Seperti telah kita catat, distribusi normal mungkin merupakan distribusi terpenting dalam statistika matematis, antara lain karena teorema limit pusat. Sebagai konsekuensi teorema ini, besaran terukur yang mengalami banyak galat acak kecil akan memiliki distribusi yang setidaknya mendekati normal. Variabel semacam itu terdapat di mana-mana dalam eksperimen statistik, dalam bidang yang beragam mulai dari ilmu fisika dan biologi hingga ilmu sosial.
Dalam bagian ini, kita mempelajari masalah pendugaan pada model normal dua sampel dan model normal bivariat. Bagian ini sejajar dengan bagian mengenai uji dalam model normal dua sampel pada bab pengujian hipotesis.
Misalkan \(\bs{X} = (X_1, X_2, \ldots, X_m)\) adalah sampel acak berukuran \(m\) dari distribusi normal dengan rata-rata \(\mu\) dan simpangan baku \(\sigma\), dan misalkan \(\bs{Y} = (Y_1, Y_2, \ldots, Y_n)\) adalah sampel acak berukuran \(n\) dari distribusi normal dengan rata-rata \(\nu\) dan simpangan baku \(\tau\). Selain itu, misalkan sampel \(\bs{X}\) dan \(\bs{Y}\) saling bebas. Biasanya parameter-parameternya tidak diketahui, sehingga ruang parameter bagi vektor parameter \((\mu, \nu, \sigma, \tau)\) adalah \(\R^2 \times (0, \infty)^2\).
Situasi seperti ini sering muncul ketika variabel acak menyatakan suatu pengukuran yang diminati pada objek-objek dalam populasi, sedangkan kedua sampel bersesuaian dengan dua perlakuan berbeda. Sebagai contoh, kita mungkin tertarik pada tekanan darah suatu populasi pasien. Vektor \(\bs{X}\) mencatat tekanan darah sampel kontrol, sedangkan vektor \(\bs{Y}\) mencatat tekanan darah sampel yang menerima obat baru. Demikian pula, kita mungkin tertarik pada hasil panen jagung per ekar. Vektor \(\bs{X}\) mencatat hasil sampel yang menerima satu jenis pupuk, sedangkan vektor \(\bs{Y}\) mencatat hasil sampel yang menerima jenis pupuk lain.
Biasanya perhatian kita tertuju pada perbandingan parameter kedua distribusi asal sampel, baik rata-rata maupun simpangan bakunya. Dalam bagian ini, kita membangun interval kepercayaan bagi selisih rata-rata distribusi \( \nu - \mu \) dan bagi rasio varians distribusi \( \tau^2 / \sigma^2 \). Seperti pada masalah pendugaan sebelumnya, konstruksinya bergantung pada penemuan variabel pivot yang sesuai.
Untuk sampel generik \(\bs{U} = (U_1, U_2, \ldots, U_k)\) berukuran sekurang-kurangnya dua dari suatu distribusi dengan rata-rata \(a\), kita menggunakan notasi baku untuk rata-rata sampel dan varians sampel. \begin{align} M(\bs{U}) & = \frac{1}{k} \sum_{i=1}^k U_i \\ S^2(\bs{U}) & = \frac{1}{k - 1} \sum_{i=1}^k [U_i - M(\bs{U})]^2 \end{align}
Kita juga perlu mengingat sifat-sifat khusus statistik ini ketika distribusi asal sampelnya normal. Distribusi pivot khusus yang berperan mendasar dalam bagian ini adalah distribusi normal baku, \( t \) Student, dan Fisher \( F \). Untuk membangun dugaan interval, kita memerlukan kuantil distribusi-distribusi tersebut. Kuantil dapat dihitung menggunakan aplikasi kuantil atau sebagian besar perangkat lunak matematika dan statistika. Berikut notasi yang kita gunakan:
Misalkan \( p \in (0, 1) \) serta \(j, \, k \in \N_+ \).
Ingat bahwa berdasarkan simetri, \(z(p) = -z(1 - p)\) dan \( t_k(p) = -t_k(1 - p) \) untuk \( p \in (0, 1) \) serta \( k \in \N_+ \). Untuk distribusi Fisher, hubungan resiprokal yang tepat menukar derajat kebebasan: \(f_{j,k}(p) = 1 / f_{k,j}(1 - p)\).
Pertama-tama kita membangun interval kepercayaan bagi \( \nu - \mu \) dengan asumsi varians distribusi \( \sigma^2 \) dan \( \tau^2 \) diketahui. Asumsi ini tidak selalu dibuat-buat. Seperti dalam model normal satu sampel, varians kadang-kadang stabil sehingga setidaknya diketahui secara hampiran, sedangkan rata-rata berubah akibat perlakuan yang berbeda. Ingatlah terlebih dahulu fakta dasar berikut.
Selisih rata-rata sampel \(M(\bs{Y}) - M(\bs{X})\) berdistribusi normal dengan rata-rata \(\nu - \mu\) dan varians \(\sigma^2 / m + \tau^2 / n\). Oleh karena itu, skor baku selisih rata-rata sampel \[ Z = \frac{[M(\bs{Y}) - M(\bs{X})] - (\nu - \mu)}{\sqrt{\sigma^2 / m + \tau^2 / n}} \] mempunyai distribusi normal baku. Jadi, variabel ini merupakan variabel pivot bagi \( \nu - \mu \) ketika \( \sigma, \tau\) diketahui.
Interval kepercayaan dasar serta batas bawah dan batas atas kini mudah dibangun.
Untuk \( \alpha \in (0, 1) \),
Variabel \( Z \) yang diberikan pada mempunyai distribusi normal baku. Karena itu, menurut definisi kuantil, setiap kejadian berikut mempunyai peluang \( 1 - \alpha \):
Dalam setiap kasus, menyelesaikan pertidaksamaan terhadap \( \nu - \mu \) menghasilkan pernyataan yang dimaksud.
Interval dua sisi pada bagian (a) adalah interval simetris yang menempatkan \( \alpha / 2 \) pada masing-masing ekor distribusi normal baku. Seperti biasa, kita dapat membangun interval dua sisi yang lebih umum dengan membagi \( \alpha \) di antara ekor kiri dan kanan dengan cara apa pun yang diinginkan.
Untuk setiap \(\alpha, \, p \in (0, 1)\), sebuah interval kepercayaan bertingkat \(1 - \alpha\) bagi \(\nu - \mu\) adalah \[ \left[M(\bs{Y}) - M(\bs{X}) - z(1 - \alpha p) \sqrt{\frac{\sigma^2}{m} + \frac{\tau^2}{n}}, M(\bs{Y}) - M(\bs{X}) - z(\alpha - p \alpha) \sqrt{\frac{\sigma^2}{m} + \frac{\tau^2}{n}} \right]\]
Dari distribusi variabel pivot dan definisi fungsi kuantil, \[ \P \left[ z(\alpha - p \alpha) \lt \frac{[M(\bs{Y}) - M(\bs{X})] - (\nu - \mu)}{\sqrt{\sigma^2 / m + \tau^2 / n}} \lt z(1 - p \alpha) \right] = 1 - \alpha \] Dengan menyelesaikan pertidaksamaan terhadap \(\nu - \mu\), diperoleh interval kepercayaan tersebut.
Teorema berikut memberikan beberapa sifat dasar panjang interval ini.
Panjang deterministik interval kepercayaan dua sisi umum adalah \[ L = [z(1 - \alpha p) - z(\alpha - \alpha p)] \sqrt{\frac{\sigma^2}{m} + \frac{\tau^2}{n}} \]
Bagian (a) berarti bahwa dugaan dapat dibuat lebih presisi dengan memperbesar salah satu atau kedua ukuran sampel. Bagian (b) berarti bahwa dugaan menjadi kurang presisi ketika varians salah satu distribusi meningkat. Bagian (c) menyatakan kompromi yang telah kita lihat sebelumnya: jika hal-hal lain tetap, tingkat kepercayaan hanya dapat dinaikkan dengan mengurangi presisi. Bagian (d) berarti bahwa interval simetris berekor sama mempunyai panjang minimum dalam keluarga interval dua sisi yang dibangun dari pembagian peluang ekor tersebut.
Metode berikutnya membangun interval kepercayaan bagi selisih rata-rata \(\nu - \mu\) tanpa perlu mengetahui simpangan baku \(\sigma\) dan \(\tau\). Ada harga yang harus dibayar: kita mengasumsikan simpangan baku keduanya sama, \(\sigma = \tau\), tetapi nilai bersama itu tidak diketahui. Kedua ukuran sampel harus sedikitnya dua. Asumsi kesamaan ini masuk akal jika terdapat variabilitas inheren pada variabel pengukuran yang tidak berubah walaupun perlakuan berbeda diterapkan pada objek-objek dalam populasi. Kita perlu mengingat beberapa fakta dasar dari pembahasan sifat-sifat khusus sampel normal.
Penduga gabungan bagi varians bersama \(\sigma^2 = \tau^2\) adalah \[ S^2(\bs{X}, \bs{Y}) = \frac{(m - 1) S^2(\bs{X}) + (n - 1) S^2(\bs{Y})}{m + n - 2} \] Variabel acak \[ T = \frac{\left[M(\bs{Y}) - M(\bs{X})\right] - (\nu - \mu)}{S(\bs{X}, \bs{Y}) \sqrt{1 / m + 1 / n}} \] mempunyai distribusi \( t \) Student dengan \( m + n - 2 \) derajat kebebasan.
Perhatikan bahwa \( S^2(\bs{X}, \bs{Y}) \) merupakan rata-rata tertimbang kedua varians sampel, dengan derajat kebebasan sebagai bobotnya. Perhatikan pula bahwa \( T \) adalah variabel pivot bagi \( \nu - \mu \), sehingga interval kepercayaan bagi \( \nu - \mu \) dapat dibangun dengan cara biasa.
Untuk \( \alpha \in (0, 1) \),
Variabel \( T \) yang diberikan pada mempunyai distribusi t Student dengan derajat kebebasan sebanyak jumlah kedua ukuran sampel dikurangi dua. Karena itu, menurut definisi kuantil, setiap kejadian berikut mempunyai peluang \( 1 - \alpha \):
Dalam setiap kasus, menyelesaikan pertidaksamaan terhadap \( \nu - \mu \) menghasilkan pernyataan yang dimaksud.
Interval dua sisi pada bagian (a) adalah interval simetris yang menempatkan \( \alpha / 2 \) pada masing-masing ekor distribusi \( t \) Student. Seperti biasa, kita dapat membangun interval dua sisi yang lebih umum dengan membagi \( \alpha \) di antara ekor kiri dan kanan dengan cara apa pun yang diinginkan.
Untuk setiap \(\alpha, \, p \in (0, 1)\), sebuah interval kepercayaan bertingkat \(1 - \alpha\) bagi \(\nu - \mu\) adalah \[ \left[M(\bs{Y}) - M(\bs{X}) - t_{m+n-2}(1 - \alpha p) S(\bs{X}, \bs{Y})\sqrt{\frac{1}{m} + \frac{1}{n}}, M(\bs{Y}) - M(\bs{X}) - t_{m+n-2}(\alpha - p \alpha) S(\bs{X}, \bs{Y}) \sqrt{\frac{1}{m} + \frac{1}{n}} \right]\]
Dari distribusi variabel pivot dan definisi fungsi kuantil, \[ \P \left[ t_{m+n-2}(\alpha - p \alpha) \lt \frac{[M(\bs{Y}) - M(\bs{X})] - (\nu - \mu)}{S(\bs{X}, \bs{Y})\sqrt{1 / m + 1 / n}} \lt t_{m+n-2}(1 - p \alpha) \right] = 1 - \alpha \] Dengan menyelesaikan pertidaksamaan terhadap \(\nu - \mu\), diperoleh interval kepercayaan tersebut.
Hasil berikut membahas panjang interval dua sisi umum.
Panjang acak interval dua sisi di atas adalah \[ L = [t_{m+n-2}(1 - p \alpha) - t_{m+n-2}(\alpha - p \alpha)] S(\bs{X}, \bs{Y}) \sqrt{\frac{1}{m} + \frac{1}{n}} \]
Seperti dalam kasus varians diketahui, bagian (a) berarti bahwa jika hal-hal lain tetap, tingkat kepercayaan hanya dapat dinaikkan dengan mengurangi presisi. Bagian (b) berarti bahwa interval simetris berekor sama mempunyai panjang minimum dalam keluarga interval dua sisi ini.
Konstruksi berikut menghasilkan dugaan interval bagi rasio varians \( \tau^2 / \sigma^2 \), atau setelah mengambil akar kuadrat, bagi rasio simpangan baku \( \tau / \sigma \). Kedua ukuran sampel harus sedikitnya dua. Sekali lagi, kita perlu mengingat beberapa fakta dasar dari pembahasan sifat-sifat khusus sampel acak dari distribusi normal.
Rasio \[ U = \frac{S^2(\bs{X}) \tau^2}{S^2(\bs{Y}) \sigma^2} \] mempunyai distribusi \(F\) dengan \(m - 1\) derajat kebebasan pada pembilang dan \(n - 1\) derajat kebebasan pada penyebut. Karena itu, variabel ini merupakan variabel pivot bagi \(\tau^2 / \sigma^2\).
Variabel pivot \( U \) dapat digunakan untuk membangun interval kepercayaan bagi \( \tau^2 / \sigma^2 \) dengan cara biasa.
Untuk \( \alpha \in (0, 1) \),
Variabel \( U \) yang diberikan pada mempunyai distribusi \( F \) dengan \( m - 1 \) derajat kebebasan pada pembilang dan \( n - 1 \) derajat kebebasan pada penyebut. Karena itu, menurut definisi kuantil, setiap kejadian berikut mempunyai peluang \( 1 - \alpha \):
Dalam setiap kasus, menyelesaikan pertidaksamaan terhadap \( \tau^2 / \sigma^2 \) menghasilkan pernyataan yang dimaksud.
Interval kepercayaan dua sisi pada bagian (a) adalah interval kepercayaan berekor sama dan merupakan interval yang lazim digunakan. Namun, seperti biasa, kita dapat membagi \( \alpha \) di antara ekor kiri dan kanan distribusi variabel pivot dengan cara apa pun yang diinginkan.
Untuk setiap \(\alpha, \, p \in (0, 1)\), sebuah himpunan kepercayaan bertingkat \(1 - \alpha\) bagi \(\tau^2 / \sigma^2 \) adalah \[ \left[f_{m-1, n-1}(\alpha - p \alpha) \frac{S^2(\bs{Y})}{S^2(\bs{X})}, f_{m-1, n-1}(1 - p \alpha) \frac{S^2(\bs{Y})}{S^2(\bs{X})} \right] \]
Dari variabel pivot \( F \) dan definisi fungsi kuantil, \[ \P \left[ f_{m-1,n-1}(\alpha - p \, \alpha) \lt \frac{S^2(\bs{X}) \tau^2}{S^2(\bs{Y}) \sigma^2} \lt f_{m-1,n-1}(1 - p \,\alpha) \right] = 1 - \alpha \] Dengan menyelesaikan pertidaksamaan terhadap \(\tau^2 / \sigma^2\), diperoleh interval kepercayaan tersebut.
Panjang interval kepercayaan umum dibahas berikutnya.
Panjang acak interval kepercayaan dua sisi umum di atas adalah \[ L = \left[f_{m-1,n-1}(1 - p \alpha) - f_{m-1,n-1}(\alpha - p \alpha) \right] \frac{S^2(\bs{Y})}{S^2(\bs{X})}\] Dengan asumsi \( m \gt 5 \) dan \( n \gt 1 \),
Bagian (b) dan (c) mengikuti karena \( \frac{\sigma^2}{\tau^2} \frac{S^2(\bs{Y})}{S^2(\bs{X})} \) mempunyai distribusi \( F \) dengan \( n - 1 \) derajat kebebasan pada pembilang dan \( m - 1 \) derajat kebebasan pada penyebut.
Secara ideal, kita mungkin ingin memilih \( p \) yang meminimalkan \( \E(L) \). Namun, masalah ini sulit secara komputasional. Untungnya, interval berekor sama dengan \( p = \frac{1}{2} \) tidak terlalu jauh dari optimal ketika ukuran sampel \( m \) dan \( n \) besar; pernyataan ini bukan klaim optimalitas universal.
Dalam subbagian ini, kita meninjau model yang sepintas mirip dengan model normal dua sampel, tetapi sebenarnya jauh lebih sederhana. Misalkan \[ \left((X_1, Y_1), (X_2, Y_2), \ldots, (X_n, Y_n)\right) \] adalah sampel acak berukuran \(n\) dari distribusi normal bivariat suatu vektor acak \((X, Y)\), dengan \(\E(X) = \mu\), \(\E(Y) = \nu\), \(\var(X) = \sigma^2\), \(\var(Y) = \tau^2\), dan \(\cov(X, Y) = \delta\).
Jadi, alih-alih mempunyai sepasang sampel, kita mempunyai sampel pasangan. Model seperti ini sering muncul dalam eksperimen sebelum dan sesudah, ketika suatu pengukuran yang diminati dicatat bagi sampel berukuran \(n\), baik sebelum maupun sesudah suatu perlakuan. Sebagai contoh, kita dapat mencatat tekanan darah sampel \(n\) pasien sebelum dan sesudah pemberian obat tertentu. Hal pentingnya ialah bahwa dalam model ini, \( X_i \) dan \( Y_i \) merupakan pengukuran pada objek dasar yang sama dalam sampel. Seperti pada model normal dua sampel, perhatian biasanya tertuju pada pendugaan selisih rata-rata.
Untuk ukuran sampel sedikitnya dua, kita menggunakan notasi pada definisi bagi rata-rata dan varians sampel \(\bs{X} = (X_1, X_2, \ldots, X_n)\) serta \(\bs{Y} = (Y_1, Y_2, \ldots, Y_n)\). Ingat pula bahwa kovarians sampel dari \((\bs{X}, \bs{Y})\) adalah \[ S(\bs{X}, \bs{Y}) = \frac{1}{n - 1} \sum_{i=1}^n [X_i - M(\bs{X})][Y_i - M(\bs{Y})] \] (jangan disamakan dengan penduga gabungan simpangan baku pada model dua sampel).
Vektor selisih \(\bs{Y} - \bs{X} = (Y_1 - X_1, Y_2 - X_2, \ldots, Y_n - X_n)\) merupakan sampel acak berukuran \(n\) dari distribusi \(Y - X\), yang berdistribusi normal dengan
Rata-rata sampel dan varians sampel dari sampel selisih diberikan oleh
Jadi, sampel selisih \(\bs{Y} - \bs{X}\) memenuhi model normal bagi satu variabel. Bagian mengenai pendugaan dalam model normal dapat digunakan untuk memperoleh himpunan dan interval kepercayaan bagi parameter \((\nu - \mu, \sigma^2 + \tau^2 - 2 \, \delta)\).
Dalam konteks subbagian ini, misalkan \(\bs{X} = (X_1, X_2, \ldots, X_n)\) dan \(\bs{Y} = (Y_1, Y_2, \ldots, Y_n)\) saling bebas. Secara matematis, situasi ini memenuhi kedua model—model normal dua sampel dan model normal bivariat. Prosedur mana yang lebih baik untuk menduga selisih rata-rata \(\nu - \mu\)?
Walaupun konteks pada memenuhi kedua model secara matematis, hanya satu model yang masuk akal dalam suatu masalah nyata. Sekali lagi, hal pentingnya ialah apakah \( (X_i, Y_i) \) masuk akal sebagai pasangan variabel acak (pengukuran) yang berkaitan dengan satu objek tertentu dalam sampel.
Sebuah obat baru sedang dikembangkan untuk menurunkan kadar suatu zat kimia dalam darah. Sebanyak 36 pasien diberi plasebo, sedangkan 49 pasien diberi obat tersebut. Misalkan \(X\) menyatakan pengukuran pada pasien yang menerima plasebo dan \(Y\) pengukuran pada pasien yang menerima obat, dalam mg. Statistiknya adalah \(m(\bs{x}) = 87\), \(s(\bs{x}) = 4\), \(m(\bs{y}) = 63\), dan \(s(\bs{y}) = 6\).
Sebuah perusahaan mengklaim bahwa suplemen herbal meningkatkan kecerdasan. Sampel sebanyak 25 orang menjalani tes IQ baku sebelum dan sesudah mengonsumsi suplemen tersebut. Misalkan \(X\) menyatakan IQ subjek sebelum mengonsumsi suplemen dan \(Y\) IQ subjek sesudahnya. Statistik sebelum dan sesudah adalah \(m(\bs{x}) = 105\), \(s(\bs{x}) = 13\), \(m(\bs{y}) = 110\), \(s(\bs{y}) = 17\), dan \(s(\bs{x}, \bs{y}) = 190\). Apakah Anda mempercayai klaim perusahaan tersebut?
Batas bawah kepercayaan 90% bagi selisih IQ adalah 2,672. Mungkin terdapat peningkatan yang sangat kecil.
Dalam data iris Fisher, misalkan \(X\) menyatakan panjang mahkota bunga iris Versicolor dan \(Y\) panjang mahkota bunga iris Virginica.
Sebuah pabrik mempunyai dua mesin yang menghasilkan batang bundar dengan diameter kritis, dalam cm. Misalkan \(X\) menyatakan diameter batang dari mesin pertama dan \(Y\) diameter batang dari mesin kedua. Sampel 100 batang dari mesin pertama mempunyai rata-rata 10,3 dan simpangan baku 1,2. Sampel 100 batang dari mesin kedua mempunyai rata-rata 9,8 dan simpangan baku 1,6.