum f_j \varphi_j : I^c \to I \subset A\) est l’inclusion canonique, quitte à remplacer \(c\) par un entier plus grand, d’après le même lemme.

Lemme

Soit \(I = (f_1, \ldots, f_r)\) un idéal d’un anneau noethérien \(A\) tel que \(\text{cd}(A, I) = 1\). Soient \(c \geq 1\) et \(\varphi_j : I^c \to A\), \(j = 1, \ldots, r\), comme dans le lemme 0EIA. Il existe alors un unique homomorphisme de \(A\)-algèbres graduées \[\Phi : \bigoplus\nolimits_{n \geq 0} I^{nc} \to A[T_1, \ldots, T_r]\] tel que \(\Phi(g) = \sum \varphi_j(g) T_j\) pour \(g \in I^c\). De plus, la composée de \(\Phi\) avec l’application \(A[T_1, \ldots, T_r] \to \bigoplus_{n \geq 0} I^n\), \(T_j \mapsto f_j\), est l’inclusion \(\bigoplus_{n \geq 0} I^{nc} \to \bigoplus_{n \geq 0} I^n\).

Démonstration

Pour tout \(j\) et tout \(m \geq c\), la restriction de \(\varphi_j\) à \(I^m\) est une application \(\varphi_j : I^m \to I^{m - c}\). Étant donnés \(j_1, \ldots, j_n \in \{1, \ldots, r\}\), montrons que la composée \[\varphi_{j_1} \ldots \varphi_{j_n} : I^{nc} \to I^{(n - 1)c} \to \ldots \to I^c \to A\] est indépendante de l’ordre des indices \(j_1, \ldots, j_n\). En effet, si \(g = g_1 \ldots g_n\) avec \(g_i \in I^c\), on voit que \[(\varphi_{j_1} \ldots \varphi_{j_n})(g) = \varphi_{j_1}(g_1) \ldots \varphi_{j_n}(g_n)\] est indépendant de l’ordre, car la multiplication dans \(A\) est commutative. On peut donc définir \(\Phi\) en envoyant \(g \in I^{nc}\) sur \[\Phi(g) = \sum\nolimits_{e_1 + \ldots + e_r = n} (\varphi_1^{e_1} \circ \ldots \circ \varphi_r^{e_r})(g) T_1^{e_1} \ldots T_r^{e_r}\] On vérifie directement qu’il s’agit d’un homomorphisme de \(A\)-algèbres graduées possédant la propriété voulue. L’unicité est immédiate, ainsi que la dernière propriété. Le lemme est démontré.

Lemme

Soit \(I = (f_1, \ldots, f_r)\) un idéal d’un anneau noethérien \(A\) tel que \(\text{cd}(A, I) = 1\). Soient \(c \geq 1\) et \(\varphi_j : I^c \to A\), \(j = 1, \ldots, r\), comme dans le lemme 0EIA. Soit \(A \to B\) un homomorphisme d’anneaux, avec \(B\) noethérien, et soit \(N\) un \(B\)-module de type fini. Alors, quitte à augmenter \(c\) et à modifier les \(\varphi_j\) en conséquence, il existe un unique homomorphisme de \(B\)-modules gradués \[\Phi_N : \bigoplus\nolimits_{n \geq 0} I^{nc}N \to N[T_1, \ldots, T_r]\] tel que \(\Phi_N(g x) = \Phi(g) x\) pour \(g \in I^{nc}\) et \(x \in N\), où \(\Phi\) est comme dans le lemme 0EIB. La composée de \(\Phi_N\) avec l’application \(N[T_1, \ldots, T_r] \to \bigoplus_{n \geq 0} I^nN\), \(T_j \mapsto f_j\), est l’inclusion \(\bigoplus_{n \geq 0} I^{nc}N \to \bigoplus_{n \geq 0} I^nN\).

Démonstration

L’unicité résulte clairement de la formule et de l’unicité de \(\Phi\) dans le lemme 0EIB. Considérons la \(A\)-algèbre noethérienne \(B' = B \oplus N\), où \(N\) est un idéal de carré nul. Pour établir l’existence de \(\Phi_N\), il suffit (d’après le lemme 0EIA) de montrer que \(\varphi_j\) se prolonge en une application \(\varphi'_j : I^cB' \to B'\), quitte à augmenter \(c\) en un certain \(c'\) (et à remplacer \(\varphi_j\) par la composée de l’inclusion \(I^{c'} \to I^c\) avec \(\varphi_j\)). Rappelons que \(\varphi_j\) correspond à une section \[h_j \in \Gamma(\Spec(A) \setminus V(I), \mathcal{O}_{\Spec(A)})\] voir Cohomologie des schémas, lemme 01YB. (C’est d’ailleurs ainsi que nous avons choisi les \(\varphi_j\) dans la démonstration du lemme 0EIA.) Utilisons ce même lemme pour représenter l’image inverse \[h'_j \in \Gamma(\Spec(B') \setminus V(IB'), \mathcal{O}_{\Spec(B')})\] de \(h_j\) par une application \(B'\)-linéaire \(\varphi'_j : I^{c'}B' \to B'\) pour un certain \(c' \geq c\). La compatibilité avec \(\varphi_j\) sera vérifiée pour \(c'\) assez grand, par une nouvelle application du lemme : il suffit en effet de la vérifier sur une famille finie de générateurs de \(I^{c'}\). Nous omettons ce détail.

Lemme

Soit \(I = (f_1, \ldots, f_r)\) un idéal d’un anneau noethérien \(A\) tel que \(\text{cd}(A, I) = 1\). Soient \(c \geq 1\) et \(\varphi_j : I^c \to A\), \(j = 1, \ldots, r\), comme dans le lemme 0EIA. Soit \(X\) un schéma noethérien sur \(\Spec(A)\). Soit \[\ldots \to \mathcal{F}_3 \to \mathcal{F}_2 \to \mathcal{F}_1\] un système projectif de \(\mathcal{O}_X\)-modules cohérents tel que \(\mathcal{F}_n = \mathcal{F}_{n + 1}/I^n\mathcal{F}_{n + 1}\). Posons \(\mathcal{F} = \lim \mathcal{F}_n\). Alors, quitte à augmenter \(c\) et à modifier les \(\varphi_j\) en conséquence, il existe un unique homomorphisme de \(\mathcal{O}_X\)-modules gradués \[\Phi_\mathcal{F} : \bigoplus\nolimits_{n \geq 0} I^{nc}\mathcal{F} \longrightarrow \mathcal{F}[T_1, \ldots, T_r]\] tel que \(\Phi_\mathcal{F}(g s) = \Phi(g) s\) pour \(g \in I^{nc}\) et \(s\) une section locale de \(\mathcal{F}\), où \(\Phi\) est comme dans le lemme 0EIB. La composée de \(\Phi_\mathcal{F}\) avec l’application \(\mathcal{F}[T_1, \ldots, T_r] \to \bigoplus_{n \geq 0} I^n\mathcal{F}\), \(T_j \mapsto f_j\) est l’inclusion canonique \(\bigoplus_{n \geq 0} I^{nc}\mathcal{F} \to \bigoplus_{n \geq 0} I^n\mathcal{F}\).

Démonstration

L’unicité résulte immédiatement de la \(\mathcal{O}_X\)-linéarité et de la condition \(\Phi_\mathcal{F}(g s) = \Phi(g) s\) pour \(g \in I^{nc}\) et \(s\) une section locale de \(\mathcal{F}\). On peut donc supposer \(X = \Spec(B)\) affine. Remarquons que \((\mathcal{F}_n)\) est un objet de la catégorie \(\textit{Coh}(X, I\mathcal{O}_X)\) introduite dans Cohomologie des schémas, section 0EHN. Soit \(B' = B^\wedge\) le complété \(I\)-adique de \(B\). D’après Cohomologie des schémas, lemme 087W, l’objet \((\mathcal{F}_n)\) correspond à un \(B'\)-module de type fini \(N\), au sens où \(\mathcal{F}_n\) est le module cohérent associé au \(B\)-module de type fini \(N/I^n N\). En appliquant le lemme 0EIC à \(I \subset A \to B'\) et à \(N\), on voit que, quitte à augmenter \(c\) et à modifier les \(\varphi_j\) en conséquence, on obtient des applications uniques \[\Phi_N : \bigoplus\nolimits_{n \geq 0} I^{nc}N \to N[T_1, \ldots, T_r]\] ayant les propriétés correspondantes. Notons qu’en degré \(n\), on obtient un système projectif d’applications \(N/I^mN \to \bigoplus_{e_1 + \ldots + e_r = n} N/I^{m - nc}N \cdot T_1^{e_1} \ldots T_r^{e_r}\) pour \(m \geq nc\). En revenant au langage des faisceaux cohérents, on voit que \(\Phi_N\) correspond à un système d’applications \[\Phi^n_m : I^{nc}\mathcal{F}_m \longrightarrow \bigoplus\nolimits_{e_1 + \ldots + e_r = n} \mathcal{F}_{m - nc} \cdot T_1^{e_1} \ldots T_r^{e_r}\] pour \(m \geq nc\) et \(n \geq 1\) variables. En prenant la limite projective de ces applications suivant \(m\), on obtient \(\Phi_\mathcal{F} = \bigoplus_n \lim_m \Phi^n_m\). Notons que \(\lim_m I^t\mathcal{F}_m = I^t \mathcal{F}\), comme on peut le voir en évaluant sur les ouverts affines, par exemple ; mais ce fait est inutile ici, car il existe clairement une application \(I^t\mathcal{F} \to \lim_m I^t\mathcal{F}_m\).

Lemme

Soient \(I\) un idéal d’un anneau noethérien \(A\) et \(X\) un schéma noethérien sur \(\Spec(A)\). Soit \[\ldots \to \mathcal{F}_3 \to \mathcal{F}_2 \to \mathcal{F}_1\] un système projectif de \(\mathcal{O}_X\)-modules cohérents tel que \(\mathcal{F}_n = \mathcal{F}_{n + 1}/I^n\mathcal{F}_{n + 1}\). Si \(\text{cd}(A, I) = 1\), alors, pour tout \(p \in \mathbf{Z}\), la topologie de limite sur \(\lim H^p(X, \mathcal{F}_n)\) est \(I\)-adique.

Démonstration

Il est d’abord clair que l’image de \(I^t \lim H^p(X, \mathcal{F}_n)\) dans \(H^p(X, \mathcal{F}_t)\) est nulle. La topologie \(I\)-adique est donc plus fine que la topologie de limite. Pour la réciproque, posons \(\mathcal{F} = \lim \mathcal{F}_n\), choisissons des générateurs \(f_1, \ldots, f_r\) de \(I\), choisissons \(c \geq 1\), puis choisissons \(\Phi_\mathcal{F}\) comme dans le lemme 0EH6. Nous utiliserons les résultats du lemme 0EI8 sans autre mention. En particulier, on a une suite exacte courte \[0 \to R^1\lim H^{p - 1}(X, \mathcal{F}_n) \to H^p(X, \mathcal{F}) \to \lim H^p(X, \mathcal{F}_n) \to 0\] On peut donc relever tout élément \(\xi\) de \(\lim H^p(X, \mathcal{F}_n)\) en un élément \(\xi' \in H^p(X, \mathcal{F})\). Supposons que \(\xi\) ait une image nulle dans \(H^p(X, \mathcal{F}_{nc})\) pour un certain \(n\) ; autrement dit, supposons que \(\xi\) soit « petit » pour la topologie de limite. On a une suite exacte courte \[0 \to I^{nc}\mathcal{F} \to \mathcal{F} \to \mathcal{F}_{nc} \to 0\] et l’hypothèse signifie donc que l’on peut relever \(\xi'\) en un élément \(\xi'' \in H^p(X, I^{nc}\mathcal{F})\). En appliquant \(\Phi_\mathcal{F}\), on obtient \[\Phi_\mathcal{F}(\xi'') = \sum\nolimits_{e_1 + \ldots + e_r = n} \xi'_{e_1, \ldots, e_r} \cdot T_1^{e_1} \ldots T_r^{e_r}\] pour certains \(\xi'_{e_1, \ldots, e_r} \in H^p(X, \mathcal{F})\). En notant \(\xi_{e_1, \ldots, e_r} \in \lim H^p(X, \mathcal{F}_n)\) leurs images et en utilisant la dernière assertion du lemme 0EH6, on conclut que \[\xi = \sum f_1^{e_1} \ldots f_r^{e_r} \xi_{e_1, \ldots, e_r}\] appartient à \(I^n \lim H^p(X, \mathcal{F}_n)\), comme voulu.

Exemple

Soit \(k\) un corps. Posons \(A = k[x, y][[s, t]]/(xs - yt)\). Posons \(I = (s, t)\) et \(\mathfrak a = (x, y, s, t)\). Posons \(X = \Spec(A) - V(\mathfrak a)\) et \(\mathcal{F}_n = \mathcal{O}_X/I^n\mathcal{O}_X\). Remarquons que la fonction rationnelle \[g = \frac{t}{x} = \frac{s}{y}\] est régulière dans un voisinage ouvert \(V \subset X\) de \(V(I\mathcal{O}_X)\). Toute puissance \(g^e\) définit donc une section \(g^e \in M = \lim H^0(X, \mathcal{F}_n)\). Remarquons que \(g^e \to 0\) lorsque \(e \to \infty\) pour la topologie de limite sur \(M\), puisque l’image de \(g^e\) dans \(\mathcal{F}_e\) est nulle. En revanche, \(g^e \not \in IM\) pour tout \(e\), comme le lecteur pourra le voir en calculant \(H^0(U, \mathcal{F}_n)\) ; nous omettons ce calcul. Remarquons que \(\text{cd}(A, I) = 2\). Le résultat du lemme 0EH7 est donc optimal.

Conditions de Mittag-Leffler

Lorsque l’on prend la cohomologie locale relativement à l’idéal maximal d’un anneau local noethérien, la condition de Mittag-Leffler est souvent automatiquement satisfaite. Il en va donc de même des groupes de cohomologie supérieure d’un système projectif de faisceaux cohérents à applications de transition surjectives sur le spectre épointé.

Lemme

Soit \((A, \mathfrak m)\) un anneau local noethérien.

1. Soit \(M\) un \(A\)-module de type fini. Alors le \(A\)-module \(H^i_\mathfrak m(M)\) satisfait à la condition des chaînes descendantes pour tout \(i\).

2. Soit \(U = \Spec(A) \setminus \{\mathfrak m\}\) le spectre épointé de \(A\). Soit \(\mathcal{F}\) un \(\mathcal{O}_U\)-module cohérent. Alors le \(A\)-module \(H^i(U, \mathcal{F})\) satisfait à la condition des chaînes descendantes pour \(i > 0\).

Démonstration

Démontrons (1) par récurrence sur la dimension du support de \(M\). L’énoncé vaut si \(M = 0\) ; on peut donc supposer, et l’on suppose, \(M\) non nul.

Initialisation de la récurrence. Si \(\dim(\text{Supp}(M)) = 0\), le support de \(M\) est \(\{\mathfrak m\}\), et l’on voit que \(H^0_\mathfrak m(M) = M\) et \(H^i_\mathfrak m(M) = 0\) pour \(i > 0\), comme il résulte de la construction de la cohomologie locale ; voir Complexes dualisants, section 0952. Puisque \(M\) est de longueur finie (Algèbre, lemme 00J0), il satisfait à la condition des chaînes descendantes.

Étape de récurrence. Supposons \(\dim(\text{Supp}(M)) > 0\). D’après le cas initial, le module de type fini \(H^0_\mathfrak m(M) \subset M\) satisfait à la condition des chaînes descendantes. D’après Complexes dualisants, lemme 0AW0, on peut remplacer \(M\) par \(M/H^0_\mathfrak m(M)\). Alors \(H^0_\mathfrak m(M) = 0\), c’est-à-dire que \(M\) est de profondeur \(\geq 1\) ; voir Complexes dualisants, lemme 0AVZ. Choisissons \(x \in \mathfrak m\) tel que \(x : M \to M\) soit injective. D’après Algèbre, lemme 0B52, on a \(\dim(\text{Supp}(M/xM)) = \dim(\text{Supp}(M)) - 1\) et l’hypothèse de récurrence s’applique. Fixons un indice \(i\) et considérons la suite exacte \[H^{i - 1}_\mathfrak m(M/xM) \to H^i_\mathfrak m(M) \xrightarrow{x} H^i_\mathfrak m(M)\] issue de la suite exacte courte \(0 \to M \xrightarrow{x} M \to M/xM \to 0\). Il s’ensuit que le sous-module de \(x\)-torsion \(H^i_\mathfrak m(M)[x]\) est quotient d’un module satisfaisant à la condition des chaînes descendantes, et satisfait donc lui-même à cette condition. Ainsi, le sous-module de \(\mathfrak m\)-torsion \(H^i_\mathfrak m(M)[\mathfrak m]\) satisfait à la condition des chaînes descendantes (et est donc de dimension finie sur \(A/\mathfrak m\)). On en conclut que le module de torsion par les puissances de \(\mathfrak m\) \(H^i_\mathfrak m(M)\) satisfait à la condition des chaînes descendantes d’après Complexes dualisants, lemme 08Z8.

L’assertion (2) découle de (1) par Cohomologie locale, lemme 0BK0.

Lemme

Soit \((A, \mathfrak m)\) un anneau local noethérien.

1. Soit \((M_n)\) un système projectif de \(A\)-modules de type fini. Alors le système projectif \(H^i_\mathfrak m(M_n)\) satisfait à la condition de Mittag-Leffler pour tout \(i\).

2. Soit \(U = \Spec(A) \setminus \{\mathfrak m\}\) le spectre épointé de \(A\). Soit \(\mathcal{F}_n\) un système projectif de \(\mathcal{O}_U\)-modules cohérents. Alors le système projectif \(H^i(U, \mathcal{F}_n)\) satisfait à la condition de Mittag-Leffler pour \(i > 0\).

Démonstration

Cela résulte immédiatement du lemme 0DX0.

Lemme

Soit \((A, \mathfrak m)\) un anneau local noethérien. Soit \((M_n)\) un système projectif de \(A\)-modules de type fini. Soit \(M \to \lim M_n\) une application, où \(M\) est un \(A\)-module de type fini, telle que, pour un certain \(i\), l’application \(H^i_\mathfrak m(M) \to \lim H^i_\mathfrak m(M_n)\) soit un isomorphisme. Alors le système projectif \(H^i_\mathfrak m(M_n)\) est essentiellement constant, de valeur \(H^i_\mathfrak m(M)\).

Démonstration

D’après le lemme 0DX1, le système projectif \(H^i_\mathfrak m(M_n)\) satisfait à la condition de Mittag-Leffler. Soit \(E_n \subset H^i_\mathfrak m(M_n)\) l’image de \(H^i_\mathfrak m(M_{n'})\) pour \(n' \gg n\). Alors \((E_n)\) est un système projectif à applications de transition surjectives et \(H^i_\mathfrak m(M) = \lim E_n\). Puisque \(H^i_\mathfrak m(M)\) satisfait à la condition des chaînes descendantes d’après le lemme 0DX0, il ne peut y avoir qu’un nombre fini de noyaux non triviaux parmi ceux des surjections \(H^i_\mathfrak m(M) \to E_n\). Ainsi \(E_n \to E_{n - 1}\) est un isomorphisme pour tout \(n \gg 0\), comme voulu.

Lemme

Soit \((A, \mathfrak m)\) un anneau local noethérien. Soient \(I \subset A\) un idéal et \(M\) un \(A\)-module de type fini. Alors \[H^i(R\Gamma_\mathfrak m(M)^\wedge) = \lim H^i_\mathfrak m(M/I^nM)\] pour tout \(i\), où \(R\Gamma_\mathfrak m(M)^\wedge\) désigne le complété \(I\)-adique dérivé.

Démonstration

Appliquons Complexes dualisants, lemme 0EEW, et le lemme 0DX1 pour obtenir l’annulation des termes \(R^1\lim\).

Complétion dérivée sur un site annelé

Nous recommandons au lecteur de sauter cette section à la première lecture.

La version algébrique de ce qui suit figure dans Compléments d’algèbre, section 091N. Soit \(\mathcal{O}\) un faisceau d’anneaux sur un site \(\mathcal{C}\). Soit \(f\) une section globale de \(\mathcal{O}\). Notons \(\mathcal{O}_f\) le faisceau associé au préfaisceau de localisés \(U \mapsto \mathcal{O}(U)_f\).

Lemme

Soit \((\mathcal{C}, \mathcal{O})\) un site annelé. Soit \(f\) une section globale de \(\mathcal{O}\).

1. Pour \(L, N \in D(\mathcal{O}_f)\), on a \(R\SheafHom_\mathcal{O}(L, N) = R\SheafHom_{\mathcal{O}_f}(L, N)\). En particulier, les deux structures de \(\mathcal{O}_f\)-module sur \(R\SheafHom_\mathcal{O}(L, N)\) coïncident.

2. Pour \(K \in D(\mathcal{O})\) et \(L \in D(\mathcal{O}_f)\), on a \[R\SheafHom_\mathcal{O}(L, K) = R\SheafHom_{\mathcal{O}_f}(L, R\SheafHom_\mathcal{O}(\mathcal{O}_f, K))\] En particulier \(R\SheafHom_\mathcal{O}(\mathcal{O}_f, R\SheafHom_\mathcal{O}(\mathcal{O}_f, K)) = R\SheafHom_\mathcal{O}(\mathcal{O}_f, K)\).

3. Si \(g\) est une seconde section globale de \(\mathcal{O}\), alors \[R\SheafHom_\mathcal{O}(\mathcal{O}_f, R\SheafHom_\mathcal{O}(\mathcal{O}_g, K)) = R\SheafHom_\mathcal{O}(\mathcal{O}_{gf}, K).\]

Démonstration

Démonstration de (1). Soit \(\mathcal{J}^\bullet\) un complexe K-injectif de \(\mathcal{O}_f\)-modules représentant \(N\). D’après Cohomologie sur les sites, lemme 093Y, il s’ensuit que \(\mathcal{J}^\bullet\) est aussi un complexe K-injectif de \(\mathcal{O}\)-modules. Soit \(\mathcal{F}^\bullet\) un complexe de \(\mathcal{O}_f\)-modules représentant \(L\). Alors \[R\SheafHom_\mathcal{O}(L, N) = R\SheafHom_\mathcal{O}(\mathcal{F}^\bullet, \mathcal{J}^\bullet) = R\SheafHom_{\mathcal{O}_f}(\mathcal{F}^\bullet, \mathcal{J}^\bullet)\] d’après Modules sur les sites, lemme 0930, puisque \(\mathcal{J}^\bullet\) est un complexe K-injectif de \(\mathcal{O}\)-modules et de \(\mathcal{O}_f\)-modules.

Démonstration de (2). Soit \(\mathcal{I}^\bullet\) un complexe K-injectif de \(\mathcal{O}\)-modules représentant \(K\). Alors \(R\SheafHom_\mathcal{O}(\mathcal{O}_f, K)\) est représenté par \(\SheafHom_\mathcal{O}(\mathcal{O}_f, \mathcal{I}^\bullet)\), qui est un complexe K-injectif de \(\mathcal{O}_f\)-modules et de \(\mathcal{O}\)-modules d’après Cohomologie sur les sites, lemmes 093Z et 093Y. Soit \(\mathcal{F}^\bullet\) un complexe de \(\mathcal{O}_f\)-modules représentant \(L\). Alors \[R\SheafHom_\mathcal{O}(L, K) = R\SheafHom_\mathcal{O}(\mathcal{F}^\bullet, \mathcal{I}^\bullet) = R\SheafHom_{\mathcal{O}_f}(\mathcal{F}^\bullet, \SheafHom_\mathcal{O}(\mathcal{O}_f, \mathcal{I}^\bullet))\] d’après Modules sur les sites, lemme 0932, et puisque \(\SheafHom_\mathcal{O}(\mathcal{O}_f, \mathcal{I}^\bullet)\) est un complexe K-injectif de \(\mathcal{O}_f\)-modules.

Démonstration de (3). Cela résulte du fait que \(R\SheafHom_\mathcal{O}(\mathcal{O}_g, \mathcal{I}^\bullet)\) est K-injectif comme complexe de \(\mathcal{O}\)-modules et du fait que \(\SheafHom_\mathcal{O}(\mathcal{O}_f, \SheafHom_\mathcal{O}(\mathcal{O}_g, \mathcal{H})) = \SheafHom_\mathcal{O}(\mathcal{O}_{gf}, \mathcal{H})\) pour tout faisceau de \(\mathcal{O}\)-modules \(\mathcal{H}\).

Soit \(K \in D(\mathcal{O})\). Notons \(T(K, f)\) une limite dérivée (Catégories dérivées, définition 08TC) du système projectif \[\ldots \to K \xrightarrow{f} K \xrightarrow{f} K\] dans \(D(\mathcal{O})\).

Lemme

Soit \((\mathcal{C}, \mathcal{O})\) un site annelé. Soit \(f\) une section globale de \(\mathcal{O}\). Soit \(K \in D(\mathcal{O})\). Les conditions suivantes sont équivalentes :

1. \(R\SheafHom_\mathcal{O}(\mathcal{O}_f, K) = 0\),

2. \(R\SheafHom_\mathcal{O}(L, K) = 0\) pour tout \(L\) dans \(D(\mathcal{O}_f)\),

3. \(T(K, f) = 0\).

Démonstration

Il est clair que (2) implique (1). L’implication (1) \(\Rightarrow\) (2) résulte du lemme 0996. Une résolution libre du \(\mathcal{O}\)-module \(\mathcal{O}_f\) est donnée par \[0 \to \bigoplus\nolimits_{n \in \mathbf{N}} \mathcal{O} \to \bigoplus\nolimits_{n \in \mathbf{N}} \mathcal{O} \to \mathcal{O}_f \to 0\] où la première application envoie une section locale \((x_0, x_1, \ldots)\) sur \((x_0, x_1 - fx_0, x_2 - fx_1, \ldots)\), et la seconde envoie \((x_0, x_1, \ldots)\) sur \(x_0 + x_1/f + x_2/f^2 + \ldots\). En appliquant \(\SheafHom_\mathcal{O}(-, \mathcal{I}^\bullet)\), où \(\mathcal{I}^\bullet\) est un complexe K-injectif de \(\mathcal{O}\)-modules représentant \(K\), on obtient une suite exacte courte de complexes \[0 \to \SheafHom_\mathcal{O}(\mathcal{O}_f, \mathcal{I}^\bullet) \to \prod \mathcal{I}^\bullet \to \prod \mathcal{I}^\bullet \to 0\] puisque \(\mathcal{I}^n\) est un \(\mathcal{O}\)-module injectif. Les produits sont des produits dans \(D(\mathcal{O})\) ; voir Injectifs, lemme 07D9. Cela signifie que l’objet \(T(K, f)\) est un représentant de \(R\SheafHom_\mathcal{O}(\mathcal{O}_f, K)\) dans \(D(\mathcal{O})\). D’où l’équivalence de (1) et (3).

Lemme

Soit \((\mathcal{C}, \mathcal{O})\) un site annelé. Soit \(K \in D(\mathcal{O})\). La règle qui associe à \(U\) l’ensemble \(\mathcal{I}(U)\) des sections \(f \in \mathcal{O}(U)\) telles que \(T(K|_U, f) = 0\) est un faisceau d’idéaux de \(\mathcal{O}\).

Démonstration

Nous utiliserons les résultats du lemme 0997 sans autre mention. Si \(f \in \mathcal{I}(U)\) et \(g \in \mathcal{O}(U)\), alors \(\mathcal{O}_{U, gf}\) est un \(\mathcal{O}_{U, f}\)-module, donc \(R\SheafHom_\mathcal{O}(\mathcal{O}_{U, gf}, K|_U) = 0\), d’où \(gf \in \mathcal{I}(U)\). Supposons \(f, g \in \mathcal{O}(U)\). On a alors une suite exacte courte \[0 \to \mathcal{O}_{U, f + g} \to \mathcal{O}_{U, f(f + g)} \oplus \mathcal{O}_{U, g(f + g)} \to \mathcal{O}_{U, gf(f + g)} \to 0\] puisque \(f, g\) engendrent l’idéal unité de \(\mathcal{O}(U)_{f + g}\). Cela résulte d’Algèbre, lemme 00EJ, et du fait immédiat que la dernière flèche est surjective. Puisque \(R\SheafHom_\mathcal{O}( - , K|_U)\) est un foncteur exact entre catégories triangulées, l’annulation de \(R\SheafHom_{\mathcal{O}_U}(\mathcal{O}_{U, f(f + g)}, K|_U)\), \(R\SheafHom_{\mathcal{O}_U}(\mathcal{O}_{U, g(f + g)}, K|_U)\) et \(R\SheafHom_{\mathcal{O}_U}(\mathcal{O}_{U, gf(f + g)}, K|_U)\), entraîne l’annulation de \(R\SheafHom_{\mathcal{O}_U}(\mathcal{O}_{U, f + g}, K|_U)\). Nous omettons la vérification de la condition de faisceau.

On peut donner la définition suivante pour tout site annelé.

Définition

Soit \((\mathcal{C}, \mathcal{O})\) un site annelé. Soit \(\mathcal{I} \subset \mathcal{O}\) un faisceau d’idéaux. Soit \(K \in D(\mathcal{O})\). On dit que \(K\) est complet au sens dérivé relativement à \(\mathcal{I}\) si, pour tout objet \(U\) de \(\mathcal{C}\) et tout \(f \in \mathcal{I}(U)\), l’objet \(T(K|_U, f)\) de \(D(\mathcal{O}_U)\) est nul.

Il est clair que la sous-catégorie pleine \(D_{comp}(\mathcal{O}) = D_{comp}(\mathcal{O}, \mathcal{I}) \subset D(\mathcal{O})\) formée des objets complets au sens dérivé est une sous-catégorie triangulée saturée ; voir Catégories dérivées, définitions 05QM et 05RB. Cette sous-catégorie est stable par produits et limites homotopiques dans \(D(\mathcal{O})\). En revanche, elle n’est en général pas stable par sommes directes dénombrables.

Lemme

Soit \((\mathcal{C}, \mathcal{O})\) un site annelé. Soit \(\mathcal{I} \subset \mathcal{O}\) un faisceau d’idéaux. Si \(K \in D(\mathcal{O})\) et \(L \in D_{comp}(\mathcal{O})\), alors \(R\SheafHom_\mathcal{O}(K, L) \in D_{comp}(\mathcal{O})\).

Démonstration

Soient \(U\) un objet de \(\mathcal{C}\) et \(f \in \mathcal{I}(U)\). Rappelons que \[\Hom_{D(\mathcal{O}_U)}(\mathcal{O}_{U, f}, R\SheafHom_\mathcal{O}(K, L)|_U) = \Hom_{D(\mathcal{O}_U)}( K|_U \otimes_{\mathcal{O}_U}^\mathbf{L} \mathcal{O}_{U, f}, L|_U)\] d’après Cohomologie sur les sites, lemme 08J9. Le membre de droite est nul par le lemme 0997 et la relation entre Hom interne et Hom ; voir Cohomologie sur les sites, lemme 08JA. La même annulation vaut pour tout \(U'/U\). Ainsi, l’objet \(R\SheafHom_{\mathcal{O}_U}(\mathcal{O}_{U, f}, R\SheafHom_\mathcal{O}(K, L)|_U)\) de \(D(\mathcal{O}_U)\) a un faisceau de cohomologie de degré \(0\) nul (loc. cit.). Il en va de même des autres faisceaux de cohomologie, autrement dit \(R\SheafHom_{\mathcal{O}_U}(\mathcal{O}_{U, f}, R\SheafHom_\mathcal{O}(K, L)|_U)\) est nul dans \(D(\mathcal{O}_U)\). On conclut par le lemme 0997.

Lemme

Soit \(\mathcal{C}\) un site. Soit \(\mathcal{O} \to \mathcal{O}'\) un homomorphisme de faisceaux d’anneaux. Soit \(\mathcal{I} \subset \mathcal{O}\) un faisceau d’idéaux. L’image réciproque de \(D_{comp}(\mathcal{O}, \mathcal{I})\) par le foncteur de restriction \(D(\mathcal{O}') \to D(\mathcal{O})\) est \(D_{comp}(\mathcal{O}', \mathcal{I}\mathcal{O}')\).

Démonstration

En utilisant le lemme 0998, on voit que \(K' \in D(\mathcal{O}')\) appartient à \(D_{comp}(\mathcal{O}', \mathcal{I}\mathcal{O}')\) si et seulement si \(T(K'|_U, f)\) est nul pour toute section locale \(f \in \mathcal{I}(U)\). Remarquons que les faisceaux de cohomologie de \(T(K'|_U, f)\) se calculent dans la catégorie des faisceaux abéliens ; il importe donc peu que l’on considère \(f\) comme une section de \(\mathcal{O}\) ou que l’on prenne l’image de \(f\) comme section de \(\mathcal{O}'\). Le lemme résulte immédiatement de cette remarque et de la définition des objets complets au sens dérivé.

Lemme

Soit \(f : (\Sh(\mathcal{D}), \mathcal{O}') \to (\Sh(\mathcal{C}), \mathcal{O})\) un morphisme de topos annelés. Soient \(\mathcal{I} \subset \mathcal{O}\) et \(\mathcal{I}' \subset \mathcal{O}'\) des faisceaux d’idéaux tels que \(f^\sharp\) envoie \(f^{-1}\mathcal{I}\) dans \(\mathcal{I}'\). Alors \(Rf_*\) envoie \(D_{comp}(\mathcal{O}', \mathcal{I}')\) dans \(D_{comp}(\mathcal{O}, \mathcal{I})\).

Démonstration

On peut supposer que \(f\) est donné par un morphisme de sites annelés correspondant à un foncteur continu \(\mathcal{C} \to \mathcal{D}\) (Modules sur les sites, lemme 03CR ). Soit \(U\) un objet de \(\mathcal{C}\) et soit \(g\) une section de \(\mathcal{I}\) sur \(U\). Il faut montrer que \(\Hom_{D(\mathcal{O}_U)}(\mathcal{O}_{U, g}, Rf_*K|_U) = 0\) lorsque \(K\) est complet au sens dérivé relativement à \(\mathcal{I}'\). En effet, d’après Cohomologie sur les sites, lemme 08JA cette annulation, appliquée à tous les objets au-dessus de \(U\) et à tous les décalages de \(K\), entraînera que \(R\SheafHom_{\mathcal{O}_U}(\mathcal{O}_{U, g}, Rf_*K|_U)\) est nul, donc que \(T(Rf_*K|_U, g)\) est nul (lemme 0997), ce qui est l’assertion à démontrer (définition 0999). Soit \(V\) dans \(\mathcal{D}\) l’image de \(U\). Alors \[\Hom_{D(\mathcal{O}_U)}(\mathcal{O}_{U, g}, Rf_*K|_U) = \Hom_{D(\mathcal{O}'_V)}(\mathcal{O}'_{V, g'}, K|_V) = 0\] où \(g' = f^\sharp(g) \in \mathcal{I}'(V)\). La seconde égalité résulte de ce que \(K\) est complet au sens dérivé, et la première de ce que l’image inverse dérivée de \(\mathcal{O}_{U, g}\) est \(\mathcal{O}'_{V, g'}\), ainsi que de Cohomologie sur les sites, lemme 07A6.

Le lemme suivant donne le cas le plus simple où l’on dispose de la complétion dérivée.

Lemme

Soit \((\mathcal{C}, \mathcal{O})\) un site annelé. Soient \(f_1, \ldots, f_r\) des sections globales de \(\mathcal{O}\). Soit \(\mathcal{I} \subset \mathcal{O}\) le faisceau d’idéaux engendré par \(f_1, \ldots, f_r\). Alors le foncteur d’inclusion \(D_{comp}(\mathcal{O}) \to D(\mathcal{O})\) admet un adjoint à gauche ; autrement dit, pour tout objet \(K\) de \(D(\mathcal{O})\), il existe une application \(K \to K^\wedge\), avec \(K^\wedge\) dans \(D_{comp}(\mathcal{O})\), telle que l’application \[\Hom_{D(\mathcal{O})}(K^\wedge, E) \longrightarrow \Hom_{D(\mathcal{O})}(K, E)\] soit bijective dès que \(E\) appartient à \(D_{comp}(\mathcal{O})\). En fait, on a \[K^\wedge = R\SheafHom_\mathcal{O} (\mathcal{O} \to \prod\nolimits_{i_0} \mathcal{O}_{f_{i_0}} \to \prod\nolimits_{i_0 < i_1} \mathcal{O}_{f_{i_0}f_{i_1}} \to \ldots \to \mathcal{O}_{f_1\ldots f_r}, K)\] fonctoriellement en \(K\).

Démonstration

Définissons \(K^\wedge\) par la dernière formule affichée du lemme. On a un morphisme de complexes \[(\mathcal{O} \to \prod\nolimits_{i_0} \mathcal{O}_{f_{i_0}} \to \prod\nolimits_{i_0 < i_1} \mathcal{O}_{f_{i_0}f_{i_1}} \to \ldots \to \mathcal{O}_{f_1\ldots f_r}) \longrightarrow \mathcal{O}\] qui induit une application \(K \to K^\wedge\). Il suffit de montrer que \(K^\wedge\) est complet au sens dérivé et que \(K \to K^\wedge\) est un isomorphisme si \(K\) est complet au sens dérivé.

Soit \(f\) une section globale de \(\mathcal{O}\). D’après le lemme 0996, l’objet \(R\SheafHom_\mathcal{O}(\mathcal{O}_f, K^\wedge)\) est égal à \[R\SheafHom_\mathcal{O}( (\mathcal{O}_f \to \prod\nolimits_{i_0} \mathcal{O}_{ff_{i_0}} \to \prod\nolimits_{i_0 < i_1} \mathcal{O}_{ff_{i_0}f_{i_1}} \to \ldots \to \mathcal{O}_{ff_1\ldots f_r}), K)\] Si \(f = f_i\) pour un certain \(i\), alors \(f_1, \ldots, f_r\) engendrent l’idéal unité de \(\mathcal{O}_f\) ; le complexe de Čech alterné augmenté \[\mathcal{O}_f \to \prod\nolimits_{i_0} \mathcal{O}_{ff_{i_0}} \to \prod\nolimits_{i_0 < i_1} \mathcal{O}_{ff_{i_0}f_{i_1}} \to \ldots \to \mathcal{O}_{ff_1\ldots f_r}\] est donc nul (et même homotope à zéro). On voit ainsi que \(K^\wedge\) est complet au sens dérivé.

Si \(K\) est complet au sens dérivé, alors \(R\SheafHom_\mathcal{O}(\mathcal{O}_f, K)\) est nul pour tout \(f = f_{i_0} \ldots f_{i_p}\), \(p \geq 0\). Ainsi \(K \to K^\wedge\) est un isomorphisme dans \(D(\mathcal{O})\).

Expliquons maintenant en quoi la complétion dérivée est une complétion.

Lemme

Soit \((\mathcal{C}, \mathcal{O})\) un site annelé. Soient \(f_1, \ldots, f_r\) des sections globales de \(\mathcal{O}\). Soit \(\mathcal{I} \subset \mathcal{O}\) le faisceau d’idéaux engendré par \(f_1, \ldots, f_r\). Soit \(K \in D(\mathcal{O})\). Le complété dérivé \(K^\wedge\) du lemme 099B est donné par la formule \[K^\wedge = R\lim K \otimes^\mathbf{L}_\mathcal{O} K_n\] où \(K_n = K(\mathcal{O}, f_1^n, \ldots, f_r^n)\) est le complexe de Koszul de \(f_1^n, \ldots, f_r^n\) sur \(\mathcal{O}\).

Démonstration

Dans Compléments d’algèbre, lemme 0913 nous avons vu que le complexe de Čech alterné augmenté \[\mathcal{O} \to \prod\nolimits_{i_0} \mathcal{O}_{f_{i_0}} \to \prod\nolimits_{i_0 < i_1} \mathcal{O}_{f_{i_0}f_{i_1}} \to \ldots \to \mathcal{O}_{f_1\ldots f_r}\] est une limite inductive des complexes de Koszul \(K^n = K(\mathcal{O}, f_1^n, \ldots, f_r^n)\) placés en degrés \(0, \ldots, r\). Notons que \(K^n\) est un complexe de chaînes fini de \(\mathcal{O}\)-modules libres de type fini, dont le dual est \(\SheafHom_\mathcal{O}(K^n, \mathcal{O}) = K_n\), où \(K_n\) est le complexe de Koszul de cochaînes placé en degrés \(-r, \ldots, 0\) (comme d’habitude). D’après le lemme 099B, le foncteur \(E \mapsto E^\wedge\) s’obtient en prenant \(R\SheafHom\) du complexe de Čech alterné augmenté dans \(E\) : \[E^\wedge = R\SheafHom(\colim K^n, E)\] Cette expression est égale à \(R\lim (E \otimes_\mathcal{O}^\mathbf{L} K_n)\) d’après Cohomologie sur les sites, lemme 0A0A.

Lemme

Il existe une construction des données suivantes :

1. pour tout couple \((A, I)\) formé d’un anneau \(A\) et d’un idéal de type fini \(I \subset A\), un complexe \(K(A, I)\) de \(A\)-modules,

2. un morphisme \(K(A, I) \to A\) de complexes de \(A\)-modules,

3. pour tout homomorphisme d’anneaux \(A \to B\) et tout idéal de type fini \(I \subset A\), un morphisme de complexes \(K(A, I) \to K(B, IB)\),

telle que

1. pour \(A \to B\) et \(I \subset A\) de type fini, le diagramme \[\xymatrix{ K(A, I) \ar[r] \ar[d] & A \ar[d] \\ K(B, IB) \ar[r] & B }\] soit commutatif,

2. pour \(A \to B \to C\) et \(I \subset A\) de type fini, la composée des applications \(K(A, I) \to K(B, IB) \to K(C, IC)\) soit l’application \(K(A, I) \to K(C, IC)\).

3. pour \(A \to B\) et un idéal de type fini \(I \subset A\), l’application induite \(K(A, I) \otimes_A^\mathbf{L} B \to K(B, IB)\) soit un isomorphisme dans \(D(B)\), et

4. si \(I = (f_1, \ldots, f_r) \subset A\), il existe un diagramme commutatif \[\xymatrix{ (A \to \prod\nolimits_{i_0} A_{f_{i_0}} \to \prod\nolimits_{i_0 < i_1} A_{f_{i_0}f_{i_1}} \to \ldots \to A_{f_1\ldots f_r}) \ar[r] \ar[d] & K(A, I) \ar[d] \\ A \ar[r]^1 & A }\] dans \(D(A)\) dont les flèches horizontales sont des isomorphismes.

Démonstration

Soit \(S\) l’ensemble des anneaux \(A_0\) de la forme \(A_0 = \mathbf{Z}[x_1, \ldots, x_n]/J\). Toute \(\mathbf{Z}\)-algèbre de type fini est isomorphe à un élément de \(S\). Soit \(\mathcal{A}_0\) la catégorie dont les objets sont les couples \((A_0, I_0)\), où \(A_0 \in S\) et \(I_0 \subset A_0\) est un idéal, et dont les morphismes \((A_0, I_0) \to (B_0, J_0)\) sont les homomorphismes d’anneaux \(\varphi : A_0 \to B_0\) tels que \(J_0 = \varphi(I_0)B_0\).

Supposons que l’on puisse construire \(K(A_0, I_0) \to A_0\) fonctoriellement pour les objets de \(\mathcal{A}_0\), avec les propriétés (a), (b), (c) et (d). On pose alors \[K(A, I) = \colim_{\varphi : (A_0, I_0) \to (A, I)} K(A_0, I_0)\] où la limite inductive porte sur les homomorphismes d’anneaux \(\varphi : A_0 \to A\) tels que \(\varphi(I_0)A = I\), avec \((A_0, I_0)\) dans \(\mathcal{A}_0\). Un morphisme de \((A_0, I_0) \to (A, I)\) vers \((A_0', I_0') \to (A, I)\) est donné par un morphisme \((A_0, I_0) \to (A_0', I_0')\) dans \(\mathcal{A}_0\) commutant aux applications vers \(A\). La catégorie de ces \((A_0, I_0) \to (A, I)\) est filtrante (nous omettons les détails). De plus, \(\colim_{\varphi : (A_0, I_0) \to (A, I)} A_0 = A\), de sorte que \(K(A, I)\) est un complexe de \(A\)-modules. Enfin, étant donnés \(\varphi : A \to B\) et \(I \subset A\), pour chaque \((A_0, I_0) \to (A, I)\) intervenant dans la limite inductive, la composée \((A_0, I_0) \to (B, IB)\) intervient dans celle relative à \((B, IB)\). On obtient ainsi une application entre les limites inductives. Les propriétés (a), (b), (c) et (d) en découlent aussitôt, compte tenu des propriétés correspondantes des complexes \(K(A_0, I_0)\).

Munissons \(\mathcal{C}_0 = \mathcal{A}_0^{opp}\) de la topologie chaotique. Munissons \(\mathcal{C}_0\) du faisceau d’anneaux \(\mathcal{O} : (A, I) \mapsto A\). Les idéaux \(I\) définissent ensemble un faisceau d’idéaux \(\mathcal{I} \subset \mathcal{O}\). Choisissons une résolution injective \(\mathcal{O} \to \mathcal{J}^\bullet\). Considérons l’objet \[\mathcal{F}^\bullet = \bigcup\nolimits_n \mathcal{J}^\bullet[\mathcal{I}^n]\] Soit \(U = (A, I) \in \Ob(\mathcal{C}_0)\). Puisque la topologie de \(\mathcal{C}_0\) est chaotique, la valeur \(\mathcal{J}^\bullet(U)\) est une résolution de \(A\) par des \(A\)-modules injectifs. La valeur \(\mathcal{F}^\bullet(U)\) est donc un objet de \(D(A)\) représentant l’image de \(R\Gamma_I(A)\) dans \(D(A)\) ; voir Complexes dualisants, section 0952. Choisissons un complexe de \(\mathcal{O}\)-modules \(\mathcal{K}^\bullet\) et un diagramme commutatif \[\xymatrix{ \mathcal{O} \ar[r] & \mathcal{J}^\bullet \\ \mathcal{K}^\bullet \ar[r] \ar[u] & \mathcal{F}^\bullet \ar[u] }\] dont les flèches horizontales sont des quasi-isomorphismes. Cela est possible par la construction de la catégorie dérivée \(D(\mathcal{O})\). Posons \(K(A, I) = \mathcal{K}^\bullet(U)\), où \(U = (A, I)\). Les propriétés (a) et (b) sont claires, et les propriétés (c) et (d) résultent de Complexes dualisants, lemmes 0956 et 0957.

Lemme

Soit \((\mathcal{C}, \mathcal{O})\) un site annelé. Soit \(\mathcal{I} \subset \mathcal{O}\) un faisceau d’idéaux de type fini. Il existe une application \(K \to \mathcal{O}\) dans \(D(\mathcal{O})\) telle que, pour tout \(U \in \Ob(\mathcal{C})\) tel que \(\mathcal{I}|_U\) soit engendré par \(f_1, \ldots, f_r \in \mathcal{I}(U)\), il existe un isomorphisme \[(\mathcal{O}_U \to \prod\nolimits_{i_0} \mathcal{O}_{U, f_{i_0}} \to \prod\nolimits_{i_0 < i_1} \mathcal{O}_{U, f_{i_0}f_{i_1}} \to \ldots \to \mathcal{O}_{U, f_1\ldots f_r}) \longrightarrow K|_U\] compatible avec les applications vers \(\mathcal{O}_U\).

Démonstration

Soit \(\mathcal{C}' \subset \mathcal{C}\) la sous-catégorie pleine des objets \(U\) tels que \(\mathcal{I}|_U\) soit engendré par un nombre fini de sections. Alors \(\mathcal{C}' \to \mathcal{C}\) est un foncteur cocontinu spécial (Sites, définition 03CG). Il suffit donc de travailler avec \(\mathcal{C}'\) ; voir Sites, lemme 03A0. Autrement dit, on peut supposer que, pour tout objet \(U\) de \(\mathcal{C}\), il existe un idéal de type fini \(I \subset \mathcal{I}(U)\) tel que \(\mathcal{I}|_U = \Im(I \otimes \mathcal{O}_U \to \mathcal{O}_U)\). Nous dirons que \(I\) engendre \(\mathcal{I}|_U\). Attention : on ne sait pas si \(\mathcal{I}(U)\) est un idéal de type fini de \(\mathcal{O}(U)\).

Soient \(U\) un objet et \(I \subset \mathcal{O}(U)\) un idéal de type fini qui engendre \(\mathcal{I}|_U\). Sur la catégorie \(\mathcal{C}/U\), considérons le complexe de préfaisceaux \[K_{U, I}^\bullet : U'/U \longmapsto K(\mathcal{O}(U'), I\mathcal{O}(U'))\] où \(K(-, -)\) est comme dans le lemme 099D. Montrons que son faisceau associé est indépendant du choix de \(I\). En effet, si \(I' \subset \mathcal{O}(U)\) est un idéal de type fini engendrant lui aussi \(\mathcal{I}|_U\), il existe un recouvrement \(\{U_j \to U\}\) tel que \(I\mathcal{O}(U_j) = I'\mathcal{O}(U_j)\). (Indication : cela tient au fait que \(I\) et \(I'\) sont tous deux de type fini et engendrent \(\mathcal{I}|_U\).) Ainsi \(K_{U, I}^\bullet\) et \(K_{U, I'}^\bullet\) sont identiques sur tout objet au-dessus de l’un des \(U_j\). L’assertion sur les faisceaux associés s’ensuit. Notons \(K_U^\bullet\) leur valeur commune.

L’indépendance par rapport au choix de \(I\) montre également que \(K_U^\bullet|_{\mathcal{C}/U'} = K_{U'}^\bullet\) dès que l’on se donne un morphisme \(U' \to U\), et donc un morphisme de localisation \(\mathcal{C}/U' \to \mathcal{C}/U\). Ainsi, les complexes \(K_U^\bullet\) se recollent en un unique complexe bien défini \(K^\bullet\) de \(\mathcal{O}\)-modules. L’existence de l’application \(K^\bullet \to \mathcal{O}\) et du quasi-isomorphisme du lemme résulte immédiatement des propriétés correspondantes des complexes \(K(-, -)\) dans le lemme 099D.

Proposition

Soit \((\mathcal{C}, \mathcal{O})\) un site annelé. Soit \(\mathcal{I} \subset \mathcal{O}\) un faisceau d’idéaux de type fini. Le foncteur d’inclusion \(D_{comp}(\mathcal{O}) \to D(\mathcal{O})\) admet un adjoint à gauche.

Démonstration

Soit \(K \to \mathcal{O}\) dans \(D(\mathcal{O})\) l’application construite dans le lemme 099E. Soit \(E \in D(\mathcal{O})\). Alors \(E^\wedge = R\SheafHom(K, E)\), muni de l’application \(E \to E^\wedge\), convient. En effet, localement sur le site \(\mathcal{C}\), on retrouve l’adjoint du lemme 099B. Cela montre que \(E^\wedge\) est toujours complet au sens dérivé et que \(E \to E^\wedge\) est un isomorphisme si \(E\) est complet au sens dérivé.

Remarque

Soit \((\mathcal{C}, \mathcal{O})\) un site annelé. Soit \(\mathcal{I} \subset \mathcal{O}\) un faisceau d’idéaux de type fini. Soit \(K \mapsto K^\wedge\) le foncteur de complétion dérivée de la proposition 099F. Pour tout \(n \geq 1\), l’objet \(K \otimes_\mathcal{O}^\mathbf{L} \mathcal{O}/\mathcal{I}^n\) est complet au sens dérivé, car il est annulé par des puissances des sections locales de \(\mathcal{I}\). On a donc une factorisation canonique \[K \to K^\wedge \to K \otimes_\mathcal{O}^\mathbf{L} \mathcal{O}/\mathcal{I}^n\] de l’application canonique \(K \to K \otimes_\mathcal{O}^\mathbf{L} \mathcal{O}/\mathcal{I}^n\). Ces applications sont compatibles lorsque \(n\) varie, et l’on obtient une application de comparaison \[K^\wedge \longrightarrow R\lim \left(K \otimes_\mathcal{O}^\mathbf{L} \mathcal{O}/\mathcal{I}^n\right)\] Le membre de droite s’interprète plus manifestement comme une sorte de complété. En général, cette application de comparaison n’est pas un isomorphisme.

Remarque

Soit \((\mathcal{C}, \mathcal{O})\) un site annelé. Soit \(\mathcal{I} \subset \mathcal{O}\) un faisceau d’idéaux de type fini. Soit \(K \mapsto K^\wedge\) le foncteur de complétion dérivée de la proposition 099F. La construction donnée dans la démonstration de la proposition montre que \(K^\wedge|_U\) est le complété dérivé de \(K|_U\) pour tout \(U \in \Ob(\mathcal{C})\). On peut aussi le démontrer comme suit. La définition des objets complets au sens dérivé montre que \(K^\wedge|_U\) est complet au sens dérivé. On obtient ainsi une application canonique \(a : (K|_U)^\wedge \to K^\wedge|_U\). D’autre part, si \(E\) est un objet complet au sens dérivé de \(D(\mathcal{O}_U)\), alors \(Rj_*E\) est un objet complet au sens dérivé de \(D(\mathcal{O})\) d’après le lemme 099J. Ici \(j\) est le morphisme de localisation (Modules sur les sites, section 03DH). On obtient donc aussi une application canonique \(b : K^\wedge \to Rj_*((K|_U)^\wedge)\). Nous omettons la vérification formelle du fait que l’adjoint de \(b\) est l’inverse de \(a\).

Remarque

Soit \((\mathcal{C}, \mathcal{O})\) un site annelé. Soit \(\mathcal{I} \subset \mathcal{O}\) un faisceau d’idéaux de type fini. Notons \(K \mapsto K^\wedge\) l’adjoint de la proposition 099F. Posons alors \[K \otimes^\wedge_\mathcal{O} L = (K \otimes_\mathcal{O}^\mathbf{L} L)^\wedge\] Ce produit tensoriel complété définit un foncteur \(D_{comp}(\mathcal{O}) \times D_{comp}(\mathcal{O}) \to D_{comp}(\mathcal{O})\) tel que l’on ait \[\Hom_{D_{comp}(\mathcal{O})}(K, R\SheafHom_\mathcal{O}(L, M)) = \Hom_{D_{comp}(\mathcal{O})}(K \otimes_\mathcal{O}^\wedge L, M)\] pour \(K, L, M \in D_{comp}(\mathcal{O})\). Notons que \(R\SheafHom_\mathcal{O}(L, M) \in D_{comp}(\mathcal{O})\) d’après le lemme 099A.

Lemme

Soit \(\mathcal{C}\) un site. Supposons que \(\varphi : \mathcal{O} \to \mathcal{O}'\) soit un homomorphisme plat de faisceaux d’anneaux. Soient \(f_1, \ldots, f_r\) des sections globales de \(\mathcal{O}\) telles que \(\mathcal{O}/(f_1, \ldots, f_r) \cong \mathcal{O}'/(f_1, \ldots, f_r)\mathcal{O}'\). Alors le morphisme de complexes de Čech alternés augmentés \[\xymatrix{ \mathcal{O} \to \prod_{i_0} \mathcal{O}_{f_{i_0}} \to \prod_{i_0 < i_1} \mathcal{O}_{f_{i_0}f_{i_1}} \to \ldots \to \mathcal{O}_{f_1\ldots f_r} \ar[d] \\ \mathcal{O}' \to \prod_{i_0} \mathcal{O}'_{f_{i_0}} \to \prod_{i_0 < i_1} \mathcal{O}'_{f_{i_0}f_{i_1}} \to \ldots \to \mathcal{O}'_{f_1\ldots f_r} }\] est un quasi-isomorphisme.

Démonstration

Remarquons que le second complexe est le produit tensoriel du premier avec \(\mathcal{O}'\). On peut écrire le premier complexe de Čech alterné augmenté comme limite inductive des complexes de Koszul \(K_n = K(\mathcal{O}, f_1^n, \ldots, f_r^n)\) ; voir Compléments d’algèbre, lemme 0913. Il suffit donc de montrer que \(K_n \to K_n \otimes_\mathcal{O} \mathcal{O}'\) est un quasi-isomorphisme. Puisque \(\mathcal{O} \to \mathcal{O}'\) est plat, il suffit de montrer que \(H^i \to H^i \otimes_\mathcal{O} \mathcal{O}'\) est un isomorphisme, où \(H^i\) est le faisceau de cohomologie de degré \(i\), \(H^i = H^i(K_n)\). Ces faisceaux sont annulés par \(f_1^n, \ldots, f_r^n\) ; voir Compléments d’algèbre, lemme 0663. Ils sont donc annulés par \((f_1, \ldots, f_r)^m\) pour un certain \(m \gg 0\). Ainsi \(H^i \to H^i \otimes_\mathcal{O} \mathcal{O}'\) est un isomorphisme d’après Modules sur les sites, lemme 0GLY.

Lemme

Soit \(\mathcal{C}\) un site. Soit \(\mathcal{O} \to \mathcal{O}'\) un homomorphisme de faisceaux d’anneaux. Soit \(\mathcal{I} \subset \mathcal{O}\) un faisceau d’idéaux de type fini. Si \(\mathcal{O} \to \mathcal{O}'\) est plat et \(\mathcal{O}/\mathcal{I} \cong \mathcal{O}'/\mathcal{I}\mathcal{O}'\), alors le foncteur de restriction \(D(\mathcal{O}') \to D(\mathcal{O})\) induit une équivalence \(D_{comp}(\mathcal{O}', \mathcal{I}\mathcal{O}') \to D_{comp}(\mathcal{O}, \mathcal{I})\).

Démonstration

Le lemme 099J entraîne que le foncteur de restriction \(r : D(\mathcal{O}') \to D(\mathcal{O})\) envoie \(D_{comp}(\mathcal{O}', \mathcal{I}\mathcal{O}')\) dans \(D_{comp}(\mathcal{O}, \mathcal{I})\). Nous allons construire un quasi-inverse \(E \mapsto E'\).

Soit \(K \to \mathcal{O}\) le morphisme de \(D(\mathcal{O})\) construit dans le lemme 099E. Posons \(K' = K \otimes_\mathcal{O}^\mathbf{L} \mathcal{O}'\) dans \(D(\mathcal{O}')\). Alors \(K' \to \mathcal{O}'\) est une application dans \(D(\mathcal{O}')\) qui satisfait aux conclusions du lemme 099E relativement à \(\mathcal{I}' = \mathcal{I}\mathcal{O}'\). L’application \(K \to r(K')\) est un quasi-isomorphisme d’après le lemme 099H. Pour \(E \in D_{comp}(\mathcal{O}, \mathcal{I})\), posons maintenant \[E' = R\SheafHom_\mathcal{O}(r(K'), E)\] considéré comme un objet de \(D(\mathcal{O}')\) à l’aide de la structure de \(\mathcal{O}'\)-module de \(K'\). Puisque \(E\) est complet au sens dérivé, on a \(E = R\SheafHom_\mathcal{O}(K, E)\) ; voir la démonstration de la proposition 099F. D’autre part, puisque \(K \to r(K')\) est un isomorphisme, on voit qu’il existe un isomorphisme \(E \to r(E')\) dans \(D(\mathcal{O})\). Pour achever la démonstration, il faut montrer que, si \(E = r(M')\) pour un objet \(M'\) de \(D_{comp}(\mathcal{O}', \mathcal{I}')\), alors \(E' \cong M'\). Pour obtenir une application, on utilise \[M' = R\SheafHom_{\mathcal{O}'}(\mathcal{O}', M') \to R\SheafHom_\mathcal{O}(r(\mathcal{O}'), r(M')) \to R\SheafHom_\mathcal{O}(r(K'), r(M')) = E'\] où la seconde flèche utilise l’application \(K' \to \mathcal{O}'\). Pour voir que c’est un isomorphisme, on montre que \(r\) appliqué à cette flèche coïncide avec l’isomorphisme \(E \to r(E')\) ci-dessus. Nous omettons les détails.

Lemme

Soit \(f : (\Sh(\mathcal{D}), \mathcal{O}') \to (\Sh(\mathcal{C}), \mathcal{O})\) un morphisme de topos annelés. Soient \(\mathcal{I} \subset \mathcal{O}\) et \(\mathcal{I}' \subset \mathcal{O}'\) des faisceaux d’idéaux de type fini tels que \(f^\sharp\) envoie \(f^{-1}\mathcal{I}\) dans \(\mathcal{I}'\). Alors \(Rf_*\) envoie \(D_{comp}(\mathcal{O}', \mathcal{I}')\) dans \(D_{comp}(\mathcal{O}, \mathcal{I})\) et admet un adjoint à gauche \(Lf_{comp}^*\), qui est \(Lf^*\) suivi de la complétion dérivée.

Démonstration

La première assertion a été établie dans le lemme 099J. Notons que la seconde a un sens, car on dispose d’un foncteur de complétion dérivée \(D(\mathcal{O}') \to D_{comp}(\mathcal{O}', \mathcal{I}')\) d’après la proposition 099F. Soient donc \(K \in D_{comp}(\mathcal{O}, \mathcal{I})\) et \(M \in D_{comp}(\mathcal{O}', \mathcal{I}')\). On a alors \[\Hom(K, Rf_*M) = \Hom(Lf^*K, M) = \Hom(Lf_{comp}^*K, M)\] par la propriété universelle de la complétion dérivée.

Lemme

Soit \(f : (\Sh(\mathcal{D}), \mathcal{O}') \to (\Sh(\mathcal{C}), \mathcal{O})\) un morphisme de topos annelés. Soit \(\mathcal{I} \subset \mathcal{O}\) un faisceau d’idéaux de type fini. Soit \(\mathcal{I}' \subset \mathcal{O}'\) l’idéal engendré par \(f^\sharp(f^{-1}\mathcal{I})\). Alors \(Rf_*\) commute à la complétion dérivée, c’est-à-dire \(Rf_*(K^\wedge) = (Rf_*K)^\wedge\).

Démonstration

Les foncteurs de complétion dérivée existent d’après la proposition 099F. D’après le lemme 099J, l’objet \(Rf_*(K^\wedge)\) est complet au sens dérivé ; on obtient donc une application canonique \((Rf_*K)^\wedge \to Rf_*(K^\wedge)\) par la propriété universelle de la complétion dérivée. On peut vérifier que c’est un isomorphisme localement sur \(\mathcal{C}\). Ainsi, puisque la complétion dérivée commute à la localisation (remarque 0A0F), on peut supposer que \(\mathcal{I}\) est engendré par des sections globales \(f_1, \ldots, f_r\). Alors \(\mathcal{I}'\) est engendré par \(g_i = f^\sharp(f_i)\). D’après le lemme 0A0E, il faut montrer que \[R\lim \left( Rf_*K \otimes^\mathbf{L}_\mathcal{O} K(\mathcal{O}, f_1^n, \ldots, f_r^n) \right) = Rf_*\left( R\lim K \otimes^\mathbf{L}_{\mathcal{O}'} K(\mathcal{O}', g_1^n, \ldots, g_r^n) \right)\] Puisque \(Rf_*\) commute à \(R\lim\) (Cohomologie sur les sites, lemme 0A07) il suffit de montrer que \[Rf_*K \otimes^\mathbf{L}_\mathcal{O} K(\mathcal{O}, f_1^n, \ldots, f_r^n) = Rf_*\left( K \otimes^\mathbf{L}_{\mathcal{O}'} K(\mathcal{O}', g_1^n, \ldots, g_r^n) \right)\] Cela résulte de la formule de projection (Cohomologie sur les sites, lemme 0944) et du fait que \(Lf^*K(\mathcal{O}, f_1^n, \ldots, f_r^n) = K(\mathcal{O}', g_1^n, \ldots, g_r^n)\).

Lemme

Soient \(A\) un anneau et \(I \subset A\) un idéal de type fini. Soit \(\mathcal{C}\) un site et soit \(\mathcal{O}\) un faisceau de \(A\)-algèbres. Soit \(\mathcal{F}\) un faisceau de \(\mathcal{O}\)-modules. On a alors \[R\Gamma(\mathcal{C}, \mathcal{F})^\wedge = R\Gamma(\mathcal{C}, \mathcal{F}^\wedge)\] dans \(D(A)\), où \(\mathcal{F}^\wedge\) est le complété dérivé de \(\mathcal{F}\) relativement à \(I\mathcal{O}\), tandis que le membre de gauche est le complété dérivé relativement à \(I\). On obtient ainsi deux suites spectrales \[E_2^{i, j} = H^i(H^j(\mathcal{C}, \mathcal{F})^\wedge) \quad\text{et}\quad E_2^{p, q} = H^p(\mathcal{C}, H^q(\mathcal{F}^\wedge))\] convergeant toutes deux vers \(H^*(R\Gamma(\mathcal{C}, \mathcal{F})^\wedge) = H^*(\mathcal{C}, \mathcal{F}^\wedge)\)

Démonstration

Appliquons le lemme 0A0G au morphisme de topos annelés \((\mathcal{C}, \mathcal{O}) \to (pt, A)\) et prenons la cohomologie pour obtenir la première assertion. La seconde suite spectrale est la seconde suite spectrale de Catégories dérivées, lemme 015J. La première suite spectrale est celle de Compléments d’algèbre, exemple 0BKE appliqué à \(R\Gamma(\mathcal{C}, \mathcal{F})^\wedge\).

Remarque

Soit \((\mathcal{C}, \mathcal{O})\) un site annelé. Soit \(\mathcal{I} \subset \mathcal{O}\) un faisceau d’idéaux de type fini. Soit \(K \mapsto K^\wedge\) la complétion dérivée de la proposition 099F. Soit \(U \in \Ob(\mathcal{C})\) un objet tel que \(\mathcal{I}\) soit engendré comme faisceau d’idéaux par \(f_1, \ldots, f_r \in \mathcal{I}(U)\). Posons \(A = \mathcal{O}(U)\) et \(I = (f_1, \ldots, f_r) \subset A\). Attention : il se peut que l’égalité \(I = \mathcal{I}(U)\) ne soit pas vérifiée. On a alors \[R\Gamma(U, K^\wedge) = R\Gamma(U, K)^\wedge\] où le membre de droite est le complété dérivé de l’objet \(R\Gamma(U, K)\) de \(D(A)\) relativement à \(I\). Cela résulte de la commutation de la complétion dérivée à la localisation (remarque 0A0F) et du lemme 0BLX.

Le théorème des fonctions formelles

Interrompons le fil de l’exposé pour dire quelques mots de la complétion dérivée dans le cadre des modules quasi-cohérents sur les schémas et l’utiliser pour donner une démonstration quelque peu différente du théorème des fonctions formelles. Quelques indications bibliographiques figurent dans la remarque 0AKL.

Le lemme 0A0G est une version dérivée (très formelle) du théorème des fonctions formelles (Cohomologie des schémas, théorème 02OC). Pour l’expliciter, supposons que \(f : X \to S\) soit un morphisme de schémas, que \(\mathcal{I} \subset \mathcal{O}_S\) soit un faisceau quasi-cohérent d’idéaux de type fini et que \(\mathcal{F}\) soit un faisceau quasi-cohérent sur \(X\). Le lemme affirme alors que [0A0I]\[\begin{equation} Rf_*(\mathcal{F}^\wedge) = (Rf_*\mathcal{F})^\wedge \end{equation}\] où \(\mathcal{F}^\wedge\) est le complété dérivé de \(\mathcal{F}\) relativement à \(f^{-1}\mathcal{I} \cdot \mathcal{O}_X\), et le membre de droite est le complété dérivé de \(Rf_*\mathcal{F}\) relativement à \(\mathcal{I}\). Pour retrouver ainsi le théorème des fonctions formelles, il reste quelques vérifications à faire.

Lemme

Soit \(X\) un schéma localement noethérien. Soit \(\mathcal{I} \subset \mathcal{O}_X\) un faisceau quasi-cohérent d’idéaux. Soit \(K\) un objet pseudo-cohérent de \(D(\mathcal{O}_X)\), de complété dérivé \(K^\wedge\). Alors \[H^p(U, K^\wedge) = \lim H^p(U, K)/I^nH^p(U, K) = H^p(U, K)^\wedge\] pour tout ouvert affine \(U \subset X\), où \(I = \mathcal{I}(U)\) et où le membre de droite est le complété dérivé relativement à \(I\).

Démonstration

Écrivons \(U = \Spec(A)\). L’anneau \(A\) est noethérien, donc \(I \subset A\) est de type fini. On a alors \[R\Gamma(U, K^\wedge) = R\Gamma(U, K)^\wedge\] d’après la remarque 0CQI. Or \(R\Gamma(U, K)\) est un complexe pseudo-cohérent de \(A\)-modules (Catégories dérivées des schémas, lemme 08E7). D’après Compléments d’algèbre, lemme 0A06 on en conclut que le module de cohomologie de degré \(p\) de \(R\Gamma(U, K^\wedge)\) est égal au complété \(I\)-adique de \(H^p(U, K)\). Cela prouve la première égalité. La seconde, moins importante, résulte immédiatement d’une nouvelle application du lemme que l’on vient d’utiliser.

Lemme

Soit \(X\) un schéma localement noethérien. Soit \(\mathcal{I} \subset \mathcal{O}_X\) un faisceau quasi-cohérent d’idéaux. Soit \(K\) un objet de \(D(\mathcal{O}_X)\). Alors

1. le complété dérivé \(K^\wedge\) est égal à \(R\lim (K \otimes_{\mathcal{O}_X}^\mathbf{L} \mathcal{O}_X/\mathcal{I}^n)\).

Soit \(K\) un objet pseudo-cohérent de \(D(\mathcal{O}_X)\). Alors

1. le faisceau de cohomologie \(H^q(K^\wedge)\) est égal à \(\lim H^q(K)/\mathcal{I}^nH^q(K)\).

Soit \(\mathcal{F}\) un \(\mathcal{O}_X\)-module cohérent¹. Alors

1. le complété dérivé \(\mathcal{F}^\wedge\) est égal à \(\lim \mathcal{F}/\mathcal{I}^n\mathcal{F}\),

2. \(\lim \mathcal{F}/\mathcal{I}^n \mathcal{F} = R\lim \mathcal{F}/\mathcal{I}^n \mathcal{F}\),

3. \(H^p(U, \mathcal{F}^\wedge) = 0\) pour \(p \not = 0\) et pour tout ouvert affine \(U \subset X\).

Démonstration

Démonstration de (1). On a une application canonique \[K \longrightarrow R\lim (K \otimes_{\mathcal{O}_X}^\mathbf{L} \mathcal{O}_X/\mathcal{I}^n),\] voir la remarque 0CQH. La complétion dérivée commute au passage à un sous-schéma ouvert (remarque 0A0F). La formation de \(R\lim\) commute au passage à un sous-schéma ouvert. Pour vérifier que notre application est un isomorphisme, on peut donc travailler localement. On peut ainsi supposer \(X = U = \Spec(A)\). Écrivons \(I = (f_1, \ldots, f_r)\). Soit \(K_n = K(A, f_1^n, \ldots, f_r^n)\) le complexe de Koszul. D’après Compléments d’algèbre, lemme 0921, nous avons vu que les pro-systèmes \(\{K_n\}\) et \(\{A/I^n\}\) de \(D(A)\) sont isomorphes. En utilisant l’équivalence \(D(A) = D_{\QCoh}(\mathcal{O}_X)\) de Catégories dérivées des schémas, lemme 06Z0 on voit que les pro-systèmes \(\{K(\mathcal{O}_X, f_1^n, \ldots, f_r^n)\}\) et \(\{\mathcal{O}_X/\mathcal{I}^n\}\) sont isomorphes dans \(D(\mathcal{O}_X)\). Cela prouve la seconde égalité dans \[K^\wedge = R\lim \left( K \otimes_{\mathcal{O}_X}^\mathbf{L} K(\mathcal{O}_X, f_1^n, \ldots, f_r^n) \right) = R\lim (K \otimes_{\mathcal{O}_X}^\mathbf{L} \mathcal{O}_X/\mathcal{I}^n)\] La première égalité est donnée par le lemme 0A0E.

Supposons \(K\) pseudo-cohérent. Pour un ouvert affine \(U \subset X\), on a \(H^q(U, K^\wedge) = \lim H^q(U, K)/\mathcal{I}^n(U)H^q(U, K)\) d’après le lemme 0A0L. Comme cela vaut pour tout \(U\), on voit que \(H^q(K^\wedge) = \lim H^q(K)/\mathcal{I}^nH^q(K)\) comme faisceaux. Cela prouve (2).

L’assertion (3) est un cas particulier de (2). Les assertions (4) et (5) résultent de Catégories dérivées des schémas, lemme 0A0J.

Lemme

Soient \(A\) un anneau noethérien et \(I \subset A\) un idéal. Soit \(X\) un schéma noethérien sur \(A\). Soit \(\mathcal{F}\) un \(\mathcal{O}_X\)-module cohérent. Supposons que \(H^p(X, \mathcal{F})\) soit un \(A\)-module de type fini pour tout \(p\). Il existe alors des suites exactes courtes \[0 \to R^1\lim H^{p - 1}(X, \mathcal{F}/I^n\mathcal{F}) \to H^p(X, \mathcal{F})^\wedge \to \lim H^p(X, \mathcal{F}/I^n\mathcal{F}) \to 0\] de \(A\)-modules, où \(H^p(X, \mathcal{F})^\wedge\) est le complété \(I\)-adique usuel. Si \(f\) est propre, le terme \(R^1\lim\) est nul.

Démonstration

Considérons les deux suites spectrales du lemme 0BLX. La première dégénère d’après Compléments d’algèbre, lemme 0A06. On obtient \(H^p(X, \mathcal{F})^\wedge\) en degré \(p\). C’est ici qu’intervient l’hypothèse que \(H^p(X, \mathcal{F})\) est un \(A\)-module de type fini. La seconde dégénère puisque \[\mathcal{F}^\wedge = \lim \mathcal{F}/I^n\mathcal{F} = R\lim \mathcal{F}/I^n\mathcal{F}\] est un faisceau d’après le lemme 0A0K. On obtient \(H^p(X, \lim \mathcal{F}/I^n\mathcal{F})\) en degré \(p\). Puisque \(R\Gamma(X, -)\) commute aux limites dérivées (Injectifs, lemme 08U1), on obtient aussi \[R\Gamma(X, \lim \mathcal{F}/I^n\mathcal{F}) = R\Gamma(X, R\lim \mathcal{F}/I^n\mathcal{F}) = R\lim R\Gamma(X, \mathcal{F}/I^n\mathcal{F})\] D’après Compléments d’algèbre, remarque 07KZ on obtient des suites exactes \[0 \to R^1\lim H^{p - 1}(X, \mathcal{F}/I^n\mathcal{F}) \to H^p(X, \lim \mathcal{F}/I^n\mathcal{F}) \to \lim H^p(X, \mathcal{F}/I^n\mathcal{F}) \to 0\] de \(A\)-modules. En réunissant ces résultats, on obtient la première assertion du lemme. L’annulation du terme \(R^1\lim\) résulte de Cohomologie des schémas, lemme 02OB.

Remarque

Voici quelques références bibliographiques sur des questions voisines. Il semble qu’un « théorème dérivé des fonctions formelles » pour les morphismes propres remonte à [lurie-thesis, théorème 6.3.1]. On trouve aussi un exposé dans [dag12], en particulier au chapitre 4, qui traite du cas affine ; voir Compléments d’algèbre, section 091N. Dans [G-R, section 2.9], le changement de base propre et la complétion dérivée sont étudiés à l’aide de modules (ind-)cohérents. Un analogue de (0A0I) pour les complexes de modules quasi-cohérents figure dans [HL-P, théorème 6.5]

Algébrisation de la cohomologie locale, I

Soit \(A\) un anneau noethérien et soient \(I\) et \(J\) deux idéaux de \(A\). Soit \(M\) un \(A\)-module de type fini. Dans cette section, nous étudions les groupes de cohomologie de l’objet \[R\Gamma_J(M)^\wedge \quad\text{de}\quad D(A)\] où \({}^\wedge\) désigne la complétion \(I\)-adique dérivée. Rappelons que, dans Complexes dualisants, lemme 0EEX, nous avons montré que, si \(A\) est complet relativement à \(I\), il existe un isomorphisme \[\colim H^0_Z(M) \longrightarrow H^0(R\Gamma_J(M)^\wedge)\] où la limite inductive filtrante porte sur les parties fermées \(Z = V(J')\) avec \(J' \subset J\) et \(V(J') \cap V(I) = V(J) \cap V(I)\). La réunion de ces parties fermées est [0EFG]\[\begin{equation} T = \{\mathfrak p \in \Spec(A) : V(\mathfrak p) \cap V(I) \subset V(J) \cap V(I)\} \end{equation}\] C’est une partie de \(\Spec(A)\) stable par spécialisation. Le résultat précédent signifie alors que \[H^0_T(M) \longrightarrow H^0(R\Gamma_J(M)^\wedge)\] est un isomorphisme si \(A\) est complet relativement à \(I\) ; voir Cohomologie locale, lemme 0EF1 et remarque 0EF4. Notre méthode pour étendre cet isomorphisme aux groupes de cohomologie supérieure repose sur le lemme suivant.

Lemme

Soient \(I, J\) des idéaux d’un anneau noethérien \(A\). Soit \(M\) un \(A\)-module de type fini. Soit \(\mathfrak p \subset A\) un idéal premier. Soient \(s\) et \(d\) des entiers. Supposons que

1. \(A\) possède un complexe dualisant,

2. \(\mathfrak p \not \in V(J) \cap V(I)\),

3. \(\text{cd}(A, I) \leq d\), et

4. pour tout idéal premier \(\mathfrak p' \subset \mathfrak p\), on ait \(\text{depth}_{A_{\mathfrak p'}}(M_{\mathfrak p'}) + \dim((A/\mathfrak p')_\mathfrak q) > d + s\) pour tout \(\mathfrak q \in V(\mathfrak p') \cap V(J) \cap V(I)\).

Alors il existe un \(f \in A\), \(f \not \in \mathfrak p\), qui annule \(H^i(R\Gamma_J(M)^\wedge)\) pour \(i \leq s\), où \({}^\wedge\) désigne la complétion \(I\)-adique.

Démonstration

Nous utiliserons l’égalité \(R\Gamma_J = R\Gamma_{V(J)}\) et de même pour \(I + J\) ; voir Complexes dualisants, lemme 0955. Remarquons que \(R\Gamma_J(M)^\wedge = R\Gamma_I(R\Gamma_J(M))^\wedge = R\Gamma_{I + J}(M)^\wedge\) ; voir Complexes dualisants, lemmes 0A6W et 0BJC. On peut donc remplacer \(J\) par \(I + J\) et supposer \(I \subset J\) et \(\mathfrak p \not \in V(J)\). Rappelons que \[R\Gamma_J(M)^\wedge = R\Hom_A(R\Gamma_I(A), R\Gamma_J(M))\] d’après la description de la complétion dérivée dans Compléments d’algèbre, lemme 091V, combinée à la description de la cohomologie locale dans Complexes dualisants, lemme 0956. L’hypothèse (3) signifie que la cohomologie de \(R\Gamma_I(A)\) n’est non nulle qu’en degrés \(\leq d\). En utilisant les troncatures canoniques de \(R\Gamma_I(A)\), on voit qu’il suffit de montrer que \[\text{Ext}^i(N, R\Gamma_J(M))\] est annulé par un \(f \in A\), \(f \not \in \mathfrak p\), pour \(i \leq s + d\) et pour tout \(A\)-module \(N\). En utilisant à présent les troncatures canoniques de \(R\Gamma_J(M)\), on voit qu’il suffit de montrer que \(H^i_J(M)\) est annulé par un \(f \in A\), \(f \not \in \mathfrak p\), pour \(i \leq s + d\). Cela résulte de Cohomologie locale, lemme 0EFE.

Lemme

Soient \(I, J\) des idéaux d’un anneau noethérien. Soit \(M\) un \(A\)-module de type fini. Soient \(s\) et \(d\) des entiers. Avec \(T\) comme dans (0EFG), supposons que

1. \(A\) possède un complexe dualisant,

2. si \(\mathfrak p \in V(I)\), aucune condition n’est imposée,

3. si \(\mathfrak p \not \in V(I)\), \(\mathfrak p \in T\), alors \(\dim((A/\mathfrak p)_\mathfrak q) \leq d\) pour un certain \(\mathfrak q \in V(\mathfrak p) \cap V(J) \cap V(I)\),

4. si \(\mathfrak p \not \in V(I)\), \(\mathfrak p \not \in T\), alors \[\text{depth}_{A_\mathfrak p}(M_\mathfrak p) \geq s \quad\text{ou}\quad \text{depth}_{A_\mathfrak p}(M_\mathfrak p) + \dim((A/\mathfrak p)_\mathfrak q) > d + s\] pour tout \(\mathfrak q \in V(\mathfrak p) \cap V(J) \cap V(I)\).

Alors il existe un idéal \(J_0 \subset J\) tel que \(V(J_0) \cap V(I) = V(J) \cap V(I)\) et tel que, pour tout \(J' \subset J_0\) avec \(V(J') \cap V(I) = V(J) \cap V(I)\), l’application \[R\Gamma_{J'}(M) \longrightarrow R\Gamma_{J_0}(M)\] induise un isomorphisme en cohomologie en degrés \(\leq s\) ; de plus, ces modules sont annulés par une puissance de \(J_0I\).

Démonstration

Considérons l’ensemble \[B = \{\mathfrak p \not \in V(I),\ \mathfrak p \in T,\text{ et } \text{depth}(M_\mathfrak p) \leq s\}\] Choisissons \(J_0 \subset J\) tel que \(V(J_0)\) soit l’adhérence de \(B \cup V(J)\).

Assertion I : \(V(J_0) \cap V(I) = V(J) \cap V(I)\).

Démonstration de l’assertion I. L’inclusion \(\supset\) résulte de la construction. Soit \(\mathfrak p\) un idéal premier minimal de \(V(J_0)\). Si \(\mathfrak p \in B \cup V(J)\), alors ou bien \(\mathfrak p \in T\), ou bien \(\mathfrak p \in V(J)\), et, dans les deux cas, \(V(\mathfrak p) \cap V(I) \subset V(J) \cap V(I)\), comme voulu. Si \(\mathfrak p \not \in B \cup V(J)\), alors \(V(\mathfrak p) \cap B\) est dense, donc infini, et l’on en conclut que \(\text{depth}(M_\mathfrak p) < s\) d’après Cohomologie locale, lemme 0DWY. En fait, posons \(V(\mathfrak p) \cap B = \{\mathfrak p_\lambda\}_{\lambda \in \Lambda}\). Choisissons \(\mathfrak q_\lambda \in V(\mathfrak p_\lambda) \cap V(J) \cap V(I)\) comme dans (3). Soit \(\delta : \Spec(A) \to \mathbf{Z}\) la fonction de dimension associée à un complexe dualisant \(\omega_A^\bullet\) de \(A\). Puisque \(\Lambda\) est infini et que \(\delta\) est bornée, il existe une partie infinie \(\Lambda' \subset \Lambda\) sur laquelle \(\delta(\mathfrak q_\lambda)\) est constante. Pour \(\lambda \in \Lambda'\), on a \[\text{depth}(M_{\mathfrak p_\lambda}) + \delta(\mathfrak p_\lambda) - \delta(\mathfrak q_\lambda) = \text{depth}(M_{\mathfrak p_\lambda}) + \dim((A/\mathfrak p_\lambda)_{\mathfrak q_\lambda}) \leq d + s\] d’après (3) et la définition de \(B\). Par la semi-continuité de la fonction \(\text{depth} + \delta\) établie dans Dualité pour les schémas, lemme 0ECM, on en conclut que \[\text{depth}(M_\mathfrak p) + \dim((A/\mathfrak p)_{\mathfrak q_\lambda}) = \text{depth}(M_\mathfrak p) + \delta(\mathfrak p) - \delta(\mathfrak q_\lambda) \leq d + s\] Puisque l’on a aussi \(\mathfrak p \not \in V(I)\), on déduit de (4) que \(\mathfrak p \in T\), c’est-à-dire \(V(\mathfrak p) \cap V(I) \subset V(J) \cap V(I)\). Cela achève la démonstration de l’assertion I.

Assertion II : \(H^i_{J_0}(M) \to H^i_J(M)\) est un isomorphisme pour \(i \leq s\) et \(J' \subset J_0\) tel que \(V(J') \cap V(I) = V(J) \cap V(I)\).

Démonstration de l’assertion II. Choisissons \(\mathfrak p \in V(J')\) n’appartenant pas à \(V(J_0)\). Il suffit de montrer que \(H^i_{\mathfrak pA_\mathfrak p}(M_\mathfrak p) = 0\) pour \(i \leq s\) ; voir Cohomologie locale, lemme 0DWV. Remarquons que \(\mathfrak p \in T\). Puisque \(\mathfrak p\) n’appartient pas à \(B\), on a donc \(\text{depth}(M_\mathfrak p) > s\), et les groupes s’annulent d’après Complexes dualisants, lemme 0AVZ.

Assertion III. La dernière assertion du lemme est vraie.

D’après l’assertion II, pour \(i \leq s\), on a \[H^i_T(M) = H^i_{J_0}(M) = H^i_{J'}(M)\] pour tout idéal \(J' \subset J_0\) tel que \(V(J') \cap V(I) = V(J) \cap V(I)\). Voir Cohomologie locale, lemme 0EF1. Vérifions les hypothèses de Cohomologie locale, proposition 0EFC, pour les parties \(T \subset T \cup V(I)\), le module \(M\) et l’entier \(s\). Il faut montrer qu’étant donnés \(\mathfrak p \subset \mathfrak q\) tels que \(\mathfrak p \not \in T \cup V(I)\) et \(\mathfrak q \in T\), on a \[\text{depth}_{A_\mathfrak p}(M_\mathfrak p) + \dim((A/\mathfrak p)_\mathfrak q) > s\] Si \(\text{depth}(M_\mathfrak p) \geq s\), c’est vrai puisque la dimension de \((A/\mathfrak p)_\mathfrak q\) est au moins \(1\). On peut donc supposer \(\text{depth}(M_\mathfrak p) < s\). Si \(\mathfrak q \in V(I)\), alors \(\mathfrak q \in V(J) \cap V(I)\) et l’inégalité résulte de (4). Si \(\mathfrak q \not \in V(I)\), on peut utiliser (3) pour choisir \(\mathfrak q' \in V(\mathfrak q) \cap V(J) \cap V(I)\) tel que \(\dim((A/\mathfrak q)_{\mathfrak q'}) \leq d\). L’hypothèse (4) donne alors \[\text{depth}_{A_\mathfrak p}(M_\mathfrak p) + \dim((A/\mathfrak p)_{\mathfrak q'}) > s + d\] Puisque \(A\) est caténaire, on en déduit l’inégalité voulue. En appliquant Cohomologie locale, proposition 0EFC, on trouve \(J'' \subset A\) tel que \(V(J'') \subset T \cup V(I)\) et tel que \(J''\) annule \(H^i_T(M)\) pour \(i \leq s\). On peut alors écrire \(V(J'') \cup V(J_0) \cup V(I) = V(J'I)\) pour un certain \(J' \subset J_0\) avec \(V(J') \cap V(I) = V(J) \cap V(I)\). En remplaçant \(J_0\) par \(J'\), on achève la démonstration.

Lemme

Dans le lemme 0EFI, si, au lieu de la condition vide (2), on suppose que

1. si \(\mathfrak p \in V(I)\), \(\mathfrak p \not \in V(J) \cap V(I)\), alors \(\text{depth}_{A_\mathfrak p}(M_\mathfrak p) + \dim((A/\mathfrak p)_\mathfrak q) > s\) pour tout \(\mathfrak q \in V(\mathfrak p) \cap V(J) \cap V(I)\),

ces conditions entraînent aussi que \(H^i_{J_0}(M)\) est un \(A\)-module de type fini pour \(i \leq s\).

Démonstration

Rappelons que \(H^i_{J_0}(M) = H^i_T(M)\) ; voir la démonstration du lemme 0EFI. Il suffit donc de vérifier que, pour \(\mathfrak p \not \in T\) et \(\mathfrak q \in T\) avec \(\mathfrak p \subset \mathfrak q\), on a \(\text{depth}_{A_\mathfrak p}(M_\mathfrak p) + \dim((A/\mathfrak p)_\mathfrak q) > s\) ; voir Cohomologie locale, proposition 0EFD. La condition (2’) l’assure pour \(\mathfrak p \in V(I)\). Puisque l’on sait que \(H^i_T(M)\) est annulé par une puissance de \(IJ_0\), on sait que la condition vaut si \(\mathfrak p \not \in V(IJ_0)\) d’après Cohomologie locale, proposition 0EFC. Tous les cas sont ainsi couverts, et la démonstration est achevée.

Lemme

Si, dans le lemme 0EFI, on suppose en outre que

1. si \(\mathfrak p \not \in V(I)\), \(\mathfrak p \in T\), alors \(\text{depth}_{A_\mathfrak p}(M_\mathfrak p) > s\),

alors \(H^i_{J_0}(M) = H^i_J(M) = H^i_{J + I}(M)\) pour \(i \leq s\), et ces modules sont annulés par une puissance de \(I\).

Démonstration

Choisissons \(\mathfrak p \in V(J)\) ou \(\mathfrak p \in V(J_0)\), mais \(\mathfrak p \not \in V(J + I) = V(J_0 + I)\). Il suffit de montrer que \(H^i_{\mathfrak pA_\mathfrak p}(M_\mathfrak p) = 0\) pour \(i \leq s\) ; voir Cohomologie locale, lemme 0DWV. Ces groupes s’annulent d’après la condition (6) et Complexes dualisants, lemme 0AVZ. La dernière assertion résulte de Cohomologie locale, proposition 0EFC.

Lemme

Soient \(I, J\) des idéaux d’un anneau noethérien \(A\). Soit \(M\) un \(A\)-module de type fini. Soient \(s\) et \(d\) des entiers. Avec \(T\) comme dans (0EFG), supposons que

1. \(A\) est complet pour la topologie \(I\)-adique et possède un complexe dualisant,

2. si \(\mathfrak p \in V(I)\), aucune condition n’est imposée,

3. \(\text{cd}(A, I) \leq d\),

4. si \(\mathfrak p \not \in V(I)\), \(\mathfrak p \not \in T\), alors \[\text{depth}_{A_\mathfrak p}(M_\mathfrak p) \geq s \quad\text{ou}\quad \text{depth}_{A_\mathfrak p}(M_\mathfrak p) + \dim((A/\mathfrak p)_\mathfrak q) > d + s\] pour tout \(\mathfrak q \in V(\mathfrak p) \cap V(J) \cap V(I)\),

5. si \(\mathfrak p \not \in V(I)\), \(\mathfrak p \not \in T\), \(V(\mathfrak p) \cap V(J) \cap V(I) \not = \emptyset\) et \(\text{depth}(M_\mathfrak p) < s\), alors l’une des conditions suivantes est satisfaite² :

   1. \(\dim(\text{Supp}(M_\mathfrak p)) < s + 2\)³, ou

   2. \(\delta(\mathfrak p) > d + \delta_{max} - 1\) où \(\delta\) est une fonction de dimension et \(\delta_{max}\) est le maximum de \(\delta\) sur \(V(J) \cap V(I)\), ou

   3. \(\text{depth}_{A_\mathfrak p}(M_\mathfrak p) + \dim((A/\mathfrak p)_\mathfrak q) > d + s + \delta_{max} - \delta_{min} - 2\) pour tout \(\mathfrak q \in V(\mathfrak p) \cap V(J) \cap V(I)\).

Alors il existe un idéal \(J_0 \subset J\) tel que \(V(J_0) \cap V(I) = V(J) \cap V(I)\) et tel que, pour tout \(J' \subset J_0\) avec \(V(J') \cap V(I) = V(J) \cap V(I)\), l’application \[R\Gamma_{J'}(M) \longrightarrow R\Gamma_J(M)^\wedge\] induise un isomorphisme en cohomologie en degrés \(\leq s\). Ici \({}^\wedge\) désigne la complétion \(I\)-adique dérivée.

Nous invitons le lecteur à lire d’abord la démonstration dans le cas local (lemme 0DXP), car elle explique la structure de la démonstration sans avoir à traiter toutes les inégalités.

Démonstration

Pour un idéal \(\mathfrak a \subset A\), on a \(R\Gamma_\mathfrak a = R\Gamma_{V(\mathfrak a)}\) ; voir Complexes dualisants, lemme 0955. Remarquons ensuite que \[R\Gamma_J(M)^\wedge = R\Gamma_I(R\Gamma_J(M))^\wedge = R\Gamma_{I + J}(M)^\wedge = R\Gamma_{I + J'}(M)^\wedge = R\Gamma_I(R\Gamma_{J'}(M))^\wedge = R\Gamma_{J'}(M)^\wedge\] d’après Complexes dualisants, lemmes 0BJC et 0A6W. Cela explique comment on définit la flèche de l’énoncé du lemme.

Nous affirmons que les hypothèses du lemme 0EFI résultent de nos hypothèses actuelles sur \(M\). La seule chose à vérifier est l’hypothèse (3). Soit donc \(\mathfrak p \not \in V(I)\), \(\mathfrak p \in T\). Alors \(V(\mathfrak p) \cap V(I)\) est non vide, puisque \(I\) est contenu dans le radical de Jacobson de \(A\) (Algèbre, lemme 05GI). Puisque \(\mathfrak p \in T\), on a \(V(\mathfrak p) \cap V(I) = V(\mathfrak p) \cap V(J) \cap V(I)\). Soit \(\mathfrak q \in V(\mathfrak p) \cap V(I)\) le point générique d’une composante irréductible. On a \(\text{cd}(A_\mathfrak q, I_\mathfrak q) \leq d\) d’après Cohomologie locale, lemme 0DXB. On a \(V(\mathfrak pA_\mathfrak q) \cap V(I_\mathfrak q) = \{\mathfrak qA_\mathfrak q\}\) par notre choix de \(\mathfrak q\), et l’on en conclut que \(\dim((A/\mathfrak p)_\mathfrak q) \leq d\) d’après Cohomologie locale, lemme 0DXF.

Remarquons que le lemme vaut pour \(s < 0\). Ce cas n’est pas trivial, car il n’est pas clair a priori que \(H^i(R\Gamma_J(M)^\wedge)\) soit nul pour \(i < 0\). Cette annulation a toutefois été établie dans Complexes dualisants, lemme 0EEW. Nous démontrerons le lemme par récurrence pour \(s \geq 0\).

Le lemme pour \(s = 0\) résulte immédiatement de la conclusion du lemme 0EFI et de Complexes dualisants, lemme 0EEX.

Supposons \(s > 0\) et supposons le lemme démontré pour les valeurs plus petites de \(s\). Soit \(M' \subset M\) le sous-module maximal dont le support est contenu dans \(V(I) \cup T\). Alors \(M'\) est un \(A\)-module de type fini dont le support est contenu dans \(V(J') \cup V(I)\) pour un certain idéal \(J' \subset J\) tel que \(V(J') \cap V(I) = V(J) \cap V(I)\). Nous affirmons que \[R\Gamma_{J'}(M') \to R\Gamma_J(M')^\wedge\] est un isomorphisme quel que soit le choix de \(J'\). En effet, on peut choisir une suite exacte courte \(0 \to M_1 \oplus M_2 \to M' \to N \to 0\), où \(M_1\) est annulé par une puissance de \(J'\), où \(M_2\) est annulé par une puissance de \(I\), et où \(N\) est annulé par une puissance de \(I + J'\). Il suffit donc de montrer que l’assertion vaut pour \(M_1\), \(M_2\) et \(N\). Dans le cas de \(M_1\), on voit que \(R\Gamma_{J'}(M_1) = M_1\) et, puisque \(M_1\) est un \(A\)-module de type fini et complet pour la topologie \(I\)-adique, on a \(M_1^\wedge = M_1\). Cela prouve l’assertion pour \(M_1\) d’après les remarques initiales de la démonstration. Dans le cas de \(M_2\), on voit que \(H^i_J(M_2) = H^i_{I + J}(M) = H^i_{I + J'}(M) = H^i_{J'}(M_2)\) est annulé par une puissance de \(I\), et est donc complet au sens dérivé. L’assertion vaut donc aussi dans ce cas. Pour \(N\), on peut utiliser l’un ou l’autre des arguments que l’on vient de donner. En considérant la suite exacte courte \(0 \to M' \to M \to M/M' \to 0\) on voit qu’il suffit de démontrer le lemme pour \(M/M'\). On peut donc supposer \(\text{Ass}(M) \cap (V(I) \cup T) = \emptyset\).

Soit \(\mathfrak p \in \text{Ass}(M)\) tel que \(V(\mathfrak p) \cap V(J) \cap V(I) = \emptyset\). Puisque \(I\) est contenu dans le radical de Jacobson de \(A\), cela entraîne que \(V(\mathfrak p) \cap V(J') = \emptyset\) pour tout \(J' \subset J\) tel que \(V(J') \cap V(I) = V(J) \cap V(I)\). En posant donc \(N = H^0_\mathfrak p(M)\), on voit que \(R\Gamma_J(N) = R\Gamma_{J'}(N) = 0\) pour tout \(J' \subset J\) tel que \(V(J') \cap V(I) = V(J) \cap V(I)\). En particulier, \(R\Gamma_J(N)^\wedge = 0\). On peut donc remplacer \(M\) par \(M/N\), puisque cela ne modifie la structure de \(M\) qu’aux idéaux premiers qui ne jouent aucun rôle dans les conditions (4) ou (5). En répétant l’opération, on peut supposer que \(V(\mathfrak p) \cap V(J) \cap V(I) \not = \emptyset\) pour tout \(\mathfrak p \in \text{Ass}(M)\).

Supposons \(\text{Ass}(M) \cap (V(I) \cup T) = \emptyset\) et que \(V(\mathfrak p) \cap V(J) \cap V(I) \not = \emptyset\) pour tout \(\mathfrak p \in \text{Ass}(M)\). Soit \(\mathfrak p \in \text{Ass}(M)\). Nous voulons montrer que l’on peut appliquer le lemme 0EFH. C’est dans cette vérification que nous utiliserons la condition supplémentaire (5). Choisissons \(\mathfrak p' \subset \mathfrak p\) et \(\mathfrak q' \subset V(\mathfrak p) \cap V(J) \cap V(I)\).

1. Si \(M_{\mathfrak p'} = 0\), alors \(\text{depth}(M_{\mathfrak p'}) = \infty\) et \(\text{depth}(M_{\mathfrak p'}) + \dim((A/\mathfrak p')_{\mathfrak q'}) > d + s\).

2. Si \(\text{depth}(M_{\mathfrak p'}) < s\), alors \(\text{depth}(M_{\mathfrak p'}) + \dim((A/\mathfrak p')_{\mathfrak q'}) > d + s\) d’après (4).

Dans les cas restants, on a \(M_{\mathfrak p'} \not = 0\) et \(\text{depth}(M_{\mathfrak p'}) \geq s\). En particulier, on voit que \(\mathfrak p'\) appartient au support de \(M\), et l’on peut choisir \(\mathfrak p'' \subset \mathfrak p'\) avec \(\mathfrak p'' \in \text{Ass}(M)\).

1. Remarquons que \(\dim((A/\mathfrak p'')_{\mathfrak p'}) \geq \text{depth}(M_{\mathfrak p'})\) d’après Algèbre, lemme 0BK4. Si l’égalité a lieu, alors on a \[\text{depth}(M_{\mathfrak p'}) + \dim((A/\mathfrak p')_{\mathfrak q'}) = \text{depth}(M_{\mathfrak p''}) + \dim((A/\mathfrak p'')_{\mathfrak q'}) > s + d\] d’après (4) appliquée à \(\mathfrak p''\), et l’on a terminé. Cela signifie que la seule difficulté se présente lorsque \(\dim((A/\mathfrak p'')_{\mathfrak p'}) > \text{depth}(M_{\mathfrak p'})\). Cela entraîne que \(\dim(M_\mathfrak p) \geq s + 2\). Ainsi, si (5)(a) est satisfaite, ce cas ne se présente pas.

2. Si (5)(b) est satisfaite, on obtient \[\text{depth}(M_{\mathfrak p'}) + \dim((A/\mathfrak p')_{\mathfrak q'}) \geq s + \delta(\mathfrak p') - \delta(\mathfrak q') \geq s + 1 + \delta(\mathfrak p) - \delta_{max} > s + d\] comme voulu.

3. Si (5)(c) est satisfaite, on obtient \[\begin{align*} \text{depth}(M_{\mathfrak p'}) + \dim((A/\mathfrak p')_{\mathfrak q'}) & \geq s + \delta(\mathfrak p') - \delta(\mathfrak q') \\ & \geq s + 1 + \delta(\mathfrak p) - \delta(\mathfrak q') \\ & = s + 1 + \delta(\mathfrak p) - \delta(\mathfrak q) + \delta(\mathfrak q) - \delta(\mathfrak q') \\ & > s + 1 + (s + d + \delta_{max} - \delta_{min} - 2) + \delta(\mathfrak q) - \delta(\mathfrak q') \\ & \geq 2s + d - 1 \geq s + d \end{align*}\] comme voulu. Remarquons que cet argument fonctionne parce que nous savons qu’un idéal premier \(\mathfrak q \in V(\mathfrak p) \cap V(J) \cap V(I)\) existe.

Nous sommes maintenant prêts à effectuer l’étape de récurrence.

Choisissons un idéal \(J_0\) comme dans le lemme 0EFI et un entier \(t > 0\) tel que \((J_0I)^t\) annule \(H^s_J(M)\). Les hypothèses du lemme 0EFH sont satisfaites pour tout \(\mathfrak p \in \text{Ass}(M)\) (voir le paragraphe précédent). Ainsi, l’annulateur \(\mathfrak a \subset A\) de \(H^s(R\Gamma_J(M)^\wedge)\) n’est pas contenu dans \(\mathfrak p\) pour \(\mathfrak p \in \text{Ass}(M)\). On peut donc trouver un \(f \in \mathfrak a(J_0I)^t\) qui n’appartient à aucun idéal premier associé de \(M\) et qui annule à la fois \(H^s(R\Gamma_J(M)^\wedge)\) et \(H^s_J(M)\). Alors \(f\) est un non-diviseur de zéro dans \(M\), et l’on peut considérer la suite exacte courte \[0 \to M \xrightarrow{f} M \to M/fM \to 0\] Notre choix de \(f\) montre que l’on obtient \[\xymatrix{ H^{s - 1}_{J'}(M) \ar[d] \ar[r] & H^{s - 1}_{J'}(M/fM) \ar[d] \ar[r] & H^s_{J'}(M) \ar[d] \ar[r] & 0 \\ H^{s - 1}(R\Gamma_J(M)^\wedge) \ar[r] & H^{s - 1}(R\Gamma_J(M/fM)^\wedge) \ar[r] & H^s(R\Gamma_J(M)^\wedge) \ar[r] & 0 }\] pour tout \(J' \subset J_0\) tel que \(V(J') \cap V(I) = V(J) \cap V(I)\). Ainsi, si l’on choisit \(J'\) de sorte qu’il convienne pour \(M\), \(M/fM\) et \(s - 1\) (ce qui est possible par l’hypothèse de récurrence — voir le paragraphe suivant), on en conclut que le lemme est vrai.

Pour achever la démonstration, il faut montrer que le module \(M/fM\) satisfait les hypothèses (4) et (5) pour \(s - 1\). Soit donc \(\mathfrak p\) un idéal premier du support de \(M/fM\), avec \(\text{depth}((M/fM)_\mathfrak p) < s - 1\) et avec \(V(\mathfrak p) \cap V(J) \cap V(I)\) non vide. Alors \(\dim(M_\mathfrak p) = \dim((M/fM)_\mathfrak p) + 1\) et \(\text{depth}(M_\mathfrak p) = \text{depth}((M/fM)_\mathfrak p) + 1\). En particulier, on sait que (4) et (5) sont satisfaites pour \(\mathfrak p\) et \(M\) avec la valeur initiale de \(s\). Les inégalités voulues s’en déduisent alors immédiatement.

Exemple

Dans le lemme 0EFL, nous ne savons pas si les systèmes projectifs \(H^i_J(M/I^nM)\) satisfont la condition de Mittag-Leffler. Par exemple, supposons \(A = \mathbf{Z}_p[[x, y]]\), \(I = (p)\), \(J = (p, x)\) et \(M = A/(xy - p)\). Alors l’image de \(H^0_J(M/p^nM) \to H^0_J(M/pM)\) est l’idéal engendré par \(y^n\) dans \(M/pM = A/(p, xy)\).

Algébrisation de la cohomologie locale, II

Dans cette section, nous reprenons les arguments de la section 0EFF lorsque \((A, \mathfrak m)\) est un anneau local et que l’on considère la cohomologie locale \(R\Gamma_\mathfrak m\) relativement à \(\mathfrak m\). Comme précédemment, notre outil principal est le lemme suivant.

Lemme

Soit \((A, \mathfrak m)\) un anneau local noethérien. Soit \(I \subset A\) un idéal. Soit \(M\) un \(A\)-module de type fini et soit \(\mathfrak p \subset A\) un idéal premier. Soient \(s\) et \(d\) des entiers. Supposons que

1. \(A\) possède un complexe dualisant,

2. \(\text{cd}(A, I) \leq d\), et

3. \(\text{depth}_{A_\mathfrak p}(M_\mathfrak p) + \dim(A/\mathfrak p) > d + s\).

Alors il existe un \(f \in A \setminus \mathfrak p\) qui annule \(H^i(R\Gamma_\mathfrak m(M)^\wedge)\) pour \(i \leq s\), où \({}^\wedge\) désigne la complétion \(I\)-adique.

Démonstration

D’après Cohomologie locale, lemme 0DWZ la fonction \[\mathfrak p' \longmapsto \text{depth}_{A_{\mathfrak p'}}(M_{\mathfrak p'}) + \dim(A/\mathfrak p')\] est semi-continue inférieurement sur \(\Spec(A)\). La valeur de cette fonction en tout \(\mathfrak p' \subset \mathfrak p\) est donc \(> s + d\). Notre lemme est ainsi un cas particulier du lemme 0EFH, pourvu que \(\mathfrak p \not = \mathfrak m\). Si \(\mathfrak p = \mathfrak m\), alors \(H^i_\mathfrak m(M) = 0\) pour \(i \leq s + d\) d’après la relation entre la profondeur et la cohomologie locale (Complexes dualisants, lemme 0AVZ). Ainsi, l’argument donné dans la démonstration du lemme 0EFH montre que \(H^i(R\Gamma_\mathfrak m(M)^\wedge) = 0\) pour \(i \leq s\) dans ce cas (dégénéré).

Lemme

Soit \((A, \mathfrak m)\) un anneau local noethérien. Soit \(I \subset A\) un idéal. Soit \(M\) un \(A\)-module de type fini. Soient \(s\) et \(d\) des entiers. Supposons que

1. \(A\) possède un complexe dualisant,

2. si \(\mathfrak p \in V(I)\), aucune condition n’est imposée,

3. si \(\mathfrak p \not \in V(I)\) et \(V(\mathfrak p) \cap V(I) = \{\mathfrak m\}\), alors \(\dim(A/\mathfrak p) \leq d\),

4. si \(\mathfrak p \not \in V(I)\) et \(V(\mathfrak p) \cap V(I) \not = \{\mathfrak m\}\), alors \[\text{depth}_{A_\mathfrak p}(M_\mathfrak p) \geq s \quad\text{ou}\quad \text{depth}_{A_\mathfrak p}(M_\mathfrak p) + \dim(A/\mathfrak p) > d + s\]

Alors il existe un idéal \(J_0 \subset A\) tel que \(V(J_0) \cap V(I) = \{\mathfrak m\}\) et tel que, pour tout \(J \subset J_0\) avec \(V(J) \cap V(I) = \{\mathfrak m\}\), l’application \[R\Gamma_J(M) \longrightarrow R\Gamma_{J_0}(M)\] induise un isomorphisme en cohomologie en degrés \(\leq s\) ; de plus, ces modules sont annulés par une puissance de \(J_0I\).

Démonstration

C’est un cas particulier du lemme 0EFI.

Lemme

Dans le lemme 0DXM, si, au lieu de la condition vide (2), on suppose que

1. si \(\mathfrak p \in V(I)\) et \(\mathfrak p \not = \mathfrak m\), alors \(\text{depth}_{A_\mathfrak p}(M_\mathfrak p) + \dim(A/\mathfrak p) > s\),

alors ces conditions entraînent aussi que \(H^i_{J_0}(M)\) est un \(A\)-module de type fini pour \(i \leq s\).

Démonstration

C’est un cas particulier du lemme 0EFJ.

Lemme

Si, dans le lemme 0DXM, on suppose en outre que

1. si \(\mathfrak p \not \in V(I)\) et \(V(\mathfrak p) \cap V(I) = \{\mathfrak m\}\), alors \(\text{depth}_{A_\mathfrak p}(M_\mathfrak p) > s\),

alors \(H^i_{J_0}(M) = H^i_J(M) = H^i_\mathfrak m(M)\) pour \(i \leq s\), et ces modules sont annulés par une puissance de \(I\).

Démonstration

C’est un cas particulier du lemme 0EFK.

Lemme

Soit \((A, \mathfrak m)\) un anneau local noethérien. Soit \(I \subset A\) un idéal. Soit \(M\) un \(A\)-module de type fini. Soient \(s\) et \(d\) des entiers. Supposons que

1. \(A\) est complet pour la topologie \(I\)-adique et possède un complexe dualisant,

2. si \(\mathfrak p \in V(I)\), aucune condition n’est imposée,

3. \(\text{cd}(A, I) \leq d\),

4. si \(\mathfrak p \not \in V(I)\) et \(V(\mathfrak p) \cap V(I) \not = \{\mathfrak m\}\), alors \[\text{depth}_{A_\mathfrak p}(M_\mathfrak p) \geq s \quad\text{ou}\quad \text{depth}_{A_\mathfrak p}(M_\mathfrak p) + \dim(A/\mathfrak p) > d + s\]

Alors il existe un idéal \(J_0 \subset A\) tel que \(V(J_0) \cap V(I) = \{\mathfrak m\}\) et tel que, pour tout \(J \subset J_0\) avec \(V(J) \cap V(I) = \{\mathfrak m\}\), l’application \[R\Gamma_J(M) \longrightarrow R\Gamma_J(M)^\wedge = R\Gamma_\mathfrak m(M)^\wedge\] induise un isomorphisme en cohomologie en degrés \(\leq s\). Ici \({}^\wedge\) désigne la complétion \(I\)-adique dérivée.

Démonstration

Ce lemme est un cas particulier du lemme 0EFL, puisque la condition (5)(c) résulte de la condition (4), car \(\delta_{max} = \delta_{min} = \delta(\mathfrak m)\). Nous allons donner la démonstration de ce cas particulier important, car elle est un peu plus simple (il y a moins de choses à vérifier).

Il n’y a pas de différence entre \(R\Gamma_\mathfrak a\) et \(R\Gamma_{V(\mathfrak a)}\) dans la situation présente ; voir Complexes dualisants, lemme 0955. Remarquons ensuite que \[R\Gamma_\mathfrak m(M)^\wedge = R\Gamma_I(R\Gamma_J(M))^\wedge = R\Gamma_J(M)^\wedge\] d’après Complexes dualisants, lemmes 0BJC et 0A6W, ce qui explique le signe d’égalité dans l’énoncé du lemme.

Remarquons que le lemme vaut pour \(s < 0\). Ce cas n’est pas trivial, car il n’est pas clair a priori que \(H^s(R\Gamma_\mathfrak m(M)^\wedge)\) soit nul pour \(s\) négatif. Cette annulation a toutefois été établie dans le lemme 0DXJ. Nous démontrerons le lemme par récurrence pour \(s \geq 0\).

Les hypothèses du lemme 0DXM sont satisfaites d’après Cohomologie locale, lemme 0DXF. Le lemme pour \(s = 0\) résulte du lemme 0DXM et de Complexes dualisants, lemme 0EEX.

Supposons \(s > 0\) et le lemme vrai pour les valeurs plus petites de \(s\). Soit \(M' \subset M\) le sous-module des éléments dont le support est contenu dans \(V(I) \cup V(J)\) pour un certain idéal \(J\) tel que \(V(J) \cap V(I) = \{\mathfrak m\}\). Alors \(M'\) est un \(A\)-module de type fini. Nous affirmons que \[R\Gamma_J(M') \to R\Gamma_\mathfrak m(M')^\wedge\] est un isomorphisme quel que soit le choix de \(J\). En effet, pour tout module de ce type, il existe une suite exacte courte \(0 \to M_1 \oplus M_2 \to M' \to N \to 0\), où \(M_1\) est annulé par une puissance de \(J\), où \(M_2\) est annulé par une puissance de \(I\) et où \(N\) est annulé par une puissance de \(\mathfrak m\). Dans le cas de \(M_1\), on voit que \(R\Gamma_J(M_1) = M_1\) et, puisque \(M_1\) est un \(A\)-module de type fini et complet pour la topologie \(I\)-adique, on a \(M_1^\wedge = M_1\). L’assertion vaut donc pour \(M_1\). Dans le cas de \(M_2\), on voit que \(H^i_J(M_2)\) est annulé par une puissance de \(I\), et est donc complet au sens dérivé. Ainsi, l’assertion vaut pour \(M_2\). Les mêmes arguments montrent que l’assertion vaut pour \(N\), et l’on en conclut qu’elle est vraie. En considérant la suite exacte courte \(0 \to M' \to M \to M/M' \to 0\), on voit qu’il suffit de démontrer le lemme pour \(M/M'\). On peut donc supposer que \(\mathfrak p \in \text{Ass}(M)\) entraîne \(V(\mathfrak p) \cap V(I) \not = \{\mathfrak m\}\), c’est-à-dire que \(\mathfrak p\) est un idéal premier comme dans (4).

Choisissons un idéal \(J_0\) comme dans le lemme 0DXM et un entier \(t > 0\) tel que \((J_0I)^t\) annule \(H^s_J(M)\). Ici, \(J\) désigne un idéal arbitraire \(J \subset J_0\) tel que \(V(J) \cap V(I) = \{\mathfrak m\}\). Les hypothèses du lemme 0DXK sont satisfaites pour tout \(\mathfrak p \in \text{Ass}(M)\) (voir le paragraphe précédent). Ainsi, l’annulateur \(\mathfrak a \subset A\) de \(H^s(R\Gamma_\mathfrak m(M)^\wedge)\) n’est pas contenu dans \(\mathfrak p\) pour \(\mathfrak p \in \text{Ass}(M)\). On peut donc trouver un \(f \in \mathfrak a(J_0I)^t\) qui n’appartient à aucun idéal premier associé de \(M\) et qui annule à la fois \(H^s(R\Gamma_\mathfrak m(M)^\wedge)\) et \(H^s_J(M)\). Alors \(f\) est un non-diviseur de zéro dans \(M\), et l’on peut considérer la suite exacte courte \[0 \to M \xrightarrow{f} M \to M/fM \to 0\] Notre choix de \(f\) montre que l’on obtient \[\xymatrix{ H^{s - 1}_J(M) \ar[d] \ar[r] & H^{s - 1}_J(M/fM) \ar[d] \ar[r] & H^s_J(M) \ar[d] \ar[r] & 0 \\ H^{s - 1}(R\Gamma_\mathfrak m(M)^\wedge) \ar[r] & H^{s - 1}(R\Gamma_\mathfrak m(M/fM)^\wedge) \ar[r] & H^s(R\Gamma_\mathfrak m(M)^\wedge) \ar[r] & 0 }\] pour tout \(J \subset J_0\) tel que \(V(J) \cap V(I) = \{\mathfrak m\}\). Ainsi, si l’on choisit \(J\) de sorte qu’il convienne pour \(M\), \(M/fM\) et \(s - 1\) (ce qui est possible par l’hypothèse de récurrence), on en conclut que le lemme est vrai.

Algébrisation de la cohomologie locale, III

Dans cette section, nous nous appuyons sur les résultats des sections 0EFF et 0EFP pour obtenir un résultat plus fort dans la situation suivante.

Situation

Ici, \(A\) est un anneau noethérien. Nous avons un idéal \(I \subset A\), un \(A\)-module de type fini \(M\) et un sous-ensemble \(T \subset V(I)\) stable par spécialisation. Nous avons des entiers \(s\) et \(d\). Nous supposons que

1. \(A\) possède un complexe dualisant,

2. \(\text{cd}(A, I) \leq d\),

3. pour des idéaux premiers \(\mathfrak p \subset \mathfrak r \subset \mathfrak q\) tels que \(\mathfrak p \not \in V(I)\), \(\mathfrak r \in V(I) \setminus T\), \(\mathfrak q \in T\), on a \[\text{depth}_{A_\mathfrak p}(M_\mathfrak p) \geq s \quad\text{ou}\quad \text{depth}_{A_\mathfrak p}(M_\mathfrak p) + \dim((A/\mathfrak p)_\mathfrak q) > d + s\]

4. pour \(\mathfrak q \in T\), si \(A', \mathfrak m', I', M'\) désignent les complétions \(I\)-adiques usuelles de \(A_\mathfrak q, \mathfrak qA_\mathfrak q, I_\mathfrak q, M_\mathfrak q\), on a \[\text{depth}(M'_{\mathfrak p'}) > s\] pour tout \(\mathfrak p' \in \Spec(A') \setminus V(I')\) tel que \(V(\mathfrak p') \cap V(I') = \{\mathfrak m'\}\).

Le lemme suivant explique pourquoi, dans la situation 0EFU, il suffit de considérer les triplets \(\mathfrak p \subset \mathfrak r \subset \mathfrak q\) d’idéaux premiers de (4), bien que l’hypothèse elle-même ne fasse intervenir que \(\mathfrak p\) et \(\mathfrak q\).

Lemme

Dans la situation 0EFU, soient \(\mathfrak p \subset \mathfrak q\) des idéaux premiers de \(A\) tels que \(\mathfrak p \not \in V(I)\) et \(\mathfrak q \in T\). S’il n’existe aucun \(\mathfrak r \in V(I) \setminus T\) tel que \(\mathfrak p \subset \mathfrak r \subset \mathfrak q\) alors \(\text{depth}(M_\mathfrak p) > s\).

Démonstration

Choisissons \(\mathfrak q' \in T\) tel que \(\mathfrak p \subset \mathfrak q' \subset \mathfrak q\) et qu’il n’existe aucun idéal premier de \(T\) strictement compris entre \(\mathfrak p\) et \(\mathfrak q'\). Pour démontrer le lemme, on peut, et l’on va, remplacer \(\mathfrak q\) par \(\mathfrak q'\). Ensuite, soit \(\mathfrak p' \subset A_\mathfrak q\) l’idéal premier correspondant à \(\mathfrak p\). On obtient alors \(V(\mathfrak p') \cap V(IA_\mathfrak q) = \{\mathfrak q A_\mathfrak q\}\) du fait qu’il n’existe pas d’idéal premier \(\mathfrak r\) comme dans le lemme. Soient \(A', I', \mathfrak m', M'\) les complétions \(I\)-adiques de \(A_\mathfrak q, I_\mathfrak q, \mathfrak qA_\mathfrak q, M_\mathfrak q\). Comme \(A_\mathfrak q \to A'\) est fidèlement plat (Algèbre, lemme 00MC), on peut choisir \(\mathfrak p'' \subset A'\) au-dessus de \(\mathfrak p'\) tel que \(\dim(A'_{\mathfrak p''}/\mathfrak p' A'_{\mathfrak p''}) = 0\). On voit alors que \[\text{depth}(M'_{\mathfrak p''}) = \text{depth}((M_\mathfrak q \otimes_{A_\mathfrak q} A')_{\mathfrak p''}) = \text{depth}(M_\mathfrak p \otimes_{A_\mathfrak p} A'_{\mathfrak p''}) = \text{depth}(M_\mathfrak p)\] par platitude de \(A \to A'\) et par notre choix de \(\mathfrak p''\), voir Algèbre, lemme 0338. Comme \(\mathfrak p''\) est au-dessus de \(\mathfrak p'\), on a \(V(\mathfrak p'') \cap V(I') = \{\mathfrak m'\}\). Ainsi, la condition (6) de la situation 0EFU entraîne que \(\text{depth}(M'_{\mathfrak p''}) > s\), ce qui achève la démonstration.

Le lemme fastidieux suivant explique les relations entre les diverses familles de conditions que l’on pourrait imposer.

Lemme

Dans la situation 0EFU, on a

1. si \(T' \subset T\) est un sous-ensemble plus petit, stable par spécialisation, alors \(A, I, T', M\) satisfont les hypothèses de la situation 0EFU,

2. si \(S \subset A\) est une partie multiplicative, alors \(S^{-1}A, S^{-1}I, T', S^{-1}M\) satisfont les hypothèses de la situation 0EFU, où \(T' \subset V(S^{-1}I)\) est l’image réciproque de \(T\),

3. le quadruplet \(A', I', T', M'\) satisfait les hypothèses de la situation 0EFU, où \(A', I', M'\) sont les complétions \(I\)-adiques usuelles de \(A, I, M\) et \(T' \subset V(I')\) est l’image réciproque de \(T\).

Soit \(I \subset \mathfrak a \subset A\) un idéal tel que \(V(\mathfrak a) \subset T\). Alors

1. si \(I\) est contenu dans le radical de Jacobson de \(A\), alors toutes les hypothèses des lemmes 0EFI et 0EFK sont satisfaites pour \(A, I, \mathfrak a, M\),

2. si \(A\) est complet pour la topologie \(I\)-adique, alors toutes les hypothèses, sauf éventuellement (5), du lemme 0EFL sont satisfaites pour \(A, I, \mathfrak a, M\),

3. si \(A\) est local d’idéal maximal \(\mathfrak m = \mathfrak a\), alors toutes les hypothèses des lemmes 0DXM et 0EFQ sont satisfaites pour \(A, \mathfrak m, I, M\),

4. si \(A\) est local d’idéal maximal \(\mathfrak m = \mathfrak a\) et complet pour la topologie \(I\)-adique, alors toutes les hypothèses du lemme 0DXP sont satisfaites pour \(A, \mathfrak m, I, M\),

Démonstration

Démonstration de (E). Il faut montrer que les hypothèses (1), (3), (4), (6) de la situation 0EFU sont satisfaites pour \(A, I, T, M\). Remplacer \(T\) par \(T'\) affaiblit l’hypothèse (6) et renforce l’hypothèse (4). Cependant, si l’on a \(\mathfrak p \subset \mathfrak r \subset \mathfrak q\) avec \(\mathfrak p \not \in V(I)\), \(\mathfrak r \in V(I) \setminus T'\), \(\mathfrak q \in T'\) comme dans l’hypothèse (4) pour \(A, I, T', M\), alors soit on peut choisir \(\mathfrak r \in V(I) \setminus T\) et la condition (4) pour \(A, I, T, M\) s’applique, soit on ne peut trouver un tel \(\mathfrak r\), auquel cas on obtient \(\text{depth}(M_\mathfrak p) > s\) par le lemme 0EID. Cela montre, comme voulu, que (4) est satisfaite pour \(A, I, T', M\).

Démonstration de (F). C’est immédiat et nous omettons les détails.

Démonstration de (G). Il faut montrer que les hypothèses (1), (3), (4), (6) de la situation 0EFU sont satisfaites pour les complétions \(I\)-adiques \(A', I', T', M'\). Gardons à l’esprit que \(\Spec(A') \to \Spec(A)\) induit un isomorphisme \(V(I') \to V(I)\).

Hypothèse (1) : L’anneau \(A'\) possède un complexe dualisant, voir Complexes dualisants, lemme 0BFR.

Hypothèse (3) : Comme \(I' = IA'\), cela résulte de Cohomologie locale, lemme 0DXA.

Hypothèse (4) : Si l’on a des idéaux premiers \(\mathfrak p' \subset \mathfrak r' \subset \mathfrak q'\) de \(A'\) tels que \(\mathfrak p' \not \in V(I')\), \(\mathfrak r' \in V(I') \setminus T'\), \(\mathfrak q' \in T'\), alors leurs images \(\mathfrak p \subset \mathfrak r \subset \mathfrak q\) dans le spectre de \(A\) satisfont \(\mathfrak p \not \in V(I)\), \(\mathfrak r \in V(I) \setminus T\), \(\mathfrak q \in T\). On a alors \[\text{depth}_{A_\mathfrak p}(M_\mathfrak p) \geq s \quad\text{ou}\quad \text{depth}_{A_\mathfrak p}(M_\mathfrak p) + \dim((A/\mathfrak p)_\mathfrak q) > d + s\] d’après l’hypothèse (4) pour \(A, I, T, M\). On a \(\text{depth}(M'_{\mathfrak p'}) \geq \text{depth}(M_\mathfrak p)\) et \(\text{depth}(M'_{\mathfrak p'}) + \dim((A'/\mathfrak p')_{\mathfrak q'}) = \text{depth}(M_\mathfrak p) + \dim((A/\mathfrak p)_\mathfrak q)\) d’après Cohomologie locale, lemme 0EHW. Ainsi, l’hypothèse (4) est satisfaite pour \(A', I', T', M'\).

Hypothèse (6) : Soit \(\mathfrak q' \in T'\) au-dessus de l’idéal premier \(\mathfrak q \in T\). Alors \(A'_{\mathfrak q'}\) et \(A_\mathfrak q\) ont des complétions \(I\)-adiques isomorphes, de même que \(M_\mathfrak q\) et \(M'_{\mathfrak q'}\). Ainsi, l’hypothèse (6) pour \(A', I', T', M'\) équivaut à l’hypothèse (6) pour \(A, I, T, M\).

Démonstration de (A). Il faut vérifier les conditions (1), (2), (3), (4) et (6) des lemmes 0EFI et 0EFK pour \((A, I, \mathfrak a, M)\). Attention : l’ensemble \(T\) de l’énoncé de ces lemmes n’est pas le même que l’ensemble \(T\) ci-dessus.

Condition (1) : Cela vaut parce que nous avons supposé que \(A\) possède un complexe dualisant dans la situation 0EFU.

Condition (2) : Elle est vide.

Condition (3) : Soit \(\mathfrak p \subset A\) tel que \(V(\mathfrak p) \cap V(I) \subset V(\mathfrak a)\). Comme \(I\) est contenu dans le radical de Jacobson de \(A\), on voit que \(V(\mathfrak p) \cap V(I) \not = \emptyset\). Soit \(\mathfrak q \in V(\mathfrak p) \cap V(I)\) un point générique. Puisque \(\text{cd}(A_\mathfrak q, I_\mathfrak q) \leq d\) (Cohomologie locale, lemme 0DXB) et puisque \(V(\mathfrak p A_\mathfrak q) \cap V(I_\mathfrak q) = \{\mathfrak q A_\mathfrak q\}\), on obtient \(\dim((A/\mathfrak p)_\mathfrak q) \leq d\) par Cohomologie locale, lemme 0DXF, ce qui prouve (3).

Condition (4) : Supposons \(\mathfrak p \not \in V(I)\) et \(\mathfrak q \in V(\mathfrak p) \cap V(\mathfrak a)\). Il suffit de montrer \[\text{depth}_{A_\mathfrak p}(M_\mathfrak p) \geq s \quad\text{ou}\quad \text{depth}_{A_\mathfrak p}(M_\mathfrak p) + \dim((A/\mathfrak p)_\mathfrak q) > d + s\] S’il existe un idéal premier \(\mathfrak p \subset \mathfrak r \subset \mathfrak q\) tel que \(\mathfrak r \in V(I) \setminus T\), cela résulte alors immédiatement de l’hypothèse (4) de la situation 0EFU. Sinon, \(\text{depth}(M_\mathfrak p) > s\) d’après le lemme 0EID.

Condition (6) : Soit \(\mathfrak p \not \in V(I)\) tel que \(V(\mathfrak p) \cap V(I) \subset V(\mathfrak a)\). Comme \(I\) est contenu dans le radical de Jacobson de \(A\), on voit que \(V(\mathfrak p) \cap V(I) \not = \emptyset\). Choisissons \(\mathfrak q \in V(\mathfrak p) \cap V(I) \subset V(\mathfrak a)\). Il est clair qu’il n’existe pas d’idéal premier \(\mathfrak p \subset \mathfrak r \subset \mathfrak q\) tel que \(\mathfrak r \in V(I) \setminus T\). D’après le lemme 0EID, on a \(\text{depth}(M_\mathfrak p) > s\), ce qui prouve (6).

Démonstration de (B). Il faut vérifier les conditions (1), (2), (3), (4) du lemme 0EFL. Attention : l’ensemble \(T\) dans l’énoncé de ce lemme n’est pas le même que l’ensemble \(T\) ci-dessus.

Condition (1) : Cela vaut parce que \(A\) est complet et possède un complexe dualisant.

Condition (2) : Elle est vide.

Condition (3) : C’est l’hypothèse (3) de la situation 0EFU.

Condition (4) : C’est l’hypothèse (4) du lemme 0EFI, que nous avons démontrée dans (A).

Démonstration de (C). Cela vaut parce que les hypothèses des lemmes 0DXM et 0EFQ sont les mêmes que celles des lemmes 0EFI et 0EFK dans le cas local, et nous avons montré dans (A) qu’elles sont satisfaites.

Démonstration de (D). Cela vaut parce que les hypothèses du lemme 0DXP sont les hypothèses (1), (2), (3), (4) du lemme 0EFL, et nous avons montré dans (B) qu’elles sont satisfaites.

Lemme

Dans la situation 0EFU, supposons que \(A\) est local d’idéal maximal \(\mathfrak m\) et que \(T = \{\mathfrak m\}\). Alors \(H^i_\mathfrak m(M) \to \lim H^i_\mathfrak m(M/I^nM)\) est un isomorphisme pour \(i \leq s\), et ces modules sont annulés par une puissance de \(I\).

Démonstration

Soient \(A', I', \mathfrak m', M'\) les complétions \(I\)-adiques usuelles de \(A, I, \mathfrak m, M\). Rappelons que l’on a \(H^i_\mathfrak m(M) \otimes_A A' = H^i_{\mathfrak m'}(M')\) par platitude de \(A \to A'\) et par Complexes dualisants, lemme 0ALZ. Comme \(H^i_\mathfrak m(M)\) est de torsion annulée par une puissance de \(\mathfrak m\), on a \(H^i_\mathfrak m(M) = H^i_\mathfrak m(M) \otimes_A A'\) ; voir Compléments d’algèbre, lemme 05EC. On en conclut que \(H^i_\mathfrak m(M) = H^i_{\mathfrak m'}(M')\). Les mêmes arguments montrent exactement que \(H^i_\mathfrak m(M/I^nM) = H^i_{\mathfrak m'}(M'/(I')^nM')\) pour tous \(n\) et \(i\).

Les lemmes 0DXP, 0DXM et 0EFQ s’appliquent à \(A', \mathfrak m', I', M'\) d’après les parties (C) et (D) du lemme 0EFV. On obtient donc un isomorphisme \[H^i_{\mathfrak m'}(M') \longrightarrow H^i(R\Gamma_{\mathfrak m'}(M')^\wedge)\] pour \(i \leq s\), où \({}^\wedge\) désigne la complétion \(I'\)-adique dérivée, et ces modules sont annulés par une puissance de \(I'\). D’après le lemme 0DXJ, on obtient des isomorphismes \[H^i_{\mathfrak m'}(M') \longrightarrow \lim H^i_{\mathfrak m'}(M'/(I')^nM'))\] pour \(i \leq s\). En les combinant à la comparaison déjà établie avec la cohomologie locale sur \(A\), on conclut que le lemme est vrai.

Lemme

Soient \(I \subset \mathfrak a\) des idéaux d’un anneau noethérien \(A\). Soit \(M\) un \(A\)-module de type fini. Soient \(s\) et \(d\) des entiers. Supposons que

1. \(A\) possède un complexe dualisant,

2. \(\text{cd}(A, I) \leq d\),

3. si \(\mathfrak p \not \in V(I)\) et \(\mathfrak q \in V(\mathfrak p) \cap V(\mathfrak a)\), alors \(\text{depth}_{A_\mathfrak p}(M_\mathfrak p) > s\) ou \(\text{depth}_{A_\mathfrak p}(M_\mathfrak p) + \dim((A/\mathfrak p)_\mathfrak q) > d + s\).

Alors \(A, I, V(\mathfrak a), M, s, d\) sont comme dans la situation 0EFU.

Démonstration

Il faut montrer que les hypothèses (1), (3), (4) et (6) de la situation 0EFU sont satisfaites. Il est clair que (a) \(\Rightarrow\) (1), (b) \(\Rightarrow\) (3) et (c) \(\Rightarrow\) (4). Pour achever la démonstration, nous montrons dans le paragraphe suivant que (6) est satisfaite.

Soit \(\mathfrak q \in V(\mathfrak a)\). Notons \(A', I', \mathfrak m', M'\) les complétions \(I\)-adiques de \(A_\mathfrak q, I_\mathfrak q, \mathfrak qA_\mathfrak q, M_\mathfrak q\). Soit \(\mathfrak p' \subset A'\) un idéal premier non maximal tel que \(V(\mathfrak p') \cap V(I') = \{\mathfrak m'\}\). Remarquons que cela entraîne \(\dim(A'/\mathfrak p') \leq d\) d’après Cohomologie locale, lemme 0DXF. Notons \(\mathfrak p \subset A\) l’image de \(\mathfrak p'\). On a \(\text{depth}(M'_{\mathfrak p'}) \geq \text{depth}(M_\mathfrak p)\) et \(\text{depth}(M'_{\mathfrak p'}) + \dim(A'/\mathfrak p') = \text{depth}(M_\mathfrak p) + \dim((A/\mathfrak p)_\mathfrak q)\) d’après Cohomologie locale, lemme 0EHW. D’après l’hypothèse (c), ou bien on a \(\text{depth}(M'_{\mathfrak p'}) \geq \text{depth}(M_\mathfrak p) > s\) et c’est terminé, ou bien on a \(\text{depth}(M'_{\mathfrak p'}) + \dim(A'/\mathfrak p') > s + d\), ce qui entraîne \(\text{depth}(M'_{\mathfrak p'}) > s\) par l’inégalité déjà établie \(\dim(A'/\mathfrak p') \leq d\). Dans les deux cas, on obtient le résultat voulu.

Lemme

Dans la situation 0EFU, les systèmes projectifs \(\{H^i_T(I^nM)\}_{n \geq 0}\) sont essentiellement nuls pour \(i \leq s\). De plus, il existe un entier \(m_0\) tel que, pour tout \(m \geq m_0\), il existe un entier \(m'(m) \geq m\) tel que, pour \(k \geq m'(m)\), l’image de \(H^{s + 1}_T(I^kM) \to H^{s + 1}_T(I^mM)\) s’envoie injectivement dans \(H^{s + 1}_T(I^{m_0}M)\).

Démonstration

Fixons \(m\). Soit \(\mathfrak q \in T\). D’après les lemmes 0EFV et 0EFR on voit que \[H^i_\mathfrak q(M_\mathfrak q) \longrightarrow \lim H^i_\mathfrak q(M_\mathfrak q/I^nM_\mathfrak q)\] est un isomorphisme pour \(i \leq s\). Les systèmes projectifs \(\{H^i_\mathfrak q(I^nM_\mathfrak q)\}_{n \geq 0}\) et \(\{H^i_\mathfrak q(M/I^nM)\}_{n \geq 0}\) satisfont la condition de Mittag-Leffler pour tout \(i\) ; voir le lemme 0DX1. En considérant donc le système projectif des suites exactes longues \[0 \to H^0_\mathfrak q(I^nM_\mathfrak q) \to H^0_\mathfrak q(M_\mathfrak q) \to H^0_\mathfrak q(M_\mathfrak q/I^nM_\mathfrak q) \to H^1_\mathfrak q(I^nM_\mathfrak q) \to H^1_\mathfrak q(M_\mathfrak q) \to \ldots\] on conclut (certains détails sont omis) qu’il existe un entier \(m'(m, \mathfrak q) \geq m\) tel que, pour tout \(k \geq m'(m, \mathfrak q)\), l’application \(H^i_\mathfrak q(I^kM_\mathfrak q) \to H^i_\mathfrak q(I^mM_\mathfrak q)\) est nulle pour \(i \leq s\), et l’image de \(H^{s + 1}_\mathfrak q(I^kM_\mathfrak q) \to H^{s + 1}_\mathfrak q(I^mM_\mathfrak q)\) ne dépend pas de \(k \geq m'(m, \mathfrak q)\) et s’envoie injectivement dans \(H^{s + 1}_\mathfrak q(M_\mathfrak q)\).

Supposons que l’on puisse montrer que \(m'(m, \mathfrak q)\) peut être choisi indépendamment de \(\mathfrak q \in T\). Alors le lemme résulte immédiatement de Cohomologie locale, lemmes 0EF9 et 0EFA.

Soit \(\omega_A^\bullet\) un complexe dualisant. Soit \(\delta : \Spec(A) \to \mathbf{Z}\) la fonction de dimension correspondante. Rappelons que \(\delta\) ne prend qu’un nombre fini de valeurs ; voir Complexes dualisants, lemme 0A80. Assertion : pour tout \(d \in \mathbf{Z}\), l’entier \(m'(m, \mathfrak q)\) peut être choisi indépendamment de \(\mathfrak q \in T\) tel que \(\delta(\mathfrak q) = d\). Cette assertion entraîne clairement le lemme d’après ce qui précède.

Choisissons \(\mathfrak q \in T\) tel que \(\delta(\mathfrak q) = d\). Considérons les modules d’Ext \[E(n, j) = \text{Ext}^j_A(I^nM, \omega_A^\bullet)\] La propriété essentielle que nous utiliserons est que ce sont des \(A\)-modules de type fini. Rappelons que \((\omega_A^\bullet)_\mathfrak q[-d]\) est un complexe dualisant normalisé pour \(A_\mathfrak q\), par définition de la fonction de dimension associée à un complexe dualisant ; voir Complexes dualisants, section 0A7W. Le théorème de dualité locale (Complexes dualisants, lemme 0AAK) nous dit que le complété \(\mathfrak qA_\mathfrak q\)-adique de \(E(n, -d - i)_\mathfrak q\) est le dual de Matlis de \(H^i_\mathfrak q(I^nM_\mathfrak q)\). Le choix de \(m'(m, \mathfrak q)\) pour \(i \leq s\) dans le premier paragraphe nous dit donc que, pour \(k \geq m'(m, \mathfrak q)\) et \(j \geq -d - s\), l’application \[E(m, j)_\mathfrak q \to E(k, j)_\mathfrak q\] est nulle. Puisque ces modules sont de type fini et ne sont non nuls que pour un nombre fini de valeurs possibles de \(j\) (petit détail omis), on peut trouver un voisinage ouvert \(W \subset \Spec(A)\) de \(\mathfrak q\) tel que \[E(m, j)_{\mathfrak q'} \to E(m'(m, \mathfrak q), j)_{\mathfrak q'}\] soit nulle pour \(j \geq -d - s\) et tout \(\mathfrak q' \in W\). Alors, bien entendu, les applications \(E(m, j)_{\mathfrak q'} \to E(k, j)_{\mathfrak q'}\) pour \(k \geq m'(m, \mathfrak q)\) sont elles aussi nulles.

Pour \(i = s + 1\), correspondant à \(j = - d - s - 1\), la dualité locale et les résultats du premier paragraphe montrent que \[K_{k, \mathfrak q} = \Ker(E(m, -d - s - 1)_\mathfrak q \to E(k, -d - s - 1)_\mathfrak q)\] est indépendant de \(k \geq m'(m, \mathfrak q)\) et que \[E(0, -d - s - 1)_\mathfrak q \to E(m, -d - s - 1)_\mathfrak q/K_{m'(m, \mathfrak q), \mathfrak q}\] est surjective. Pour \(k \geq m'(m, \mathfrak q)\), posons \[K_k = \Ker(E(m, -d - s - 1) \to E(k, -d - s - 1))\] Puisque \(K_k\) est une suite croissante de sous-modules du module de type fini \(E(m, -d - s - 1)\), on voit que, quitte à augmenter un peu \(m'(m, \mathfrak q)\), on peut supposer \(K_{m'(m, \mathfrak q)} = K_k\) pour \(k \geq m'(m, \mathfrak q)\). Après avoir encore rétréci \(W\) si nécessaire, on peut aussi supposer que \[E(0, -d - s - 1)_{\mathfrak q'} \to E(m, -d - s - 1)_{\mathfrak q'}/K_{m'(m, \mathfrak q), \mathfrak q'}\] est surjective pour tout \(\mathfrak q' \in W\) (comme précédemment, on utilise que ces modules sont de type fini et que l’application est surjective après localisation en \(\mathfrak q\)).

Toute partie, en particulier \(T_d = \{\mathfrak q \in T \text{ tel que }\delta(\mathfrak q) = d\}\), de l’espace topologique noethérien \(\Spec(A)\), munie de la topologie induite, est noethérienne et donc quasi-compacte. Nous avons vu ci-dessus que, pour tout \(\mathfrak q \in T_d\), il existe un voisinage ouvert \(W\) sur lequel \(m'(m, \mathfrak q)\) convient à tout \(\mathfrak q' \in T_d \cap W\). On en conclut qu’il existe un entier \(m'(m, d)\) tel que, pour tout \(\mathfrak q \in T_d\), on ait \[E(m, j)_\mathfrak q \to E(m'(m, d), j)_\mathfrak q\] qui soit nulle pour \(j \geq -d - s\) et, en posant \(K_{m'(m, d)} = \Ker(E(m, -d - s - 1) \to E(m'(m, d), -d - s - 1))\), on ait \[K_{m'(m, d), \mathfrak q} = \Ker(E(m, -d - s - 1)_{\mathfrak q} \to E(k, -d - s - 1)_{\mathfrak q})\] pour tout \(k \geq m'(m, d)\), et que l’application \[E(0, -d - s - 1)_\mathfrak q \to E(m, -d - s - 1)_\mathfrak q/K_{m'(m, d), \mathfrak q}\] soit surjective. En utilisant de nouveau le théorème de dualité locale (dans le sens opposé), on en conclut que l’assertion est vraie. Cela achève la démonstration.

Lemme

Dans la situation 0EFU, il existe un entier \(m_0 \geq 0\) tel que

1. \(H^i_T(M) \to H^i_T(M/I^nM)\) soit injective pour tout \(i \leq s\) et tout \(n \geq m_0\),

2. \(\{H^i_T(M/I^nM)\}_{n \geq 0}\) vérifie la condition de Mittag-Leffler pour \(i < s\),

3. \(\{H^i_T(I^{m_0}M/I^nM)\}_{n \geq m_0}\) vérifie la condition de Mittag-Leffler pour \(i \leq s\),

4. \(H^i_T(M) \to \lim H^i_T(M/I^nM)\) soit un isomorphisme pour \(i < s\),

5. \(H^s_T(I^{m_0}M) \to \lim H^s_T(I^{m_0}M/I^nM)\) soit un isomorphisme pour \(i \leq s\),

6. \(H^s_T(M) \to \lim H^s_T(M/I^nM)\) soit injective, de conoyau annulé par \(I^{m_0}\), et

7. \(R^1\lim H^s_T(M/I^nM)\) soit annulé par \(I^{m_0}\).

Démonstration

Pour démontrer (1), soit \(0 \leq i \leq s\) et choisissons des entiers \(m > n > 0\) tels que \(H^i_T(I^mM) \to H^i_T(I^nM)\) soit nulle ; c’est possible d’après le lemme 0EFX. Le diagramme commutatif à lignes exactes \[\xymatrix{ H^i_T(I^nM) \ar[r] & H^i_T(M) \ar[r] & H^i_T(M/I^nM) \\ H^i_T(I^mM) \ar[r] \ar[u]^0 & H^i_T(M) \ar[r] \ar[u]^1 & H^i_T(M/I^mM) \ar[u] \\ }\] montre que l’application \(H^i_T(M) \to H^i_T(M/I^mM)\) est injective. Ainsi, (1) vaut pour tout \(m_0\) suffisamment grand.

Considérons les suites exactes longues \[0 \to H^0_T(I^nM) \to H^0_T(M) \to H^0_T(M/I^nM) \to H^1_T(I^nM) \to H^1_T(M) \to \ldots\] Les assertions (2) et (4) en résultent avec le lemme 0EFX.

Soient \(m_0\) et \(m'(-)\) comme dans le lemme 0EFX. Pour \(m \geq m_0\), considérons la suite exacte longue \[H^s_T(I^mM) \to H^s_T(I^{m_0}M) \to H^s_T(I^{m_0}M/I^mM) \to H^{s + 1}_T(I^mM) \to H^1_T(I^{m_0}M)\] Alors, pour \(k \geq m'(m)\), l’image de \(H^{s + 1}_T(I^kM) \to H^{s + 1}_T(I^mM)\) se plonge dans \(H^{s + 1}_T(I^{m_0}M)\). Par conséquent, l’image de \(H^s_T(I^{m_0}M/I^kM) \to H^s_T(I^{m_0}M/I^mM)\) a une image nulle dans \(H^{s + 1}_T(I^mM)\) pour tout \(k \geq m'(m)\). On en conclut que (3) et (5) sont vraies.

Considérons les suites exactes courtes \(0 \to I^{m_0}M \to M \to M/I^{m_0} M \to 0\) et \(0 \to I^{m_0}M/I^nM \to M/I^nM \to M/I^{m_0} M \to 0\). On obtient un diagramme \[\xymatrix{ H^{s - 1}_T(M/I^{m_0}M) \ar[r] & \lim H^s_T(I^{m_0}M/I^nM) \ar[r] & \lim H^s_T(M/I^nM) \ar[r] & H^s_T(M/I^{m_0}M) \\ H^{s - 1}_T(M/I^{m_0}M) \ar[r] \ar@{=}[u] & H^s_T(I^{m_0}M) \ar[r] \ar[u]_{\cong} & H^s_T(M) \ar[r] \ar[u] & H^s_T(M/I^{m_0}M) \ar@{=}[u] }\] dont la ligne inférieure est exacte. La ligne supérieure est elle aussi exacte (aux deux places médianes) d’après Homologie, lemme 070B. L’assertion (6) en résulte.

Posons \(B_n = H^s_T(M/I^nM)\). Soit \(A_n \subset B_n\) l’image de \(H^s_T(I^{m_0}M/I^nM) \to H^s_T(M/I^nM)\). Alors \((A_n)\) vérifie la condition de Mittag-Leffler d’après (3) et Homologie, lemme 02N1. De plus, \(C_n = B_n/A_n\) est annulé par \(I^{m_0}\). Ainsi, \(R^1\lim B_n \cong R^1\lim C_n\) est annulé par \(I^{m_0}\), ce qui donne (7).

Théorème

Dans la situation 0EFU, pour \(i \leq s\), le système projectif \(\{H^i_T(M/I^nM)\}_{n \geq 0}\) est essentiellement constant de valeur \(H^i_T(M)\). En particulier, \(\{H^i_T(M/I^nM)\}_{n \geq 0}\) est de Mittag-Leffler, \(H^i_T(M)\) est annulé par une puissance de \(I\), et \(H^i_T(M) = \lim H^i_T(M/I^nM)\).

Démonstration

Soit \(0 \leq i \leq s\). Si l’on montre que \(\{H^i_T(M/I^nM)\}_{n \geq 0}\) est de Mittag-Leffler et que \(H^i_T(M) = \lim H^i_T(M/I^nM)\), alors l’injectivité de \(H^i_T(M) \to H^i_T(M/I^nM)\) pour \(n \gg 0\), établie dans le lemme 0EFY, entraînera que \(\{H^i_T(M/I^nM)\}_{n \geq 0}\) est essentiellement constant de valeur \(H^i_T(M)\). Nous omettons un petit détail.

Nous savons déjà que \(\{H^i_T(M/I^nM)\}_{n \geq 0}\) est de Mittag-Leffler et que \(H^i_T(M) = \lim H^i_T(M/I^nM)\) pour \(i < s\) d’après le lemme 0EFY. Nous savons aussi que ces assertions valent pour \(i = s\) et le module \(I^{m_0}M\), pour un certain \(m_0 > 0\). Pour achever la démonstration, nous allons montrer qu’en fait ces assertions pour \(i = s\) valent pour \(M\).

Posons \(M' = H^0_I(M)\) et \(M'' = M/M'\), de sorte que l’on ait une suite exacte courte \[0 \to M' \to M \to M'' \to 0\] et \(M''\) vérifie \(H^0_I(M') = 0\) d’après Complexes dualisants, lemme 0AW0. D’après Artin-Rees (Algèbre, lemme 00IN), on obtient des suites exactes courtes \[0 \to M' \to M/I^n M \to M''/I^n M'' \to 0\] pour \(n\) assez grand. Considérons les suites exactes longues \[H^s_T(M') \to H^s_T(M/I^nM) \to H^s_T(M''/I^nM'') \to H^{s + 1}_T(M')\] Il est alors aisé de voir que, si le système projectif \(\{H^s_T(M''/I^nM'')\}_{n \geq 0}\) est de Mittag-Leffler, le système projectif \(\{H^s_T(M/I^nM)\}_{n \geq 0}\) l’est aussi. (Remarquons que la condition ML pour un système projectif de groupes \(G_n\) ne dépend que des valeurs du système projectif pour \(n\) assez grand.) De plus, la suite \[H^s_T(M') \to \lim H^s_T(M/I^nM) \to \lim H^s_T(M''/I^nM'') \to H^{s + 1}_T(M')\] est exacte parce que la condition ML est satisfaite aux endroits voulus ; voir Homologie, lemme 070B. Ainsi, si \(H^s_T(M'') \to \lim H^s_T(M''/I^nM'')\) est un isomorphisme, alors \(H^s_T(M) \to \lim H^s_T(M/I^nM)\) est aussi un isomorphisme d’après le lemme des cinq (Homologie, lemme 05QB). On est ainsi ramené au cas traité dans le paragraphe suivant.

Supposons que \(H^0_I(M) = 0\). Choisissons des générateurs \(f_1, \ldots, f_r\) de \(I^{m_0}\), où \(m_0\) est l’entier obtenu pour \(M\) dans le lemme 0EFY. Considérons alors la suite exacte \[0 \to M \xrightarrow{f_1, \ldots, f_r} (I^{m_0}M)^{\oplus r} \to Q \to 0\] qui définit \(Q\). Faisons quelques remarques : la première application est injective précisément parce que \(H^0_I(M) = 0\). Le conoyau \(Q\) de cette injection est un \(A\)-module de type fini tel que, pour tout \(1 \leq j \leq r\), on ait \(Q_{f_j} \cong (M_{f_j})^{\oplus r - 1}\). En particulier, pour un idéal premier \(\mathfrak p \subset A\) tel que \(\mathfrak p \not \in V(I)\), on a \(Q_\mathfrak p \cong (M_\mathfrak p)^{\oplus r - 1}\). De même, étant donné \(\mathfrak q \in T\) et \(\mathfrak p' \subset A' = (A_\mathfrak q)^\wedge\) non contenu dans \(V(IA')\), on a \(Q'_{\mathfrak p'} \cong (M'_{\mathfrak p'})^{\oplus r - 1}\) où \(Q' = (Q_\mathfrak q)^\wedge\) et \(M' = (M_\mathfrak q)^\wedge\). Ainsi, les conditions de la situation 0EFU sont satisfaites pour \(A, I, T, Q\). (Remarquons que \(Q\) peut avoir un \(H^0_I(Q)\) non nul, mais cela n’aura pas d’importance.)

Pour tout \(n \geq 0\), posons \(F^nM = M \cap I^n(I^{m_0}M)^{\oplus r}\), de sorte que l’on obtienne des suites exactes courtes \[0 \to F^nM \to I^n(I^{m_0}M)^{\oplus r} \to I^nQ \to 0\] D’après Artin-Rees (Algèbre, lemme 00IN), il existe un \(c \geq 0\) tel que \(I^n M \subset F^nM \subset I^{n - c}M\) pour tout \(n \geq c\). Soient \(m_0\) l’entier et \(m'(m)\) la fonction définie pour \(m \geq m_0\), obtenus dans le lemme 0EFX appliqué à \(M\). Remarquons que l’entier \(m_0\) est le même que notre entier \(m_0\) choisi ci-dessus (il n’est pas nécessaire de le vérifier : on peut simplement prendre le maximum des deux entiers si l’on préfère). Enfin, d’après le lemme 0EFX appliqué à \(Q\), pour tout entier \(m\), il existe un entier \(m''(m) \geq m\) tel que \(H^s_T(I^kQ) \to H^s_T(I^mQ)\) soit nulle pour tout \(k \geq m''(m)\).

Fixons \(m \geq m_0\). Choisissons \(k \geq m'(m''(m + c))\). Choisissons \(\xi \in H^{s + 1}_T(I^kM)\) qui s’envoie sur zéro dans \(H^{s + 1}_T(M)\). Nous voulons montrer que \(\xi\) s’envoie sur zéro dans \(H^{s + 1}_T(I^mM)\). En effet, cela montrera que \(\{H^s_T(M/I^nM)\}_{n \geq 0}\) est de Mittag-Leffler, exactement comme dans la démonstration du lemme 0EFY. Voici un diagramme qui permet de visualiser l’argument : \[\xymatrix{ & H^{s + 1}_T(I^kM) \ar[r] \ar[d] & H^{s + 1}_T(I^k(I^{m_0}M)^{\oplus r}) \ar[d] & \\ H^s_T(I^{m''(m + c)}Q) \ar[r]_-\delta \ar[d] & H^{s + 1}_T(F^{m''(m + c)}M) \ar[r] \ar[d] & H^{s + 1}_T(I^{m''(m + c)}(I^{m_0}M)^{\oplus r}) \\ H^s_T(I^{m + c}Q) \ar[r] & H^{s + 1}_T(F^{m + c}M) \ar[d] & \\ & H^{s + 1}_T(I^mM) }\] L’image de \(\xi\) dans \(H^{s + 1}_T(I^k(I^{m_0}M)^{\oplus r})\) s’envoie sur zéro dans \(H^{s + 1}_T((I^{m_0}M)^{\oplus r})\) et s’envoie donc sur zéro dans \(H^{s + 1}_T(I^{m''(m + c)}(I^{m_0}M)^{\oplus r})\) par le choix de \(m'(-)\). Ainsi, l’image \(\xi' \in H^{s + 1}_T(F^{m''(m + c)}M)\) s’envoie sur zéro dans \(H^{s + 1}_T(I^{m''(m + c)}(I^{m_0}M)^{\oplus r})\) et, par conséquent, \(\xi' = \delta(\eta)\) pour un certain \(\eta \in H^s_T(I^{m''(m + c)}Q)\). D’après notre choix de \(m''(-)\), on voit que \(\eta\) s’envoie sur zéro dans \(H^s_T(I^{m + c}Q)\). Cela signifie à son tour que \(\xi'\) s’envoie sur zéro dans \(H^{s + 1}_T(F^{m + c}M)\). Comme \(F^{m + c}M \subset I^mM\), on conclut.

Enfin, démontrons l’assertion sur les limites. Considérons les suites exactes courtes \[0 \to M/F^nM \to (I^{m_0}M)^{\oplus r}/I^n (I^{m_0}M)^{\oplus r} \to Q/I^nQ \to 0\] On a \(\lim H^s_T(M/I^nM) = \lim H^s_T(M/F^nM)\), car ces systèmes projectifs sont pro-isomorphes. On obtient un diagramme commutatif \[\xymatrix{ H^{s - 1}_T(Q) \ar[r] \ar[d] & \lim H^{s - 1}_T(Q/I^nQ) \ar[d] \\ H^s_T(M) \ar[r] \ar[d] & \lim H^s_T(M/I^nM) \ar[d] \\ H^s_T((I^{m_0}M)^{\oplus r}) \ar[r] \ar[d] & \lim H^s_T((I^{m_0}M)^{\oplus r}/I^n(I^{m_0}M)^{\oplus r}) \ar[d] \\ H^s_T(Q) \ar[r] & \lim H^s_T(Q/I^nQ) }\] La colonne de droite est exacte parce que la condition ML est satisfaite aux endroits voulus ; voir Homologie, lemme 070B. La flèche horizontale la plus basse est injective (!) d’après la partie (6) du lemme 0EFY. La flèche horizontale située au-dessus est bijective d’après la partie (5) du lemme 0EFY. Les flèches en degrés cohomologiques \(\leq s - 1\) sont des isomorphismes. On conclut donc que \(H^s_T(M) \to \lim H^s_T(M/I^nM)\) est un isomorphisme d’après le lemme des cinq (Homologie, lemme 05QB). Cela achève la démonstration du théorème.

Lemme

Soient \(I \subset \mathfrak a \subset A\) des idéaux d’un anneau noethérien \(A\), et soit \(M\) un \(A\)-module de type fini. Soient \(s\) et \(d\) des entiers. Supposons que

1. \(A, I, V(\mathfrak a), M\) satisfont les hypothèses de la situation 0EFU pour \(s\) et \(d\), et

2. \(A, I, \mathfrak a, M\) satisfont les conditions du lemme 0EFL pour \(s + 1\) et \(d\), avec \(J = \mathfrak a\).

Alors il existe un idéal \(J_0 \subset \mathfrak a\) avec \(V(J_0) \cap V(I) = V(\mathfrak a)\) tel que, pour tout \(J \subset J_0\) avec \(V(J) \cap V(I) = V(\mathfrak a)\), l’application \[H^{s + 1}_J(M) \longrightarrow \lim H^{s + 1}_\mathfrak a(M/I^nM)\] soit un isomorphisme.

Démonstration

En effet, l’existence de \(J_0\) et l’isomorphisme \(H^{s + 1}_J(M) = H^{s + 1}(R\Gamma_\mathfrak a(M)^\wedge)\) résultent du lemme 0EFL ; on a une suite exacte courte \[0 \to R^1\lim H^s_\mathfrak a(M/I^nM) \to H^{s + 1}(R\Gamma_\mathfrak a(M)^\wedge) \to \lim H^{s + 1}_\mathfrak a(M/I^nM) \to 0\] d’après Complexes dualisants, lemme 0EEW, et le module \(R^1\lim H^s_\mathfrak a(M/I^nM)\) est nul parce que \(\{H^s_\mathfrak a(M/I^nM)\}_{n \geq 0}\) satisfait la condition de Mittag-Leffler d’après le théorème 0EIE.

Algébrisation des sections formelles, I

Dans cette section, nous étudions le problème de l’algébrisation des sections formelles dans le cas local. Soit \((A, \mathfrak m)\) un anneau local noethérien. Soit \(I \subset A\) un idéal. Posons \[X = \Spec(A) \supset U = \Spec(A) \setminus \{\mathfrak m\}\] et notons \(Y = V(I)\) le sous-schéma fermé correspondant à \(I\). Soit \(\mathcal{F}\) un \(\mathcal{O}_U\)-module cohérent. Dans cette section, nous considérons les limites \[\lim_n H^i(U, \mathcal{F}/I^n\mathcal{F})\] Ceci est étroitement lié à la cohomologie de l’image inverse de \(\mathcal{F}\) sur la complétion formelle de \(U\) le long de \(Y\) ; toutefois, comme nous n’avons pas encore introduit les schémas formels, nous ne pouvons pas employer ici cette terminologie.

Lemme

Soit \(U\) le spectre épointé d’un anneau local noethérien \(A\). Soit \(\mathcal{F}\) un \(\mathcal{O}_U\)-module cohérent. Soit \(I \subset A\) un idéal. Alors \[H^i(R\Gamma(U, \mathcal{F})^\wedge) = \lim H^i(U, \mathcal{F}/I^n\mathcal{F})\] pour tout \(i\), où \(R\Gamma(U, \mathcal{F})^\wedge\) désigne la complétion \(I\)-adique dérivée.

Démonstration

D’après les lemmes 0BLX et 0A0K, on a \[R\Gamma(U, \mathcal{F})^\wedge = R\Gamma(U, \mathcal{F}^\wedge) = R\Gamma(U, R\lim \mathcal{F}/I^n\mathcal{F})\] On obtient donc des suites exactes courtes \[0 \to R^1\lim H^{i - 1}(U, \mathcal{F}/I^n\mathcal{F}) \to H^i(R\Gamma(U, \mathcal{F})^\wedge) \to \lim H^i(U, \mathcal{F}/I^n\mathcal{F}) \to 0\] d’après Cohomologie, lemme 0D60. Les termes \(R^1\lim\) s’annulent parce que les systèmes projectifs de groupes \(H^i(U, \mathcal{F}/I^n\mathcal{F})\) satisfont la condition de Mittag-Leffler d’après le lemme 0DX1.

Théorème

Soit \((A, \mathfrak m)\) un anneau local noethérien qui possède un complexe dualisant et qui est complet pour la topologie définie par un idéal \(I\). Posons \(X = \Spec(A)\), \(Y = V(I)\) et \(U = X \setminus \{\mathfrak m\}\). Soit \(\mathcal{F}\) un faisceau cohérent sur \(U\). Supposons que

1. \(\text{cd}(A, I) \leq d\), c’est-à-dire que \(H^i(X \setminus Y, \mathcal{G}) = 0\) pour \(i \geq d\) et tout \(\mathcal{G}\) quasi-cohérent sur \(X\),

2. pour tout \(x \in X \setminus Y\) dont l’adhérence \(\overline{\{x\}}\) dans \(X\) rencontre \(U \cap Y\), on ait \[\text{depth}_{\mathcal{O}_{X, x}}(\mathcal{F}_x) \geq s \quad\text{ou}\quad \text{depth}_{\mathcal{O}_{X, x}}(\mathcal{F}_x) + \dim(\overline{\{x\}}) > d + s\]

Alors il existe un ouvert \(V_0 \subset U\) contenant \(U \cap Y\) tel que, pour tout ouvert \(V \subset V_0\) contenant \(U \cap Y\), l’application \[H^i(V, \mathcal{F}) \to \lim H^i(U, \mathcal{F}/I^n\mathcal{F})\] soit un isomorphisme pour \(i < s\). Si, de plus, \(\text{depth}_{\mathcal{O}_{X, x}}(\mathcal{F}_x) + \dim(\overline{\{x\}}) > s\) pour tout \(x \in U \cap Y\), alors ces groupes de cohomologie sont des \(A\)-modules de type fini.

Démonstration

Choisissons un \(A\)-module de type fini \(M\) tel que \(\mathcal{F}\) soit la restriction à \(U\) du \(\mathcal{O}_X\)-module cohérent associé à \(M\) ; voir Cohomologie locale, lemme 0BK0. Alors les hypothèses du lemme 0DXP sont satisfaites. Choisissons \(J_0\) comme dans ce lemme et posons \(V_0 = X \setminus V(J_0)\). Les ouverts \(V \subset V_0\) contenant \(U \cap Y\) correspondent alors \(1\) à \(1\) aux idéaux \(J \subset J_0\) tels que \(V(J) \cap V(I) = \{\mathfrak m\}\). De plus, pour un tel choix, on a un triangle distingué \[R\Gamma_J(M) \to M \to R\Gamma(V, \mathcal{F}) \to R\Gamma_J(M)[1]\] On a de même un triangle distingué \[R\Gamma_\mathfrak m(M)^\wedge \to M \to R\Gamma(U, \mathcal{F})^\wedge \to R\Gamma_\mathfrak m(M)^\wedge[1]\] faisant intervenir les complétions \(I\)-adiques dérivées. Les groupes de cohomologie de \(R\Gamma(U, \mathcal{F})^\wedge\) sont égaux aux limites figurant dans l’énoncé du théorème d’après le lemme 0DXI. L’application canonique entre ces triangles et quelques arguments simples montrent que notre théorème résulte du lemme principal 0DXP (remarquons qu’ici on a \(i < s\), tandis que dans le lemme on a \(i \leq s\) ; cela provient du décalage). Le caractère de type fini des groupes de cohomologie (sous l’hypothèse supplémentaire) résulte du lemme 0DXN.

Lemme

Soit \((A, \mathfrak m)\) un anneau local noethérien qui possède un complexe dualisant et qui est complet pour la topologie définie par un idéal \(I\). Posons \(X = \Spec(A)\), \(Y = V(I)\) et \(U = X \setminus \{\mathfrak m\}\). Soit \(\mathcal{F}\) un faisceau cohérent sur \(U\). Supposons que, pour tout point associé \(x \in U\) de \(\mathcal{F}\), on ait \(\dim(\overline{\{x\}}) > \text{cd}(A, I) + 1\), où \(\overline{\{x\}}\) est l’adhérence dans \(X\). Alors l’application \[\colim H^0(V, \mathcal{F}) \longrightarrow \lim H^0(U, \mathcal{F}/I^n\mathcal{F})\] est un isomorphisme de \(A\)-modules de type fini, où la limite inductive porte sur les ouverts \(V \subset U\) contenant \(U \cap Y\).

Démonstration

Appliquons le théorème 0DXQ avec \(s = 1\) (on obtient également le caractère de type fini).

Algébrisation des sections formelles, II

Il est assez difficile d’énoncer succinctement toutes les conséquences possibles des résultats des sections 0EFF et 0EFT pour la cohomologie des faisceaux cohérents sur les schémas quasi-affines et leur complétion relativement à un idéal. Cette section donne une liste non exhaustive d’applications à \(H^0\). La section suivante contient des applications à la cohomologie supérieure.

Lemme

Soient \(I \subset \mathfrak a\) des idéaux d’un anneau noethérien \(A\). Soit \(0 \to \mathcal{F}' \to \mathcal{F} \to \mathcal{F}'' \to 0\) une suite exacte courte de modules cohérents sur \(U = \Spec(A) \setminus V(\mathfrak a)\). Soit \(\mathcal{V}\) l’ensemble des sous-schémas ouverts \(V \subset U\) contenant \(U \cap V(I)\), ordonné par inclusion inverse. Considérons le diagramme commutatif \[\xymatrix{ \colim_\mathcal{V} H^0(V, \mathcal{F}') \ar[d] \ar[r] & \colim_\mathcal{V} H^0(V, \mathcal{F}) \ar[d] \ar[r] & \colim_\mathcal{V} H^0(V, \mathcal{F}'') \ar[d] \\ \lim H^0(U, \mathcal{F}'/I^n\mathcal{F}') \ar[r] & \lim H^0(U, \mathcal{F}'/I^n\mathcal{F}) \ar[r] & \lim H^0(U, \mathcal{F}'/I^n\mathcal{F}'') }\] Si les flèches verticales de gauche et de droite sont des isomorphismes, celle du milieu l’est aussi. Si les flèches verticales du milieu et de gauche sont des isomorphismes, celle de gauche l’est aussi.

Démonstration

Les suites du diagramme sont exactes au milieu et la première flèche est injective. La dernière assertion résulte donc d’une simple chasse au diagramme. Pour le reste de la démonstration, supposons que les flèches verticales de gauche et de droite soient des isomorphismes. Une chasse au diagramme montre que la flèche verticale du milieu est injective. Il ne reste qu’à montrer qu’elle est surjective.

On peut choisir des \(A\)-modules de type fini \(M\) et \(M'\) tels que \(\mathcal{F}\) et \(\mathcal{F}'\) soient les restrictions de \(\widetilde{M}\) et \(\widetilde{M}'\) à \(U\) ; voir Cohomologie locale, lemme 0BK0. Après avoir remplacé \(M'\) par \(\mathfrak a^n M'\) pour un certain \(n \geq 0\), on peut supposer que \(\mathcal{F}' \to \mathcal{F}\) correspond à un homomorphisme de modules \(M' \to M\) ; voir Cohomologie des schémas, lemme 01YB. Après avoir remplacé \(M'\) par l’image de \(M' \to M\) et posé \(M'' = M/M'\), on voit que notre suite exacte courte correspond à la restriction de la suite exacte courte de modules cohérents associée à la suite exacte courte \(0 \to M' \to M \to M'' \to 0\) de \(A\)-modules.

Soit \(\hat s \in \lim H^0(U, \mathcal{F}/I^n\mathcal{F})\) d’image \(\hat s'' \in \lim H^0(U, \mathcal{F}''/I^n\mathcal{F}'')\). Par hypothèse, on trouve \(V \in \mathcal{V}\) et une section \(s'' \in \mathcal{F}''(V)\) qui s’envoie sur \(\hat s''\). Soit \(J \subset A\) un idéal tel que \(V(J) = \Spec(A) \setminus V\). D’après Cohomologie des schémas, lemme 01YB, après avoir remplacé \(J\) par une puissance, on peut supposer qu’il existe une application \(A\)-linéaire \(\varphi : J \to M''\) correspondant à \(s''\). Fixons ce choix de \(J\) ; dans la suite de la démonstration, nous remplacerons \(V\) par un \(V\) plus petit dans \(\mathcal{V}\), c’est-à-dire que nous aurons \(V \cap V(J) = \emptyset\).

Choisissons une présentation \(A^{\oplus m} \to A^{\oplus n} \to J \to 0\). Notons \(g_1, \ldots, g_n \in J\) les images des vecteurs de base de \(A^{\oplus n}\), de sorte que \(J = (g_1, \ldots, g_n)\). Soit \(A^{\oplus m} \to A^{\oplus n}\) donnée par la matrice \((a_{ji})\), de sorte que \(\sum a_{ji} g_i = 0\), \(j = 1, \ldots, m\). Comme \(M \to M''\) est surjective, pour chaque \(i\) on peut choisir \(m_i \in M\) qui s’envoie sur \(\varphi(g_i) \in M''\). Alors l’élément \(g_i \hat s - m_i\) de \(\lim H^0(U, \mathcal{F}/I^n\mathcal{F})\) appartient au sous-module \(\lim H^0(U, \mathcal{F}'/I^n\mathcal{F}')\). Par hypothèse, après avoir rétréci \(V\), on peut supposer qu’il existe des \(s'_i \in \mathcal{F}'(V)\), \(i = 1, \ldots, n\), tels que les \(s'_i\) s’envoient sur \(g_i \hat s - m_i\). Posons \(s_i = s'_i + m_i\) dans \(\mathcal{F}(V)\). Remarquons que \(\sum a_{ji} s_i\) s’envoie sur \(\sum a_{ji}g_i\hat s = 0\) par l’application \[\colim_\mathcal{V} \mathcal{F}(V') \longrightarrow \lim H^0(U, \mathcal{F}/I^n\mathcal{F})\] Comme cette application est injective (voir ci-dessus), après avoir rétréci \(V\) on peut supposer que \(\sum a_{ji}s_i = 0\) dans \(\mathcal{F}(V)\) pour tout \(j = 1, \ldots, m\). Il s’ensuit que l’on obtient une application de \(A\)-modules \(J \to \mathcal{F}(V)\) qui envoie \(g_i\) sur \(s_i\). Par la propriété universelle de \(\widetilde{J}\), cette application de \(A\)-modules correspond à une application de \(\mathcal{O}_V\)-modules \(\widetilde{J}|_V \to \mathcal{F}\). Cependant, puisque \(V(J) \cap V = \emptyset\), on a \(\widetilde{J}|_V = \mathcal{O}_V\). Nous avons donc construit une section \(s \in \mathcal{F}(V)\). Nous omettons le calcul qui montre que \(s\) s’envoie sur \(\hat s\) par l’application affichée ci-dessus.

Le lemme suivant sera supplanté par la proposition 0EG2.

Lemme

Soient \(I \subset \mathfrak a\) des idéaux d’un anneau noethérien \(A\). Soit \(\mathcal{F}\) un module cohérent sur \(U = \Spec(A) \setminus V(\mathfrak a)\). Supposons que

1. \(A\) soit complet pour la topologie \(I\)-adique et possède un complexe dualisant,

2. si \(x \in \text{Ass}(\mathcal{F})\), \(x \not \in V(I)\), \(\overline{\{x\}} \cap V(I) \not \subset V(\mathfrak a)\), et \(z \in \overline{\{x\}} \cap V(\mathfrak a)\), alors \(\dim(\mathcal{O}_{\overline{\{x\}}, z}) > \text{cd}(A, I) + 1\),

3. l’une des conditions suivantes soit satisfaite :

   1. la restriction de \(\mathcal{F}\) à \(U \setminus V(I)\) est \((S_1)\),

   2. la dimension de \(V(\mathfrak a)\) est au plus \(2\)⁴.

Alors on obtient un isomorphisme \[\colim H^0(V, \mathcal{F}) \longrightarrow \lim H^0(U, \mathcal{F}/I^n\mathcal{F})\] où la limite inductive porte sur les ouverts \(V \subset U\) contenant \(U \cap V(I)\).

Démonstration

Choisissons un \(A\)-module de type fini \(M\) tel que \(\mathcal{F}\) soit la restriction à \(U\) du module cohérent associé à \(M\) ; voir Cohomologie locale, lemme 0BK0. Posons \(d = \text{cd}(A, I)\). Soit \(\mathfrak p\) un idéal premier de \(A\) n’appartenant pas à \(V(I)\), et soit \(\mathfrak q \in V(\mathfrak p) \cap V(\mathfrak a)\). Alors, ou bien \(\mathfrak p\) n’est pas un idéal premier associé de \(M\) et donc \(\text{depth}(M_\mathfrak p) \geq 1\), ou bien on a \(\dim((A/\mathfrak p)_\mathfrak q) > d + 1\) d’après (2). Ainsi, les hypothèses du lemme 0EFL sont satisfaites pour \(s = 1\) et \(d\) ; on utilise ici la condition (3). On trouve donc un idéal \(J_0 \subset \mathfrak a\) avec \(V(J_0) \cap V(I) = V(\mathfrak a)\) tel que, pour tout \(J \subset J_0\) avec \(V(J) \cap V(I) = V(\mathfrak a)\), les applications \[H^i_J(M) \longrightarrow H^i(R\Gamma_\mathfrak a(M)^\wedge)\] soient des isomorphismes pour \(i = 0, 1\). Considérons les morphismes de triangles exacts \[\xymatrix{ R\Gamma_J(M) \ar[d] \ar[r] & M \ar[r] \ar[d] & R\Gamma(V, \mathcal{F}) \ar[d] \ar[r] & R\Gamma_J(M)[1] \ar[d] \\ R\Gamma_J(M)^\wedge \ar[r] & M \ar[r] & R\Gamma(V, \mathcal{F})^\wedge \ar[r] & R\Gamma_J(M)^\wedge[1] \\ R\Gamma_\mathfrak a(M)^\wedge \ar[r] \ar[u] & M \ar[r] \ar[u] & R\Gamma(U, \mathcal{F})^\wedge \ar[r] \ar[u] & R\Gamma_\mathfrak a(M)^\wedge[1] \ar[u] }\] où \(V = \Spec(A) \setminus V(J)\). Rappelons que \(R\Gamma_\mathfrak a(M)^\wedge \to R\Gamma_J(M)^\wedge\) est un isomorphisme (parce que \(\mathfrak a\), \(\mathfrak a + I\) et \(J + I\) définissent le même sous-schéma fermé ; voir par exemple la démonstration du lemme 0EFL). Par conséquent, \(R\Gamma(U, \mathcal{F})^\wedge = R\Gamma(V, \mathcal{F})^\wedge\). On obtient ainsi un diagramme commutatif \[\xymatrix{ 0 \ar[r] & H^0_J(M) \ar[r] \ar[d] & M \ar[r] \ar[d] \ar[r] & \Gamma(V, \mathcal{F}) \ar[d] \ar[r] & H^1_J(M) \ar[d] \ar[r] & 0 \\ 0 \ar[r] & H^0(R\Gamma_J(M)^\wedge) \ar[r] & M \ar[r] & H^0(R\Gamma(V, \mathcal{F})^\wedge) \ar[r] & H^1(R\Gamma_J(M)^\wedge) \ar[r] & 0 \\ 0 \ar[r] & H^0(R\Gamma_\mathfrak a(M)^\wedge) \ar[r] \ar[u] & M \ar[r] \ar[u] & H^0(R\Gamma(U, \mathcal{F})^\wedge) \ar[r] \ar[u] & H^1(R\Gamma_\mathfrak a(M)^\wedge) \ar[r] \ar[u] & 0 }\] dont les lignes sont exactes et dont les flèches verticales inférieures sont des isomorphismes. Ainsi, on obtient un isomorphisme \(\Gamma(V, \mathcal{F}) \to H^0(R\Gamma(U, \mathcal{F})^\wedge)\). D’après les lemmes 0BLX et 0A0K, on a \[R\Gamma(U, \mathcal{F})^\wedge = R\Gamma(U, \mathcal{F}^\wedge) = R\Gamma(U, R\lim \mathcal{F}/I^n\mathcal{F})\] et l’on trouve \(H^0(R\Gamma(U, \mathcal{F})^\wedge) = \lim H^0(U, \mathcal{F}/I^n\mathcal{F})\) d’après Cohomologie, lemme 0D60.

Nous appliquons maintenant un argument d’amorçage au lemme précédent afin d’éliminer la condition (3).

Proposition

Soient \(I \subset \mathfrak a\) des idéaux d’un anneau noethérien \(A\). Soit \(\mathcal{F}\) un module cohérent sur \(U = \Spec(A) \setminus V(\mathfrak a)\). Supposons que

1. \(A\) soit complet pour la topologie \(I\)-adique et possède un complexe dualisant,

2. si \(x \in \text{Ass}(\mathcal{F})\), \(x \not \in V(I)\), \(\overline{\{x\}} \cap V(I) \not \subset V(\mathfrak a)\), et \(z \in \overline{\{x\}} \cap V(\mathfrak a)\), alors \(\dim(\mathcal{O}_{\overline{\{x\}}, z}) > \text{cd}(A, I) + 1\).

Alors on obtient un isomorphisme \[\colim H^0(V, \mathcal{F}) \longrightarrow \lim H^0(U, \mathcal{F}/I^n\mathcal{F})\] où la limite inductive porte sur les ouverts \(V \subset U\) contenant \(U \cap V(I)\).

Démonstration

Soit \(T \subset U\) l’ensemble des points \(x\) tels que \(\overline{\{x\}} \cap V(I) \subset V(\mathfrak a)\). Soit \(\mathcal{F} \to \mathcal{F}'\) la surjection de modules cohérents sur \(U\) construite dans Cohomologie locale, lemme 0DX3. Comme \(\mathcal{F} \to \mathcal{F}'\) est un isomorphisme au-dessus d’un ouvert \(V \subset U\) contenant \(U \cap V(I)\), il suffit de démontrer le lemme après avoir remplacé \(\mathcal{F}\) par \(\mathcal{F}'\). On peut donc supposer, et l’on suppose, que pour \(x \in U\) tel que \(\overline{\{x\}} \cap V(I) \subset V(\mathfrak a)\), on a \(\text{depth}(\mathcal{F}_x) \geq 1\).

Soit \(\mathcal{V}\) l’ensemble des sous-schémas ouverts \(V \subset U\) contenant \(U \cap V(I)\), ordonné par l’inclusion inverse. C’est un ensemble ordonné filtrant. Nous affirmons d’abord que \[\mathcal{F}(V) \longrightarrow \lim H^0(U, \mathcal{F}/I^n\mathcal{F})\] est injective pour tout \(V \in \mathcal{F}\) (et, en particulier, l’application du lemme est injective). En effet, tout point associé \(x\) de \(\mathcal{F}\) doit vérifier \(\overline{\{x\}} \cap U \cap Y \not = \emptyset\) d’après le paragraphe précédent. Si \(y \in \overline{\{x\}} \cap U \cap Y\), alors \(\mathcal{F}_x\) est un localisé de \(\mathcal{F}_y\) et \(\mathcal{F}_y \subset \lim \mathcal{F}_y/I^n \mathcal{F}_y\) d’après le théorème d’intersection de Krull (Algèbre, lemme 00IP). Cela prouve l’assertion, car une section \(s \in \mathcal{F}(V)\) appartenant au noyau devrait avoir un support vide et serait donc nulle.

Choisissons un \(A\)-module de type fini \(M\) tel que \(\mathcal{F}\) soit la restriction de \(\widetilde{M}\) à \(U\) ; voir Cohomologie locale, lemme 0BK0. On peut supposer, et l’on suppose, que \(H^0_\mathfrak a(M) = 0\). Posons \(\text{Ass}(M) \setminus V(I) = \{\mathfrak p_1, \ldots, \mathfrak p_n\}\). Nous allons démontrer le lemme par récurrence sur \(n\). Après réindexation, on peut supposer que \(\mathfrak p_n\) est un élément minimal de l’ensemble \(\{\mathfrak p_1, \ldots, \mathfrak p_n\}\) pour l’inclusion, c’est-à-dire que \(\mathfrak p_n\) est un point générique du support de \(M\). Posons \[M' = H^0_{\mathfrak p_1 \ldots \mathfrak p_{n - 1} I}(M)\] et \(M'' = M/M'\). Soient \(\mathcal{F}'\) et \(\mathcal{F}''\) les \(\mathcal{O}_U\)-modules cohérents correspondant à \(M'\) et \(M''\). Complexes dualisants, lemme 0AW0, entraîne que \(M''\) ne possède qu’un seul idéal premier associé, à savoir \(\mathfrak p_n\). Ainsi, \(\mathcal{F}''\) ne possède qu’un seul point associé, et on voit que la condition (3)(a) du lemme 0EIF est satisfaite ; l’application \(\colim H^0(V, \mathcal{F}'') \to \lim H^0(U, \mathcal{F}''/I^n\mathcal{F}'')\) est donc un isomorphisme. D’autre part, puisque \(\mathfrak p_n \not \in V(\mathfrak p_1 \ldots \mathfrak p_{n - 1} I)\) on voit que \(\mathfrak p_n\) n’est pas un idéal premier associé de \(M'\). L’hypothèse de récurrence s’applique donc à \(M'\) ; remarquons que, puisque \(\mathcal{F}' \subset \mathcal{F}\), la condition \(\text{depth}(\mathcal{F}'_x) \geq 1\) est satisfaite aux points \(x\) tels que \(\overline{\{x\}} \cap V(I) \subset V(\mathfrak a)\) ; voir Algèbre, lemme 00LX. Ainsi, l’application \(\colim H^0(V, \mathcal{F}') \to \lim H^0(U, \mathcal{F}'/I^n\mathcal{F}')\) est également un isomorphisme. On conclut par le lemme 0H48.

Lemme

Soient \(I \subset \mathfrak a\) des idéaux d’un anneau noethérien \(A\). Soit \(\mathcal{F}\) un module cohérent sur \(U = \Spec(A) \setminus V(\mathfrak a)\). Supposons que

1. \(A\) soit complet pour la topologie \(I\)-adique et possède un complexe dualisant,

2. si \(x \in \text{Ass}(\mathcal{F})\), \(x \not \in V(I)\), \(\overline{\{x\}} \cap V(I) \not \subset V(\mathfrak a)\), et \(z \in V(\mathfrak a) \cap \overline{\{x\}}\), alors \(\dim(\mathcal{O}_{\overline{\{x\}}, z}) > \text{cd}(A, I) + 1\),

3. pour \(x \in U\) tel que \(\overline{\{x\}} \cap V(I) \subset V(\mathfrak a)\), on ait \(\text{depth}(\mathcal{F}_x) \geq 2\),

alors on obtient un isomorphisme \[H^0(U, \mathcal{F}) \longrightarrow \lim H^0(U, \mathcal{F}/I^n\mathcal{F})\]

Démonstration

Soit \(\hat s \in \lim H^0(U, \mathcal{F}/I^n\mathcal{F})\). D’après la proposition 0EG2, on trouve que \(\hat s\) est l’image d’un élément \(s \in \mathcal{F}(V)\) pour un certain ouvert \(V \subset U\) contenant \(U \cap V(I)\). Cependant, la condition (3) montre que \(\text{depth}(\mathcal{F}_x) \geq 2\) pour tout \(x \in U \setminus V\), et l’on trouve donc \(\mathcal{F}(V) = \mathcal{F}(U)\) d’après Diviseurs, lemme 0E9I, ce qui achève la démonstration.

Lemme

Soit \(A\) un anneau noethérien. Soit \(f \in \mathfrak a \subset A\) un élément d’un idéal de \(A\). Soit \(M\) un \(A\)-module de type fini. Supposons que

1. \(A\) soit complet pour la topologie \(f\)-adique,

2. \(f\) soit un non-diviseur de zéro dans \(M\),

3. \(H^1_\mathfrak a(M/fM)\) soit un \(A\)-module de type fini.

Alors, pour \(U = \Spec(A) \setminus V(\mathfrak a)\), l’application \[\colim_V \Gamma(V, \widetilde{M}) \longrightarrow \lim \Gamma(U, \widetilde{M/f^nM})\] est un isomorphisme, où la limite inductive porte sur les ouverts \(V \subset U\) contenant \(U \cap V(f)\).

Démonstration

Posons \(\mathcal{F} = \widetilde{M}|_U\). Le fait que \(H^1_\mathfrak a(M/fM)\) soit de type fini entraîne que \(H^0(U, \mathcal{F}/f\mathcal{F})\) est de type fini ; voir Cohomologie locale, lemme 0BK0. D’après Cohomologie, lemme 0BLB (qui s’applique puisque \(f\) est un non-diviseur de zéro dans \(\mathcal{F}\)), on voit que \(N = \lim H^0(U, \mathcal{F}/f^n\mathcal{F})\) est un \(A\)-module de type fini, est sans \(f\)-torsion, et que \(N/fN \subset H^0(U, \mathcal{F}/f\mathcal{F})\). D’autre part, on a une application \(M \to N\) et une application compatible \[M/fM \longrightarrow H^0(U, \mathcal{F}/f\mathcal{F})\] Pour \(g \in \mathfrak a\), on voit que \((M/fM)_g\) s’envoie isomorphiquement sur \(H^0(U \cap D(f), \mathcal{F}/f\mathcal{F})\), puisque \(\mathcal{F}/f\mathcal{F}\) est la restriction de \(\widetilde{M/fM}\) à \(U\). On en conclut que \(M_g \to N_g\) induit un isomorphisme \[M_g/fM_g = (M/fM)_g \to (N/fN)_g = N_g/fN_g\] Puisque \(f\) est un non-diviseur de zéro à la fois dans \(N\) et dans \(M\), on en conclut que \(M_g \to N_g\) induit un isomorphisme sur les complétés \(f\)-adiques, ce qui entraîne à son tour que \(M_g \to N_g\) est un isomorphisme dans un voisinage ouvert de \(V(f) \cap D(g)\). Comme \(g \in \mathfrak a\) était arbitraire, on conclut que \(M\) et \(N\) définissent des modules cohérents isomorphes au-dessus d’un ouvert \(V\) comme dans l’énoncé du lemme. Cela achève la démonstration.

Proposition

Soit \(A\) un anneau noethérien. Soit \(f \in \mathfrak a \subset A\) un élément d’un idéal de \(A\). Soit \(\mathcal{F}\) un module cohérent sur \(U = \Spec(A) \setminus V(\mathfrak a)\). Supposons que

1. \(A\) soit complet pour la topologie \(f\)-adique et possède un complexe dualisant,

2. si \(x \in \text{Ass}(\mathcal{F})\), \(x \not \in V(f)\), \(\overline{\{x\}} \cap V(f) \not \subset V(\mathfrak a)\), et \(z \in \overline{\{x\}} \cap V(\mathfrak a)\), alors \(\dim(\mathcal{O}_{\overline{\{x\}}, z}) > 2\).

Alors l’application \[\colim_V \Gamma(V, \mathcal{F}) \longrightarrow \lim \Gamma(U, \mathcal{F}/f^n\mathcal{F})\] est un isomorphisme, où la limite inductive porte sur les ouverts \(V \subset U\) contenant \(U \cap V(f)\).

Démonstration

Rappelons que \(A\) est universellement caténaire et à fibres formelles de Gorenstein ; voir Complexes dualisants, lemmes 0AWY et 0A80. On peut donc considérer l’application \(\mathcal{F} \to \mathcal{F}'\) construite dans Cohomologie locale, lemme 0DX5 pour la partie fermée \(V(f) \cap U\) de \(U\). Remarquons que

1. Le noyau et le conoyau de \(\mathcal{F} \to \mathcal{F}'\) ont leur support dans \(V(f) \cap U\).

2. Le module \(\mathcal{F}'\) est sans \(f\)-torsion, car ses germes sont de profondeur \(\geq 1\) en tout point de \(V(f) \cap U\), c’est-à-dire que \(\mathcal{F}'\) n’a aucun point associé dans \(V(f) \cap U\).

3. Si \(y \in V(f) \cap U\) est un point associé de \(\mathcal{F}'/f\mathcal{F}'\), alors \(\text{depth}(\mathcal{F}'_y) = 1\) et, par conséquent (d’après la construction de \(\mathcal{F}'\)), il existe une spécialisation immédiate \(x \leadsto y\), où \(x \not \in V(f)\) est un point associé de \(\mathcal{F}\). Il résulte de notre hypothèse (2) que \(y\) ne peut admettre dans \(\Spec(A)\) une spécialisation immédiate en un point \(z \in V(\mathfrak a)\).

4. Il résulte de (3) que \(H^0(U, \mathcal{F}'/f\mathcal{F}')\) est un \(A\)-module de type fini ; voir Cohomologie locale, lemme 0BJY.

Ces remarques vont nous permettre d’achever la démonstration.

Nous affirmons d’abord que le lemme vaut pour \(\mathcal{F}'\). Choisissons en effet un \(A\)-module de type fini \(M'\) tel que \(\mathcal{F}'\) soit la restriction à \(U\) du module cohérent associé à \(M'\) ; voir Cohomologie locale, lemme 0BK0. Comme \(\mathcal{F}'\) est sans \(f\)-torsion, on peut également supposer que \(M'\) est sans \(f\)-torsion. La remarque (4) ci-dessus montre que \(H^1_\mathfrak a(M')\) est un \(A\)-module de type fini ; voir Cohomologie locale, lemme 0BK0. L’assertion résulte donc du lemme 0EIH.

Deuxièmement, remarquons que le lemme vaut trivialement pour tout \(\mathcal{O}_U\)-module cohérent à support dans \(V(f) \cap U\). Soient \(\mathcal{K}\), resp. \(\mathcal{G}\), resp. \(\mathcal{Q}\) le noyau, resp. l’image, resp. le conoyau de l’application \(\mathcal{F} \to \mathcal{F}'\). La suite exacte courte \(0 \to \mathcal{G} \to \mathcal{F}' \to \mathcal{Q} \to 0\) et le lemme 0H48 montrent que le résultat vaut pour \(\mathcal{G}\). On procède ensuite de même avec la suite exacte courte \(0 \to \mathcal{K} \to \mathcal{F} \to \mathcal{G} \to 0\) pour achever la démonstration.

Démonstration

La proposition est un cas particulier de la proposition 0EG2.

Lemme

Soit \(A\) un anneau noethérien. Soit \(f \in \mathfrak a \subset A\) un élément d’un idéal de \(A\). Soit \(M\) un \(A\)-module de type fini. Supposons que

1. \(A\) soit complet pour la topologie \(f\)-adique,

2. \(H^1_\mathfrak a(M)\) et \(H^2_\mathfrak a(M)\) soient annulés par une puissance de \(f\).

Alors, pour \(U = \Spec(A) \setminus V(\mathfrak a)\), l’application \[\Gamma(U, \widetilde{M}) \longrightarrow \lim \Gamma(U, \widetilde{M/f^nM})\] est un isomorphisme.

Démonstration

On peut appliquer le lemme 0BLD à \(U\) et à \(\mathcal{F} = \widetilde{M}|_U\), car \(\mathcal{F}\) est un objet noethérien de la catégorie des \(\mathcal{O}_U\)-modules cohérents. Puisque \(H^1(U, \mathcal{F}) = H^2_\mathfrak a(M)\) (Cohomologie locale, lemme 0BK0) est annulé par une puissance de \(f\), on voit que son module de Tate \(f\)-adique est nul. Le lemme montre donc que \(\lim H^0(U, \mathcal{F}/f^n \mathcal{F})\) est égal au complété \(f\)-adique usuel de \(H^0(U, \mathcal{F})\). Considérons la suite exacte courte \[0 \to M/H^0_\mathfrak a(M) \to H^0(U, \mathcal{F}) \to H^1_\mathfrak a(M) \to 0\] de Cohomologie locale, lemme 0BK0. Comme \(M/H^0_\mathfrak a(M)\) est un \(A\)-module de type fini, il est complet ; voir Algèbre, lemme 00MA. Comme \(H^1_\mathfrak a(M)\) est annulé par une puissance de \(f\), on déduit d’Algèbre, lemme 0BNG, que \(H^0(U, \mathcal{F})\) est également complet. Cela achève la démonstration.

Algébrisation des sections formelles, III

La section suivante contient une liste non exhaustive d’applications des résultats sur la complétion de la cohomologie locale à la cohomologie supérieure des modules cohérents sur les schémas quasi-affines et à leur complétion relativement à un idéal.

Proposition

Soient \(I \subset \mathfrak a\) des idéaux d’un anneau noethérien \(A\). Soit \(\mathcal{F}\) un module cohérent sur \(U = \Spec(A) \setminus V(\mathfrak a)\). Soit \(s \geq 0\). Supposons que

1. \(A\) soit complet pour la topologie \(I\)-adique et possède un complexe dualisant,

2. si \(x \in U \setminus V(I)\), alors \(\text{depth}(\mathcal{F}_x) > s\) ou \[\text{depth}(\mathcal{F}_x) + \dim(\mathcal{O}_{\overline{\{x\}}, z}) > \text{cd}(A, I) + s + 1\] pour tout \(z \in V(\mathfrak a) \cap \overline{\{x\}}\),

3. l’une des conditions suivantes soit satisfaite :

   1. la restriction de \(\mathcal{F}\) à \(U \setminus V(I)\) soit \((S_{s + 1})\), ou

   2. la dimension de \(V(\mathfrak a)\) soit au plus \(2\)⁵.

Alors les applications \[H^i(U, \mathcal{F}) \longrightarrow \lim H^i(U, \mathcal{F}/I^n\mathcal{F})\] sont des isomorphismes pour \(i < s\). De plus, on a un isomorphisme \[\colim H^s(V, \mathcal{F}) \longrightarrow \lim H^s(U, \mathcal{F}/I^n\mathcal{F})\] où la limite inductive porte sur les ouverts \(V \subset U\) contenant \(U \cap V(I)\).

Démonstration

On peut supposer \(s > 0\), puisque le cas \(s = 0\) a été traité dans la proposition 0EG2.

Choisissons un \(A\)-module de type fini \(M\) tel que \(\mathcal{F}\) soit la restriction à \(U\) du module cohérent associé à \(M\) ; voir Cohomologie locale, lemme 0BK0. Posons \(d = \text{cd}(A, I)\). Soit \(\mathfrak p\) un idéal premier de \(A\) n’appartenant pas à \(V(I)\), et soit \(\mathfrak q \in V(\mathfrak p) \cap V(\mathfrak a)\). Alors ou bien \(\text{depth}(M_\mathfrak p) \geq s + 1 > s\), ou bien \(\dim((A/\mathfrak p)_\mathfrak q) > d + s + 1\) d’après (2). D’après le lemme 0EFW, on en conclut que les hypothèses de la situation 0EFU sont satisfaites pour \(A, I, V(\mathfrak a), M, s, d\). D’autre part, les hypothèses du lemme 0EFL sont satisfaites pour \(s + 1\) et \(d\) ; c’est ici que l’on utilise la condition (3).

En appliquant le lemme 0EFL, on trouve qu’il existe un idéal \(J_0 \subset \mathfrak a\) tel que \(V(J_0) \cap V(I) = V(\mathfrak a)\) et que, pour tout \(J \subset J_0\) tel que \(V(J) \cap V(I) = V(\mathfrak a)\), les applications \[H^i_J(M) \longrightarrow H^i(R\Gamma_\mathfrak a(M)^\wedge)\] sont des isomorphismes pour \(i \leq s + 1\).

Pour \(i \leq s\), l’application \(H^i_\mathfrak a(M) \to H^i_J(M)\) est un isomorphisme d’après les lemmes 0EFV et 0EFK. En utilisant la comparaison entre cohomologie et cohomologie locale (Cohomologie locale, lemme 0DWR), on déduit que \(H^i(U, \mathcal{F}) \to H^i(V,\mathcal{F})\) est un isomorphisme pour \(V = \Spec(A) \setminus V(J)\) et \(i < s\).

D’après le théorème 0EIE, on a \(H^i_\mathfrak a(M) = \lim H^i_\mathfrak a(M/I^nM)\) pour \(i \leq s\). D’après le lemme 0EG0, on a \(H^{s + 1}_\mathfrak a(M) = \lim H^{s + 1}_\mathfrak a(M/I^nM)\).

L’isomorphisme \(H^0(U, \mathcal{F}) = H^0(V, \mathcal{F}) = \lim H^0(U, \mathcal{F}/I^n\mathcal{F})\) résulte de ce qui précède et de la proposition 0EG2. Pour \(0 < i < s\), on obtient les isomorphismes voulus \(H^i(U, \mathcal{F}) = H^i(V, \mathcal{F}) = \lim H^i(U, \mathcal{F}/I^n\mathcal{F})\) de la même manière, en utilisant la relation entre cohomologie locale et cohomologie ; c’est plus facile que le cas \(i = 0\), car, pour \(i > 0\), on a \[H^i(U, \mathcal{F}) = H^{i + 1}_\mathfrak a(M), \quad H^i(V, \mathcal{F}) = H^{i + 1}_J(M), \quad H^i(R\Gamma(U, \mathcal{F})^\wedge) = H^{i + 1}(R\Gamma_\mathfrak a(M)^\wedge)\] On procède de même pour la dernière assertion.

Lemme

Soit \(A\) un anneau noethérien. Soit \(f \in \mathfrak a \subset A\) un élément d’un idéal de \(A\). Soit \(M\) un \(A\)-module de type fini. Soit \(s \geq 0\). Supposons que

1. \(A\) soit complet pour la topologie \(f\)-adique,

2. \(H^i_\mathfrak a(M)\) soit annulé par une puissance de \(f\) pour \(i \leq s + 1\).

Alors, pour \(U = \Spec(A) \setminus V(\mathfrak a)\), l’application \[H^i(U, \widetilde{M}) \longrightarrow \lim H^i(U, \widetilde{M/f^nM})\] est un isomorphisme pour \(i < s\).

Démonstration

Procédons par récurrence sur \(s\). Si \(s = 0\), l’assertion est vide. Si \(s = 1\), le résultat est le lemme 0EII. Supposons \(s > 1\). Par récurrence, il suffit de démontrer le résultat pour \(i = s - 1 \geq 1\). On peut appliquer le lemme 0BLD à \(U\) et à \(\mathcal{F} = \widetilde{M}|_U\), car \(\mathcal{F}\) est un objet noethérien de la catégorie des \(\mathcal{O}_U\)-modules cohérents. Remarquons que \(H^j(U, \mathcal{F}) = H^{j + 1}_\mathfrak a(M)\) pour tout \(j\), d’après Cohomologie locale, lemme 0BK0. Ainsi, pour \(j = s = (s - 1) + 1\), ce module est annulé par une puissance de \(f\) d’après l’hypothèse. Il résulte alors du lemme 0BLD que \(\lim H^{s - 1}(U, \mathcal{F}/f^n\mathcal{F})\) est le complété \(f\)-adique usuel de \(H^{s - 1}(U, \mathcal{F})\). En utilisant de nouveau le fait que ce module est annulé par une puissance de \(f\), on voit que le complété est simplement égal à \(H^{s - 1}(U, \mathcal{F})\), comme voulu.

Application à la connexité

Dans cette section, nous étudions le théorème de connexité de Grothendieck et ses variantes ; la version originale se trouve dans [SGA2, Exposee XIII, théorème 2.1]. Il existe dans la littérature une version appelée théorème de connexité de Faltings ; nous supposons qu’il s’agit de [Faltings-some, théorème 6]. Énonçons et démontrons la version optimale pour les anneaux locaux complets donnée dans [Varbaro, théorème 1.6].

Lemme

Soit \((A, \mathfrak m)\) un anneau local noethérien complet. Soit \(I\) un idéal propre de \(A\). Posons \(X = \Spec(A)\) et \(Y = V(I)\). Notons

1. \(d\) la dimension minimale d’une composante irréductible de \(X\), et

2. \(c\) la dimension minimale d’une partie fermée \(Z \subset X\) telle que \(X \setminus Z\) soit non connexe.

Alors, pour toute partie fermée \(Z \subset Y\), l’espace \(Y \setminus Z\) est connexe si \(\dim(Z) < \min(c, d - 1) - \text{cd}(A, I)\). En particulier, le spectre épointé de \(A/I\) est connexe si \(\text{cd}(A, I) < \min(c, d - 1)\).

Démonstration

Démontrons d’abord la dernière assertion. Supposons premièrement que le spectre épointé de \(A/I\) soit vide. Alors Cohomologie locale, lemme 0DXF, montre que toute composante irréductible de \(X\) est de dimension \(\leq \text{cd}(A, I)\), et l’on obtient \(\min(c, d - 1) - \text{cd}(A, I) < 0\), ce qui entraîne que le lemme vaut dans ce cas. On peut donc supposer que \(U \cap Y\) est non vide, où \(U = X \setminus \{\mathfrak m\}\) est le spectre épointé de \(A\). On peut remplacer \(A\) par son réduit. Remarquons que \(A\) possède un complexe dualisant (Complexes dualisants, lemme 0BFR) et que \(A\) est complet relativement à \(I\) (Algèbre, lemme 090T). Si l’on suppose \(d - 1 > \text{cd}(A, I)\), on peut appliquer le lemme 0DXR pour voir que \[\colim H^0(V, \mathcal{O}_V) \longrightarrow \lim H^0(U, \mathcal{O}_U/I^n\mathcal{O}_U)\] est un isomorphisme, où la limite inductive porte sur les ouverts \(V \subset U\) contenant \(U \cap Y\). Si \(U \cap Y\) n’est pas connexe, alors son \(n\)-ième voisinage infinitésimal dans \(U\) n’est pas connexe pour tout \(n\), et l’on trouve que le membre de droite possède un idempotent non trivial (on utilise ici que \(U \cap Y\) est non vide). On peut donc trouver un \(V\) qui n’est pas connexe. Posons \(Z = X \setminus V\). D’après Cohomologie locale, lemme 0DXF, on voit que toute composante irréductible de \(Z\) est de dimension \(\leq \text{cd}(A, I)\). Ainsi \(c \leq \text{cd}(A, I)\), ce qui démontre bien la dernière assertion.

On peut déduire l’énoncé du lemme de ce que l’on vient de démontrer, comme suit. Supposons que \(Z \subset Y\) soit fermé, que \(Y \setminus Z\) ne soit pas connexe et que \(\dim(Z) = e\). Rappelons que, par convention, un espace connexe est non vide. On conclut donc que soit (a) \(Y = Z\), soit (b) \(Y \setminus Z = W_1 \amalg W_2\), avec les \(W_i\) non vides, ouverts et fermés dans \(Y \setminus Z\). Dans le cas (b), on peut choisir des points \(w_i \in W_i\) qui sont fermés dans \(U\) ; voir Morphismes, lemme 02J6. On peut alors trouver \(f_1, \ldots, f_e \in \mathfrak m\) tels que \(V(f_1, \ldots, f_e) \cap Z = \{\mathfrak m\}\) et, dans le cas (b), on peut supposer \(w_i \in V(f_1, \ldots, f_e)\). En effet, par récurrence et en évitant les idéaux premiers, on peut choisir \(f_i\) tel que \(\dim V(f_1, \ldots, f_i) \cap Z = e - i\) et tel que, dans le cas (b), on ait \(w_1, w_2 \in V(f_i)\). Il s’ensuit que le spectre épointé de \(A/I + (f_1, \ldots, f_e)\) n’est pas connexe (on omet un petit détail). Puisque \(\text{cd}(A, I + (f_1, \ldots, f_e)) \leq \text{cd}(A, I) + e\) d’après Cohomologie locale, lemmes 0ECP et 0DX9, on conclut que \[\text{cd}(A, I) + e \geq \min(c, d - 1)\] d’après la première partie de la démonstration. Cela entraîne \(e \geq \min(c, d - 1) - \text{cd}(A, I)\), ce qu’il fallait démontrer.

Lemme

Soient \(I \subset \mathfrak a\) des idéaux d’un anneau noethérien \(A\). Supposons que

1. \(A\) soit complet pour la topologie \(I\)-adique et possède un complexe dualisant,

2. si \(\mathfrak p \subset A\) est un idéal premier minimal n’appartenant pas à \(V(I)\) et si \(\mathfrak q \in V(\mathfrak p) \cap V(\mathfrak a)\), alors \(\dim((A/\mathfrak p)_\mathfrak q) > \text{cd}(A, I) + 1\),

3. tout ouvert non vide \(V \subset \Spec(A)\) qui contient \(V(I) \setminus V(\mathfrak a)\) soit connexe⁶.

Alors \(V(I) \setminus V(\mathfrak a)\) est vide ou connexe.

Démonstration

On peut remplacer \(A\) par son réduit. On dispose alors de l’inégalité de (2) pour tous les idéaux premiers associés de \(A\). D’après la proposition 0EG2, on voit que \[\colim H^0(V, \mathcal{O}_V) = \lim H^0(T_n, \mathcal{O}_{T_n})\] où la limite inductive porte sur les ouverts \(V\) comme dans (3), et où \(T_n\) est le \(n\)-ième voisinage infinitésimal de \(T = V(I) \setminus V(\mathfrak a)\) dans \(U = \Spec(A) \setminus V(\mathfrak a)\). Ainsi, \(T\) est vide ou connexe ; sinon, le membre de droite posséderait en effet un idempotent non trivial, tandis que l’on a supposé que le membre de gauche n’en possède pas. On omet quelques détails.

Lemme

Soit \(A\) un domaine noethérien qui possède un complexe dualisant et qui est complet relativement à un élément non nul \(f \in A\). Soit \(f \in \mathfrak a \subset A\) un idéal. Supposons que toute composante irréductible de \(Z = V(\mathfrak a)\) soit de codimension \(> 2\) dans \(X = \Spec(A)\), c’est-à-dire que toute composante irréductible de \(Z\) soit de codimension \(> 1\) dans \(Y = V(f)\). Alors \(Y \setminus Z\) est connexe.

Démonstration

C’est un cas particulier du lemme 0EG5 (dont la démonstration repose sur la proposition 0EG2). Nous le démontrons ci-dessous à l’aide de la proposition 0H49, plus facile.

Posons \(U = X \setminus Z\). D’après la proposition 0H49, on a un isomorphisme \[\colim \Gamma(V, \mathcal{O}_V) \to \lim_n \Gamma(U, \mathcal{O}_U/f^n \mathcal{O}_U)\] où la limite inductive porte sur les ouverts \(V \subset U\) contenant \(U \cap Y\). Ainsi, si \(U \cap Y\) n’est pas connexe, il existe pour un certain \(V\) un idempotent non trivial dans \(\Gamma(V, \mathcal{O}_V)\). C’est impossible, car \(V\) est un schéma intègre puisque \(X\) est le spectre d’un domaine.

Le foncteur de complétion

Soit \(X\) un schéma noethérien. Soit \(Y \subset X\) un sous-schéma fermé de faisceau quasi-cohérent d’idéaux \(\mathcal{I} \subset \mathcal{O}_X\). Dans cette section, nous considérons les systèmes projectifs de \(\mathcal{O}_X\)-modules cohérents \((\mathcal{F}_n)\) tels que \(\mathcal{F}_n\) soit annulé par \(I^n\) et que les applications de transition induisent des isomorphismes \(\mathcal{F}_{n + 1}/I^n\mathcal{F}_{n + 1} \to \mathcal{F}_n\). La catégorie de ces systèmes projectifs a été notée \[\textit{Coh}(X, \mathcal{I})\] dans Cohomologie des schémas, section 0EHN. Cette catégorie est équivalente à la catégorie des modules cohérents sur le complété formel de \(X\) le long de \(Y\) ; cependant, comme nous n’avons pas encore introduit les schémas formels ni les modules cohérents sur ceux-ci, nous ne pouvons employer ici cette terminologie. Nous nous intéressons tout particulièrement au foncteur de complétion \[\textit{Coh}(\mathcal{O}_X) \longrightarrow \textit{Coh}(X, \mathcal{I}),\quad \mathcal{F} \longmapsto \mathcal{F}^\wedge\] Voir Cohomologie des schémas, équation (0880).

Lemme

Soit \(X\) un schéma noethérien et soit \(Y \subset X\) un sous-schéma fermé. Soit \(Y_n \subset X\) le \(n\)-ième voisinage infinitésimal de \(Y\) dans \(X\). Considérons les conditions suivantes :

1. \(X\) est quasi-affine et \(\Gamma(X, \mathcal{O}_X) \to \lim \Gamma(Y_n, \mathcal{O}_{Y_n})\) est un isomorphisme,

2. \(X\) possède un module inversible ample \(\mathcal{L}\) et \(\Gamma(X, \mathcal{L}^{\otimes m}) \to \lim \Gamma(Y_n, \mathcal{L}^{\otimes m}|_{Y_n})\) est un isomorphisme pour tout \(m \gg 0\),

3. pour tout \(\mathcal{O}_X\)-module de type fini et localement libre \(\mathcal{E}\), l’application \(\Gamma(X, \mathcal{E}) \to \lim \Gamma(Y_n, \mathcal{E}|_{Y_n})\) est un isomorphisme, et

4. le foncteur de complétion \(\textit{Coh}(\mathcal{O}_X) \to \textit{Coh}(X, \mathcal{I})\) est pleinement fidèle sur la sous-catégorie pleine des objets de type fini et localement libres.

Alors (1) \(\Rightarrow\) (2) \(\Rightarrow\) (3) \(\Rightarrow\) (4) et (4) \(\Rightarrow\) (3).

Démonstration

Preuve de (3) \(\Rightarrow\) (4). Si \(\mathcal{F}\) et \(\mathcal{G}\) sont de type fini et localement libres sur \(X\), alors, en considérant \(\mathcal{H} = \SheafHom_{\mathcal{O}_X}(\mathcal{G}, \mathcal{F})\) et en utilisant Cohomologie des schémas, lemme 0882 on voit que (3) entraîne (4).

Preuve de (2) \(\rightarrow\) (3). Soit en effet \(\mathcal{L}\) ample sur \(X\), et supposons que \(\mathcal{E}\) soit un \(\mathcal{O}_X\)-module de type fini et localement libre. Nous affirmons que l’on peut trouver une suite universellement exacte \[0 \to \mathcal{E} \to (\mathcal{L}^{\otimes p})^{\oplus r} \to (\mathcal{L}^{\otimes q})^{\oplus s}\] pour certains \(r, s \geq 0\) et \(0 \ll p \ll q\). Si tel est le cas, alors, en utilisant la suite exacte \[0 \to \lim \Gamma(\mathcal{E}|_{Y_n}) \to \lim \Gamma((\mathcal{L}^{\otimes p})^{\oplus r}|_{Y_n}) \to \lim \Gamma((\mathcal{L}^{\otimes q})^{\oplus s}|_{Y_n})\] et les isomorphismes de (2), on obtient l’isomorphisme de (3). Pour démontrer l’assertion, considérons le module localement libre dual \(\SheafHom_{\mathcal{O}_X}(\mathcal{E}, \mathcal{O}_X)\) et appliquons Propriétés, proposition 01Q3, pour trouver une surjection \[(\mathcal{L}^{\otimes -p})^{\oplus r} \longrightarrow \SheafHom_{\mathcal{O}_X}(\mathcal{E}, \mathcal{O}_X)\] En prenant les duaux, on obtient la première application de la suite exacte (elle est universellement injective, car le fait d’être une surjection est universel). En répétant l’opération avec le conoyau, on obtient la seconde. On omet quelques détails.

Preuve de (1) \(\Rightarrow\) (2). C’est vrai parce que, si \(X\) est quasi-affine, alors \(\mathcal{O}_X\) est un module inversible ample ; voir Propriétés, lemme 01QE.

Nous omettons la preuve de (4) \(\Rightarrow\) (3).

Étant donnés un schéma noethérien et un faisceau quasi-cohérent d’idéaux \(\mathcal{I} \subset \mathcal{O}_X\), nous dirons qu’un objet \((\mathcal{F}_n)\) de \(\textit{Coh}(X, \mathcal{I})\) est de type fini et localement libre si chaque \(\mathcal{F}_n\) est un \(\mathcal{O}_X/\mathcal{I}^n\)-module de type fini et localement libre.

Lemme

Soit \(X\) un schéma noethérien et soit \(Y \subset X\) un sous-schéma fermé de faisceau d’idéaux \(\mathcal{I} \subset \mathcal{O}_X\). Soit \(Y_n \subset X\) le \(n\)-ième voisinage infinitésimal de \(Y\) dans \(X\). Soit \(\mathcal{V}\) l’ensemble des sous-schémas ouverts \(V \subset X\) contenant \(Y\), ordonné par l’inclusion inverse.

1. \(X\) est quasi-affine et \[\colim_\mathcal{V} \Gamma(V, \mathcal{O}_V) \longrightarrow \lim \Gamma(Y_n, \mathcal{O}_{Y_n})\] est un isomorphisme,

2. \(X\) possède un module inversible ample \(\mathcal{L}\) et \[\colim_\mathcal{V} \Gamma(V, \mathcal{L}^{\otimes m}) \longrightarrow \lim \Gamma(Y_n, \mathcal{L}^{\otimes m}|_{Y_n})\] est un isomorphisme pour tout \(m \gg 0\),

3. pour tout \(V \in \mathcal{V}\) et tout \(\mathcal{O}_V\)-module \(\mathcal{E}\) de type fini et localement libre, l’application \[\colim_{V' \geq V} \Gamma(V', \mathcal{E}|_{V'}) \longrightarrow \lim \Gamma(Y_n, \mathcal{E}|_{Y_n})\] est un isomorphisme, et

4. le foncteur de complétion \[\colim_\mathcal{V} \textit{Coh}(\mathcal{O}_V) \longrightarrow \textit{Coh}(X, \mathcal{I}), \quad \mathcal{F} \longmapsto \mathcal{F}^\wedge\] est pleinement fidèle sur la sous-catégorie pleine des objets de type fini et localement libres (voir l’explication ci-dessus).

Alors (1) \(\Rightarrow\) (2) \(\Rightarrow\) (3) \(\Rightarrow\) (4) et (4) \(\Rightarrow\) (3).

Démonstration

Remarquons que \(\mathcal{V}\) est un ensemble ordonné filtrant ; les limites inductives sont donc comme dans Catégories, section 04AX. La suite de l’argument est presque exactement la même que l’argument de la démonstration du lemme 0EKP ; nous invitons le lecteur à l’omettre.

Preuve de (3) \(\Rightarrow\) (4). Si \(\mathcal{F}\) et \(\mathcal{G}\) sont de type fini et localement libres sur \(V \in \mathcal{V}\), alors, en considérant \(\mathcal{H} = \SheafHom_{\mathcal{O}_V}(\mathcal{G}, \mathcal{F})\) et en utilisant Cohomologie des schémas, lemme 0882 on voit que (3) entraîne (4).

Preuve de (2) \(\Rightarrow\) (3). Soit \(\mathcal{L}\) ample sur \(X\), et supposons que \(\mathcal{E}\) soit un \(\mathcal{O}_V\)-module de type fini et localement libre pour un certain \(V \in \mathcal{V}\). Nous affirmons que l’on peut trouver une suite universellement exacte \[0 \to \mathcal{E} \to (\mathcal{L}^{\otimes p})^{\oplus r}|_{V} \to (\mathcal{L}^{\otimes q})^{\oplus s}|_{V}\] pour certains \(r, s \geq 0\) et \(0 \ll p \ll q\). Si tel est le cas, l’isomorphisme de (2) entraînera l’isomorphisme de (3). Pour démontrer l’assertion, rappelons que \(\mathcal{L}|_V\) est ample ; voir Propriétés, lemme 0B3E. Considérons le module localement libre dual \(\SheafHom_{\mathcal{O}_V}(\mathcal{E}, \mathcal{O}_V)\) et appliquons Propriétés, proposition 01Q3, pour trouver une surjection \[(\mathcal{L}^{\otimes -p})^{\oplus r}|_V \longrightarrow \SheafHom_{\mathcal{O}_V}(\mathcal{E}, \mathcal{O}_V)\] (elle est universellement injective, car le fait d’être une surjection est universel). En prenant les duaux, on obtient la première application de la suite exacte. En répétant l’opération avec le conoyau, on obtient la seconde. On omet quelques détails.

Preuve de (1) \(\Rightarrow\) (2). C’est vrai parce que, si \(X\) est quasi-affine, alors \(\mathcal{O}_X\) est un module inversible ample ; voir Propriétés, lemme 01QE.

Nous omettons la preuve de (4) \(\Rightarrow\) (3).

Lemme

Soit \(X\) un schéma noethérien. Soit \(\mathcal{I} \subset \mathcal{O}_X\) un faisceau quasi-cohérent d’idéaux. Le foncteur \[\textit{Coh}(X, \mathcal{I}) \longrightarrow \text{Pro-}\QCoh(\mathcal{O}_X)\] est pleinement fidèle ; voir Catégories, remarque 05PX.

Démonstration

Soient \((\mathcal{F}_n)\) et \((\mathcal{G}_n)\) des objets de \(\textit{Coh}(X, \mathcal{I})\). Un morphisme de pro-objets \(\alpha\) de \((\mathcal{F}_n)\) vers \((\mathcal{G}_n)\) est donné par un système d’applications \(\alpha_n : \mathcal{F}_{m(n)} \to \mathcal{G}_n\) compatibles avec les applications de transition, où \(\mathbf{N} \to \mathbf{N}\), \(n \mapsto m(n)\), est une fonction croissante (en particulier \(m(n) \geq n\)). Puisque \(\mathcal{F}_n = \mathcal{F}_{m(n)}/\mathcal{I}^n\mathcal{F}_{m(n)}\) et puisque \(\mathcal{G}_n\) est annulé par \(\mathcal{I}^n\), on voit que \(\alpha_n\) induit une application \(\mathcal{F}_n \to \mathcal{G}_n\).

Nous donnons ensuite quelques exemples du type de résultat de pleine fidélité que nous pourrons démontrer à l’aide du travail effectué plus haut dans ce chapitre.

Lemme

Soient \(I \subset \mathfrak a\) des idéaux d’un anneau noethérien \(A\). Soit \(U = \Spec(A) \setminus V(\mathfrak a)\). Supposons que

1. \(A\) soit complet pour la topologie \(I\)-adique et possède un complexe dualisant,

2. pour tout idéal premier associé \(\mathfrak p \subset A\) tel que \(\mathfrak p \not \in V(I)\) et \(V(\mathfrak p) \cap V(I) \not \subset V(\mathfrak a)\) et \(\mathfrak q \in V(\mathfrak p) \cap V(\mathfrak a)\), on ait \(\dim((A/\mathfrak p)_\mathfrak q) > \text{cd}(A, I) + 1\),

3. pour \(\mathfrak p \subset A\) tel que \(\mathfrak p \not \in V(I)\) et \(V(\mathfrak p) \cap V(I) \subset V(\mathfrak a)\), on ait \(\text{depth}(A_\mathfrak p) \geq 2\).

Alors le foncteur de complétion \[\textit{Coh}(\mathcal{O}_U) \longrightarrow \textit{Coh}(U, I\mathcal{O}_U), \quad \mathcal{F} \longmapsto \mathcal{F}^\wedge\] est pleinement fidèle sur la sous-catégorie pleine des objets de type fini et localement libres.

Démonstration

D’après le lemme 0EKP, il suffit de montrer que \[\Gamma(U, \mathcal{O}_U) = \lim \Gamma(U, \mathcal{O}_U/I^n\mathcal{O}_U)\] Cela résulte immédiatement du lemme 0EIG.

Lemme

Soit \(A\) un anneau noethérien. Soit \(f \in \mathfrak a \subset A\) un élément d’un idéal de \(A\). Soit \(U = \Spec(A) \setminus V(\mathfrak a)\). Supposons que

1. \(A\) soit complet pour la topologie \(f\)-adique,

2. \(H^1_\mathfrak a(A)\) et \(H^2_\mathfrak a(A)\) soient annulés par une puissance de \(f\).

Alors le foncteur de complétion \[\textit{Coh}(\mathcal{O}_U) \longrightarrow \textit{Coh}(U, I\mathcal{O}_U), \quad \mathcal{F} \longmapsto \mathcal{F}^\wedge\] est pleinement fidèle sur la sous-catégorie pleine des objets de type fini et localement libres.

Démonstration

D’après le lemme 0EKP, il suffit de montrer que \[\Gamma(U, \mathcal{O}_U) = \lim \Gamma(U, \mathcal{O}_U/I^n\mathcal{O}_U)\] Cela résulte immédiatement du lemme 0EII.

Lemme

Soit \(A\) un anneau noethérien. Soit \(f \in \mathfrak a\) un élément d’un idéal de \(A\). Soit \(U = \Spec(A) \setminus V(\mathfrak a)\). Supposons que

1. \(A\) possède un complexe dualisant et soit complet relativement à \(f\),

2. pour tout idéal premier \(\mathfrak p \subset A\), \(f \not \in \mathfrak p\) et \(\mathfrak q \in V(\mathfrak p) \cap V(\mathfrak a)\), on ait \(\text{depth}(A_\mathfrak p) + \dim((A/\mathfrak p)_\mathfrak q) > 2\).

Alors le foncteur de complétion \[\textit{Coh}(\mathcal{O}_U) \longrightarrow \textit{Coh}(U, I\mathcal{O}_U), \quad \mathcal{F} \longmapsto \mathcal{F}^\wedge\] est pleinement fidèle sur la sous-catégorie pleine des objets de type fini et localement libres.

Démonstration

Cela résulte du lemme 0EKS et de Cohomologie locale, proposition 0EFC.

Lemme

Soient \(I \subset \mathfrak a \subset A\) des idéaux d’un anneau noethérien \(A\). Soit \(U = \Spec(A) \setminus V(\mathfrak a)\). Soit \(\mathcal{V}\) l’ensemble des sous-schémas ouverts de \(U\) contenant \(U \cap V(I)\), ordonné par l’inclusion inverse. Supposons que

1. \(A\) soit complet pour la topologie \(I\)-adique et possède un complexe dualisant,

2. pour tout idéal premier associé \(\mathfrak p \subset A\) tel que \(I \not \subset \mathfrak p\) et \(V(\mathfrak p) \cap V(I) \not \subset V(\mathfrak a)\) et \(\mathfrak q \in V(\mathfrak p) \cap V(\mathfrak a)\), on ait \(\dim((A/\mathfrak p)_\mathfrak q) > \text{cd}(A, I) + 1\).

Alors le foncteur de complétion \[\colim_\mathcal{V} \textit{Coh}(\mathcal{O}_V) \longrightarrow \textit{Coh}(U, I\mathcal{O}_U), \quad \mathcal{F} \longmapsto \mathcal{F}^\wedge\] est pleinement fidèle sur la sous-catégorie pleine des objets de type fini et localement libres.

Démonstration

D’après le lemme 0EK2, il suffit de montrer que \[\colim_\mathcal{V} \Gamma(V, \mathcal{O}_V) = \lim \Gamma(U, \mathcal{O}_U/I^n\mathcal{O}_U)\] Cela résulte immédiatement de la proposition 0EG2.

Lemme

Soit \(A\) un anneau noethérien. Soit \(f \in \mathfrak a \subset A\) un élément d’un idéal de \(A\). Soit \(U = \Spec(A) \setminus V(\mathfrak a)\). Soit \(\mathcal{V}\) l’ensemble des sous-schémas ouverts de \(U\) contenant \(U \cap V(f)\), ordonné par l’inclusion inverse. Supposons que

1. \(A\) soit complet pour la topologie \(f\)-adique,

2. \(f\) soit un non-diviseur de zéro,

3. \(H^1_\mathfrak a(A/fA)\) soit un \(A\)-module de type fini.

Alors le foncteur de complétion \[\colim_\mathcal{V} \textit{Coh}(\mathcal{O}_V) \longrightarrow \textit{Coh}(U, f\mathcal{O}_U), \quad \mathcal{F} \longmapsto \mathcal{F}^\wedge\] est pleinement fidèle sur la sous-catégorie pleine des objets de type fini et localement libres.

Démonstration

D’après le lemme 0EK2, il suffit de montrer que \[\colim_\mathcal{V} \Gamma(V, \mathcal{O}_V) = \lim \Gamma(U, \mathcal{O}_U/I^n\mathcal{O}_U)\] Cela résulte immédiatement du lemme 0EIH.

Lemme

Soient \(I \subset \mathfrak a \subset A\) des idéaux d’un anneau noethérien \(A\). Soit \(U = \Spec(A) \setminus V(\mathfrak a)\). Soit \(\mathcal{V}\) l’ensemble des sous-schémas ouverts de \(U\) contenant \(U \cap V(I)\), ordonné par l’inclusion inverse. Soient \(\mathcal{F}\) et \(\mathcal{G}\) des \(\mathcal{O}_V\)-modules cohérents pour un certain \(V \in \mathcal{V}\). L’application \[\colim_{V' \geq V} \Hom_V(\mathcal{G}|_{V'}, \mathcal{F}|_{V'}) \longrightarrow \Hom_{\textit{Coh}(U, I\mathcal{O}_U)}(\mathcal{G}^\wedge, \mathcal{F}^\wedge)\] est bijective si les hypothèses suivantes sont satisfaites :

1. \(A\) soit complet pour la topologie \(I\)-adique et possède un complexe dualisant,

2. si \(x \in \text{Ass}(\mathcal{F})\), \(x \not \in V(I)\), \(\overline{\{x\}} \cap V(I) \not \subset V(\mathfrak a)\) et \(z \in \overline{\{x\}} \cap V(\mathfrak a)\), alors \(\dim(\mathcal{O}_{\overline{\{x\}}, z}) > \text{cd}(A, I) + 1\).

Démonstration

On peut choisir des \(\mathcal{O}_U\)-modules cohérents \(\mathcal{F}'\) et \(\mathcal{G}'\) dont les restrictions à \(V\) sont \(\mathcal{F}\) et \(\mathcal{G}\) ; voir Propriétés, lemme 0G41. On peut modifier le choix de \(\mathcal{F}'\) pour assurer que \(\text{Ass}(\mathcal{F}') \subset V\) ; voir par exemple Cohomologie locale, lemme 0DX3. On peut donc remplacer, et l’on remplace, \(V\) par \(U\), et \(\mathcal{F}\) et \(\mathcal{G}\) par \(\mathcal{F}'\) et \(\mathcal{G}'\). Posons \(\mathcal{H} = \SheafHom_{\mathcal{O}_U}(\mathcal{G}, \mathcal{F})\). C’est un \(\mathcal{O}_U\)-module cohérent. On a \[\Hom_V(\mathcal{G}|_V, \mathcal{F}|_V) = H^0(V, \mathcal{H}) \quad\text{et}\quad \lim H^0(U, \mathcal{H}/\mathcal{I}^n\mathcal{H}) = \Mor_{\textit{Coh}(U, I\mathcal{O}_U)} (\mathcal{G}^\wedge, \mathcal{F}^\wedge)\] Voir Cohomologie des schémas, lemme 0882. Ainsi, si l’on peut montrer que les hypothèses de la proposition 0EG2 sont satisfaites pour \(\mathcal{H}\), la démonstration est achevée. C’est le cas parce que \(\text{Ass}(\mathcal{H}) \subset \text{Ass}(\mathcal{F})\). Voir Cohomologie des schémas, lemme 0EBC.

Algébrisation des modules formels cohérents, I

La surjectivité essentielle du foncteur de complétion (voir ci-dessous) a été étudiée systématiquement dans [SGA2], [MRaynaud-book] et [MRaynaud-paper]. Nous nous plaçons dans la situation affine suivante.

Situation

Ici, \(A\) est un anneau noethérien et \(I \subset \mathfrak a \subset A\) sont des idéaux. On pose \(X = \Spec(A)\), \(Y = V(I) = \Spec(A/I)\) et \(Z = V(\mathfrak a) = \Spec(A/\mathfrak a)\). De plus, \(U = X \setminus Z\).

Dans cette section, nous cherchons des conditions assurant qu’un objet de \(\textit{Coh}(U, I\mathcal{O}_U)\) appartient à l’image du foncteur de complétion \(\textit{Coh}(\mathcal{O}_U) \to \textit{Coh}(U, I\mathcal{O}_U)\). Voir Cohomologie des schémas, section 0EHN et section 0EKN.

Lemme

Dans la situation 0EHC. Considérons un système projectif \((M_n)\) de \(A\)-modules tel que

1. \(M_n\) soit un \(A\)-module de type fini,

2. \(M_n\) soit annulé par \(I^n\),

3. le noyau et le conoyau de \(M_{n + 1}/I^nM_{n + 1} \to M_n\) soient de torsion annulée par une puissance de \(\mathfrak a\).

Alors \((\widetilde{M}_n|_U)\) appartient à \(\textit{Coh}(U, I\mathcal{O}_U)\). Réciproquement, tout objet de \(\textit{Coh}(U, I\mathcal{O}_U)\) s’obtient de cette manière.

Démonstration

Nous omettons de vérifier que \((\widetilde{M}_n|_U)\) appartient à \(\textit{Coh}(U, I\mathcal{O}_U)\). Soit \((\mathcal{F}_n)\) un objet de \(\textit{Coh}(U, I\mathcal{O}_U)\). D’après Cohomologie locale, lemme 0BK0 on voit que \(\mathcal{F}_n = \widetilde{M_n}\) pour un certain \(A/I^n\)-module de type fini \(M_n\). Après avoir quotienté \(M_n\) par \(H^0_\mathfrak a(M_n)\), on peut supposer \(M_n \subset H^0(U, \mathcal{F}_n)\) ; voir Complexes dualisants, lemme 0AW0, et le lemme déjà cité. En remplaçant par récurrence \(M_{n + 1}\) par l’image réciproque de \(M_n\) par l’application \(M_{n + 1} \to H^0(U, \mathcal{F}_{n + 1}) \to H^0(U, \mathcal{F}_n)\), on peut supposer que \(M_{n + 1}\) s’envoie dans \(M_n\). On obtient ainsi un système projectif \((M_n)\) satisfaisant (1) et (2) tel que \(\mathcal{F}_n = \widetilde{M_n}\). Pour voir que (3) est satisfaite, on utilise le fait que \(M_{n + 1}/I^nM_{n + 1} \to M_n\) est une application de \(A\)-modules de type fini qui induit un isomorphisme après application de \(\widetilde{\ }\) et restriction à \(U\) (on utilise ici une fois de plus le premier lemme cité).

Dans la situation 0EHC, on peut étudier le foncteur de complétion de Cohomologie des schémas, équation (0880), [0EIK]\[\begin{equation} \textit{Coh}(\mathcal{O}_U) \longrightarrow \textit{Coh}(U, I\mathcal{O}_U),\quad \mathcal{F} \longmapsto \mathcal{F}^\wedge \end{equation}\] Si \(A\) est complet pour la topologie \(I\)-adique, ce foncteur est pleinement fidèle sur des sous-catégories appropriées d’après nos travaux antérieurs sur l’algébrisation des sections formelles ; voir la section 0EKN et le lemme 0EJ7 pour quelques exemples de résultats. Soit ensuite \((\mathcal{F}_n)\) un objet de \(\textit{Coh}(U, I\mathcal{O}_U)\). En supposant toujours \(A\) complet pour la topologie \(I\)-adique, on peut demander : quand \((\mathcal{F}_n)\) appartient-il à l’image essentielle du foncteur de complétion affiché ci-dessus ?

Lemme

Dans la situation 0EHC, soit \((\mathcal{F}_n)\) un objet de \(\textit{Coh}(U, I\mathcal{O}_U)\). Considérons les conditions suivantes :

1. \((\mathcal{F}_n)\) appartient à l’image essentielle du foncteur (0EIK),

2. \((\mathcal{F}_n)\) est le complété d’un \(\mathcal{O}_U\)-module cohérent,

3. \((\mathcal{F}_n)\) est le complété d’un \(\mathcal{O}_V\)-module cohérent pour un ouvert \(U \cap Y \subset V \subset U\),

4. \((\mathcal{F}_n)\) est le complété de la restriction à \(U\) d’un \(\mathcal{O}_X\)-module cohérent,

5. \((\mathcal{F}_n)\) est la restriction à \(U\) du complété d’un \(\mathcal{O}_X\)-module cohérent,

6. il existe un objet \((\mathcal{G}_n)\) de \(\textit{Coh}(X, I\mathcal{O}_X)\) dont la restriction à \(U\) est \((\mathcal{F}_n)\).

Alors les conditions (1), (2), (3), (4) et (5) sont équivalentes et entraînent (6). Si \(A\) est complet pour la topologie \(I\)-adique, la condition (6) entraîne les autres.

Démonstration

Les parties (1) et (2) sont équivalentes, car le complété d’un \(\mathcal{O}_U\)-module cohérent \(\mathcal{F}\) est par définition l’image de \(\mathcal{F}\) par le foncteur (0EIK). Si \(V \subset U\) est un sous-schéma ouvert contenant \(U \cap Y\), alors on a \[\textit{Coh}(V, I\mathcal{O}_V) = \textit{Coh}(U, I\mathcal{O}_U)\] car la catégorie des \(\mathcal{O}_V\)-modules cohérents à support dans \(V \cap Y\) est la même que la catégorie des \(\mathcal{O}_U\)-modules cohérents à support dans \(U \cap Y\). Ainsi, le complété d’un \(\mathcal{O}_V\)-module cohérent est un objet de \(\textit{Coh}(U, I\mathcal{O}_U)\). Ceci étant dit, l’équivalence de (2), (3), (4) et (5) vaut parce que les foncteurs \(\textit{Coh}(\mathcal{O}_X) \to \textit{Coh}(\mathcal{O}_U) \to \textit{Coh}(\mathcal{O}_V)\) sont essentiellement surjectifs. Voir Propriétés, lemme 0G41.

La condition (5) entraîne toujours (6). Supposons \(A\) complet pour la topologie \(I\)-adique. Alors tout objet de \(\textit{Coh}(X, I\mathcal{O}_X)\) correspond à un \(A\)-module de type fini d’après Cohomologie des schémas, lemme 087W. On voit ainsi que (6) entraîne (5) dans ce cas.

Exemple

Soit \(k\) un corps. Soit \(A = k[x, y][[t]]\), avec \(I = (t)\) et \(\mathfrak a = (x, y, t)\). Employons les notations de la situation 0EHC. Remarquons que \(U \cap Y = (D(x) \cap Y) \cup (D(y) \cap Y)\) est un recouvrement ouvert affine. Pour \(n \geq 1\), considérons le module inversible \(\mathcal{L}_n\) sur \(\mathcal{O}_U/t^n\mathcal{O}_U\) obtenu en recollant \(A_x/t^nA_x\) et \(A_y/t^nA_y\) au moyen de l’élément inversible de \(A_{xy}/t^nA_{xy}\) qui est l’image d’une série formelle quelconque de la forme \[u = 1 + \frac{t}{xy} + \sum_{n \geq 2} a_n \frac{t^n}{(xy)^{\varphi(n)}}\] où \(a_n \in k[x, y]\) et \(\varphi(n) \in \mathbf{N}\). Alors \((\mathcal{L}_n)\) est un objet inversible de \(\textit{Coh}(U, I\mathcal{O}_U)\) qui n’est pas le complété d’un \(\mathcal{O}_U\)-module cohérent \(\mathcal{L}\). Nous ne faisons qu’esquisser l’argument et omettons la plupart des détails. Soit \(y \in U \cap Y\). Le complété du germe \(\mathcal{L}_y\) serait alors un module inversible, donc \(\mathcal{L}_y\) est inversible. Il existerait ainsi un ouvert \(V \subset U\) contenant \(U \cap Y\) tel que \(\mathcal{L}|_V\) soit inversible. D’après Diviseurs, lemme 0BD9, on trouve un \(A\)-module inversible \(M\) tel que \(\widetilde{M}|_V \cong \mathcal{L}|_V\). Cependant, l’anneau \(A\) est factoriel ; on voit donc que \(M \cong A\), ce qui entraînerait \(\mathcal{L}_n \cong \mathcal{O}_U/I^n\mathcal{O}_U\). Comme \(\mathcal{L}_2 \not \cong \mathcal{O}_U/I^2\mathcal{O}_U\) par construction, on obtient la contradiction voulue.

Remarquons que, si l’on prend \(a_n = 0\) pour \(n \geq 2\), on voit que \(\lim H^0(U, \mathcal{L}_n)\) est non nul : dans ce cas, la fonction \(x\) sur \(D(x)\) et la fonction \(x + t/y\) sur \(D(y)\) se recollent. D’autre part, si l’on prend \(a_n = 1\) et \(\varphi(n) = 2^n\), ou même \(\varphi(n) = n^2\), le lecteur peut montrer que \(\lim H^0(U, \mathcal{L}_n)\) est nul ; cela fournit une autre démonstration du fait que \((\mathcal{L}_n)\) n’est pas algébrisable dans ce cas.

Si, dans la situation 0EHC, l’anneau \(A\) n’est pas complet pour la topologie \(I\)-adique, le lemme 0EIL suggère qu’il convient de demander si \((\mathcal{F}_n)\) appartient à l’image essentielle du foncteur de restriction \[\textit{Coh}(X, I\mathcal{O}_X) \longrightarrow \textit{Coh}(U, I\mathcal{O}_U)\] Cependant, on ne peut plus dire que cela signifie que \((\mathcal{F}_n)\) est algébrisable. Nous introduisons donc la terminologie suivante.

Définition

Dans la situation 0EHC, soit \((\mathcal{F}_n)\) un objet de \(\textit{Coh}(U, I\mathcal{O}_U)\). Nous dirons que \((\mathcal{F}_n)\) s’étend à \(X\) s’il existe un objet \((\mathcal{G}_n)\) de \(\textit{Coh}(X, I\mathcal{O}_X)\) dont la restriction à \(U\) est isomorphe à \((\mathcal{F}_n)\).

Cette notion équivaut à être algébrisable sur la complétion.

Lemme

Dans la situation 0EHC, soit \((\mathcal{F}_n)\) un objet de \(\textit{Coh}(U, I\mathcal{O}_U)\). Soient \(A', I', \mathfrak a'\) les complétions \(I\)-adiques de \(A, I, \mathfrak a\). Posons \(X' = \Spec(A')\) et \(U' = X' \setminus V(\mathfrak a')\). Les conditions suivantes sont équivalentes :

1. \((\mathcal{F}_n)\) s’étend à \(X\), et

2. l’image réciproque de \((\mathcal{F}_n)\) sur \(U'\) est le complété d’un \(\mathcal{O}_{U'}\)-module cohérent.

Démonstration

Rappelons que \(A \to A'\) est un homomorphisme plat d’anneaux qui induit un isomorphisme \(A/I \to A'/I'\). Voir Algèbre, lemmes 00MB et 031C. Ainsi, \(X' \to X\) est un morphisme plat induisant un isomorphisme \(Y' \to Y\). Ainsi, \(U' \to U\) est un morphisme plat qui induit un isomorphisme \(U' \cap Y' \to U \cap Y\). Cela entraîne que, dans le diagramme commutatif \[\xymatrix{ \textit{Coh}(X', I\mathcal{O}_{X'}) \ar[r] & \textit{Coh}(U', I\mathcal{O}_{U'}) \\ \textit{Coh}(X, I\mathcal{O}_X) \ar[u] \ar[r] & \textit{Coh}(U, I\mathcal{O}_U) \ar[u] }\] les foncteurs verticaux sont des équivalences. Voir Cohomologie des schémas, lemme 0EHQ. Le lemme résulte formellement de ceci et des résultats du lemme 0EIL.

Dans la situation 0EHC, soit \((\mathcal{F}_n)\) un objet de \(\textit{Coh}(U, I\mathcal{O}_U)\). Pour déterminer si \((\mathcal{F}_n)\) s’étend à \(X\), il est naturel de considérer le \(A\)-module [0EHD]\[\begin{equation} M = \lim H^0(U, \mathcal{F}_n) \end{equation}\] Remarquons que \(M\) possède une topologie de limite qui est (a priori) moins fine que la topologie \(I\)-adique, puisque \(M \to H^0(U, \mathcal{F}_n)\) annule \(I^nM\). Il existe des applications canoniques \[\widetilde{M}|_U \to \widetilde{M/I^nM}|_U \to \widetilde{H^0(U, \mathcal{F}_n)}|_U \to \mathcal{F}_n\] On pourrait espérer que \(\widetilde{M}\) se restreigne en un module cohérent sur \(U\) et que \((\mathcal{F}_n)\) soit le complété de ce module. C’est naïf, car cela n’a presque aucune chance d’être vrai si \(A\) n’est pas complet. Mais, même si \(A\) est complet pour la topologie \(I\)-adique, cette notion est très difficile à manier. Une approche moins naïve consiste à considérer la condition suivante.

Définition

Dans la situation 0EHC, soit \((\mathcal{F}_n)\) un objet de \(\textit{Coh}(U, I\mathcal{O}_U)\). Nous dirons que \((\mathcal{F}_n)\) s’étend canoniquement à \(X\) si le système projectif \[\{\widetilde{H^0(U, \mathcal{F}_n)}\}_{n \geq 1}\] dans \(\QCoh(\mathcal{O}_X)\) est pro-isomorphe à un objet \((\mathcal{G}_n)\) de \(\textit{Coh}(X, I\mathcal{O}_X)\).

Nous verrons dans le lemme 0EIR que la condition de la définition 0EIP est plus forte que celle de la définition 0EIM.

Lemme

Dans la situation 0EHC, soit \((\mathcal{F}_n)\) un objet de \(\textit{Coh}(U, I\mathcal{O}_U)\). Si \((\mathcal{F}_n)\) s’étend canoniquement à \(X\), alors

1. \((\widetilde{H^0(U, \mathcal{F}_n)})\) est pro-isomorphe à un objet \((\mathcal{G}_n)\) de \(\textit{Coh}(X, I \mathcal{O}_X)\), unique à isomorphisme unique près,

2. la restriction de \((\mathcal{G}_n)\) à \(U\) est isomorphe à \((\mathcal{F}_n)\), c’est-à-dire que \((\mathcal{F}_n)\) s’étend à \(X\),

3. le système projectif \(\{H^0(U, \mathcal{F}_n)\}\) satisfait la condition de Mittag-Leffler, et

4. le module \(M\) de (0EHD) est de type fini sur le complété \(I\)-adique de \(A\), et la topologie de limite sur \(M\) est la topologie \(I\)-adique.

Démonstration

L’existence de \((\mathcal{G}_n)\) dans (1) résulte de la définition 0EIP. L’unicité de \((\mathcal{G}_n)\) dans (1) résulte du lemme 0EIQ. Écrivons \(\mathcal{G}_n = \widetilde{M_n}\). Alors \(\{M_n\}\) est un système projectif de \(A\)-modules de type fini tel que \(M_n = M_{n + 1}/I^n M_{n + 1}\). D’après la définition 0EIP, le système projectif \(\{H^0(U, \mathcal{F}_n)\}\) est pro-isomorphe à \(\{M_n\}\). On voit donc que le système projectif \(\{H^0(U, \mathcal{F}_n)\}\) satisfait la condition de Mittag-Leffler et que \(M = \lim M_n\) (comme modules topologiques). Les propriétés de \(M\) de (4) résultent ainsi d’ Algèbre, lemmes 09B8, 031D et 05GG. Comme \(U\) est quasi-affine, les applications canoniques \[\widetilde{H^0(U, \mathcal{F}_n)}|_U \to \mathcal{F}_n\] sont des isomorphismes (Propriétés, lemme 0EHM). On en conclut que \((\mathcal{G}_n|_U)\) et \((\mathcal{F}_n)\) sont pro-isomorphes, donc isomorphes d’après le lemme 0EIQ.

Lemme

Dans la situation 0EHC, soit \((\mathcal{F}_n)\) un objet de \(\textit{Coh}(U, I\mathcal{O}_U)\). Soit \(A \to A'\) un homomorphisme plat d’anneaux. Posons \(X' = \Spec(A')\), soit \(U' \subset X'\) l’image réciproque de \(U\), et notons \(g : U' \to U\) le morphisme induit. Posons \((\mathcal{F}'_n) = (g^*\mathcal{F}_n)\) ; voir Cohomologie des schémas, lemme 0887. Si \((\mathcal{F}_n)\) s’étend canoniquement à \(X\), alors \((\mathcal{F}'_n)\) s’étend canoniquement à \(X'\). De plus, l’extension obtenue dans le lemme 0EIR pour \((\mathcal{F}_n)\) donne par image réciproque l’extension de \((\mathcal{F}'_n)\).

Démonstration

Soit \(f : X' \to X\) le morphisme induit. On a \(H^0(U', \mathcal{F}'_n) = H^0(U, \mathcal{F}_n) \otimes_A A'\) par changement de base plat ; voir Cohomologie des schémas, lemme 02KH. Ainsi, si \((\mathcal{G}_n)\) dans \(\textit{Coh}(X, I\mathcal{O}_X)\) est pro-isomorphe à \((\widetilde{H^0(U, \mathcal{F}_n)})\), alors \((f^*\mathcal{G}_n)\) est pro-isomorphe à \[(f^*\widetilde{H^0(U, \mathcal{F}_n)}) = (\widetilde{H^0(U, \mathcal{F}_n) \otimes_A A'}) = (\widetilde{H^0(U', \mathcal{F}'_n)})\] Cela achève la démonstration.

Lemme

Dans la situation 0EHC, soit \((\mathcal{F}_n)\) un objet de \(\textit{Coh}(U, I\mathcal{O}_U)\). Soit \(M\) comme dans (0EHD). Supposons que

1. le système projectif \(H^0(U, \mathcal{F}_n)\) satisfait la condition de Mittag-Leffler,

2. la topologie de limite sur \(M\) coïncide avec la topologie \(I\)-adique, et

3. l’image de \(M \to H^0(U, \mathcal{F}_n)\) est un \(A\)-module de type fini pour tout \(n\).

Alors \((\mathcal{F}_n)\) s’étend canoniquement à \(X\). En particulier, si \(A\) est complet pour la topologie \(I\)-adique, alors \((\mathcal{F}_n)\) est le complété d’un \(\mathcal{O}_U\)-module cohérent.

Démonstration

Puisque \(H^0(U, \mathcal{F}_n)\) satisfait la condition de Mittag-Leffler et puisque la topologie de limite sur \(M\) est la topologie \(I\)-adique, on voit que \(\{M/I^nM\}\) et \(\{H^0(U, \mathcal{F}_n)\}\) sont des systèmes projectifs pro-isomorphes de \(A\)-modules. Ainsi, si l’on pose \[\mathcal{G}_n = \widetilde{M/I^n M}\] on voit que, pour vérifier la condition de la définition 0EIP, il suffit de montrer que \(M\) est un module de type fini sur le complété \(I\)-adique de \(A\). Cela résulte du fait que \(M/I^n M\) est de type fini d’après la condition (c), de ce qui précède et d’ Algèbre, lemme 031D.

Le résultat suivant est, en un certain sens, l’application la plus directe possible du lemme 0EHH ci-dessus.

Lemme

Dans la situation 0EHC, soit \((\mathcal{F}_n)\) un objet de \(\textit{Coh}(U, I\mathcal{O}_U)\). Supposons que

1. \(I = (f)\) soit un idéal principal, pour un non-diviseur de zéro \(f \in \mathfrak a\),

2. \(\mathcal{F}_n\) soit un \(\mathcal{O}_U/f^n\mathcal{O}_U\)-module de type fini et localement libre,

3. \(H^1_\mathfrak a(A/fA)\) et \(H^2_\mathfrak a(A/fA)\) soient des \(A\)-modules de type fini.

Alors \((\mathcal{F}_n)\) s’étend canoniquement à \(X\). En particulier, si \(A\) est complet, alors \((\mathcal{F}_n)\) est le complété d’un \(\mathcal{O}_U\)-module cohérent.

Démonstration

Nous allons le démontrer en vérifiant les hypothèses (a), (b) et (c) du lemme 0EHH.

Comme \(\mathcal{F}_n\) est localement libre sur \(\mathcal{O}_U/f^n\mathcal{O}_U\), on voit que l’on a des suites exactes courtes \(0 \to \mathcal{F}_n \to \mathcal{F}_{n + 1} \to \mathcal{F}_1 \to 0\) pour tout \(n\). La condition (b) est donc satisfaite d’après Cohomologie, lemme 0EHA.

Comme \(f\) est un non-diviseur de zéro, on obtient des suites exactes courtes \[0 \to A/f^nA \xrightarrow{f} A/f^{n + 1}A \to A/fA \to 0\] et l’on a les suites exactes courtes correspondantes \(0 \to \mathcal{F}_n \to \mathcal{F}_{n + 1} \to \mathcal{F}_1 \to 0\). Nous utiliserons Cohomologie locale, lemme 0BK0 sans autre mention. Nos hypothèses entraînent que \(H^0(U, \mathcal{O}_U/f\mathcal{O}_U)\) et \(H^1(U, \mathcal{O}_U/f\mathcal{O}_U)\) sont des \(A\)-modules de type fini. Il en va donc de même pour \(\mathcal{F}_1\) ; voir Cohomologie locale, lemme 0BLT. Par récurrence et à l’aide des suites exactes courtes, on trouve que \(H^0(U, \mathcal{F}_n)\) sont des \(A\)-modules de type fini pour tout \(n\). On voit ainsi que l’hypothèse (c) est satisfaite.

Enfin, comme \(H^1(U, \mathcal{F}_1)\) est un \(A\)-module de type fini, on peut appliquer Cohomologie, lemme 0BLC, pour voir que l’hypothèse (a) est satisfaite.

Remarque

Dans le lemme 0DXW, si \(A\) est universellement caténaire à fibres formelles de Cohen–Macaulay (par exemple si \(A\) possède un complexe dualisant), alors la condition selon laquelle \(H^1_\mathfrak a(A/fA)\) et \(H^2_\mathfrak a(A/fA)\) sont des \(A\)-modules de type fini équivaut à \[\text{depth}((A/f)_\mathfrak p) + \dim((A/\mathfrak p)_\mathfrak q) > 2\] pour tout \(\mathfrak p \in V(f) \setminus V(\mathfrak a)\) et \(\mathfrak q \in V(\mathfrak p) \cap V(\mathfrak a)\), d’après Cohomologie locale, théorème 0BJV.

Par exemple, si \(A/fA\) est \((S_2)\) et si toute composante irréductible de \(Z = V(\mathfrak a)\) est de codimension \(\geq 3\) dans \(Y = \Spec(A/fA)\), alors on obtient que \(H^1_\mathfrak a(A/fA)\) et \(H^2_\mathfrak a(A/fA)\) sont de type fini. Il faut comparer cela aux conditions légèrement plus faibles obtenues dans le lemme 0DXU (voir aussi la remarque 0DXV).

Algébrisation des modules formels cohérents, II

Nous poursuivons la discussion commencée dans la section 0DXS. Cette section peut être omise lors d’une première lecture.

Lemme

Dans la situation 0EHC. Soit \((\mathcal{F}_n) \to (\mathcal{F}'_n)\) un morphisme de \(\textit{Coh}(U, I\mathcal{O}_U)\) dont le noyau et le conoyau sont annulés par une puissance de \(I\). Alors

1. \((\mathcal{F}_n)\) s’étend à \(X\) si et seulement si \((\mathcal{F}'_n)\) s’étend à \(X\), et

2. \((\mathcal{F}_n)\) est le complété d’un \(\mathcal{O}_U\)-module cohérent si et seulement si \((\mathcal{F}'_n)\) l’est.

Démonstration

La partie (2) résulte immédiatement de Cohomologie des schémas, lemme 0889. Pour voir la partie (1), on utilise d’abord le lemme 0EIN pour se ramener au cas où \(A\) est complet pour la topologie \(I\)-adique. Cependant, dans ce cas, (1) se ramène à (2) d’après le lemme 0EIL.

Les deux lemmes suivants étaient initialement utilisés dans la démonstration du lemme 0EHH. Nous les conservons ici pour le lecteur qui souhaite connaître les résultats intermédiaires que l’on peut obtenir.

Lemme

Dans la situation 0EHC, soit \((\mathcal{F}_n)\) un objet de \(\textit{Coh}(U, I\mathcal{O}_U)\). Si le système projectif \(H^0(U, \mathcal{F}_n)\) satisfait la condition de Mittag-Leffler, alors les applications canoniques \[\widetilde{M/I^nM}|_U \to \mathcal{F}_n\] sont surjectives pour tout \(n\), où \(M\) est comme dans (0EHD).

Démonstration

La surjectivité peut se vérifier sur le germe en un point \(y \in Y \setminus Z\). Si \(y\) correspond à l’idéal premier \(\mathfrak q \subset A\), on peut choisir \(f \in \mathfrak a\), \(f \not \in \mathfrak q\). Il suffit alors de montrer que \[M_f \longrightarrow H^0(U, \mathcal{F}_n)_f = H^0(D(f), \mathcal{F}_n)\] est surjective, puisque \(D(f)\) est affine (l’égalité vaut d’après Propriétés, lemme 01P7). Comme on dispose de la propriété de Mittag-Leffler, on trouve que \[\Im(M \to H^0(U, \mathcal{F}_n)) = \Im(H^0(U, \mathcal{F}_m) \to H^0(U, \mathcal{F}_n))\] pour un certain \(m \geq n\). À l’aide de la suite exacte longue de cohomologie, on voit que \[\Coker(H^0(U, \mathcal{F}_m) \to H^0(U, \mathcal{F}_n)) \subset H^1(U, \Ker(\mathcal{F}_m \to \mathcal{F}_n))\] Comme \(U = X \setminus V(\mathfrak a)\), ce \(H^1\) est de torsion annulée par une puissance de \(\mathfrak a\). Ainsi, après inversion de \(f\), le conoyau devient nul.

Lemme

Dans la situation 0EHC, soit \((\mathcal{F}_n)\) un objet de \(\textit{Coh}(U, I\mathcal{O}_U)\). Soit \(M\) comme dans (0EHD). Posons \[\mathcal{G}_n = \widetilde{M/I^nM}.\] Si la topologie de limite sur \(M\) coïncide avec la topologie \(I\)-adique, alors \(\mathcal{G}_n|_U\) est un \(\mathcal{O}_U\)-module cohérent et l’application de systèmes projectifs \[(\mathcal{G}_n|_U) \longrightarrow (\mathcal{F}_n)\] est injective dans la catégorie abélienne \(\textit{Coh}(U, I\mathcal{O}_U)\).

Démonstration

Remarquons que \(\mathcal{G}_n\) est un \(\mathcal{O}_X\)-module quasi-cohérent annulé par \(I^n\) et que \(\mathcal{G}_{n + 1}/I^n\mathcal{G}_{n + 1} = \mathcal{G}_n\). Considérons \[M_n = \Im(M \longrightarrow H^0(U, \mathcal{F}_n))\] L’hypothèse dit que les systèmes projectifs \((M_n)\) et \((M/I^nM)\) sont isomorphes comme pro-objets de \(\text{Mod}_A\). Choisissons \(f \in \mathfrak a\) de sorte que \(D(f) \subset U\) soit un ouvert affine. On a alors \[(M_n)_f \subset H^0(U, \mathcal{F}_n)_f = H^0(D(f), \mathcal{F}_n)\] L’égalité vaut d’après Propriétés, lemme 01P7. Ainsi, \(\widetilde{M_n}|_U \to \mathcal{F}_n\) est injective. Il s’ensuit que \(\widetilde{M_n}|_U\) est un module cohérent (Cohomologie des schémas, lemme 01Y1). Puisque \(M \to M/I^nM\) est surjective et se factorise par \(M_{n'} \to M/I^nM\) pour un certain \(n' \geq n\), on trouve que \(\mathcal{G}_n|_U\) est cohérent comme quotient d’un module cohérent. Avec les remarques initiales de la démonstration, on en conclut que \((\mathcal{G}_n|_U)\) forme bien un objet de \(\textit{Coh}(U, I\mathcal{O}_U)\). Enfin, pour montrer l’injectivité de l’application, il suffit de montrer que \[\lim (M/I^nM)_f = \lim H^0(D(f), \mathcal{G}_n) \to \lim H^0(D(f), \mathcal{F}_n)\] est injective ; voir Cohomologie des schémas, lemmes 087X et 087W. L’injectivité de \(\lim (M_n)_f \to \lim H^0(D(f), \mathcal{F}_n)\) est claire (voir ci-dessus), et notre remarque sur les pro-systèmes donne \(\lim (M_n)_f = \lim (M/I^nM)_f\). Cela achève la démonstration.

Une fonction de distance

Soit \(Y\) un schéma noethérien et soit \(Z \subset Y\) une partie fermée. Nous définissons une fonction [0EIX]\[\begin{equation} \delta^Y_Z = \delta_Z : Y \longrightarrow \mathbf{Z}_{\geq 0} \cup \{\infty\} \end{equation}\] qui mesure la « distance » d’un point de \(Y\) à \(Z\). Pour une discussion informelle, voir la remarque 0EJ0. Soit \(y \in Y\). On pose \(\delta_Z(y) = \infty\) si \(y\) appartient à une composante connexe de \(Y\) qui ne rencontre pas \(Z\). Si \(y\) appartient à une composante connexe de \(Y\) qui rencontre \(Z\), on peut trouver \(k \geq 0\) et un système \[V_0 \subset W_0 \supset V_1 \subset W_1 \supset \ldots \supset V_k \subset W_k\] de sous-schémas fermés intègres de \(Y\) tel que \(V_0 \subset Z\) et que \(y \in W_k\) soit le point générique. Posons \(c_i = \text{codim}(V_i, W_i)\) pour \(i = 0, \ldots, k\) et \(b_i = \text{codim}(V_{i + 1}, W_i)\) pour \(i = 0, \ldots, k - 1\). Pour un tel système, on pose \[\delta(V_0, W_0, V_1, \ldots, W_k) = k + \max_{i = 0, 1, \ldots, k} (c_i + c_{i + 1} + \ldots + c_k - b_i - b_{i + 1} - \ldots - b_{k - 1})\] Ceci est \(\geq k\), car on peut prendre \(i = k\) et l’on a \(c_k \geq 0\). Enfin, on pose \[\delta_Z(y) = \min \delta(V_0, W_0, V_1, \ldots, W_k)\] où le minimum porte sur tous les systèmes de sous-schémas fermés intègres de \(Y\) comme ci-dessus.

Lemme

Soit \(Y\) un schéma noethérien et soit \(Z \subset Y\) une partie fermée.

1. Pour \(y \in Y\), on a \(\delta_Z(y) = 0 \Leftrightarrow y \in Z\).

2. Les parties \(\{y \in Y \mid \delta_Z(y) \leq k\}\) sont stables par spécialisation.

3. Pour \(y \in Y\) et \(z \in \overline{\{y\}} \cap Z\), on a \(\dim(\mathcal{O}_{\overline{\{y\}}, z}) \geq \delta_Z(y)\).

4. Si \(\delta\) est une fonction de dimension sur \(Y\), alors \(\delta_Z(y) \geq \delta(y) - \delta_{max}\), où \(\delta_{max}\) est la valeur maximale de \(\delta\) sur \(Z\).

5. Si \(Y = \Spec(A)\) est le spectre d’un anneau local noethérien caténaire d’idéal maximal \(\mathfrak m\) et si \(Z = \{\mathfrak m\}\), alors \(\delta_Z(y) = \dim(\overline{\{y\}})\).

6. Si \(Y' \subset Y\) est un sous-schéma ouvert, alors \(\delta^{Y'}_{Y' \cap Z}(y') \geq \delta^Y_Z(y')\) pour \(y' \in Y'\).

Supposons \(Y\) caténaire. Alors

1. Soit \(y' \leadsto y\) une spécialisation immédiate de points de \(Y\). Si \(Y\) est caténaire, alors \(\delta_Z(y') \leq \delta_Z(y) + 1\).

2. Étant donné un diagramme de spécialisations \[\xymatrix{ & y'_0 \ar@{~>}[ld] \ar@{~>}[rd] & & y'_1 \ar@{~>}[ld] & \ldots & y'_{k - 1} \ar@{~>}[rd] & \\ y_0 & & y_1 & & \ldots & & y_k = y }\] entre points de \(Y\), avec \(y_0 \in Z\) et \(y_i' \leadsto y_i\) une spécialisation immédiate, on a \(\delta_Z(y_k) \leq k\).

Démonstration

Preuve de (1). Si \(y \in Z\), on peut prendre \(k = 0\) et \(V_0 = W_0 = \overline{\{y\}}\), et l’on obtient \(\delta(V_0, W_0) = 0\), donc \(\delta_Z(y) = 0\). Si \(y \not \in Z\), alors, pour tout système \(V_0 \subset W_0 \supset V_1 \subset W_1 \supset \ldots \subset W_k\) pour \(y\), ou bien \(k = 0\) et \(V_0 \not = W_0\), ou bien \(k > 0\). Dans les deux cas, \(\delta(V_0, W_0, \ldots, W_k) > 0\). Ainsi, \(\delta_Z(y) > 0\).

Preuve de (2). Soit \(y \leadsto y'\) une spécialisation non triviale et soit \(V_0 \subset W_0 \supset V_1 \subset W_1 \supset \ldots \subset W_k\) un système pour \(y\). Il y a deux cas. Cas I : \(V_k = W_k\), c’est-à-dire \(c_k = 0\). Dans ce cas, on peut poser \(V'_k = W'_k = \overline{\{y'\}}\). Un calcul facile montre que \(\delta(V_0, W_0, \ldots, V'_k, W'_k) \leq \delta(V_0, W_0, \ldots, V_k, W_k)\) car seul \(b_{k - 1}\) est remplacé par un entier plus grand. Cas II : \(V_k \not = W_k\), c’est-à-dire \(c_k > 0\). Dans ce cas, en posant \(V_{k + 1} = W_{k + 1} = \overline{\{y'\}}\), on voit que \(V_0 \subset W_0 \supset \ldots \subset W_k \supset V_{k + 1} \subset W_{k + 1}\) est un système pour \(y'\). Alors \(c_{k + 1} = 0\) et \(b_k > 0\), de sorte que l’on obtient \[\begin{align*} & \delta(V_0, \ldots, W_{k + 1}) \\ & = k + 1 + \max_{i = 0, 1, \ldots, k + 1} (c_i + c_{i + 1} + \ldots + c_k + c_{k + 1} - b_i - b_{i + 1} - \ldots - b_{k - 1} - b_k) \\ & = k + 1 + \max_{i = 0, 1, \ldots, k + 1} (c_i + c_{i + 1} + \ldots + c_k - b_i - b_{i + 1} - \ldots - b_{k - 1} - b_k) \\ & \leq k + \max_{i = 0, 1, \ldots, k} (c_i + c_{i + 1} + \ldots + c_k - b_i - b_{i + 1} - \ldots - b_{k - 1}) \\ & = \delta(V_0, \ldots, W_k) \end{align*}\] L’inégalité vaut parce que \(c_k > 0\) et \(b_k > 0\), ce qui entraîne en particulier que \(\delta(V_0, \ldots, W_k) \geq k + c_k \geq k + 1\).

Preuve de (3). Étant donnés \(y \in Y\) et \(z \in \overline{\{y\}} \cap Z\), on obtient le système \[V_0 = \overline{\{z\}} \subset W_0 = \overline{\{y\}}\] et \(c_0 = \text{codim}(V_0, W_0) = \dim(\mathcal{O}_{\overline{\{y\}}, z})\) d’après Propriétés, lemme 02IZ. On voit ainsi que \(\delta(V_0, W_0) = 0 + c_0 = c_0\), ce qui prouve ce que l’on veut.

Preuve de (4). Soit \(\delta\) une fonction de dimension sur \(Y\). Soit \(V_0 \subset W_0 \supset V_1 \subset W_1 \supset \ldots \subset W_k\) un système pour \(y\). Soient \(y'_i \in W_i\) et \(y_i \in V_i\) les points génériques ; ainsi, \(y_0 \in Z\) et \(y_k = y\). On voit alors que \[\delta(y_i) - \delta(y_{i - 1}) = \delta(y'_{i - 1}) - \delta(y_{i - 1}) - \delta(y'_{i - 1}) + \delta(y_i) = c_{i - 1} - b_{i - 1}\] Enfin, on a \(\delta(y'_k) - \delta(y_{k - 1}) = c_k\). On voit donc que \[\delta(y) - \delta(y_0) = c_0 + \ldots + c_k - b_0 - \ldots - b_{k - 1}\] On en conclut que \(\delta(V_0, W_0, \ldots, W_k) \geq k + \delta(y) - \delta(y_0)\) ce qui prouve ce que l’on veut.

Preuve de (5). La fonction \(\delta(y) = \dim(\overline{\{y\}})\) est une fonction de dimension. Ainsi, \(\delta(y) \leq \delta_Z(y)\) d’après la partie (4). D’après la partie (3), on a \(\delta_Z(y) \leq \delta(y)\), et l’on a terminé.

Preuve de (6). C’est clair, puisqu’il y a moins de systèmes à considérer dans le calcul de \(\delta^{Y'}_{Y' \cap Z}\).

Preuve de (7). Soit \(V_0 \subset W_0 \supset V_1 \subset W_1 \supset \ldots \subset W_k\) un système pour \(y\). Posons \(W'_k = \overline{\{y'\}}\). Comme \(Y\) est caténaire, on voit que \(\text{codim}(V_k, W'_k) = \text{codim}(V_k, W_k) + 1\). Il s’ensuit facilement que \(\delta(V_0, \ldots, V_k, W'_k) \leq \delta(V_0, \ldots, V_k, W_k) + 1\), ce qui prouve ce que l’on veut.

Preuve de (8) : combinons (7) et (2).

Lemme

Soit \(Y\) un schéma noethérien universellement caténaire. Soit \(Z \subset Y\) un sous-schéma fermé. Soit \(f : Y' \to Y\) un morphisme de type fini dont toutes les fibres sont de dimension \(\leq e\). Posons \(Z' = f^{-1}(Z)\). Alors \[\delta_Z(y) \leq \delta_{Z'}(y') + e - \text{trdeg}_{\kappa(y)}(\kappa(y'))\] pour \(y' \in Y'\) d’image \(y \in Y\).

Démonstration

Si \(\delta_{Z'}(y') = \infty\), il n’y a rien à démontrer. Si \(\delta_{Z'}(y') < \infty\), choisissons un système de sous-schémas fermés intègres \[V'_0 \subset W'_0 \supset V'_1 \subset W'_1 \supset \ldots \subset W'_k\] de \(Y'\), avec \(V'_0 \subset Z'\) et \(y'\) pour point générique de \(W'_k\), tel que \(\delta_{Z'}(y') = \delta(V'_0, W'_0, \ldots, W'_k)\). Notons \[V_0 \subset W_0 \supset V_1 \subset W_1 \supset \ldots \subset W_k\] les images schématiques des schémas ci-dessus dans \(Y\). Remarquons que \(y\) est le point générique de \(W_k\) et que \(V_0 \subset Z\). Pour chaque \(i\), considérons le diagramme \[\xymatrix{ V'_i \ar[r] \ar[d] & W'_i \ar[d] & V'_{i + 1} \ar[l] \ar[d] \\ V_i \ar[r] & W_i & V_{i + 1} \ar[l] }\] Notons \(n_i\) la dimension relative de \(V'_i/V_i\) et \(m_i\) la dimension relative de \(W'_i/W_i\) ; plus précisément, ce sont les degrés de transcendance des extensions correspondantes des corps de fonctions. Posons \(c_i = \text{codim}(V_i, W_i)\), \(c'_i = \text{codim}(V'_i, W'_i)\), \(b_i = \text{codim}(V_{i + 1}, W_i)\), et \(b'_i = \text{codim}(V'_{i + 1}, W'_i)\). D’après la formule de dimension, on a \[c_i = c'_i + n_i - m_i \quad\text{et}\quad b_i = b'_i + n_{i + 1} - m_i\] Voir Morphismes, lemme 02JU. Ainsi, \(c_i - b_i = c'_i - b'_i + n_i - n_{i + 1}\). On voit donc que \[\begin{align*} & c_i + c_{i + 1} + \ldots + c_k - b_i - b_{i + 1} - \ldots - b_{k - 1} \\ & = c'_i + c'_{i + 1} + \ldots + c'_k - b'_i - b'_{i + 1} - \ldots - b'_{k - 1} + n_i - n_k + c_k - c'_k \\ & = c'_i + c'_{i + 1} + \ldots + c'_k - b'_i - b'_{i + 1} - \ldots - b'_{k - 1} + n_i - m_k \end{align*}\] On voit donc que \[\begin{align*} \max_{i = 0, \ldots, k} & (c_i + c_{i + 1} + \ldots + c_k - b_i - b_{i + 1} - \ldots - b_{k - 1}) \\ & = \max_{i = 0, \ldots, k} (c'_i + c'_{i + 1} + \ldots + c'_k - b'_i - b'_{i + 1} - \ldots - b'_{k - 1} + n_i - m_k) \\ & = \max_{i = 0, \ldots, k} (c'_i + c'_{i + 1} + \ldots + c'_k - b'_i - b'_{i + 1} - \ldots - b'_{k - 1} + n_i) - m_k \\ & \leq \max_{i = 0, \ldots, k} (c'_i + c'_{i + 1} + \ldots + c'_k - b'_i - b'_{i + 1} - \ldots - b'_{k - 1}) + e - m_k \end{align*}\] Comme \(m_k = \text{trdeg}_{\kappa(y)}(\kappa(y'))\), on conclut que \[\delta(V_0, W_0, \ldots, W_k) \leq \delta(V'_0, W'_0, \ldots, W'_k) + e - \text{trdeg}_{\kappa(y)}(\kappa(y'))\] comme voulu.

Remarque

Soit \(Y\) un schéma noethérien caténaire et soit \(Z \subset Y\) une partie fermée. D’après le lemme 0EIY, on a \[\delta_Z(y) \leq \min \left\{ k \middle| \begin{matrix} \text{ il existe des spécialisations dans }Y \\ y_0 \leftarrow y'_0 \rightarrow y_1 \leftarrow y'_1 \rightarrow \ldots \leftarrow y'_{k - 1} \rightarrow y_k = y \\ \text{ avec }y_0 \in Z\text{ et }y_i' \leadsto y_i \text{ immédiates} \end{matrix} \right\}\] Nous affirmons que si \(Y\) est de type fini sur un corps, alors l’égalité a lieu. Si nous avons un jour besoin de ce résultat, nous énoncerons ici un résultat précis et le démontrerons. Cependant, en général, si nous définissons \(\delta_Z\) par le membre de droite de cette inégalité, nous ne savons pas si le lemme 0EIZ reste valable.

Exemple

Soit \(k\) un corps et \(Y = \mathbf{A}^n_k\). Notons \(\delta : Y \to \mathbf{Z}_{\geq 0}\) la fonction de dimension usuelle.

1. Si \(Z = \{z\}\) pour un point fermé \(z\), alors

   1. \(\delta_Z(y) = \delta(y)\) si \(y \leadsto z\), et

   2. \(\delta_Z(y) = \delta(y) + 1\) si \(y \not \leadsto z\).

2. Si \(Z\) est une sous-variété fermée et \(W = \overline{\{y\}}\), alors

   1. \(\delta_Z(y) = 0\) si \(W \subset Z\),

   2. \(\delta_Z(y) = \dim(W) - \dim(Z)\) si \(Z\) est contenue dans \(W\),

   3. \(\delta_Z(y) = 1\) si \(\dim(W) \leq \dim(Z)\) et \(W \not \subset Z\),

   4. \(\delta_Z(y) = \dim(W) - \dim(Z) + 1\) si \(\dim(W) > \dim(Z)\) et \(Z \not \subset W\).

Une généralisation du cas (1) s’obtient lorsque \(Y\) est de type fini sur un corps et que \(Z = \{z\}\) est un point fermé. Alors \(\delta_Z(y) = \delta(y) + t\), où \(t\) est la longueur minimale d’une chaîne de courbes reliant \(z\) à un point fermé de \(\overline{\{y\}}\).

Algébrisation des modules formels cohérents, III

Nous poursuivons la discussion commencée aux sections 0DXS et 0EIT. Nous utiliserons la fonction de distance de la section 0EIW pour formuler certaines conditions naturelles sur les modules formels cohérents dans la situation 0EHC.

Dans la situation 0EHC, étant donné un point \(y \in U \cap Y\), nous pouvons considérer la complétion \(I\)-adique \[\mathcal{O}_{X, y}^\wedge = \lim \mathcal{O}_{X, y}/I^n\mathcal{O}_{X, y}\] C’est un anneau local noethérien complet pour la topologie \(I\mathcal{O}_{X, y}^\wedge\)-adique, d’idéal maximal \(\mathfrak m_y^\wedge\) ; voir Algèbre, section 0BNH. Soit \((\mathcal{F}_n)\) un objet de \(\textit{Coh}(U, I\mathcal{O}_U)\). Définissons le « germe » de \((\mathcal{F}_n)\) en \(y\) par la formule \[\mathcal{F}_y^\wedge = \lim \mathcal{F}_{n, y}\] C’est un module de type fini sur \(\mathcal{O}_{X, y}^\wedge\). Voir Algèbre, lemmes 09B8 et 031D.

Définition

Dans la situation 0EHC, soit \((\mathcal{F}_n)\) un objet de \(\textit{Coh}(U, I\mathcal{O}_U)\). Soient \(a, b\) des entiers. Soit \(\delta^Y_Z\) comme dans (0EIX). Nous disons que \((\mathcal{F}_n)\) satisfait les inégalités \((a, b)\) si, pour \(y \in U \cap Y\) et un idéal premier \(\mathfrak p \subset \mathcal{O}_{X, y}^\wedge\) tel que \(\mathfrak p \not \in V(I\mathcal{O}_{X, y}^\wedge)\),

1. si \(V(\mathfrak p) \cap V(I\mathcal{O}_{X, y}^\wedge) \not = \{\mathfrak m_y^\wedge\}\), alors \[\text{depth}((\mathcal{F}^\wedge_y)_\mathfrak p) + \delta^Y_Z(y) \geq a \quad\text{ou}\quad \text{depth}((\mathcal{F}^\wedge_y)_\mathfrak p) + \dim(\mathcal{O}_{X, y}^\wedge/\mathfrak p) + \delta^Y_Z(y) > b\]

2. si \(V(\mathfrak p) \cap V(I\mathcal{O}_{X, y}^\wedge) = \{\mathfrak m_y^\wedge\}\), alors \[\text{depth}((\mathcal{F}^\wedge_y)_\mathfrak p) + \delta^Y_Z(y) > a\]

Nous disons que \((\mathcal{F}_n)\) satisfait les inégalités strictes \((a, b)\) si, pour \(y \in U \cap Y\) et un idéal premier \(\mathfrak p \subset \mathcal{O}_{X, y}^\wedge\) tel que \(\mathfrak p \not \in V(I\mathcal{O}_{X, y}^\wedge)\), on a \[\text{depth}((\mathcal{F}^\wedge_y)_\mathfrak p) + \delta^Y_Z(y) > a \quad\text{ou}\quad \text{depth}((\mathcal{F}^\wedge_y)_\mathfrak p) + \dim(\mathcal{O}_{X, y}^\wedge/\mathfrak p) + \delta^Y_Z(y) > b\]

Voici quelques observations élémentaires.

Lemme

Dans la situation 0EHC, soit \((\mathcal{F}_n)\) un objet de \(\textit{Coh}(U, I\mathcal{O}_U)\). Soient \(a, b\) des entiers.

1. Si \((\mathcal{F}_n)\) est annulé par une puissance de \(I\), alors \((\mathcal{F}_n)\) satisfait les inégalités \((a, b)\) pour tous \(a, b\).

2. Si \((\mathcal{F}_n)\) satisfait les inégalités \((a + 1, b)\), alors \((\mathcal{F}_n)\) satisfait les inégalités strictes \((a, b)\).

Si \(\text{cd}(A, I) \leq d\) et si \(A\) possède un complexe dualisant, alors

1. \((\mathcal{F}_n)\) satisfait les inégalités \((s, s + d)\) si et seulement si, pour tout \(y \in U \cap Y\), le sextuplet \(\mathcal{O}_{X, y}^\wedge, I\mathcal{O}_{X, y}^\wedge, \{\mathfrak m_y^\wedge\}, \mathcal{F}_y^\wedge, s - \delta^Y_Z(y), d\) satisfait les hypothèses de la situation 0EFU.

2. Si \((\mathcal{F}_n)\) satisfait les inégalités strictes \((s, s + d)\), alors \((\mathcal{F}_n)\) satisfait les inégalités \((s, s + d)\).

Démonstration

C’est immédiat, sauf pour la partie (4), qui découle du lemme 0EFW et de la reformulation de (3).

Lemme

Dans la situation 0EHC, soit \((\mathcal{F}_n)\) un objet de \(\textit{Coh}(U, I\mathcal{O}_U)\). Si \(\text{cd}(A, I) = 1\), alors \(\mathcal{F}\) satisfait les inégalités \((2, 3)\) si et seulement si \[\text{depth}((\mathcal{F}^\wedge_y)_\mathfrak p) + \dim(\mathcal{O}_{X, y}^\wedge/\mathfrak p) + \delta^Y_Z(y) > 3\] pour tout \(y \in U \cap Y\) et tout \(\mathfrak p \subset \mathcal{O}_{X, y}^\wedge\) tel que \(\mathfrak p \not \in V(I\mathcal{O}_{X, y}^\wedge)\).

Démonstration

Observons que, pour un idéal premier \(\mathfrak p \subset \mathcal{O}_{X, y}^\wedge\), \(\mathfrak p \not \in V(I\mathcal{O}_{X, y}^\wedge)\), nous avons \(V(\mathfrak p) \cap V(I\mathcal{O}_{X, y}^\wedge) = \{\mathfrak m_y^\wedge\} \Leftrightarrow \dim(\mathcal{O}_{X, y}^\wedge/\mathfrak p) = 1\) car \(\text{cd}(A, I) = 1\). Voir Cohomologie locale, lemmes 0DXA et 0DXF. Considérons les trois nombres \(\alpha = \text{depth}((\mathcal{F}^\wedge_y)_\mathfrak p) \geq 0\), \(\beta = \dim(\mathcal{O}_{X, y}^\wedge/\mathfrak p) \geq 1\), et \(\gamma = \delta^Y_Z(y) \geq 1\). La définition 0EJ3 exige alors

1. si \(\beta > 1\), alors \(\alpha + \gamma \geq 2\) ou \(\alpha + \beta + \gamma > 3\), et

2. si \(\beta = 1\), alors \(\alpha + \gamma > 2\).

Il est immédiat que cela équivaut à \(\alpha + \beta + \gamma > 3\).

Dans la suite de cette section, que nous suggérons au lecteur de sauter en première lecture, nous montrerons que, lorsque \(A\) est \(I\)-adiquement complet, la catégorie des objets \((\mathcal{F}_n)\) de \(\textit{Coh}(U, I\mathcal{O}_U)\) qui s’étendent à \(X\) et satisfont aux inégalités \((1, 1 + \text{cd}(A, I))\) strictes est équivalente à une sous-catégorie pleine de la catégorie des \(\mathcal{O}_U\)-modules cohérents.

Lemme

Dans la situation 0EHC, soit \(\mathcal{F}\) un \(\mathcal{O}_U\)-module cohérent et soit \(d \geq 1\). Supposons que

1. \(A\) soit \(I\)-adiquement complet, possède un complexe dualisant, et que \(\text{cd}(A, I) \leq d\),

2. le complété \(\mathcal{F}^\wedge\) de \(\mathcal{F}\) satisfasse aux inégalités \((1, 1 + d)\) strictes.

Soit \(x \in X\) un point. Posons \(W = \overline{\{x\}}\). Si \(W \cap Y\) a une composante irréductible contenue dans \(Z\) et une qui ne l’est pas, alors \(\text{depth}(\mathcal{F}_x) \geq 1\).

Démonstration

Soit \(W \cap Y = W_1 \cup \ldots \cup W_n\) sa décomposition en composantes irréductibles. Par hypothèse, après renumérotation, nous pouvons trouver \(0 < m < n\) tel que \(W_1, \ldots, W_m \subset Z\) et \(W_{m + 1}, \ldots, W_n \not \subset Z\). Nous en concluons que \[W \cap Y \setminus \left((W_1 \cup \ldots \cup W_m) \cap (W_{m + 1} \cup \ldots \cup W_n)\right)\] n’est pas connexe. Par le lemme 0EG5, nous pouvons trouver \(1 \leq i \leq m < j \leq n\) et \(z \in W_i \cap W_j\) tels que \(\dim(\mathcal{O}_{W, z}) \leq d + 1\). Choisissons une spécialisation immédiate \(y \leadsto z\) avec \(y \in W_j\), \(y \not \in Z\) ; l’existence de \(y\) résulte de Propriétés, lemme 02IM. Observons que \(\delta^Y_Z(y) = 1\) et \(\dim(\mathcal{O}_{W, y}) \leq d\). Soit \(\mathfrak p \subset \mathcal{O}_{X, y}\) l’idéal premier correspondant à \(x\). Soit \(\mathfrak p' \subset \mathcal{O}_{X, y}^\wedge\) un idéal premier minimal au-dessus de \(\mathfrak p\mathcal{O}_{X, y}^\wedge\). Alors \[\text{depth}(\mathcal{F}_x) = \text{depth}((\mathcal{F}^\wedge_y)_{\mathfrak p'}) \quad\text{et}\quad \dim(\mathcal{O}_{W, y}) = \dim(\mathcal{O}_{X, y}^\wedge/\mathfrak p')\] Voir Algèbre, lemme 0338, et Cohomologie locale, lemme 0EHW. La conclusion se lit alors directement sur les inégalités données.

Lemme

Dans la situation 0EHC, soit \(\mathcal{F}\) un \(\mathcal{O}_U\)-module cohérent et soit \(d \geq 1\). Supposons que

1. \(A\) soit \(I\)-adiquement complet, possède un complexe dualisant, et que \(\text{cd}(A, I) \leq d\),

2. le complété \(\mathcal{F}^\wedge\) de \(\mathcal{F}\) satisfasse aux inégalités \((1, 1+ d)\) strictes, et

3. pour \(x \in U\) tel que \(\overline{\{x\}} \cap Y \subset Z\), nous ayons \(\text{depth}(\mathcal{F}_x) \geq 2\).

Alors \(H^0(U, \mathcal{F}) \to \lim H^0(U, \mathcal{F}/I^n\mathcal{F})\) est un isomorphisme.

Démonstration

Nous allons le démontrer en vérifiant que le lemme 0EIG s’applique. Soit donc \(x \in \text{Ass}(\mathcal{F})\) avec \(x \not \in Y\). Posons \(W = \overline{\{x\}}\). La condition (3) montre que \(W \cap Y \not \subset Z\). Le lemme 0EJ5 montre qu’aucune composante irréductible de \(W \cap Y\) n’est contenue dans \(Z\). Ainsi, si \(z \in W \cap Z\), il existe une spécialisation immédiate \(y \leadsto z\), avec \(y \in W \cap Y\) et \(y \not \in Z\). Pour l’existence de \(y\), utiliser Propriétés, lemme 02IM. Alors \(\delta^Y_Z(y) = 1\) et l’hypothèse implique que \(\dim(\mathcal{O}_{W, y}) > d\). Par conséquent \(\dim(\mathcal{O}_{W, z}) > 1 + d\), ce qui conclut.

Lemme

Dans la situation 0EHC, soit \(\mathcal{F}\) un \(\mathcal{O}_U\)-module cohérent et soit \(d \geq 1\). Supposons que

1. \(A\) soit \(I\)-adiquement complet, possède un complexe dualisant, et que \(\text{cd}(A, I) \leq d\),

2. le complété \(\mathcal{F}^\wedge\) de \(\mathcal{F}\) satisfasse aux inégalités \((1, 1 + d)\) strictes, et

3. pour \(x \in U\) tel que \(\overline{\{x\}} \cap Y \subset Z\), nous ayons \(\text{depth}(\mathcal{F}_x) \geq 2\).

Alors l’application \[\Hom_U(\mathcal{G}, \mathcal{F}) \longrightarrow \Hom_{\textit{Coh}(U, I\mathcal{O}_U)}(\mathcal{G}^\wedge, \mathcal{F}^\wedge)\] est bijective pour tout \(\mathcal{O}_U\)-module cohérent \(\mathcal{G}\).

Démonstration

Posons \(\mathcal{H} = \SheafHom_{\mathcal{O}_U}(\mathcal{G}, \mathcal{F})\). À l’aide de Cohomologie des schémas, lemme 0EBC, ou de Compléments sur l’algèbre, lemme 0AV5, nous voyons que le complété de \(\mathcal{H}\) satisfait aux inégalités \((1, 1 + d)\) strictes et que, pour \(x \in U\) tel que \(\overline{\{x\}} \cap Y \subset Z\), nous avons \(\text{depth}(\mathcal{H}_x) \geq 2\). Nous omettons les détails. Par le lemme 0EJ6, nous avons donc \[\Hom_U(\mathcal{G}, \mathcal{F}) = H^0(U, \mathcal{H}) = \lim H^0(U, \mathcal{H}/\mathcal{I}^n\mathcal{H}) = \Mor_{\textit{Coh}(U, I\mathcal{O}_U)} (\mathcal{G}^\wedge, \mathcal{F}^\wedge)\] Voir Cohomologie des schémas, lemme 0882, pour la dernière égalité.

Lemme

Dans la situation 0EHC, soit \((\mathcal{F}_n)\) un objet de \(\textit{Coh}(U, I\mathcal{O}_U)\) et soit \(d \geq 1\). Supposons que

1. \(A\) soit \(I\)-adiquement complet, possède un complexe dualisant, et que \(\text{cd}(A, I) \leq d\),

2. \((\mathcal{F}_n)\) soit le complété d’un \(\mathcal{O}_U\)-module cohérent,

3. \((\mathcal{F}_n)\) satisfasse aux inégalités \((1, 1 + d)\) strictes.

Alors il existe un unique \(\mathcal{O}_U\)-module cohérent \(\mathcal{F}\) dont le complété est \((\mathcal{F}_n)\) et tel que, pour \(x \in U\) avec \(\overline{\{x\}} \cap Y \subset Z\), nous ayons \(\text{depth}(\mathcal{F}_x) \geq 2\).

Démonstration

Choisissons un \(\mathcal{O}_U\)-module cohérent \(\mathcal{F}\) dont le complété est \((\mathcal{F}_n)\). Posons \(T = \{x \in U \mid \overline{\{x\}} \cap Y \subset Z\}\). Nous construirons \(\mathcal{F}\) en appliquant Cohomologie locale, lemme 0EI3, à \(\mathcal{F}\) et \(T\). L’unicité résultera alors de la propriété d’unicité des morphismes du lemme 0EJ7.

Puisque \(T\) est stable par spécialisation dans \(U\), il suffit de vérifier ce qui suit. Si \(x' \leadsto x\) est une spécialisation immédiate de points de \(U\) avec \(x \in T\) et \(x' \not \in T\), alors \(\text{depth}(\mathcal{F}_{x'}) \geq 1\). Posons \(W = \overline{\{x\}}\) et \(W' = \overline{\{x'\}}\). Comme \(x' \not \in T\), l’ensemble \(W' \cap Y\) n’est pas contenu dans \(Z\). Si \(W' \cap Y\) contient une composante irréductible contenue dans \(Z\), le lemme 0EJ5 permet de conclure. Sinon, choisissons une composante irréductible \(W_1\) de \(W \cap Y\) et une composante irréductible \(W'_1\) de \(W' \cap Y\) telles que \(W_1 \subset W'_1\). Soit \(z \in W_1\) le point générique. Soit \(y \leadsto z\), avec \(y \in W'_1\), une spécialisation immédiate telle que \(y \not \in Z\) ; l’existence de \(y\) résulte de \(W'_1 \not \subset Z\) (voir ci-dessus) et de Propriétés, lemme 02IM. Nous avons alors \(z \in Z\), \(x \leadsto z\), \(x' \leadsto y \leadsto z\), \(y \in Y \setminus Z\), et \(\delta^Y_Z(y) = 1\). Par Cohomologie locale, lemme 0DXF, et puisque \(z\) est un point générique de \(W \cap Y\), nous avons \(\dim(\mathcal{O}_{W, z}) \leq d\). Comme \(x' \leadsto x\) est une spécialisation immédiate, nous avons \(\dim(\mathcal{O}_{W', z}) \leq d + 1\). Puisque \(y \not = z\), nous en concluons que \(\dim(\mathcal{O}_{W', y}) \leq d\). Si \(\text{depth}(\mathcal{F}_{x'}) = 0\), nous obtiendrions une contradiction avec l’hypothèse (3) ; nous omettons les détails du passage de \(\mathcal{O}_{X, y}\) à son complété. Cela achève la démonstration.

Algébrisation des modules formels cohérents, IV

Dans cette section, nous démontrons deux versions plus fortes du lemme 0DXW dans le cas local, à savoir les lemmes 0DXU et 0EJ9. Bien que ces lemmes soient rendus caducs par la proposition plus générale 0EJJ, leurs démonstrations sont sensiblement plus simples.

Lemme

Dans la situation 0EHC, soit \((\mathcal{F}_n)\) un objet de \(\textit{Coh}(U, I\mathcal{O}_U)\). Supposons que

1. \(A\) soit local et que \(\mathfrak a = \mathfrak m\) soit l’idéal maximal,

2. \(A\) possède un complexe dualisant,

3. \(I = (f)\) soit un idéal principal engendré par un élément non diviseur de zéro \(f \in \mathfrak m\),

4. \(\mathcal{F}_n\) soit un \(\mathcal{O}_U/f^n\mathcal{O}_U\)-module localement libre de type fini,

5. si \(\mathfrak p \in V(f) \setminus \{\mathfrak m\}\), alors \(\text{depth}((A/f)_\mathfrak p) + \dim(A/\mathfrak p) > 1\), et

6. si \(\mathfrak p \not \in V(f)\) et \(V(\mathfrak p) \cap V(f) \not = \{\mathfrak m\}\), alors \(\text{depth}(A_\mathfrak p) + \dim(A/\mathfrak p) > 3\).

Alors \((\mathcal{F}_n)\) s’étend canoniquement à \(X\). En particulier, si \(A\) est complet, alors \((\mathcal{F}_n)\) est le complété d’un \(\mathcal{O}_U\)-module cohérent.

Démonstration

Nous allons le démontrer en vérifiant les hypothèses (a), (b) et (c) du lemme 0EHH.

Puisque \(\mathcal{F}_n\) est localement libre sur \(\mathcal{O}_U/f^n\mathcal{O}_U\), nous avons des suites exactes courtes \(0 \to \mathcal{F}_n \to \mathcal{F}_{n + 1} \to \mathcal{F}_1 \to 0\) pour tout \(n\). La condition (b) résulte donc de Cohomologie, lemme 0EHA.

Par récurrence sur \(n\) et à l’aide des suites exactes courtes \(0 \to A/f^n \to A/f^{n + 1} \to A/f \to 0\), nous voyons que les idéaux premiers associés de \(A/f^nA\) coïncident avec les idéaux premiers associés de \(A/fA\). Comme les points associés de \(\mathcal{F}_n\) correspondent aux idéaux premiers associés de \(A/f^nA\) distincts de \(\mathfrak m\) par l’hypothèse (3), nous en concluons que \(M_n = H^0(U, \mathcal{F}_n)\) est un \(A\)-module de type fini d’après (5) et Cohomologie locale, proposition 0BK3. L’hypothèse (c) est donc satisfaite.

Pour achever la démonstration, il suffit de montrer qu’il existe \(n > 1\) tel que l’image de \[H^1(U, \mathcal{F}_n) \longrightarrow H^1(U, \mathcal{F}_1)\] soit de longueur finie comme \(A\)-module. Cela impliquera en effet l’hypothèse (a) par Cohomologie, lemme 0DXG. L’image est indépendante de \(n\) pour \(n\) assez grand d’après le lemme 0DX1. Soit \(\omega_A^\bullet\) un complexe dualisant normalisé pour \(A\). D’après le théorème de dualité locale et la dualité de Matlis (Complexes dualisants, lemme 0AAK et proposition 08Z9), notre assertion équivaut à dire que l’image de \[\text{Ext}^{-2}_A(M_1, \omega_A^\bullet) \to \text{Ext}^{-2}_A(M_n, \omega_A^\bullet)\] est de longueur finie pour \(n \gg 1\). Les modules considérés sont des \(A\)-modules de type fini à support dans \(V(f)\). Il suffit donc de montrer que cette application est nulle après localisation en un idéal premier \(\mathfrak q\) contenant \(f\) et distinct de \(\mathfrak m\). Soit \(\omega_{A_\mathfrak q}^\bullet\) un complexe dualisant normalisé sur \(A_\mathfrak q\) et rappelons que \(\omega_{A_\mathfrak q}^\bullet = (\omega_A^\bullet)_\mathfrak q[\dim(A/\mathfrak q)]\) d’après Complexes dualisants, lemme 0A7Z. En utilisant la structure locale de \(\mathcal{F}_n\) donnée en (4), nous voyons qu’il suffit de montrer l’annulation de \[\text{Ext}^{-2 + \dim(A/\mathfrak q)}_{A_\mathfrak q}( A_\mathfrak q/f, \omega_{A_\mathfrak q}^\bullet) \to \text{Ext}^{-2 + \dim(A/\mathfrak q)}_{A_\mathfrak q}( A_\mathfrak q/f^n, \omega_{A_\mathfrak q}^\bullet)\] pour \(n\) assez grand. Si \(\dim(A/\mathfrak q) > 3\), cela résulte immédiatement de Cohomologie locale, lemme 0DWZ. Dans les autres cas, nous utiliserons la suite exacte longue \[\ldots \xrightarrow{f^n} H^{-1}(\omega_{A_\mathfrak q}^\bullet) \to \text{Ext}^{-1}_{A_\mathfrak q}( A_\mathfrak q/f^n, \omega_{A_\mathfrak q}^\bullet) \to H^0(\omega_{A_\mathfrak q}^\bullet) \xrightarrow{f^n} H^0(\omega_{A_\mathfrak q}^\bullet) \to \text{Ext}^0_{A_\mathfrak q}( A_\mathfrak q/f^n, \omega_{A_\mathfrak q}^\bullet) \to 0\] Si \(\dim(A/\mathfrak q) = 2\), alors \(H^0(\omega_{A_\mathfrak q}^\bullet) = 0\) car \(\text{depth}(A_\mathfrak q) \geq 1\), puisque \(f\) est un élément non diviseur de zéro. La suite exacte longue montre donc que la condition s’écrit \[f^{n - 1} : H^{-1}(\omega_{A_\mathfrak q}^\bullet)/f \to H^{-1}(\omega_{A_\mathfrak q}^\bullet)/f^n\] est nulle. Or \(H^{-1}(\omega^\bullet_\mathfrak q)\) est un module de type fini dont le support est contenu dans les idéaux premiers \(\mathfrak p \subset A_\mathfrak q\) tels que \(\text{depth}(A_\mathfrak p) + \dim((A/\mathfrak p)_\mathfrak q) \leq 1\). Puisque \(\dim((A/\mathfrak p)_\mathfrak q) = \dim(A/\mathfrak p) - 2\), la condition (6) nous dit que ces idéaux premiers sont contenus dans \(V(f)\). D’où l’annulation voulue pour \(n\) assez grand. Enfin, si \(\dim(A/\mathfrak q) = 1\), la condition (5), combinée au fait que \(f\) est un élément non diviseur de zéro, assure que \(A_\mathfrak q\) est de profondeur au moins \(2\). Par conséquent, \(H^0(\omega_{A_\mathfrak q}^\bullet) = H^{-1}(\omega_{A_\mathfrak q}^\bullet) = 0\), et la suite exacte longue montre que l’assertion équivaut à l’annulation de \[f^{n - 1} : H^{-2}(\omega_{A_\mathfrak q}^\bullet)/f \to H^{-2}(\omega_{A_\mathfrak q}^\bullet)/f^n\] Or \(H^{-2}(\omega^\bullet_\mathfrak q)\) est un module de type fini dont le support est contenu dans les idéaux premiers \(\mathfrak p \subset A_\mathfrak q\) tels que \(\text{depth}(A_\mathfrak p) + \dim((A/\mathfrak p)_\mathfrak q) \leq 2\). D’après la condition (6), tous ces idéaux premiers sont contenus dans \(V(f)\). D’où l’annulation voulue pour \(n\) assez grand.

Remarque

Soit \((A, \mathfrak m)\) un anneau local noethérien, intègre, normal, complet, de dimension \(\geq 4\), et soit \(f \in \mathfrak m\) non nul. Les hypothèses (1), (2), (3), (5) et (6) du lemme 0DXU sont alors satisfaites. Les fibrés vectoriels sur la complétion formelle de \(U\) le long de \(U \cap V(f)\) peuvent donc être algébrisés. Dans le lemme 0EJ9, nous généraliserons ceci à des modules formels cohérents plus généraux ; comparer également avec la remarque 0EJC.

Lemme

Dans la situation 0EHC, soit \((M_n)\) un système projectif de \(A\)-modules comme dans le lemme 0DXT, et soit \((\mathcal{F}_n)\) l’objet correspondant de \(\textit{Coh}(U, I\mathcal{O}_U)\). Soient \(d \geq \text{cd}(A, I)\) et \(s \geq 0\) des entiers. Avec les notations ci-dessus, supposons que

1. \(A\) soit local, d’idéal maximal \(\mathfrak m = \mathfrak a\),

2. \(A\) possède un complexe dualisant, et

3. \((\mathcal{F}_n)\) satisfasse aux inégalités \((s, s + d)\) (définition 0EJ3).

Soit \(E\) une enveloppe injective du corps résiduel de \(A\). Alors, pour \(i \leq s\), il existe un \(A\)-module de type fini \(N\), annulé par une puissance de \(I\), et, pour \(n \gg 0\), des applications compatibles \[H^i_\mathfrak m(M_n) \to \Hom_A(N, E)\] dont les conoyaux sont des \(A\)-modules de longueur finie et dont les noyaux \(K_n\) forment un système projectif tel que \(\Im(K_{n''} \to K_{n'})\) soit de longueur finie pour \(n'' \gg n' \gg 0\).

Démonstration

Soit \(\omega_A^\bullet\) un complexe dualisant normalisé. Alors \(\delta^Y_Z = \delta\) est la fonction de dimension associée à ce complexe dualisant. Observons que \(\Ext^{-i}_A(M_n, \omega_A^\bullet)\) est un \(A\)-module de type fini annulé par \(I^n\). Fixons \(0 \leq i \leq s\). Nous trouverons ci-dessous \(n_1 > n_0 > 0\) tels qu’en posant \[N = \Im(\Ext^{-i}_A(M_{n_0}, \omega_A^\bullet) \to \Ext^{-i}_A(M_{n_1}, \omega_A^\bullet))\] les noyaux des applications \[N \to \Ext^{-i}_A(M_n, \omega_A^\bullet),\quad n \geq n_1\] soient des \(A\)-modules de longueur finie et que les conoyaux \(Q_n\) forment un système tel que \(\Im(Q_{n'} \to Q_{n''})\) soit de longueur finie pour \(n'' \gg n' \gg n_1\). Cela revient à dire que le système \(\{\Ext^{-i}_A(M_n, \omega_A^\bullet)\}_{n \geq 1}\) est essentiellement constant dans la catégorie quotient de la catégorie des \(A\)-modules de type fini par la sous-catégorie de Serre des \(A\)-modules de longueur finie. D’après le théorème de dualité locale (Complexes dualisants, lemme 0AAK) et la dualité de Matlis (Complexes dualisants, proposition 08Z9), nous en concluons qu’il existe des applications \[H^i_\mathfrak m(M_n) \to \Hom_A(N, E),\quad n \geq n_1\] comme dans l’énoncé du lemme.

Choisissons \(f \in \mathfrak m\). Soit \(B = A_f^\wedge\) le complété \(I\)-adique de la localisation \(A_f\). Rappelons que \(\omega_{A_f}^\bullet = \omega_A^\bullet \otimes_A A_f\) et \(\omega_B^\bullet = \omega_A^\bullet \otimes_A B\) sont des complexes dualisants (Complexes dualisants, lemme 0A7G et 0DWD). Soit \(M\) le \(B\)-module de type fini \(\lim M_{n, f}\) (comparer avec la discussion dans Cohomologie des schémas, lemme 087W). Alors \[\Ext^{-i}_A(M_n, \omega_A^\bullet)_f = \Ext^{-i}_{A_f}(M_{n, f}, \omega_{A_f}^\bullet) = \Ext^{-i}_B(M/I^n M, \omega_B^\bullet)\] Comme \(\mathfrak m\) peut être engendré par un nombre fini d’éléments \(f \in \mathfrak m\), il suffit de montrer que, pour chacun de ces \(f\), le système \[\{\Ext^{-i}_B(M/I^n M, \omega_B^\bullet)\}_{n \geq 1}\] est essentiellement constant. Nous omettons quelques détails.

Soit \(\mathfrak q \subset IB\) un idéal premier. Alors \(\mathfrak q\) correspond à un point \(y \in U \cap Y\). Observons que \(\delta(\mathfrak q) = \dim(\overline{\{y\}})\) est aussi la valeur de la fonction de dimension associée à \(\omega_B^\bullet\) (nous omettons les détails ; utiliser que \(\omega_B^\bullet\) s’obtient de \(\omega_A^\bullet\) par extension des scalaires à \(B\)). L’hypothèse (3) garantit, via le lemme 0EJ4, que le lemme 0EFR s’applique à \(B_\mathfrak q, IB_\mathfrak q, \mathfrak qB_\mathfrak q, M_\mathfrak q\) en remplaçant \(s\) par \(s - \delta(y)\). Nous obtenons \[H^{i - \delta(\mathfrak q)}_{\mathfrak qB_\mathfrak q}(M_\mathfrak q) = \lim H^{i - \delta(\mathfrak q)}_{\mathfrak qB_\mathfrak q}( (M/I^nM)_\mathfrak q)\] et ce module est annulé par une puissance de \(I\). Le lemme 0EHB montre que les systèmes projectifs \(H^{i - \delta(\mathfrak q)}_{\mathfrak qB_\mathfrak q}((M/I^nM)_\mathfrak q)\) sont essentiellement constants, de valeur \(H^{i - \delta(\mathfrak q)}_{\mathfrak qB_\mathfrak q}(M_\mathfrak q)\). Comme \((\omega_B^\bullet)_\mathfrak q[-\delta(\mathfrak q)]\) est un complexe dualisant normalisé sur \(B_\mathfrak q\), le théorème de dualité locale montre que le système \[\Ext^{-i}_B(M/I^n M, \omega_B^\bullet)_\mathfrak q\] est essentiellement constant, de valeur \(\Ext^{-i}_B(M, \omega_B^\bullet)_\mathfrak q\).

Pour achever la démonstration, passons au global comme dans la démonstration du lemme 0EFX ; l’argument est ici plus simple, car nous connaissons déjà la valeur de notre système. Considérons les applications \[\alpha_n : \Ext^{-i}_B(M/I^n M, \omega_B^\bullet) \longrightarrow \Ext^{-i}_B(M, \omega_B^\bullet)\] lorsque \(n\) varie. D’après ce qui précède, pour tout \(\mathfrak q\), il existe un \(n\) tel que \(\alpha_n\) soit surjective après localisation en \(\mathfrak q\). Comme \(B\) est noethérien et \(\Ext^{-i}_B(M, \omega_B^\bullet)\) un module de type fini, il existe un \(n\) tel que \(\alpha_n\) soit surjective. Pour tout \(n\) tel que \(\alpha_n\) soit surjective, étant donné un idéal premier \(\mathfrak q \in V(IB)\), il existe un \(n' > n\) tel que \(\Ker(\alpha_n)\) s’envoie sur zéro dans \(\Ext^{-i}(M/I^{n'}M, \omega_B^\bullet)\), au moins après localisation en \(\mathfrak q\). Comme \(\Ker(\alpha_n)\) est un \(A\)-module de type fini et que les supports des sections sont quasi-compacts, il existe un \(n'\) tel que \(\Ker(\alpha_n)\) s’envoie sur zéro dans \(\Ext^{-i}(M/I^{n'}M, \omega_B^\bullet)\). On voit ainsi que \(\Ext^{-i}(M/I^n M, \omega_B^\bullet)\) est essentiellement constant, de valeur \(\Ext^{-i}(M, \omega_B^\bullet)\). Ceci achève la démonstration.

Voici une version plus générale du lemme 0DXU.

Lemme

Dans la situation 0EHC, soit \((\mathcal{F}_n)\) un objet de \(\textit{Coh}(U, I\mathcal{O}_U)\). Supposons que

1. \(A\) soit local et \(\mathfrak a = \mathfrak m\) soit l’idéal maximal,

2. \(A\) possède un complexe dualisant,

3. \(I = (f)\) soit un idéal principal,

4. \((\mathcal{F}_n)\) vérifie les inégalités \((2, 3)\).

Alors \((\mathcal{F}_n)\) s’étend à \(X\). En particulier, si \(A\) est complet pour la topologie \(I\)-adique, alors \((\mathcal{F}_n)\) est le complété d’un \(\mathcal{O}_U\)-module cohérent.

Démonstration

Rappelons que \(\textit{Coh}(U, I\mathcal{O}_U)\) est une catégorie abélienne, voir Cohomologie des schémas, lemme 087X. Sur les ouverts affines de \(U\), l’objet \((\mathcal{F}_n)\) correspond à un module de type fini sur un anneau noethérien (Cohomologie des schémas, lemme 087W). Ainsi, les noyaux des applications \(f^N : (\mathcal{F}_n) \to (\mathcal{F}_n)\) se stabilisent pour \(N\) assez grand. D’après les lemmes 0EIU et 0EIL, pour démontrer le lemme, nous pouvons remplacer \((\mathcal{F}_n)\) par l’image d’une telle application. Nous pouvons donc supposer que \(f\) est injectif sur \((\mathcal{F}_n)\). Après ce remplacement, les conditions équivalentes du lemme 0EH9 sont vérifiées pour le système projectif \((\mathcal{F}_n)\) sur \(U\). Nous l’utiliserons sans autre mention dans la suite de la démonstration.

Nous allons vérifier les hypothèses (a), (b) et (c) du lemme 0EHH. L’hypothèse (b) résulte de Cohomologie, lemme 0EHA.

Choisissons un système projectif de modules \(\{M_n\}\) comme dans le lemme 0DXT. Nous pouvons supposer que \(H^0_\mathfrak m(M_n) = 0\) en remplaçant, si nécessaire, \(M_n\) par \(M_n/H^0_\mathfrak m(M_n)\). Nous obtenons alors des suites exactes courtes \[0 \to M_n \to H^0(U, \mathcal{F}_n) \to H^1_\mathfrak m(M_n) \to 0\] pour tout \(n\). Soit \(E\) une enveloppe injective du corps résiduel de \(A\). D’après le lemme 0EHK et notre hypothèse (4), nous pouvons choisir un entier \(m \geq 0\), des \(A\)-modules de type fini \(N_1\) et \(N_2\) annulés par \(f^c\) pour un certain \(c \geq 0\), ainsi que des systèmes compatibles d’applications \[H^i_\mathfrak m(M_n) \to \Hom_A(N_i, E), \quad i = 1, 2\] pour \(n \geq m\), ayant les propriétés énoncées dans le lemme.

Nous savons que \(M = \lim H^0(U, \mathcal{F}_n)\) est un \(A\)-module dont la topologie de limite est la topologie \(f\)-adique. Ainsi, étant donné \(n\), le module \(M/f^nM\) est un sous-quotient de \(H^0(U, \mathcal{F}_N)\) pour un certain \(N \gg n\). Les informations obtenues ci-dessus montrent que \(f^cM/f^nM\) est un \(A\)-module de type fini. Comme \(f\) est un élément non diviseur de zéro dans \(M\), nous en déduisons que \(M/f^{n - c}M\) est un \(A\)-module de type fini. On voit ainsi que l’hypothèse (c) du lemme 0EHH est vérifiée.

Étudions ensuite le module \[Ob = \lim H^1(U, \mathcal{F}_n) = \lim H^2_\mathfrak m(M_n)\] Pour \(n \geq m\), soit \(K_n\) le noyau de l’application \(H^2_\mathfrak m(M_n) \to \Hom_A(N_2, E)\). Posons \(K = \lim K_n\). Nous obtenons une suite exacte \[0 \to K \to Ob \to \Hom_A(N_2, E)\] D’après ce qui précède, la topologie de limite sur \(Ob = \lim H^2_\mathfrak m(M_n)\) est la topologie \(f\)-adique. Comme \(N_2\) est annulé par \(f^c\), nous en déduisons qu’il en va de même pour la topologie de limite sur \(K = \lim K_n\). Ainsi, \(K/fK\) est un sous-quotient de \(K_n\) pour \(n \gg 1\). Cependant, puisque \(\{K_n\}\) est pro-isomorphe à un système projectif de \(A\)-modules de longueur finie (d’après la conclusion du lemme 0EHK), nous en déduisons que \(K/fK\) est un sous-quotient d’un \(A\)-module de longueur finie. Il s’ensuit que \(K\) est un \(A\)-module de type fini, voir Algèbre, lemme 031D. (En fait, nous voyons même que \(\dim(\text{Supp}(K)) = 1\), mais nous n’en aurons pas besoin.)

Étant donné \(n \geq 1\), considérons l’application de bord \[\delta_n : H^0(U, \mathcal{F}_n) \longrightarrow \lim_N H^1(U, f^n\mathcal{F}_N) \xrightarrow{f^{-n}} Ob\] (la seconde application est un isomorphisme) provenant des suites exactes courtes \[0 \to f^n\mathcal{F}_N \to \mathcal{F}_N \to \mathcal{F}_n \to 0\] Pour tout \(n\), posons \[P_n = \Im(H^0(U, \mathcal{F}_{n + m}) \to H^0(U, \mathcal{F}_n))\] où \(m\) est comme ci-dessus. Observons que \(\{P_n\}\) est un système projectif et que l’application \(f : \mathcal{F}_n \to \mathcal{F}_{n + 1}\) sur les sections globales envoie \(P_n\) dans \(P_{n + 1}\). Si \(p \in P_n\), alors \(\delta_n(p) \in K \subset Ob\), car \(\delta_n(p)\) s’envoie sur zéro dans \(H^1(U, f^n\mathcal{F}_{n + m}) = H^2_\mathfrak m(M_m)\) et la composée de \(\delta_n\) et de \(Ob \to \Hom_A(N_2, E)\) se factorise par \(H^2_\mathfrak m(M_m)\) en vertu de notre choix de \(m\). Par conséquent, \[\bigoplus\nolimits_{n \geq 0} \Im(P_n \to Ob)\] est un \(A[T]\)-module gradué de type fini, où \(T\) agit par multiplication par \(f\). En effet, c’est un sous-module gradué de \(K[T]\) et \(K\) est de type fini sur \(A\). En raisonnant comme dans la démonstration de Cohomologie, lemme 0GYK⁷, nous voyons que le système projectif \(\{P_n\}\) satisfait à la condition ML. Comme \(\{P_n\}\) est pro-isomorphe à \(\{H^0(U, \mathcal{F}_n)\}\), nous en déduisons que \(\{H^0(U, \mathcal{F}_n)\}\) satisfait à la condition ML. Ainsi, l’hypothèse (a) du lemme 0EHH est vérifiée et la démonstration est achevée.

Nous pouvons expliciter la condition du lemme 0EJ9 comme suit.

Lemme

Dans la situation 0EHC, soit \((\mathcal{F}_n)\) un objet de \(\textit{Coh}(U, I\mathcal{O}_U)\). Supposons que

1. \(A\) soit local d’idéal maximal \(\mathfrak a = \mathfrak m\),

2. \(\text{cd}(A, I) = 1\).

Alors \((\mathcal{F}_n)\) vérifie les inégalités \((2, 3)\) si et seulement si, pour tout \(y \in U \cap Y\) tel que \(\dim(\{y\}) = 1\) et tout idéal premier \(\mathfrak p \subset \mathcal{O}_{X, y}^\wedge\), \(\mathfrak p \not \in V(I\mathcal{O}_{X, y}^\wedge)\), on a \[\text{depth}((\mathcal{F}_y^\wedge)_\mathfrak p) + \dim(\mathcal{O}_{X, y}^\wedge/\mathfrak p) > 2\]

Démonstration

Nous utiliserons le lemme 0EKW sans autre mention. En particulier, nous voyons que la condition est nécessaire. Réciproquement, supposons que la condition soit vraie. Notons que \(\delta^Y_Z(y) = \dim(\overline{\{y\}})\) d’après le lemme 0EIY. Notons \(\delta\) cette fonction. Soit \(y \in U \cap Y\). Si \(\delta(y) > 2\), alors l’inégalité du lemme 0EKW est vérifiée. Supposons enfin que \(\delta(y) = 2\). Il faut montrer que \[\text{depth}((\mathcal{F}_y^\wedge)_\mathfrak p) + \dim(\mathcal{O}_{X, y}^\wedge/\mathfrak p) > 1\] Choisissons une spécialisation \(y \leadsto y'\) telle que \(\delta(y') = 1\). Il existe alors un homomorphisme d’anneaux \(\mathcal{O}_{X, y'}^\wedge \to \mathcal{O}_{X, y}^\wedge\) qui identifie le but au complété de la localisation de \(\mathcal{O}_{X, y'}^\wedge\) en un idéal premier \(\mathfrak q\) tel que \(\dim(\mathcal{O}_{X, y'}^\wedge/\mathfrak q) = 1\). De plus, nous obtenons alors \[\mathcal{F}_y^\wedge = \mathcal{F}_{y'}^\wedge \otimes_{\mathcal{O}_{X, y'}^\wedge} \mathcal{O}_{X, y}^\wedge\] Soit \(\mathfrak p' \subset \mathcal{O}_{X, y'}^\wedge\) l’image de \(\mathfrak p\). D’après Cohomologie locale, lemme 0EHW, nous avons \[\begin{align*} \text{depth}((\mathcal{F}_y^\wedge)_\mathfrak p) + \dim(\mathcal{O}_{X, y}^\wedge/\mathfrak p) & = \text{depth}((\mathcal{F}_{y'}^\wedge)_{\mathfrak p'}) + \dim((\mathcal{O}_{X, y}^\wedge/\mathfrak p)_{\mathfrak p'}) \\ & = \text{depth}((\mathcal{F}_{y'}^\wedge)_{\mathfrak p'}) + \dim(\mathcal{O}_{X, y}^\wedge/\mathfrak p') - 1 \end{align*}\] la dernière égalité résultant du fait que la spécialisation est immédiate. Le lemme résulte donc de l’inégalité supposée pour \(y', \mathfrak p'\).

Lemme

Dans la situation 0EHC, soit \((\mathcal{F}_n)\) un objet de \(\textit{Coh}(U, I\mathcal{O}_U)\). Supposons que

1. \(A\) soit local d’idéal maximal \(\mathfrak a = \mathfrak m\),

2. \(A\) possède un complexe dualisant,

3. \(\text{cd}(A, I) = 1\),

4. pour \(y \in U \cap Y\), le module \(\mathcal{F}_y^\wedge\) soit localement libre de type fini hors de \(V(I\mathcal{O}_{X, y}^\wedge)\), par exemple si \(\mathcal{F}_n\) est un \(\mathcal{O}_U/I^n\mathcal{O}_U\)-module localement libre de type fini, et

5. l’une des conditions suivantes soit vérifiée :

   1. \(A_f\) soit \((S_2)\) et toute composante irréductible de \(X\) non contenue dans \(Y\) soit de dimension \(\geq 4\), ou

   2. si \(\mathfrak p \not \in V(f)\) et \(V(\mathfrak p) \cap V(f) \not = \{\mathfrak m\}\), alors \(\text{depth}(A_\mathfrak p) + \dim(A/\mathfrak p) > 3\).

Alors \((\mathcal{F}_n)\) vérifie les inégalités \((2, 3)\).

Démonstration

Nous allons utiliser le critère du lemme 0EJA. Soit \(y \in U \cap Y\) tel que \(\dim(\overline{\{y\}} = 1\) et soit \(\mathfrak p\) un idéal premier \(\mathfrak p \subset \mathcal{O}_{X, y}^\wedge\) tel que \(\mathfrak p \not \in V(I\mathcal{O}_{X, y}^\wedge)\). La condition (4) montre que \(\text{depth}((\mathcal{F}_y^\wedge)_\mathfrak p) = \text{depth}((\mathcal{O}_{X, y}^\wedge)_\mathfrak p)\). Il suffit donc de démontrer que \[\text{depth}((\mathcal{O}_{X, y}^\wedge)_\mathfrak p) + \dim(\mathcal{O}_{X, y}^\wedge/\mathfrak p) > 2\] Soit \(\mathfrak p_0 \subset A\) l’image de \(\mathfrak p\). Soit \(\mathfrak q \subset A\) l’idéal premier correspondant à \(y\). D’après Cohomologie locale, lemme 0EHW, nous avons \[\begin{align*} \text{depth}((\mathcal{O}_{X, y}^\wedge)_\mathfrak p) + \dim(\mathcal{O}_{X, y}^\wedge/\mathfrak p) & = \text{depth}(A_{\mathfrak p_0}) + \dim((A/\mathfrak p_0)_\mathfrak q) \\ & = \text{depth}(A_{\mathfrak p_0}) + \dim(A/\mathfrak p_0) - 1 \end{align*}\] Si (5)(a) est vérifiée, cette quantité est \[\geq \min(2, \dim(A_{\mathfrak p_0})) + \dim(A/\mathfrak p_0) - 1\] Notons que, dans tous les cas, \(\dim(A/\mathfrak p_0) \geq 2\). Par conséquent, si le minimum vaut \(2\), la conclusion est acquise. Sinon, nous obtenons \[\dim(A_{\mathfrak p_0}) + \dim(A/\mathfrak p_0) - 1 \geq 4 - 1\] car toute composante de \(\Spec(A)\) passant par \(\mathfrak p_0\) est de dimension \(\geq 4\). Si (5)(b) est vérifiée, la conclusion est immédiate.

Remarque

Soit \((A, \mathfrak m)\) un anneau local noethérien qui possède un complexe dualisant et qui est complet pour la topologie définie par \(f \in \mathfrak m\). Soit \((\mathcal{F}_n)\) un objet de \(\textit{Coh}(U, f\mathcal{O}_U)\), où \(U\) est le spectre épointé de \(A\). Posons \(Y = V(f) \subset X = \Spec(A)\). Supposons que, pour \(y \in U \cap V(f)\) fermé dans \(U\), c’est-à-dire tel que \(\dim(\overline{\{y\}}) = 1\), le \(\mathcal{O}_{X, y}^\wedge\)-module \(\mathcal{F}_y^\wedge\) vérifie les deux conditions suivantes :

1. \(\mathcal{F}_y^\wedge[1/f]\) soit \((S_2)\) comme \(\mathcal{O}_{X, y}^\wedge[1/f]\)-module, et

2. pour \(\mathfrak p \in \text{Ass}(\mathcal{F}_y^\wedge[1/f])\), on ait \(\dim(\mathcal{O}_{X, y}^\wedge/\mathfrak p) \geq 3\).

Alors \((\mathcal{F}_n)\) est le complété d’un module cohérent sur \(U\). Ceci résulte des lemmes 0EJ9 et 0EJA.

Amélioration des modules formels cohérents

Soit \(X\) un schéma noethérien. Soit \(Y \subset X\) un sous-schéma fermé, dont le faisceau quasi-cohérent d’idéaux est \(\mathcal{I} \subset \mathcal{O}_X\). Soit \((\mathcal{F}_n)\) un objet de \(\textit{Coh}(X, \mathcal{I})\). Dans cette section, nous construisons des applications \((\mathcal{F}_n) \to (\mathcal{F}'_n)\) analogues aux applications construites dans Cohomologie locale, section 0DX2, pour les modules cohérents. Pour un point \(y \in Y\), posons \[\mathcal{O}_{X, y}^\wedge = \lim \mathcal{O}_{X, y}/\mathcal{I}^n_y, \quad \mathcal{I}_y^\wedge = \lim \mathcal{I}_y/\mathcal{I}^n_y \quad\text{et}\quad \mathfrak m_y^\wedge = \lim \mathfrak m_y/\mathcal{I}_y^n\] Alors \(\mathcal{O}_{X, y}^\wedge\) est un anneau local noethérien d’idéal maximal \(\mathfrak m_y^\wedge\), complet pour la topologie définie par \(\mathcal{I}_y^\wedge = \mathcal{I}_y\mathcal{O}_{X, y}^\wedge\). Posons aussi \[\mathcal{F}_y^\wedge = \lim \mathcal{F}_{n, y}\] Alors \(\mathcal{F}_y^\wedge\) est un module de type fini sur \(\mathcal{O}_{X, y}^\wedge\) tel que \(\mathcal{F}_y^\wedge/(\mathcal{I}_y^\wedge)^n\mathcal{F}_y^\wedge = \mathcal{F}_{n, y}\) pour tout \(n\), voir Algèbre, lemmes 09B8 et 031D.

Lemme

Dans la situation ci-dessus, supposons que \(X\) possède localement un complexe dualisant. Soit \(T \subset Y\) une partie stable par spécialisation. Supposons que, pour \(y \in T\) et pour un idéal premier non maximal \(\mathfrak p \subset \mathcal{O}_{X, y}^\wedge\) tel que \(V(\mathfrak p) \cap V(\mathcal{I}^\wedge_y) = \{\mathfrak m_y^\wedge\}\), on ait \[\text{depth}_{(\mathcal{O}_{X, y})_\mathfrak p} ((\mathcal{F}^\wedge_y)_\mathfrak p) > 0\] Alors il existe une application canonique \((\mathcal{F}_n) \to (\mathcal{F}_n')\) de systèmes projectifs de \(\mathcal{O}_X\)-modules cohérents ayant les propriétés suivantes :

1. pour \(y \in T\), on a \(\text{depth}(\mathcal{F}'_{n, y}) \geq 1\),

2. \((\mathcal{F}'_n)\) est isomorphe, en tant que pro-système, à un objet \((\mathcal{G}_n)\) de \(\textit{Coh}(X, \mathcal{I})\),

3. le morphisme induit \((\mathcal{F}_n) \to (\mathcal{G}_n)\) dans \(\textit{Coh}(X, \mathcal{I})\) est surjectif, de noyau annulé par une puissance de \(\mathcal{I}\).

Démonstration

Pour tout \(n\), soit \(\mathcal{F}_n \to \mathcal{F}'_n\) la surjection construite dans Cohomologie locale, lemme 0DX3. Comme il s’agit du quotient de \(\mathcal{F}_n\) par le sous-faisceau des sections à support dans \(T\), nous voyons qu’il existe des applications canoniques \(\mathcal{F}'_{n + 1} \to \mathcal{F}'_n\) telles que l’on obtienne une application \((\mathcal{F}_n) \to (\mathcal{F}_n')\) de systèmes projectifs de \(\mathcal{O}_X\)-modules cohérents. La propriété (1) est vérifiée par construction.

Pour démontrer les propriétés (2) et (3), nous pouvons supposer que \(X = \Spec(A_0)\) est affine et que \(A_0\) possède un complexe dualisant. Soit \(I_0 \subset A_0\) l’idéal correspondant à \(Y\). Soient \(A, I\) les complétés \(I_0\)-adiques de \(A_0, I_0\). Pour un usage ultérieur, observons que \(A\) possède un complexe dualisant (Complexes dualisants, lemme 0BFR). Soit \(M\) le \(A\)-module de type fini correspondant à \((\mathcal{F}_n)\), voir Cohomologie des schémas, lemme 087W. Alors \(\mathcal{F}_n\) correspond à \(M_n = M/I^nM\). Rappelons que \(\mathcal{F}'_n\) correspond au quotient \(M'_n = M_n / H^0_T(M_n)\), voir Cohomologie locale, lemme 0DX3 et sa démonstration.

Posons \(s = 0\) et \(d = \text{cd}(A, I)\). Nous affirmons que \(A, I, T, M, s, d\) vérifient les hypothèses (1), (3), (4), (6) de la situation 0EFU. En effet, (1) et (3) résultent immédiatement de ce qui précède, (4) est une condition vide puisque \(s = 0\), et (6) est l’hypothèse faite dans l’énoncé du lemme.

D’après le théorème 0EIE, nous voyons que \(\{H^0_T(M_n)\}\) est essentiellement constant, de valeur \(H^0_T(M)\). Ainsi, la limite des suites exactes courtes \(0 \to H^0_T(M_n) \to M_n \to M'_n \to 0\) est la suite exacte courte \[0 \to H^0_T(M) \to M \to \lim M'_n \to 0\] Posons \(M' = \lim M'_n = M/H^0_T(M)\). C’est un \(A\)-module de type fini. Soit \((\mathcal{G}_n)\) l’objet de \(\textit{Coh}(X, \mathcal{I})\) correspondant à \(M'\). Pour achever la démonstration, il faut montrer que l’application canonique \(\{M'/I^nM'\} \to \{M'_n\}\) est un pro-isomorphisme. Ceci équivaut à dire que \(\{H^0_T(M) + I^nM\} \to \{\Ker(M \to M'_n)\}\) est un pro-isomorphisme. En quotientant par \(I^nM\), il suffit de montrer que \(\{H^0_T(M)/H^0_T(M) \cap I^nM\} \to \{H^0_T(M_n)\}\) est un pro-isomorphisme. Comme \(H^0_T(M)\) est annulé par une puissance de \(I\), le lemme d’Artin-Rees montre que \(H^0_T(M) \cap I^nM = 0\) pour tout \(n \gg 0\). Nous obtenons donc le pro-isomorphisme voulu, puisque nous avons vu ci-dessus que \(\{H^0_T(M_n)\}\) est essentiellement constant, de valeur \(H^0_T(M)\).

Lemme

Dans la situation ci-dessus, supposons que \(X\) possède localement un complexe dualisant. Soient \(T' \subset T \subset Y\) des parties stables par spécialisation. Soit \(d \geq 0\) un entier. Supposons que

1. localement sur des ouverts affines, on ait \(X = \Spec(A_0)\) et \(Y = V(I_0)\) et \(\text{cd}(A_0, I_0) \leq d\),

2. pour \(y \in T\) et un idéal premier non maximal \(\mathfrak p \subset \mathcal{O}_{X, y}^\wedge\) tel que \(V(\mathfrak p) \cap V(\mathcal{I}_y^\wedge) = \{\mathfrak m_y^\wedge\}\), on ait \[\text{depth}_{(\mathcal{O}_{X, y})_\mathfrak p} ((\mathcal{F}^\wedge_y)_\mathfrak p) > 0\]

3. pour \(y \in T'\) et pour un idéal premier \(\mathfrak p \subset \mathcal{O}_{X, y}^\wedge\) tel que \(\mathfrak p \not \in V(\mathcal{I}_y^\wedge)\) et \(V(\mathfrak p) \cap V(\mathcal{I}_y^\wedge) \not = \{\mathfrak m_y^\wedge\}\), on ait \[\text{depth}_{(\mathcal{O}_{X, y})_\mathfrak p} ((\mathcal{F}^\wedge_y)_\mathfrak p) \geq 1 \quad\text{ou}\quad \text{depth}_{(\mathcal{O}_{X, y})_\mathfrak p} ((\mathcal{F}^\wedge_y)_\mathfrak p) + \dim(\mathcal{O}_{X, y}^\wedge/\mathfrak p) > 1 + d\]

4. pour \(y \in T'\) et un idéal premier non maximal \(\mathfrak p \subset \mathcal{O}_{X, y}^\wedge\) tel que \(V(\mathfrak p) \cap V(\mathcal{I}_y^\wedge) = \{\mathfrak m_y^\wedge\}\), on ait \[\text{depth}_{(\mathcal{O}_{X, y})_\mathfrak p} ((\mathcal{F}^\wedge_y)_\mathfrak p) > 1\]

5. si \(y \leadsto y'\) est une spécialisation immédiate et \(y' \in T'\), alors \(y \in T\).

Alors il existe une application canonique \((\mathcal{F}_n) \to (\mathcal{F}_n'')\) de systèmes projectifs de \(\mathcal{O}_X\)-modules cohérents ayant les propriétés suivantes :

1. pour \(y \in T\), on a \(\text{depth}(\mathcal{F}''_{n, y}) \geq 1\),

2. pour \(y' \in T'\), on a \(\text{depth}(\mathcal{F}''_{n, y'}) \geq 2\),

3. \((\mathcal{F}''_n)\) est isomorphe, en tant que pro-système, à un objet \((\mathcal{H}_n)\) de \(\textit{Coh}(X, \mathcal{I})\),

4. le morphisme induit \((\mathcal{F}_n) \to (\mathcal{H}_n)\) dans \(\textit{Coh}(X, \mathcal{I})\) a un noyau et un conoyau annulés par une puissance de \(\mathcal{I}\).

Démonstration

Comme dans le lemme 0EJE et sa démonstration, pour tout \(n\), soit \(\mathcal{F}_n \to \mathcal{F}'_n\) la surjection construite dans Cohomologie locale, lemme 0DX3, en utilisant \(T\). Ensuite, soit \(\mathcal{F}'_n \to \mathcal{F}''_n\) l’injection construite dans Cohomologie locale, lemme 0EI4, ainsi que dans sa démonstration. Les constructions montrent qu’il existe des applications canoniques \(\mathcal{F}''_{n + 1} \to \mathcal{F}''_n\) telles que l’on obtienne des applications \[(\mathcal{F}_n) \longrightarrow (\mathcal{F}_n') \longrightarrow (\mathcal{F}''_n)\] de systèmes projectifs de \(\mathcal{O}_X\)-modules cohérents. Les propriétés (1) et (2) sont vérifiées par construction.

Pour démontrer les propriétés (3) et (4), nous pouvons supposer que \(X = \Spec(A_0)\) est affine et que \(A_0\) possède un complexe dualisant. Soit \(I_0 \subset A_0\) l’idéal correspondant à \(Y\). Soient \(A, I\) les complétés \(I_0\)-adiques de \(A_0, I_0\). Pour un usage ultérieur, observons que \(A\) possède un complexe dualisant (Complexes dualisants, lemme 0BFR). Soit \(M\) le \(A\)-module de type fini correspondant à \((\mathcal{F}_n)\), voir Cohomologie des schémas, lemme 087W. Alors \(\mathcal{F}_n\) correspond à \(M_n = M/I^nM\). Rappelons que \(\mathcal{F}'_n\) correspond au quotient \(M'_n = M_n / H^0_T(M_n)\). Rappelons aussi que \(M' = \lim M'_n\) est le quotient de \(M\) par \(H^0_T(M)\), que \(H^0_T(M)\) est annulé par une puissance de \(I\) et que \(\{M'_n\}\) et \(\{M'/I^nM'\}\) sont isomorphes en tant que pro-systèmes. Enfin, nous voyons que \(\mathcal{F}''_n\) correspond à une extension \[0 \to M'_n \to M''_n \to H^1_{T'}(M'_n) \to 0\] voir la démonstration de Cohomologie locale, lemme 0EI4.

Posons \(s = 1\). Nous affirmons que \(A, I, T', M', s, d\) vérifient les hypothèses (1), (3), (4), (6) de la situation 0EFU. En effet, (1) et (3) sont immédiates, (4) est impliquée par (c) et (6) résulte de (d). Nous omettons les démonstrations de (c) \(\Rightarrow\) (4) et (d) \(\Rightarrow\) (6).

D’après le théorème 0EIE, nous voyons que \(\{H^1_{T'}(M'/I^nM')\}\) est essentiellement constant, de valeur \(H^1_{T'}(M')\). Nous en déduisons que \(\{H^1_{T'}(M'_n)\}\) est essentiellement constant, de valeur \(H^1_{T'}(M')\). Ainsi, la limite des suites exactes courtes affichées ci-dessus est la suite exacte courte \[0 \to M' \to \lim M''_n \to H^1_{T'}(M') \to 0\] Posons \(M'' = \lim M''_n\). Il résulte de Cohomologie locale, proposition 0EFD, que \(H^1_{T'}(M')\), et donc \(M''\), sont des \(A\)-modules de type fini (pour vérifier les conditions, utiliser que \(M'\) est de profondeur au moins \(1\) aux idéaux premiers appartenant à \(T - T'\)). Soit \((\mathcal{H}_n)\) l’objet de \(\textit{Coh}(X, \mathcal{I})\) correspondant au \(A\)-module de type fini \(M''\). Pour achever la démonstration, il faut montrer que l’application canonique \(\{M''/I^nM''\} \to \{M''_n\}\) est un pro-isomorphisme. Puisque nous savons déjà que \(\{M'/I^nM'\}\) est pro-isomorphe à \(\{M'_n\}\), le lecteur vérifiera (détails omis) que ceci équivaut à demander que \(\{H^1_{T'}(M')/I^nH^1_{T'}(M')\} \to \{H^1_{T'}(M'_n)\}\) soit un pro-isomorphisme. Comme \(H^1_{T'}(M')/I^nH^1_{T'}(M') = H^1_{T'}(M')\) pour \(n\) assez grand, cela résulte du fait que \(\{H^1_{T'}(M'_n)\}\) est essentiellement constant, de valeur \(H^1_{T'}(M')\), comme vu ci-dessus.

Lemme

Dans la situation 0EHC, supposons que \(A\) possède un complexe dualisant. Soit \(d \geq \text{cd}(A, I)\). Soit \((\mathcal{F}_n)\) un objet de \(\textit{Coh}(U, I\mathcal{O}_U)\). Supposons que \((\mathcal{F}_n)\) vérifie les inégalités \((2, 2 + d)\), voir la définition 0EJ3. Alors il existe une application canonique \((\mathcal{F}_n) \to (\mathcal{F}_n'')\) de systèmes projectifs de \(\mathcal{O}_U\)-modules cohérents ayant les propriétés suivantes :

1. \(\text{depth}(\mathcal{F}''_{n, y}) + \delta^Y_Z(y) \geq 3\) pour tout \(y \in U \cap Y\),

2. \((\mathcal{F}''_n)\) est isomorphe, en tant que pro-système, à un objet \((\mathcal{H}_n)\) de \(\textit{Coh}(U, I\mathcal{O}_U)\),

3. le morphisme induit \((\mathcal{F}_n) \to (\mathcal{H}_n)\) dans \(\textit{Coh}(U, I\mathcal{O}_U)\) a un noyau et un conoyau annulés par une puissance de \(I\),

4. les modules \(H^0(U, \mathcal{F}''_n)\) et \(H^1(U, \mathcal{F}''_n)\) sont des \(A\)-modules de type fini pour tout \(n\).

Démonstration

L’existence et les propriétés (1), (2), (3) résultent du lemme 0EJF appliqué à \(U\), \(U \cap Y\), \(T = \{y \in U \cap Y : \delta^Y_Z(y) \leq 2\}\), \(T' = \{y \in U \cap Y : \delta^Y_Z(y) \leq 1\}\) et \((\mathcal{F}_n)\). Le fait que les modules \(H^0(U, \mathcal{F}''_n)\) et \(H^1(U, \mathcal{F}''_n)\) soient de type fini résulte de Cohomologie locale, lemme 0BJY, et des propriétés élémentaires de la fonction \(\delta^Y_Z(-)\) démontrées dans le lemme 0EIY.

Algébrisation des modules formels cohérents, V

Dans cette section, nous démontrons nos résultats les plus généraux sur l’algébrisation des modules formels cohérents. Nous les démontrons d’abord dans le cas où l’idéal est de dimension cohomologique \(1\). Nous les appliquons ensuite à un éclatement pour démontrer un résultat plus général.

Lemme

Dans la situation 0EHC, soit \((\mathcal{F}_n)\) un objet de \(\textit{Coh}(U, I\mathcal{O}_U)\). Supposons que

1. \(A\) possède un complexe dualisant et \(\text{cd}(A, I) = 1\),

2. \((\mathcal{F}_n)\) soit pro-isomorphe à un système projectif \((\mathcal{F}_n'')\) de \(\mathcal{O}_U\)-modules cohérents tel que \(\text{depth}(\mathcal{F}''_{n, y}) + \delta^Y_Z(y) \geq 3\) pour tout \(y \in U \cap Y\).

Alors \((\mathcal{F}_n)\) s’étend canoniquement à \(X\), voir la définition 0EIP.

Démonstration

Nous allons vérifier les hypothèses (a), (b) et (c) du lemme 0EHH. Avant de commencer, signalons que les modules \(H^0(U, \mathcal{F}''_n)\) et \(H^1(U, \mathcal{F}''_n)\) sont des \(A\)-modules de type fini pour tout \(n\) d’après Cohomologie locale, lemme 0BJY.

Observons que, pour tout \(p \geq 0\), la topologie de limite sur \(\lim H^p(U, \mathcal{F}_n)\) est la topologie \(I\)-adique d’après le lemme 0EH7. En particulier, l’hypothèse (b) est vérifiée.

Nous savons que \(M = \lim H^0(U, \mathcal{F}_n)\) est un \(A\)-module dont la topologie de limite est la topologie \(I\)-adique. Ainsi, étant donné \(n\), le module \(M/I^nM\) est un sous-quotient de \(H^0(U, \mathcal{F}_N)\) pour un certain \(N \gg n\). Comme le système projectif \(\{H^0(U, \mathcal{F}_N)\}\) est pro-isomorphe à un système projectif de \(A\)-modules de type fini, à savoir \(\{H^0(U, \mathcal{F}''_N)\}\), nous en déduisons que \(M/I^nM\) est de type fini. Il s’ensuit que \(M\) est de type fini, voir Algèbre, lemme 031D. En particulier, l’hypothèse (c) est vérifiée.

Pour tout \(n \geq 0\), notons \(Ob_n = \lim_N H^1(U, I^n\mathcal{F}_N)\). Un cas particulier est \(Ob = Ob_0 = \lim_N H^1(U, \mathcal{F}_N)\). En raisonnant exactement comme au paragraphe précédent, nous trouvons que \(Ob\) est un \(A\)-module de type fini. (En fait, nous savons aussi que \(Ob/I Ob\) est annulé par une puissance de \(\mathfrak a\), mais cela semble assez difficile à utiliser.)

Posons \(\mathcal{F} = \lim \mathcal{F}_n\), choisissons des générateurs \(f_1, \ldots, f_r\) de \(I\), choisissons \(c \geq 1\) et choisissons \(\Phi_\mathcal{F}\) comme dans le lemme 0EH6. Nous utiliserons les résultats du lemme 0EI8 sans autre mention. En particulier, pour tout \(n \geq 1\), il existe des applications \[\delta_n : H^0(U, \mathcal{F}_n) \longrightarrow H^1(U, I^n\mathcal{F}) \longrightarrow Ob_n\] La première provient de la suite exacte courte \(0 \to I^n\mathcal{F} \to \mathcal{F} \to \mathcal{F}_n \to 0\) et la seconde de \(I^n\mathcal{F} = \lim I^n\mathcal{F}_N\). Nous utiliserons plus loin que, si \(\delta_n(s) = 0\) pour \(s \in H^0(U, \mathcal{F}_n)\), alors, pour tout \(n' \geq n\), il existe \(s' \in H^0(U, \mathcal{F}_{n'})\) qui s’envoie sur \(s\). Observons qu’il existe des diagrammes commutatifs \[\xymatrix{ H^0(U, \mathcal{F}_{nc}) \ar[r] \ar[dd] & H^1(U, I^{nc}\mathcal{F}) \ar[dd] \ar[rd]^{\Phi_\mathcal{F}} \\ & & \bigoplus_{e_1 + \ldots + e_r = n} H^1(U, \mathcal{F}) \cdot T_1^{e_1} \ldots T_r^{e_r} \ar[ld] \\ H^0(U, \mathcal{F}_n) \ar[r] & H^1(U, I^n\mathcal{F}) }\] Nous en déduisons que l’application d’obstruction \(H^0(U, \mathcal{F}_n) \to Ob_n\) envoie l’image de \(H^0(U, \mathcal{F}_{nc}) \to H^0(U, \mathcal{F}_n)\) dans le sous-module \[Ob'_n = \Im\left( \bigoplus\nolimits_{e_1 + \ldots + e_r = n} Ob \cdot T_1^{e_1} \ldots T_r^{e_r} \to Ob_n \right)\] où, sur le facteur \(Ob \cdot T_1^{e_1} \ldots T_r^{e_r}\), nous utilisons l’application en cohomologie provenant des réductions modulo des puissances de \(I\) de l’application de multiplication \(f_1^{e_1} \ldots f_r^{e_r} : \mathcal{F} \to I^n\mathcal{F}\). Par construction, \[\bigoplus\nolimits_{n \geq 0} Ob'_n\] est un module gradué de type fini sur l’algèbre de Rees \(\bigoplus_{n \geq 0} I^n\). Pour tout \(n\), posons \[M_n = \{s \in H^0(U, \mathcal{F}_n) \mid \delta_n(s) \in Ob'_n\}\] Observons que \(\{M_n\}\) est un système projectif et que l’application \(f_j : \mathcal{F}_n \to \mathcal{F}_{n + 1}\) sur les sections globales envoie \(M_n\) dans \(M_{n + 1}\). Par exactement le même argument que dans la démonstration de Cohomologie, lemme 0GYK, nous trouvons que \(\{M_n\}\) satisfait à la condition ML. En effet, puisque l’algèbre de Rees est noethérienne, nous pouvons choisir un nombre fini de générateurs homogènes de la forme \(\delta_{n_j}(z_j)\) avec \(z_j \in M_{n_j}\) du sous-module gradué \(\bigoplus_{n \geq 0} \Im(M_n \to Ob'_n)\). Alors, si \(k = \max(n_j)\), nous voyons que pour \(n \geq k\) et tout \(z \in M_n\), il existe des \(a_j \in I^{n - n_j}\) tels que \(z - \sum a_j z_j\) appartienne au noyau de \(\delta_n\) et donc à l’image de \(M_{n'}\) pour tout \(n' \geq n\) (car l’annulation de \(\delta_n\) signifie que nous pouvons relever \(z - \sum a_j z_j\) en un élément \(z' \in H^0(U, \mathcal{F}_{n'c})\) pour tout \(n' \ge n\), puis que l’image de \(z'\) dans \(H^0(U, \mathcal{F}_{n'})\) appartient à \(M_{n'}\) d’après ce que nous avons démontré ci-dessus). Ainsi, \(\Im(M_n \to M_{n - k}) = \Im(M_{n'} \to M_{n - k})\) pour tout \(n' \geq n\).

Choisissons \(n\). Par la propriété de Mittag-Leffler de \(\{M_n\}\) établie ci-dessus, nous pouvons trouver \(n' \geq n\) tel que l’image de \(M_{n'} \to M_n\) coïncide avec l’image de \(M' \to M_n\). D’après ce qui précède, nous voyons que l’image de \(M' \to M_n\) contient l’image de \(H^0(U, \mathcal{F}_{n'c}) \to H^0(U, \mathcal{F}_n)\). Ainsi, nous voyons que \(\{M_n\}\) et \(\{H^0(U, \mathcal{F}_n)\}\) sont pro-isomorphes. Par conséquent, \(\{H^0(U, \mathcal{F}_n)\}\) satisfait à la condition ML, et nous concluons enfin que l’hypothèse (a) est vérifiée. Ceci achève la démonstration.

Proposition

Dans la situation 0EHC, soit \((\mathcal{F}_n)\) un objet de \(\textit{Coh}(U, I\mathcal{O}_U)\). Supposons que

1. \(A\) possède un complexe dualisant et \(\text{cd}(A, I) = 1\),

2. \((\mathcal{F}_n)\) satisfasse aux inégalités \((2, 3)\), voir la définition 0EJ3.

Alors \((\mathcal{F}_n)\) s’étend à \(X\). En particulier, si \(A\) est complet pour la topologie \(I\)-adique, alors \((\mathcal{F}_n)\) est le complété d’un \(\mathcal{O}_U\)-module cohérent.

Démonstration

D’après le lemme 0EIU, nous pouvons remplacer \((\mathcal{F}_n)\) par l’objet \((\mathcal{H}_n)\) de \(\textit{Coh}(U, I\mathcal{O}_U)\) obtenu dans le lemme 0EJG. Nous pouvons donc supposer que \((\mathcal{F}_n)\) est pro-isomorphe à un système projectif \((\mathcal{F}_n'')\) possédant les propriétés mentionnées dans le lemme 0EJG. Dans le lemme 0EJI, nous avons démontré que \((\mathcal{F}_n)\) s’étend canoniquement à \(X\). La dernière assertion résulte du lemme 0EIR.

Lemme

Dans la situation 0EHC, soit \((\mathcal{F}_n)\) un objet de \(\textit{Coh}(U, I\mathcal{O}_U)\). Supposons que

1. \(A\) possède un complexe dualisant,

2. toutes les fibres de l’éclatement \(b : X' \to X\) de \(I\) soient de dimension \(\leq d - 1\),

3. l’une des conditions suivantes soit vérifiée :

   1. \((\mathcal{F}_n)\) satisfait aux inégalités \((d + 1, d + 2)\) (définition 0EJ3), ou

   2. pour \(y \in U \cap Y\) et un idéal premier \(\mathfrak p \subset \mathcal{O}_{X, y}^\wedge\) tel que \(\mathfrak p \not \in V(I\mathcal{O}_{X, y}^\wedge)\), nous ayons \[\text{depth}((\mathcal{F}^\wedge_y)_\mathfrak p) + \dim(\mathcal{O}_{X, y}^\wedge/\mathfrak p) + \delta^Y_Z(y) > d + 2\]

Alors \((\mathcal{F}_n)\) s’étend à \(X\).

Démonstration

Soit \(Y' \subset X'\) le diviseur exceptionnel. Soit \(Z' \subset Y'\) l’image réciproque de \(Z \subset Y\). Alors \(U' = X' \setminus Z'\) est l’image réciproque de \(U\). Avec \(\delta^{Y'}_{Z'}\) comme dans (0EIX), posons \[T' = \{y' \in Y' \mid \delta^{Y'}_{Z'}(y') = 1\} \subset T = \{y' \in Y' \mid \delta^{Y'}_{Z'}(y') = 1\text{ ou }2\}\] D’après les parties (1) et (2) du lemme 0EIY, ces sous-ensembles sont stables par spécialisation dans \(U' \cap Y' = Y' \setminus Z'\). Considérons l’objet \((b|_{U'}^*\mathcal{F}_n)\) de \(\textit{Coh}(U', I\mathcal{O}_{U'})\), voir Cohomologie des schémas, lemme 0887. Pour \(y' \in U' \cap Y'\), notons \[\mathcal{F}_{y'}^\wedge = \lim (b|_{U'}^*\mathcal{F}_n)_{y'}\] le « germe » de cette image réciproque en \(y'\). Nous affirmons que les conditions (a), (b), (c), (d) et (e) du lemme 0EJF sont vérifiées pour l’objet \((b|_{U'}^*\mathcal{F}_n)\) sur \(U'\), avec \(d\) remplacé par \(1\), et les sous-ensembles \(T' \subset T \subset U' \cap Y'\). La condition (a) est vérifiée parce que \(Y'\) est un diviseur de Cartier effectif et est donc localement défini par \(1\) équation. La condition (e) est vérifiée d’après la partie (7) du lemme 0EIY. Pour démontrer (b), (c) et (d), quelques préparatifs sont nécessaires.

Soit \(y' \in U' \cap Y'\) et soit \(\mathfrak p' \subset \mathcal{O}_{X', y'}^\wedge\) un idéal premier n’appartenant pas à \(V(I\mathcal{O}_{X', y'}^\wedge)\). Notons \(y = b(y') \in U \cap Y\). Choisissons \(f \in I\) tel que \(y'\) appartienne au spectre de l’algèbre d’éclatement affine \(A[\frac{I}{f}]\), voir Diviseurs, lemme 0804. Pour toute \(A\)-algèbre \(B\), notons \(B' = B[\frac{IB}{f}]\) l’algèbre d’éclatement affine correspondante. Désignons la complétion \(I\)-adique par \({\ }^\wedge\). Par notre choix de \(f\), nous obtenons un homomorphisme d’anneaux \((\mathcal{O}_{X, y}^\wedge)' \to \mathcal{O}_{X', y'}^\wedge\). Si \(\mathfrak q' \subset (\mathcal{O}_{X, y}^\wedge)'\) désigne l’image réciproque de \(\mathfrak m_{y'}^\wedge\), alors nous voyons que \(((\mathcal{O}_{X, y}^\wedge)'_{\mathfrak q'})^\wedge = \mathcal{O}_{X', y'}^\wedge\). Soit \(\mathfrak p \subset \mathcal{O}_{X, y}^\wedge\) l’idéal premier correspondant. Nous avons à ce stade un diagramme commutatif \[\xymatrix{ \mathcal{O}_{X, y}^\wedge \ar[d] \ar[r] & (\mathcal{O}_{X, y}^\wedge)' \ar[d]_\alpha \ar[r] & (\mathcal{O}_{X, y}^\wedge)'_{\mathfrak q'} \ar[d] \ar[r]_\beta & \mathcal{O}_{X', y'}^\wedge \ar[d] \\ \mathcal{O}_{X, y}^\wedge/\mathfrak p \ar[r] & (\mathcal{O}_{X, y}^\wedge/\mathfrak p)' \ar[r] & (\mathcal{O}_{X, y}^\wedge/\mathfrak p)'_{\mathfrak q'} \ar[r]^\gamma & ((\mathcal{O}_{X, y}^\wedge/\mathfrak p)'_{\mathfrak q'})^\wedge \ar[d] \\ & & & \mathcal{O}_{X', y'}^\wedge/\mathfrak p' }\] dont les flèches verticales sont surjectives. D’après Compléments d’algèbre, lemme 07NV, et la formule de dimension (Algèbre, lemme 02IJ), nous avons \[\dim(((\mathcal{O}_{X, y}^\wedge/\mathfrak p)'_{\mathfrak q'})^\wedge) = \dim((\mathcal{O}_{X, y}^\wedge/\mathfrak p)'_{\mathfrak q'}) = \dim(\mathcal{O}_{X, y}^\wedge/\mathfrak p) - \text{trdeg}(\kappa(y')/\kappa(y))\] En suivant les définitions des images réciproques, des germes, des localisations et des complétions, nous trouvons \[(\mathcal{F}_y^\wedge)_{\mathfrak p} \otimes_{(\mathcal{O}_{X, y}^\wedge)_\mathfrak p} (\mathcal{O}_{X', y'}^\wedge)_{\mathfrak p'} = (\mathcal{F}_{y'}^\wedge)_{\mathfrak p'}\] Détails omis. Les homomorphismes d’anneaux \(\beta\) et \(\gamma\) du diagramme sont plats à fibres de Gorenstein (donc de Cohen–Macaulay), car ce sont des complétions d’anneaux possédant un complexe dualisant. Voir Complexes dualisants, lemmes 0BJN et 0AWY, ainsi que la discussion de Compléments d’algèbre, section 0BIR. Observons que \((\mathcal{O}_{X, y}^\wedge)_\mathfrak p = (\mathcal{O}_{X, y}^\wedge)'_{\tilde{\mathfrak p}}\) où \(\tilde{\mathfrak p}\) est le noyau de \(\alpha\) dans le diagramme. D’autre part, \((\mathcal{O}_{X, y}^\wedge)'_{\tilde{\mathfrak p}} \to (\mathcal{O}_{X', y'}^\wedge)_{\mathfrak p'}\) est plat à fibres CM d’après ce qui précède. Par conséquent, \((\mathcal{O}_{X, y}^\wedge)_\mathfrak p \to (\mathcal{O}_{X', y'}^\wedge)_{\mathfrak p'}\) est plat à fibres CM. En appliquant Algèbre, lemme 0338, nous voyons que \[\text{depth}((\mathcal{F}_{y'}^\wedge)_{\mathfrak p'}) = \text{depth}((\mathcal{F}_y^\wedge)_{\mathfrak p}) + \dim(F_\mathfrak r)\] où \(F\) est la fibre formelle générique de \((\mathcal{O}_{X, y}^\wedge/\mathfrak p)'_{\mathfrak q'}\) et \(\mathfrak r\) est l’idéal premier correspondant à \(\mathfrak p'\). Puisque \((\mathcal{O}_{X, y}^\wedge/\mathfrak p)'_{\mathfrak q'}\) est un domaine local universellement caténaire, son complété \(I\)-adique est équidimensionnel et (universellement) caténaire d’après le théorème de Ratliff (Compléments d’algèbre, proposition 0AW6). Il s’ensuit alors que \[\dim(((\mathcal{O}_{X, y}^\wedge/\mathfrak p)'_{\mathfrak q'})^\wedge) = \dim(F_\mathfrak r) + \dim(\mathcal{O}_{X', y'}^\wedge/\mathfrak p')\] En combinant ceci avec le lemme 0EIZ, nous obtenons [0EJL]\[\begin{equation} \begin{aligned} & \text{depth}((\mathcal{F}_{y'}^\wedge)_{\mathfrak p'}) + \delta^{Y'}_{Z'}(y') \\ & = \text{depth}((\mathcal{F}_y^\wedge)_{\mathfrak p}) + \dim(F_\mathfrak r) + \delta^{Y'}_{Z'}(y') \\ & \geq \text{depth}((\mathcal{F}_y^\wedge)_{\mathfrak p}) + \delta^Y_Z(y) + \dim(F_\mathfrak r) + \text{trdeg}(\kappa(y')/\kappa(y)) - (d - 1) \\ & = \text{depth}((\mathcal{F}_y^\wedge)_{\mathfrak p}) + \delta^Y_Z(y) - (d - 1) + \dim(\mathcal{O}_{X, y}^\wedge/\mathfrak p) - \dim(\mathcal{O}_{X', y'}^\wedge/\mathfrak p') \end{aligned} \end{equation}\] Gardons à l’esprit que \(\dim(\mathcal{O}_{X, y}^\wedge/\mathfrak p) \geq \dim(\mathcal{O}_{X', y'}^\wedge/\mathfrak p')\). En réécrivant ceci, nous obtenons [0EJM]\[\begin{equation} \begin{aligned} & \text{depth}((\mathcal{F}_{y'}^\wedge)_{\mathfrak p'}) + \dim(\mathcal{O}_{X', y'}^\wedge/\mathfrak p') + \delta^{Y'}_{Z'}(y') \\ & \geq \text{depth}((\mathcal{F}_y^\wedge)_{\mathfrak p}) + \dim(\mathcal{O}_{X, y}^\wedge/\mathfrak p) + \delta^Y_Z(y) - (d - 1) \end{aligned} \end{equation}\] Cette inégalité nous permettra de vérifier les conditions restantes.

Conditions (b) et (d) du lemme 0EJF. Supposons que \(V(\mathfrak p') \cap V(I\mathcal{O}_{X', y'}^\wedge) = \{\mathfrak m_{y'}^\wedge\}\). Cela implique que \(\dim(\mathcal{O}_{X', y'}^\wedge/\mathfrak p') = 1\) parce que \(Z'\) est un diviseur de Cartier effectif. La conjonction de (b) et (d) équivaut à \[\text{depth}((\mathcal{F}_{y'}^\wedge)_{\mathfrak p'}) + \delta^{Y'}_{Z'}(y') > 2\] Si \((\mathcal{F}_n)\) satisfait aux inégalités de (3)(b), nous concluons immédiatement que ceci est vrai en appliquant (0EJM). Si \((\mathcal{F}_n)\) satisfait à (3)(a), c’est-à-dire aux inégalités \((d + 1, d + 2)\), alors nous voyons que, dans tous les cas, \[\text{depth}((\mathcal{F}_y^\wedge)_{\mathfrak p}) + \delta^Y_Z(y) \geq d + 1 \quad\text{ou}\quad \text{depth}((\mathcal{F}_y^\wedge)_{\mathfrak p}) + \dim(\mathcal{O}_{X, y}^\wedge/\mathfrak p) + \delta^Y_Z(y) > d + 2\] En examinant (0EJL) et (0EJM) ci-dessus, ceci donne ce que nous voulons, sauf éventuellement si \(\dim(\mathcal{O}_{X, y}^\wedge/\mathfrak p) = 1\). Cependant, si \(\dim(\mathcal{O}_{X, y}^\wedge/\mathfrak p) = 1\), alors nous avons \(V(\mathfrak p) \cap V(I\mathcal{O}_{X, y}^\wedge) = \{\mathfrak m_y^\wedge\}\) et nous voyons qu’en fait \[\text{depth}((\mathcal{F}_y^\wedge)_{\mathfrak p}) + \delta^Y_Z(y) > d + 1\] car \((\mathcal{F}_n)\) satisfait aux inégalités \((d + 1, d + 2)\), et nous concluons de nouveau.

Condition (c) du lemme 0EJF. Supposons que \(V(\mathfrak p') \cap V(I\mathcal{O}_{X', y'}^\wedge) \not = \{\mathfrak m_{y'}^\wedge\}\). Alors la condition (c) équivaut à \[\text{depth}((\mathcal{F}_{y'}^\wedge)_{\mathfrak p'}) + \delta^{Y'}_{Z'}(y') \geq 2 \quad\text{ou}\quad \text{depth}((\mathcal{F}_{y'}^\wedge)_{\mathfrak p'}) + \dim(\mathcal{O}_{X', y'}^\wedge/\mathfrak p') + \delta^{Y'}_{Z'}(y') > 3\] Si \((\mathcal{F}_n)\) satisfait aux inégalités de (3)(b), nous voyons que la seconde des deux inégalités affichées est vérifiée en appliquant (0EJM). Si \((\mathcal{F}_n)\) satisfait à (3)(a), c’est-à-dire aux inégalités \((d + 1, d + 2)\), cela résulte immédiatement de (0EJL) et (0EJM). Ceci achève la démonstration de notre assertion.

Choisissons \((b|_{U'}^*\mathcal{F}_n) \to (\mathcal{F}_n'')\) et \((\mathcal{H}_n)\) dans \(\textit{Coh}(U', I\mathcal{O}_{U'})\) comme dans le lemme 0EJF. Pour tout ouvert affine \(W \subset X'\), observons que \(\delta^{W \cap Y'}_{W \cap Z'}(y') \geq \delta^{Y'}_{Z'}(y')\) d’après la partie (6) du lemme 0EIY. Nous voyons donc que \((\mathcal{H}_n|_W)\) satisfait aux hypothèses du lemme 0EJI. Ainsi, \((\mathcal{H}_n|_W)\) s’étend canoniquement à \(W\). Soit \((\mathcal{G}_{W, n})\) dans \(\textit{Coh}(W, I\mathcal{O}_W)\) l’extension canonique comme dans le lemme 0EIR. D’après le lemme 0EIS, nous voyons que, pour \(W' \subset W\), il existe un unique isomorphisme \[(\mathcal{G}_{W, n}|_{W'}) \longrightarrow (\mathcal{G}_{W', n})\] compatible avec les isomorphismes donnés \((\mathcal{G}_{W, n}|_{W \cap U}) \cong (\mathcal{H}_n|_{W \cap U})\). Nous en concluons qu’il existe un objet \((\mathcal{G}_n)\) de \(\textit{Coh}(X', I\mathcal{O}_{X'})\) dont la restriction à \(U\) est isomorphe à \((\mathcal{H}_n)\).

Si \(A\) est complet pour la topologie \(I\)-adique, nous pouvons achever la démonstration comme suit. D’après le théorème d’existence de Grothendieck (Cohomologie des schémas, lemme 0885), nous voyons que \((\mathcal{G}_n)\) est le complété d’un \(\mathcal{O}_{X'}\)-module cohérent. Puis, d’après Cohomologie des schémas, lemme 0889, nous voyons que \((b|_{U'}^*\mathcal{F}_n)\) est le complété d’un \(\mathcal{O}_{U'}\)-module cohérent \(\mathcal{F}'\). D’après Cohomologie des schémas, lemme 088B, nous voyons qu’il existe une application \[(\mathcal{F}_n) \longrightarrow ((b|_{U'})_*\mathcal{F}')^\wedge\] dont le noyau et le conoyau sont annulés par une puissance de \(I\). Enfin, nous concluons en appliquant le lemme 0EIU.

Si \(A\) n’est pas complet, alors, avant de commencer la démonstration, nous pouvons remplacer \(A\) par son complété, voir le lemme 0EIN. Après complétion, les hypothèses restent vérifiées : cela est immédiat pour la condition (3), résulte du lemme 0BFR de Complexes dualisants pour la condition (1), et du lemme 0805 de Diviseurs pour la condition (2). Ainsi, le cas complet implique le cas général.

Proposition

Dans la situation 0EHC, soit \((\mathcal{F}_n)\) un objet de \(\textit{Coh}(U, I\mathcal{O}_U)\). Supposons que

1. \(A\) possède un complexe dualisant,

2. \(V(I) = V(f_1, \ldots, f_d)\) pour un certain \(d \geq 1\) et \(f_1, \ldots, f_d \in A\),

3. l’une des conditions suivantes soit vérifiée :

   1. \((\mathcal{F}_n)\) satisfait aux inégalités \((d + 1, d + 2)\) (définition 0EJ3), ou

   2. pour \(y \in U \cap Y\) et un idéal premier \(\mathfrak p \subset \mathcal{O}_{X, y}^\wedge\) tel que \(\mathfrak p \not \in V(I\mathcal{O}_{X, y}^\wedge)\), nous ayons \[\text{depth}((\mathcal{F}^\wedge_y)_\mathfrak p) + \dim(\mathcal{O}_{X, y}^\wedge/\mathfrak p) + \delta^Y_Z(y) > d + 2\]

Alors \((\mathcal{F}_n)\) s’étend à \(X\). En particulier, si \(A\) est complet pour la topologie \(I\)-adique, alors \((\mathcal{F}_n)\) est le complété d’un \(\mathcal{O}_U\)-module cohérent.

Démonstration

Nous pouvons supposer que \(I = (f_1, \ldots, f_d)\), voir Cohomologie des schémas, lemme 0EHR. Nous voyons alors que toutes les fibres de l’éclatement de \(X\) le long de \(I\) sont de dimension au plus \(d - 1\). Nous obtenons donc l’extension par le lemme 0EJK. La dernière assertion résulte du lemme 0EIL.

Comparons le lemme suivant avec les remarques 0EHI, 0DXV, 0EJC et 0EJT.

Lemme

Dans la situation 0EHC, soit \((\mathcal{F}_n)\) un objet de \(\textit{Coh}(U, I\mathcal{O}_U)\). Supposons que

1. \(A\) soit un anneau local possédant un complexe dualisant,

2. toutes les composantes irréductibles de \(X\) aient la même dimension,

3. le schéma \(X \setminus Y\) soit de Cohen–Macaulay,

4. \(I\) soit engendré par \(d\) éléments,

5. \(\dim(X) - \dim(Z) > d + 2\), et

6. pour \(y \in U \cap Y\), le module \(\mathcal{F}_y^\wedge\) soit localement libre de type fini hors de \(V(I\mathcal{O}_{X, y}^\wedge)\), par exemple si \(\mathcal{F}_n\) est un \(\mathcal{O}_U/I^n\mathcal{O}_U\)-module localement libre de type fini.

Alors \((\mathcal{F}_n)\) s’étend à \(X\). En particulier, si \(A\) est complet pour la topologie \(I\)-adique, alors \((\mathcal{F}_n)\) est le complété d’un \(\mathcal{O}_U\)-module cohérent.

Démonstration

Nous allons montrer que les hypothèses (1), (2) et (3)(b) de la proposition 0EJN sont vérifiées. C’est clair pour (1) et (2).

Soit \(y \in U \cap Y\) et soit \(\mathfrak p\) un idéal premier \(\mathfrak p \subset \mathcal{O}_{X, y}^\wedge\) tel que \(\mathfrak p \not \in V(I\mathcal{O}_{X, y}^\wedge)\). La dernière condition montre que \(\text{depth}((\mathcal{F}_y^\wedge)_\mathfrak p) = \text{depth}((\mathcal{O}_{X, y}^\wedge)_\mathfrak p)\). Puisque \(X \setminus Y\) est de Cohen–Macaulay, nous voyons que \((\mathcal{O}_{X, y}^\wedge)_\mathfrak p\) est de Cohen–Macaulay. Ainsi, nous voyons que \[\begin{align*} & \text{depth}((\mathcal{F}^\wedge_y)_\mathfrak p) + \dim(\mathcal{O}_{X, y}^\wedge/\mathfrak p) + \delta^Y_Z(y) \\ & = \dim((\mathcal{O}_{X, y}^\wedge)_\mathfrak p) + \dim(\mathcal{O}_{X, y}^\wedge/\mathfrak p) + \delta^Y_Z(y) \\ & = \dim(\mathcal{O}_{X, y}^\wedge) + \delta^Y_Z(y) \end{align*}\] La dernière égalité vaut parce que \(\mathcal{O}_{X, y}\) est équidimensionnel d’après la deuxième condition. Soit \(\delta(y) = \dim(\overline{\{y\}})\). C’est une fonction de dimension puisque \(A\) est un anneau local caténaire. D’après le lemme 0EIY, nous avons \(\delta^Y_Z(y) \geq \delta(y) - \dim(Z)\). Puisque \(X\) est équidimensionnel, nous obtenons \[\dim(\mathcal{O}_{X, y}^\wedge) + \delta^Y_Z(y) \geq \dim(\mathcal{O}_{X, y}^\wedge) + \delta(y) - \dim(Z) = \dim(X) - \dim(Z)\] Nous obtenons donc l’inégalité voulue, ce qui conclut.

Remarque

Nous ne savons ni démontrer ni réfuter l’analogue de la proposition 0EJN où l’hypothèse selon laquelle \(I\) possède \(d\) générateurs est remplacée par l’hypothèse \(\text{cd}(A, I) \leq d\). Si vous connaissez une démonstration ou un contre-exemple, veuillez écrire à stacks.project@gmail.com. Une autre question évidente est de savoir dans quelle mesure les conditions de la proposition 0EJN sont nécessaires.

Algébrisation des modules formels cohérents, VI

Dans cette section, nous ajoutons quelques cas plus faciles à démontrer.

Proposition

Dans la situation 0EHC, soit \((\mathcal{F}_n)\) un objet de \(\textit{Coh}(U, I\mathcal{O}_U)\). Supposons que

1. il existe \(f_1, \ldots, f_d \in I\) tels que, pour \(y \in U \cap Y\), l’idéal \(I\mathcal{O}_{X, y}\) soit engendré par \(f_1, \ldots, f_d\) et que \(f_1, \ldots, f_d\) forment une suite \(\mathcal{F}_y^\wedge\)-régulière,

2. \(H^0(U, \mathcal{F}_1)\) et \(H^1(U, \mathcal{F}_1)\) soient des \(A\)-modules de type fini.

Alors \((\mathcal{F}_n)\) s’étend canoniquement à \(X\). En particulier, si \(A\) est complet, alors \((\mathcal{F}_n)\) est le complété d’un \(\mathcal{O}_U\)-module cohérent.

Démonstration

Nous allons le démontrer en vérifiant les hypothèses (a), (b) et (c) du lemme 0EHH. Pour tout \(n\), nous avons une suite exacte courte \[0 \to I^n\mathcal{F}_{n + 1} \to \mathcal{F}_{n + 1} \to \mathcal{F}_n \to 0\] Puisque \(f_1, \ldots, f_d\) forment une suite régulière (et donc quasi-régulière, voir Algèbre, lemme 00LN) sur chacun des « germes » \(\mathcal{F}_y^\wedge\), et puisque nous avons \(I\mathcal{F}_n = (f_1, \ldots, f_d)\mathcal{F}_n\) pour tout \(n\), nous trouvons que \[I^n\mathcal{F}_{n + 1} = \bigoplus\nolimits_{e_1 + \ldots + e_d = n} \mathcal{F}_1 \cdot f_1^{e_1} \ldots f_d^{e_d}\] en le vérifiant sur les germes. En utilisant l’hypothèse de finitude de \(H^0(U, \mathcal{F}_1)\) et une récurrence, nous concluons d’abord que \(M_n = H^0(U, \mathcal{F}_n)\) est un \(A\)-module de type fini pour tout \(n\). Nous voyons ainsi que la condition (c) du lemme 0EHH est vérifiée. Nous voyons aussi que \[\bigoplus\nolimits_{n \geq 0} H^1(U, I^n\mathcal{F}_{n + 1})\] est un \(R = \bigoplus I^n/I^{n +1}\)-module gradué de type fini. D’après Cohomologie, lemme 0GYK, nous concluons que la condition (a) du lemme 0EHH est vérifiée. Enfin, la condition (b) du lemme 0EHH est vérifiée parce que \(\bigoplus H^0(U, I^n\mathcal{F}_{n + 1})\) est un \(R\)-module gradué de type fini et que nous pouvons appliquer Cohomologie, lemme 0GYM.

Remarque

Dans la situation de la proposition 0EJS, si nous supposons que \(A\) possède un complexe dualisant, alors la condition que \(H^0(U, \mathcal{F}_1)\) et \(H^1(U, \mathcal{F}_1)\) soient de type fini équivaut à \[\text{depth}(\mathcal{F}_{1, y}) + \dim(\mathcal{O}_{\overline{\{y\}}, z}) > 2\] pour tout \(y \in U \cap Y\) et tout \(z \in Z \cap \overline{\{y\}}\). Voir Cohomologie locale, lemme 0BJY. Cela vaut par exemple si \(\mathcal{F}_1\) est un \(\mathcal{O}_{U \cap Y}\)-module localement libre de type fini, si \(Y\) est \((S_2)\), et si \(\text{codim}(Z', Y') \geq 3\) pour toute paire de composantes irréductibles \(Y'\) de \(Y\) et \(Z'\) de \(Z\) telles que \(Z' \subset Y'\).

Proposition

Dans la situation 0EHC, soit \((\mathcal{F}_n)\) un objet de \(\textit{Coh}(U, I\mathcal{O}_U)\). Supposons qu’il existe un anneau local noethérien \((R, \mathfrak m)\) et un homomorphisme d’anneaux \(R \to A\) tels que

1. \(I = \mathfrak m A\),

2. pour \(y \in U \cap Y\), le germe \(\mathcal{F}_y^\wedge\) soit \(R\)-plat,

3. \(H^0(U, \mathcal{F}_1)\) et \(H^1(U, \mathcal{F}_1)\) soient des \(A\)-modules de type fini.

Alors \((\mathcal{F}_n)\) s’étend canoniquement à \(X\). En particulier, si \(A\) est complet, alors \((\mathcal{F}_n)\) est le complété d’un \(\mathcal{O}_U\)-module cohérent.

Démonstration

La démonstration est exactement la même que celle de la proposition 0EJS. En effet, si \(\kappa = R/\mathfrak m\), alors, pour \(n \geq 0\), il existe un isomorphisme \[I^n \mathcal{F}_{n + 1} \cong \mathcal{F}_1 \otimes_\kappa \mathfrak m^n/\mathfrak m^{n + 1}\] et le membre de droite est une somme directe finie de copies de \(\mathcal{F}_1\). Cela se vérifie sur les germes. Tout le reste est exactement identique.

Remarque

La proposition 0EJU est une version locale de [Baranovsky, théorème 2.10 (i)]. Il est immédiat de déduire les résultats globaux du résultat local ; esquissons l’argument. En effet, supposons que \((R, \mathfrak m)\) soit un anneau local noethérien complet et que \(X \to \Spec(R)\) soit un morphisme propre. Pour \(n \geq 1\), posons \(X_n = X \times_{\Spec(R)} \Spec(R/\mathfrak m^n)\). Soit \(Z \subset X_1\) un sous-ensemble fermé de la fibre spéciale. Posons \(U = X \setminus Z\) et notons \(j : U \to X\) le morphisme d’inclusion. Supposons donné un objet \[(\mathcal{F}_n) \text{ de } \textit{Coh}(U, \mathfrak m\mathcal{O}_U)\] qui soit plat sur \(R\) au sens où \(\mathcal{F}_n\) est plat sur \(R/\mathfrak m^n\) pour tout \(n\). Supposons que \(j_*\mathcal{F}_1\) et \(R^1j_*\mathcal{F}_1\) soient des modules cohérents. Alors, localement sur les ouverts affines de \(X\), nous obtenons une extension canonique de \((\mathcal{F}_n)\) par la proposition 0EJU, et la formation de cette extension commute à la localisation (d’après le lemme 0DXW). Nous obtenons donc un objet global canonique \((\mathcal{G}_n)\) de \(\textit{Coh}(X, \mathfrak m\mathcal{O}_X)\) dont la restriction à \(U\) est \((\mathcal{F}_n)\). D’après le théorème d’existence de Grothendieck (Cohomologie des schémas, proposition 088C), nous voyons qu’il existe un \(\mathcal{O}_X\)-module cohérent \(\mathcal{G}\) dont le complété est \((\mathcal{G}_n)\). Nous voyons ainsi que \((\mathcal{F}_n)\) est algébrisable, c’est-à-dire qu’il est le complété d’un \(\mathcal{O}_U\)-module cohérent.

Ajoutons que la cohérence de \(j_*\mathcal{F}_1\) et de \(R^1j_*\mathcal{F}_1\) est une condition sur la fibre spéciale. En effet, si nous notons \(j_1 : U_1 \to X_1\) la fibre spéciale de \(j : U \to X\), alors nous pouvons considérer \(\mathcal{F}_1\) comme un faisceau cohérent sur \(U_1\), et nous avons \(j_*\mathcal{F}_1 = j_{1, *}\mathcal{F}_1\) et \(R^1j_*\mathcal{F}_1 = R^1j_{1, *}\mathcal{F}_1\). Ainsi, par exemple, si \(X_1\) est \((S_2)\) et irréductible, si nous avons \(\dim(X_1) - \dim(Z) \geq 3\), et si \(\mathcal{F}_1\) est un \(\mathcal{O}_{U_1}\)-module localement libre, alors \(j_{1, *}\mathcal{F}_1\) et \(R^1j_{1, *}\mathcal{F}_1\) sont des modules cohérents.

Application au foncteur de complétion

Dans cette section, nous combinons seulement quelques résultats déjà obtenus afin de pouvoir les citer commodément. Nous pourrions énoncer ici de nombreux résultats (plus forts).

Lemme

Dans la situation 0EHC, supposons que

1. \(A\) possède un complexe dualisant et soit complet pour la topologie \(I\)-adique,

2. \(I = (f)\) soit engendré par un seul élément,

3. \(A\) soit local d’idéal maximal \(\mathfrak a = \mathfrak m\),

4. l’une des conditions suivantes soit vérifiée :

   1. \(A_f\) est \((S_2)\) et, pour \(\mathfrak p \subset A\) minimal tel que \(f \not \in \mathfrak p\), nous avons \(\dim(A/\mathfrak p) \geq 4\), ou

   2. si \(\mathfrak p \not \in V(f)\) et \(V(\mathfrak p) \cap V(f) \not = \{\mathfrak m\}\), alors \(\text{depth}(A_\mathfrak p) + \dim(A/\mathfrak p) > 3\).

Alors, avec \(U_0 = U \cap V(f)\), le foncteur de complétion \[\colim_{U_0 \subset U' \subset U\text{ ouvert}} \textit{Coh}(\mathcal{O}_{U'}) \longrightarrow \textit{Coh}(U, f\mathcal{O}_U)\] est une équivalence sur les sous-catégories pleines d’objets localement libres de type fini.

Démonstration

Il résulte du lemme 0EKU que le foncteur est pleinement fidèle (détails omis). Démontrons la surjectivité essentielle. Soit \((\mathcal{F}_n)\) un objet localement libre de type fini de \(\textit{Coh}(U, f\mathcal{O}_U)\). D’après le lemme 0EJ9 ou la proposition 0EJJ, il existe un \(\mathcal{O}_U\)-module cohérent \(\mathcal{F}\) tel que \((\mathcal{F}_n)\) soit le complété de \(\mathcal{F}\). En effet, pour appliquer l’un ou l’autre résultat, la seule chose à vérifier est que \((\mathcal{F}_n)\) satisfait aux inégalités \((2, 3)\). Cela est fait dans le lemme 0EJB. Si \(y \in U_0\), alors le complété \(f\)-adique du germe \(\mathcal{F}_y\) est isomorphe à un module libre de type fini sur le complété \(f\)-adique de \(\mathcal{O}_{U, y}\). Par conséquent, \(\mathcal{F}\) est localement libre de type fini dans un voisinage ouvert \(U'\) de \(U_0\). Ceci achève la démonstration.

Lemme

Dans la situation 0EHC, supposons que

1. \(I = (f)\) soit principal,

2. \(A\) soit complet pour la topologie \(f\)-adique,

3. \(f\) soit un non-diviseur de zéro,

4. \(H^1_\mathfrak a(A/fA)\) et \(H^2_\mathfrak a(A/fA)\) soient des \(A\)-modules de type fini.

Alors, avec \(U_0 = U \cap V(f)\), le foncteur de complétion \[\colim_{U_0 \subset U' \subset U\text{ ouvert}} \textit{Coh}(\mathcal{O}_{U'}) \longrightarrow \textit{Coh}(U, f\mathcal{O}_U)\] est une équivalence sur les sous-catégories pleines d’objets localement libres de type fini.

Démonstration

Le foncteur est pleinement fidèle d’après le lemme 0EKV. La surjectivité essentielle résulte du lemme 0DXW.

Triplets cohérents

Soit \((A, \mathfrak m)\) un anneau local noethérien. Soit \(f \in \mathfrak m\) un non-diviseur de zéro. Posons \(X = \Spec(A)\), \(X_0 = \Spec(A/fA)\), \(U = X \setminus V(\mathfrak m)\) et \(U_0 = U \cap X_0\). Nous disons que \((\mathcal{F}, \mathcal{F}_0, \alpha)\) est un triplet cohérent si nous avons

1. \(\mathcal{F}\) est un \(\mathcal{O}_U\)-module cohérent tel que \(f : \mathcal{F} \to \mathcal{F}\) soit injective,

2. \(\mathcal{F}_0\) est un \(\mathcal{O}_{X_0}\)-module cohérent,

3. \(\alpha : \mathcal{F}/f\mathcal{F} \to \mathcal{F}_0|_{U_0}\) est un isomorphisme.

Il existe une notion évidente de morphisme de triplets cohérents qui fait de la collection de tous les triplets cohérents une catégorie.

La catégorie des triplets cohérents est additive mais non abélienne. Cependant, la notion de suite exacte courte de triplets cohérents est claire.

Étant donnés deux triplets cohérents \((\mathcal{F}, \mathcal{F}_0, \alpha)\) et \((\mathcal{G}, \mathcal{G}_0, \beta)\), il se peut que \((\mathcal{F} \otimes_{\mathcal{O}_U} \mathcal{G}, \mathcal{F}_0 \otimes_{\mathcal{O}_{X_0}} \mathcal{G}_0, \alpha \otimes \beta)\) ne soit pas un triplet cohérent⁸. Cependant, si les germes \(\mathcal{G}_x\) sont libres pour tout \(x \in U_0\), alors c’est bien le cas.

Nous dirons que le triplet cohérent \((\mathcal{G}, \mathcal{G}_0, \beta)\) est localement libre, resp. inversible, si \(\mathcal{G}\) et \(\mathcal{G}_0\) sont des modules localement libres, resp. inversibles. Dans ce cas, tensoriser par \((\mathcal{G}, \mathcal{G}_0, \beta)\) a un sens (voir ci-dessus) et transforme les suites exactes courtes de triplets cohérents en suites exactes courtes de triplets cohérents.

Lemme

Pour tout triplet cohérent \((\mathcal{F}, \mathcal{F}_0, \alpha)\), il existe un \(\mathcal{O}_X\)-module cohérent \(\mathcal{F}'\) tel que \(f : \mathcal{F}' \to \mathcal{F}'\) soit injective, un isomorphisme \(\alpha' : \mathcal{F}'|_U \to \mathcal{F}\) et une application \(\alpha'_0 : \mathcal{F}'/f\mathcal{F}' \to \mathcal{F}_0\) tel que \(\alpha \circ (\alpha' \bmod f) = \alpha'_0|_{U_0}\).

Démonstration

Choisissons un \(A\)-module de type fini \(M\) tel que \(\mathcal{F}\) soit la restriction à \(U\) du \(\mathcal{O}_X\)-module cohérent associé à \(M\), voir Cohomologie locale, lemme 0BK0. Puisque \(\mathcal{F}\) est sans torsion par \(f\), nous pouvons remplacer \(M\) par son quotient par la torsion annulée par une puissance de \(f\). D’autre part, posons \(M_0 = \Gamma(X_0, \mathcal{F}_0)\), de sorte que \(\mathcal{F}_0\) soit le \(\mathcal{O}_{X_0}\)-module cohérent associé au \(A/fA\)-module de type fini \(M_0\). D’après Cohomologie des schémas, lemme 01YB, il existe un \(n\) tel que l’isomorphisme \(\alpha_0\) corresponde à un homomorphisme de \(A/fA\)-modules \(\mathfrak m^n M/fM \to M_0\) (dont le noyau et le conoyau sont annulés par une puissance de \(\mathfrak m\), mais nous n’en avons pas besoin). Ainsi, si nous prenons \(M' = \mathfrak m^n M\) et si nous posons \(\mathcal{F}'\) égal au \(\mathcal{O}_X\)-module cohérent associé à \(M'\), alors le lemme est clair.

Soit \((\mathcal{F}, \mathcal{F}_0, \alpha)\) un triplet cohérent. Choisissons \(\mathcal{F}', \alpha', \alpha'_0\) comme dans le lemme 0F23. Posons [0F24]\[\begin{equation} \chi(\mathcal{F}, \mathcal{F}_0, \alpha) = \text{length}_A(\Coker(\alpha'_0)) - \text{length}_A(\Ker(\alpha'_0)) \end{equation}\] L’expression du membre de droite a un sens, car \(\alpha'_0\) est un isomorphisme sur \(U_0\) ; son noyau et son conoyau sont donc des modules cohérents supportés par \(\{\mathfrak m\}\), qui sont par conséquent de longueur finie (Algèbre, lemme 00L5).

Lemme

La quantité \(\chi(\mathcal{F}, \mathcal{F}_0, \alpha)\) de (0F24) ne dépend pas du choix de \(\mathcal{F}', \alpha', \alpha'_0\) comme dans le lemme 0F23.

Démonstration

Soient \(\mathcal{F}', \alpha', \alpha'_0\) et \(\mathcal{F}'', \alpha'', \alpha''_0\) deux tels choix. Pour \(n > 0\), posons \(\mathcal{F}'_n = \mathfrak m^n \mathcal{F}'\). D’après Cohomologie des schémas, lemme 01YB, pour un certain \(n\), il existe un homomorphisme de \(\mathcal{O}_X\)-modules \(\mathcal{F}'_n \to \mathcal{F}''\) qui coïncide avec l’identification \(\mathcal{F}''|_U = \mathcal{F}'|_U\) déterminée par \(\alpha'\) et \(\alpha''\). Alors le diagramme \[\xymatrix{ \mathcal{F}'_n/f\mathcal{F}'_n \ar[r] \ar[d] & \mathcal{F}'/f\mathcal{F}' \ar[d]^{\alpha_0'} \\ \mathcal{F}''/f\mathcal{F}'' \ar[r]^{\alpha_0''} & \mathcal{F}_0 }\] est commutatif après restriction à \(U_0\). Par conséquent, d’après Cohomologie des schémas, lemme 01YB, il est commutatif après restriction à \(\mathfrak m^l(\mathcal{F}'_n/f\mathcal{F}'_n)\) pour un certain \(l > 0\). Puisque \(\mathcal{F}'_{n + l}/f\mathcal{F}'_{n + l} \to \mathcal{F}'_n/f\mathcal{F}'_n\) se factorise par \(\mathfrak m^l(\mathcal{F}'_n/f\mathcal{F}'_n)\), nous voyons qu’après avoir remplacé \(n\) par \(n + l\), le diagramme est commutatif. En d’autres termes, nous avons trouvé un troisième choix \(\mathcal{F}''', \alpha''', \alpha'''_0\) tel qu’il existe des applications \(\mathcal{F}''' \to \mathcal{F}''\) et \(\mathcal{F}''' \to \mathcal{F}'\) sur \(X\), compatibles avec les applications sur \(U\) et \(X_0\). Nous sommes ainsi ramenés au cas examiné dans le paragraphe suivant.

Supposons disposer d’une application \(\mathcal{F}'' \to \mathcal{F}'\) sur \(X\), compatible avec \(\alpha', \alpha''\) sur \(U\) et avec \(\alpha'_0, \alpha''_0\) sur \(X_0\). Observons que \(\mathcal{F}'' \to \mathcal{F}'\) est injective, car c’est un isomorphisme sur \(U\) et que \(f : \mathcal{F}'' \to \mathcal{F}''\) est injective. Il est clair que \(\mathcal{F}'/\mathcal{F}''\) est supporté par \(\{\mathfrak m\}\), donc est de longueur finie. Nous avons les applications de \(\mathcal{O}_{X_0}\)-modules cohérents \[\mathcal{F}''/f\mathcal{F}'' \to \mathcal{F}'/f\mathcal{F}' \xrightarrow{\alpha'_0} \mathcal{F}_0\] dont la composée est \(\alpha''_0\) et qui sont des isomorphismes sur \(U_0\). L’algèbre homologique élémentaire donne une suite exacte à \(6\) termes \[\begin{matrix} 0 \to \Ker(\mathcal{F}''/f\mathcal{F}'' \to \mathcal{F}'/f\mathcal{F}') \to \Ker(\alpha''_0) \to \Ker(\alpha'_0) \to \\ \Coker(\mathcal{F}''/f\mathcal{F}'' \to \mathcal{F}'/f\mathcal{F}') \to \Coker(\alpha''_0) \to \Coker(\alpha'_0) \to 0 \end{matrix}\] Par additivité des longueurs (Algèbre, lemme 00IV), nous trouvons qu’il suffit de montrer que \[\text{length}_A( \Coker(\mathcal{F}''/f\mathcal{F}'' \to \mathcal{F}'/f\mathcal{F}')) - \text{length}_A( \Ker(\mathcal{F}''/f\mathcal{F}'' \to \mathcal{F}'/f\mathcal{F}')) = 0\] Cela résulte de l’application du lemme du serpent au diagramme \[\xymatrix{ 0 \ar[r] & \mathcal{F}'' \ar[r]_f \ar[d] & \mathcal{F}'' \ar[r] \ar[d] & \mathcal{F}''/f\mathcal{F}'' \ar[r] \ar[d] & 0 \\ 0 \ar[r] & \mathcal{F}' \ar[r]^f & \mathcal{F}' \ar[r] & \mathcal{F}'/f\mathcal{F}' \ar[r] & 0 }\] et du fait que \(\mathcal{F}'/\mathcal{F}''\) est de longueur finie.

Lemme

Nous avons \(\chi(\mathcal{G}, \mathcal{G}_0, \beta) = \chi(\mathcal{F}, \mathcal{F}_0, \alpha) + \chi(\mathcal{H}, \mathcal{H}_0, \gamma)\) si \[0 \to (\mathcal{F}, \mathcal{F}_0, \alpha) \to (\mathcal{G}, \mathcal{G}_0, \beta) \to (\mathcal{H}, \mathcal{H}_0, \gamma) \to 0\] est une suite exacte courte de triplets cohérents.

Démonstration

Choisissons \(\mathcal{G}', \beta', \beta'_0\) comme dans le lemme 0F23 pour le triplet \((\mathcal{G}, \mathcal{G}_0, \beta)\). Notons \(j : U \to X\) le morphisme d’inclusion. Soit \(\mathcal{F}' \subset \mathcal{G}'\) le noyau de la composée \[\mathcal{G}' \xrightarrow{\beta'} j_*\mathcal{G} \to j_*\mathcal{H}\] Observons que \(\mathcal{H}' = \mathcal{G}'/\mathcal{F}'\) est un sous-faisceau cohérent de \(j_*\mathcal{H}\) et que, par conséquent, \(f : \mathcal{H}' \to \mathcal{H}'\) est injective. Le lemme du serpent donne donc une suite exacte courte \[0 \to \mathcal{F}'/f\mathcal{F}' \to \mathcal{G}'/f\mathcal{G}' \to \mathcal{H}'/f\mathcal{H}' \to 0\] Nous avons par construction les isomorphismes \(\alpha' : \mathcal{F}'|_U \to \mathcal{F}\), \(\beta' : \mathcal{G}'|_U \to \mathcal{G}\) et \(\gamma' : \mathcal{H}'|_U \to \mathcal{H}\). Pour achever la démonstration, il nous faudra construire des applications \(\alpha'_0 : \mathcal{F}'/f\mathcal{F}' \to \mathcal{F}_0\) et \(\gamma'_0 : \mathcal{H}'/f\mathcal{H}' \to \mathcal{H}_0\) comme dans le lemme 0F23 et s’insérant dans un diagramme commutatif \[\xymatrix{ 0 \ar[r] & \mathcal{F}'/f\mathcal{F}' \ar[r] \ar@{..>}[d]^{\alpha'_0} & \mathcal{G}'/f\mathcal{G}' \ar[r] \ar[d]^{\beta'_0} & \mathcal{H}'/f\mathcal{H}' \ar[r] \ar@{..>}[d]^{\gamma'_0} & 0 \\ 0 \ar[r] & \mathcal{F}_0 \ar[r] & \mathcal{G}_0 \ar[r] & \mathcal{H}_0 \ar[r] & 0 }\] Cependant, cela peut être impossible avec notre choix initial de \(\mathcal{G}'\). Le diagramme affiché montre que l’obstruction est exactement la composée \[\delta : \mathcal{F}'/f\mathcal{F}' \to \mathcal{G}'/f\mathcal{G}' \xrightarrow{\beta'_0} \mathcal{G}_0 \to \mathcal{H}_0\] Notons que la restriction de \(\delta\) à \(U_0\) est nulle par notre choix de \(\mathcal{F}'\) et \(\mathcal{H}'\). Par conséquent, d’après Cohomologie des schémas, lemme 01YB, il existe un \(k > 0\) tel que \(\delta\) s’annule sur \(\mathfrak m^k \cdot (\mathcal{F}'/f\mathcal{F}')\). Pour \(n > k\), posons \(\mathcal{G}'_n = \mathfrak m^n \mathcal{G}'\), \(\mathcal{F}'_n = \mathcal{G}'_n \cap \mathcal{F}'\) et \(\mathcal{H}'_n = \mathcal{G}'_n/\mathcal{F}'_n\). Observons que \(\beta'_0\) peut être composée avec \(\mathcal{G}'_n/f\mathcal{G}'_n \to \mathcal{G}'/f\mathcal{G}'\) pour donner une application \(\beta'_{n, 0} : \mathcal{G}'_n/f\mathcal{G}'_n \to \mathcal{G}_0\) comme dans le lemme 0F23. D’après Artin–Rees (Algèbre, lemme 00IN), nous pouvons choisir \(n\) tel que \(\mathcal{F}'_n \subset \mathfrak m^k \mathcal{F}'\). Comme ci-dessus, les applications \(f : \mathcal{F}'_n \to \mathcal{F}'_n\), \(f : \mathcal{G}'_n \to \mathcal{G}'_n\) et \(f : \mathcal{H}'_n \to \mathcal{H}'_n\) sont injectives et, comme ci-dessus, le lemme du serpent donne une suite exacte courte \[0 \to \mathcal{F}'_n/f\mathcal{F}'_n \to \mathcal{G}'_n/f\mathcal{G}'_n \to \mathcal{H}'_n/f\mathcal{H}'_n \to 0\] Comme ci-dessus, nous avons les isomorphismes \(\alpha'_n : \mathcal{F}'_n|_U \to \mathcal{F}\), \(\beta'_n : \mathcal{G}'_n|_U \to \mathcal{G}\) et \(\gamma'_n : \mathcal{H}'_n|_U \to \mathcal{H}\). Considérons l’obstruction \[\delta_n : \mathcal{F}'_n/f\mathcal{F}'_n \to \mathcal{G}'_n/f\mathcal{G}'_n \xrightarrow{\beta'_{n, 0}} \mathcal{G}_0 \to \mathcal{H}_0\] comme précédemment. Cependant, le diagramme commutatif \[\xymatrix{ \mathcal{F}'_n/f\mathcal{F}'_n \ar[r] \ar[d] & \mathcal{G}'_n/f\mathcal{G}'_n \ar[r]_{\beta'_{n, 0}} \ar[d] & \mathcal{G}_0 \ar[r] \ar[d] & \mathcal{H}_0 \ar[d] \\ \mathcal{F}'/f\mathcal{F}' \ar[r] & \mathcal{G}'/f\mathcal{G}' \ar[r]^{\beta'_0} & \mathcal{G}_0 \ar[r] & \mathcal{H}_0 }\] notre choix de \(n\) et notre observation concernant \(\delta\) montrent que \(\delta_n = 0\). Ceci fournit les applications voulues \(\alpha'_{n, 0} : \mathcal{F}'_n/f\mathcal{F}'_n \to \mathcal{F}_0\) et \(\gamma'_{n, 0} : \mathcal{H}'_n/f\mathcal{H}'_n \to \mathcal{H}_0\). Ainsi, nous pouvons utiliser \(\mathcal{F}'_n, \alpha'_n, \alpha'_{n, 0}\), \(\mathcal{G}'_n, \beta'_n, \beta'_{n, 0}\) et \(\mathcal{H}'_n, \gamma'_n, \gamma'_{n, 0}\) pour calculer \(\chi(\mathcal{F}, \mathcal{F}_0, \alpha)\), \(\chi(\mathcal{G}, \mathcal{G}_0, \beta)\) et \(\chi(\mathcal{H}, \mathcal{H}_0, \gamma)\). Enfin, le lemme résulte d’une application du lemme du serpent à \[\xymatrix{ 0 \ar[r] & \mathcal{F}'_n/f\mathcal{F}'_n \ar[r] \ar[d] & \mathcal{G}'_n/f\mathcal{G}'_n \ar[r] \ar[d] & \mathcal{H}'_n/f\mathcal{H}'_n \ar[r] \ar[d] & 0 \\ 0 \ar[r] & \mathcal{F}_0 \ar[r] & \mathcal{G}_0 \ar[r] & \mathcal{H}_0 \ar[r] & 0 }\] et de l’additivité des longueurs (Algèbre, lemme 00IV).

Proposition

Soit \((\mathcal{F}, \mathcal{F}_0, \alpha)\) un triplet cohérent. Soit \((\mathcal{L}, \mathcal{L}_0, \lambda)\) un triplet cohérent inversible. Alors la fonction \[\mathbf{Z} \longrightarrow \mathbf{Z},\quad n \longmapsto \chi((\mathcal{F}, \mathcal{F}_0, \alpha) \otimes (\mathcal{L}, \mathcal{L}_0, \lambda)^{\otimes n})\] est un polynôme de degré \(\leq \dim(\text{Supp}(\mathcal{F}))\).

Plus précisément, si \(\mathcal{F} = 0\), alors la fonction est constante. Si \(\mathcal{F}\) est à support fini dans \(U\), alors la fonction est constante. Si le support de \(\mathcal{F}\) dans \(U\) est de dimension \(1\), c’est-à-dire si l’adhérence du support de \(\mathcal{F}\) dans \(X\) est de dimension \(2\), alors la fonction est linéaire, et ainsi de suite.

Démonstration

Nous allons le démontrer par récurrence sur la dimension du support de \(\mathcal{F}\).

Le cas initial est celui où \(\mathcal{F} = 0\). Alors soit \(\mathcal{F}_0\) est nul, soit son support est \(\{\mathfrak m\}\). Dans ce cas, nous avons \[(\mathcal{F}, \mathcal{F}_0, \alpha) \otimes (\mathcal{L}, \mathcal{L}_0, \lambda)^{\otimes n} = (0, \mathcal{F}_0 \otimes \mathcal{L}_0^{\otimes n}, 0) \cong (0, \mathcal{F}_0, 0)\] Ainsi, la fonction de la proposition est constante, de valeur égale à la longueur de \(\mathcal{F}_0\).

Étape de récurrence. Supposons le support de \(\mathcal{F}\) non vide. Soit \(\mathcal{G}_0 \subset \mathcal{F}_0\) le sous-module des sections supportées par \(\{\mathfrak m\}\). Nous obtenons alors une suite exacte courte \[0 \to (0, \mathcal{G}_0, 0) \to (\mathcal{F}, \mathcal{F}_0, \alpha) \to (\mathcal{F}, \mathcal{F}_0/\mathcal{G}_0, \alpha) \to 0\] Cette suite reste exacte si nous tensorisons par le triplet cohérent inversible \((\mathcal{L}, \mathcal{L}_0, \lambda)\), voir la discussion ci-dessus. Ainsi, par additivité de \(\chi\) (lemme 0F26) et par le cas initial expliqué ci-dessus, il suffit de démontrer l’étape de récurrence pour \((\mathcal{F}, \mathcal{F}_0/\mathcal{G}_0, \alpha)\). Nous voyons ainsi que nous pouvons supposer que \(\mathfrak m\) n’est pas un point associé de \(\mathcal{F}_0\).

Soit \(T = \text{Ass}(\mathcal{F}) \cup \text{Ass}(\mathcal{F}/f\mathcal{F})\). Puisque \(U\) est quasi-affine, nous pouvons trouver \(s \in \Gamma(U, \mathcal{L})\) qui ne s’annule en aucun \(u \in T\), voir Propriétés, lemme 0F20. Après avoir multiplié \(s\) par un élément convenable de \(\mathfrak m\), nous pouvons supposer que \(\lambda(s \bmod f) = s_0|_{U_0}\) pour un certain \(s_0 \in \Gamma(X_0, \mathcal{L}_0)\) ; détails omis. Nous obtenons un morphisme \[(s, s_0) : (\mathcal{O}_U, \mathcal{O}_{X_0}, 1) \longrightarrow (\mathcal{L}, \mathcal{L}_0, \lambda)\] dans la catégorie des triplets cohérents. Posons \(\mathcal{G} = \Coker(s : \mathcal{F} \to \mathcal{F} \otimes \mathcal{L})\) et \(\mathcal{G}_0 = \Coker(s_0 : \mathcal{F}_0 \to \mathcal{F}_0 \otimes \mathcal{L}_0)\). Observons que \(s_0 : \mathcal{F}_0 \to \mathcal{F}_0 \otimes \mathcal{L}_0\) est injective, car elle est injective sur \(U_0\) par notre choix de \(s\) et que \(\mathfrak m\) n’est pas un point associé de \(\mathcal{F}_0\). Par conséquent, il existe un isomorphisme \(\beta : \mathcal{G}/f\mathcal{G} \to \mathcal{G}_0|_{U_0}\) tel que nous obtenions une suite exacte courte \[0 \to (\mathcal{F}, \mathcal{F}_0, \alpha) \to (\mathcal{F}, \mathcal{F}_0, \alpha) \otimes (\mathcal{L}, \mathcal{L}_0, \lambda) \to (\mathcal{G}, \mathcal{G}_0, \beta) \to 0\] Par récurrence sur la dimension du support, nous savons que la proposition est vraie pour le triplet cohérent \((\mathcal{G}, \mathcal{G}_0, \beta)\). En utilisant l’additivité du lemme 0F26, nous voyons que \[n \longmapsto \chi((\mathcal{F}, \mathcal{F}_0, \alpha) \otimes (\mathcal{L}, \mathcal{L}_0, \lambda)^{\otimes n + 1}) - \chi((\mathcal{F}, \mathcal{F}_0, \alpha) \otimes (\mathcal{L}, \mathcal{L}_0, \lambda)^{\otimes n})\] est un polynôme. Nous concluons par une variante du lemme 00JZ d’Algèbre pour les fonctions définies sur tous les entiers (détails omis).

Lemme

Supposons que \(\text{depth}(A) \geq 3\) ou, de manière équivalente, que \(\text{depth}(A/fA) \geq 2\). Soit \((\mathcal{L}, \mathcal{L}_0, \lambda)\) un triplet cohérent inversible. Alors \[\chi(\mathcal{L}, \mathcal{L}_0, \lambda) = \text{length}_A \Coker(\Gamma(U, \mathcal{L}) \to \Gamma(U_0, \mathcal{L}_0))\] et, en particulier, ceci est \(\geq 0\). De plus, \(\chi(\mathcal{L}, \mathcal{L}_0, \lambda) = 0\) si et seulement si \(\mathcal{L} \cong \mathcal{O}_U\).

Démonstration

L’équivalence des conditions de profondeur résulte du lemme 090R d’Algèbre. La condition de profondeur donne \(\Gamma(U, \mathcal{O}_U) = A\) et \(\Gamma(U_0, \mathcal{O}_{U_0}) = A/fA\), voir Complexes dualisants, lemme 0AVZ, et Cohomologie locale, lemme 0BK0. En utilisant Cohomologie locale, lemme 0BLT, nous trouvons que \(M = \Gamma(U, \mathcal{L})\) est un \(A\)-module de type fini. Ceci implique à son tour que \(\text{depth}(M) \geq 2\), par exemple d’après la partie (4) de Cohomologie locale, lemme 0BK0, ou d’après Diviseurs, lemme 0EY0. De plus, nous avons \(\mathcal{L}_0 \cong \mathcal{O}_{X_0}\), car \(X_0\) est un schéma local. Nous voyons donc aussi que \(M_0 = \Gamma(X_0, \mathcal{L}_0) = \Gamma(U_0, \mathcal{L}_0|_{U_0})\) et que ce module est isomorphe à \(A/fA\).

D’après ce qui précède, \(\mathcal{F}' = \widetilde{M}\) est un \(\mathcal{O}_X\)-module cohérent dont la restriction à \(U\) est isomorphe à \(\mathcal{L}\). L’isomorphisme \(\lambda : \mathcal{L}/f\mathcal{L} \to \mathcal{L}_0|_{U_0}\) détermine sur les sections globales une application \(M/fM \to M_0\) qui est un isomorphisme sur \(U_0\). Puisque \(\text{depth}(M) \geq 2\), nous voyons que \(H^0_\mathfrak m(M/fM) = 0\), et il s’ensuit que \(M/fM \to M_0\) est injective. Ainsi, par définition, \[\chi(\mathcal{L}, \mathcal{L}_0, \lambda) = \text{length}_A \Coker(M/fM \to M_0)\] ce qui donne la première assertion du lemme.

Enfin, si cette longueur vaut \(0\), alors \(M \to M_0\) est surjective. Nous pouvons donc trouver \(s \in M = \Gamma(U, \mathcal{L})\) qui s’envoie sur une section trivialisante de \(\mathcal{L}_0\). Considérons les \(A\)-modules de type fini \(K\), \(Q\) définis par la suite exacte \[0 \to K \to A \xrightarrow{s} M \to Q \to 0\] Les supports de \(K\) et de \(Q\) ne rencontrent pas \(U_0\), car \(s\) est non nul aux points de \(U_0\). En utilisant Algèbre, lemme 00LX, nous voyons que \(\text{depth}(K) \geq 2\) (observons que \(As \subset M\) est de \(\text{depth} \geq 1\) comme sous-module de \(M\)). Ainsi, s’il est non vide, le support de \(K\) est de dimension \(\geq 2\) d’après Algèbre, lemme 00LK. Ceci contredit \(\text{Supp}(M) \cap V(f) \subset \{\mathfrak m\}\), à moins que \(K = 0\). Lorsque \(K = 0\), nous trouvons que \(\text{depth}(Q) \geq 2\) et concluons \(Q = 0\) comme précédemment. Ainsi \(A \cong M\) et \(\mathcal{L}\) est trivial.

Modules inversibles sur les spectres épointés, I

Dans cette section, nous démontrons quelques théorèmes de Lefschetz locaux pour le groupe de Picard. Certaines idées sont tirées de [Kollar-pic], [Bhatt-local] et [Kollar-map-pic].

Lemme

Soit \((A, \mathfrak m)\) un anneau local noethérien. Soit \(f \in \mathfrak m\) un non-diviseur de zéro et supposons que \(\text{depth}(A/fA) \geq 2\), ou, de manière équivalente, \(\text{depth}(A) \geq 3\). Soient \(U\), resp. \(U_0\), les spectres épointés de \(A\), resp. de \(A/fA\). L’application \[\Pic(U) \to \Pic(U_0)\] est injective sur le sous-groupe de torsion.

Démonstration

Soit \(\mathcal{L}\) un \(\mathcal{O}_U\)-module inversible. Observons que \(\mathcal{L}\) s’envoie sur \(0\) dans \(\Pic(U_0)\) si et seulement si nous pouvons prolonger \(\mathcal{L}\) en un triplet cohérent inversible \((\mathcal{L}, \mathcal{L}_0, \lambda)\) comme dans la section 0F22. D’après la proposition 0F27, la fonction \[n \longmapsto \chi((\mathcal{L}, \mathcal{L}_0, \lambda)^{\otimes n})\] est un polynôme. D’après le lemme 0F28, la valeur de ce polynôme est nulle si et seulement si \(\mathcal{L}^{\otimes n}\) est trivial. Ainsi, si \(\mathcal{L}\) est de torsion, alors ce polynôme a une infinité de zéros, donc est identiquement nul, et par conséquent \(\mathcal{L}\) est trivial.

Proposition

Soit \((A, \mathfrak m)\) un anneau local noethérien. Soit \(f \in \mathfrak m\). Supposons que

1. \(A\) possède un complexe dualisant,

2. \(f\) soit un non-diviseur de zéro,

3. \(\text{depth}(A/fA) \geq 2\), ou, de manière équivalente, \(\text{depth}(A) \geq 3\),

4. si \(f \in \mathfrak p \subset A\) est un idéal premier tel que \(\dim(A/\mathfrak p) = 2\), alors \(\text{depth}(A_\mathfrak p) \geq 2\).

Soient \(U\), resp. \(U_0\), les spectres épointés de \(A\), resp. de \(A/fA\). L’application \[\Pic(U) \to \Pic(U_0)\] est injective. Enfin, si (1), (2) et (3) sont vérifiées, si \(A\) est \((S_2)\) et si \(\dim(A) \geq 4\), alors (4) est vérifiée.