Champs algébriques

Introduction

C’est ici que nous définissons les champs algébriques et formulons quelques observations très élémentaires. La philosophie générale consistera à n’imposer aucune condition de séparation et à ajouter les conditions nécessaires pour que les lemmes, propositions et théorèmes soient vrais/démontrables. Ainsi, les notions étudiées ici diffèrent légèrement de celles que l’on trouve ailleurs dans la littérature, par exemple [LM-B].

Ce chapitre ne constitue pas une introduction aux champs algébriques. Pour une présentation informelle des champs algébriques, voir Introduction aux champs algébriques, section 072I.

Conventions

Les conventions utilisées dans ce chapitre sont les mêmes que dans le chapitre consacré aux espaces algébriques. Nous les rappelons ici par commodité.

Nous travaillons dans un grand site fppf convenable \(\Sch_{fppf}\) comme dans Topologies, Définition 021R. Ainsi, sauf mention explicite du contraire, tous les schémas seront des objets de \(\Sch_{fppf}\). Nous examinons les changements qu’entraîne le remplacement du grand site fppf dans la section 04X1.

Nous travaillerons toujours relativement à une base \(S\) contenue dans \(\Sch_{fppf}\). Nous travaillerons alors avec le grand site fppf \((\Sch/S)_{fppf}\), voir Topologies, Définition 021S. On retrouve le cas absolu en prenant \(S = \Spec(\mathbf{Z})\).

Si \(U, T\) sont des schémas sur \(S\), nous notons \(U(T)\) l’ensemble de ses points à valeurs dans \(T\) au-dessus de \(S\). En formule : \(U(T) = \Mor_S(T, U)\).

Notons que tout recouvrement fpqc est un épimorphisme effectif universel, voir Descente, Lemme 023Q. Par conséquent, la topologie sur \(\Sch_{fppf}\) est moins fine que la topologie canonique et tous les préfaisceaux représentables sont des faisceaux.

Notations

Nous employons les lettres \(S, T, U, V, X, Y\) pour désigner des schémas. Nous employons les lettres \(\mathcal{X}, \mathcal{Y}, \mathcal{Z}\) pour désigner des catégories (fibrées, fibrées en groupoïdes, champs, ...) au-dessus de \((\Sch/S)_{fppf}\). Nous employons les lettres minuscules \(f\), \(g\) pour les foncteurs tels que \(f : \mathcal{X} \to \mathcal{Y}\) au-dessus de \((\Sch/S)_{fppf}\). Nous employons les majuscules \(F\), \(G\), \(H\) pour les espaces algébriques sur \(S\), et plus généralement pour les préfaisceaux d’ensembles sur \((\Sch/S)_{fppf}\). (Dans les chapitres ultérieurs, nous emploierons de nouveau aussi \(X\), \(Y\), etc. pour les espaces algébriques.)

Ces choix visent à distinguer clairement les différents types d’objets de ce chapitre, afin d’en établir les fondements.

Catégories fibrées en groupoïdes représentables

Soit \(S\) un schéma contenu dans \(\Sch_{fppf}\). L’objet d’étude fondamental de ce chapitre sera une catégorie fibrée en groupoïdes \(p : \mathcal{X} \to (\Sch/S)_{fppf}\), voir Catégories, Définition 003T. Nous dirons souvent simplement « soit \(\mathcal{X}\) une catégorie fibrée en groupoïdes au-dessus de \((\Sch/S)_{fppf}\) » pour désigner cette situation. Un \(1\)-morphisme \(\mathcal{X} \to \mathcal{Y}\) de catégories fibrées en groupoïdes au-dessus de \((\Sch/S)_{fppf}\) sera un \(1\)-morphisme dans la \(2\)-catégorie des catégories fibrées en groupoïdes au-dessus de \((\Sch/S)_{fppf}\), voir Catégories, Définition 02XS. Il s’agit simplement d’un foncteur \(\mathcal{X} \to \mathcal{Y}\) au-dessus de \((\Sch/S)_{fppf}\). Rappelons qu’il s’agit en fait d’une \((2, 1)\)-catégorie et que tous les \(2\)-produits fibrés existent.

Soit \(\mathcal{X}\) une catégorie fibrée en groupoïdes au-dessus de \((\Sch/S)_{fppf}\). Rappelons que \(\mathcal{X}\) est dite représentable s’il existe un schéma \(U \in \Ob((\Sch/S)_{fppf})\) et une équivalence \[j : \mathcal{X} \longrightarrow (\Sch/U)_{fppf}\] de catégories au-dessus de \((\Sch/S)_{fppf}\), voir Catégories, Définition 0046. Nous dirons parfois que \(\mathcal{X}\) est représentable par un schéma pour distinguer ce cas de celui où \(\mathcal{X}\) est représentable par un espace algébrique (voir ci-dessous).

Si \(\mathcal{X}, \mathcal{Y}\) sont fibrées en groupoïdes et représentables par \(U, V\), alors on a [04SR]\[\begin{equation} \Mor_{\textit{Cat}/(\Sch/S)_{fppf}}(\mathcal{X}, \mathcal{Y}) \Big/ 2\text{-isomorphisme} = \Mor_{\Sch/S}(U, V) \end{equation}\] voir Catégories, Lemme 04SF. Plus précisément, tout \(1\)-morphisme \(\mathcal{X} \to \mathcal{Y}\) donne lieu à un morphisme \(U \to V\). Réciproquement, étant donné un morphisme de schémas \(U \to V\) au-dessus de \(S\), il existe un \(1\)-morphisme \(\phi : \mathcal{X} \to \mathcal{Y}\) qui donne lieu à \(U \to V\) et qui est unique à un unique \(2\)-isomorphisme près.

Le lemme de 2-Yoneda

Soient \(U \in \Ob((\Sch/S)_{fppf})\) et \(\mathcal{X}\) une catégorie fibrée en groupoïdes au-dessus de \((\Sch/S)_{fppf}\). Nous utiliserons fréquemment le lemme de \(2\)-Yoneda, voir Catégories, Lemme 004B. Techniquement, il affirme qu’il existe une équivalence de catégories \[\Mor_{\textit{Cat}/(\Sch/S)_{fppf}}( (\Sch/U)_{fppf}, \mathcal{X}) \longrightarrow \mathcal{X}_U, \quad f \longmapsto f(U/U).\] Il affirme que les \(1\)-morphismes \((\Sch/U)_{fppf} \to \mathcal{X}\) correspondent aux objets \(x\) de la catégorie fibre \(\mathcal{X}_U\). En effet, un \(1\)-morphisme \(f : (\Sch/U)_{fppf} \to \mathcal{X}\) donne l’objet \(x = f(U/U) \in \Ob(\mathcal{X}_U)\). Réciproquement, étant donnés un choix d’images inverses pour \(\mathcal{X}\) comme dans Catégories, Définition 02XN, et un objet \(x\) de \(\mathcal{X}_U\), on obtient un foncteur \((\Sch/U)_{fppf} \to \mathcal{X}\) défini sur les objets par la règle \[(\varphi : V \to U) \longmapsto \varphi^*x\] Par abus de notation, nous employons \(x : (\Sch/U)_{fppf} \to \mathcal{X}\) pour désigner ce foncteur. Il vérifie bien \(x(U/U) = x\) et, de plus, pour tout autre foncteur \(f\) tel que \(f(U/U) = x\), il existe un unique \(2\)-isomorphisme \(x \to f\). Autrement dit, le foncteur \(x\) est déterminé par l’objet \(x\) à un unique \(2\)-isomorphisme près.

Nous l’utiliserons désormais sans autre mention.

Morphismes représentables de catégories fibrées en groupoïdes

Soient \(\mathcal{X}\), \(\mathcal{Y}\) des catégories fibrées en groupoïdes au-dessus de \((\Sch/S)_{fppf}\). Soit \(f : \mathcal{X} \to \mathcal{Y}\) un \(1\)-morphisme représentable, voir Catégories, Définition 02Y7. Cela signifie que, pour tout \(U \in \Ob((\Sch/S)_{fppf})\) et tout \(y \in \Ob(\mathcal{Y}_U)\), le \(2\)-produit fibré \((\Sch/U)_{fppf} \times_{y, \mathcal{Y}} \mathcal{X}\) est représentable comme catégorie fibrée en groupoïdes au-dessus de \((\Sch/U)_{fppf}\). Choisissons un objet représentant \(f_y : V_y \to U\) et une équivalence \[(\Sch/V_y)_{fppf} \longrightarrow (\Sch/U)_{fppf} \times_{y, \mathcal{Y}} \mathcal{X}.\] Le morphisme \(f_y\) correspond à la projection \((\Sch/V_y)_{fppf} \to (\Sch/U)_{fppf} \times_\mathcal{Y} \mathcal{Y} \to (\Sch/U)_{fppf}\) Voir section 02ZQ, Équation (04SR). Nous représentons ceci par le diagramme [0401]\[\begin{equation} \vcenter{ \xymatrix{ V_y \ar@{~>}[r] \ar[d]_{f_y} & (\Sch/V_y)_{fppf} \ar[d] \ar[r] & \mathcal{X} \ar[d]^f \\ U \ar@{~>}[r] & (\Sch/U)_{fppf} \ar[r]^-y & \mathcal{Y} } } \end{equation}\] où les flèches ondulées représentent le plongement de \(2\)-Yoneda. Voici quelques lemmes sur cette notion, valables dans une grande généralité (plus précisément, ils valent pour les catégories fibrées en groupoïdes au-dessus de toute catégorie de base qui possède des produits fibrés).

Lemme

Soit \(f : X \to Y\) un morphisme de \((\Sch/S)_{fppf}\). Alors le \(1\)-morphisme induit par \(f\) \[(\Sch/X)_{fppf} \longrightarrow (\Sch/Y)_{fppf}\] est un \(1\)-morphisme représentable.

Démonstration

C’est formel et ne repose que sur le fait que la catégorie \((\Sch/S)_{fppf}\) possède des produits fibrés.

Lemme

Soit \(S\) un objet de \(\Sch_{fppf}\). Considérons un diagramme \(2\)-commutatif \[\xymatrix{ \mathcal{X}' \ar[r] \ar[d]_{f'} & \mathcal{X} \ar[d]^f \\ \mathcal{Y}' \ar[r] & \mathcal{Y} }\] de \(1\)-morphismes de catégories fibrées en groupoïdes au-dessus de \((\Sch/S)_{fppf}\). Supposons que les flèches horizontales soient des équivalences. Alors \(f\) est représentable si et seulement si \(f'\) est représentable.

Démonstration

Omis.

Lemme

Soit \(S\) un schéma contenu dans \(\Sch_{fppf}\). Soient \(\mathcal{X}, \mathcal{Y}, \mathcal{Z}\) des catégories fibrées en groupoïdes au-dessus de \((\Sch/S)_{fppf}\) Soient \(f : \mathcal{X} \to \mathcal{Y}\), \(g : \mathcal{Y} \to \mathcal{Z}\) des \(1\)-morphismes représentables. Alors \[g \circ f : \mathcal{X} \longrightarrow \mathcal{Z}\] est un \(1\)-morphisme représentable.

Démonstration

C’est entièrement formel et vaut dans toute catégorie.

Lemme

Soit \(S\) un schéma contenu dans \(\Sch_{fppf}\). Soient \(\mathcal{X}, \mathcal{Y}, \mathcal{Z}\) des catégories fibrées en groupoïdes au-dessus de \((\Sch/S)_{fppf}\) Soit \(f : \mathcal{X} \to \mathcal{Y}\) un \(1\)-morphisme représentable. Soit \(g : \mathcal{Z} \to \mathcal{Y}\) un \(1\)-morphisme quelconque. Considérons le diagramme de produit fibré \[\xymatrix{ \mathcal{Z} \times_{g, \mathcal{Y}, f} \mathcal{X} \ar[r]_-{g'} \ar[d]_{f'} & \mathcal{X} \ar[d]^f \\ \mathcal{Z} \ar[r]^g & \mathcal{Y} }\] Alors le changement de base \(f'\) est un \(1\)-morphisme représentable.

Démonstration

C’est entièrement formel et vaut dans toute catégorie.

Lemme

Soit \(S\) un schéma contenu dans \(\Sch_{fppf}\). Soient \(\mathcal{X}_i, \mathcal{Y}_i\) des catégories fibrées en groupoïdes au-dessus de \((\Sch/S)_{fppf}\), \(i = 1, 2\). Soient \(f_i : \mathcal{X}_i \to \mathcal{Y}_i\), \(i = 1, 2\) des \(1\)-morphismes représentables. Alors \[f_1 \times f_2 : \mathcal{X}_1 \times \mathcal{X}_2 \longrightarrow \mathcal{Y}_1 \times \mathcal{Y}_2\] est un \(1\)-morphisme représentable.

Démonstration

Écrivons \(f_1 \times f_2\) comme le composé \(\mathcal{X}_1 \times \mathcal{X}_2 \to \mathcal{Y}_1 \times \mathcal{X}_2 \to \mathcal{Y}_1 \times \mathcal{Y}_2\). La première flèche est le changement de base de \(f_1\) par l’application \(\mathcal{Y}_1 \times \mathcal{X}_2 \to \mathcal{Y}_1\), et la seconde flèche est le changement de base de \(f_2\) par l’application \(\mathcal{Y}_1 \times \mathcal{Y}_2 \to \mathcal{Y}_2\). Ce lemme est donc une conséquence formelle des Lemmes 02ZS et 02ZT.

Catégories fibrées en groupoïdes scindées

Soit \(S\) un schéma contenu dans \(\Sch_{fppf}\). Rappelons qu’étant donné un « préfaisceau de groupoïdes » \[F : (\Sch/S)_{fppf}^{opp} \longrightarrow \textit{Groupoïdes}\] on obtient une catégorie fibrée en groupoïdes \(\mathcal{S}_F\) au-dessus de \((\Sch/S)_{fppf}\), voir Catégories, Exemple 0049. Toute catégorie fibrée en groupoïdes isomorphe (!) à l’une d’elles est appelée une catégorie fibrée en groupoïdes scindée. Toute catégorie fibrée en groupoïdes est équivalente à une catégorie scindée.

Si \(F\) est un préfaisceau d’ensembles, alors \(\mathcal{S}_F\) est fibrée en ensembles, voir Catégories, Définition 0043, et Catégories, Exemple 04TM. La règle \(F \mapsto \mathcal{S}_F\) est en un certain sens pleinement fidèle sur les préfaisceaux, voir Catégories, Lemme 02Y2. Si \(F, G\) sont des préfaisceaux, alors \[\mathcal{S}_{F \times G} = \mathcal{S}_F \times_{(\Sch/S)_{fppf}} \mathcal{S}_G\] et si \(F \to H\) et \(G \to H\) sont des applications de préfaisceaux d’ensembles, alors \[\mathcal{S}_{F \times_H G} = \mathcal{S}_F \times_{\mathcal{S}_H} \mathcal{S}_G\] où les membres de droite sont des \(2\)-produits fibrés. Cela résulte immédiatement des définitions, puisque les catégories fibres de \(\mathcal{S}_F, \mathcal{S}_G, \mathcal{S}_H\) ne possèdent que des morphismes identité.

Un cas encore plus particulier est celui où \(F = h_X\) est un préfaisceau représentable. Dans ce cas, on a \(\mathcal{S}_{h_X} = (\Sch/X)_{fppf}\), voir Catégories, Exemple 0044.

Nous emploierons désormais la notation \(\mathcal{S}_F\) sans autre mention.

Catégories fibrées en groupoïdes représentables par des espaces algébriques

La représentabilité par des espaces algébriques, que nous étudions dans cette section, est une notion légèrement plus faible que la représentabilité. On aurait pu éviter cette discussion si nous avions travaillé avec une catégorie \(\textit{Espaces}_{fppf}\) d’espaces algébriques plutôt qu’avec la catégorie \(\Sch_{fppf}\). Il nous semble toutefois naturel de considérer la catégorie des schémas comme la collection naturelle d’« objets tests » au-dessus desquels sont définies les catégories fibres d’un champ algébrique.

Par analogie avec Catégories, Définitions 0046, nous posons la définition suivante.

Définition

Soit \(S\) un schéma contenu dans \(\Sch_{fppf}\). Une catégorie fibrée en groupoïdes \(p : \mathcal{X} \to (\Sch/S)_{fppf}\) est dite représentable par un espace algébrique sur \(S\) s’il existe un espace algébrique \(F\) sur \(S\) et une équivalence \(j : \mathcal{X} \to \mathcal{S}_F\) de catégories au-dessus de \((\Sch/S)_{fppf}\).

Nous poursuivons notre abus de notation en omettant l’équivalence \(j\) chaque fois que nous rencontrons une telle situation. Il résulte formellement de ce qui précède que, si \(\mathcal{X}\) est représentable (par un schéma), elle est représentable par un espace algébrique. Voici l’analogue de Catégories, Lemme 02Y3.

Lemme

Soit \(S\) un schéma contenu dans \(\Sch_{fppf}\). Soit \(p : \mathcal{X} \to (\Sch/S)_{fppf}\) une catégorie fibrée en groupoïdes. Alors \(\mathcal{X}\) est représentable par un espace algébrique sur \(S\) si et seulement si les conditions suivantes sont satisfaites :

1. \(\mathcal{X}\) est fibrée en setoïdes¹, et

2. le préfaisceau \(U \mapsto \Ob(\mathcal{X}_U)/\!\!\cong\) est un espace algébrique.

Démonstration

Omis, mais voir Catégories, Lemme 02Y3.

Si \(\mathcal{X}, \mathcal{Y}\) sont fibrées en groupoïdes et représentables par des espaces algébriques \(F, G\) sur \(S\), alors on a [04SW]\[\begin{equation} \Mor_{\textit{Cat}/(\Sch/S)_{fppf}}(\mathcal{X}, \mathcal{Y}) \Big/ 2\text{-isomorphisme} = \Mor_{\Sch/S}(F, G) \end{equation}\] voir Catégories, Lemme 04SC. Plus précisément, tout \(1\)-morphisme \(\mathcal{X} \to \mathcal{Y}\) donne lieu à un morphisme \(F \to G\). Réciproquement, étant donné un morphisme de faisceaux \(F \to G\) au-dessus de \(S\), il existe un \(1\)-morphisme \(\phi : \mathcal{X} \to \mathcal{Y}\) qui donne lieu à \(F \to G\) et qui est unique à un unique \(2\)-isomorphisme près.

Morphismes représentables par des espaces algébriques

Par analogie avec Catégories, Définition 02Y7, nous posons la définition suivante.

Définition

Soit \(S\) un schéma contenu dans \(\Sch_{fppf}\). Un \(1\)-morphisme \(f : \mathcal{X} \to \mathcal{Y}\) de catégories fibrées en groupoïdes au-dessus de \((\Sch/S)_{fppf}\) est dit représentable par des espaces algébriques si, pour tout \(U \in \Ob((\Sch/S)_{fppf})\) et tout \(y : (\Sch/U)_{fppf} \to \mathcal{Y}\), la catégorie fibrée en groupoïdes \[(\Sch/U)_{fppf} \times_{y, \mathcal{Y}} \mathcal{X}\] au-dessus de \((\Sch/U)_{fppf}\) est représentable par un espace algébrique sur \(U\).

Choisissons un espace algébrique \(F_y\) sur \(U\) qui représente \((\Sch/U)_{fppf} \times_{y, \mathcal{Y}} \mathcal{X}\). On peut considérer \(F_y\) comme un espace algébrique sur \(S\) muni d’un morphisme canonique \(f_y : F_y \to U\) au-dessus de \(S\), voir Espaces, section 03I3. Voici le diagramme [0402]\[\begin{equation} \vcenter{ \xymatrix{ F_y \ar[d]_{f_y} & (\Sch/U)_{fppf} \times_{y, \mathcal{Y}} \mathcal{X} \ar@{~>}[l] \ar[d]_{\text{pr}_0} \ar[r]_-{\text{pr}_1} & \mathcal{X} \ar[d]^f \\ U & (\Sch/U)_{fppf} \ar@{~>}[l] \ar[r]^-y & \mathcal{Y} } } \end{equation}\] où les flèches ondulées représentent la construction qui associe à un champ fibré en setoïdes le faisceau associé des classes d’isomorphie de ses objets. Le carré de droite est \(2\)-commutatif et est un carré \(2\)-cartésien.

Voici l’analogue de Catégories, Lemme 02Y9.

Lemme

Soit \(S\) un schéma contenu dans \(\Sch_{fppf}\). Soit \(f : \mathcal{X} \to \mathcal{Y}\) un \(1\)-morphisme de catégories fibrées en groupoïdes au-dessus de \((\Sch/S)_{fppf}\). Pour que \(f\) soit représentable par des espaces algébriques, il faut et il suffit que les conditions suivantes soient satisfaites :

1. pour tout schéma \(U/S\), le foncteur \(f_U : \mathcal{X}_U \longrightarrow \mathcal{Y}_U\) entre les catégories fibres est fidèle, et

2. pour tout \(U\) et tout \(y \in \Ob(\mathcal{Y}_U)\), le préfaisceau \[(h : V \to U) \longmapsto \{(x, \phi) \mid x \in \Ob(\mathcal{X}_V), \phi : h^*y \to f(x)\}/\cong\] est un espace algébrique sur \(U\).

Nous avons choisi ici des images inverses pour \(\mathcal{Y}\).

Démonstration

Cela résulte de la description des catégories fibres des \(2\)-produits fibrés \((\Sch/U)_{fppf} \times_{y, \mathcal{Y}} \mathcal{X}\) donnée dans Catégories, Lemme 02Y5, combinée au Lemme 02ZX.

Voici quelques lemmes sur cette notion, valables dans une grande généralité.

Lemme

Soit \(S\) un objet de \(\Sch_{fppf}\). Considérons un diagramme \(2\)-commutatif \[\xymatrix{ \mathcal{X}' \ar[r] \ar[d]_{f'} & \mathcal{X} \ar[d]^f \\ \mathcal{Y}' \ar[r] & \mathcal{Y} }\] de \(1\)-morphismes de catégories fibrées en groupoïdes au-dessus de \((\Sch/S)_{fppf}\). Supposons que les flèches horizontales soient des équivalences. Alors \(f\) est représentable par des espaces algébriques si et seulement si \(f'\) est représentable par des espaces algébriques.

Démonstration

Omis.

Lemme

Soit \(S\) un objet de \(\Sch_{fppf}\). Soit \(f : \mathcal{X} \to \mathcal{Y}\) un \(1\)-morphisme de catégories fibrées en groupoïdes au-dessus de \(S\). Si \(\mathcal{X}\) et \(\mathcal{Y}\) sont représentables par des espaces algébriques sur \(S\), alors le \(1\)-morphisme \(f\) est représentable par des espaces algébriques.

Démonstration

Omis. Cela ne repose que sur le fait que la catégorie des espaces algébriques sur \(S\) possède des produits fibrés, voir Espaces, Lemme 02X2.

Lemme

Soit \(S\) un objet de \(\Sch_{fppf}\). Soit \(a : F \to G\) un morphisme de préfaisceaux d’ensembles sur \((\Sch/S)_{fppf}\). Notons \(a' : \mathcal{S}_F \to \mathcal{S}_G\) le morphisme associé de catégories fibrées en ensembles. Alors \(a\) est représentable par des espaces algébriques (voir Amorçage, Définition 02YQ) si et seulement si \(a'\) est représentable par des espaces algébriques.

Démonstration

Omis.

Lemme

Soit \(S\) un objet de \(\Sch_{fppf}\). Soit \(f : \mathcal{X} \to \mathcal{Y}\) un \(1\)-morphisme de catégories fibrées en setoïdes au-dessus de \((\Sch/S)_{fppf}\). Soient \(F\) et \(G\) les préfaisceaux qui associent respectivement à \(T\) l’ensemble des classes d’isomorphie des objets de \(\mathcal{X}_T\) et celui des objets de \(\mathcal{Y}_T\). Soit \(a : F \to G\) le morphisme de préfaisceaux correspondant à \(f\). Alors \(a\) est représentable par des espaces algébriques (voir Amorçage, Définition 02YQ) si et seulement si \(f\) est représentable par des espaces algébriques.

Démonstration

Omis. Indication : combiner les Lemmes 0457 et 0458.

Lemme

Soit \(S\) un schéma contenu dans \(\Sch_{fppf}\). Soient \(\mathcal{X}, \mathcal{Y}, \mathcal{Z}\) des catégories fibrées en groupoïdes au-dessus de \((\Sch/S)_{fppf}\). Soit \(f : \mathcal{X} \to \mathcal{Y}\) un \(1\)-morphisme représentable par des espaces algébriques. Soit \(g : \mathcal{Z} \to \mathcal{Y}\) un \(1\)-morphisme quelconque. Considérons le diagramme de produit fibré \[\xymatrix{ \mathcal{Z} \times_{g, \mathcal{Y}, f} \mathcal{X} \ar[r]_-{g'} \ar[d]_{f'} & \mathcal{X} \ar[d]^f \\ \mathcal{Z} \ar[r]^g & \mathcal{Y} }\] Alors le changement de base \(f'\) est un \(1\)-morphisme représentable par des espaces algébriques.

Démonstration

C’est formel.

Lemme

Soit \(S\) un schéma contenu dans \(\Sch_{fppf}\). Soient \(\mathcal{X}, \mathcal{Y}, \mathcal{Z}\) des catégories fibrées en groupoïdes au-dessus de \((\Sch/S)_{fppf}\) Soient \(f : \mathcal{X} \to \mathcal{Y}\), \(g : \mathcal{Z} \to \mathcal{Y}\) des \(1\)-morphismes. Supposons que

1. \(f\) soit représentable par des espaces algébriques, et

2. \(\mathcal{Z}\) soit représentable par un espace algébrique sur \(S\).

Alors le \(2\)-produit fibré \(\mathcal{Z} \times_{g, \mathcal{Y}, f} \mathcal{X}\) est représentable par un espace algébrique.

Démonstration

C’est une reformulation de Amorçage, Lemme 02YS. Notons d’abord que \(\mathcal{Z} \times_{g, \mathcal{Y}, f} \mathcal{X}\) est fibrée en setoïdes au-dessus de \((\Sch/S)_{fppf}\). Elle est donc équivalente à \(\mathcal{S}_F\) pour un certain préfaisceau \(F\) sur \((\Sch/S)_{fppf}\), voir Catégories, Lemme 0045. De plus, soit \(G\) un espace algébrique qui représente \(\mathcal{Z}\). Le \(1\)-morphisme \(\mathcal{Z} \times_{g, \mathcal{Y}, f} \mathcal{X} \to \mathcal{Z}\) est représentable par des espaces algébriques d’après le Lemme 0302. Et \(\mathcal{Z} \times_{g, \mathcal{Y}, f} \mathcal{X} \to \mathcal{Z}\) correspond à un morphisme \(F \to G\) d’après Catégories, Lemme 04SC. Alors \(F \to G\) est représentable par des espaces algébriques d’après le Lemme 04SY. Par conséquent, Amorçage, Lemme 02YS implique que \(F\) est un espace algébrique, comme souhaité.

Soient \(S\), \(\mathcal{X}\), \(\mathcal{Y}\), \(\mathcal{Z}\), \(f\), \(g\) comme dans le Lemme 0300. Soient \(F\) et \(G\) des espaces algébriques sur \(S\) tels que \(F\) représente \(\mathcal{Z} \times_{g, \mathcal{Y}, f} \mathcal{X}\) et \(G\) représente \(\mathcal{Z}\). Le \(1\)-morphisme \(f' : \mathcal{Z} \times_{g, \mathcal{Y}, f} \mathcal{X} \to \mathcal{Z}\) correspond à un morphisme \(f' : F \to G\) d’espaces algébriques d’après (04SW). On a donc le diagramme suivant [0403]\[\begin{equation} \vcenter{ \xymatrix{ F \ar[d]_{f'} & \mathcal{Z} \times_{g, \mathcal{Y}, f} \mathcal{X} \ar@{~>}[l] \ar[d] \ar[r] & \mathcal{X} \ar[d]^f \\ G & \mathcal{Z} \ar@{~>}[l] \ar[r]^-g & \mathcal{Y} } } \end{equation}\] où les flèches ondulées représentent la construction qui associe à un champ fibré en setoïdes le faisceau associé des classes d’isomorphie de ses objets.

Lemme

Soit \(S\) un schéma contenu dans \(\Sch_{fppf}\). Soient \(\mathcal{X}, \mathcal{Y}, \mathcal{Z}\) des catégories fibrées en groupoïdes au-dessus de \((\Sch/S)_{fppf}\). Si \(f : \mathcal{X} \to \mathcal{Y}\), \(g : \mathcal{Y} \to \mathcal{Z}\) sont des \(1\)-morphismes représentables par des espaces algébriques, alors \[g \circ f : \mathcal{X} \longrightarrow \mathcal{Z}\] est un \(1\)-morphisme représentable par des espaces algébriques.

Démonstration

Cela résulte du Lemme 0300. Les détails sont omis.

Lemme

Soit \(S\) un schéma contenu dans \(\Sch_{fppf}\). Soient \(\mathcal{X}_i, \mathcal{Y}_i\) des catégories fibrées en groupoïdes au-dessus de \((\Sch/S)_{fppf}\), \(i = 1, 2\). Soient \(f_i : \mathcal{X}_i \to \mathcal{Y}_i\), \(i = 1, 2\) des \(1\)-morphismes représentables par des espaces algébriques. Alors \[f_1 \times f_2 : \mathcal{X}_1 \times \mathcal{X}_2 \longrightarrow \mathcal{Y}_1 \times \mathcal{Y}_2\] est un \(1\)-morphisme représentable par des espaces algébriques.

Démonstration

Écrivons \(f_1 \times f_2\) comme le composé \(\mathcal{X}_1 \times \mathcal{X}_2 \to \mathcal{Y}_1 \times \mathcal{X}_2 \to \mathcal{Y}_1 \times \mathcal{Y}_2\). La première flèche est le changement de base de \(f_1\) par l’application \(\mathcal{Y}_1 \times \mathcal{X}_2 \to \mathcal{Y}_1\), et la seconde flèche est le changement de base de \(f_2\) par l’application \(\mathcal{Y}_1 \times \mathcal{Y}_2 \to \mathcal{Y}_2\). Ce lemme est donc une conséquence formelle des Lemmes 0301 et 0302.

Lemme

Soit \(S\) un schéma contenu dans \(\Sch_{fppf}\). Soient \(\mathcal{X} \to \mathcal{Z}\) et \(\mathcal{Y} \to \mathcal{Z}\) des \(1\)-morphismes de catégories fibrées en groupoïdes au-dessus de \((\Sch/S)_{fppf}\). Si \(\mathcal{X} \to \mathcal{Z}\) est représentable par des espaces algébriques et si \(\mathcal{Y}\) est un champ en groupoïdes, alors \(\mathcal{X} \times_\mathcal{Z} \mathcal{Y}\) est un champ en groupoïdes.

Démonstration

La propriété, pour un morphisme, d’être représentable par des espaces algébriques est préservée par changement de base (Lemme 0300) ; ainsi, en passant au changement de base \(\mathcal{X} \times_\mathcal{Z} \mathcal{Y}\) au-dessus de \(\mathcal{Y}\), on peut se ramener au cas d’un morphisme de catégories fibrées en groupoïdes \(\mathcal{X} \to \mathcal{Y}\) qui est représentable par des espaces algébriques et dont le but est un champ en groupoïdes ; il s’agit alors de démontrer que \(\mathcal{X}\) est également un champ en groupoïdes. Cela résulte de Champs, Lemme 0CKJ, dont les hypothèses sont satisfaites en vertu du Lemme 02ZY.

Propriétés des morphismes représentables par des espaces algébriques

Voici la définition qui permet de procéder.

Définition

Soit \(S\) un schéma appartenant à \(\Sch_{fppf}\). Soit \(f : \mathcal{X} \to \mathcal{Y}\) un \(1\)-morphisme de catégories fibrées en groupoïdes au-dessus de \((\Sch/S)_{fppf}\). Supposons que \(f\) soit représentable par des espaces algébriques. Soit \(\mathcal{P}\) une propriété des morphismes d’espaces algébriques qui

1. est préservée par tout changement de base, et

2. est locale pour la topologie fppf sur la base, voir Descente et espaces algébriques, Définition 03YH.

Dans ce cas, on dit que \(f\) a la propriété \(\mathcal{P}\) si, pour tout \(U \in \Ob((\Sch/S)_{fppf})\) et tout \(y \in \mathcal{Y}_U\), le morphisme d’espaces algébriques qui en résulte \(f_y : F_y \to U\), voir le diagramme (0402), a la propriété \(\mathcal{P}\).

Il importe de noter que nous n’utiliserons cette définition que pour des propriétés de morphismes stables par changement de base et locales pour la topologie fppf sur le but. Ce n’est pas que la définition n’ait autrement aucun sens ; c’est plutôt que nous pourrions vouloir donner une autre définition qui soit mieux adaptée à la propriété envisagée.

Lemme

Soit \(S\) un objet de \(\Sch_{fppf}\). Soit \(\mathcal{P}\) comme dans la Définition 03YK. Considérons un diagramme \(2\)-commutatif \[\xymatrix{ \mathcal{X}' \ar[r] \ar[d]_{f'} & \mathcal{X} \ar[d]^f \\ \mathcal{Y}' \ar[r] & \mathcal{Y} }\] de \(1\)-morphismes de catégories fibrées en groupoïdes au-dessus de \((\Sch/S)_{fppf}\). Supposons que les flèches horizontales soient des équivalences et que \(f\) (ou, de manière équivalente, \(f'\)) soit représentable par des espaces algébriques. Alors \(f\) a \(\mathcal{P}\) si et seulement si \(f'\) a \(\mathcal{P}\).

Démonstration

Cet énoncé a bien un sens en vertu du Lemme 0457. Démonstration omise.

Voici un contrôle de cohérence.

Lemme

Soit \(S\) un schéma appartenant à \(\Sch_{fppf}\). Soit \(a : F \to G\) une application de préfaisceaux sur \((\Sch/S)_{fppf}\). Soit \(\mathcal{P}\) comme dans la Définition 03YK. Supposons que \(a\) soit représentable par des espaces algébriques. Alors \(a : F \to G\) a la propriété \(\mathcal{P}\) (voir Amorçage, Définition 03XZ) si et seulement si le morphisme correspondant \(\mathcal{S}_F \to \mathcal{S}_G\) de catégories fibrées en groupoïdes a la propriété \(\mathcal{P}\).

Démonstration

L’énoncé du lemme a bien un sens en vertu du Lemme 0458. Démonstration omise.

Lemme

Soit \(S\) un objet de \(\Sch_{fppf}\). Soit \(\mathcal{P}\) comme dans la Définition 03YK. Soit \(f : \mathcal{X} \to \mathcal{Y}\) un \(1\)-morphisme de catégories fibrées en setoïdes au-dessus de \((\Sch/S)_{fppf}\). Soient \(F\) et \(G\) les préfaisceaux qui associent respectivement à \(T\) l’ensemble des classes d’isomorphie des objets de \(\mathcal{X}_T\) et celui des objets de \(\mathcal{Y}_T\). Soit \(a : F \to G\) l’application de préfaisceaux correspondant à \(f\). Alors \(a\) a \(\mathcal{P}\) si et seulement si \(f\) a \(\mathcal{P}\).

Démonstration

L’énoncé du lemme a bien un sens en vertu du Lemme 04SY. Le lemme résulte de la combinaison des Lemmes 0459 et 045A.

Lemme

Soit \(S\) un schéma appartenant à \(\Sch_{fppf}\). Soient \(\mathcal{X}\), \(\mathcal{Y}\), \(\mathcal{Z}\) des catégories fibrées en groupoïdes au-dessus de \((\Sch/S)_{fppf}\). Soit \(\mathcal{P}\) une propriété comme dans la Définition 03YK qui est stable par composition. Soient \(f : \mathcal{X} \to \mathcal{Y}\) et \(g : \mathcal{Y} \to \mathcal{Z}\) des \(1\)-morphismes représentables par des espaces algébriques. Si \(f\) et \(g\) ont la propriété \(\mathcal{P}\), il en est de même de \(g \circ f : \mathcal{X} \to \mathcal{Z}\).

Démonstration

L’énoncé du lemme a bien un sens en vertu du Lemme 0301. Démonstration omise.

Lemme

Soit \(S\) un schéma appartenant à \(\Sch_{fppf}\). Soient \(\mathcal{X}, \mathcal{Y}, \mathcal{Z}\) des catégories fibrées en groupoïdes au-dessus de \((\Sch/S)_{fppf}\). Soit \(\mathcal{P}\) une propriété comme dans la Définition 03YK. Soit \(f : \mathcal{X} \to \mathcal{Y}\) un \(1\)-morphisme représentable par des espaces algébriques. Soit \(g : \mathcal{Z} \to \mathcal{Y}\) un \(1\)-morphisme quelconque. Considérons le diagramme de \(2\)-produit fibré \[\xymatrix{ \mathcal{Z} \times_{g, \mathcal{Y}, f} \mathcal{X} \ar[r]_-{g'} \ar[d]_{f'} & \mathcal{X} \ar[d]^f \\ \mathcal{Z} \ar[r]^g & \mathcal{Y} }\] Si \(f\) a \(\mathcal{P}\), alors le changement de base \(f'\) a \(\mathcal{P}\).

Démonstration

L’énoncé du lemme a bien un sens en vertu du Lemme 0302. Démonstration omise.

Lemme

Soit \(S\) un schéma appartenant à \(\Sch_{fppf}\). Soient \(\mathcal{X}, \mathcal{Y}, \mathcal{Z}\) des catégories fibrées en groupoïdes au-dessus de \((\Sch/S)_{fppf}\). Soit \(\mathcal{P}\) une propriété comme dans la Définition 03YK. Soit \(f : \mathcal{X} \to \mathcal{Y}\) un \(1\)-morphisme représentable par des espaces algébriques. Soit \(g : \mathcal{Z} \to \mathcal{Y}\) un \(1\)-morphisme quelconque. Considérons le diagramme de produit fibré \[\xymatrix{ \mathcal{Z} \times_{g, \mathcal{Y}, f} \mathcal{X} \ar[r]_-{g'} \ar[d]_{f'} & \mathcal{X} \ar[d]^f \\ \mathcal{Z} \ar[r]^g & \mathcal{Y} }\] Supposons que, pour tout schéma \(U\) et tout objet \(x\) de \(\mathcal{Y}_U\), il existe un recouvrement fppf \(\{U_i \to U\}\) tel que \(x|_{U_i}\) appartienne à l’image essentielle du foncteur \(g : \mathcal{Z}_{U_i} \to \mathcal{Y}_{U_i}\). Dans ce cas, si \(f'\) a \(\mathcal{P}\), alors \(f\) a \(\mathcal{P}\).

Démonstration

Démonstration omise. Indication : comparer avec la démonstration de Espaces, Lemme 03KD.

Lemme

Soit \(S\) un schéma appartenant à \(\Sch_{fppf}\). Soit \(\mathcal{P}\) une propriété comme dans la Définition 03YK qui est stable par composition. Soient \(\mathcal{X}_i, \mathcal{Y}_i\) des catégories fibrées en groupoïdes au-dessus de \((\Sch/S)_{fppf}\), \(i = 1, 2\). Soient \(f_i : \mathcal{X}_i \to \mathcal{Y}_i\), \(i = 1, 2\), des \(1\)-morphismes représentables par des espaces algébriques. Si \(f_1\) et \(f_2\) ont la propriété \(\mathcal{P}\), il en est de même de \(f_1 \times f_2 : \mathcal{X}_1 \times \mathcal{X}_2 \to \mathcal{Y}_1 \times \mathcal{Y}_2\).

Démonstration

L’énoncé du lemme a bien un sens en vertu du Lemme 0303. Démonstration omise.

Lemme

Soit \(S\) un schéma appartenant à \(\Sch_{fppf}\). Soient \(\mathcal{X}\), \(\mathcal{Y}\) des catégories fibrées en groupoïdes au-dessus de \((\Sch/S)_{fppf}\). Soit \(f : \mathcal{X} \to \mathcal{Y}\) un \(1\)-morphisme représentable par des espaces algébriques. Soient \(\mathcal{P}\), \(\mathcal{P}'\) des propriétés comme dans la Définition 03YK. Supposons que, pour tout morphisme d’espaces algébriques \(a : F \to G\), on ait \(\mathcal{P}(a) \Rightarrow \mathcal{P}'(a)\). Si \(f\) a la propriété \(\mathcal{P}\), alors \(f\) a la propriété \(\mathcal{P}'\).

Démonstration

C’est formel.

Lemme

Soit \(S\) un schéma appartenant à \(\Sch_{fppf}\). Soit \(j : \mathcal X \to \mathcal Y\) un \(1\)-morphisme de catégories fibrées en groupoïdes au-dessus de \((\Sch/S)_{fppf}\). Supposons que \(j\) soit représentable par des espaces algébriques et soit un monomorphisme (voir la Définition 03YK et Descente et espaces algébriques, Lemme 042D). Alors \(j\) est pleinement fidèle sur les catégories fibres.

Démonstration

Nous avons vu dans le Lemme 02ZY que \(j\) est fidèle sur les catégories fibres. Considérons un schéma \(U\), deux objets \(u, v\) de \(\mathcal{X}_U\) et un isomorphisme \(t : j(u) \to j(v)\) dans \(\mathcal{Y}_U\). Il faut construire un isomorphisme dans \(\mathcal{X}_U\) entre \(u\) et \(v\). Par le lemme de \(2\)-Yoneda (voir section 04SS), nous considérons \(u\), \(v\) comme des \(1\)-morphismes \(u, v : (\Sch/U)_{fppf} \to \mathcal{X}\) et considérons le \(2\)-produit fibré \[(\Sch/U)_{fppf} \times_{j \circ v, \mathcal{Y}} \mathcal{X}.\] Par hypothèse, celui-ci est représentable par un espace algébrique \(F_{j \circ v}\) au-dessus de \(U\), et le morphisme \(F_{j \circ v} \to U\) est un monomorphisme. Mais puisque \((1_U, v, 1_{j(v)})\) donne un \(1\)-morphisme de \((\Sch/U)_{fppf}\) dans le \(2\)-produit fibré affiché, on voit que \(F_{j \circ v} = U\) (on utilise ici que si \(V \to U\) est un monomorphisme d’espaces algébriques qui possède une section, alors \(V = U\)). Par conséquent, le \(1\)-morphisme de projection sur la première coordonnée \[(\Sch/U)_{fppf} \times_{j \circ v, \mathcal{Y}} \mathcal{X} \to (\Sch/U)_{fppf}\] est une équivalence de catégories fibres. Puisque \((1_U, u, t)\) et \((1_U, v, 1_{j(v)})\) donnent deux objets de \(((\Sch/U)_{fppf} \times_{j \circ v, \mathcal{Y}} \mathcal{X})_U\) qui ont la même première coordonnée, il doit exister entre eux un \(2\)-morphisme dans le \(2\)-produit fibré. C’est, par définition, un morphisme \(\tilde t : u \to v\) tel que \(j(\tilde t) = t\).

Voici une caractérisation des catégories fibrées en groupoïdes dont la diagonale est représentable par des espaces algébriques.

Lemme

Soit \(S\) un schéma appartenant à \(\Sch_{fppf}\). Soit \(\mathcal{X}\) une catégorie fibrée en groupoïdes au-dessus de \((\Sch/S)_{fppf}\). Les assertions suivantes sont équivalentes :

1. la diagonale \(\mathcal{X} \to \mathcal{X} \times \mathcal{X}\) est représentable par des espaces algébriques,

2. pour tout schéma \(U\) au-dessus de \(S\) et tous \(x, y \in \Ob(\mathcal{X}_U)\), le faisceau \(\mathit{Isom}(x, y)\) est un espace algébrique au-dessus de \(U\),

3. pour tout schéma \(U\) au-dessus de \(S\) et tout \(x \in \Ob(\mathcal{X}_U)\), le \(1\)-morphisme associé \(x : (\Sch/U)_{fppf} \to \mathcal{X}\) est représentable par des espaces algébriques,

4. pour toute paire de schémas \(T_1, T_2\) au-dessus de \(S\) et tous \(x_i \in \Ob(\mathcal{X}_{T_i})\), \(i = 1, 2\), le \(2\)-produit fibré \((\Sch/T_1)_{fppf} \times_{x_1, \mathcal{X}, x_2} (\Sch/T_2)_{fppf}\) est représentable par un espace algébrique,

5. pour toute catégorie fibrée en groupoïdes représentable \(\mathcal{U}\) au-dessus de \((\Sch/S)_{fppf}\), tout \(1\)-morphisme \(\mathcal{U} \to \mathcal{X}\) est représentable par des espaces algébriques,

6. pour toute paire \(\mathcal{T}_1, \mathcal{T}_2\) de catégories fibrées en groupoïdes représentables au-dessus de \((\Sch/S)_{fppf}\) et tous \(1\)-morphismes \(x_i : \mathcal{T}_i \to \mathcal{X}\), \(i = 1, 2\), le \(2\)-produit fibré \(\mathcal{T}_1 \times_{x_1, \mathcal{X}, x_2} \mathcal{T}_2\) est représentable par un espace algébrique,

7. pour toute catégorie fibrée en groupoïdes \(\mathcal{U}\) au-dessus de \((\Sch/S)_{fppf}\) qui est représentable par un espace algébrique, tout \(1\)-morphisme \(\mathcal{U} \to \mathcal{X}\) est représentable par des espaces algébriques,

8. pour toute paire \(\mathcal{T}_1, \mathcal{T}_2\) de catégories fibrées en groupoïdes au-dessus de \((\Sch/S)_{fppf}\) qui sont représentables par des espaces algébriques, et tous \(1\)-morphismes \(x_i : \mathcal{T}_i \to \mathcal{X}\), le \(2\)-produit fibré \(\mathcal{T}_1 \times_{x_1, \mathcal{X}, x_2} \mathcal{T}_2\) est représentable par un espace algébrique.

Démonstration

L’équivalence de (1) et (2) résulte du Lemme 04SI de Champs et des définitions. Démontrons l’équivalence de (1) et (3). Posons \(\mathcal{C} = (\Sch/S)_{fppf}\) pour la catégorie de base. Nous utiliserons certaines des observations de la démonstration de l’énoncé analogue Catégories, Lemme 02YA. Nous emploierons le symbole \(\cong\) au sens d’« équivalence de catégories fibrées en groupoïdes au-dessus de \(\mathcal{C} = (\Sch/S)_{fppf}\) ». Supposons (1). Soient \(U\) et \(x\) comme dans (3). Pour tout schéma \(V\) et tout \(y \in \Ob(\mathcal{X}_V)\), on voit (comparer la référence ci-dessus) que \[\mathcal{C}/U \times_{x, \mathcal{X}, y} \mathcal{C}/V \cong (\mathcal{C}/U \times_S V) \times_{(x, y), \mathcal{X} \times \mathcal{X}, \Delta} \mathcal{X}\] qui est représentable par un espace algébrique par hypothèse. Réciproquement, supposons (3). Considérons un schéma \(U\) quelconque au-dessus de \(S\) et une paire \((x, x')\) d’objets de \(\mathcal{X}\) au-dessus de \(U\). Il faut montrer que \(\mathcal{X} \times_{\Delta, \mathcal{X} \times \mathcal{X}, (x, x')} U\) est représentable par un espace algébrique. C’est clair, car (comparer la référence ci-dessus) \[\mathcal{X} \times_{\Delta, \mathcal{X} \times \mathcal{X}, (x, x')} \mathcal{C}/U \cong (\mathcal{C}/U \times_{x, \mathcal{X}, x'} \mathcal{C}/U) \times_{\mathcal{C}/U \times_S U, \Delta} \mathcal{C}/U\] et le membre de droite est représentable par un espace algébrique par hypothèse et parce que la catégorie des espaces algébriques au-dessus de \(S\) admet des produits fibrés et contient \(U\) et \(S\).

Les équivalences (3) \(\Leftrightarrow\) (4), (5) \(\Leftrightarrow\) (6) et (7) \(\Leftrightarrow\) (8) sont formelles. Les équivalences (3) \(\Leftrightarrow\) (5) et (4) \(\Leftrightarrow\) (6) résultent du Lemme 0457. Supposons (3), et soit \(\mathcal{U} \to \mathcal{X}\) comme dans (7). Pour démontrer (7), il faut montrer que, pour tout schéma \(V\) et tout \(1\)-morphisme \(y : (\Sch/V)_{fppf} \to \mathcal{X}\), le \(2\)-produit fibré \((\Sch/V)_{fppf} \times_{y, \mathcal{X}} \mathcal{U}\) est représentable par un espace algébrique. La propriété (3) nous dit que \(y\) est représentable par des espaces algébriques ; par conséquent, le Lemme 0300 donne l’assertion voulue. Enfin, (7) implique directement (3).

Dans la situation du lemme, pour tout \(1\)-morphisme \(x : (\Sch/U)_{fppf} \to \mathcal{X}\) comme dans le lemme, il est légitime de dire que \(x\) a la propriété \(\mathcal{P}\), pour toute propriété comme dans la Définition 03YK. Cela vaut en particulier pour \(\mathcal{P} =\) « surjectif », \(\mathcal{P} =\) « lisse » et \(\mathcal{P} =\) « étale », voir Descente et espaces algébriques, Lemmes 041Q, 0429 et 042B. Nous utiliserons ces trois cas dans les définitions des champs algébriques ci-dessous.

Champs en groupoïdes

Soit \(S\) un schéma appartenant à \(\Sch_{fppf}\). Rappelons qu’une catégorie \(p : \mathcal{X} \to (\Sch/S)_{fppf}\) au-dessus de \((\Sch/S)_{fppf}\) est appelée un champ en groupoïdes (voir Champs, Définition 02ZI) si et seulement si

1. \(p : \mathcal{X} \to (\Sch/S)_{fppf}\) est fibrée en groupoïdes au-dessus de \((\Sch/S)_{fppf}\),

2. pour tout \(U \in \Ob((\Sch/S)_{fppf})\) et tous \(x, y\in \Ob(\mathcal{X}_U)\), le préfaisceau \(\mathit{Isom}(x, y)\) est un faisceau sur le site \((\Sch/U)_{fppf}\), et

3. pour tout recouvrement \(\mathcal{U} = \{U_i \to U\}\) de \((\Sch/S)_{fppf}\), toutes les données de descente \((x_i, \phi_{ij})\) relatives à \(\mathcal{U}\) sont effectives.

Pour des exemples, voir Exemples de champs, section 04UG et suivantes.

Champs algébriques

Voici la définition d’un champ algébrique. Remarquons que la condition (2) permet de donner un sens à la condition de la partie (3) selon laquelle \((\Sch/U)_{fppf} \to \mathcal{X}\) est lisse et surjective ; voir la discussion qui suit le Lemme 045G.

Définition

Soit \(S\) un schéma de base appartenant à \(\Sch_{fppf}\). Un champ algébrique au-dessus de \(S\) est une catégorie \[p : \mathcal{X} \to (\Sch/S)_{fppf}\] au-dessus de \((\Sch/S)_{fppf}\) qui possède les propriétés suivantes :

1. La catégorie \(\mathcal{X}\) est un champ en groupoïdes au-dessus de \((\Sch/S)_{fppf}\).

2. La diagonale \(\Delta : \mathcal{X} \to \mathcal{X} \times \mathcal{X}\) est représentable par des espaces algébriques.

3. Il existe un schéma \(U \in \Ob((\Sch/S)_{fppf})\) et un \(1\)-morphisme \((\Sch/U)_{fppf} \to \mathcal{X}\) qui est surjectif et lisse².

Il existe quelques différences avec d’autres définitions de la littérature.

La première est que nous exigeons que \(\mathcal{X}\) soit un champ en groupoïdes pour la topologie fppf, tandis que de nombreuses références utilisent la topologie étale. La topologie fppf nous semble en quelque sorte être la topologie naturelle avec laquelle travailler. En définitive, la \(2\)-catégorie de champs algébriques ainsi obtenue est la même. Ceci est expliqué dans Critères de représentabilité, section 076U.

La deuxième est que nous exigeons seulement que l’application diagonale de \(\mathcal{X}\) soit représentable par des espaces algébriques, alors que la plupart des références imposent d’autres conditions. Notre point de vue consiste à essayer de démontrer un certain nombre des résultats qui suivent en supposant seulement que la diagonale de \(\mathcal{X}\) soit représentable par des espaces algébriques, puis à ajouter simplement une hypothèse supplémentaire chaque fois que cela est nécessaire. Cela présente en outre l’avantage que tout espace algébrique (tel que défini dans Espaces, Définition 025Y) donne lieu à un champ algébrique.

La troisième est que certains articles exigent l’existence d’un schéma \(U\) et d’un morphisme surjectif et étale \(U \to \mathcal{X}\). Dans l’article fondateur [DM], où les champs algébriques furent introduits, Deligne et Mumford ont utilisé cette définition et montré que le champ de modules des courbes stables de genre \(g > 1\) est un champ algébrique qui admet un recouvrement étale par un schéma. Michael Artin, voir [ArtinVersal], a compris que de nombreux résultats naturels sur les champs algébriques s’étendent au cas où l’on suppose seulement l’existence d’un recouvrement lisse par un schéma. D’où notre choix ci-dessus. Pour distinguer les deux cas, la littérature emploie les termes « champ de Deligne-Mumford » et « champ d’Artin ». Nous réserverons le terme « champ d’Artin » à un usage ultérieur (insérer ici une référence future), et continuerons d’employer « champ algébrique » ; en revanche, nous emploierons « champ de Deligne-Mumford » pour désigner les champs algébriques qui admettent un recouvrement étale par un schéma.

Définition

Soit \(S\) un schéma appartenant à \(\Sch_{fppf}\). Soit \(\mathcal{X}\) un champ algébrique au-dessus de \(S\). On dit que \(\mathcal{X}\) est un champ de Deligne-Mumford s’il existe un schéma \(U\) et un morphisme étale surjectif \((\Sch/U)_{fppf} \to \mathcal{X}\).

Nous comparerons plus loin notre notion de champ de Deligne-Mumford avec la notion définie dans l’article de Deligne et Mumford (voir insérer ici une référence future).

La catégorie des champs algébriques au-dessus de \(S\) forme une \(2\)-catégorie. En voici la définition précise.

Définition

Soit \(S\) un schéma appartenant à \(\Sch_{fppf}\). La \(2\)-catégorie des champs algébriques au-dessus de \(S\) est la sous-\(2\)-catégorie de la \(2\)-catégorie des catégories fibrées en groupoïdes au-dessus de \((\Sch/S)_{fppf}\) (voir Catégories, Définition 02XS) définie comme suit :

1. Ses objets sont les catégories fibrées en groupoïdes au-dessus de \((\Sch/S)_{fppf}\) qui sont des champs algébriques au-dessus de \(S\).

2. Ses \(1\)-morphismes \(f : \mathcal{X} \to \mathcal{Y}\) sont les foncteurs quelconques de catégories au-dessus de \((\Sch/S)_{fppf}\), comme dans Catégories, Définition 003Y.

3. Ses \(2\)-morphismes sont les transformations entre foncteurs au-dessus de \((\Sch/S)_{fppf}\), comme dans Catégories, Définition 003Y.

Autrement dit, cette \(2\)-catégorie est la sous-\(2\)-catégorie pleine de \(\textit{Cat}/(\Sch/S)_{fppf}\) dont les objets sont les champs algébriques. Remarquons que tout \(2\)-morphisme est automatiquement un isomorphisme. Il s’agit donc en fait d’une \((2, 1)\)-catégorie et non pas seulement d’une \(2\)-catégorie.

Nous verrons plus loin (insérer ici une référence future) que cette \(2\)-catégorie admet des \(2\)-produits fibrés.

Comme dans la remarque ci-dessus, la \(2\)-catégorie des champs algébriques au-dessus de \(S\) est une sous-\(2\)-catégorie pleine de la \(2\)-catégorie des catégories fibrées en groupoïdes au-dessus de \((\Sch/S)_{fppf}\). Il se trouve qu’elle est stable par équivalences. En voici l’énoncé précis.

Lemme

Soit \(S\) un schéma appartenant à \(\Sch_{fppf}\). Soient \(\mathcal{X}\), \(\mathcal{Y}\) des catégories au-dessus de \((\Sch/S)_{fppf}\). Supposons que \(\mathcal{X}\), \(\mathcal{Y}\) soient équivalentes comme catégories au-dessus de \((\Sch/S)_{fppf}\). Alors \(\mathcal{X}\) est un champ algébrique si et seulement si \(\mathcal{Y}\) est un champ algébrique. De même, \(\mathcal{X}\) est un champ de Deligne-Mumford si et seulement si \(\mathcal{Y}\) est un champ de Deligne-Mumford.

Démonstration

Supposons que \(\mathcal{X}\) soit un champ algébrique (resp. un champ de Deligne-Mumford). Le Lemme 042X de Champs implique alors que \(\mathcal{Y}\) est un champ en groupoïdes au-dessus de \(\Sch_{fppf}\). Choisissons une équivalence \(f : \mathcal{X} \to \mathcal{Y}\) au-dessus de \(\Sch_{fppf}\). Elle donne un diagramme \(2\)-commutatif \[\xymatrix{ \mathcal{X} \ar[r]_f \ar[d]_{\Delta_\mathcal{X}} & \mathcal{Y} \ar[d]^{\Delta_\mathcal{Y}} \\ \mathcal{X} \times \mathcal{X} \ar[r]^{f \times f} & \mathcal{Y} \times \mathcal{Y} }\] dont les flèches horizontales sont des équivalences. Cela implique que \(\Delta_\mathcal{Y}\) est représentable par des espaces algébriques d’après le Lemme 0457. Enfin, soit \(U\) un schéma au-dessus de \(S\), et soit \(x : (\Sch/U)_{fppf} \to \mathcal{X}\) un \(1\)-morphisme qui est surjectif et lisse (resp. étale). En considérant le diagramme \[\xymatrix{ (\Sch/U)_{fppf} \ar[r]_{\text{id}} \ar[d]_x & (\Sch/U)_{fppf} \ar[d]^{f \circ x} \\ \mathcal{X} \ar[r]^f & \mathcal{Y} }\] et en appliquant le Lemme 0459, on conclut que \(f \circ x\) est surjectif et lisse (resp. étale), comme voulu.

Champs algébriques et espaces algébriques

Dans cette section, nous examinons quelques critères simples qui impliquent qu’un champ algébrique est un espace algébrique. Le résultat principal affirme que c’est exactement le cas lorsque les objets des catégories fibres n’ont aucun automorphisme non trivial. Ce n’est pas une trivialité ! Avant d’y venir, effectuons d’abord un contrôle de cohérence.

Lemme

Soit \(S\) un schéma appartenant à \(\Sch_{fppf}\).

1. Une catégorie fibrée en groupoïdes \(p : \mathcal{X} \to (\Sch/S)_{fppf}\) qui est représentable par un espace algébrique est un champ de Deligne-Mumford.

2. Si \(F\) est un espace algébrique au-dessus de \(S\), alors la catégorie fibrée en groupoïdes associée \(p : \mathcal{S}_F \to (\Sch/S)_{fppf}\) est un champ de Deligne-Mumford.

3. Si \(X \in \Ob((\Sch/S)_{fppf})\), alors \((\Sch/X)_{fppf} \to (\Sch/S)_{fppf}\) est un champ de Deligne-Mumford.

Démonstration

Il est clair que (2) implique (3). Les parties (1) et (2) sont équivalentes par le Lemme 03YQ. Il suffit donc de démontrer (2). Tout d’abord, remarquons que \(\mathcal{S}_F\) est un champ en ensembles puisque \(F\) est un faisceau (Champs, Lemme 0432). A fortiori, c’est un champ en groupoïdes. Ensuite, le morphisme diagonal \(\mathcal{S}_F \to \mathcal{S}_F \times \mathcal{S}_F\) est le même que le morphisme \(\mathcal{S}_F \to \mathcal{S}_{F \times F}\) qui provient de la diagonale de \(F\). Il est donc représentable par des espaces algébriques d’après le Lemme 02ZZ. En fait, il est même représentable (par des schémas), puisque la diagonale d’un espace algébrique est représentable, mais nous n’en avons pas besoin. Soit \(U\) un schéma et soit \(h_U \to F\) un morphisme étale surjectif. Nous pouvons le considérer comme un morphisme étale surjectif d’espaces algébriques. Ainsi, par le Lemme 045A, le \(1\)-morphisme correspondant \((\Sch/U)_{fppf} \to \mathcal{S}_F\) est surjectif et étale.

Le résultat suivant affirme qu’un champ de Deligne-Mumford dont l’inertie est triviale « est » un espace algébrique. Ce lemme sera rendu caduc par la Proposition plus forte 04SZ ci-dessous, qui affirme que cela vaut plus généralement pour les champs algébriques…

Lemme

Soit \(S\) un schéma appartenant à \(\Sch_{fppf}\). Soit \(\mathcal{X}\) un champ algébrique au-dessus de \(S\). Les assertions suivantes sont équivalentes :

1. \(\mathcal{X}\) est un champ de Deligne-Mumford et est un champ en setoïdes,

2. \(\mathcal{X}\) est un champ de Deligne-Mumford tel que le \(1\)-morphisme canonique \(\mathcal{I}_\mathcal{X} \to \mathcal{X}\) soit une équivalence, et

3. \(\mathcal{X}\) est représentable par un espace algébrique.

Démonstration

L’équivalence de (1) et (2) résulte du Lemme 04ZM de Champs. L’implication (3) \(\Rightarrow\) (1) résulte du Lemme 03YS. Enfin, supposons (1). Par le Lemme 0432 de Champs, il existe un faisceau \(F\) sur \((\Sch/S)_{fppf}\) et une équivalence \(j : \mathcal{X} \to \mathcal{S}_F\). D’après le Lemme 0458, le fait que \(\Delta_\mathcal{X}\) soit représentable par des espaces algébriques signifie que \(\Delta_F : F \to F \times F\) est représentable par des espaces algébriques. Soit \(U\) un schéma et soit \(x : (\Sch/U)_{fppf} \to \mathcal{X}\) un morphisme étale surjectif. La composée \(j \circ x : (\Sch/U)_{fppf} \to \mathcal{S}_F\) correspond à un morphisme \(h_U \to F\) de faisceaux. Par le Lemme 03Y2 de Amorçage, ce morphisme est représentable par des espaces algébriques. Ainsi, par le Lemme 04TC, on conclut que \(h_U \to F\) est surjectif et étale. Enfin, on applique le Théorème 03Y3 de Amorçage pour voir que \(F\) est un espace algébrique.

Proposition

Soit \(S\) un schéma appartenant à \(\Sch_{fppf}\). Soit \(\mathcal{X}\) un champ algébrique au-dessus de \(S\). Les assertions suivantes sont équivalentes :

1. \(\mathcal{X}\) est un champ en setoïdes,

2. le \(1\)-morphisme canonique \(\mathcal{I}_\mathcal{X} \to \mathcal{X}\) est une équivalence, et

3. \(\mathcal{X}\) est représentable par un espace algébrique.

Démonstration

L’équivalence de (1) et (2) résulte du Lemme 04ZM de Champs. L’implication (3) \(\Rightarrow\) (1) résulte du Lemme 045H. Enfin, supposons (1). Par le Lemme 0432 de Champs, il existe une équivalence \(j : \mathcal{X} \to \mathcal{S}_F\) où \(F\) est un faisceau sur \((\Sch/S)_{fppf}\). D’après le Lemme 0458, le fait que \(\Delta_\mathcal{X}\) soit représentable par des espaces algébriques signifie que \(\Delta_F : F \to F \times F\) est représentable par des espaces algébriques. Soit \(U\) un schéma et soit \(x : (\Sch/U)_{fppf} \to \mathcal{X}\) un morphisme lisse surjectif. La composée \(j \circ x : (\Sch/U)_{fppf} \to \mathcal{S}_F\) correspond à un morphisme \(h_U \to F\) de faisceaux. Par le Lemme 03Y2 de Amorçage, ce morphisme est représentable par des espaces algébriques. Ainsi, par le Lemme 04TC, on conclut que \(h_U \to F\) est surjectif et lisse. En particulier, il est surjectif, plat et localement de présentation finie (par le Lemme 045F et le fait qu’un morphisme lisse d’espaces algébriques est plat et localement de présentation finie, voir Morphismes d’espaces algébriques, Lemmes 04AJ et 04TA). Enfin, on applique le Théorème 04S6 de Amorçage pour voir que \(F\) est un espace algébrique.

2-produits fibrés de champs algébriques

La \(2\)-catégorie des champs algébriques admet des produits et des \(2\)-produits fibrés. Le premier lemme est en réalité un cas particulier du Lemme 04T2, mais sa démonstration est légèrement plus simple.

Lemme

Soit \(S\) un schéma appartenant à \(\Sch_{fppf}\). Soient \(\mathcal{X}\), \(\mathcal{Y}\) des champs algébriques au-dessus de \(S\). Alors \(\mathcal{X} \times_{(\Sch/S)_{fppf}} \mathcal{Y}\) est un champ algébrique, et est un produit dans la \(2\)-catégorie des champs algébriques au-dessus de \(S\).

Démonstration

Un objet de \(\mathcal{X} \times_{(\Sch/S)_{fppf}} \mathcal{Y}\) au-dessus de \(T\) est simplement une paire \((x, y)\), où \(x\) est un objet de \(\mathcal{X}_T\) et \(y\) un objet de \(\mathcal{Y}_T\). Il résulte donc immédiatement des définitions que \(\mathcal{X} \times_{(\Sch/S)_{fppf}} \mathcal{Y}\) est un champ en groupoïdes. Si \((x, y)\) et \((x', y')\) sont deux objets de \(\mathcal{X} \times_{(\Sch/S)_{fppf}} \mathcal{Y}\) au-dessus de \(T\), alors \[\mathit{Isom}((x, y), (x', y')) = \mathit{Isom}(x, x') \times \mathit{Isom}(y, y').\] Il résulte donc des équivalences du Lemme 045G et du fait que la catégorie des espaces algébriques admet des produits que la diagonale de \(\mathcal{X} \times_{(\Sch/S)_{fppf}} \mathcal{Y}\) est représentable par des espaces algébriques. Enfin, supposons que \(U, V \in \Ob((\Sch/S)_{fppf})\), et soient \(x, y\) des morphismes lisses surjectifs \(x : (\Sch/U)_{fppf} \to \mathcal{X}\), \(y : (\Sch/V)_{fppf} \to \mathcal{Y}\). Remarquons que \[(\Sch/U \times_S V)_{fppf} = (\Sch/U)_{fppf} \times_{(\Sch/S)_{fppf}} (\Sch/V)_{fppf}.\] L’objet \((\text{pr}_U^*x, \text{pr}_V^*y)\) de \(\mathcal{X} \times_{(\Sch/S)_{fppf}} \mathcal{Y}\) au-dessus de \((\Sch/U \times_S V)_{fppf}\) définit ainsi un \(1\)-morphisme \[(\Sch/U \times_S V)_{fppf} \longrightarrow \mathcal{X} \times_{(\Sch/S)_{fppf}} \mathcal{Y}\] qui est la composée de changements de base de \(x\) et de \(y\), donc est surjectif et lisse, voir les Lemmes 045C et 045B. On conclut que \(\mathcal{X} \times_{(\Sch/S)_{fppf}} \mathcal{Y}\) est bien un champ algébrique. Nous omettons de vérifier qu’il est effectivement un produit.

Lemme

Soit \(S\) un schéma appartenant à \(\Sch_{fppf}\). Soit \(\mathcal{Z}\) un champ en groupoïdes au-dessus de \((\Sch/S)_{fppf}\) dont la diagonale est représentable par des espaces algébriques. Soient \(\mathcal{X}\), \(\mathcal{Y}\) des champs algébriques au-dessus de \(S\). Soient \(f : \mathcal{X} \to \mathcal{Z}\), \(g : \mathcal{Y} \to \mathcal{Z}\) des \(1\)-morphismes de champs en groupoïdes. Alors le \(2\)-produit fibré \(\mathcal{X} \times_{f, \mathcal{Z}, g} \mathcal{Y}\) est un champ algébrique.

Démonstration

Il faut vérifier les conditions (1), (2) et (3) de la Définition 026O. La première condition résulte du Lemme 02ZL de Champs.

La deuxième condition à vérifier est que les faisceaux \(\mathit{Isom}\) soient représentables par des espaces algébriques. Pour cela, supposons que \(T\) soit un schéma au-dessus de \(S\), et que \(u, v\) soient des objets de \((\mathcal{X} \times_{f, \mathcal{Z}, g} \mathcal{Y})_T\). D’après notre construction des \(2\)-produits fibrés (qui remonte jusqu’à Catégories, Lemme 0040), nous pouvons écrire \(u = (x, y, \alpha)\) et \(v = (x', y', \alpha')\). Ici, \(\alpha : f(x) \to g(y)\), et de même pour \(\alpha'\). Il est alors clair que \[\xymatrix{ \mathit{Isom}(u, v) \ar[d] \ar[rr] & & \mathit{Isom}(y, y') \ar[d]^{\phi \mapsto g(\phi) \circ \alpha} \\ \mathit{Isom}(x, x') \ar[rr]^-{\psi \mapsto \alpha' \circ f(\psi)} & & \mathit{Isom}(f(x), g(y')) }\] est un diagramme cartésien de faisceaux sur \((\Sch/T)_{fppf}\). Puisque, par hypothèse, les faisceaux \(\mathit{Isom}(y, y')\), \(\mathit{Isom}(x, x')\), \(\mathit{Isom}(f(x), g(y'))\) sont des espaces algébriques (voir le Lemme 045G), on voit que \(\mathit{Isom}(u, v)\) est un espace algébrique.

Soient \(U, V \in \Ob((\Sch/S)_{fppf})\), et soient \(x, y\) des morphismes lisses surjectifs \(x : (\Sch/U)_{fppf} \to \mathcal{X}\), \(y : (\Sch/V)_{fppf} \to \mathcal{Y}\). Considérons le morphisme \[(\Sch/U)_{fppf} \times_{f \circ x, \mathcal{Z}, g \circ y} (\Sch/V)_{fppf} \longrightarrow \mathcal{X} \times_{f, \mathcal{Z}, g} \mathcal{Y}.\] Comme la diagonale de \(\mathcal{Z}\) est représentable par des espaces algébriques, la source de cette flèche est représentable par un espace algébrique \(F\), voir le Lemme 045G. De plus, le morphisme est la composée de changements de base de \(x\) et de \(y\), donc est surjectif et lisse, voir les Lemmes 045C et 045B. En choisissant un schéma \(W\) et un morphisme étale surjectif \(W \to F\), on voit que la composée du \(1\)-morphisme affiché avec le \(1\)-morphisme correspondant \[(\Sch/W)_{fppf} \longrightarrow (\Sch/U)_{fppf} \times_{f \circ x, \mathcal{Z}, g \circ y} (\Sch/V)_{fppf}\] est surjective et lisse, ce qui démontre la dernière condition.

Lemme

Soit \(S\) un schéma appartenant à \(\Sch_{fppf}\). Soient \(\mathcal{X}, \mathcal{Y}, \mathcal{Z}\) des champs algébriques au-dessus de \(S\). Soient \(f : \mathcal{X} \to \mathcal{Z}\), \(g : \mathcal{Y} \to \mathcal{Z}\) des \(1\)-morphismes de champs algébriques. Alors le \(2\)-produit fibré \(\mathcal{X} \times_{f, \mathcal{Z}, g} \mathcal{Y}\) est un champ algébrique. C’est aussi le \(2\)-produit fibré dans la \(2\)-catégorie des champs algébriques au-dessus de \((\Sch/S)_{fppf}\).

Démonstration

Le fait que \(\mathcal{X} \times_{f, \mathcal{Z}, g} \mathcal{Y}\) soit un champ algébrique résulte du Lemme plus fort 04TF. Le fait que \(\mathcal{X} \times_{f, \mathcal{Z}, g} \mathcal{Y}\) soit un \(2\)-produit fibré dans la \(2\)-catégorie des champs algébriques au-dessus de \(S\) résulte formellement du fait que la \(2\)-catégorie des champs algébriques au-dessus de \(S\) est une sous-\(2\)-catégorie pleine de la \(2\)-catégorie des champs en groupoïdes au-dessus de \((\Sch/S)_{fppf}\).

Champs algébriques, nouvelle présentation

Quelques résultats fondamentaux sur les champs algébriques.

Lemme

Soit \(S\) un schéma appartenant à \(\Sch_{fppf}\). Soit \(f : \mathcal{X} \to \mathcal{Y}\) un \(1\)-morphisme de champs algébriques au-dessus de \(S\). Soit \(V \in \Ob((\Sch/S)_{fppf})\). Soit \(y : (\Sch/V)_{fppf} \to \mathcal{Y}\) surjectif et lisse. Alors il existe un objet \(U \in \Ob((\Sch/S)_{fppf})\) et un diagramme \(2\)-commutatif \[\xymatrix{ (\Sch/U)_{fppf} \ar[r]_a \ar[d]_x & (\Sch/V)_{fppf} \ar[d]^y \\ \mathcal{X} \ar[r]^f & \mathcal{Y} }\] où \(x\) est surjectif et lisse.

Démonstration

Choisissons d’abord \(W \in \Ob((\Sch/S)_{fppf})\) et un \(1\)-morphisme lisse surjectif \(z : (\Sch/W)_{fppf} \to \mathcal{X}\). Comme \(\mathcal{Y}\) est un champ algébrique, on peut choisir une équivalence \[j : \mathcal{S}_F \longrightarrow (\Sch/W)_{fppf} \times_{f \circ z, \mathcal{Y}, y} (\Sch/V)_{fppf}\] où \(F\) est un espace algébrique. Par le Lemme 045C, le morphisme \(\mathcal{S}_F \to (\Sch/W)_{fppf}\) est surjectif et lisse comme changement de base de \(y\). Ainsi, par le Lemme 045B, on voit que \(\mathcal{S}_F \to \mathcal{X}\) est surjectif et lisse. Choisissons un objet \(U \in \Ob((\Sch/S)_{fppf})\) et un morphisme étale surjectif \(U \to F\). En appliquant alors une fois encore le Lemme 045B, on obtient les propriétés voulues.

Ce lemme généralise la Proposition 04SZ.

Lemme

Soit \(S\) un schéma appartenant à \(\Sch_{fppf}\). Soit \(f : \mathcal{X} \to \mathcal{Y}\) un \(1\)-morphisme de champs algébriques au-dessus de \(S\). Les assertions suivantes sont équivalentes :

1. pour tout \(U \in \Ob((\Sch/S)_{fppf})\), le foncteur \(f : \mathcal{X}_U \to \mathcal{Y}_U\) est fidèle,

2. le foncteur \(f\) est fidèle, et

3. \(f\) est représentable par des espaces algébriques.

Démonstration

Les parties (1) et (2) sont équivalentes par les propriétés générales des \(1\)-morphismes de catégories fibrées en groupoïdes, voir Catégories, Lemme 003Z. On voit que (3) implique (2) par le Lemme 02ZY. Enfin, supposons (2). Soit \(U\) un schéma. Soit \(y \in \Ob(\mathcal{Y}_U)\). Il faut démontrer que \[\mathcal{W} = (\Sch/U)_{fppf} \times_{y, \mathcal{Y}} \mathcal{X}\] est représentable par un espace algébrique au-dessus de \(U\). Puisque \((\Sch/U)_{fppf}\) est un champ algébrique, il résulte du Lemme 04T2 que \(\mathcal{W}\) est un champ algébrique. D’autre part, la description explicite des objets de \(\mathcal{W}\) comme triplets \((V, x, \alpha : y(V) \to f(x))\) et le fait que \(f\) soit fidèle montrent que les catégories fibres de \(\mathcal{W}\) sont des setoïdes. Par conséquent, la Proposition 04SZ garantit que \(\mathcal{W}\) est représentable par un espace algébrique.

Lemme

Soit \(S\) un schéma appartenant à \(\Sch_{fppf}\). Soit \(u : \mathcal{U} \to \mathcal{X}\) un \(1\)-morphisme de champs en groupoïdes au-dessus de \((\Sch/S)_{fppf}\). Si

1. \(\mathcal{U}\) est représentable par un espace algébrique, et

2. \(u\) est représentable par des espaces algébriques, surjectif et lisse,

alors \(\mathcal X\) est un champ algébrique au-dessus de \(S\).

Démonstration

Il faut montrer que \(\Delta : \mathcal{X} \to \mathcal{X} \times \mathcal{X}\) est représentable par des espaces algébriques, voir la Définition 026O. Étant donnés deux schémas \(T_1\), \(T_2\) au-dessus de \(S\), notons \(\mathcal{T}_i = (\Sch/T_i)_{fppf}\) les catégories fibrées représentables associées. Supposons donnés des \(1\)-morphismes \(f_i : \mathcal{T}_i \to \mathcal{X}\). D’après le Lemme 045G, il suffit de démontrer que le \(2\)-produit fibré \(\mathcal{T}_1 \times_\mathcal{X} \mathcal{T}_2\) est représentable par un espace algébrique. Par le Lemme de Champs 05UJ, il s’agit en tout cas d’un champ en setoïdes. Ainsi, \(\mathcal{T}_1 \times_\mathcal{X} \mathcal{T}_2\) correspond à un faisceau \(F\) sur \((\Sch/S)_{fppf}\), voir Champs, Lemme 0432. Soit \(U\) l’espace algébrique qui représente \(\mathcal{U}\). Par hypothèse, \[\mathcal{T}_i' = \mathcal{U} \times_{u, \mathcal{X}, f_i} \mathcal{T}_i\] est représentable par un espace algébrique \(T'_i\) au-dessus de \(S\). Par conséquent, \(\mathcal{T}_1' \times_\mathcal{U} \mathcal{T}_2'\) est représentable par l’espace algébrique \(T'_1 \times_U T'_2\). Considérons le diagramme commutatif \[\xymatrix{ & \mathcal{T}_1 \times_{\mathcal X} \mathcal{T}_2 \ar[rr]\ar'[d][dd] & & \mathcal{T}_1 \ar[dd] \\ \mathcal{T}_1' \times_\mathcal{U} \mathcal{T}_2' \ar[ur]\ar[rr]\ar[dd] & & \mathcal{T}_1' \ar[ur]\ar[dd] \\ & \mathcal{T}_2 \ar'[r][rr] & & \mathcal X \\ \mathcal{T}_2' \ar[rr]\ar[ur] & & \mathcal{U} \ar[ur] }\] Dans ce diagramme, le carré inférieur, le carré droit, le carré arrière et le carré avant sont des \(2\)-produits fibrés. Un argument formel montre alors que \(\mathcal{T}_1' \times_\mathcal{U} \mathcal{T}_2' \to \mathcal{T}_1 \times_{\mathcal X} \mathcal{T}_2\) est le « changement de base » de \(\mathcal{U} \to \mathcal{X}\) ; plus précisément, le diagramme \[\xymatrix{ \mathcal{T}_1' \times_\mathcal{U} \mathcal{T}_2' \ar[d] \ar[r] & \mathcal{U} \ar[d] \\ \mathcal{T}_1 \times_{\mathcal X} \mathcal{T}_2 \ar[r] & \mathcal{X} }\] est un carré \(2\)-cartésien. Ainsi, \(T'_1 \times_U T'_2 \to F\) est représentable par des espaces algébriques, lisse et surjectif, voir les Lemmes 04SY, 0302, 04TC et 045C. Par conséquent, \(F\) est un espace algébrique par le Théorème 04S6 de Amorçage, ce qui conclut.

Une application du Lemme 05UL est que ce qui est un espace algébrique au-dessus d’un champ algébrique est un champ algébrique. C’est l’analogue du Lemme 02YS de Amorçage. En fait, il suffit de supposer que le morphisme \(\mathcal{X} \to \mathcal{Y}\) est « algébrique », comme nous le verrons dans Critères de représentabilité, Lemme 05XY.

Lemme

Soit \(S\) un schéma appartenant à \(\Sch_{fppf}\). Soit \(\mathcal{X} \to \mathcal{Y}\) un morphisme de champs en groupoïdes au-dessus de \((\Sch/S)_{fppf}\). Supposons que

1. \(\mathcal{X} \to \mathcal{Y}\) soit représentable par des espaces algébriques, et

2. \(\mathcal{Y}\) soit un champ algébrique au-dessus de \(S\).

Alors \(\mathcal{X}\) est un champ algébrique au-dessus de \(S\).

Démonstration

Soit \(\mathcal{V} \to \mathcal{Y}\) un \(1\)-morphisme lisse surjectif d’un champ en groupoïdes représentable vers \(\mathcal{Y}\). Il existe par la Définition 026O. Alors le \(2\)-produit fibré \(\mathcal{U} = \mathcal{V} \times_{\mathcal Y} \mathcal X\) est représentable par un espace algébrique d’après le Lemme 0300. Le \(1\)-morphisme \(\mathcal{U} \to \mathcal X\) est représentable par des espaces algébriques, lisse et surjectif, voir les Lemmes 0302 et 045C. Par le Lemme 05UL, on conclut que \(\mathcal{X}\) est un champ algébrique.

Lemme

Soit \(S\) un schéma appartenant à \(\Sch_{fppf}\). Soit \(j : \mathcal X \to \mathcal Y\) un \(1\)-morphisme de catégories fibrées en groupoïdes au-dessus de \((\Sch/S)_{fppf}\). Supposons que \(j\) soit représentable par des espaces algébriques. Alors, si \(\mathcal{Y}\) est un champ en groupoïdes (resp. un champ algébrique), il en est de même de \(\mathcal{X}\).

Démonstration

L’assertion concernant les champs algébriques résulte de celle concernant les champs en groupoïdes par le Lemme 05UM. Si \(j\) est représentable par des espaces algébriques, alors \(j\) est fidèle sur les catégories fibres et, pour chaque \(U\) et chaque \(y \in \Ob(\mathcal{Y}_U)\), le préfaisceau \[(h : V \to U) \longmapsto \{(x, \phi) \mid x \in \Ob(\mathcal{X}_V), \phi : h^*y \to f(x)\}/\cong\] est un espace algébrique au-dessus de \(U\). Voir le Lemme 02ZY. En particulier, ce préfaisceau est un faisceau, et la conclusion résulte du Lemme 0CKJ de Champs.

D’un champ algébrique à une présentation

Étant donné un champ algébrique au-dessus de \(S\), on obtient un groupoïde en espaces algébriques au-dessus de \(S\) dont le champ quotient associé est le champ algébrique.

Rappelons que si \((U, R, s, t, c)\) est un groupoïde en espaces algébriques au-dessus de \(S\), alors \([U/R]\) désigne le champ quotient associé à cette donnée, voir Groupoïdes in Espaces, Définition 044Q. En général, \([U/R]\) n’est pas un champ algébrique. En particulier, le champ \([U/R]\) qui apparaît dans le lemme suivant n’est en général pas algébrique.

Lemme

Soit \(S\) un schéma appartenant à \(\Sch_{fppf}\). Soit \(\mathcal{X}\) un champ algébrique au-dessus de \(S\). Soit \(\mathcal{U}\) un champ algébrique au-dessus de \(S\) qui est représentable par un espace algébrique. Soit \(f : \mathcal{U} \to \mathcal{X}\) un 1-morphisme. Alors

1. le \(2\)-produit fibré \(\mathcal{R} = \mathcal{U} \times_{f, \mathcal{X}, f} \mathcal{U}\) est représentable par un espace algébrique,

2. il existe une équivalence canonique \[\mathcal{U} \times_{f, \mathcal{X}, f} \mathcal{U} \times_{f, \mathcal{X}, f} \mathcal{U} = \mathcal{R} \times_{\text{pr}_1, \mathcal{U}, \text{pr}_0} \mathcal{R},\]

3. la projection \(\text{pr}_{02}\) induit, via (2), un \(1\)-morphisme \[\text{pr}_{02} : \mathcal{R} \times_{\text{pr}_1, \mathcal{U}, \text{pr}_0} \mathcal{R} \longrightarrow \mathcal{R}\]

4. soient \(U\), \(R\) les espaces algébriques représentant \(\mathcal{U}, \mathcal{R}\), et soient \(t, s : R \to U\) et \(c : R \times_{s, U, t} R \to R\) les morphismes correspondant aux \(1\)-morphismes \(\text{pr}_0, \text{pr}_1 : \mathcal{R} \to \mathcal{U}\) et au \(\text{pr}_{02} : \mathcal{R} \times_{\text{pr}_1, \mathcal{U}, \text{pr}_0} \mathcal{R} \to \mathcal{R}\) ci-dessus ; alors le quintuplet \((U, R, s, t, c)\) est un groupoïde en espaces algébriques au-dessus de \(S\),

5. le morphisme \(f\) induit un \(1\)-morphisme canonique \(f_{can} : [U/R] \to \mathcal{X}\) de champs en groupoïdes au-dessus de \((\Sch/S)_{fppf}\), et

6. le \(1\)-morphisme \(f_{can} : [U/R] \to \mathcal{X}\) est pleinement fidèle.

Démonstration

Démonstration de (1). Par définition, \(\Delta_\mathcal{X}\) est représentable par des espaces algébriques ; le Lemme 045G s’applique donc et montre que \(\mathcal{U} \to \mathcal{X}\) est représentable par des espaces algébriques. Le résultat découle alors du Lemme 0300.

Soit \(T\) un schéma au-dessus de \(S\). Par construction du \(2\)-produit fibré (voir Catégories, Lemme 0040), on voit que les objets de la catégorie fibre \(\mathcal{R}_T\) sont les triplets \((a, b, \alpha)\) où \(a, b \in \Ob(\mathcal{U}_T)\) et où \(\alpha : f(a) \to f(b)\) est un morphisme de la catégorie fibre \(\mathcal{X}_T\).

Démonstration de (2). L’équivalence s’obtient en appliquant successivement Catégories, Lemmes 02XC et 02XD. Identifions \(\mathcal{U} \times_\mathcal{X} \mathcal{U} \times_\mathcal{X} \mathcal{U}\) à \((\mathcal{U} \times_\mathcal{X} \mathcal{U}) \times_\mathcal{X} \mathcal{U}\). Si \(T\) est un schéma au-dessus de \(S\), alors, sur les catégories fibres au-dessus de \(T\), cette équivalence envoie l’objet \(((a, b, \alpha), c, \beta)\) du membre de gauche sur l’objet \(((a, b, \alpha), (b, c, \beta))\) du membre de droite.

Démonstration de (3). Le \(1\)-morphisme \(\text{pr}_{02}\) est construit dans la démonstration de Catégories, Lemme 04S7. À l’aide de la description ci-dessus des objets de la catégorie fibre, on voit que \(((a, b, \alpha), (b, c, \beta))\) est envoyé sur \((a, c, \beta \circ \alpha)\).

Malheureusement, cela n’est pas compatible avec nos conventions sur les groupoïdes, selon lesquelles on a toujours \(j = (t, s) : R \to U\), et l’on « considère » un point à valeurs dans \(T\), noté \(r\), de \(R\) comme un morphisme \(r : s(r) \to t(r)\). Cela n’affecte toutefois pas la démonstration de (4), puisque l’opposé d’un groupoïde est un groupoïde. Mais, dans la démonstration de (5), cela explique les inverses dans la formule affichée ci-dessous.

Démonstration de (4). Rappelons que le faisceau \(U\) est isomorphe au faisceau \(T \mapsto \Ob(\mathcal{U}_T)/\!\cong\), et de même pour \(R\), voir le Lemme 02ZX. Il résulte du Lemme de Catégories 04SD que cette description est compatible aux \(2\)-produits fibrés ; on obtient donc une identification analogue de \(\mathcal{R} \times_{\text{pr}_1, \mathcal{U}, \text{pr}_0} \mathcal{R}\) et de \(R \times_{s, U, t} R\). Les morphismes \(t, s : R \to U\) et \(c : R \times_{s, U, t} R \to R\) s’obtiennent à partir de l’égalité générale (04SW). Explicitement, ces applications sont les transformations de foncteurs qui proviennent de l’action de \(\text{pr}_0\), \(\text{pr}_0\), \(\text{pr}_{02}\) sur les classes d’isomorphie d’objets des catégories fibres. Ainsi, pour montrer que l’on obtient un groupoïde en espaces algébriques, il suffit de montrer que, pour tout schéma \(T\) au-dessus de \(S\), la structure \[(\Ob(\mathcal{U}_T)/\!\cong, \Ob(\mathcal{R}_T)/\!\cong, \text{pr}_1, \text{pr}_0, \text{pr}_{02})\] est un groupoïde, ce qui est clair d’après notre description ci-dessus des objets de \(\mathcal{R}_T\).

Démonstration de (5). Nous appliquerons finalement Groupoïdes in Espaces, Lemme 044U pour obtenir le foncteur \([U/R] \to \mathcal{X}\). Considérons le \(1\)-morphisme \(f : \mathcal{U} \to \mathcal{X}\). Nous avons une \(2\)-flèche \(\tau : f \circ \text{pr}_1 \to f \circ \text{pr}_0\) par définition de \(\mathcal{R}\) comme \(2\)-produit fibré. En effet, sur un objet \((a, b, \alpha)\) de \(\mathcal{R}\) au-dessus de \(T\), c’est l’application \(\alpha^{-1} : b \to a\). Nous affirmons que \[\tau \circ \text{id}_{\text{pr}_{02}} = (\tau \star \text{id}_{\text{pr}_0}) \circ (\tau \star \text{id}_{\text{pr}_1}).\] Cette identité dit qu’étant donné un objet \(((a, b, \alpha), (b, c, \beta))\) de \(\mathcal{R} \times_{\text{pr}_1, \mathcal{U}, \text{pr}_0} \mathcal{R}\) au-dessus de \(T\), la composée de \[\xymatrix{ c \ar[r]^{\beta^{-1}} & b \ar[r]^{\alpha^{-1}} & a }\] est la même que la flèche \((\beta \circ \alpha)^{-1} : a \to c\). C’est manifestement vrai, d’où l’affirmation. On voit ainsi que toutes les hypothèses du Lemme de Groupoïdes in Espaces 044U sont satisfaites pour la structure \((\mathcal{U}, \mathcal{R}, \text{pr}_0, \text{pr}_1, \text{pr}_{02})\) ainsi que le \(1\)-morphisme \(f\) et le \(2\)-morphisme \(\tau\). Cependant, pour appliquer le lemme, il faut démontrer cela pour la structure \((\mathcal{S}_U, \mathcal{S}_R, s, t, c)\) munie de morphismes appropriés.

Il devrait exister un argument général de théorie abstraite des catégories qui transfère ces données de l’une à l’autre, mais il semble assez long. Nous employons plutôt l’astuce suivante. Choisissons un quasi-inverse \(j^{-1} : \mathcal{S}_U \to \mathcal{U}\) de l’équivalence canonique \(j : \mathcal{U} \to \mathcal{S}_U\) qui provient de \(U(T) = \Ob(\mathcal{U}_T)/\!\!\cong\). Cela signifie simplement que, pour tout schéma \(T/S\) et tout objet \(a \in \mathcal{U}_T\), nous avons choisi un élément particulier de sa classe d’isomorphie, à savoir \(j^{-1}(j(a))\). Grâce à \(j^{-1}\), on peut donc considérer \(\mathcal{S}_U\) comme une sous-catégorie de \(\mathcal{U}\). Cette sous-catégorie une fois choisie, on peut considérer les objets \((a, b, \alpha)\) de \(\mathcal{R}_T\) tels que \(a, b\) soient des objets de \((\mathcal{S}_U)_T\), c’est-à-dire tels que \(j^{-1}(j(a)) = a\) et \(j^{-1}(j(b)) = b\). Il est alors clair qu’ils forment une sous-catégorie de \(\mathcal{R}\) qui s’envoie isomorphiquement sur \(\mathcal{S}_R\) par l’équivalence canonique \(\mathcal{R} \to \mathcal{S}_R\). De plus, ceci est manifestement compatible avec la formation du \(2\)-produit fibré \(\mathcal{R} \times_{\text{pr}_1, \mathcal{U}, \text{pr}_0} \mathcal{R}\). On voit donc que l’on peut simplement restreindre \(f\) à \(\mathcal{S}_U\) et restreindre \(\tau\) en une transformation entre foncteurs \(\mathcal{S}_R \to \mathcal{X}\). Il est dès lors clair que l’égalité affichée du Lemme de Groupoïdes in Espaces 044U est satisfaite, puisqu’elle l’est même comme égalité de transformations de foncteurs \(\mathcal{R} \times_{\text{pr}_1, \mathcal{U}, \text{pr}_0} \mathcal{R} \to \mathcal{X}\) avant restriction à la sous-catégorie \(\mathcal{S}_{R \times_{s, U, t} R}\).

Ceci démontre que le Lemme de Groupoïdes in Espaces 044U s’applique et fournit le morphisme de champs recherché \(f_{can} : [U/R] \to \mathcal{X}\). Précisons brièvement comment \(f_{can}\) est défini dans ce cas particulier. Sur un objet \(a\) de \(\mathcal{S}_U\) au-dessus de \(T\), on a \(f_{can}(a) = f(a)\), où l’on considère \(\mathcal{S}_U \subset \mathcal{U}\) par le plongement choisi ci-dessus. Si \(a, b\) sont des objets de \(\mathcal{S}_U\) au-dessus de \(T\), alors un morphisme \(\varphi : a \to b\) dans \([U/R]\) est, par définition, un objet de la forme \(\varphi = (b, a, \alpha)\) de \(\mathcal{R}\) au-dessus de \(T\). (Noter l’interversion.) Et la règle de la démonstration du Lemme de Groupoïdes in Espaces 044U est [04TG]\[\begin{equation} f_{can}(\varphi) = \Big(f(a) \xrightarrow{\alpha^{-1}} f(b)\Big). \end{equation}\] Démonstration de (6). \([U/R]\) et \(\mathcal{X}\) sont tous deux des champs. Ainsi, étant donnés un schéma \(T/S\) et des objets \(a, b\) de \([U/R]\) au-dessus de \(T\), on obtient une transformation de faisceaux fppf \[\mathit{Isom}(a, b) \longrightarrow \mathit{Isom}(f_{can}(a), f_{can}(b))\] sur \((\Sch/T)_{fppf}\). Il faut montrer qu’il s’agit d’un isomorphisme. On peut travailler localement pour la topologie fppf sur \(T\), et donc supposer que \(a, b\) proviennent de morphismes \(a, b : T \to U\). Par le plongement \(\mathcal{S}_U \subset \mathcal{U}\) ci-dessus, on peut aussi considérer \(a, b\) comme des objets de \(\mathcal{U}\) au-dessus de \(T\). Dans Groupoïdes in Espaces, Lemme 044V, nous avons vu que le faisceau de gauche est représenté par l’espace algébrique \[R \times_{(t, s), U \times_S U, (b, a)} T\] au-dessus de \(T\). D’autre part, le membre de droite est, par le Lemme 04SI de Champs, égal au faisceau associé au champ en setoïdes suivant : \[\mathcal{X} \times_{\mathcal{X} \times \mathcal{X}, (f \circ b, f \circ a)} T = \mathcal{X} \times_{\mathcal{X} \times \mathcal{X}, (f, f)} (\mathcal{U} \times \mathcal{U}) \times_{\mathcal{U} \times \mathcal{U}, (b, a)} T = \mathcal{R} \times_{(\text{pr}_0, \text{pr}_1), \mathcal{U} \times \mathcal{U}, (b, a)} T\] qui est représentable par le produit fibré affiché ci-dessus. À ce stade, nous avons montré que les deux faisceaux \(\mathit{Isom}\) sont isomorphes. Notre \(1\)-morphisme \(f_{can} : [U/R] \to \mathcal{X}\) induit cet isomorphisme sur les faisceaux \(\mathit{Isom}\) d’après l’Équation (04TG).

On peut utiliser le lemme très abstrait précédent pour produire des présentations.

Lemme

Soit \(S\) un schéma appartenant à \(\Sch_{fppf}\). Soit \(\mathcal{X}\) un champ algébrique au-dessus de \(S\). Soit \(U\) un espace algébrique au-dessus de \(S\). Soit \(f : \mathcal{S}_U \to \mathcal{X}\) un morphisme lisse surjectif. Soient \((U, R, s, t, c)\) le groupoïde en espaces algébriques et \(f_{can} : [U/R] \to \mathcal{X}\) le résultat de l’application du Lemme 04T4 à \(U\) et à \(f\). Alors

1. les morphismes \(s\), \(t\) sont lisses, et

2. le \(1\)-morphisme \(f_{can} : [U/R] \to \mathcal{X}\) est une équivalence.

Démonstration

Les morphismes \(s, t\) sont lisses par les Lemmes 0459 et 045A. Comme le \(1\)-morphisme \(f\) est lisse et surjectif, il est clair que, pour tout schéma \(T\) et tout objet \(a \in \Ob(\mathcal{X}_T)\), il existe un morphisme lisse et surjectif \(T' \to T\) tel que \(a|_T'\) provienne d’un objet de \([U/R]_{T'}\). Puisque \(f_{can} : [U/R] \to \mathcal{X}\) est pleinement fidèle, on en déduit que \([U/R] \to \mathcal{X}\) est essentiellement surjectif, car les données de descente sur les objets sont effectives des deux côtés, voir Champs, Lemme 046N.

Remarque

Si l’on suppose seulement que le morphisme \(f : \mathcal{S}_U \to \mathcal{X}\) du Lemme 04T5 est surjectif, plat et localement de présentation finie, alors \(f_{can} : [U/R] \to \mathcal{X}\) sera encore une équivalence. Dans ce cas, les morphismes \(s\), \(t\) seront plats et localement de présentation finie, mais ne seront bien sûr pas lisses en général.

Le Lemme 04T5 suggère les définitions suivantes.

Définition

Soit \(S\) un schéma. Soit \(B\) un espace algébrique au-dessus de \(S\). Soit \((U, R, s, t, c)\) un groupoïde en espaces algébriques au-dessus de \(B\). On dit que \((U, R, s, t, c)\) est un groupoïde lisse³ si \(s, t : R \to U\) sont des morphismes lisses d’espaces algébriques.

Définition

Soit \(\mathcal{X}\) un champ algébrique au-dessus de \(S\). Une présentation de \(\mathcal{X}\) est la donnée d’un groupoïde lisse \((U, R, s, t, c)\) en espaces algébriques au-dessus de \(S\), et d’une équivalence \(f : [U/R] \to \mathcal{X}\).

Nous avons vu ci-dessus que tout champ algébrique admet une présentation. Notre tâche suivante consiste à montrer que tout groupoïde lisse en espaces algébriques au-dessus de \(S\) donne lieu à un champ algébrique.

Le champ algébrique associé à un groupoïde lisse

Dans cette section, nous partons d’un groupoïde lisse en espaces algébriques et montrons que le champ quotient associé est un champ algébrique.

Lemme

Soit \(S\) un schéma appartenant à \(\Sch_{fppf}\). Soit \((U, R, s, t, c)\) un groupoïde en espaces algébriques au-dessus de \(S\). Alors la diagonale de \([U/R]\) est représentable par des espaces algébriques.

Démonstration

Il suffit de montrer que les faisceaux \(\mathit{Isom}\) sont des espaces algébriques, voir le Lemme 045G. Cela résulte du Lemme 04TB de Amorçage.

Lemme

Soit \(S\) un schéma appartenant à \(\Sch_{fppf}\). Soit \((U, R, s, t, c)\) un groupoïde lisse en espaces algébriques au-dessus de \(S\). Alors le morphisme \(\mathcal{S}_U \to [U/R]\) est lisse et surjectif.

Démonstration

Soit \(T\) un schéma et soit \(x : (\Sch/T)_{fppf} \to [U/R]\) un \(1\)-morphisme. Il faut montrer que la projection \[\mathcal{S}_U \times_{[U/R]} (\Sch/T)_{fppf} \longrightarrow (\Sch/T)_{fppf}\] est surjective et lisse. Nous savons déjà que le membre de gauche est représentable par un espace algébrique \(F\), voir les Lemmes 04WZ et 045G. Il faut donc montrer que le morphisme correspondant \(F \to T\) d’espaces algébriques est surjectif et lisse. Puisqu’il s’agit de propriétés de morphismes d’espaces algébriques qui sont locales pour la topologie fppf sur le but, nous pouvons les vérifier localement pour la topologie fppf sur \(T\). Par construction, il existe un recouvrement fppf \(\{T_i \to T\}\) de \(T\) tel que \(x|_{(\Sch/T_i)_{fppf}}\) provienne d’un morphisme \(x_i : T_i \to U\). (Remarquons que \(F \times_T T_i\) représente le \(2\)-produit fibré \(\mathcal{S}_U \times_{[U/R]} (\Sch/T_i)_{fppf}\), de sorte que tout est compatible au changement de base par \(T_i \to T\).) On peut donc supposer que \(x\) provient de \(x : T \to U\). Dans ce cas, on voit que \[\mathcal{S}_U \times_{[U/R]} (\Sch/T)_{fppf} = (\mathcal{S}_U \times_{[U/R]} \mathcal{S}_U) \times_{\mathcal{S}_U} (\Sch/T)_{fppf} = \mathcal{S}_R \times_{\mathcal{S}_U} (\Sch/T)_{fppf}\] La première égalité résulte du Lemme 02XD de Catégories, et la seconde du Lemme de Groupoïdes in Espaces 04M9. Manifestement, le dernier \(2\)-produit fibré est représenté par l’espace algébrique \(F = R \times_{s, U, x} T\), et la projection \(R \times_{s, U, x} T \to T\) est lisse comme changement de base du morphisme lisse d’espaces algébriques \(s : R \to U\). Elle est aussi surjective, car \(s\) possède une section (à savoir l’identité \(e : U \to R\) du groupoïde). Cela démontre le lemme.

Voici le résultat principal de cette section.

Théorème

Soit \(S\) un schéma appartenant à \(\Sch_{fppf}\). Soit \((U, R, s, t, c)\) un groupoïde lisse en espaces algébriques au-dessus de \(S\). Alors le champ quotient \([U/R]\) est un champ algébrique au-dessus de \(S\).

Démonstration

Vérifions les trois conditions de la Définition 026O. Par construction, \([U/R]\) est un champ en groupoïdes, ce qui est la première condition.

La deuxième condition résulte du résultat plus fort qu’est le Lemme 04WZ.

Enfin, il faut montrer qu’il existe un schéma \(W\) au-dessus de \(S\) et un \(1\)-morphisme lisse surjectif \((\Sch/W)_{fppf} \longrightarrow \mathcal{X}\). Choisissons d’abord \(W \in \Ob((\Sch/S)_{fppf})\) et un morphisme étale surjectif \(W \to U\). Remarquons que cela donne un morphisme étale surjectif \(\mathcal{S}_W \to \mathcal{S}_U\) de catégories fibrées en ensembles, voir le Lemme 045A. Bien entendu, \(\mathcal{S}_W \to \mathcal{S}_U\) est alors aussi surjectif et lisse, voir le Lemme 045F. Ainsi, \(\mathcal{S}_W \to \mathcal{S}_U \to [U/R]\) est surjectif et lisse par combinaison des Lemmes 04X0 et 045B.

Changement de grand site

Dans cette section, nous examinons brièvement ce qui se passe lorsque l’on change de grand site. En substance, on peut toujours agrandir à volonté le grand site ; on peut donc supposer que tout ensemble de schémas que l’on souhaite considérer appartient au grand site fppf au-dessus duquel on considère notre espace algébrique. Nous invitons le lecteur à sauter cette section.

Les images réciproques de champs sont définies dans Champs, section 04WA.

Lemme

Supposons donnés de grands sites \(\Sch_{fppf}\) et \(\Sch'_{fppf}\). Supposons que \(\Sch_{fppf}\) soit contenu dans \(\Sch'_{fppf}\), voir Topologies, section 022I. Soit \(S\) un objet de \(\Sch_{fppf}\). Soit \(f : (\Sch'/S)_{fppf} \to (\Sch/S)_{fppf}\) le morphisme de sites correspondant au foncteur d’inclusion \(u : (\Sch/S)_{fppf} \to (\Sch'/S)_{fppf}\). Soit \(\mathcal{X}\) un champ en groupoïdes au-dessus de \((\Sch/S)_{fppf}\).

1. si \(\mathcal{X}\) est représentable par un \(X \in \Ob((\Sch/S)_{fppf})\), alors \(f^{-1}\mathcal{X}\) est aussi représentable ; il est même représenté par le même schéma \(X\), considéré maintenant comme objet de \((\Sch'/S)_{fppf}\),

2. si \(\mathcal{X}\) est représentable par \(F \in \Sh((\Sch/S)_{fppf})\), qui est un espace algébrique, alors \(f^{-1}\mathcal{X}\) est représentable par l’espace algébrique \(f^{-1}F\),

3. si \(\mathcal{X}\) est un champ algébrique, alors \(f^{-1}\mathcal{X}\) est un champ algébrique, et

4. si \(\mathcal{X}\) est un champ de Deligne-Mumford, alors \(f^{-1}\mathcal{X}\) est aussi un champ de Deligne-Mumford.

Démonstration

Démontrons (3). Par le Lemme 04T5, on peut écrire \(\mathcal{X} = [U/R]\) pour un groupoïde lisse en espaces algébriques \((U, R, s, t, c)\). Par le Lemme de Groupoïdes in Espaces 04WX, on voit que \(f^{-1}[U/R] = [f^{-1}U/f^{-1}R]\). Bien entendu, \((f^{-1}U, f^{-1}R, f^{-1}s, f^{-1}t, f^{-1}c)\) est aussi un groupoïde lisse en espaces algébriques. Cela démontre (3).

Les autres cas (1), (2), (4) signifient chacun que \(\mathcal{X}\) possède une présentation \([U/R]\) d’un type particulier, et se traduisent donc par le même type de présentation de \(f^{-1}\mathcal{X} = [f^{-1}U/f^{-1}R]\). Le lemme est ainsi démontré.

Il n’est pas vrai, en général, que la restriction d’un espace algébrique sur le grand site le plus gros soit un espace algébrique sur le plus petit (pour de simples raisons de cardinalité). On ne peut donc utiliser un lemme simple de ce genre que pour agrandir la catégorie de base, jamais pour la rétrécir.

Lemme

Supposons que \(\Sch_{fppf}\) soit contenu dans \(\Sch'_{fppf}\). Soit \(S\) un objet de \(\Sch_{fppf}\). Notons \(\textit{Algebraic-Champs}/S\) la \(2\)-catégorie des champs algébriques au-dessus de \(S\) définie à l’aide de \(\Sch_{fppf}\). De même, notons \(\textit{Algebraic-Champs}'/S\) la \(2\)-catégorie des champs algébriques au-dessus de \(S\) définie à l’aide de \(\Sch'_{fppf}\). La règle \(\mathcal{X} \mapsto f^{-1}\mathcal{X}\) du Lemme 04X2 définit un foncteur de \(2\)-catégories \[\textit{Algebraic-Champs}/S \longrightarrow \textit{Algebraic-Champs}'/S\] qui définit des équivalences de catégories de morphismes \[\Mor_{\textit{Algebraic-Champs}/S}(\mathcal{X}, \mathcal{Y}) \longrightarrow \Mor_{\textit{Algebraic-Champs}'/S}(f^{-1}\mathcal{X}, f^{-1}\mathcal{Y})\] pour tous objets \(\mathcal{X}, \mathcal{Y}\) de \(\textit{Algebraic-Champs}/S\). Un objet \(\mathcal{X}'\) de \(\textit{Algebraic-Champs}'/S\) est équivalent à \(f^{-1}\mathcal{X}\) pour un certain \(\mathcal{X}\) de \(\textit{Algebraic-Champs}/S\) si et seulement s’il possède une présentation \(\mathcal{X} = [U'/R']\) où \(U', R'\) sont isomorphes à \(f^{-1}U\), \(f^{-1}R\) pour certains \(U, R \in \textit{Espaces}/S\).

Démonstration

L’assertion concernant les catégories de morphismes résulte de l’énoncé plus général Champs, Lemme 04WS. La caractérisation de l’« image essentielle » découle de la description de \(f^{-1}\) dans la démonstration du Lemme 04X2.

Changement de schéma de base

Dans cette section, nous examinons brièvement ce qui se passe lorsque l’on change de schéma de base. En substance, étant donné un morphisme \(S \to S'\) de schémas de base, tout champ algébrique au-dessus de \(S\) peut être considéré comme un champ algébrique au-dessus de \(S'\).

Lemme

Soit \(\Sch_{fppf}\) un grand site fppf. Soit \(S \to S'\) un morphisme de ce site. Les constructions A et B de Champs, section 04WT ci-dessus donnent des isomorphismes de \(2\)-catégories \[\left\{ \begin{matrix} 2\text{-catégorie des champs}\\ \text{algébriques }\mathcal{X}\text{ au-dessus de }S \end{matrix} \right\} \leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} 2\text{-catégorie des paires }(\mathcal{X}', f)\text{ formées d'un}\\ \text{champ algébrique }\mathcal{X}'\text{ au-dessus de }S'\text{ et d'un morphisme}\\ f : \mathcal{X}' \to (\Sch/S)_{fppf}\text{ de champs algébriques au-dessus de }S' \end{matrix} \right\}\]

Démonstration

L’énoncé a bien un sens, car le foncteur \(j : (\Sch/S)_{fppf} \to (\Sch/S')_{fppf}\) est le foncteur de localisation associé à l’objet \(S/S'\) de \((\Sch/S')_{fppf}\). Par le Lemme 04WV de Champs, il suffit de montrer que les constructions A et B préservent les sous-catégories de champs algébriques. Par exemple, si \(\mathcal{X} = [U/R]\), alors la construction A appliquée à \(\mathcal{X}\) produit simplement \(\mathcal{X}' = \mathcal{X}\). Réciproquement, si \(\mathcal{X}' = [U'/R']\), le morphisme \(p\) induit des morphismes d’espaces algébriques \(U' \to S\) et \(R' \to S\), et alors \(\mathcal{X} = [U'/R']\), mais considéré maintenant comme un champ au-dessus de \(S\). Le lemme est donc clair.

Définition

Soit \(\Sch_{fppf}\) un grand site fppf. Soit \(S \to S'\) un morphisme de ce site. Si \(p : \mathcal{X} \to (\Sch/S)_{fppf}\) est un champ algébrique au-dessus de \(S\), alors \(\mathcal{X}\) considéré comme champ algébrique au-dessus de \(S'\) est le champ algébrique \[\mathcal{X} \longrightarrow (\Sch/S')_{fppf}\] obtenu en appliquant la construction A du Lemme 04X5 à \(\mathcal{X}\).

Réciproquement, que se passe-t-il si l’on part d’un champ algébrique \(\mathcal{X}'\) au-dessus de \(S'\) et que l’on souhaite obtenir un champ algébrique au-dessus de \(S\) ? On considère alors le \(2\)-produit fibré \[\mathcal{X}'_S = (\Sch/S)_{fppf} \times_{(\Sch/S')_{fppf}} \mathcal{X}'\] qui est un champ algébrique au-dessus de \(S'\) d’après le Lemme 04T2. De plus, il est muni d’un \(1\)-morphisme naturel \(p : \mathcal{X}'_S \to (\Sch/S)_{fppf}\) et, par le Lemme 04X5, il correspond donc canoniquement à un champ algébrique au-dessus de \(S\).

Définition

Soit \(\Sch_{fppf}\) un grand site fppf. Soit \(S \to S'\) un morphisme de ce site. Soit \(\mathcal{X}'\) un champ algébrique au-dessus de \(S'\). Le changement de base de \(\mathcal{X}'\) est le champ algébrique \(\mathcal{X}'_S\) au-dessus de \(S\) décrit ci-dessus.