Ingat kembali model dasar statistika: kita memiliki populasi objek yang menjadi perhatian dan berbagai pengukuran (variabel) yang dilakukan terhadap objek-objek tersebut. Kita memilih objek dari populasi dan mencatat variabel untuk objek-objek dalam sampel; catatan ini menjadi data kita. Pembahasan pertama menggunakan sudut pandang yang murni deskriptif. Artinya, kita tidak mengasumsikan bahwa data dihasilkan oleh suatu distribusi probabilitas yang mendasarinya. Namun, seperti biasa, ingat bahwa data itu sendiri membentuk suatu distribusi probabilitas, yaitu distribusi empiris.
Misalkan \(x\) adalah variabel bernilai riil pada suatu populasi dan \(\bs{x} = (x_1, x_2, \ldots, x_n)\) adalah nilai-nilai yang diamati dalam sampel berukuran \(n\) untuk variabel tersebut. Statistik terurut berperingkat \(k\) adalah nilai terkecil ke-\(k\) dalam himpunan data dan biasanya dilambangkan dengan \(x_{(k)}\). Untuk menegaskan kebergantungannya pada ukuran sampel, notasi lain yang umum ialah \(x_{n:k}\). Jadi \[ x_{(1)} \le x_{(2)} \le \cdots \le x_{(n-1)} \le x_{(n)} \]
Secara alami, variabel \(x\) yang mendasarinya sedikitnya harus berada pada tingkat pengukuran ordinal. Statistik terurut memiliki satuan fisik yang sama dengan \(x\). Salah satu langkah awal dalam analisis data eksploratif ialah mengurutkan data, sehingga statistik terurut muncul secara alami.
Secara khusus, statistik terurut ekstrem adalah \[ x_{(1)} = \min\{x_1, x_2, \ldots, x_n\}, \quad x_{(n)} = \max\{x_1, x_2, \ldots, x_n\} \] Rentang sampel adalah \(r = x_{(n)} - x_{(1)}\), sedangkan nilai tengah rentang sampel adalah \(\frac{1}{2}\left[x_{(n)} + x_{(1)}\right]\).
Rentang sampel dan nilai tengah rentang sampel memiliki satuan fisik yang sama dengan \(x\). Rentang mengukur penyebaran himpunan data, sedangkan nilai tengah rentang mengukur pemusatannya.
Jika \(n\) ganjil, median sampel adalah pengamatan tengah dalam data terurut, yaitu \(x_{(k)}\) dengan \(k = \frac{n + 1}{2}\). Jika \(n\) genap, tidak ada satu pengamatan tengah, melainkan dua. Karena itu, interval median adalah \(\left[x_{(k)}, x_{(k + 1)}\right]\) dengan \(k = \frac{n}{2}\). Dalam hal ini, median sampel didefinisikan sebagai titik tengah interval median, yaitu \(\frac{1}{2}\left[x_{(k)} + x_{(k+1)}\right]\) dengan \(k = \frac{n}{2}\).
Dalam arti tertentu, definisi agak arbitrer karena tidak ada alasan kuat untuk memilih satu titik dalam interval median dibandingkan titik lainnya. Untuk pembahasan lebih lanjut, lihat fungsi galat pada bagian Varians Sampel. Bagaimanapun, median sampel merupakan statistik alami yang mengukur pusat himpunan data.
Kita dapat memperumum median sampel di atas menjadi kuantil sampel lainnya. Misalkan \(p \in [0, 1]\). Tujuan kita ialah menemukan nilai pada posisi sebesar proporsi \(p\) sepanjang data yang telah diurutkan. Kita mendefinisikan peringkat nilai yang dicari sebagai \((n - 1)p + 1\). Peringkat ini merupakan fungsi linear dari \(p\): nilainya 1 ketika \(p = 0\) dan \(n\) ketika \(p = 1\). Untuk ukuran sampel sedikitnya dua dan sebelum titik ujung kanan, peringkat pada umumnya bukan bilangan bulat. Kita ambil \(k = \lfloor (n - 1)p + 1 \rfloor\), yaitu bagian bulat peringkat yang diinginkan, dan \(t = [(n - 1)p + 1] - k\), yaitu bagian pecahannya. Dengan demikian, \((n - 1)p + 1 = k + t\), dengan \(k \in \{1, 2, \ldots, n - 1\}\) dan \(t \in [0, 1)\). Interpolasi linear kemudian menghasilkan definisi berikut:
Untuk ukuran sampel sedikitnya dua, kuantil sampel berorde \(p \in [0, 1)\) adalah \[ x_{[p]} = x_{(k)} + t \left[x_{(k+1)}-x_{(k)}\right] = (1 - t) x_{(k)} + t x_{(k+1)} \] dengan \(k = \lfloor (n - 1)p + 1 \rfloor,\quad t = [(n - 1)p + 1] - k\). Untuk titik ujung kanan dan sampel tunggal, gunakan konvensi \(x_{[1]} = x_{(n)};\quad n = 1 \Longrightarrow x_{[p]} = x_1\ (p \in [0, 1])\).
Kuantil sampel memiliki satuan fisik yang sama dengan variabel \(x\) yang mendasarinya. Algoritme ini benar-benar memperumum hasil median sampel dalam .
Kuantil sampel berorde \(p = \frac{1}{2}\) adalah median sebagaimana didefinisikan sebelumnya, baik ketika \(n\) ganjil maupun ketika \(n\) genap.
Kuartil
Perhatikan bahwa \(\iqr\) merupakan statistik yang mengukur penyebaran distribusi di sekitar median, tetapi tentu saja bilangan ini memberikan informasi lebih sedikit daripada interval \([q_1, q_3]\).
Pagar
Istilah batas bawah dan batas atas kadang-kadang digunakan sebagai pengganti pagar bawah dan pagar atas. Nilai data yang berada di bawah pagar bawah atau di atas pagar atas merupakan calon pencilan, yaitu nilai yang tampaknya tidak mengikuti pola umum data. Pencilan dapat disebabkan oleh galat pengukuran, atau dapat pula merupakan nilai sah yang cukup ekstrem. Dalam kedua keadaan itu, pencilan biasanya patut ditelaah lebih lanjut.
Lima statistik \(\left(x_{(1)}, q_1, q_2, q_3, x_{(n)}\right)\) sering disebut ringkasan lima angka. Secara bersama-sama, statistik tersebut memberikan banyak informasi tentang pusat, penyebaran, dan kemencengan himpunan data. Kelima angka itu secara kasar membagi data menjadi empat interval yang masing-masing memuat sekitar 25% data. Secara grafis, kelima angka beserta pencilan sering ditampilkan dalam diagram kotak, yang juga disebut diagram kotak-dan-kumis. Diagram kotak memiliki sumbu yang membentang sepanjang rentang data. Sebuah garis ditarik dari nilai terkecil yang bukan pencilan (yang mungkin saja minimum \(x_{(1)}\)) hingga nilai terbesar yang bukan pencilan (yang mungkin saja maksimum \(x_{(n)}\)). Tanda vertikal, atau kumis
, diletakkan pada kedua ujung garis tersebut. Kotak persegi panjang membentang dari kuartil pertama \(q_1\) hingga kuartil ketiga \(q_3\), dengan garis tambahan pada median \(q_2\). Pencilan ditandai sebagai titik di luar kumis ekstrem. Semua paket statistika dapat menghitung kuartil dan sebagian besar dapat menggambar diagram kotak. Gambar di bawah menunjukkan diagram kotak dengan tiga pencilan.
Algoritme di atas bukan satu-satunya cara yang masuk akal untuk mendefinisikan kuantil sampel; banyak alternatif lain tersedia. Salah satu cara alami ialah terlebih dahulu menghitung fungsi distribusi empiris \[ F(x) = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n \bs{1}(x_i \le x), \quad x \in \R \] Ingat bahwa \(F\) memiliki sifat matematis sebuah fungsi distribusi dan memang \(F\) merupakan fungsi distribusi bagi distribusi empiris data. Distribusi ini menempatkan probabilitas \(\frac{1}{n}\) pada setiap nilai data \(x_i\) (jadi, jika semua nilai data berbeda, distribusi ini adalah distribusi seragam diskret pada \(\{x_1, x_2, \ldots, x_n\}\)). Untuk menangani nilai yang sama dengan tepat, tetapkan \(j_k = \max\{i : x_{(i)} = x_{(k)}\},\ k \in \{1, 2, \ldots, n - 1\},\ x_{(k)} \lt x_{(k+1)}\). Maka \(F(x) = 0\ (x \lt x_{(1)});\quad F(x) = j_k/n\ (x_{(k)} \le x \lt x_{(k+1)});\quad F(x) = 1\ (x \ge x_{(n)})\). Kita kemudian dapat mendefinisikan fungsi kuantil sebagai invers fungsi distribusi, sebagaimana biasanya untuk distribusi probabilitas: \[ F^{-1}(p) = \min\{x \in \R: F(x) \ge p\}, \quad p \in (0, 1) \] Dengan definisi ini, mudah dilihat bahwa kuantil berorde \(p \in (0, 1)\) adalah \(x_{(k)}\), dengan \(k = \lceil n p \rceil\).
Cara lain ialah menghitung peringkat kuantil berorde \(p \in (0, 1)\) sebagai \((n + 1)p\), bukan \((n - 1)p + 1\), lalu menggunakan interpolasi linear seperti di atas. Untuk memahami alasannya, misalkan variabel \(x\) yang mendasari mengambil nilai dalam interval \((a, b)\). Sebanyak \(n\) titik dalam data \(\bs{x}\) membagi interval tersebut menjadi \(n + 1\) subinterval, sehingga masuk akal memandang \(x_{(k)}\) sebagai kuantil berorde \(\frac{k}{n + 1}\). Cara ini juga menghasilkan perhitungan median baku ketika \(p = \frac{1}{2}\). Namun, cara tersebut gagal jika \(p\) begitu kecil sehingga \((n + 1) p \lt 1\), atau begitu besar sehingga \( (n + 1) p > n \).
Definisi utama di atas merupakan definisi yang paling umum digunakan dalam perangkat lunak statistika dan lembar kerja. Selain itu, ketika ukuran sampel \(n\) besar, pilihan di antara definisi kuantil tersebut biasanya hanya menghasilkan perbedaan kecil.
Misalkan kembali \(\bs{x} = (x_1, x_2, \ldots, x_n)\) merupakan sampel berukuran \(n\) dari variabel populasi \(x\), dan misalkan pula \(y = a + b x\) adalah variabel baru, dengan \(a \in \R\) dan \(b \in (0, \infty)\). Transformasi semacam ini disebut transformasi lokasi-skala dan sering bersesuaian dengan perubahan satuan. Sebagai contoh, jika \(x\) adalah panjang benda dalam inci, \(y = 2.54 x\) adalah panjang benda tersebut dalam sentimeter. Jika \(x\) adalah suhu benda dalam derajat Fahrenheit, \(y = \frac{5}{9}(x - 32)\) adalah suhunya dalam derajat Celsius. Misalkan \(\bs{y} = (a + b x_1, a + b x_2, \ldots, a + b x_n)\) menyatakan sampel dari variabel \(y\).
Statistik terurut dan kuantil dipertahankan oleh transformasi lokasi-skala:
Bagian (a) langsung mengikuti fakta bahwa transformasi lokasi-skala meningkat ketat sehingga mempertahankan urutan: \(x_i \lt x_j\) jika dan hanya jika \(a + b x_i \lt a + b x_j\). Untuk sampel dengan satu pengamatan, hasilnya langsung dari hubungan transformasi pada pengamatan tersebut. Selanjutnya, anggap ukuran sampel sedikitnya dua. Kasus titik ujung \(p = 1,\ y_{(n)} = a + b x_{(n)}\) berlaku langsung. Untuk \(p \in [0, 1)\), ambil \(k \in \{1, 2, \ldots, n - 1\},\ t \in [0, 1)\) seperti dalam definisi kuantil sampel berorde \(p\). Maka \[ y_{[p]} = y_{(k)} + t[y_{(k+1)} - y_{(k)}] = a + b x_{(k)} + t[a + b x_{(k+1)} - (a + b x_{(k)})] = a + b\left(x_{(k)} + t [x_{(k+1)}- x_{(k)}]\right) = a + b x_{[p]} \]
Seperti simpangan baku, yaitu ukuran penyebaran terpenting kita, rentang dan rentang antarkuartil tidak dipengaruhi oleh parameter lokasi, tetapi dikalikan dengan parameter skala.
Rentang dan rentang antarkuartil dari \(\bs{y}\) adalah
Secara lebih umum, misalkan \(y = g(x)\), dengan \(g\) fungsi bernilai riil yang meningkat ketat pada himpunan nilai yang mungkin bagi \(x\). Misalkan \(\bs{y} = \left(g(x_1), g(x_2), \ldots, g(x_n)\right)\) adalah sampel yang bersesuaian dengan variabel \(y\). Seperti dalam pembuktian Teorema 2, statistik terurut dipertahankan sehingga \(y_{(i)} = g(x_{(i)})\). Namun, jika \(g\) nonlinear, kuantil tidak dipertahankan karena kuantil menggunakan interpolasi linear. Artinya, \(y_{[p]}\) dan \(g(x_{[p]})\) pada umumnya berbeda. Jika \(g\) konveks atau konkaf, setidaknya kita dapat memberikan suatu pertidaksamaan bagi kuantil sampel.
Misalkan \(y = g(x)\), dengan \(g\) meningkat ketat. Maka
Seperti telah dicatat, bagian (a) mengikuti fakta bahwa \(g\) meningkat ketat sehingga mempertahankan urutan. Jika sampel hanya memuat satu pengamatan, semua kuantil sama dengan pengamatan itu sehingga kedua pertidaksamaan berlaku sebagai kesamaan. Selanjutnya, anggap ukuran sampel sedikitnya dua. Bagian (b) mengikuti definisi kekonveksan. Kasus titik ujung \(p = 1\) berlaku sebagai kesamaan. Untuk \(p \in [0, 1)\), ambil \(k \in \{1, 2, \ldots, n - 1\},\ t \in [0, 1)\) seperti dalam definisi kuantil sampel berorde \(p\); kita memperoleh \[ y_{[p]} = (1 - t) y_{(k)} + t y_{(k+1)} = (1 - t) g\left(x_{(k)}\right) + t g\left(x_{(k+1)}\right) \ge g\left[(1 - t) x_{(k)} + t x_{(k+1)}\right] = g\left(x_{[p]}\right) \] Bagian (c) mengikuti argumen yang sama; kedua pertidaksamaan pada titik ujung kanan berlaku langsung karena kuantil titik ujung adalah pengamatan terbesar.
Diagram batang-daun merupakan tampilan grafis statistik terurut \(\left(x_{(1)}, x_{(2)}, \ldots, x_{(n)}\right)\). Diagram ini menyajikan data secara grafis seperti histogram, sekaligus mempertahankan data yang telah diurutkan. Pertama, kita mengasumsikan format angka yang tetap: sejumlah digit yang tetap, mungkin diikuti tanda desimal dan sejumlah digit tetap lainnya. Diagram batang-daun dibuat dengan menggunakan bagian awal untaian tersebut sebagai batang dan bagian sisanya sebagai daun. Karena terdapat banyak variasi, alih-alih memberikan definisi lengkap yang rumit, kita akan melihat beberapa contoh dalam latihan di bawah.
Kita melanjutkan pembahasan statistik terurut, tetapi kini variabel-variabelnya diasumsikan sebagai variabel acak. Misalkan terdapat percobaan acak dasar dan \(X\) merupakan variabel acak bernilai riil dengan fungsi distribusi \(F\). Kita melakukan \(n\) pengulangan saling bebas dari percobaan dasar tersebut untuk menghasilkan sampel acak \(\bs{X} = (X_1, X_2, \ldots, X_n)\) berukuran \(n\) dari distribusi \(X\). Ini adalah barisan variabel acak yang saling bebas, masing-masing dengan distribusi \(X\). Semua statistik pada bagian sebelumnya masih bermakna, tetapi sekarang merupakan variabel acak. Kita menggunakan notasi sebelumnya dengan konvensi bahwa variabel acak ditulis memakai huruf kapital. Jadi, untuk \(k \in \{1, 2, \ldots, n\}\), \(X_{(k)}\) adalah statistik terurut ke-\(k\), yaitu nilai terkecil ke-\(k\) di antara \((X_1, X_2, \ldots, X_n)\). Sekarang kita menelaah distribusi statistik terurut dan statistik yang diturunkan darinya.
Menentukan fungsi distribusi statistik terurut merupakan penerapan yang baik dari percobaan Bernoulli dan distribusi binomial.
Fungsi distribusi \( F_k \) dari \(X_{(k)}\) diberikan oleh \[ F_k(x) = \sum_{j=k}^n \binom{n}{j} \left[F(x)\right]^j \left[1 - F(x)\right]^{n - j}, \quad x \in \R \]
Untuk \( x \in \R \), misalkan \[ N_x = \sum_{i=1}^n \bs{1}(X_i \le x) \] sehingga \( N_x \) adalah banyaknya variabel sampel yang jatuh dalam interval \( (-\infty, x] \). Variabel indikator dalam jumlah tersebut saling bebas dan masing-masing bernilai 1 dengan probabilitas \( F(x) \). Jadi, \( N_x \) berdistribusi binomial dengan parameter \( n \) dan \( F(x) \). Selanjutnya, \(X_{(k)} \le x\) jika dan hanya jika \(N_x \ge k\), untuk \(x \in \R\) dan \(k \in \{1, 2, \ldots, n\}\), sebab kedua kejadian itu sama-sama menyatakan bahwa sedikitnya \( k \) variabel sampel berada dalam interval \( (-\infty, x] \). Karena itu \[ \P\left(X_{(k)} \le x\right) = \P\left(N_x \ge k\right) = \sum_{j=k}^n \binom{n}{j} \left[F(x)\right]^j \left[1 - F(x)\right]^{n - j} \]
Seperti biasa, statistik terurut ekstrem sangat menarik.
Fungsi distribusi \( F_1 \) dari \( X_{(1)} \) dan \( F_n \) dari \( X_{(n)} \) diberikan oleh
Fungsi kuantil \( F_1^{-1} \) dan \( F_n^{-1} \) dari \( X_{(1)} \) dan \( X_{(n)} \) diberikan oleh
Jika distribusi yang mendasarinya kontinu, kita dapat memberikan rumus sederhana bagi fungsi kepadatan probabilitas statistik terurut.
Misalkan sekarang \(X\) memiliki distribusi kontinu dengan fungsi kepadatan probabilitas \( f \). Maka \(X_{(k)}\) memiliki distribusi kontinu dengan fungsi kepadatan probabilitas \( f_k \) yang diberikan oleh \[ f_k(x) = \frac{n!}{(k - 1)! (n - k)!} \left[F(x)\right]^{k-1} \left[1 - F(x)\right]^{n-k} f(x), \quad x \in \R\]
Tentu saja, \(f_k(x) = F_k^\prime(x)\). Kita mengambil turunan suku demi suku dan menggunakan aturan hasil kali pada \[ \frac{d}{dx}\left[F(x)\right]^j \left[1 - F(x)\right]^{n-j} = j \left[F(x)\right]^{j-1} f(x) \left[1 - F(x)\right]^{n-j} - (n - j)\left[F(x)\right]^j \left[1 - F(x)\right]^{n-j-1}f(x) \] Kita menggunakan identitas binomial \(j \binom{n}{j} = n \binom{n - 1}{j - 1}\) dan \((n - j) \binom{n}{j} = n \binom{n - 1}{j}\). Hasil akhirnya ialah \[ f_k(x) = n f(x) \left[ \sum_{j=k}^n \binom{n - 1}{j - 1}[F(x)]^{j-1} [1 - F(x)]^{(n-1)-(j-1)} - \sum_{j=k}^{n-1} \binom{n-1}{j} [F(x)]^j [1 - F(x)]^{(n-1)-j}\right] \] Kedua jumlah saling meniadakan, menyisakan hanya suku \(j = k\) pada jumlah pertama. Karena itu \[f_k(x) = n f(x) \binom{n-1}{k-1}[F(x)]^{k-1}[1 - F(x)]^{n-k}\] Namun, \(n \binom{n-1}{k-1} = \frac{n!}{(k-1)!(n-k)!}\).
Terdapat pula argumen heuristik sederhana untuk hasil ini. Pertama, \(f_k(x) \, dx\) adalah probabilitas bahwa \(X_{(k)}\) berada dalam interval infinitesimal selebar \(dx\) di sekitar \(x\). Kejadian tersebut berarti bahwa satu variabel sampel berada dalam interval infinitesimal itu, \(k - 1\) variabel sampel kurang dari \(x\), dan \(n - k\) variabel sampel lebih dari \(x\). Banyaknya cara memilih variabel-variabel tersebut adalah koefisien multinomial \[ \binom{n}{k - 1, 1, n - k} = \frac{n!}{(k - 1)! (n - k)!} \] Karena saling bebas, probabilitas bahwa variabel-variabel terpilih berada dalam interval yang ditentukan adalah \[ \left[F(x)\right]^{k-1} \left[1 - F(x)\right]^{n-k} f(x) \, dx \]
Berikut adalah kasus khusus untuk statistik terurut ekstrem.
Fungsi kepadatan probabilitas \( f_1 \) dari \( X_{(1)} \) dan \( f_n \) dari \( X_{(n)} \) diberikan oleh
Kita kembali mengasumsikan bahwa \(X\) memiliki distribusi kontinu dengan fungsi distribusi \( F \) dan fungsi kepadatan probabilitas \( f \).
Misalkan \(j, k \in \{1, 2, \ldots, n\}\) dengan \(j \lt k\). Fungsi kepadatan probabilitas bersama \( f_{j,k} \) dari \(\left(X_{(j)}, X_{(k)}\right)\) diberikan oleh
\[ f_{j,k}(x, y) = \frac{n!}{(j - 1)! (k - j - 1)! (n - k)!} \left[F(x)\right]^{j-1} \left[F(y) - F(x)\right]^{k - j - 1} \left[1 - F(y)\right]^{n-k} f(x) f(y); \quad x, \, y \in \R, x \lt y \]Kita ingin menghitung probabilitas bahwa \(X_{(j)}\) berada dalam interval infinitesimal \(dx\) di sekitar \(x\), dan \(X_{(k)}\) berada dalam interval infinitesimal \(dy\) di sekitar \(y\). Harus ada \(j - 1\) variabel sampel yang kurang dari \(x\), satu variabel dalam interval infinitesimal di sekitar \(x\), \(k - j - 1\) variabel sampel di antara \(x\) dan \(y\), satu variabel dalam interval infinitesimal di sekitar \(y\), serta \(n - k\) variabel sampel yang lebih dari \(y\). Banyaknya cara memilih variabel-variabel itu adalah koefisien multinomial \[ \binom{n}{j-1, 1, k - j - 1, 1, n - k} = \frac{n!}{(j - 1)! (k - j - 1)! (n - k)!} \] Karena saling bebas, probabilitas bahwa variabel-variabel terpilih berada dalam interval yang ditentukan adalah \[ \left[F(x)\right]^{j-1} f(x) dx \left[F(y) - F(x)\right]^{k - j - 1} f(y) dy \left[1 - F(y)\right]^{n-k} \]
Dari distribusi bersama dua statistik terurut, setidaknya secara prinsip, kita dapat menentukan distribusi berbagai statistik lain: rentang sampel \(R\); kuantil sampel \(X_{[p]}\) untuk \(p \in [0, 1]\), khususnya kuartil sampel \(Q_1\), \(Q_2\), \(Q_3\); serta rentang antarkuartil IQR. Distribusi bersama statistik terurut ekstrem \((X_{(1)}, X_{(n)})\) merupakan kasus yang sangat penting.
Untuk ukuran sampel sedikitnya dua, fungsi kepadatan probabilitas bersama \( f_{1,n} \) dari \(\left(X_{(1)}, X_{(n)}\right)\) diberikan oleh \[ f_{1,n}(x, y) = n (n - 1) \left[F(y) - F(x)\right]^{n-2} f(x) f(y); \quad x, \, y \in \R, x \lt y \]
Argumen serupa dapat digunakan untuk memperoleh fungsi kepadatan probabilitas bersama untuk sembarang banyak statistik terurut. Tentu saja, kita terutama tertarik pada fungsi kepadatan probabilitas bersama dari semua statistik terurut. Ternyata fungsi kepadatan tersebut memiliki bentuk yang sangat sederhana.
\(\left(X_{(1)}, X_{(2)}, \ldots, X_{(n)}\right)\) memiliki fungsi kepadatan probabilitas bersama \( g \) yang diberikan oleh \[ g(x_1, x_2, \ldots, x_n) = n! f(x_1) \, f(x_2) \, \cdots \, f(x_n), \quad x_1 \lt x_2 \lt \cdots \lt x_n \]
Untuk setiap permutasi \(\bs{i} = (i_1, i_2, \ldots, i_n)\) dari \((1, 2, \ldots, n)\), misalkan \(S_\bs{i} = \{\bs{x} \in \R^n: x_{i_1} \lt x_{i_2} \lt \cdots \lt x_{i_n}\}\). Pada \(S_\bs{i}\), pemetaan \((x_1, x_2, \ldots, x_n) \mapsto (x_{i_1}, x_{i_2}, \ldots, x_{i_n})\) bersifat satu-ke-satu, memiliki turunan parsial pertama yang kontinu, dan memiliki Jacobian 1. Himpunan-himpunan \(S_\bs{i}\), ketika \(\bs{i}\) merentang seluruh \(n!\) permutasi \((1, 2, \ldots, n)\), saling lepas. Probabilitas bahwa \((X_1, X_2, \ldots, X_n)\) tidak berada dalam salah satu himpunan tersebut adalah 0. Hasilnya kini mengikuti rumus perubahan variabel multivariat.
Sekali lagi, terdapat argumen heuristik sederhana. Untuk setiap \(\bs{x} \in \R^n\) dengan \(x_1 \lt x_2 \lt \cdots \lt x_n\), ada \(n!\) permutasi koordinat \(\bs{x}\). Kepadatan probabilitas \((X_1, X_2, \ldots, X_n)\) pada setiap titik itu ialah \(f(x_1) \, f(x_2) \, \cdots \, f(x_n)\). Jadi, kepadatan probabilitas \((X_{(1)}, X_{(2)}, \ldots, X_{(n)})\) pada \(\bs{x}\) adalah \(n!\) kali hasil kali tersebut.
Plot probabilitas, yang juga disebut plot kuantil-kuantil atau singkatnya plot Q-Q, merupakan uji grafis informal untuk menentukan apakah data yang diamati berasal dari distribusi tertentu. Misalkan kita mengamati data bernilai riil \((x_1, x_2, \ldots, x_n)\) dari sampel acak berukuran \(n\). Kita ingin mengetahui apakah data tersebut secara masuk akal dapat berasal dari distribusi kontinu dengan fungsi distribusi \(F\). Pertama, kita mengurutkan data dari yang terkecil hingga terbesar, sehingga diperoleh nilai-nilai statistik terurut yang diamati: \(\left(x_{(1)}, x_{(2)}, \ldots, x_{(n)}\right)\).
Dengan konvensi posisi plot alternatif yang diperkenalkan di atas, kita memandang \(x_{(i)}\) sebagai kuantil sampel berorde \(\frac{i}{n + 1}\); ini bukan aturan interpolasi kuantil utama pada halaman ini. Menurut definisi, kuantil distribusi berorde \(\frac{i}{n + 1}\) adalah \( y_i = F^{-1} \left( \frac{i}{n + 1} \right) \). Jika data benar-benar berasal dari distribusi tersebut, kita mengharapkan titik-titik \( \left(\left(x_{(1)}, y_1\right), \left(x_{(2)}, y_2\right), \ldots, \left(x_{(n)}, y_n\right)\right) \) berada dekat garis diagonal \(y = x\). Sebaliknya, penyimpangan kuat dari garis ini merupakan indikasi kuat bahwa data tidak berasal dari distribusi tersebut. Plot titik-titik itu disebut plot probabilitas.
Namun, biasanya kita tidak sedang menguji apakah data berasal dari satu distribusi tertentu, melainkan dari suatu keluarga distribusi parametrik, misalnya keluarga normal, seragam, atau eksponensial. Keadaan ini lazim karena parameternya tidak diketahui; langkah berikutnya setelah plot probabilitas mungkin justru menaksir parameter tersebut. Untungnya, metode plot probabilitas memiliki perluasan sederhana untuk setiap keluarga distribusi lokasi-skala. Misalkan \(G\) adalah fungsi distribusi tertentu. Keluarga lokasi-skala yang terkait dengan \(G\) memiliki fungsi distribusi \( F(x) = G \left( \frac{x - a}{b} \right)\), untuk \(x \in \R \), dengan \(a \in \R\) sebagai parameter lokasi dan \(b \in (0, \infty)\) sebagai parameter skala. Untuk \(p \in (0, 1)\), jika \(z_p = G^{-1}(p)\) menyatakan kuantil berorde \(p\) bagi \(G\), dan \(y_p = F^{-1}(p)\) kuantil berorde \(p\) bagi \(F\), maka \( y_p = a + b \, z_p \). Jadi, jika plot probabilitas berdasarkan \(F\) hampir linear, khususnya dekat garis diagonal, plot probabilitas berdasarkan \(G\) juga hampir linear. Dengan demikian, kita dapat menggunakan \(G\) tanpa mengetahui parameter lokasi dan skala.
Dalam latihan di bawah, Anda akan menjelajahi plot probabilitas untuk distribusi normal, eksponensial, dan seragam. Prosedur kuantitatif formal, yaitu uji kecocokan khi-kuadrat, akan dipelajari dalam bab pengujian hipotesis.
Misalkan \(x\) adalah suhu (dalam derajat Fahrenheit) untuk suatu jenis komponen elektronik setelah beroperasi selama 10 jam. Sampel 30 komponen memiliki ringkasan lima angka \((84, 102, 113, 120, 135)\).
Misalkan \(x\) adalah panjang (dalam inci) komponen hasil pemesinan dalam suatu proses manufaktur. Sampel 50 komponen memiliki ringkasan lima angka (9.6, 9.8, 10.0, 10.1, 10.3).
Profesor Moriarity mengajar satu kelas Statistika 101 yang terdiri atas 25 mahasiswa di Enormous State University (ESU). Pada ujian tengah semester pertama, ringkasan lima angkanya adalah (16, 52, 64, 72, 81) dari maksimum 100 poin. Profesor Moriarity menilai hasil tersebut agak rendah dan mempertimbangkan beberapa transformasi untuk menaikkan nilai.
Semua paket perangkat lunak statistika dapat menghitung statistik terurut dan kuantil, menggambar diagram batang-daun dan diagram kotak, serta pada umumnya menjalankan prosedur numerik dan grafis yang dibahas dalam bagian ini. Untuk kajian statistika nyata, khususnya yang menggunakan himpunan data besar, perangkat lunak statistika sangat penting. Namun, mengerjakan perhitungan secara manual pada himpunan data kecil buatan tetap berguna untuk menguasai konsep dan definisi. Dalam subbagian ini, lakukan perhitungan dan gambarlah grafik dengan bantuan teknologi seminimal mungkin.
Misalkan \(x\) adalah banyaknya mata kuliah matematika yang telah diselesaikan seorang mahasiswa ESU. Sampel 10 mahasiswa ESU memberikan data \(\bs{x} = (3, 1, 2, 0, 2, 4, 3, 2, 1, 2)\).
Misalkan sampel berukuran 12 dari variabel diskret \(x\) memiliki fungsi massa empiris \(f(-2) = 1/12\), \(f(-1) = 1/4\), \(f(0) = 1/3\), \(f(1) = 1/6\), dan \(f(2) = 1/6\).
Diagram batang-daun di bawah menyajikan nilai ujian 100 poin dalam mata kuliah probabilitas yang diikuti 38 mahasiswa. Digit pertama adalah batang dan digit kedua adalah daun. Jadi, nilai terendah adalah 47 dan tertinggi 98. Nilai pada baris dengan batang 6 adalah 60, 60, 62, 63, 65, 65, 67, dan 68.
| 4 | 7 | ||||||||||||
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 5 | 0 | 3 | 4 | 6 | |||||||||
| 6 | 0 | 0 | 2 | 3 | 5 | 5 | 7 | 8 | |||||
| 7 | 0 | 1 | 1 | 2 | 3 | 4 | 6 | 6 | 7 | 8 | 8 | 9 | 9 |
| 8 | 2 | 3 | 3 | 6 | 7 | 8 | 8 | 9 | |||||
| 9 | 1 | 3 | 6 | 8 |
Hitung ringkasan lima angka dan gambar diagram kotaknya.
\((47, 65, 75, 83, 98) \)
Dalam aplikasi histogram, buat satu distribusi terpisah yang memuat sedikitnya 30 nilai untuk setiap jenis di bawah. Catat ringkasan lima angkanya.
Dalam aplikasi fungsi galat, mulailah dengan suatu distribusi lalu tambahkan titik-titik berikut. Catat pengaruhnya terhadap ringkasan lima angka:
Dalam , Anda mungkin memperhatikan bahwa ketika satu titik ditambahkan ke distribusi, satu atau beberapa dari kelima statistik tidak berubah. Secara umum, kuantil relatif tidak peka terhadap perubahan data.
Ingat bahwa distribusi seragam baku adalah distribusi seragam pada interval \([0, 1]\).
Misalkan \(\bs{X}\) adalah sampel acak berukuran \(n\) dari distribusi seragam baku. Untuk \( k \in \{1, 2, \ldots, n\} \), \(X_{(k)}\) memiliki distribusi beta dengan parameter kiri \(k\) dan parameter kanan \(n - k + 1\). Fungsi kepadatan probabilitas \( f_k \) diberikan oleh \[f_k(x) = \frac{n!}{(k - 1)! (n - k)!} x^{k-1} (1 - x)^{n-k}, \quad 0 \le x \le 1\]
Dalam eksperimen statistik terurut, pilih distribusi seragam baku dan \(n = 5\). Ubah \(k\) dari 1 hingga 5 dan perhatikan bentuk fungsi kepadatan probabilitas \(X_{(k)}\). Untuk setiap nilai \(k\), jalankan simulasi 1.000 kali dan bandingkan fungsi kepadatan empiris dengan fungsi kepadatan probabilitas teoretis.
Hasil untuk distribusi seragam baku mudah diperluas ke distribusi seragam umum pada suatu interval.
Misalkan \( \bs{X} \) adalah sampel acak berukuran \( n \) dari distribusi seragam pada interval \( [a, a + h] \), dengan \( a \in \R \) dan \( h \in (0, \infty) \). Untuk \( k \in \{1, 2, \ldots, n\} \), \( X_{(k)} \) memiliki distribusi beta dengan parameter kiri \( k \), parameter kanan \( n - k + 1 \), parameter lokasi \( a \), dan parameter skala \( h \). Secara khusus,
Misalkan \( \bs{U} = (U_1, U_2, \ldots, U_n) \) adalah sampel acak berukuran \( n \) dari distribusi seragam baku, dan tetapkan \( X_i = a + h U_i \) untuk \( i \in \{1, 2, \ldots, n\} \). Maka \( \bs{X} = (X_1, X_2, \ldots, X_n) \) adalah sampel acak berukuran \( n \) dari distribusi seragam pada \( [a, a + h] \), dan \( X_{(k)} = a + h U_{(k)} \). Jadi, distribusi \( X_{(k)} \) mengikuti hasil sebelumnya. Bagian (a) dan (b) mengikuti hasil baku untuk distribusi beta.
Kita kembali ke distribusi seragam baku dan meninjau rentang sampel acak.
Misalkan \(\bs{X}\) adalah sampel acak berukuran \(n \ge 2\) dari distribusi seragam baku. Rentang sampel \( R \) memiliki distribusi beta dengan parameter kiri \( n - 1 \) dan parameter kanan 2. Fungsi kepadatan probabilitas \( g \) diberikan oleh \[ g(r) = n (n - 1) r^{n-2} (1 - r), \quad 0 \le r \le 1 \]
Dari , fungsi kepadatan probabilitas bersama \((X_{(1)}, X_{(n)})\) adalah \(f_{1, n}(x, y) = n (n - 1) (y - x)^{n - 2}\) untuk \(0 \le x \le y \le 1\). Karena itu, untuk \(r \in [0, 1]\), \[ \P(R \gt r) = \P(X_{(n)} - X_{(1)} \gt r) = \int_0^{1-r} \int_{x+r}^1 n (n - 1) (y - x)^{n-2} \, dy \, dx = (n - 1) r^n - n r^{n-1} + 1 \] Dengan demikian, fungsi distribusi \(R\) adalah \(G(r) = n r^{n-1} - (n - 1)r^n\) untuk \(0 \le r \le 1\). Mengambil turunan terhadap \(r\) dan menyederhanakannya memberikan fungsi kepadatan \(g(r) = n (n - 1) r^{n-2} (1 - r)\) untuk \(0 \le r \le 1\). Dari bentuk \(g\), distribusi ini adalah distribusi beta dengan parameter kiri \(n - 1\) dan parameter kanan 2.
Sekali lagi, hasil ini mudah diperluas ke distribusi seragam umum.
Misalkan \( \bs{X} = (X_1, X_2, \ldots, X_n) \) adalah sampel acak berukuran \( n \ge 2 \) dari distribusi seragam pada \( [a, a + h] \), dengan \( a \in \R \) dan \( h \in (0, \infty) \). Rentang sampel \( R = X_{(n)} - X_{(1)} \) memiliki distribusi beta dengan parameter kiri \( n - 1 \), parameter kanan \( 2 \), dan parameter skala \( h \). Secara khusus,
Misalkan kembali \( \bs{U} = (U_1, U_2, \ldots, U_n) \) adalah sampel acak berukuran \( n \) dari distribusi seragam baku, dan tetapkan \( X_i = a + h U_i \) untuk \( i \in \{1, 2, \ldots, n\} \). Maka \( \bs{X} = (X_1, X_2, \ldots, X_n) \) adalah sampel acak berukuran \( n \) dari distribusi seragam pada \( [a, a + h] \), dan \( X_{(k)} = a + h U_{(k)} \). Karena itu, \( X_{(n)} - X_{(1)} = h(U_{(n)} - U_{(1)}) \), sehingga distribusi \( R \) mengikuti hasil sebelumnya. Bagian (a) dan (b) mengikuti hasil baku untuk distribusi beta.
Distribusi bersama statistik terurut untuk sampel dari distribusi seragam mudah diperoleh.
Misalkan \((X_1, X_2, \ldots, X_n)\) adalah sampel acak berukuran \(n\) dari distribusi seragam pada interval \([a, a + h]\), dengan \(a \in \R\) dan \( h \in (0, \infty) \). Maka \(\left(X_{(1)}, X_{(2)}, \ldots, X_{(n)}\right)\) berdistribusi seragam pada \(\left\{\bs{x} \in [a, a + h]^n: a \le x_1 \le x_2 \le \cdots \le x_n \le a + h\right\}\).
Hasil ini langsung mengikuti fakta bahwa \((X_1, X_2, \ldots, X_n)\) berdistribusi seragam pada \([a, a + h]^n\). Dari , fungsi kepadatan probabilitas bersama statistik terurut adalah \(g(x_1, x_2, \ldots, x_n) = n! / h^n\) untuk \((x_1, x_2, \ldots, x_n) \in [a, a + h]^n\) dengan \(a \le x_1 \le x_2 \le \cdots \le x_n \le a + h\).
Ingat bahwa distribusi eksponensial dengan parameter laju \(\lambda \gt 0\) memiliki fungsi kepadatan probabilitas \[ f(x) = \lambda e^{-\lambda x}, \quad 0 \le x \lt \infty \] Distribusi eksponensial banyak digunakan untuk memodelkan waktu kegagalan dan waktu acak lainnya dalam kondisi ideal tertentu. Secara khusus, waktu antarkedatangan dalam proses Poisson berdistribusi eksponensial.
Misalkan \(\bs{X}\) adalah sampel acak berukuran \(n\) dari distribusi eksponensial dengan parameter laju \(\lambda\). Fungsi kepadatan probabilitas dari statistik terurut ke-\(k\), \(X_{(k)}\), adalah \[ f_k(x) = \frac{n!}{(k - 1)! (n - k)!} \lambda (1 - e^{-\lambda x})^{k-1} e^{-\lambda(n - k + 1)x}, \quad 0 \le x \lt \infty \] Secara khusus, minimum \(X_{(1)}\) juga memiliki distribusi eksponensial, tetapi dengan parameter laju \(n \lambda\).
Dalam eksperimen statistik terurut, pilih distribusi eksponensial baku dan \(n = 5\). Ubah \(k\) dari 1 hingga 5 dan perhatikan bentuk fungsi kepadatan probabilitas \(X_{(k)}\). Untuk setiap nilai \(k\), jalankan simulasi 1.000 kali dan bandingkan fungsi kepadatan empiris dengan fungsi kepadatan probabilitas teoretis.
Misalkan kembali \(\bs{X}\) adalah sampel acak berukuran \(n \ge 2\) dari distribusi eksponensial dengan parameter laju \(\lambda\). Rentang sampel \(R\) memiliki distribusi yang sama dengan maksimum sampel acak berukuran \(n - 1\) dari distribusi eksponensial. Fungsi kepadatan probabilitasnya adalah
\[ h(t) = (n - 1) \lambda (1 - e^{-\lambda t})^{n - 2} e^{-\lambda t}, \quad 0 \le t \lt \infty \]
Menurut , \((X_{(1)}, X_{(n)})\) memiliki fungsi kepadatan probabilitas bersama \(f_{1, n}(x, y) = n (n - 1) \lambda^2 (e^{-\lambda x} - e^{-\lambda y})^{n-2} e^{-\lambda x} e^{-\lambda y}\) untuk \(0 \le x \le y \lt \infty\). Karena itu, untuk \(0 \le t \lt \infty\),
\[ \P(R \le t) = \P(X_{(n)} - X_{(1)} \le t) = \int_0^\infty \int_x^{x + t} n (n - 1) \lambda^2 (e^{-\lambda x} - e^{-\lambda y})^{n-2} e^{-\lambda x} e^{-\lambda y} \, dy \, dx \]
Dengan menyubstitusikan \(u = e^{-\lambda y}\), \(du = -\lambda e^{-\lambda y} \, dy\), ke dalam integral bagian dalam lalu menghitungnya, diperoleh
\[ \P(R \le t) = \int_0^\infty n \lambda e^{-n \lambda x} (1 - e^{-\lambda t})^{n-1} \, dx = (1 - e^{-\lambda t})^{n-1}\]
Menurunkannya terhadap \(t\) memberikan fungsi kepadatan probabilitas. Dengan membandingkannya dengan , terlihat bahwa ini adalah fungsi kepadatan probabilitas dari maksimum suatu sampel berukuran \(n - 1\) dari distribusi eksponensial.
Rincian:
Misalkan kembali \(\bs{X}\) adalah sampel acak berukuran \(n\) dari distribusi eksponensial dengan parameter laju \(\lambda\). Fungsi kepadatan probabilitas bersama statistik terurut \((X_{(1)}, X_{(2)}, \ldots, X_{(n)})\) adalah \[ g(x_1, x_2, \ldots, x_n) = n! \lambda^n e^{-\lambda(x_1 + x_2 + \cdots + x_n)}, \quad 0 \le x_1 \le x_2 \le \cdots \le x_n \lt \infty \]
Empat dadu seimbang dilempar. Tentukan fungsi massa probabilitas setiap statistik terurut.
| \(x\) | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
|---|---|---|---|---|---|---|
| \(f_1(x)\) | \(\frac{671}{1296}\) | \(\frac{369}{1296}\) | \(\frac{175}{1296}\) | \(\frac{65}{1296}\) | \(\frac{15}{1296}\) | \(\frac{1}{1296}\) |
| \(f_2(x)\) | \(\frac{171}{1296}\) | \(\frac{357}{1296}\) | \(\frac{363}{1296}\) | \(\frac{261}{1296}\) | \(\frac{123}{1296}\) | \(\frac{21}{1296}\) |
| \(f_3(x)\) | \(\frac{21}{1296}\) | \(\frac{123}{1296}\) | \(\frac{261}{1296}\) | \(\frac{363}{1296}\) | \(\frac{357}{1296}\) | \(\frac{171}{1296}\) |
| \(f_4(x)\) | \(\frac{1}{1296}\) | \(\frac{15}{1296}\) | \(\frac{65}{1296}\) | \(\frac{175}{1296}\) | \(\frac{369}{1296}\) | \(\frac{671}{1296}\) |
Dalam eksperimen dadu, pilih statistik terurut dan distribusi dadu yang diberikan pada bagian (a)–(d). Naikkan banyaknya dadu dari 1 hingga 20 sambil memperhatikan bentuk fungsi massa probabilitas pada setiap tahap. Kemudian, dengan \(n = 4\), jalankan simulasi 1.000 kali dan bandingkan fungsi frekuensi relatif dengan fungsi massa probabilitas.
Empat dadu seimbang dilempar. Tentukan fungsi massa probabilitas bersama keempat statistik terurut.
Fungsi massa probabilitas bersama \(g\) didefinisikan pada \(\{(x_1, x_2, x_3, x_4) \in \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}^4: x_1 \le x_2 \le x_3 \le x_4\}\).
Empat dadu seimbang dilempar. Tentukan fungsi massa probabilitas rentang sampel.
\(R\) memiliki fungsi massa probabilitas \(h\) yang diberikan oleh \(h(0) = \frac{6}{1296}, \; h(1) = \frac{70}{1296}, \; h(2) = \frac{200}{1296}, \; h(3) = \frac{330}{1296}, \; h(4) = \frac{388}{1296}, \; h(5) = \frac{302}{1296}\).
Dalam eksperimen plot probabilitas, atur distribusi asal sampel menjadi distribusi normal dengan rata-rata 5 dan simpangan baku 2. Atur ukuran sampel menjadi \(n = 20\). Untuk setiap distribusi uji berikut, jalankan eksperimen 50 kali dan perhatikan bentuk geometris plot probabilitas:
Dalam eksperimen plot probabilitas, atur distribusi asal sampel menjadi distribusi seragam pada \([4, 10]\). Atur ukuran sampel menjadi \(n = 20\). Untuk setiap distribusi uji berikut, jalankan eksperimen 50 kali dan perhatikan bentuk geometris plot probabilitas:
Dalam eksperimen plot probabilitas, atur distribusi asal sampel menjadi distribusi eksponensial dengan parameter 3. Atur ukuran sampel menjadi \(n = 20\). Untuk setiap distribusi uji berikut, jalankan eksperimen 50 kali dan perhatikan bentuk geometris plot probabilitas:
Gunakan perangkat lunak statistika untuk soal-soal dalam subbagian ini.
Pertimbangkan variabel panjang mahkota bunga dan spesies dalam data iris Fisher.
Pertimbangkan variabel erosi dalam himpunan data Challenger.
Diagram batang-daun untuk data kecepatan cahaya Michelson diberikan di bawah ini. Pada contoh ini, digit terakhir, yang selalu 0, dihilangkan agar lebih ringkas. Perhatikan pula bahwa setiap batang memiliki dua baris daun: baris pertama untuk daun 0 sampai 4, yakni sebenarnya 00 sampai 40, dan baris kedua untuk daun 5 sampai 9, yakni sebenarnya 50 sampai 90. Dengan demikian, nilai minimumnya adalah 620, sedangkan bilangan pada baris kedua untuk batang 7 adalah 750, 760, 760, dan seterusnya. Catatan edisi: tabel sumber menghilangkan 28 daun pada paruh atas batang 8, yaitu 5, 5, 5, 5, 5, 5, 5, 5, 6, 6, 6, 7, 7, 7, 7, 8, 8, 8, 8, 8, 8, 8, 8, 8, 8, 9, 9, 9. Untuk memeriksa data lengkap dan melakukan perhitungan, gunakan himpunan data Michelson resmi yang ditautkan pada awal paragraf ini.
| 6 | 2 | ||||||||||||||||||||||||||
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 6 | 5 | ||||||||||||||||||||||||||
| 7 | 2 | 2 | 2 | 4 | 4 | 4 | |||||||||||||||||||||
| 7 | 5 | 6 | 6 | 6 | 6 | 6 | 7 | 8 | 8 | 9 | 9 | 9 | |||||||||||||||
| 8 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 2 | 2 | 3 | 3 | 4 | 4 | 4 | 4 | 4 | 4 | 4 | 4 |
| 9 | 0 | 0 | 1 | 1 | 2 | 3 | 3 | 4 | 4 | 4 | |||||||||||||||||
| 9 | 5 | 5 | 5 | 6 | 6 | 6 | 6 | 7 | 8 | 8 | 8 | ||||||||||||||||
| 10 | 0 | 0 | 0 | ||||||||||||||||||||||||
| 10 | 7 |
Pertimbangkan data paralaks Matahari Short.
Pertimbangkan data massa jenis Bumi Cavendish.
Pertimbangkan data M&M.
| 5 | 0 | |||||||||||
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 5 | 3 | |||||||||||
| 5 | 4 | 5 | 5 | 5 | 5 | |||||||
| 5 | 6 | 6 | 6 | 6 | 7 | 7 | 7 | |||||
| 5 | 8 | 8 | 8 | 8 | 8 | 8 | 8 | 8 | 8 | 9 | 9 | 9 |
| 6 | 0 | 0 | 1 | 1 |
Pertimbangkan variabel berat tubuh, spesies, dan jenis kelamin dalam data Cicada.
Pertimbangkan data tinggi badan Pearson.